文档文本内容
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第19 讲 认识方程
内容导航
01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 判断各式是否是方程
题型2 列方程
题型3 判断是否是一元一次方程
题型4 根据一元一次方程求参数的值
题型5 判断是否是一元一次方程的解
题型6 已知一元一次方程的解求参数的值
题型7 已知一元一次方程的解求代数式的值
题型8 等式的基本性质
04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
方程、等式、性质1、
性质2、变形、化归、
等量关系。
1. 理解方程的概念（含有未知数的等式），能区分方程与等式、代数式的区
别。
2. 掌握等式的两个基本性质：性质1（两边同加减同一数或整式，仍相等）；
性质2（两边同乘或除以同一不为0 的数，仍相等）。
3. 能运用等式的性质对等式进行变形，解释变形依据，初步体会化归思想。
4. 能根据实际问题中的等量关系列出方程，感受方程作为刻画数量关系的工
具价值。
学习重点：方程的概念，等式的两条基本性质，以及运用性质进行等式变形。
学习难点：理解等式性质2 中“除以同一个不为0 的数”的必要性，以及运用性质变形时符号和运算
的正确处理（如除以一个数时注意符号变化）。
.
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知识点01 方程的有关概念
定义：含有未知数的等式叫做方程.
【说明】判断一个式子是不是方程，只需看两点：一是等式；二是含有未知数．
【易错提醒】
方程概念易错警示：含有未知数的等式。注意：必须同时满足“等式”和“含未知数”两个条件。如2x+3（不
含等号）不是方程，3+5=8（不含未知数）也不是方程。方程的解需代入验证。
即时即练1．下列式子中，是方程的有（ ）
A．3x
y
B．
2
0
x
C．4
3
7
D．2
1
0
x
知识点02 一元一次方程的概念
定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程.
【说明】“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件：
①首先是一个方程；②其次是必须只含有一个未知数；③未知数的指数是1；④分母中不含有未知数．
【易错提醒】
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
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一元一次方程概念易错警示：必须同时满足：整式、一个未知数、未知数次数为1、且未知数系数不为0。
如 x2-1=0 是二次，
1
𝑥 =1 是分式，0×x=5 无解，均不是。化简后判断。
即时即练1．下列各式①9
2
x
；②1
2
x
；③
1
1
3
x
x
；④
1
1
1
3
3
5
2
x
x
x
中，是一元一次方
程的有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
2．已知
| | 1
(
2)
6
0
a
a
x
是关于x 的一元一次方程，则a 的值为__________．
知识点03 方程的解、解方程
1.方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解.
2.解方程：求方程的解的过程.
【易错提醒】
方程的解与解方程易错警示：方程的解是使等式成立的未知数的值（具体数）；解方程是求这个值的过程。
注意：代入检验时要两边同时计算，必须使左右相等。勿将化简过程误认为解。
即时即练1．𝑥= 3是下列哪个方程的解（ ）
A．5
8
2
x
B．
1
7
6
3 x
C．2
6
6
x
D．4.4
6
20.6
x
知识点04 等式的性质
性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；
性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
【易错提醒】
等式性质易错警示：性质1：两边同加（减）同一个数（或式子），等式仍成立。性质2：两边同乘同一个
数，或除以**同一个不为0 的数**，等式仍成立。注意：除以含未知数的式子可能失根，需考虑是否为0。
勿在除法中忽略非零条件。
即时即练1．根据等式的基本性质，下列结论正确的是（ ）
A．若x
y
a
a
，则x
y
B．若x
y
，则x
y
a
b
C．若𝑥+ 𝑎= 𝑦−𝑎，则x
y
D．若x
y
，则ax
by
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题型1 判断各式是否是方程
【例1】下面式子中，是方程的是（ ）．
A．5−𝑥
B．18
3
6
C．1−2𝑥= 0.5
D．4−3𝑥< 5
【例2】下列式子属于方程的是（ ）
A．
6
1
7
B．2x
y
C．1 2
0
x
D．
2
2
0
x
y
【技巧归纳】
方程：含有未知数的等式。判断要点：有等号“=”，且含有字母（未知数）。如2x+1=0 是方程，2+3=5
不是（无未知数），2x>1 不是（不等式）。注意等式两边可有代数式。有时含参数，需要区分已知数和未
知数。直接找“=”和字母。
【变式1-1】下列式子中是方程的是（ ）
A．
2
x
B．8
7
1 0
C．𝑥= 5
D．
2
1
x
【变式1-2】下列各式中，①2
3
x ；②
0
x
y
；③𝑥= 1；④
1
3
x ；⑤2
2
4
，是方程的有（ ）
个
A．1
B．2
C．3
D．4
题型2 列方程
【例3】若一个数𝑥的3倍与5的和等于10，据此可列方程为：________．
【例4】代数式
3
2
x
比代数式
2
3
x
的值小1，用方程表示为_______．
【技巧归纳】
找等量关系（关键词：是、等于、比…多/少、倍、和、差）。设未知数，用代数式表示相关量，根据等量
关系列方程。注意单位统一，分清已知与未知。多个条件时选择核心关系列式。检验方程是否反映题意。
列完后检查左右意义一致。
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【变式2-1】一个数𝑥的相反数加上这个数的3
4 等于12，根据题意可列方程为___________．
【变式2-2】如图，一种常见的足球表面是由若干块黑皮和白皮缝合而成的，其中黑皮为正五边形，白皮为
正六边形，已知黑皮和白皮共有32块，每块黑皮周围有5 块白皮，每块白皮周围有3块黑皮．若缝制这样一
个足球需要黑皮x 块，由题意可列方程为______．
题型3 判断是否是一元一次方程
【例5】下列方程是一元一次方程的是（ ）
A．
2
1
0
x
B．1
1
1
x
x
C．
5
3
x
x
D．
2
3
x
y
【例6】下列各式中，是一元一次方程的是（ ）
A．
2
4
0
x
B．4
6
x
C．4
3
7
x
y
D．
0
x
【技巧归纳】
一元一次方程：含一个未知数，未知数最高次数1，且为整式方程（分母无未知数）。可化为ax+b=0（a≠
0）。判断时：整理后看未知数个数、次数，分母有无未知数，系数a 是否为零。如2x+3=0 是一元一次，x
²=4 不是（次数2），1/x=3 不是（分母含x）。
【变式3-1】下列各式中，属于一元一次方程的是（ ）
A．
2
5
x
y
B．
2
3
2
x
x
C．
1
3
2
x
x
D．2
1
2
x
【变式3-2】下列方程：①
1
2
x
x
；②
0
x
；③
5
1
2
x
x
；④
2
4
3
y
y
；⑤
2
1
x
y
．其中一元一
次方程有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
题型4 根据一元一次方程求参数的值
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【例7】已知
4
3
1
3
2
m
x
是关于x 的一元一次方程，那么m
．
【例8】已知(
1)
3
0
m
m
x
是关于x 的一元一次方程，则m 的值为 ．
【技巧归纳】
先将方程化为标准形式ax+b=0，令x 的系数a≠0 且x 的指数为1。若方程含参数，根据条件（如方程是一
元一次）列方程或不等式。如(m-2)x+3=0 是一元一次，则m-2≠0 得m≠2。若有二次项，需使二次项系数为
0。解参数并检验。
【变式4-1】已知关于x 的方程
1
2
0
m
m
x
是一元一次方程，则m
．
【变式4-2】若关于x 的方程
2
1
1
2
0
m
mx
m
x
是一元一次方程，则m 的值为 ．
题型5 判断是否是一元一次方程的解
【例9】下列方程中，解是𝑥= 1的方程是（ ）
A．2
2
x
B．
1
3
x
C．
1
1
x
D．2
3
0
x
【例10】下列方程中，解为
2
x
的是（ ）
A．3𝑥−1 = 0
B．3
4
x
x
C．3
7
1
x
D．
2
0
x
【技巧归纳】
将待验证值代入方程左右两边，分别计算，若左右相等，则是方程的解，否则不是。注意代入时加括号，
特别是负数。也适用于分式方程（需检验分母不为0）。若题目给多个值，逐个验证。也可通过等式变形快
速检验。
【变式5-1】下列方程中，解为𝑥= 1的是（ ）
A．
1
1
x
B．3
2
1
x
C．1
3
3 x
D．
1
4
4
x
【变式5-2】整式
3
ax
b 的值随𝑥的取值不同而不同，下表是当𝑥取不同值时整式
3
ax
b 对应的值，则关于𝑥
的方程
3
3
ax
b
的解为（ ）
𝑥
−3
2
1
0
1
2
3
ax
b
9
7
5
3
1
1
A．
3
x
B．𝑥= −2
C．
0
x
D．𝑥= 1
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题型6 已知一元一次方程的解求参数的值
【例11】若
1
x 是关于𝑥的方程2
3
5
x
a
的解，则a 的值为___________．
【例12】若
2
x
是方程3
4
x
ax
的解，则a 的值是___．
【技巧归纳】
将待验证值代入方程左右两边，分别计算，若左右相等，则是方程的解，否则不是。注意代入时加括号，
特别是负数。也适用于分式方程（需检验分母不为0）。若题目给多个值，逐个验证。也可通过等式变形快
速检验。
【变式6-1】若
2
x
是关于𝑥的方程2
1 3
x
m
的解，则m 的值为________．
【变式6-2】已知
12
x
是方程
2
2
a x
x
的解，则a 的值为_______．
题型7 已知一元一次方程的解求代数式的值
【例13】若
2
x
是一元一次方程
3
ax
b
的解，则代数式5
10
7
b
a
的值为_____．
【例14】若𝑥= 3是关于𝑥的方程2
6
ax
bx
的解，则代数式2026
6
3
a
b
的值是________．
【技巧归纳】
将待验证值代入方程左右两边，分别计算，若左右相等，则是方程的解，否则不是。注意代入时加括号，
特别是负数。也适用于分式方程（需检验分母不为0）。若题目给多个值，逐个验证。也可通过等式变形快
速检验。
【变式7-1】若
2
x
是关于𝑥的方程
2
4
ax
bx
的解，则2022
4
2
a
b
的值是_______．
【变式7-2】已知𝑥= 1是方程3
2
x
m
x
n
的一个解，则整式
2
2026
m
n
的值为__________．
题型8 等式的基本性质
【例15】下面关于等式性质的运用，正确的式子是（ ）
A．如果x
y
，那么5𝑥= 𝑦+ 5
B．如果x
y
，那么𝑥+ 𝑦= 2𝑦
C．如果2𝑥+ 3 = 5𝑥，那么
2
x
D．如果x
y
，那么𝑥+ 𝑎= 𝑦−𝑎
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【例16】下列变形符合等式性质的是 （ ）
A．如果2
3
7
x
，那么2
7
3
x
B．如果3
2
1
x
，那么3
1 2
x
C．如果2
5
x
，那么
5
2
x
D．如果
1
1
3 x
，那么
3
x
【技巧归纳】
性质1：两边同加（减）同一个数，等式仍成立。性质2：两边同乘（除）同一个不为0 的数，等式仍成立。
应用：移项（性质1）、去分母（性质2）。注意除以一个式子时确保它不为0。性质2 反向也成立（同除
为0 除外）。用于方程变形。
【变式8-1】下列等式变形，错误的是（）
A．若x
y
，则
1
1
x
y
B．若x
y
，则2
2
x
y
C．若
1
1
a
b
，则𝑎= 𝑏
D．若x
y
，则x
y
a
a
【变式8-2】下列等式的变形中，正确的是（ ）
A．若m
n
，则m
n
B．若𝑎= 𝑏，则
1
1
a
b
C．若a
b
c
c
，则𝑎= 𝑏
D．若𝑎= 𝑏，则a
b
c
c
一、单选题
1．下列方程中，是一元一次方程的是（ ）
A．4
5
3
x
B．
2
3
m
m
C．
3
4
x
y
D．
2
3
42
x
x
2．下列利用等式的基本性质变形，错误的是（ ）．
A．如果2
2
x
y
，那么x
y
B．如果
2
5
x
x
，那么
5
x
C．如果a
b
，那么
6
6
a
b
D．如果
2
2
1
1
a
b
c
c
，那么a
b
3．已知
2
x
是关于x 的方程2
6
x
m
的解，则m 的值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
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4．解方程
1
1
2
2
2
x
x
时，墨水把其中一个数字染成了
，查阅答案方程的解为
5
3
x
，则
处
的数为（ ）
A．2
B．3
C．−3
D．2
5．关于x 的方程
3
0
ax
b
的一个解是
2
x
，则2026
2a
b
（ ）
A．2026
B．2025
C．2024
D．2023
二、填空题
6．由“ x 的2 倍与3 的和等于5”可列方程为_____．
7．关于x 的方程
2
12
0
mx
x
的解为
3
x
，则m 的值为 _____
8．已知等式
2
3
5
0
m
m
x
是关于x 一元一次方程，则m _________．
9．若关于x 的一元一次方程2
6
0
ax
bx
的解是
2
x
，则2
4
a
b
的值是_______
10．已知关于x 的方程4
2
12
kx
a
x
bk
（a ，b 为常数），无论k 为何值，它的解总是
1
x ，则2a
b
的值是______．
三、解答题
11．判断下列变形是否正确，若正确，指出依据的等式性质．
(1)如果x
y
，那么
3
3
x
y
；
(2)如果2
2
a
b
，那么a
b
；
(3)如果a
b
，那么ac
bc
；
(4)如果x
y
a
a
，那么x
y
．
12．根据下列条件列出方程：
(1) x 的5倍与2 的和等于x 的3倍与4 的差．
(2)某数的1
2 比它本身小6．（设这个数为x ）
(3)一个数的3倍加上5等于这个数的5倍减去11．（设这个数为x ）
13．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程4
8
x
和
1
0
x
为“美好方程”．
(1)若关于x 的方程2
0
x
m
与方程4
2
7
x
x
是“美好方程”，求m 的值；
(2)若“美好方程”的两个方程解的差为8，其中一个解为n，求n 的值．
14．请用式子表示下列问题中的数量关系，并判断所列式子中，哪些是一元一次方程．
(1)x 与3 的差是5．
(2)代数式2
x
与2
5
y
的值相等．
(3)两个正方形的边长分别为𝑥cm，𝑦cm，它们的面积差为
2
7cm ．
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(4)小明参加学校的乒乓球比赛，胜了x 场，负了(8−𝑥)场，胜的场数大于负的场数．
15．已知两个整式M
x
y
，N
x
y
，将整式M 与整式N 求和后得到整式
1
2 .
A
x
此操作记作第一次求
和操作；将第一次求和操作的结果
1A 加上
2
M
N
的结果记为
2
A ，记作第二次求和操作；将第二次求和操
作的结果
2
A 加上2
3
M
N
的结果记为
3
A ，记作第三次求和操作；将第三次操作的结果
3
A 加上3
4
M
N
的结
果记为
4
A ，记作第四次求和操作，…，以此类推．
根据以上材料，回答下列问题：
(1)【理解定义】
①计算：
2
A ______，
3A ______（用含x，y 的代数式表示）；
②观察前三次的结果，猜想
n
A ______（用含n，x，y 的代数式表示）．
(2)【初步应用】
当
3
y
x
时，
①
6A ______；
②若关于x 的方程
6
3
1
1
2
5
48
2
2
A
A
m
A
有无数个解，则m ______．
(3)【深入探究】
当n 为大于3 的正整数时，
2
1
1
3
2
1
k
k
m
n
A
A
m
x
m
y
x y
是关于x，y 的五次三项式( 其中m 和
k 均为整数) ，则
m
k 的值为______．
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