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第10 讲 直线和圆的方程中的最值（范围）及新定义问题
目 录
题型01 距离型最值范围问题
题型02 三点共线类最值与将军饮马模型
题型03 点与圆的位置关系最值
题型04 直线与圆的位置关系最值
题型05 圆与圆的位置关系最值
题型06 代数式的几何意义类最值
题型07 直线与圆中的新定义问题
强化训练（共10 题）
知识小测（共5 题）
题型精讲
题型1 距离型最值范围问题
题型点拨
点到直线的距离公式：点
到直线
的距离
．
【典例1】（25-26·福建厦门）已知实数
，则
的取值范围是 ．
【典例2】（25-26·北京）若点
在直线
上运动，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．13
D．
【变式1】（25-26·江苏无锡）著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般
好，隔离分家万事休．”事实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决．已知
，
则
的最小值为 ．
【典例3】（25-26·江苏宿迁）已知实数
满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（25-26·江苏扬州）已知
，
，
，
均为实数，则
的最小值为（ ）
A．1
B．
C．
D．2
题型2 三点共线类最值与将军饮马模型
题型点拨
1、点A、B在直线l同侧，点P在直线l上，则(AP+ BP)min= AB'(当点A、P、B'共线时取到)，点B'是
点B关于直线l的对称点.
2、点A ,B在直线l同侧，点P在直线l上，则| A P−B P|≤A B。当直线A B与l相交，且交点P位于线
段A B的延长线上时，等号成立；若A B∥l，则A B只是上确界。
3、点A ,B在直线l异侧，点P在直线l上，则| A P−B P|=| A P−B
′ P|≤A B
′。当A , P ,B
′共线且相
应交点存在时等号成立；若A B
′∥l，则最大值不能取到。点B
′是点B关于直线l的对称点。
【典例1】（25-26·安徽六安）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马
傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处
出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置
为
，若将军从山脚下的点
处出发，河岸线所在直线方程为
，则“将军饮马”的最
短总路程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】如图，已知圆
和点
，由圆
外一点
向圆
引切线
，切点为
，且有
．
(1)求点
的轨迹方程；
(2)求
的最大值．
题型3 点与圆的位置关系最值
题型点拨
1、若点M在圆内，则M Nmin= M N1=r−OM，M Nmax= M N2=r+OM；
2、若点M在圆外，则M Nmin= M N1=OM−r，M Nmax= M N2=r+OM；
3、圆上一点到圆外一条定直线的距离最值
若直线l与圆⊙O相离，圆上一点P到直线l的距离为PE，d为圆心O到直线l的距离，r
为圆半径，则PEmin=P1F =d−r，PEmax=P2F =d+r.
【典例1】（25-26·四川广安）已知点
，点Q 为圆
上的动点，则
的最小
值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（25-26·上海）已知实数
满足关系：
，则
的最小值
.
题型4 直线与圆的位置关系最值
题型点拨
1、圆上的点到直线的最大、最小距离
设圆心到直线的距离为 d，圆的半径为 r.
（1）当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大、最小的距离分别为 d+r 和 d-r；
（2）当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大、最小的距离分别为 d+r=2r 和 d-r=0，此时 d=r；
（3）当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大、最小的距离分别为 d+r 和 0．
2、设点M 是圆C 内一点，过点M 作圆C 的弦，则弦长的最大值为直径，最短的弦为与过该点的直径垂
直的弦，弦长为
【典例1】（25-26·云南曲靖）点
在圆
上运动，直线
与圆
交于
、两点，
则
面积的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（25-26·上海）已知
为圆
上一动点，则
的最大值为
．
题型5 圆与圆的位置关系最值
【典例1】（25-26·山东烟台）已知点
是直线
与直线
的交点，则点
的轨迹方程为 ；若点
是圆
上的动点，则
的最大值为
【变式1】已知A 为圆C：
上的动点，B 为圆E：
上的动点，P 为直线
上的动点，则
的最大值为 .
题型6 代数式的几何意义类最值
题型点拨
1、形如 z=(y-b)/(x-a)，可以转化为过点 (x,y) 和点 (a,b) 的动直线斜率；
2、形如z=( x−a)2+( y−b)2，可以转化为点(x , y)和点(a,b)的距离的平方；
3、对于a x +b y = z，当b≠0时，z
b可看作直线的纵截距；一般情况下，也可将z转化为平行直线族
a x +b y = z到原点的有向距离进行研究
【典例1】（多选）已知实数
，
满足方程
，则下列说法不正确的是（ ）
A．
的最大值为
B．
的最大值为
C．
的最大值为
D．
的最大值为
【变式1】（25-26·上海）已知实数
满足
，则
的取值范围是 ．
题型7 直线与圆中的新定义问题
【典例1】对于平面直角坐标系中任意两点
，
，我们将
定义为PQ 两点
的“耿直距离”.已知
，
，
，
，设
是平面直角坐标系中的一个动点，若使
得点M 到A，B，C，D 的“耿直距离”之和取得最小值，则点M 应位于下列哪个图中的阴影区域之内（
）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（25-26·江西）定义：M 是圆C 上一动点，N 是圆C 外一点，记
的最大值为m，
的最
小值为n，若
，则称N 为圆C 的“黄金点”；若G 同时是圆E 和圆F 的“黄金点”，则称G 为圆“
”的“钻石点”.已知圆A：
，P 为圆A 的“黄金点”
(1)求点P 所在曲线的方程.
(2)已知圆B：
，P，Q 均为圆“
”的“钻石点”.
（ⅰ）求直线
的方程.
（ⅱ）若圆H 是以线段
为直径的圆，直线l：
与圆H 交于I，J 两点，对于任意的实数k，在y
轴上是否存在一点W，使得y 轴平分
？若存在，求出点W 的坐标；若不存在，请说明理由.
强化训练（共10 题）
1．（25-26·湖南衡阳）已知圆
，过直线
上的动点
作圆C 的一条切线，切
点为A，则
的最小值为（ ）
A．2
B．4
C．
D．3
2．（25-26·贵州毕节）若直线
与曲线
恰有两个公共点，则实数
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．设
，圆M：
．若动直线：
与圆M 交于点A，C，动直线
：
与圆M 交于点B，D，则
的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知圆
，设其与
轴､
轴正半轴分别交于
，
两点.已知另一圆
的半径为
，且与圆
相外切，则
的最大值为（ ）
A．20
B．
C．10
D．
5．（25-26·山西太原）（多选）已知点
是圆
上的动点，则下列说法正确的是
（ ）
A．
的最小值为
B．
的最小值为
C．
的最大值为
D．
的最大值为
6．（25-26·广西）在平面直角坐标系中，已知
，点
是直线
上一动点，则
的最大值为 .
7．（25-26·内蒙古赤峰）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交
河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，
先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为
，若将军从山脚下的点
处出发，河岸线所在直线方程为
，则“将军饮马”的最短总
路程为 .
8．在平面直角坐标系中，点
，
，定义
为点
、
之间的
极距，已知点P 是直线
上的动点，已知点Q 是圆
上的动点，则
、
两点之
间的距离最小时，其极距为 .
9．（25-26·安徽蚌埠）已知直线
与直线
平行，点
，
.
(1)求
；
(2)若点
关于直线
对称后的点为
，求
点坐标；
(3)已知
，
分别在直线，
上，且
，求
的最小值.
10．（25-26·四川南充）常用测量距离的方式有3 种，设
，
，定义欧几里得距离
；定义曼哈顿距离
；定义余弦距离
，其中
（
为坐标原点）.
(1)若
，
，求
，
之间的余弦距离
；
(2)若
，
，求
的取值范围；
(3)动点
在直线
上，动点
在圆
上，求
的最小值.
知识小测（共5 题）
1．（25-26·四川雅安）已知
为圆
上的一动点，
为坐标原点，则
的最大
值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
2．（25-26·广东深圳）
，
分别为直线
与
上任意一点，则
最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知P 是
：
上的动点，则P 到直线l：
距离的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．1
4．（多选）定义点
到直线
的有向距离为
.已知点
到直线的有向距离分别是
，以下命题不正确的是（ ）
A．若
，则直线
与直线平行
B．若
，则直线
与直线垂直
C．若
，则直线
与直线垂直
D．若
，则直线
与直线相交
5．（25-26·吉林延边）已知
是圆
上的一个动点，则
的取值范围为
．
