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第五章 一元一次方程全章高频重点题型突破
◆题型1 方程与一元一次方程的概念
1.【答案】
①②③⑤⑥⑦；①③⑤⑥⑦
【分析】本题主要考查等式和方程的概念，根据等式和方程的定义，等式是含有等号的式子，方程是含
有未知数的等式，通过检查每个式子是否含有等号和未知数，进行分类．
【详解】解：①5
3
7
x -
=
含有等号和未知数x，是等式也是方程；
②5
3
8
+
=
含有等号但没有未知数，是等式但不是方程；
③12
6
x
x
-
=
含有等号和未知数x，是等式也是方程；
④
3
a + 不含等号，既不是等式也不是方程；
⑤2
3
0
x
y
z
+
-
=
含有等号和未知数x、y、z，是等式也是方程；
⑥
3
5
x
y
+
=
含有等号和未知数x、y，是等式也是方程；
⑦
0
y =
含有等号和未知数y，是等式也是方程；
⑧
3
6
x +
>
含有不等号，是不等式；
⑨
1
y ¹ 含有不等号，是不等式；
⑩π
3.14
»
含有约等号，不是等式．
等式有：①②③⑤⑥⑦，方程有：①③⑤⑥⑦．
故答案为：①②③⑤⑥⑦；①③⑤⑥⑦．
2.【答案】
2
6
3
x
x
-
=
【分析】根据x 与6 的差的2 倍，即为
2
6
x -
，x 的3 倍，即为3x ，根据题意列出方程即可求解．
【详解】解：依题意得，
2
6
3
x
x
-
=
．
3.【答案】不是
【分析】本题考查了方程的解的概念，熟练掌握方程的解的概念．把分别
3
x=-
代入方程的左右两边计算，
即可判断答案．
【详解】解：当
3
x=-
时，
左边
4
3
9
12
9
21
=
´ -
-
= -
-
= -
，
右边
2
3
7
6
7
13
=
´ -
-
= - -
= -
，
\左边¹ 右边，
3
x
\ =- 不是方程4
9
2
7
x
x
-
=
-
的解．
故答案为：不是．
4.【答案】2022
【分析】把方程的解
1
x = - 代入原方程，经过变形得到
2
m
n
+
的整数值，再整体代入代数式求值．
【详解】解：将
1
x = - 代入方程3
2
x
m
x
n
+
=
-
：
3
1
1 2
m
n
´ -
+
= - -
，
3
1 2
m
n
- +
= - -
，
移项：
2
1 3
2
m
n
+
= - +
=
，
2
2020
2
2020
2022
m
n
\
+
+
=
+
=
．
5.【答案】．1
【详解】解：把
3
x =
代入2
3
9
x
m
+
=
得：2 3
3
9
m
´ +
=
，
解得：
1
m = ．
6.【答案】2
【分析】根据一元一次方程的定义，未知数的最高次数为1，据此列出关于m 的方程即可求解.
【详解】解：Q
1
3
2
0
m
x
- +
=
是关于x 的一元一次方程，
\未知数x 的次数为1，即
1
1
m - = ，
解得
2
m =
.
7.【答案】2
【分析】本题先对已知等式变形，得到
1
2
x
y
+
的值，再利用整体代入法计算所求代数式的值．
【详解】解：2
2
0
x
y
+
+
=
可得：2
2
x
y
+
= -
等式两边同乘1
2 得：
1
1
2
x
y
+
= -
将
1
1
2
x
y
+
= - 代入
1
3
2
x
y
+
+ 得：
原式
1 3
2
= - +
=
．
8.【答案】5
3
2
y +
【详解】解：2
5
3
x
y
-
=
2
5
3
x
y
=
+
∴
5
3
2
y
x
+
=
9.【答案】B
【分析】将已知解
1
x = 代入原方程，得到关于a 的一元一次方程，求解即可得到a 的值．
【详解】解：关于x 的一元一次方程
1
2
1
0
a
x
a
+
-
+ =
的解为1，
∴
1 2
1
0
a
a
+ -
+ =
解得
2
a =
．
10.【答案】A
【分析】本题考查了解一元一次方程及方程的同解问题，如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做
同解方程．求出方程
5
3
2
1
x
x
-
=
-
+
的解，代入3
6
2
1
x
m
-
=
+ 即可求出m 的值．
【详解】解：解方程
5
3
2
1
x
x
-
=
-
+
得
8
3
x =
，
∵方程3
6
2
1
x
m
-
=
+ 与
5
3
2
1
x
x
-
=
-
+
的解相同，
∴将
8
3
x =
代入3
6
2
1
x
m
-
=
+ ，得：8
6
2
1
m
-
=
+ ，
解得：
1
2
m =
，
故选：A．
◆题型2 等式的性质
11. 【答案】D
【分析】根据等式的性质逐项判断变形是否正确即可．
【详解】解：A．∵a
b
=
，
∴a
c
b
c
+
=
+ ，故该选项错误；
B．如果
2
a =
，等式两边同乘a，则
2
2
2
2
a
a
a
=
¹
，故该选项错误；
C．如果a
b
=
，且
0
c ¹
时，则a
b
c
c
=
，故该选项错误；
D．∵a
b
c
c
=
，
∴
0
c ¹
，
∴a
b
=
，故该选项正确．
12. 【答案】C
【详解】解：A． 由2
1
3
x - =
，移项得2
3 1
x =
+ ，故A 错误．
B． 由
1
3
x + =
，两边同时加1 得
2
4
x +
=
，故B 错误．
C． 由75
76
x
-
=
，系数化为1 得
76
75
x = -
，故C 正确．
D． 由
1
3
2
x
x
-
= ，两边同时乘6 去分母得
-
=
2
3
6
x
x
，故D 错误．
◆题型3 解一元一次方程
13. 【答案】(1)
7
6
x = -
(2)
7
10
x =
【详解】（1）解：移项合并得6
7
x = - ，
解得
7
6
x = -
；
（2）解：去括号得12
30
20
4
8
x
x
-
+
=
-
，
移项合并得20
14
x =
，
解得
7
10
x =
．
14. 【答案】(1)
7
x =
(2)
1
5
x = -
【详解】（1）解：去括号，得3
6
2
2 1
x
x
-
=
+
-
移项，得3
2
2 1 6
x
x
-
=
- +
合并同类项，得
7
x =
（2）解：去分母，得
4
3
1
2 3
x
x
-
-
=
+
去括号，得4
3
1
6
2
x
x
-
+ =
+
移项，得3
2
6
4 1
x
x
-
-
=
-
-
合并同类项，得5
1
x
-
=
系数化为1，得
1
5
x = -
15.【答案】(1)
7
x =
(2)
3
y =
【分析】（1）去括号，移项，合并同类项，系数化为1 求解即可；
（2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1 求解即可．
【详解】（1）解：3
21 5
20
15
x
x
-
+
-
=
，
3
5
21
20 15
x
x
+
=
+
+
，
8
56
x =
，
7
x =
（2）解：
5
1
2 10
2
2
y
y
-
=
´
-
+
，
5
5
20
2
4
y
y
-
=
-
-
，
5
2
20
4
5
y
y
+
=
-
+
，
7
21
y =
，
3
y =
．
◆题型1 配套问题
1．【答案】安排40 名工人生产漆器首饰盒，80 名工人生产传统纹样银饰，可使每天生产的礼盒套装刚
好配套
【分析】设安排x 名工人生产漆器首饰盒，则生产传统纹样银饰的工人有
120
x
-
名，利用非遗国风礼
盒套装，由1 个漆器首饰盒和8 枚传统纹样银饰组成，再建立方程求解即可.
【详解】解：设安排x 名工人生产漆器首饰盒，则生产传统纹样银饰的工人有
120
x
-
名．
根据题意，列方程得
8 50
200 120
x
x
´
=
-
．
解得
40
=
x
．
∴生产传统纹样银饰的工人数量：120
40
80
-
=
（名）．
答：安排40 名工人生产漆器首饰盒，80 名工人生产传统纹样银饰，可使每天生产的礼盒套装刚好配套.
◆题型2 工程问题
2．【答案】(1)甲乙再合作10 天才能把该工程完成
(2)完成此项工程需付给甲、乙两队共100000 元
【分析】此题考查一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
（1）设甲乙再合作x 天才能把该工程完成，根据甲队完成的工作量+ 乙队完成的工作量= 总工作量（单
位1），即可得出关于x 的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）根据总施工费用= 甲队每天的施工费用´甲队工作的时间+ 乙队每天的施工费用´乙队工作的时间，
即可求出结论．
【详解】（1）解：设甲乙再合作x 天才能把该工程完成，
依题意，得：
2
1
20
25
x
x
+
+
= ，
解得：
10
x =
．
答：甲乙再合作10 天才能把该工程完成．
（2）解：
5000
10
2
4000 10
100000
´
+
+
´
=
（元）．
答：完成此项工程需付给甲、乙两队共100000 元．
◆题型3 利润与打折问题
3．【答案】该型号电脑每台进价为3500 元
【分析】设该型号电脑每台进价为x 元，根据等量关系式：售价- 进价= 利润，列出方程，解之即可．
【详解】解：设该型号电脑每台进价为x 元，依题意，得
0.8 1
40
420
x
x
-
+
=
％
，
解得：
3500
x =
．
答：该型号电脑每台进价为3500 元．
◆题型4 球赛积分问题
4．【答案】该班共胜4 场比赛
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，本题中根据题意找出总比赛场数为7 是解题的关键．
8 个班进行友谊赛，也就是说每个班级要和其余7 个班级比赛，根据总比赛场数为7 ，设赢了x 场，总分
数为15即可列出方程，即可解题．
【详解】解：8 个班进行友谊赛，也就是每个班要和其余7 个班比赛，
所以设胜了x 场，则平了(7
)
x
-
场．
由题意，得3
7
15
x
x
+
-
=
，
解得
4
x =
．
答：该班共胜4 场比赛．
◆题型5 方案选择与最优化问题
5．【答案】(1)2550；2565
(2)当
40
=
x
时，两种方案购买所需费用一样
【分析】（1）根据题意直接计算方案一和方案二所需付款的总额即可；
（2）由题意易得13.5
2160
15
2100
x
x
+
=
+
，进而求解即可．
【详解】（1）解：方案一：需付款
20 120 15
30
20
2400 150
2550
´
+
´
-
=
+
=
元；
方案二：需付款
120 20 15 30
90
2565
´
+
´
´
=
％
元；
（2）解：方案一需付款：
120 20
20
15
15
2100
x
x
´
+
-
´
=
+
元．
方案二需付款：
120 20 15
90
13.5
2160
x
x
´
+
´
=
+
％
元．
根据题意可列方程13.5
2160
15
2100
x
x
+
=
+
，
解得
40
=
x
．
答：当
40
=
x
时，两种方案购买所需费用一样．
◆题型6 其他关于一元一次方程的实际问题
6．【答案】(1)80元
(2)0.8
60
x -
(3)270 度
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）理解题意，进行列式计算，即可作答．
（2）理解题意，当
200
x >
时，结合用电收费标准方式进行列式化简，即可作答．
（3）先整理得200 0.5
100
156
´
=
<
，设11 月份用电量为x 度，且
200
x >
，依题意，得0.8
60
156
x -
=
，
再进行解方程，即可作答．
【详解】（1）解：依题意，160 0.5
80
´
=
（元），
∴小林家4 月份应付的电费为80元；
（2）解：当
200
x >
时，则电费为
200 0.5
0.8
200
0.8
60
x
x
´
+
-
=
-
（元）；
（3）解：依题意，200 0.5
100
156
´
=
<
，
设11 月份用电量为x 度，且
200
x >
；
由（2）得当
200
x >
时，则电费为
0.8
60
x -
元，
依题意，得0.8
60
156
x -
=
，
解得
270
x =
．
7．【答案】这批住店的客人共54人．
【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设间房有x 间，根据每一间客房住7 个人，那么就有5 个人
没有房住；每一间客房住9 个人，就会多出来一间房，列方程求解即可．
【详解】解：设间房有x 间，根据题意得
7
5
9
1
x
x
+
=
-
，
解得
7
x =
，
则7
5
54
x +
=
（人）．
答：这批住店的客人共54人．
8．【答案】该快递分派站共有6 名快递员
【分析】本题考查了一元一次方程的应用．
设该分派站有x 个快递员，根据“若每个快递员派送12 件，则还剩5 件；若每个快递员派送14 件，则还
差7 件”，得出关于x 的一元一次方程求解即可．
【详解】解：设该分派站有x 名快递员，
由题意得：12
5
14
7
x
x
+
=
- ，
解得：
6
x =
．
答：该快递分派站共有6 名快递员．
9．【答案】(1)12千米/小时
(2)40.5 千米
【分析】本题考查了一元一次方程的应用．
（1）设船在静水中的速度为v 千米/ 小时，水流速度已知为3千米/ 小时，根据顺流和逆流的路程相等列
出方程，求解v ，
（2）根据（1）的结论，列出算式，计算即可求解．
【详解】（1）解：设船在静水中的速度为v 千米/小时，水流速度
3
u =
千米/小时，根据题意得，
(
3) 2.7
(
3) 4.5
v
v
+
´
=
-
´
．
解得
12
v =
．
答：这艘船在平静湖水中的平均速度是12 千米/小时．
（2）解：甲乙两港口之间的路程为(12
3) 2.7
15 2.7
40.5
+
´
=
´
=
．
答：甲乙两港口之间的路程是40.5 千米．
1．D
2．A
3．B
4．D
5.
B
6. B
7. A
8. 2027
9.
5
3
x -
10.
2
2x
7
2
6
11. 1
12. 160
13. 2
10
50
x
x
-
+
=
14. 660
15. 7
16; (1)
4
x =
(2)
13
x = -
(3)
3
2
x =
17. 分配50 人生产甲种零件，32 人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套，恰好配成200
套
18. 该班胜了7 场比赛
19. (1)一共去了成人8 人，学生12 人；
(2)购买15 张团体票，5 张学生票更省钱，此时的购票费用为575 元
20. (1)用水18 吨，水费是54 元；用水25 吨，水费是80 元
(2)水费用代数式表示为
4
20
x-
元
(3)该月小红家用了30 吨水
21. 参加种树共有9 人
