第06讲一元二次方程根与系数关系（韦达定理）（知识点+4题型）（暑假预习讲义）（解析版）_26秋初中教辅资料_26秋初中《暑假预习》_暑假预习讲义+测试卷

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第06 讲一元二次方程根与系数关系（知识点+4 题型）
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 直接求两根之和与两根之积
题型2 已知一根，求另一根及未知系数
题型3 求与两根有关的代数式的值
题型4 根与系数的关系与完全平方公式
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
一元二次方程根与系
数的关系
韦达定理的推导
两根代数式的变形
韦达定理的基本应用
根的判别式与韦达定
理的综合利用根构造
一元二次方程
1. 经历一元二次方程根与系数关系（韦达定理）的推导过程，理解定理的内
容及成立的前提条件（Δ =ܾ
ʹ −Ͷth ≥Ͳ），掌握对于一元二次方程tݔʹ +ܾݔ+
h = Ͳ(t ≠Ͳ)，两根满足ݔͳ + ݔʹ =−ܾt，ݔͳݔʹ =
h
t。2. 掌握韦达定理的基本应
用：已知方程的一个根，求另一个根及方程中的未知参数；不解方程，求两
根常见代数式（如ݔͳ
ʹ + ݔʹ
ʹ、
ͳ
ݔͳ +
ͳ
ݔʹ、(ݔͳ −ݔʹ)ʹ）的值。3. 了解利用根与系数
的关系构造一元二次方程的方法，能根据给定的两个实数根，写出对应的一
元二次方程。4. 能综合运用根的判别式和韦达定理解决含参数的一元二次方
程问题，养成“先判断判别式，再应用韦达定理”的解题习惯，体会整体代
入和分类讨论的数学思想。
学习重点：韦达定理的内容及其基本应用，根的判别式与韦达定理的综合应用。
学习难点：两根代数式的灵活变形技巧，含参数问题中判别式的前置判断，以及韦达定理在复杂几何、
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实际问题中的综合应用。
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
内容：对于一元二次方程tݔʹ +ܾݔ+ h = Ͳ（t ≠Ͳ），当判别式Δ =ܾ
ʹ −Ͷth ≥Ͳ 时，方程的两个实数根ݔͳ、
ݔʹ满足：
两根之和：ݔͳ + ݔʹ =−ܾt
两根之积：ݔͳݔʹ =
h
t
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数学语言：
∵方程tݔʹ +ܾݔ+ h = Ͳ（t ≠Ͳ）有两个实数根ݔͳ、ݔʹ
∴ݔͳ + ݔʹ =−ܾt，ݔͳݔʹ =
h
t
即时即练
1．已知一元二次方程ݔʹ −͵ݔ+ t = Ͳ 的一个根为2，则另一个根为（
）
A．−͵
B．−ͳ
C．2
D．1
【答案】D
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求解即可．
【详解】解：设方程ݔʹ −͵ݔ+ t = Ͳ 另一个根为ݔͳ，
由根与系数的关系得：ݔͳ + ʹ =−
−͵
ͳ = ͵，
解得：ݔͳ = ͳ，
即方程ݔʹ −͵ݔ+ t = Ͳ 另一个根为1．
【易错提醒】
必须同时满足两个前提条件：①是一元二次方程（t ≠Ͳ）；②方程有实数根（Δ ≥Ͳ），缺一不可。
两根之和的公式中有负号，是−ܾt，不是ܾt，这是本节最高频易错点。
系数t、ܾ、h 包含前面的符号，如方程ʹݔʹ −ͷݔ−͵ = Ͳ 中，ܾ=−ͷ，h =−͵，因此ݔͳ + ݔʹ =
ͷ
ʹ，ݔͳݔʹ =−
͵
ʹ。
知识点02
二次项系数为1 的一元二次方程的根与系数关系
特殊形式：对于一元二次方程ݔʹ + ݌ݔ+ ݍ= Ͳ（݌、ݍ为常数），当Δ = ݌ʹ −Ͷݍ≥Ͳ 时，两根ݔͳ、ݔʹ满足：
ݔͳ + ݔʹ =−݌，ݔͳݔʹ = ݍ
即时即练
2．已知ݔͳ、ݔʹ是一元二次方程ݔʹ + ʹͲݔ+ ͳͷ = Ͳ 的两个实数根，则ݔͳݔʹ + ݔͳ + ݔʹ =______．
【答案】−ͷ
【分析】对于一元二次方程tݔʹ +ܾݔ+ h = Ͳ(t ≠Ͳ)，若方程有两个实数根，根据根与系数的关系可得ݔͳ +
ݔʹ =−ܾt，ݔͳݔʹ =
h
t，据此求解即可．
【详解】解：已知一元二次方程ݔʹ + ʹͲݔ+ ͳͷ = Ͳ，
其中t = ͳ，ܾ
= ʹͲ，h = ͳͷ，
因此可得：ݔͳ + ݔʹ =−
ʹͲ
ͳ =−ʹͲ，ݔͳݔʹ =
ͳͷ
ͳ = ͳͷ，
将其代入所求代数式得：ݔͳݔʹ + ݔͳ + ݔʹ = ͳͷ + ( −ʹͲ) =−ͷ．
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【易错提醒】
此公式是一般形式的特例（t = ͳ），计算更简便，但仅适用于二次项系数为1 的方程。
同样注意符号：一次项系数݌前面有负号，如方程ݔʹ + ͵ݔ−Ͷ = Ͳ 中，ݔͳ + ݔʹ =−͵，ݔͳݔʹ =−Ͷ。
知识点03
根与系数关系的常见应用
1.已知一根求另一根及参数值
方法：将已知根代入原方程求参数，再利用根与系数关系求另一根；或直接利用两根之积/之和求
另一根，再求参数。
示例：已知方程ݔʹ −6ݔ+݉
= Ͳ 的一个根是2，求另一根和݉
的值。
解：设另一根为ݔͳ，则ʹ + ݔͳ = 6，得ݔͳ = Ͷ；݉
= ʹ × Ͷ = 8。
2.求两根的对称式的值
核心思路：将所求代数式转化为只含ݔͳ + ݔʹ和ݔͳݔʹ的形式，再整体代入求值。
教材常用变形公式：
ݔͳ
ʹ + ݔʹ
ʹ = (ݔͳ + ݔʹ)ʹ −ʹݔͳݔʹ
ͳ
ݔͳ
+ ͳ
ݔʹ
= ݔͳ + ݔʹ
ݔͳݔʹ
(ݔͳ −ݔʹ)ʹ = (ݔͳ + ݔʹ)ʹ −Ͷݔͳݔʹ
|ݔͳ −ݔʹ| =
(ݔͳ + ݔʹ)ʹ −Ͷݔͳݔʹ
3.已知两根构造一元二次方程
方法：若已知方程的两个根为ݔͳ、ݔʹ，则以这两个数为根的最简一元二次方程（二次项系数为1）
为：
ݔʹ −(ݔͳ + ݔʹ)ݔ+ ݔͳݔʹ = Ͳ
即时即练
3．已知关于x 的一元二次方程ݔʹ + ͳ −݉
ݔ+݉
−ʹ = Ͳ．
(1)求证：不论m 为何值，方程总有实数根；
(2)若方程的两个根分别为ݔͳǡݔʹ，ݔͳ
ʹ + ݔʹ
ʹ + ͵ݔͳݔʹ = ͳ，求m 的值．
【答案】(1)证明：Δ = ͳ −݉
ʹ −Ͷ × ͳ ×݉
−ʹ
= ͳ −ʹ݉
+݉
ʹ −Ͷ݉
+ 8
=݉
ʹ −6݉
+ ͻ
=݉
−͵ ʹ，
׶任何实数的平方均为非负数，即݉
−͵ ʹ ≥Ͳ，
׵ Δ ≥Ͳ 恒成立，
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即不论݉
为何值，方程总有实数根．
(2)݉
= ʹ 或݉
=−ͳ
【分析】（1）要证明一元二次方程总有实数根，只需证明其判别式Δ ≥Ͳ 恒成立；
（2）利用根与系数的关系，将ݔͳ
ʹ + ݔʹ
ʹ + ͵ݔͳݔʹ变形为含ݔͳ + ݔʹ和ݔͳݔʹ的形式，代入已知条件列方程求解݉
．
【详解】（1）略
（2）解：根据韦达定理，对于方程ݔʹ + ͳ −݉
ݔ+݉
−ʹ = Ͳ，两根满足：
ݔͳ + ݔʹ =−ͳ −݉
=݉
−ͳ，ݔͳݔʹ =݉
−ʹ，
已知ݔͳ
ʹ + ݔʹ
ʹ + ͵ݔͳݔʹ = ͳ，利用ݔͳ
ʹ + ݔʹ
ʹ = ݔͳ + ݔʹ ʹ −ʹݔͳݔʹ变形得：
ݔͳ
ʹ + ݔʹ
ʹ + ͵ݔͳݔʹ = ݔͳ + ݔʹ ʹ −ʹݔͳݔʹ + ͵ݔͳݔʹ = ݔͳ + ݔʹ ʹ + ݔͳݔʹ，
将ݔͳ + ݔʹ =݉
−ͳ，ݔͳݔʹ =݉
−ʹ 代入，结合条件得：݉
−ͳ ʹ +݉
−ʹ = ͳ，
展开并整理方程：݉
ʹ −ʹ݉
+ ͳ +݉
−ʹ = ͳ，݉
ʹ −݉
−ʹ = Ͳ，
因式分解求解：݉
−ʹ݉
+ ͳ = Ͳ，
解得：݉
ͳ = ʹ，݉
ʹ =−ͳ．
【易错提醒】
已知一根求参数时，必须检验Δ ≥Ͳ，否则可能得到不符合题意的参数值。
求对称式时，不要直接代入求根公式计算，不仅计算量大，还容易出错，优先使用整体代入法。
构造方程时，注意一次项系数是−(ݔͳ + ݔʹ)，不要漏写负号；二次项系数可以取任意非零数，通常取1。
题型1 直接求两根之和与两根之积
【例1】已知方程ݔʹ −ʹݔ−͵ = Ͳ，则该方程根的情况判断正确的是（
）
A．两实数根之和为−ʹ
B．两实数根之和为2
C．两实数根之积为3
D．没有实数根
【答案】B
【分析】利用因式分解法求出方程的根，再计算两根的和与积即可判断选项．
【详解】解：ݔʹ −ʹݔ−͵ = Ͳ
(ݔ−͵)(ݔ+ ͳ) = Ͳ，
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解得ݔͳ = ͵，ݔʹ =−ͳ，
可知方程有两个不相等的实数根，两根之和为͵ + ( −ͳ) = ʹ，两根之积为͵ × ( −ͳ) =−͵，
对照选项，只有B 正确．
【技巧归纳】
先将方程化为标准一般式tݔʹ +ܾݔ+ h = Ͳ（t ≠Ͳ）
韦达定理：ݔͳ + ݔʹ =−ܾt，ݔͳݔʹ =
h
t
重中之重：系数带符号代入，如ݔʹ −ͷݔ+ 6 = Ͳ 中ܾ
=−ͷ，故ݔͳ + ݔʹ = ͷ
隐含前提：方程有实数根（Δ ≥Ͳ），无实根时不能用韦达定理
【变式1-1】
1．关于方程x2+2x﹣4＝0 的根的情况，下列结论错误的是（
）
A．有两个不相等的实数根
B．两实数根的和为﹣2
C．没有实数根
D．两实数根的积为﹣4
【答案】C
【分析】利用根的判别式,判断△的正负即可求解.
【详解】解：方程x2+2x﹣4＝0，
这里a＝1，b＝2，c＝﹣4，
׶△＝4+16＝20＞0，
׵方程有两个不相等的实数根，且x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣4，
故选C．
【点睛】本题考查了根的判别式的应用，属于简单题，熟悉根的判别式的计算方法是解题关键.
【变式1-2】
2．关于一元二次方程ݔʹ −ʹݔ+ ͵ = Ͳ 的根的说法，正确的是（
）
A．有两个相等实数根
B．没有实数根
C．两根之和为−ʹ
D．两根之积为−͵
【答案】B
【分析】本题考查了根的判别式，根据方程的系数，结合根的判别式Δ =ܾ
ʹ −Ͷth 可得出Δ ൏Ͳ，进而可得
出该方程没有实数根．
【详解】解：由题意可知：Δ = −ʹ ʹ −Ͷ × ͵ × ͳ =−8 ൏Ͳ，
׵方程没有实数根，则不存在两根之和，两根之积，
故选：B．
题型2 已知一根，求另一根及未知系数
【例2】已知方程ݔʹ −͵ݔ+݉
= Ͳ 有两个不相等的实数根．
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(1)求实数m 的取值范围；
(2)已知方程的一个根是4，求m 的值，并求出方程的另一个根．
【答案】(1)݉
൏
ͻ
Ͷ
(2)݉
=−Ͷ，另一个根是−ͳ
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系．
（1）根据根的判别式的意义得到Δ = −͵ ʹ −Ͷ݉݉
Ͳ，然后解不等式即可；
（2）设方程的另一个根为ݐ，利用根与系数的关系得Ͷ + ݐ= ͵，Ͷݐ=݉
，然后解一次方程组即可．
【详解】（1）解：根据题意得Δ = −͵ ʹ −Ͷ݉݉
Ͳ，
解得݉
൏
ͻ
Ͷ，
׵݉
的取值范围为݉
൏
ͻ
Ͷ；
（2）设方程的另一个根为ݐ，
根据根与系数的关系得Ͷ + ݐ= ͵，Ͷݐ=݉
，
解得ݐ=−ͳ，݉
=−Ͷ，
即方程的另一根是−ͳ．
【技巧归纳】
求另一根：已知ݔͳ，则ݔʹ =
h
t ÷ ݔͳ（优先用，一步到位）
求未知系数：
方法1：将已知根代入原方程，解关于系数的方程
方法2：利用ݔͳ + ݔʹ =−ܾt 列方程求解
两种方法结果一致，可互相验证
【变式2-1】
1．已知关于ݔ的一元二次方程ݔʹ + ʹ(݉
−ͳ)ݔ+݉
ʹ −ͳ = Ͳ．
(ͳ)若方程有两个不相等的实数根，求实数݉
的取值范围；
(ʹ)若方程的一个根为Ͳ，求出݉
的值及方程的另一个根．
【答案】（1）݉
൏ͳ；（2）m=1;0,或m=-1;4.
【分析】(1)根据判别式的意义得到△= Ͷ(݉
−ͳ)ʹ −Ͷ(݉
ʹ −ͳ)݉
Ͳ,然后解不等式即可；
(2)根据方程解的定义把x=0 代入方程得݉
ʹ −ͳ = Ͳ，即可解得m=1 或-1，然后分别把m=1 或-1 代入方程，
再解方程即可．
【详解】(ͳ)根据题意得△= Ͷ(݉
−ͳ)ʹ −Ͷ(݉
ʹ −ͳ)݉
Ͳ，
解得݉
൏ͳ；
(ʹ)把ݔ= Ͳ 代入方程得݉
ʹ −ͳ = Ͳ，
解得݉
= ͳ 或−ͳ，
当݉
= ͳ 时，方程变形为ݔʹ = Ͳ，
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解得ݔͳ = ݔʹ = Ͳ，即方程的另一个根为Ͳ；
当݉
=−ͳ 时，方程变形为ݔʹ −Ͷݔ= Ͳ，
解得ݔͳ = Ͷ，ݔʹ = Ͳ，即方程的另一个根为Ͷ．
【点睛】本题考查了根的判别式:一元二次方程tݔʹ +ܾh + h = Ͳ(t ≠Ͳ)的根与△=ܾ
ʹ −Ͷth 有如下关系:当
△>0 时,方程有两个不相等的两个实数根;当△=0 时,方程有两个相等的两个实数根;当△<0 时,方程无实数根．
【变式2-2】
2．已知关于x 的方程x2－2x－2m＝0 有两个不相等的实数根．
(1)求m 的取值范围；
(2)若方程的一个根为4，求方程的另一个根和m 的值．
【答案】(1) m>－
ͳ
ʹ；(2)方程的另一个根为－2，m 的值为4.
【分析】（1）根据判别式的意义得到△=4+8m＞0，然后解不等式即可得到m 的取值范围；
（2）设方程另一个根为t，根据根与系数的关系得到4+t=2，然后解关于t 的一次方程即可．
【详解】（1）根据题意得△=4+8m＞0，
解得m＞-
ͳ
ʹ；
（2）设方程另一个根为t，
根据题意得4+t=2，
解得t=-2，
即方程的另一根为-2，
把x=4 代入x2－2x－2m＝0 中，得42－2×4－2m＝0，
解得m=4，
故方程的另一个根为－2，m 的值为4.．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式（△=b2-4ac）：当△＞0 时，方程有两个不相等的两个实数根；
当△=0 时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0 时，方程无实数根．也考查了根与系数的关系．
题型3 求与两根有关的代数式的值
【例3】阅读下列材料，完成相应任务．
材料一十六世纪的法国数学家弗朗索瓦·韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，可表述为“当判
别式Δ ≥Ͳ 时，关于x 的一元二次方程tݔʹ +ܾݔ+ h = Ͳ(t ≠Ͳ)的两个根ݔͳ，ݔʹ有如下关系：ݔͳ + ݔʹ =−ܾt，
ݔͳݔʹ =
h
t”．此关系通常被称为“韦达定理”．
材料二若ݔͳ，ݔʹ是一元二次方程ʹݔʹ + Ͷݔ−ͳ = Ͳ 的两个根，求ݔͳ
ʹ + ݔʹ
ʹ的值．
解：׶ ݔͳ，ݔʹ是一元二次方程ʹݔʹ + Ͷݔ−ͳ = Ͳ 的两个根，
׵ ݔͳ + ݔʹ =−
Ͷ
ʹ =−ʹ，ݔͳݔʹ =−
ͳ
ʹ．
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׵ ݔͳ
ʹ + ݔʹ
ʹ = ݔͳ + ݔʹ ʹ −ʹݔͳݔʹ = ( −ʹ)ʹ −ʹ × −
ͳ
ʹ = ͷ．
任务：
(1)材料理解：若一元二次方程ݔʹ + ʹݔ−ͳ = Ͳ 的两个实数根为ݔͳ，ݔʹ，则ݔͳ + ݔʹ =__________，
ݔͳݔʹ =__________．
(2)拓展应用：已知关于x 的方程ݔʹ + (ʹ݉
−ͳ)ݔ+݉
ʹ = Ͳ 有两个实数根．
①求m 的取值范围；
②若此方程的两根分别为ߙ，ߚ，且ߙߚ+ ߙ+ ߚ= ͻ，求m 的值．
【答案】(1)−ʹ；−ͳ
(2)①݉
൑
ͳ
Ͷ；②݉
=−ʹ
【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟知ݔͳ，ݔʹ是一元二次方程tݔʹ +ܾݔ+ h = Ͳ t ≠Ͳ
的两根时，ݔͳ + ݔʹ =−ܾt ，ݔͳݔʹ =
h
t是解题的关键．
（1）直接根据一元二次方程根与系数的关系解答即可；
（2）①由一元二次方程根的判别式得出关于m 的不等式，求出m 的取值范围即可；
②根据一元二次方程根与系数的关系求出m 的值，进而可得出结论．
【详解】（1）解：׶一元二次方程ݔʹ + ʹݔ−ͳ = Ͳ 的两个实数根为ݔͳ，ݔʹ，
׵ݔͳ + ݔʹ =−ʹ，ݔͳݔʹ =−ͳ．
故答案为：−ʹ，−ͳ；
（2）解：①׶关于x 的方程ݔʹ + (ʹ݉
−ͳ)ݔ+݉
ʹ = Ͳ 有两个实数根，
׵△= ʹ݉
−ͳ ʹ −Ͷ × ͳ ×݉
ʹ =−Ͷ݉
+ ͳ ≥Ͳ，
解得݉
൑
ͳ
Ͷ；
②׶关于x 的方程ݔʹ + (ʹ݉
−ͳ)ݔ+݉
ʹ = Ͳ 的两根分别为α，β，
׵ߙ+ ߚ= ͳ −ʹ݉
ǡߙߚ=݉
ʹ，
׶tߚ+ ߙ+ ߚ= ͻ，
׵ͳ −ʹ݉
+݉
ʹ = ͻ，即݉
ʹ −ʹ݉
−8 = Ͳ，
解得݉
ͳ =−ʹ，݉
ʹ = Ͷ，
由①知݉
൑
ͳ
Ͷ，
׵݉
=−ʹ．
【技巧归纳】
通用步骤：先算ݔͳ + ݔʹ 和ݔͳݔʹ →变形所求代数式→代入求值
必考变形公式（必须背熟）：
平方和：ݔͳ
ʹ + ݔʹ
ʹ = (ݔͳ + ݔʹ)ʹ −ʹݔͳݔʹ
倒数和：
ͳ
ݔͳ +
ͳ
ݔʹ =
ݔͳ+ݔʹ
ݔͳݔʹ
差的绝对值：|ݔͳ −ݔʹ| =
(ݔͳ + ݔʹ)ʹ −Ͷݔͳݔʹ
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两根差的平方：(ݔͳ −ݔʹ)ʹ = (ݔͳ + ݔʹ)ʹ −Ͷݔͳݔʹ
【变式3-1】
1．阅读材料：
如果ݔͳ，ݔʹ是一元二次方程tݔʹ +ܾݔ+ h = Ͳ 的两根，那么有：ݔͳ + ݔʹ =−ܾt，ݔͳݔʹ =
h
t．这是一元二次方程
根与系数的关系，我们利用它可以用来解题．
例：ݔͳ，ݔʹ是方程ݔʹ + 6ݔ−͵ = Ͳ 的两根，求ݔͳ
ʹ + ݔʹ
ʹ的值．
解׶ ݔͳ，ݔʹ是方程ݔʹ + 6ݔ−͵ = Ͳ 的两根
׵ ݔͳ + ݔʹ =−6，ݔͳݔʹ =−͵
׵ ݔͳ
ʹ + ݔʹ
ʹ = ݔͳ + ݔʹ
ʹ −ʹݔͳݔʹ = ( −6)ʹ −ʹ × ( −͵) = Ͷʹ．
请你根据以上解法解答下题：
（1）已知：关于ݔ的一元二次方程ݔʹ −݉
+ ͵ ݔ+݉
= Ͳ．
①求证：无论݉
取什么实数值，方程总有两个不相等的实数根；
②若ݔͳ，ݔʹ是原方程的两个实数根，且满足ݔͳ ڄ ݔʹ ڄ ݔͳ + ݔʹ −ʹ = ݔͳ ڄ ݔʹ，求݉
的值．
（2）设݉
、݊
是方程ݔʹ + ݔ−ʹͲʹͳ = Ͳ 的两个实数根，求݉
ʹ + ʹ݉
+݊
的值．
【答案】（1）①证明见解析；②݉
=−ͳ +
͵或݉
=−ͳ −
͵；（2）݉
ʹ + ʹ݉
+݊
= ʹͲʹͲ．
【分析】（1）①利用一元二次方程的根的判别式进行证明即可；②由一元二次方程根与系数的关系得到ݔͳ +
ݔʹ =݉
+ ͵，ݔͳ ڄ ݔʹ =݉
，代入ݔͳ ڄ ݔʹ ڄ ݔͳ + ݔʹ −ʹ = ݔͳ ڄ ݔʹ中，得到关于m 的一元二次方程，求解即可；
（2）m、݊是方程ݔʹ + ݔ−ʹͲʹͳ = Ͳ 的两个实数根，可得݉
ʹ +݉
= ʹͲʹͳ，݉
+݊
=−ͳ，代入݉
ʹ + ʹ݉
+݊
即可求解．
【详解】（1）①证明：△= −݉
+ ͵
ʹ −Ͷ × ͳ ×݉
=݉
+ ͳ ʹ + 8．
׶݉
+ ͳ ʹ ≥Ͳ，
׵݉
+ ͳ ʹ + 8݉
Ͳ，即△݉
Ͳ，
׵无论实数݉
取何值，方程总有两个不相等的实数根；
②由根与系数的关系可知：ݔͳ + ݔʹ =݉
+ ͵，ݔͳ ڄ ݔʹ =݉
，
׶ ݔͳ ڄ ݔʹ ڄ ݔͳ + ݔʹ −ʹ = ݔͳ ڄ ݔʹ，
׵݉݉
+ ͵ −ʹ =݉
，
׵݉
ʹ + ʹ݉
−ʹ = Ͳ，
׵݉
=−ͳ +
͵或݉
=−ͳ −
͵．
（2）׶݉
、݊
是方程ݔʹ + ݔ−ʹͲʹͳ = Ͳ 的两个实数根
׵݉
ʹ +݉
= ʹͲʹͳ，݉
+݊
=−ͳ
׵݉
ʹ + ʹ݉
+݊
=݉
ʹ +݉
+݉
+݊
= ʹͲʹͳ + −ͳ = ʹͲʹͲ．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟记x1＋x2＝−ܾt，x1•x2＝
h
t，将根与系数的关系与
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代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
【变式3-2】
2．已知关于x 的一元二次方程ݔʹ +݉
ݔ+݉
−ʹ = Ͳ．
(1)求证：无论m 取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；
(2)设ݔʹ +݉
ݔ+݉
−ʹ = Ͳ 的两个实数根为ݔͳ，ݔʹ，若ݕ= ݔͳ
ʹ + ݔʹ
ʹ + Ͷݔͳݔʹ，求出y 与m 的函数关系式；
(3)在（2）的条件下，若−ʹ ൑݉
൑ʹ 时，求y 的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)ݕ=݉
ʹ + ʹ݉
−Ͷ
(3)−ͷ ൑ݕ൑Ͷ
【分析】（1）只要证明方程的判别式Δ݉
Ͳ 即可；
（2）根据一元二次方程的根与系数的关系解答即可；
（3）根据二次函数的性质解答即可．
【详解】（1）证明：׶方程的判别式Δ =݉
ʹ −Ͷ݉
−ʹ =݉
ʹ −Ͷ݉
+ 8 =݉
−ʹ ʹ + Ͷ݉
Ͳ，
׵无论m 取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：׶ݔʹ +݉
ݔ+݉
−ʹ = Ͳ 的两个实数根为ݔͳ，ݔʹ，
׵ݔͳ + ݔʹ =−݉
，ݔͳݔʹ =݉
−ʹ，
׵ݕ= ݔͳ
ʹ + ݔʹ
ʹ + Ͷݔͳݔʹ
= ݔͳ + ݔʹ ʹ + ʹݔͳݔʹ
=݉
ʹ + ʹ݉
−ʹ
=݉
ʹ + ʹ݉
−Ͷ；
׵y 与m 的函数关系式是ݕ=݉
ʹ + ʹ݉
−Ͷ；
（3）׶ݕ=݉
ʹ + ʹ݉
−Ͷ =݉
+ ͳ ʹ −ͷ，
׵此抛物线的开口向上，对称轴是直线݉
=−ͳ，顶点坐标是−ͳǡ −ͷ ，
׶−ʹ ൑݉
൑ʹ
׵当݉
=−ͳ 时，y 取得最小值−ͷ，当݉
= ʹ 时，y 取得最大值是ݕ= Ͷ，
׵y 的取值范围是−ͷ ൑ݕ൑Ͷ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系以及二次函数的性质等知识，熟练掌握
相关知识是解题的关键．
题型4 根与系数的关系与完全平方公式
【例4】已知Rt △ܣ䳌䁨的两条直角边t，ܾ分别是一元二次方程ݔʹ + ݌ݔ+ ݍ= Ͳ 的两个根，且tʹ +ܾ
ʹ = ʹͷ，
t −ܾ
= ͳ，则݌和ݍ的值分别为（
）
A．−ͳ，ͷ
B．−͹，ͳʹ
C．͵，Ͷ
D．͹，−ͳʹ
【答案】B
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【分析】利用完全平方公式，结合已知条件求出两直角边的和与积，再根据一元二次方程根与系数的关系
即可求出݌和ݍ的值．
【详解】解：׶t，ܾ是直角三角形的直角边，
׵ t݉
Ͳ，ܾ݉
Ͳ．
由t −ܾ
= ͳ，两边平方得：(t −ܾ)ʹ = tʹ −ʹtܾ+ܾ
ʹ = ͳ．
将tʹ +ܾ
ʹ = ʹͷ 代入上式，得ʹͷ −ʹtܾ= ͳ，
解得tܾ
= ͳʹ．
׶ (t +ܾ)ʹ = tʹ + ʹtܾ+ܾ
ʹ = ʹͷ + ʹ × ͳʹ = Ͷͻ，且t +ܾ݉
Ͳ，
׵ t +ܾ
= ͹．
׶ t，ܾ是一元二次方程ݔʹ + ݌ݔ+ ݍ= Ͳ 的两个根，
׵t +ܾ
=−݌，tܾ
= ݍ．
代入得͹ =−݌，ͳʹ = ݍ，
即݌=−͹，ݍ= ͳʹ．
【技巧归纳】
核心公式：(ݔͳ −ݔʹ)ʹ = (ݔͳ + ݔʹ)ʹ −Ͷݔͳݔʹ =ܾ
ʹ−Ͷth
tʹ
=
Δ
tʹ
直接结论：|ݔͳ −ݔʹ| =
Δ
|t|（求两根距离、抛物线截x 轴线段长直接用）
已知ݔͳ −ݔʹ 的值，可直接平方后转化为韦达定理形式求参数
【变式4-1】
1．若实数t，ܾ
满足tʹ −͵t −ͷ = Ͳ，ܾʹ −͵ܾ−ͷ = Ͳ，且t ≠ܾ
，则t −ܾ
的值为（
）
A．േ͵ ͵
B．േʹ ͹
C．േ
ʹͻ
D．
ͳ+ ͳ͵
ʹ
或
ͳ−ͳ͵
ʹ
【答案】C
【分析】由题意可知，t 和ܾ
是一元二次方程ݔʹ −͵ݔ−ͷ = Ͳ 的两个不相等实根，利用根与系数的关系以
及完全平方公式求解．
【详解】解：׶实数t，ܾ满足tʹ −͵t −ͷ = Ͳ，ܾʹ −͵ܾ−ͷ = Ͳ，且t ≠ܾ
，
׵t，ܾ是方程ݔʹ −͵ݔ−ͷ = Ͳ 的两个不相等的实数根，
׵t +ܾ
= ͵ǡtܾ=−ͷ，
׵ t −ܾ
ʹ = t +ܾ
ʹ −Ͷtܾ= ͻ + ʹͲ = ʹͻ，
׵t −ܾ
=േ
ʹͻ．
【变式4-2】
2．解答下列各题：
(1)已知实数t，ܾ
是方程ݔʹ −ݔ= ͳ 的两根，求tʹ +ܾ
ʹ的值；
(2)已知实数t，ܾ
满足tʹ −t = ͳ，ܾʹ −͵ܾ
= ͻ，且ܾ
≠͵t，求tܾ的值；
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(3)若两个不相等的实数݌，ݍ满足݌ʹ +݉
݌−ͳ = ݍ，ݍʹ +݉
ݍ−ͳ = ݌，求݌ݍ−݉
的值．
【答案】(1)͵
(2)−͵
(3)Ͳ
【分析】（1）先根据根与系数的关系求出t +ܾ
和tܾ的值，再利用完全平方公式将tʹ +ܾ
ʹ转化为(t +ܾ
)ʹ −
ʹtܾ，代入计算即可；
（2）先将ܾʹ −͵ܾ
= ͻ 变形，再结合tʹ −t = ͳ，判断t 与ܾ͵是同一个方程的两个根，最后根据根与系数的
关系求出tܾ的值；
（3）联立方程作差，化简得出݌+ ݍ的关系，代入方程后利用根与系数的关系求݌ݍ，进而得݌ݍ−݉
．
【详解】（1）解：׶t，ܾ
是方程ݔʹ −ݔ= ͳ 即ݔʹ −ݔ−ͳ = Ͳ 的两个根，
׵t +ܾ
=−
−ͳ
ͳ = ͳ，tܾ
=
−ͳ
ͳ =−ͳ，
׵tʹ +ܾ
ʹ = (t +ܾ
)ʹ −ʹtܾ= ͳʹ −ʹ × ( −ͳ) = ͵；
（2）解：ܾʹ −͵ܾ
= ͻ 两边同时除以9，可得ܾ͵
ʹ
−ܾ͵ = ͳ，
׶tʹ −t = ͳ，ܾ͵
ʹ
−ܾ͵ = ͳ，且ܾ
≠͵t，即ܾ͵ ≠t，
׵t 与ܾ͵是方程ݔʹ −ݔ= ͳ，即ݔʹ −ݔ−ͳ = Ͳ 的两个不相等的实数根，
对于方程ݔʹ −ݔ−ͳ = Ͳ，
由（1）得两根之积为
−ͳ
ͳ =−ͳ，即t ×ܾ͵ =−ͳ，
׵tܾ
=−͵；
（3）解：݌ʹ +݉
݌−ͳ = ݍ①，ݍʹ +݉
ݍ−ͳ = ݌②
①−②，得݌ʹ −ݍʹ +݉
݌−ݍ= ݍ−݌，
׵ ݌−ݍ
݌+ ݍ+݉
݌−ݍ=−݌−ݍ，
׶݌≠ݍ，
׵方程两边同时除以݌−ݍ得，(݌+ ݍ) +݉
=−ͳ，
׵݌+ ݍ=−ͳ −݉
，
׵݌=−ͳ −݉
−ݍ③，ݍ=−ͳ −݉
−݌④，
将④代入①，得݌ʹ +݉
݌−ͳ =−ͳ −݉
−݌，
׵ ݌ʹ +݉
+ ͳ ݌+݉
= Ͳ，
将③代入②，得ݍʹ +݉
ݍ−ͳ =−ͳ −݉
−ݍ，
׵ ݍʹ +݉
+ ͳ ݍ+݉
= Ͳ，
׵݌，ݍ是一元二次方程ݔʹ +݉
+ ͳ ݔ+݉
= Ͳ 的两个根，
׵݌ݍ=݉
，
׵݌ݍ−݉
= Ͳ．
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一、单选题
1．关于x 的一元二次方程ݔʹ +݇
ݔ−ͳ = Ͳ 的根的情况描述正确的是（
）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．两实数根互为倒数
D．没有实数根
【答案】A
【详解】解：ݔʹ +݇
ݔ−ͳ = Ͳ，
其中，t = ͳ，ܾ
=݇
，h =−ͳ，
׵ Δ =ܾ
ʹ −Ͷth =݇
ʹ −Ͷ × ͳ × ( −ͳ) =݇
ʹ + Ͷ，
׶对任意实数݇
，都有݇
ʹ ≥Ͳ，
׵Δ =݇
ʹ + Ͷ݉
Ͳ，
׵ 方程有两个不相等的实数根，故A 正确，B，D 错误；
׶方程两根的乘积为
h
t =−ͳ，可知两实数根互为负倒数，不是互为倒数，故C 错误．
2．已知t、ܾ
是一元二次方程ݔʹ −ݔ−͵ = Ͳ 的两个根，则ܾt +
tܾ的值为（
）
A．-3
B．1
C．−
͹
͵
D．
ͷ
ʹ
【答案】C
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出两根和与两根积，代入ܾt +
tܾ计算即可得到结果．
【详解】解：׶ t、ܾ是一元二次方程ݔʹ −ݔ−͵ = Ͳ 的两个根，
׵t +ܾ
= ͳ，tܾ
=−͵，
׵ܾt +
tܾ
= tʹ +ܾ
ʹ
tܾ
= (t +ܾ
)ʹ −ʹtܾ
tܾ
= ͳʹ −ʹ × −͵
−͵
= ͹
−͵
=−
͹
͵．
3．一元二次方程ݔʹ −ʹݔ−͵ = Ͳ 的两个实数根为ݔͳ，ݔʹ，则下列结论正确的是（
）
A．ݔͳ + ݔʹ =−͵
B．ݔͳ + ݔʹ = ͵
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C．ݔͳ + ݔʹ =−ʹ
D．ݔͳ + ݔʹ = ʹ
【答案】D
【分析】对于一元二次方程tݔʹ +ܾݔ+ h = Ͳ，当方程有两个实数根时，两根之和ݔͳ + ݔʹ =−ܾt，据此求解
即可．
【详解】解∶׶方程ݔʹ −ʹݔ−͵ = Ͳ 中，t = ͳǡܾ=−ʹ，
׵ݔͳ + ݔʹ =−ܾt =−
−ʹ
ͳ = ʹ．
4．已知关于ݔ的一元二次方程ݔʹ −ʹݔ−ͷ = Ͳ 的两个根为ݔͳ，ݔʹ，则ݔͳݔʹ的值为（
）
A．−ͷ
B．5
C．2
D．−ʹ
【答案】A
【分析】对于一元二次方程tݔʹ +ܾݔ+ h = Ͳ(t ≠Ͳ)，若方程的两个根为ݔͳǡݔʹ，则ݔͳݔʹ =
h
t，据此求解即
可．
【详解】解：׶给定一元二次方程为ݔʹ −ʹݔ−ͷ = Ͳ，可得t = ͳ，h =−ͷ，
׵ݔͳݔʹ =
−ͷ
ͳ =−ͷ．
5．若一元二次方程ݔʹ + ʹݔ−͵ = Ͳ 的两根之和与两根之积分别为݉
，݊，则点݉
ǡ݊
在平面直角坐标系中位
于（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】C
【分析】先求解一元二次方程得到两个根，计算两根之和݉
与两根之积݊
，再根据点的横纵坐标符号判断
所在象限．
【详解】解：对一元二次方程ݔʹ + ʹݔ−͵ = Ͳ，
(ݔ+ ͵)(ݔ−ͳ) = Ͳ，
解得方程两根为：ݔͳ =−͵，ݔʹ = ͳ，
׶两根之和݉
= ݔͳ + ݔʹ =−͵ + ͳ =−ʹ，
两根之积݊
= ݔͳݔʹ = ( −͵) × ͳ =−͵，
׵点(݉
ǡ݊)即为( −ʹǡ −͵)，
׶点的横坐标小于Ͳ，纵坐标小于Ͳ，
׵该点位于第三象限．
6．在物理实验中，一个物体的运动可以用一元二次方程ݔʹ −ͷݔ+ 6 = Ͳ 来描述其位移−时间关系（其中ݔ
代表位移相关量），该方程的两个实数根为ݔͳ，ݔʹ．在后续的数据分析中，需要用到两根的关系，下列结
论正确的是（
）
A．ݔͳ + ݔʹ =−ͷ B．ݔͳ + ݔʹ = 6
C．ݔͳݔʹ = ͷ
D．ݔͳݔʹ = 6
【答案】D
【分析】根据根与系数的关系计算两根之和与两根之积，即可得到正确结论．
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【详解】解：对于一元二次方程tݔʹ +ܾݔ+ h = Ͳ t ≠Ͳ ，若方程有两个实数根ݔͳ，ݔʹ，则ݔͳ + ݔʹ =−ܾt，ݔͳݔʹ =
h
t，
׶给定方程为ݔʹ −ͷݔ+ 6 = Ͳ，
׵t = ͳ，ܾ
=−ͷ，h = 6，
׵ݔͳ + ݔʹ =−
−ͷ
ͳ = ͷ，故A、B 错误，
ݔͳݔʹ =
6
ͳ = 6，故C 错误，D 正确．
7．一元二次方程ݔʹ + ʹݔ+ t = Ͳ 两根异号，则a 的取值范围是（
）
A．t ൏ͳ
B．t݉
ͳ
C．t ൏Ͳ
D．Ͳ ൏t ൏ͳ
【答案】C
【分析】根据一元二次方程两根异号的性质，结合根与系数的关系和判别式列不等式组求解即可．
【详解】解：设方程ݔʹ + ʹݔ+ t = Ͳ 的两根为ݔͳǡݔʹ，
׶两根异号，
׵ݔͳݔʹ = t ൏Ͳ，Δ = ʹʹ −Ͷ × ͳ × t = Ͷ −Ͷt݉
Ͳ，
׵
t ൏Ͳ
Ͷ −Ͷt݉
Ͳ ，解得：t ൏Ͳ．
׵a 的取值范围是t ൏Ͳ．
8．已知ݔͳ、ݔʹ是一元二次方程͵ݔʹ + ʹݔ−6 = Ͳ 的两根，则ݔͳ + ͳ
ݔʹ + ͳ 的值是（
）
A．−
Ͷ
͵
B．
8
͵
C．−
ͷ
͵
D．
Ͷ
͵
【答案】C
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，可得ݔͳ + ݔʹ =−
ʹ
͵，ݔͳݔʹ =−ʹ，将所求代数式展开后整体代
入计算即可．
【详解】解：׶ ݔͳ，ݔʹ是一元二次方程͵ݔʹ + ʹݔ−6 = Ͳ 的两根，t = ͵，ܾ
= ʹ，h =−6，
׵ ݔͳ + ݔʹ =−ܾt =−
ʹ
͵，ݔͳݔʹ =
h
t =
−6
͵ =−ʹ，
׵
ݔͳ + ͳ
ݔʹ + ͳ = ݔͳݔʹ + ݔͳ + ݔʹ + ͳ = ݔͳݔʹ + ݔͳ + ݔʹ + ͳ =−ʹ −
ʹ
͵ + ͳ =−
ͷ
͵．
9．已知方程ݔʹ +ܾݔ+ ͵ = Ͳ 的一根为ͷ +
ʹ，则方程的另一根为（
）
A．ͷ −
ʹ
B．ͷ +
ʹ
C．ʹ −
ͷ
D．3
【答案】A
【分析】一元二次方程根与系数的关系：两根之积等于常数项与二次项系数的比，据此求解即可．
【详解】解：设方程ݔʹ +ܾݔ+ ͵ = Ͳ 的两根为ݔͳǡݔʹ，
由根与系数的关系得：ݔͳ ڄ ݔʹ = ͵，
׶ݔͳ =
ͷ +
ʹ，
׵ݔʹ =
͵
ݔͳ =
͵
ͷ+ ʹ =
ͷ −
ʹ，
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因此方程的另一根为ͷ −
ʹ．
10．嘉嘉在求解关于ݔ的一元二次方程ʹݔʹ +݇
ݔ−ͳ = Ͳ 时，抄错了݇
的正负号，解出ݔ的一个根为−ʹ，
则下列结论说法正确的是结论一：原方程有两个不相等的实数根；结论二：原方程的两根之和为−
͹
Ͷ（
）
A．结论一正确，结论二不正确
B．结论一不正确，结论二正确
C．结论一正确，结论二正确
D．结论一不正确，结论二不正确
【答案】A
【分析】先根据错方程和已知根求出原方程的k 值，再分别验证两个结论即可．
【详解】解：׶原方程为ʹݔʹ +݇
ݔ−ͳ = Ͳ，嘉嘉抄错݇
的正负号，
׵嘉嘉解的错方程为ʹݔʹ −݇
ݔ−ͳ = Ͳ，
将ݔ=−ʹ 代入错方程得：ʹ × ( −ʹ)ʹ −݇
× ( −ʹ) −ͳ = Ͳ，解得݇
=−
͹
ʹ，
验证结论一：原方程的判别式Δ =݇
ʹ −Ͷ × ʹ × −ͳ = −
͹
ʹ
ʹ
+ 8 =
8ͳ
Ͷ݉
Ͳ，
׵原方程有两个不相等的实数根，结论一正确；
验证结论二：根据一元二次方程根与系数的关系，对于tݔʹ +ܾݔ+ h = Ͳ，两根之和为−ܾt，这里t = ʹ，ܾ=݇
=
−
͹
ʹ，
׵ݔͳ + ݔʹ =−ܾt =−
−͹
ʹ
ʹ =
͹
Ͷ，
׶结论二给出两根之和为−
͹
Ͷ，
׵结论二不正确；
综上，结论一正确，结论二不正确．
11．如果关于ݔ的一元二次方程tݔʹ +ܾݔ+ h = Ͳ t ≠Ͳ 有两个实数根，且其中一个根是另一个根的݊
倍，
则称这样的方程为“݊
倍方程”，以下关于݊
倍方程说法
①方程ݔʹ −͵ݔ+ ʹ = Ͳ 是2 倍方程；
②若ݔ−͵݉
ݔ+ ͳ = Ͳ 为3 倍方程，则݉
=−
ͳ
ͻ；
③若p，q 满足݌ݍ= 8，则关于x 的方程݌ݔʹ −6ݔ+ ݍ= Ͳ 为2 倍方程；
④若关于ݔ的方程tݔʹ +ܾݔ+ h = Ͳ 为݊
倍方程，则ܾ݊
ʹ =݊
+ ͳ ʹth．
正确的个数有（
）个
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】由题干中的新定义“݊
倍方程”，结合一元二次方程的解法和根与系数的关系，逐个验证每个说法即
可得到正确结论．
【详解】解：①解方程ݔʹ −͵ݔ+ ʹ = Ͳ，因式分解得ݔ−ͳ
ݔ−ʹ = Ͳ，解得ݔͳ = ͳǡݔʹ = ʹ，
׶ ʹ = ʹ × ͳ，满足2 倍方程定义，׵①正确.
②׶ (ݔ−͵)(݉
ݔ+ ͳ) = Ͳ 的两根为ݔͳ = ͵，ݔʹ =−
ͳ݉，
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׶方程是3 倍方程，分两种情况：当ݔͳ = ͵ݔʹ时，͵ = ͵ × −
ͳ݉，解得݉
=−ͳ，
当ݔʹ = ͵ݔͳ时，−
ͳ݉= ͵ × ͵ ，解得݉
=−
ͳ
ͻ，
׵݉
=−ͳ 或݉
=−
ͳ
ͻ，故②错误.
③若݌ݍ= 8，则方程݌ݔʹ −6ݔ+ ݍ= Ͳ 的判别式Δ = ( −6)ʹ −Ͷ݌ݍ= ͵6 −Ͷ × 8 = Ͷ݉
Ͳ ，方程有两个不
相等的实数根，
解方程得ݔ=
6േͶ
ʹ݌=
6േʹ
ʹ݌，即ݔͳ =
8
ʹ݌=
Ͷ
݌，ݔʹ =
Ͷ
ʹ݌=
ʹ
݌，
׶ ݔͳ = ʹݔʹ，满足2 倍方程定义，׵③正确.
④设tݔʹ +ܾݔ+ h = Ͳ t ≠Ͳ 的两根为ݔͲǡ݊ݔͲ ，
由根与系数的关系得：ݔͲ +݊
ݔͲ =−ܾt，即ݔͲ(݊+ ͳ) =−ܾt，得ݔͲ =−ܾt(݊+ͳ)，
ݔͲ൉݊ݔͲ =
h
t，即݊
ݔͲ
ʹ =
h
t，将ݔͲ =−ܾt(݊+ͳ)代入得݊
൉ܾ
ʹ
tʹ(݊+ͳ)ʹ =
h
t，
两边同乘tʹ(݊+ ͳ)ʹ整理得ܾ݊
ʹ = (݊
+ ͳ)ʹth ，故④正确.
综上，①③④正确，正确的个数为3 个．
12．下列说法正确的是（
）
①最简二次根式tʹ −͵与ʹt是同类二次根式，则t = ͵；
②若m 是ʹ的小数部分，则݉
ʹ +
ͳ݉
ʹ −ʹ = ʹ；
③若Rt △ܣ䳌䁨的斜边长h = ͵，另两边长a，b 恰好是关于x 的方程ݔʹ −݇
+ ʹ ݔ+ ʹ݇
= Ͳ 的两个根，则݇
=േ
ͷ；
④若关于x 的方程ݔʹ +݉
ʹ −͵ ݔ+݉
+ ͳ = Ͳ 的两根互为相反数，则m 的值是േ
͵．
A．①②
B．①②④
C．③④
D．②③④
【答案】A
【分析】本题需逐个判断四个说法的正误，分别利用同类二次根式定义、二次根式化简、勾股定理、一元
二次方程根与系数关系和根的判别式进行判断，最终得到正确选项．
【详解】解：׶最简二次根式tʹ −͵与ʹt是同类二次根式，
׵ tʹ −͵ = ʹt，
整理得：tʹ −ʹt −͵ = Ͳ，
解得t = ͵ 或t =−ͳ，
当t =−ͳ 时，ʹt =−ʹ ൏Ͳ，舍去，
׵ t = ͵，
故①正确；
׶ ͳ ൏
ʹ ൏ʹ，݉
是ʹ的小数部分，
׵݉
=
ʹ −ͳ，
ͳ݉=
ͳ
ʹ−ͳ =
ʹ + ͳ，
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׵݉
ʹ +
ͳ݉
ʹ −ʹ =݉
−
ͳ݉
ʹ
=݉
−
ͳ݉，
׶݉
−
ͳ݉=
ʹ −ͳ −
ʹ + ͳ =−ʹ ൏Ͳ，
׵݉
ʹ +
ͳ݉
ʹ −ʹ = −ʹ = ʹ，
故②正确；
׶ t，ܾ是方程ݔʹ −݇
+ ʹ ݔ+ ʹ݇
= Ͳ 的两根，
由根与系数的关系得：t +ܾ
=−
−݇
+ʹ
ͳ
=݇
+ ʹ，tܾ
= ʹ݇，
׶ Rt △ܣ䳌䁨斜边h = ͵，
׵由勾股定理得：tʹ +ܾ
ʹ = hʹ = ͻ，
׶ tʹ +ܾ
ʹ = (t +ܾ
)ʹ −ʹtܾ，
׵݇
+ ʹ ʹ −Ͷ݇
= ͻ，
整理得：݇ʹ = ͷ，
解得：݇
=േ
ͷ，
׶ t，ܾ是边长，
׵ t +ܾ
=݇
+ ʹ݉
Ͳ，
当݇
=−
ͷ时，݇+ ʹ ൏Ͳ，舍去，
׵݇
=
ͷ，
故③错误；
׶方程两根互为相反数，
׵两根之和为−݉
ʹ −͵ = Ͳ，
解得：݉
=േ
͵，
当݉
=
͵时，常数项݉
+ ͳ =
͵ + ͳ݉
Ͳ，
判别式Δ =݉
ʹ −͵ ʹ −Ͷ݉
+ ͳ =−Ͷ
͵ + ͳ ൏Ͳ，方程无实根，舍去；
当݉
=−
͵时，常数项݉
+ ͳ =−
͵ + ͳ ൏Ͳ，
判别式Δ =݉
ʹ −͵ ʹ −Ͷ݉
+ ͳ =−Ͷ −
͵ + ͳ = Ͷ
͵ −ͳ݉
Ͳ 方程有实根，符合要求，
׵݉
=−
͵，
故④错误；
综上所述，只有①②正确．
二、填空题
1．已知一元二次方程ݔʹ + ݔ−ʹͲʹ6 = Ͳ 的两根分别为m，n，则݉݊
的值为______．
【答案】−ʹͲʹ6
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【详解】解：׶一元二次方程ݔʹ + ݔ−ʹͲʹ6 = Ͳ 的两根分别为݉
，݊，
׵݉݊
=
−ʹͲʹ6
ͳ
=−ʹͲʹ6．
2．一元二次方程ݔʹ −ʹͷ = Ͳ 的根为ݔͳ和ݔʹ，则代数式ݔͳ ڄ ݔʹ的值为______．
【答案】−ʹͷ
【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，确定二次项系数与常数项，再利用根与系数的关系
即可求出两根之积．
【详解】解：将原方程整理为一元二次方程的一般形式得：ݔʹ + Ͳݔ−ʹͷ = Ͳ，
对于一元二次方程tݔʹ +ܾݔ+ h = Ͳ t ≠Ͳ ，根据根与系数的关系可得：ݔͳ ڄ ݔʹ =
h
t，
本题中t = ͳ，h =−ʹͷ，代入得ݔͳ൉ݔʹ =
−ʹͷ
ͳ =−ʹͷ．
3．已知α，β是方程ݔʹ −ʹݔ−ͳ = Ͳ 的两个根，则ߙ+ ߚ=______．
【答案】2
【分析】对于一元二次方程tݔʹ +ܾݔ+ h = Ͳ(t ≠Ͳ)，若方程的两个实数根为ߙ，ߚ，根据根与系数的关系
可得ߙ+ ߚ=−ܾt，据此求解即可．
【详解】解：ݔʹ −ʹݔ−ͳ = Ͳ，其中t = ͳ，ܾ
=−ʹ，
根据根与系数的关系可得ߙ+ ߚ=−
−ʹ
ͳ = ʹ．
4．已知一元二次方程ݔʹ + tݔ+ܾ
= Ͳ 的两个根为ݔͳ，ݔʹ，且ݔͳ + ݔʹ = Ͷ，ݔͳݔʹ = ͵，那么这个一元二次方
程是_____.
【答案】ݔʹ −Ͷݔ+ ͵ = Ͳ
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系进行求解即可．
【详解】解：׶一元二次方程ݔʹ + tݔ+ܾ
= Ͳ 的两个根为ݔͳ，ݔʹ，
׵根据一元二次方程根与系数的关系可得：ݔͳ + ݔʹ =−tǡݔͳݔʹ =ܾ
，
׶ݔͳ + ݔʹ = Ͷ，ݔͳݔʹ = ͵，
׵t =−Ͷǡܾ= ͵，
׵这个一元二次方程是ݔʹ −Ͷݔ+ ͵ = Ͳ．
5．一元二次方程͵ݔʹ + 6ݔ−͹ = Ͳ 的两根为ݔͳ，ݔʹ，则ݔͳ + ݔʹ = _______________，ݔͳݔʹ = _______________．
【答案】
−ʹ
−
͹
͵
【分析】先确定方程的二次项系数、一次项系数和常数项，再根据根与系数的关系计算即可得到结果．
【详解】解：͵ݔʹ + 6ݔ−͹ = Ͳ ，可得t = ͵，ܾ
= 6，h =−͹，
因此ݔͳ + ݔʹ =−ܾt =−
6
͵ =−ʹ ，ݔͳݔʹ =
h
t =−
͹
͵．
6．在方程͵ݔʹ + 6ݔ−t = Ͳ 中，小金解得ݔͳ + ݔʹ −ݔͳݔʹ = ͵，则t =______．
【答案】ͳͷ
【详解】解：由题意，ݔͳ + ݔʹ =−
6
͵ =−ʹǡݔͳݔʹ =−
t
͵，
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׶ݔͳ + ݔʹ −ݔͳݔʹ = ͵，
׵−ʹ +
t
͵ = ͵，
解得t = ͳͷ.
7．若݉
，݊
是方程ݔʹ −ͳͲݔ−ͳ = Ͳ 的两个实数根，则代数式݉
ʹ −ͻ݉
+݊
的值为________．
【答案】11
【分析】先利用一元二次方程根的定义，将݉
ʹ用含݉
的一次式表示，再利用根与系数的关系得到݉
+݊
的
值，最后代入代数式化简求值．
【详解】解：׶݉
是方程ݔʹ −ͳͲݔ−ͳ = Ͳ 的实数根，
׵݉
ʹ −ͳͲ݉
−ͳ = Ͳ，
׵݉
ʹ = ͳͲ݉
+ ͳ，
׶݉
，݊
是方程ݔʹ −ͳͲݔ−ͳ = Ͳ 的两个实数根，
׵݉
+݊
= ͳͲ，
׵݉
ʹ −ͻ݉
+݊
= (ͳͲ݉
+ ͳ) −ͻ݉
+݊
=݉
+݊
+ ͳ = ͳͲ + ͳ = ͳͳ．
8．若ߙ、ߚ是方程ݔʹ + ͵ݔ−ʹ8 = Ͳ 的两个实数根，则ߙʹ + Ͷߙ+ ߚ的值为__________．
【答案】ʹͷ
【分析】本题考查一元二次方程的解的定义与根与系数的关系，利用方程解的定义和根与系数的关系得到
对应关系式，再整体代入所求代数式求解即可．
【详解】解：׶ ߙ，ߚ是方程ݔʹ + ͵ݔ−ʹ8 = Ͳ 的两个实数根，
׵ ߙʹ + ͵ߙ−ʹ8 = Ͳ，ߙ+ ߚ=−ܾt =−
͵
ͳ =−͵，
׵ ߙʹ + ͵ߙ= ʹ8，
׵ ߙʹ + Ͷߙ+ ߚ= ߙʹ + ͵ߙ+ ߙ+ ߚ= ʹ8 −͵ = ʹͷ．
9．设关于ݔ的方程ݔʹ −t −ʹ ݔ−͵t −͹ = Ͳ 的两根分别是ݔͳ、ݔʹ，则代数式͵ ݔͳ + ݔʹ + ݔͳݔʹ的值为
_______．
【答案】−ͳ͵
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，关于ݔ的一元二次方程tݔʹ +ܾݔ+ h = Ͳ(t ≠Ͳ)的两个根
ݔͳ，ݔʹ满足ݔͳ + ݔʹ =−ܾt，ݔͳݔʹ =
h
t，根据该关系得到ݔͳ + ݔʹ和ݔͳݔʹ，代入所求代数式化简计算即可得到结
果．
【详解】解：׶方程ݔʹ −(t −ʹ)ݔ−͵t −͹ = Ͳ 的两根分别是ݔͳ，ݔʹ，
׵由根与系数的关系可得ݔͳ + ݔʹ = t −ʹ，ݔͳݔʹ =−͵t −͹，
将ݔͳ + ݔʹ和ݔͳݔʹ代入所求代数式得͵(ݔͳ + ݔʹ) + ݔͳݔʹ = ͵(t −ʹ) + ( −͵t −͹) = ͵t −6 −͵t −͹ =−ͳ͵．
10．已知一元二次方程ݔʹ −6ݔ+ ͷ = Ͳ 的两根为ݔͳ，ݔʹ，则
ͳ
ݔͳ +
ͳ
ݔʹ的值是_______．
【答案】
6
ͷ
【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再将所求代数式通分变形后，整
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体代入求值即可．
【详解】解：对于一元二次方程ݔʹ −6ݔ+ ͷ = Ͳ，t = ͳ，ܾ
=−6，h = ͷ，
由根与系数的关系得：ݔͳ + ݔʹ =−ܾt = 6，ݔͳݔʹ =
h
t = ͷ，
׵
ͳ
ݔͳ +
ͳ
ݔʹ =
ݔʹ+ݔͳ
ݔͳݔʹ =
6
ͷ．
11．已知一元二次方程ݔʹ + Ͷݔ−͵ = Ͳ 的两根是ݔͳ，ݔʹ，则ݔͳ
ʹ + ݔʹ
ʹ的值为_______．
【答案】
ʹʹ
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，先求出两根之和与两根之积，再将所求代数式变形后代入计
算即可．
【详解】解：׶一元二次方程ݔʹ + Ͷݔ−͵ = Ͳ 的两根为ݔͳ，ݔʹ，其中t = ͳ，ܾ
= Ͷ，h =−͵
׵ݔͳ + ݔʹ =−ܾt =−Ͷ，ݔͳݔʹ =
h
t =−͵
׵ݔͳ
ʹ + ݔʹ
ʹ = (ݔͳ + ݔʹ)ʹ −ʹݔͳݔʹ = ( −Ͷ)ʹ −ʹ × ( −͵) = ͳ6 + 6 = ʹʹ．
12．已知关于x 的一元二次方程ݔʹ +
͵݇−ͳݔ+݇
−ʹ = Ͳ 的两根ݔͳ和ݔʹ满足ݔͳ
ʹ + ݔʹ
ʹ = (ݔͳݔʹ)ʹ −͹，则k
的值为________．
【答案】6
【分析】首先根据二次根式有意义的条件和判别式非负确定݇
的取值范围，再利用完全平方公式变形和根
与系数的关系构造关于݇
的方程，求解后根据取值范围舍去不合题意的解即可．
【详解】解：׶关于ݔ的一元二次方程ݔʹ +
͵݇−ͳݔ+݇
−ʹ = Ͳ 有两个实根ݔͳǡݔʹ，
׵
͵݇−ͳ ≥Ͳ
Δ = ( ͵݇−ͳ)ʹ −Ͷ݇
−ʹ ≥Ͳ ，
解得
ͳ
͵ ൑݇
൑͹，
根据根与系数的关系可得ݔͳ + ݔʹ =−
͵݇−ͳ，ݔͳݔʹ =݇
−ʹ，
由完全平方公式变形得ݔͳ
ʹ + ݔʹ
ʹ = (ݔͳ + ݔʹ)ʹ −ʹݔͳݔʹ = ( −
͵݇−ͳ)ʹ −ʹ݇
−ʹ ，
代入已知等式ݔͳ
ʹ + ݔʹ
ʹ = (ݔͳݔʹ)ʹ −͹ 得( −
͵݇−ͳ)ʹ −ʹ݇
−ʹ = (݇−ʹ)ʹ −͹，
即͵݇−ͳ −ʹ݇+ Ͷ =݇
ʹ −Ͷ݇+ Ͷ −͹，
整理得݇ʹ −ͷ݇−6 = Ͳ，
解得݇ͳ = 6，݇ʹ =−ͳ（不满足
ͳ
͵ ൑݇
൑͹，舍去），
׵݇
= 6．
13．已知ݔͳ，ݔʹ是一元二次方程ݔʹ −͵ݔ+݉
= Ͳ 的两个根，若͵ݔͳ
ʹ −8ݔͳ = 6 −ݔʹ，则݉
的值为______．
【答案】−ͳ
【分析】根据一元二次方程根的定义和根与系数的关系，得到ݔͳ
ʹ −͵ݔͳ +݉
= Ͳ 以及ݔͳ + ݔʹ = ͵，将ݔͳ
ʹ用含
ݔͳ和݉
的式子表示后代入已知等式整理，即可求出݉
的值.
【详解】解：׶ݔͳ，ݔʹ是一元二次方程ݔʹ −͵ݔ+݉
= Ͳ 的两个根，
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׵ݔͳ
ʹ −͵ݔͳ +݉
= Ͳ，ݔͳ + ݔʹ = ͵，
׵ݔͳ
ʹ = ͵ݔͳ −݉
，
׶͵ݔͳ
ʹ −8ݔͳ = 6 −ݔʹ，
׵͵ ͵ݔͳ −݉
−8ݔͳ = 6 −ݔʹ，
展开得ͻݔͳ −͵݉
−8ݔͳ = 6 −ݔʹ，
整理得ݔͳ + ݔʹ = 6 + ͵݉
，
将ݔͳ + ݔʹ = ͵ 代入得͵ = 6 + ͵݉
，解得݉
=−ͳ.
14．已知一元二次方程tݔʹ +ܾݔ−ʹ = Ͳ 的两个实根为ݔͳ，ݔʹ，若
ͳ
ݔͳ +
ͳ
ݔʹ = ʹ，则t 的取值范围为______．
【答案】t ≥−ʹ 且t ≠Ͳ
【分析】本题先根据一元二次方程的定义确定二次项系数不为零，再利用根与系数的关系结合已知条件得
到参数ܾ
和t 的关系，最后根据方程有两个实根，判别式大于等于零求解t 的取值范围．
【详解】解：׶ 方程tݔʹ +ܾݔ−ʹ = Ͳ 是一元二次方程，׵ t ≠Ͳ．
׶ 方程有两个实根ݔͳǡݔʹ，
׵ 判别式Δ =ܾ
ʹ −Ͷ൉t൉( −ʹ) =ܾ
ʹ + 8t ≥Ͳ．
根据根与系数的关系得：ݔͳ + ݔʹ =−ܾt，ݔͳݔʹ =−
ʹ
t．
׶
ͳ
ݔͳ +
ͳ
ݔʹ = ʹ，
׵
ݔͳ+ݔʹ
ݔͳݔʹ = ʹ，
代入得：
−ܾt
−ʹ
t
=ܾʹ = ʹ，
解得ܾ
= Ͷ，
将ܾ
= Ͷ 代入Δ ≥Ͳ 得：Ͷʹ + 8t ≥Ͳ，
即ͳ6 + 8t ≥Ͳ，解得t ≥−ʹ，
综上，t 的取值范围是t ≥−ʹ 且t ≠Ͳ．
15．已知a，b 是方程ݔʹ + ͷݔ+ ͵ = Ͳ 的两个根，则ܾܾ
t + t
tܾ的值________
【答案】−
ͳͻ
͵
͵
【分析】先根据根与系数的关系求出t +ܾ
与tܾ的值，判断tǡܾ的符号，再对所求二次根式进行化简，最
后整体代入计算即可．
【详解】解：׶ t，ܾ是方程ݔʹ + ͷݔ+ ͵ = Ͳ 的两个根，
׵由根与系数的关系得t +ܾ
=−ͷ，tܾ= ͵．
׶ t +ܾ
൏Ͳ，tܾ݉
Ͳ，
׵ t ൏Ͳ，ܾ
൏Ͳ．
׵ܾܾ
t + t
tܾ
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=ܾ
ڄ
tܾ
|t| + t ڄ
tܾ
|ܾ|
=ܾ
ڄ
tܾ
−t + t ڄ
tܾ
−ܾ
=−
tܾܾ
t + tܾ
=−
tܾڄ tʹ +ܾ
ʹ
tܾ
=−t +ܾ
ʹ −ʹtܾ
tܾ
=−−ͷ ʹ −ʹ × ͵
͵
=−ͳͻ
͵
=−
ͳͻ ͵
͵ ．
三、解答题
1．已知方程ݔʹ −͵ݔ+݉
= Ͳ 有两个不相等的实数根，方程的一个根是4，求݉
的值，并求出方程的另一
个根．
【答案】݉
=−Ͷ，方程的另一个根为−ͳ
【分析】设方程的另一个根为ݐ，利用根与系数的关系得Ͷ + ݐ= ͵，Ͷݐ=݉
，然后解一次方程组即可．
【详解】解：设方程的另一个根为ݐ，根据根与系数的关系得
Ͷ + ݐ= ͵，Ͷݐ=݉
，
解得ݐ=−ͳ，݉
=−Ͷ．
即݉
=−Ͷ，方程的另一个根为−ͳ．
2．不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积．
(1)ݔʹ + ͵ݔ+ ͳ = Ͳ；
(2)͵ݔʹ −ʹݔ−ͳ = Ͳ；
(3)ʹݔʹ + 6ݔ+ Ͷ = Ͳ．
【答案】(1)ݔͳ + ݔʹ =−͵，ݔͳ൉ݔʹ = ͳ
(2)ݔͳ + ݔʹ =
ʹ
͵，ݔͳ൉ݔʹ =−
ͳ
͵
(3)ݔͳ + ݔʹ =−͵，ݔͳ൉ݔʹ = ʹ
【详解】（1）解：׶ t = ͳǡܾ= ͵ǡh = ͳ，
׵ ݔͳ + ݔʹ =−ܾt =−
͵
ͳ =−͵，ݔͳ ڄ ݔʹ =
h
t =
ͳ
ͳ = ͳ；
（2）解：׶ t = ͵ǡܾ=−ʹǡh =−ͳ，
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׵ ݔͳ + ݔʹ =−ܾt =−
−ʹ
͵ =
ʹ
͵，ݔͳ ڄ ݔʹ =
h
t =
−ͳ
͵ =−
ͳ
͵；
（3）解：׶ t = ʹǡܾ= 6ǡh = Ͷ，
׵ ݔͳ + ݔʹ =−ܾt =−
6
ʹ =−͵，ݔͳ ڄ ݔʹ =
h
t =
Ͷ
ʹ = ʹ．
3．若关于x 的一元二次方程ݔʹ −ʹݔ+ ʹ݇+ ͳ = Ͳ 有两个不相等的实数根ݔͳ、ݔʹ．
(1)求实数k 应满足的条件．
(2)当k 取最大整数时，求ݔͳ + ݔʹ −ݔͳ ڄ ݔʹ的值．
【答案】(1)݇
൏Ͳ
(2)3
【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可知其判别式大于0，据此列出关于k 的不等式，
求解不等式即可得到k 的取值范围；
（2）先根据（1）中k 的取值范围确定k 的最大整数值，再将其代入原方程，最后利用根与系数的关系求
出ݔͳ + ݔʹ −ݔͳ ڄ ݔʹ的值．
【详解】（1）解：׶关于x 的一元二次方程ݔʹ −ʹݔ+ ʹ݇+ ͳ = Ͳ 有两个不相等的实数根ݔͳ，ݔʹ，
׵ܾʹ −Ͷth = −ʹ ʹ −Ͷ × ͳ × ʹ݇+ ͳ݉
Ͳ，
解得݇
൏Ͳ．
（2）解：݇
൏Ͳ 的最大整数为−ͳ，
׵ ݔʹ −ʹݔ−ͳ = Ͳ，
׵ݔͳ + ݔʹ =−ܾt =−
−ʹ
ͳ = ʹ，ݔͳ ڄ ݔʹ =
h
t =−ͳ，
则ݔͳ + ݔʹ −ݔͳ ڄ ݔʹ = ʹ −−ͳ = ͵．
4．关于x 的一元二次方程ݔʹ −ʹ݇+ ͳ ݔ+݇
ʹ +݇
−ʹ = Ͳ．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根．
(2)已知方程的两个实数根分别为ݔͳ，ݔʹ，且ݔͳ = ʹݔʹ，求k 的值．
【答案】(1)
证明：׶原方程为ݔʹ −(ʹ݇+ ͳ)ݔ+݇
ʹ +݇
−ʹ = Ͳ，
׵Δ = ሾ−(ʹ݇+ ͳ)ሿʹ −Ͷ × ͳ × (݇ʹ +݇
−ʹ)
= Ͷ݇
ʹ + Ͷ݇+ ͳ −Ͷ݇ʹ −Ͷ݇+ 8
= ͻ݉
Ͳ，
׵方程有两个不相等的实数根．
(2)݇
的值为Ͷ 或−ͷ
【分析】（1）计算方程的根的判别式，判断判别式的符号即可证明结论；
（2）根据根与系数的关系得到两根和与两根积，结合ݔͳ = ʹݔʹ的条件，得到关于݇
的一元二次方程，求解
即可得到݇
的值．
【详解】（1）略
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（2）解：׶方程的两个实数根为ݔͳǡݔʹ，
׵ݔͳ + ݔʹ = ʹ݇+ ͳ，ݔͳݔʹ =݇
ʹ +݇
−ʹ，
׶ݔͳ = ʹݔʹ，
׵ʹݔʹ + ݔʹ = ʹ݇+ ͳ，
׵ݔʹ =
ʹ݇+ͳ
͵ ，
׵ݔͳ =
ʹ(ʹ݇+ͳ)
͵
，
代入ݔͳݔʹ =݇
ʹ +݇
−ʹ 得：
ʹ(ʹ݇+ͳ)ʹ
ͻ
=݇
ʹ +݇
−ʹ，
整理得݇ʹ +݇
−ʹͲ = Ͳ，
解得݇
= Ͷ 或݇
=−ͷ．
5．已知关于x 的一元二次方程ݔʹ −݇
+ ͳ ݔ+݇
= Ͳ．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若该方程的两个实数根x₁，x₂满足
ݔͳ + ͳ
ݔʹ + ͳ = 8，求k 的值．
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】（1）判断一元二次方程根的情况，突破口是计算根的判别式Δ，因为一元二次方程tݔʹ +ܾݔ+ h = Ͳ，
当Δ ≥Ͳ 时总有两个实数根，所以先写出该方程对应的tǡܾǡh，再计算Δ并证明其非负．
（2）突破口是利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），因为已知方程的两根ݔͳǡݔʹ，所以先写出ݔͳ + ݔʹ
和ݔͳݔʹ的表达式，再将等式(ݔͳ + ͳ)(ݔʹ + ͳ) = 8 展开，代入ݔͳ + ݔʹ和ݔͳݔʹ的表达式得到关于݇
的方程，解
方程即可．
【详解】（1）证明：在方程ݔʹ −݇
+ ͳ ݔ+݇
= Ͳ 中，t = ͳ,ܾ
=−݇
+ ͳ ,h =݇
,
则Δ = −݇
+ ͳ
ʹ −Ͷ × ͳ ×݇
=݇
+ ͳ ʹ −Ͷ݇
=݇
ʹ + ʹ݇+ ͳ −Ͷ݇
=݇
ʹ −ʹ݇+ ͳ
=݇
−ͳ ʹ．
׶݇
−ͳ ʹ ≥Ͳǡ
׵ Δ ≥Ͳ．
׵不论݇
为何值，方程总有两个实数根．
（2）解：在方程ݔʹ −݇
+ ͳ ݔ+݇
= Ͳ 中，t = ͳ,ܾ=−݇
+ ͳ ,h =݇
,
׵ ݔͳ + ݔʹ =−
−݇
+ͳ
ͳ
=݇
+ ͳǡݔͳݔʹ =݇ͳ =݇
．
׶
ݔͳ + ͳ
ݔʹ + ͳ = ݔͳݔʹ + ݔͳ + ݔʹ + ͳǡ
׵݇+ (݇+ ͳ) + ͳ = 8,
解得݇
= ͵．
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׵݇
的值为3．
6．规定t
hܾ݀= t݀
−ܾ
h，回答以下问题：
(1)计算
͵
Ͷ
6
͵
=________．
(2)已知ݔͳ，ݔʹ是一元二次方程ݔʹ + 6ݔ+݇
= Ͳ 的两个根，且ݔͳ
͵
ͳ
ݔʹ
=
͵，求
ͳ
ݔͳ +
ͳ
ݔʹ的值．
【答案】(1)−ʹͳ
(2)−
͵
【分析】（1）利用新定义t
hܾ݀= t݀
−ܾ
h 列式计算即可；
（2）由新定义可得ݔͳݔʹ = ʹ ͵，结合根与系数的关系可得ݔͳ + ݔʹ =−ܾt =−6，ݔͳݔʹ =
h
t =݇
= ʹ ͵，进一
步求解即可.
【详解】（1）解：
͵
Ͷ
6
͵
=
͵
ʹ −Ͷ × 6 = ͵ −ʹͶ =−ʹͳ.
（2）解：׶ ݔͳ
͵
ͳ
ݔʹ
=
͵，
׵ ݔͳݔʹ −
͵ =
͵，
׵ ݔͳݔʹ = ʹ ͵，
׶ ݔʹ + 6ݔ+݇
= Ͳ，
׵ ݔͳ + ݔʹ =−ܾt =−6，ݔͳݔʹ =
h
t =݇
= ʹ ͵，
׶
ͳ
ݔͳ +
ͳ
ݔʹ =
ݔͳ+ݔʹ
ݔͳݔʹ ，
׵
ͳ
ݔͳ +
ͳ
ݔʹ =
−6
ʹ ͵ =−
͵.
7．定义：若关于ݔ的一元二次方程有两个实数根ݔͳǡݔʹ，且满足ݔͳ + ݔʹ = ݔͳ ڄ ݔʹ ，则称此类方程为“和积
方程”．
例如：ݔʹ −
ͻ
ʹ ݔ+
ͻ
ʹ = Ͳ，即ݔ−͵
ݔ−
͵
ʹ = Ͳ，解得ݔͳ = ͵ǡݔʹ =
͵
ʹ，
׶ ͵ +
͵
ʹ = ͵ ×
͵
ʹ ，׵ ݔʹ −
ͻ
ʹ ݔ+
ͻ
ʹ = Ͳ 是“和积方程”．
(1)方程ݔʹ −ͷݔ+ 6 = Ͳ______（填是或不是）“和积方程”；
(2)关于ݔ的方程ݔʹ −݊
+ ͵ ݔ+ ͵݊
= Ͳ 是“和积方程”，则݊
=______；
(3)若关于ݔ的一元二次方程ݔʹ + ʹ݉
+ ͳ ݔ+݉
ʹ + ʹ݉
= Ͳ 是“和积方程”，求݉
的值．
【答案】(1)不是
(2)
͵
ʹ或−
͵
Ͷ
(3)݉
=−ͳ 或݉
=−ʹ +
͵或݉
=−ʹ −
͵
【分析】（1）求出方程两根，计算ݔͳ + ݔʹ 与ݔͳ ڄ ݔʹ ，根据“和积方程”定义判断；
（2）先因式分解求出方程两根，再根据ݔͳ + ݔʹ = ݔͳ ڄ ݔʹ 列等式求解；
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（3）先用根的判别式确定݉
取值范围，再由韦达定理表示ݔͳ + ݔʹ、ݔͳ ڄ ݔʹ，根据ݔͳ + ݔʹ = ݔͳ ڄ ݔʹ 求解．
【详解】（1）解：ݔʹ −ͷݔ+ 6 = Ͳ，因式分解得ݔ−ʹ
ݔ−͵ = Ͳ，
解得ݔͳ = ʹ，ݔʹ = ͵，
׶ ʹ + ͵ = ͷ，ʹ × ͵ = 6，ͷ ≠6，
׵方程ݔʹ −ͷݔ+ 6 = Ͳ 不是“和积方程”．
（2）解：对于方程ݔʹ −݊
+ ͵ ݔ+ ͵݊
= Ͳ，其判别式Δ = −݊
+ ͵
ʹ −Ͷ × ͳ × ͵݊
=݊
−͵ ʹ ≥Ͳ 恒成立，
故方程总有两个实数根，
ݔʹ −݊
+ ͵ ݔ+ ͵݊
= Ͳ，因式分解得ݔ−͵
ݔ−݊
= Ͳ，
解得ݔͳ = ͵，ݔʹ =݊
，
由“和积方程”定义得：͵ +݊
= ͵݊
，
׵ ͵ +݊
= ͵݊
或͵ +݊
=−͵݊，
解得݊
=
͵
ʹ或݊
=−
͵
Ͷ．
（3）解：׶方程有两个实数根，
׵ Δ = ʹ݉
+ ͳ ʹ −Ͷ݉
ʹ + ʹ݉
≥Ͳ，
展开得Ͷ݉
ʹ + Ͷ݉
+ ͳ −Ͷ݉
ʹ −8݉
≥Ͳ，即−Ͷ݉
+ ͳ ≥Ͳ，
解得݉
൑
ͳ
Ͷ，
由韦达定理得：ݔͳ + ݔʹ =−ʹ݉
+ ͳ ，ݔͳ ڄ ݔʹ =݉
ʹ + ʹ݉
，
又方程是“和积方程”，
则פݔͳ + ݔʹפ = פݔͳ ڄ ݔʹפ，
即פ −ʹ݉
+ ͳ פ = פ݉
ʹ + ʹ݉
פ，
׵ פʹ݉
+ ͳפ = פ݉
ʹ + ʹ݉
פ，
分两种情况：
ʹ݉
+ ͳ =݉
ʹ + ʹ݉
，
化简得݉
ʹ = ͳ，解得݉
= ͳ 或݉
=−ͳ，
׶݉
൑
ͳ
Ͷ，׵݉
= ͳ 舍去，݉
=−ͳ 符合；
ʹ݉
+ ͳ =−݉
ʹ + ʹ݉
，
整理得݉
ʹ + Ͷ݉
+ ͳ = Ͳ，
由求根公式得݉
=
−Ͷേͳ6−Ͷ
ʹ
=−ʹ േ
͵，
׶−ʹ +
͵ ൑
ͳ
Ͷ ǡ᩹−ʹ −
͵ ൑
ͳ
Ͷ，均符合条件，
综上，݉
的值为−ͳ 或−ʹ +
͵或−ʹ −
͵．
8．学习完一元二次方程的知识后，数学兴趣小组对关于x 的一元二次方程ݔʹ + ݔ−݉
= Ͳ 开展探究．
(1)当݉
= ͳ 时，该方程的正根称为“黄金分割数”，求“黄金分割数”；
(2)若实数a，b 满足tʹ + t −݉
= Ͳ，ܾʹ + ͵ܾ−ͻ݉
= Ͳ，且͵t ≠ܾ
，求͵t +ܾ
的值；
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(3)若两个不相等的实数p，q 满足݌ʹ + ݌−݉
=݉
ݍ，ݍʹ + ݍ−݉
=݉
݌，求证：݌ݍ=݉
ʹ．
【答案】(1)
−ͳ +
ͷ
ʹ
(2)
͵t +ܾ
=−͵
(3)
证明：
׶݌ʹ + ݌−݉
=݉
ݍ①，ݍʹ + ݍ−݉
=݉
݌②，
①−②得：݌ʹ −ݍʹ + ݌−ݍ=݉
(ݍ−݌)，
整理得：(݌−ݍ)(݌+ ݍ) + (݌−ݍ) =−݉
(݌−ݍ)，
׶݌≠ݍ，
׵݌−ݍ≠Ͳ，
等式两边同时除以݌−ݍ得：݌+ ݍ+ ͳ =−݉
，即݌+ ݍ=−݉
−ͳ，
׵ݍ=−݉
−ͳ −݌
将ݍ=−݉
−ͳ −݌代入①得：݌ʹ + ݌−݉
=݉
( −݉
−ͳ −݌)，
整理得：݌ʹ + ݌−݉
=−݉
ʹ −݉
−݉
݌，
移项整理得：݌ʹ + (ͳ +݉
)݌+݉
ʹ = Ͳ，
同理，将݌=−݉
−ͳ −ݍ代入②，整理得ݍʹ + (ͳ +݉
)ݍ+݉
ʹ = Ͳ，
׶݌≠ݍ，
׵݌，ݍ是一元二次方程ݔʹ + (ͳ +݉
)ݔ+݉
ʹ = Ͳ 的两个不相等的实数根，
׵݌ݍ=݉
ʹ.
【分析】（1）代入݉
= ͳ，利用求根公式求出方程的正根即可；
（2）将已知等式变形，得到t 和ܾ͵是原一元二次方程的两个不相等根，利用根与系数的关系求出͵t +ܾ
的
值；
（3）对两个已知等式作差，结合݌≠ݍ得到݌+ ݍ的关系式，再推导出݌，ݍ是新一元二次方程的两个根，
利用根与系数关系证明结论.
【详解】（1）解：将݉
= ͳ 代入ݔʹ + ݔ−݉
= Ͳ，得ݔʹ + ݔ−ͳ = Ͳ，
׵Δ = ͳʹ −Ͷ × ͳ × ( −ͳ) = ͷ݉
Ͳ，
׵ݔ=
−ͳേͷ
ʹ
，
׵ݔͳ =
−ͳ+ ͷ
ʹ݉
Ͳǡݔʹ =
−ͳ−ͷ
ʹ
൏Ͳ，
׵“黄金分割数”为
−ͳ+ ͷ
ʹ
；
（2）解：׶tʹ + t −݉
= Ͳ，ܾʹ + ͵ܾ−ͻ݉
= Ͳ，
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将ܾʹ + ͵ܾ−ͻ݉
= Ͳ 两边同时除以ͻ，得(ܾ͵ )ʹ +ܾ͵ −݉
= Ͳ，
׶͵t ≠ܾ
，
׵t ≠ܾ͵，
׵t，ܾ͵是一元二次方程ݔʹ + ݔ−݉
= Ͳ 的两个不相等的实数根，
׵t +ܾ͵ =−ͳ，
׵͵t +ܾ
=−͵；
（3）略
9．定义：若关于ݔ的一元二次方程tݔʹ +ܾݔ+ h = Ͳ t ≠Ͳ 中的常数项h 是该方程的一个根，则称该一元
二次方程为理想方程．
(1)已知关于ݔ的方程ݔʹ + ʹݔ+ h = Ͳ 是理想方程，求h 的值；
(2)当ܾ
，h 满足什么条件时，方程ݔʹ +ܾݔ+ h = Ͳ 是理想方程；
(3)关于ݔ的理想方程tݔʹ +ܾݔ+ h = Ͳ 的两个实根为ݔͳ，ݔʹ，若h = ʹt，求ݔͳ + ݔʹ的取值范围．
【答案】(1)h = Ͳ 或h =−͵
(2)当h = Ͳ 或ܾ
+ h + ͳ = Ͳ 时，方程ݔʹ +ܾݔ+ h = Ͳ 是理想方程
(3)ݔͳ + ݔʹ的取值范围是ݔͳ + ݔʹ ൑−ʹ ʹ或ݔͳ + ݔʹ ≥ʹ ʹ
【分析】（1）根据理想方程的定义求解即可；
（2）根据理想方程的定义求解即可；
（3）根据理想方程的定义结合根与系数的关系求得ݔͳ + ݔʹ = h +
ͳ
t = ʹt +
ͳ
t，再分两种情况讨论，即可求
解．
【详解】（1）解：׶ݔʹ + ʹݔ+ h = Ͳ 是理想方程，
׵h 是方程ݔʹ + ʹݔ+ h = Ͳ 的解，
׵hʹ + ͵h = Ͳ，
解得h = Ͳ 或h =−͵；
（2）解：׶方程ݔʹ +ܾݔ+ h = Ͳ 是理想方程，
׵hʹ +ܾh + h = h h +ܾ
+ ͳ = Ͳ，
׵h = Ͳ 或ܾ
+ h + ͳ = Ͳ，
即当h = Ͳ 或ܾ
+ h + ͳ = Ͳ 时，方程ݔʹ +ܾݔ+ h = Ͳ 是理想方程；
（3）解：׶方程有两个实数根，
׵Δ =ܾ
ʹ −Ͷth ≥Ͳ，
由理想方程的定义知h 是方程tݔʹ +ܾݔ+ h = Ͳ 的解，
׵thʹ +ܾh + h = h th +ܾ
+ ͳ = Ͳ，
׶h = ʹt，且t ≠Ͳ，
׵th +ܾ
+ ͳ = Ͳ，
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׵ܾ
=−th −ͳ =−ʹtʹ −ͳ，
׵ −ʹtʹ −ͳ ʹ −Ͷt ڄ ʹt ≥Ͳ，
ʹtʹ −ͳ ʹ ≥Ͳ，
这个不等式对于所有非0 实数a 都成立，
由根与系数关系得ݔͳ + ݔʹ =−ܾt（其中t ≠Ͳ），
又由理想方程定义知有一根为h，
不妨设ݔͳ = h，则ݔʹ =
ͳ
t，
׵ݔͳ + ݔʹ = h +
ͳ
t = ʹt +
ͳ
t，
①当t݉
Ͳ 时，ݔͳ + ݔʹ = ʹt +
ͳ
t =
ʹt −
ͳ
t
ʹ
+ ʹ ʹ ≥ʹ ʹ；
②当t ൏Ͳ 时，ݔͳ + ݔʹ = ʹt +
ͳ
t =−
−ʹt −
−
ͳ
t
ʹ
−ʹ ʹ ൑−ʹ ʹ；
综上所述，ݔͳ + ݔʹ的取值范围是ݔͳ + ݔʹ ൑−ʹ ʹ或ݔͳ + ݔʹ ≥ʹ ʹ．
10．新定义：关于x 的一元二次方程䁨ͳǣhݔʹ +݉
ݔ+݊
= Ͳ 与䁨ʹǣhݔʹ −݉
ݔ+݊
= Ͳ 互为“师梅方程”．
(1)根据上述定义，判断以下三组方程是否互为“师梅方程”（在题后相应的括号中，是打“√”，不是打“×”）；
①ݔʹ + ʹݔ= Ͳ 与ݔʹ −ʹݔ= Ͳ（
）
②ʹݔʹ + Ͷ = Ͳ 与ʹݔʹ −Ͷ = Ͳ（
）
③ݔʹ + ͵ݔ−ʹ = Ͳ 与ݔʹ −͵ݔ−ʹ = Ͳ（
）
(2)若关于x 的一元二次方程䁨ͳǣ(t + ͳ)ݔʹ + (t + ͳ)ݔ+
ʹ−͵
Ͷ
= Ͳ 的两实数根ݔͳ = ݔʹ = ݌．
①求a 的值；
②记方程䁨ͳ的“师梅方程”为方程䁨ʹ，q 是方程䁨ʹ的一个实数根，求݌+ ݍ的值．
(3)若关于x 的一元二次方程(ݔ−ͳ)ʹ + (݇+ ʹ)(ݔ−ͳ) + ʹ݇
= Ͳ 与它的“师梅方程”有且只有一个公共实数根，
求k 的值．
【答案】(1)①√；②×；③√
(2)①t =
ʹ −
͵ −ͳ；②0
(3)݇
= ͳ
【分析】（1）由“师梅方程”的定义，逐一判断即可；
（2）①根据题意可知该一元二次方程有两个相等实数根，结合根的判别式可知Δ = (t + ͳ)ʹ −Ͷ(t + ͳ) ڄ
ʹ−͵
Ͷ
= Ͳ，从而求出a 的值，注意一元二次方程二次项系数t + ͳ ≠Ͳ，要舍去t =−ͳ 的情况；②将方程䁨ͳ
的“师梅方程”，即方程
䁨ʹǣ(t + ͳ)ݔʹ −(t + ͳ)ݔ+
ʹ−͵
Ͷ
= Ͳ 变形为：(t + ͳ) −ݔʹ + (t + ͳ) −ݔ+
ʹ−͵
Ͷ
= Ͳ，由此可知当方程䁨ͳ
的Δ = Ͳ 时，方程䁨ʹ的Δ = Ͳ，且方程䁨ͳ与䁨ʹ的根互为相反数，从而求得݌+ ݍ= Ͳ；
（3）先将方程(ݔ−ͳ)ʹ + (݇+ ʹ)(ݔ−ͳ) + ʹ݇
= Ͳ 化简为ݔʹ +݇
ݔ+݇
−ͳ = Ͳ，写出其“师梅方程”为：ݔʹ −
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ݔ+݇
−ͳ = Ͳ，设两个方程的公共根为ݔͲ，将公共根代入两个方程并相减，可得ʹ݇ݔͲ = Ͳ，随后分析݇
= Ͳ
和ݔͲ = Ͳ 两种情况，最后求出k 的值．
【详解】（1）解：①两组方程二次项系数均为1，一次项系数为2 和−ʹ，常数项均为0，符合定义，标记
为√；
②两组方程常数项分别为4 和−Ͷ，不相等，不符合定义，标记为×；
③两组方程二次项系数均为1，一次项系数为3 和−͵，常数项均为−ʹ，符合定义，标记为√．
（2）解：①׶关于x 的一元二次方程䁨ͳǣ(t + ͳ)ݔʹ + (t + ͳ)ݔ+
ʹ−͵
Ͷ
= Ͳ 有两个相等实数根，
׵Δ = (t + ͳ)ʹ −Ͷ(t + ͳ) ڄ
ʹ−͵
Ͷ
= (t + ͳ)ʹ −(t + ͳ)( ʹ −
͵) = (t + ͳ)(t + ͳ −
ʹ +
͵) = Ͳ，
解得t =−ͳ 或t =
ʹ −
͵ −ͳ，
׶一元二次方程二次项系数t + ͳ ≠Ͳ，
׵t ≠−ͳ，
׵t =
ʹ −
͵ −ͳ；
②׶䁨ͳǣ(t + ͳ)ݔʹ + (t + ͳ)ݔ+
ʹ−͵
Ͷ
= Ͳ，方程䁨ͳ的“师梅方程”为方程䁨ʹ，
׵䁨ʹǣ(t + ͳ)ݔʹ −(t + ͳ)ݔ+
ʹ−͵
Ͷ
= Ͳ，即(t + ͳ) −ݔʹ + (t + ͳ) −ݔ+
ʹ−͵
Ͷ
= Ͳ，
׵当方程䁨ͳ的Δ = (t + ͳ)ʹ −Ͷ(t + ͳ) ڄ
ʹ−͵
Ͷ
= Ͳ 时，
师梅方程䁨ʹ的Δ = −t + ͳ
ʹ −Ͷ t + ͳ ڄ
ʹ−͵
Ͷ
= t + ͳ ʹ −Ͷ t + ͳ ڄ
ʹ−͵
Ͷ
= Ͳ，
且方程䁨ͳ与䁨ʹ的根互为相反数，
׵݌+ ݍ= Ͳ．
（3）解：׶(ݔ−ͳ)ʹ + (݇+ ʹ)(ݔ−ͳ) + ʹ݇
= Ͳ，
׵该方程化为：ݔʹ +݇
ݔ+݇
−ͳ = Ͳ，
该方程的“师梅方程”为：ݔʹ −݇
ݔ+݇
−ͳ = Ͳ，
设两个方程的公共根为ݔͲ，
则有ݔͲʹ +݇ݔͲ +݇
−ͳ = Ͳ 及ݔͲʹ −݇ݔͲ +݇
−ͳ = Ͳ，
两式相减得：ʹ݇ݔͲ = Ͳ，
׵݇
= Ͳ 或ݔͲ = Ͳ．
若݇
= Ͳ，
则两个方程均为ݔʹ −ͳ = Ͳ，
此时两个方程有两个公共根，不符题意，
故݇
≠Ͳ；
若ݔͲ = Ͳ，将其代入方程ݔʹ +݇
ݔ+݇
−ͳ = Ͳ 中，
解得：݇
= ͳ，
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经验证，符合题意，
׵݇
= ͳ．