文档文本内容
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第19 讲 认识方程
内容导航
01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 判断各式是否是方程
题型2 列方程
题型3 判断是否是一元一次方程
题型4 根据一元一次方程求参数的值
题型5 判断是否是一元一次方程的解
题型6 已知一元一次方程的解求参数的值
题型7 已知一元一次方程的解求代数式的值
题型8 等式的基本性质
04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
方程、等式、性质1、
性质2、变形、化归、
等量关系。
1. 理解方程的概念（含有未知数的等式），能区分方程与等式、代数式的区
别。
2. 掌握等式的两个基本性质：性质1（两边同加减同一数或整式，仍相等）；
性质2（两边同乘或除以同一不为0 的数，仍相等）。
3. 能运用等式的性质对等式进行变形，解释变形依据，初步体会化归思想。
4. 能根据实际问题中的等量关系列出方程，感受方程作为刻画数量关系的工
具价值。
学习重点：方程的概念，等式的两条基本性质，以及运用性质进行等式变形。
学习难点：理解等式性质2 中“除以同一个不为0 的数”的必要性，以及运用性质变形时符号和运算
的正确处理（如除以一个数时注意符号变化）。
.
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知识点01 方程的有关概念
定义：含有未知数的等式叫做方程.
【说明】判断一个式子是不是方程，只需看两点：一是等式；二是含有未知数．
【易错提醒】
方程概念易错警示：含有未知数的等式。注意：必须同时满足“等式”和“含未知数”两个条件。如2x+3（不
含等号）不是方程，3+5=8（不含未知数）也不是方程。方程的解需代入验证。
即时即练1．下列式子中，是方程的有（ ）
A．3x
y
B．
2
0
x
C．4
3
7
D．2
1
0
x
【答案】D
【分析】根据方程“含有未知数的等式”这一定义，判断选项是否同时满足“含有未知数”“是等式”两个条件即
可求解．
【详解】解：A 、3x
y
不是等式，不满足条件，故A 错误；
B、
- 2
0
x
是不等式，不是等式，不满足条件，故B 错误；
C、4
3
7
是等式，但不含未知数，不满足条件，故C 错误；
D、2
1
0
x
既含有未知数x ，又是等式，满足方程的定义，故D 正确．
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
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知识点02 一元一次方程的概念
定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程.
【说明】“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件：
①首先是一个方程；②其次是必须只含有一个未知数；③未知数的指数是1；④分母中不含有未知数．
【易错提醒】
一元一次方程概念易错警示：必须同时满足：整式、一个未知数、未知数次数为1、且未知数系数不为0。
如 x2-1=0 是二次，
1
𝑥 =1 是分式，0×x=5 无解，均不是。化简后判断。
即时即练1．下列各式①9
2
x
；②1
2
x
；③
1
1
3
x
x
；④
1
1
1
3
3
5
2
x
x
x
中，是一元一次方
程的有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】A
【详解】解：由一元一次方程的定义可得，只有
1
1
1
3
3
5
2
x
x
x
是一元一次方程．
2．已知
| | 1
(
2)
6
0
a
a
x
是关于x 的一元一次方程，则a 的值为__________．
【答案】2
【分析】本题考查一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义，未知数的次数为1且一次项系数不为
0 ，据此列出等式求解即可．
【详解】解：由题意得，
1
1
a ，且
2
0
a
．
解
1
1
a 得
2
a
，即𝑎= 2或𝑎= −2．
又
2
a ．
因此𝑎= 2．
知识点03 方程的解、解方程
1.方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解.
2.解方程：求方程的解的过程.
【易错提醒】
方程的解与解方程易错警示：方程的解是使等式成立的未知数的值（具体数）；解方程是求这个值的过程。
注意：代入检验时要两边同时计算，必须使左右相等。勿将化简过程误认为解。
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即时即练1．𝑥= 3是下列哪个方程的解（ ）
A．5
8
2
x
B．
1
7
6
3 x
C．2
6
6
x
D．4.4
6
20.6
x
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的
值，据此把𝑥= 3代入对应的方程中，计算出对应方程左边的值，看对应方程的左右两边是否相等即可得到
答案．
【详解】解：A、当𝑥= 3时，方程5
8
2
x
的左边
5 3
8
7
，此时原方程的左右两边不相等，故𝑥= 3
不是方程5
8
2
x
的解，不符合题意；
B、当𝑥= 3时，方程
1
7
6
3 x
的左边
1
3
7
6
3
，此时原方程的左右两边相等，故𝑥= 3是方程
1
7
6
3 x
的解，符合题意；
C、当𝑥= 3时，方程2
6
6
x
的左边
2 3
6
12
，此时原方程的左右两边不相等，故𝑥= 3不是方程
2
6
6
x
的解，不符合题意；
D、当𝑥= 3时，方程4.4
6
20.6
x
的左边
4.4
3
6
19.2
，此时原方程的左右两边不相等，故𝑥= 3不是
方程4.4
6
20.6
x
的解，不符合题意；
故选：B．
知识点04 等式的性质
性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；
性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
【易错提醒】
等式性质易错警示：性质1：两边同加（减）同一个数（或式子），等式仍成立。性质2：两边同乘同一个
数，或除以**同一个不为0 的数**，等式仍成立。注意：除以含未知数的式子可能失根，需考虑是否为0。
勿在除法中忽略非零条件。
即时即练1．根据等式的基本性质，下列结论正确的是（ ）
A．若x
y
a
a
，则x
y
B．若x
y
，则x
y
a
b
C．若𝑥+ 𝑎= 𝑦−𝑎，则x
y
D．若x
y
，则ax
by
【答案】A
【分析】等式性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍得等式；等式性质2：等式两边乘同一个
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数，或除以同一个不为零的数，结果仍得等式．
【详解】解：A．
x
y
a
a
有意义，
0
a
，根据等式性质2，等式两边同乘a ，可得x
y
，故A 正确；
B．若x
y
，需
0
a
b
时，才有x
y
a
b
；当
0
x
y
时，对任意
0
a
，
0
b
等式都成立，因此该结论不
一定成立，故B 错误；
C．若𝑥+ 𝑎= 𝑦−𝑎，整理得
2
x
y
a
，仅当𝑎= 0时才有x
y
，故C 错误；
D．若x
y
，当𝑥≠0，𝑦≠0时，需𝑎= 𝑏才有ax
by
；当x 或y 中任意一个为0 时，对任意a ，𝑏该等式都
成立，因此该结论不一定成立，故D 错误．
题型1 判断各式是否是方程
【例1】下面式子中，是方程的是（ ）．
A．5−𝑥
B．18
3
6
C．1−2𝑥= 0.5
D．4−3𝑥< 5
【答案】C
【详解】解：A．5−𝑥含有未知数但是不是等式，不是方程，不符合题意；
B．18
3
6
是等式但是不含有未知数，不是方程，不符合题意；
C．1−2𝑥= 0.5是等式并且含有未知数，是方程，符合题意；
D．4−3𝑥< 5含有未知数但不是等式，不是方程，不符合题意．
【例2】下列式子属于方程的是（ ）
A．
6
1
7
B．2x
y
C．1 2
0
x
D．
2
2
0
x
y
【答案】D
【分析】本题考查方程的定义，判断式子是否为方程需同时满足两个条件，一是含有未知数，二是等式，
两个条件缺一不可，据此判断各选项即可.
【详解】解：含有未知数的等式叫做方程.
∵选项A
6
1
7
是等式，但不含未知数，∴A 不符合要求；
∵选项B 2x
y
含有未知数，但不是等式，∴B 不符合要求；
∵选项C 1 2
0
x
含有未知数，但不是等式，属于不等式，∴C 不符合要求；
∵选项D
2
2
0
x
y
是含有未知数的等式，符合方程的定义，∴D 符合要求.
【技巧归纳】
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方程：含有未知数的等式。判断要点：有等号“=”，且含有字母（未知数）。如2x+1=0 是方程，2+3=5
不是（无未知数），2x>1 不是（不等式）。注意等式两边可有代数式。有时含参数，需要区分已知数和未
知数。直接找“=”和字母。
【变式1-1】下列式子中是方程的是（ ）
A．
2
x
B．8
7
1 0
C．𝑥= 5
D．
2
1
x
【答案】C
【分析】根据方程需同时满足“含有未知数”且“是等式”两个条件，逐一判断选项即可．
【详解】解：A、
2
x
不是等式，不是方程，错误；
B、8
7
1 0
是等式，但不含未知数，不是方程，错误；
C、
5
x
既是等式，又含有未知数，是方程，正确；
D、
2
1
x
不是等式，不是方程，错误．
【变式1-2】下列各式中，①2
3
x ；②
0
x
y
；③𝑥= 1；④
1
3
x ；⑤2
2
4
，是方程的有（ ）
个
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】根据含有未知数的等式叫做方程判断即可；
【详解】根据方程的定义可知：
0
x
y
，𝑥= 1是方程，有2个．
题型2 列方程
【例3】若一个数𝑥的3倍与5的和等于10，据此可列方程为：________．
【答案】3
5
10
x
【分析】根据题目描述的数量关系，列出一元一次方程即可．
【详解】解：由题意可列方程为3
5
10
x
．
【例4】代数式
3
2
x
比代数式
2
3
x
的值小1，用方程表示为_______．
【答案】
3
2 1
2
3
x
x
【分析】根据题意找出等量关系，将题目中的文字描述转化为等式，代入对应代数式即可得到方程．
【详解】解：由题意可知，代数式
3
2
x 比代数式
2
3
x
的值小1，
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可得等量关系：
3
2
x 等于
2
3
x
减1，
因此列方程得：
3
2 1
2
3
x
x
．
【技巧归纳】
找等量关系（关键词：是、等于、比…多/少、倍、和、差）。设未知数，用代数式表示相关量，根据等量
关系列方程。注意单位统一，分清已知与未知。多个条件时选择核心关系列式。检验方程是否反映题意。
列完后检查左右意义一致。
【变式2-1】一个数𝑥的相反数加上这个数的3
4 等于12，根据题意可列方程为___________．
【答案】
3
12
4
x
x
【分析】本题考查了列一元一次方程．
根据题意，数𝑥的相反数为x
，加上𝑥的3
4 即3
4 x ，由此列方程即可．
【详解】解：数𝑥的相反数是x
，这个数的3
4 是3
4𝑥，
根据题意可得
3
12
4
x
x
．
故答案为：
3
12
4
x
x
．
【变式2-2】如图，一种常见的足球表面是由若干块黑皮和白皮缝合而成的，其中黑皮为正五边形，白皮为
正六边形，已知黑皮和白皮共有32块，每块黑皮周围有5 块白皮，每块白皮周围有3块黑皮．若缝制这样一
个足球需要黑皮x 块，由题意可列方程为______．
【答案】
5
3 32
x
x
【分析】本题考查的知识点是由实际问题抽象出一元一次方程，解题关键是读懂题意，设出未知数，找出
合适的等量关系列方程．设缝制这样一个足球需要x 块黑皮，(32-x)块白皮，根据黑皮和白皮共有32块，
每块黑皮周围有5 块白皮，每块白皮周围有3块黑皮，列方程即可．
【详解】解：设缝制这样一个足球需要x 块黑皮，
32
x
块白皮，
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由题意得
5
3 32
x
x
．
故答案为：
5
3 32
x
x
．
题型3 判断是否是一元一次方程
【例5】下列方程是一元一次方程的是（ ）
A．
2
1
0
x
B．1
1
1
x
x
C．
5
3
x
x
D．
2
3
x
y
【答案】C
【分析】本题考查一元一次方程的定义，根据“只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1，等号两边都
是整式的方程是一元一次方程”逐一判断选项即可.
【详解】解： 选项A，未知数的次数为2，不是一元一次方程，选项A 不符合题意；
选项B，方程含分式，不是整式方程，不是一元一次方程，选项B 不符合题意；
选项C，方程只含有1 个未知数，未知数最高次数为1，且等号两边都是整式，是一元一次方程，选项C 符
合题意；
选项D，方程含有两个未知数，不是一元一次方程，选项D 不符合题意．
【例6】下列各式中，是一元一次方程的是（ ）
A．
2
4
0
x
B．4
6
x
C．4
3
7
x
y
D．
0
x
【答案】D
【详解】解：A、
2
4
0
x
，含有2 次项，不是一元一次方程；
B、4
6
x ，不是等式，不是一元一次方程；
C、4
3
7
x
y
，含有两个未知数，不是一元一次方程；
D、
0
x
，是一元一次方程.
【技巧归纳】
一元一次方程：含一个未知数，未知数最高次数1，且为整式方程（分母无未知数）。可化为ax+b=0（a≠
0）。判断时：整理后看未知数个数、次数，分母有无未知数，系数a 是否为零。如2x+3=0 是一元一次，x
²=4 不是（次数2），1/x=3 不是（分母含x）。
【变式3-1】下列各式中，属于一元一次方程的是（ ）
A．
2
5
x
y
B．
2
3
2
x
x
C．
1
3
2
x
x
D．2
1
2
x
【答案】C
【分析】本题考查一元一次方程的定义，根据“只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1 的整式方程是
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一元一次方程”，逐一判断各选项即可求解．
【详解】解： A 选项
2
5
x
y
含有两个未知数，不符合一元一次方程定义；
B 选项
2
3
2
x
x
中未知数的最高次数为2，不符合一元一次方程定义；
C 选项
1
3
2
x
x
只含一个未知数𝑥，未知数最高次数为1，且是整式方程，符合一元一次方程定义；
D 选项2
1
2
x
分母中含有未知数，不是整式方程，不符合一元一次方程定义．
【变式3-2】下列方程：①
1
2
x
x
；②
0
x
；③
5
1
2
x
x
；④
2
4
3
y
y
；⑤
2
1
x
y
．其中一元一
次方程有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】B
【分析】先明确一元一次方程的定义，即只含有一个未知数，未知数的最高次数为1，等号两边都是整式，
依此逐个判断每个方程即可．
【详解】解：①
1
2
x
x
，∵分母含有未知数，不是整式方程，∴不是一元一次方程；
②
0
x
，∵只含1 个未知数𝑥，未知数次数为1，两边都是整式，∴是一元一次方程；
③
5
1
2
x
x
，∵只含1 个未知数𝑥，未知数次数为1，两边都是整式，∴是一元一次方程；
④
2
4
3
y
y
，∵未知数y 的最高次数为2，∴不是一元一次方程；
⑤
2
1
x
y
，∵含有2 个不同未知数，∴不是一元一次方程；
综上，一元一次方程共有2 个．
题型4 根据一元一次方程求参数的值
【例7】已知
4
3
1
3
2
m
x
是关于x 的一元一次方程，那么m
．
【答案】1
【知识点】一元一次方程的定义
【分析】本题考查一元一次方程的定义：等号两边是整式，只有一个未知数且未知数的次数是1 的方程叫
一元一次方程，根据定义列式求解即可得到答案
【详解】解：∵
4
3
1
3
2
m
x
是关于x 的一元一次方程，
∴4
3
1
m
，
∴
1
m ，
故答案为：1．
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【例8】已知(
1)
3
0
m
m
x
是关于x 的一元一次方程，则m 的值为 ．
【答案】1
【知识点】一元一次方程的定义
【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义列出关于m 的方程求解即可得出
答案．
【详解】解：∵(
1)
3
0
m
m
x
是关于x 的一元一次方程，
∴
1
0
m
且
1
m ，
解得：
1
m ，
故答案为：1
．
【技巧归纳】
先将方程化为标准形式ax+b=0，令x 的系数a≠0 且x 的指数为1。若方程含参数，根据条件（如方程是一
元一次）列方程或不等式。如(m-2)x+3=0 是一元一次，则m-2≠0 得m≠2。若有二次项，需使二次项系数为
0。解参数并检验。
【变式4-1】已知关于x 的方程
1
2
0
m
m
x
是一元一次方程，则m
．
【答案】0
【知识点】一元一次方程的定义
【分析】本题考查了一元一次方程，根据一元一次方程的定义可得
1
1
m
且
2
0
m
，据此即可求解，掌
握一元一次方程的定义是解题的关键．
【详解】解：∵关于x 的方程
1
2
0
m
m
x
是一元一次方程，
∴
1
1
m
且
2
0
m
，
解得
0
m
，
故答案为：0 ．
【变式4-2】若关于x 的方程
2
1
1
2
0
m
mx
m
x
是一元一次方程，则m 的值为 ．
【答案】1或0
【知识点】一元一次方程的定义
【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数
不是0，这是这类题目考查的重点．根据一元一次方程的一般形式即可判定有3种情况，分别讨论①当
0
m
且
1
0
m
时，②当
0
m
且
1
0
m
时，③当
1
0
m
时是否满足该方程为一元一次方程即可．
【详解】解：关于x 的方程
2
1
1
2
0
m
mx
m
x
是一元一次方程，
可考虑三种情况，
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①当
0
m
且
1
0
m
时，
即
0
m
且
1
m ，
则2
1
1
m ，解得：
1
m ，
此时
1
m ，故排除；
②当
0
m
且
1
0
m
时，
即
0
m
且
1
m ，
0
m
，符合条件；
③当
1
0
m
即
1
m 时，
2
1
1
m ，符合条件；
综上：m 的值为1或0 ，
故答案为：1或0 ．
题型5 判断是否是一元一次方程的解
【例9】下列方程中，解是𝑥= 1的方程是（ ）
A．2
2
x
B．
1
3
x
C．
1
1
x
D．2
3
0
x
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的
值，据此把𝑥= 1代入对应的方程中，看方程左右两边是否相等即可得到答案．
【详解】解：A、把𝑥= 1代入2
2
x
中，方程左边
2 1
2
，此时方程左右两边相等，故原方程的解是
𝑥= 1，符合题意；
B、把𝑥= 1代入
1
3
x
中，方程左边
1 1
2
，此时方程左右两边不相等，故原方程的解不是𝑥= 1，不符
合题意；
C、把𝑥= 1代入
1
1
x 中，方程左边= 1−1 = 0，此时方程左右两边不相等，故原方程的解不是𝑥= 1，不
符合题意；
D、把𝑥= 1代入2
3
0
x
中，方程左边
2 1 3
1
，此时方程左右两边不相等，故原方程的解不是
𝑥= 1，不符合题意；
故选：A．
【例10】下列方程中，解为
2
x
的是（ ）
A．3𝑥−1 = 0
B．3
4
x
x
C．3
7
1
x
D．
2
0
x
【答案】D
【分析】本题考查了一元一次方程的解，掌握解一元一次方程的步骤是关键．把
2
x
代入每个方程，当左
边等于右边时，
2
x
是该方程的解；当左边不等于右边时，
2
x
不是该方程的解，据此判断即可．
【详解】解：A．把
2
x
代入方程得：左边
6 1
5
，右边
0
，左边≠右边，不符合题意；
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B．把
2
x
代入方程得：左边
3
2
6
，右边
2
4
2
，左边≠右边，不符合题意；
C．把
2
x
代入方程得：左边
6
7
13
，右边
1
，左边≠右边，不符合题意；
D．把
2
x
代入方程得：左边
2
2
0
，右边
0
，左边=右边，符合题意．
故选：D．
【技巧归纳】
将待验证值代入方程左右两边，分别计算，若左右相等，则是方程的解，否则不是。注意代入时加括号，
特别是负数。也适用于分式方程（需检验分母不为0）。若题目给多个值，逐个验证。也可通过等式变形快
速检验。
【变式5-1】下列方程中，解为𝑥= 1的是（ ）
A．
1
1
x
B．3
2
1
x
C．1
3
3 x
D．
1
4
4
x
【答案】B
【分析】本题考查一元一次方程的解，把𝑥= 1代入每个方程，当左边等于右边时，𝑥= 1是该方程的解；当
左边不等于右边时，𝑥= 1不是该方程的解，据此判断即可．解题的关键是掌握：方程的解即为能使方程左
右两边相等的未知数的值．
【详解】解：A．把𝑥= 1代入方程得：左边= 1−1 = 0，右边
1
，左边≠右边，故此选项不符合题意；
B．把𝑥= 1代入方程得：左边
3 1
2
1
=
´
-
=
，右边
1
，左边= 右边，故此选项符合题意；
C．把𝑥= 1代入方程得：左边
1
1
1
3
3
，右边
3
，左边≠右边，故此选项不符合题意；
D．把𝑥= 1代入方程得：左边
4 1
4
，右边
1
4
，左边≠右边，故此选项不符合题意．
故选：B．
【变式5-2】整式
3
ax
b 的值随𝑥的取值不同而不同，下表是当𝑥取不同值时整式
3
ax
b 对应的值，则关于𝑥
的方程
3
3
ax
b
的解为（ ）
𝑥
−3
2
1
0
1
2
3
ax
b
9
7
5
3
1
1
A．
3
x
B．𝑥= −2
C．
0
x
D．𝑥= 1
【答案】C
【分析】本题考查一元一次方程的解，根据表格可知，当
0
x
时，
3
3
ax
b
，故
3
3
ax
b
的解为
0
x
．
【详解】解：由表格可知：当
0
x
时，
3
3
ax
b
，
∴
3
3
ax
b
的解为
0
x
．
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故选C．
题型6 已知一元一次方程的解求参数的值
【例11】若
1
x 是关于𝑥的方程2
3
5
x
a
的解，则a 的值为___________．
【答案】7
3
【分析】将方程的解代入原方程即可求解．
【详解】解：
1
x
是关于𝑥的方程2
3
5
x
a
的解，
2
1
3
5
a
，
整理得2
3
5
a
，
移项得3
7
a
，
系数化为1得
7
3
a
．
【例12】若
2
x
是方程3
4
x
ax
的解，则a 的值是___．
【答案】5
【分析】把𝑥= 2代入已知方程列出关于a 的新方程，通过解新方程来求a 的值．
【详解】解：由题意得，6
2
4
a
，
解得：
5
a
．
【技巧归纳】
将待验证值代入方程左右两边，分别计算，若左右相等，则是方程的解，否则不是。注意代入时加括号，
特别是负数。也适用于分式方程（需检验分母不为0）。若题目给多个值，逐个验证。也可通过等式变形快
速检验。
【变式6-1】若
2
x
是关于𝑥的方程2
1 3
x
m
的解，则m 的值为________．
【答案】1
【详解】解：∵
2
x
是关于𝑥的方程2
1 3
x
m
的解，
∴2 2
1 3m
，
解得
1
m ．
【变式6-2】已知
12
x
是方程
2
2
a x
x
的解，则a 的值为_______．
【答案】2.4
【分析】把
12
x
代入方程，进行求解即可.
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【详解】解：把
12
x
代入方程，得
12
2
2 12
a
，
解得
2.4
a
.
题型7 已知一元一次方程的解求代数式的值
【例13】若
2
x
是一元一次方程
3
ax
b
的解，则代数式5
10
7
b
a
的值为_____．
【答案】
8
【分析】将𝑥= 2代入方程
3
ax
b
得到2
3
a
b
，对所求代数式变形后整体代入即可求值．
【详解】解：
2
x
是一元一次方程
3
ax
b
的解，
2
3
a
b
，
5
10
7
10
5
7
5 2
7
5 3
7
8
b
a
a
b
a
b
．
【例14】若𝑥= 3是关于𝑥的方程2
6
ax
bx
的解，则代数式2026
6
3
a
b
的值是________．
【答案】2020
【分析】将𝑥= 3代入关于𝑥的方程2
6
ax
bx
并整理，可得6
3
6
a
b
，然后整体代入并求解即可．
【详解】解：∵𝑥= 3是关于𝑥的方程2
6
ax
bx
的解，
∴6
3
6
a
b
，
∴
2026
6
3
2026
6
3
2026
6
2020
a
b
a
b
．
【技巧归纳】
将待验证值代入方程左右两边，分别计算，若左右相等，则是方程的解，否则不是。注意代入时加括号，
特别是负数。也适用于分式方程（需检验分母不为0）。若题目给多个值，逐个验证。也可通过等式变形快
速检验。
【变式7-1】若
2
x
是关于𝑥的方程
2
4
ax
bx
的解，则2022
4
2
a
b
的值是_______．
【答案】2026
【详解】解：∵𝑥= 2是方程
2
4
ax
bx
的解，
∴4
2
4
a
b
，
∴2022
4
2
2022
4
2026
a
b
．
【变式7-2】已知𝑥= 1是方程3
2
x
m
x
n
的一个解，则整式
2
2026
m
n
的值为__________．
【答案】2028
【分析】将𝑥= 1代入方程可得3
1
2
m
n
，即
2
2
m
n
，再代入整式计算即可．
【详解】解：∵𝑥= 1是方程3
2
x
m
x
n
的一个解，
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∴3
1
2
m
n
，
∴
2
2
m
n
，
∴
2
2026
2
2026
2028
m
n
．
题型8 等式的基本性质
【例15】下面关于等式性质的运用，正确的式子是（ ）
A．如果x
y
，那么5𝑥= 𝑦+ 5
B．如果x
y
，那么𝑥+ 𝑦= 2𝑦
C．如果2𝑥+ 3 = 5𝑥，那么
2
x
D．如果x
y
，那么𝑥+ 𝑎= 𝑦−𝑎
【答案】B
【分析】根据等式的性质和字母的取值，即可判断．
【详解】解：A、当
1
x
y
时，5𝑥= 5 × 1 = 5，𝑦+ 5 = 1 + 5 = 6，则5𝑥≠𝑦+ 5，故选项不符合题意；
B、当x
y
时，𝑥+ 𝑦= 𝑦+ 𝑦= 2𝑦，故选项符合题意；
C、当
2
x
时，2𝑥+ 3 = 2 × 2 + 3 = 4 + 3 = 7，5𝑥= 5 × 2 = 10，则2𝑥+ 3 ≠5𝑥，故选项不符合题意；
D、如果x
y
，当
0
a
时，𝑥+ 𝑎= 𝑦+ 𝑎≠𝑦−𝑎，故选项不符合题意；
【例16】下列变形符合等式性质的是 （ ）
A．如果2
3
7
x
，那么2
7
3
x
B．如果3
2
1
x
，那么3
1 2
x
C．如果2
5
x
，那么
5
2
x
D．如果
1
1
3 x
，那么
3
x
【答案】D
【分析】本题考查等式的基本性质，利用等式性质1 和等式性质2，逐一判断各选项的变形是否正确即
可．
【详解】解：A：若2
3
7
x
，两边同时加3，得2
7
3
x
，本选项变形错误；
B：若3
2
1
x
，两边同时加2，得3
1
2
x
，本选项变形错误；
C：若2
5
x
，两边同时除以2
，得
5
2
x
，本选项变形错误；
D：若
1
1
3 x
，两边同时乘以−3，得
3
x
，本选项变形正确．
【技巧归纳】
性质1：两边同加（减）同一个数，等式仍成立。性质2：两边同乘（除）同一个不为0 的数，等式仍成立。
应用：移项（性质1）、去分母（性质2）。注意除以一个式子时确保它不为0。性质2 反向也成立（同除
为0 除外）。用于方程变形。
【变式8-1】下列等式变形，错误的是（）
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A．若x
y
，则
1
1
x
y
B．若x
y
，则2
2
x
y
C．若
1
1
a
b
，则𝑎= 𝑏
D．若x
y
，则x
y
a
a
【答案】D
【分析】本题考查等式的基本性质，等式性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立；等式
性质2：等式两边同时乘以或除以同一个不为0 的数，等式仍然成立，据此判断各选项即可．
【详解】解：A 若x
y
，根据等式性质1，两边同时加1，得
1
1
x
y
，变形正确；
B 若x
y
，根据等式性质2，两边同时乘2，得2
2
x
y
，变形正确；
C 若
1
1
a
b
，根据等式性质1，两边同时减1，得𝑎= 𝑏，变形正确；
D 若x
y
，当𝑎= 0时，x
a 与y
a 无意义，只有
0
a
才能得到x
y
a
a
，变形错误．
【变式8-2】下列等式的变形中，正确的是（ ）
A．若m
n
，则m
n
B．若𝑎= 𝑏，则
1
1
a
b
C．若a
b
c
c
，则𝑎= 𝑏
D．若𝑎= 𝑏，则a
b
c
c
【答案】C
【分析】根据相关性质逐一判断选项即可得到答案．
【详解】解：A 选项：∵若m
n
，可得m
n
或m
n
，∴A 变形错误；
B 选项：∵若𝑎= 𝑏，根据等式性质，两边同时加同一个数等式仍成立，可得
1
1
a
b
，∴B 变形错误；
C 选项：∵a
b
c
c
中分母不为0，隐含条件
0
c
，等式两边同乘c 可得𝑎= 𝑏，∴C 变形正确；
D 选项：∵若𝑎= 𝑏，当
0
c
时，a
c 与b
c 无意义，该变形不成立，∴D 变形错误．
一、单选题
1．下列方程中，是一元一次方程的是（ ）
A．4
5
3
x
B．
2
3
m
m
C．
3
4
x
y
D．
2
3
42
x
x
【答案】A
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【分析】本题考查一元一次方程的概念，根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次
数为1，且等号两边都是整式的方程，逐一判断选项即可．
【详解】一元一次方程需满足三个条件：①只含一个未知数；②未知数的最高次数为1；③是整式方
程．
依次判断各选项：
选项A ：4
5
3
x
，满足三个条件，是一元一次方程；
选项B：
2
3
m
m
，分母含有未知数，不是整式方程，不满足条件；
选项C ：
3
4
x
y
，含有x 和y 两个未知数，不满足条件；
选项D ：
2
3
42
x
x
，未知数x 的最高次数为2 ，不满足条件；
故选A ．
2．下列利用等式的基本性质变形，错误的是（ ）．
A．如果2
2
x
y
，那么x
y
B．如果
2
5
x
x
，那么
5
x
C．如果a
b
，那么
6
6
a
b
D．如果
2
2
1
1
a
b
c
c
，那么a
b
【答案】B
【分析】根据等式两边同时加、减同一个数，等式仍然成立以及等式两边同时乘同一个数，或除以同一个
不为0 的数，等式仍然成立逐一分析选项找出变形错误的一项．
【详解】A、如果2
2
x
y
，等式两边都除以2
，那么x
y
，A 正确；
B、如果
2
5
x
x
，当
0
x
时，得不出
5
x
，B 错误；
C、如果a
b
，等式两边都减6，那么
6
6
a
b
，C 正确；
D、等式两边都乘
2
1
c ，得a
b
，D 正确．
3．已知
2
x
是关于x 的方程2
6
x
m
的解，则m 的值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】A
【分析】方程的解满足方程，将已知解
2
x
代入原方程，即可计算求出m 的值．
【详解】解：∵
2
x
是方程2
6
x
m
的解，
∴将
2
x
代入原方程得：2 2
6
m
化简得4
6
m
，
移项计算得
6
4
2
m
，
因此m 的值为2 ．
4．解方程
1
1
2
2
2
x
x
时，墨水把其中一个数字染成了
，查阅答案方程的解为
5
3
x
，则
处
的数为（ ）
A．2
B．3
C．−3
D．2
【答案】B
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【分析】根据方程的解代入求参数即可．
【详解】
解：将
5
3
x
代入原方程可得
5
1
5
1
2
3
2
3
2
，
解得
处的数为1
10
5
3
2
3
6
．
5．关于x 的方程
3
0
ax
b
的一个解是
2
x
，则2026
2a
b
（ ）
A．2026
B．2025
C．2024
D．2023
【答案】D
【分析】将
2
x
代入方程
3
0
ax
b
，得到2
3
0
a
b
，从而2
3
a
b
，再代入所求表达式计算即
可．
【详解】解：∵
2
x
是方程
3
0
ax
b
的解，
∴代入得2
3
0
a
b
，
即2
3
a
b
，
∴
2026
2
2026
2
2026
3
2023
a
b
a
b
．
二、填空题
6．由“ x 的2 倍与3 的和等于5”可列方程为_____．
【答案】2
3
5
x
【分析】根据题意将文字描述转化为代数式，结合等量关系列出方程即可
【详解】解：x 的2 倍可表示为2x ，x 的2 倍与3 的和可表示为2
3
x ，
根据和等于5，列方程为2
3
5
x
7．关于x 的方程
2
12
0
mx
x
的解为
3
x
，则m 的值为 _____
【答案】2
【分析】根据方程的解的定义，将已知解
3
x
代入原方程，得到关于m 的一元一次方程，解该方程即可求
出m 的值．
【详解】解：将
3
x
代入原方程，得3
2 3 12
0
m
，
解得：
2
m
．
8．已知等式
2
3
5
0
m
m
x
是关于x 一元一次方程，则m _________．
【答案】1
【分析】本题考查一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的次数为1，一次项系数不为0 的方
程叫做一元一次方程，其一般形式为
0
ax
b
（a，b 是常数且
0
a
），据此列出关于m 的关系式，即可
求解得到m 的值．
【详解】解：根据题意，由一元一次方程的定义得
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2
1
m
且
3
0
m
，
由
2
1
m
可得
2
1
m
或
2
1
m
，
解得
3
m
或
1
m ，
结合
3
0
m
即
3
m ，
可得
1
m ，
故答案为：1．
9．若关于x 的一元一次方程2
6
0
ax
bx
的解是
2
x
，则2
4
a
b
的值是_______
【答案】1
【分析】由方程的解可得4
2
6
0
a
b
，可得2
3
a
b
，再进一步求解即可．
【详解】解：∵关于x 的方程2
6
0
ax
bx
的解为
2
x
，
∴4
2
6
0
a
b
，
∴2
3
a
b
，
∴2
4
3
4
1
a
b
．
10．已知关于x 的方程4
2
12
kx
a
x
bk
（a ，b 为常数），无论k 为何值，它的解总是
1
x ，则2a
b
的值是______．
【答案】
17
【分析】将已知解代入原方程，整理为关于k 的等式，根据等式对任意k 恒成立，得到关于a 和b 的关系式，
再代入所求代数式计算即可．
【详解】解：把
1
x 代入方程4
2
12
kx
a
x
bk
得4
2
12 1
k
a
bk
，
整理得
4
2
13
0
b k
a
，
因为无论k 为何值，方程的解总是
1
x ，所以等式对任意k 恒成立，
因此
4
0
{2
13
0
b
a
，
解得：
4
b ，2
13
a
，
将结果代入2a
b
得
2
13
4
17
a
b
．
三、解答题
11．判断下列变形是否正确，若正确，指出依据的等式性质．
(1)如果x
y
，那么
3
3
x
y
；
(2)如果2
2
a
b
，那么a
b
；
(3)如果a
b
，那么ac
bc
；
(4)如果x
y
a
a
，那么x
y
．
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【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)见解析
【分析】本题考查等式的基本性质：①等式两边同时加上（减去）同一个数，等式仍然成立；②等式两边
同时乘以（除以）同一个不为0 数，等式仍然成立，熟记等式的基本性质是解决问题的关键．
（1）由等式的基本性质1 逐项验证即可得到答案；
（2）由等式的基本性质2 逐项验证即可得到答案；
（3）由等式的基本性质2 逐项验证即可得到答案；
（4）由等式的基本性质2 逐项验证即可得到答案．
【详解】（1）解：正确．
等式两边都加上同一个数，结果仍相等．依据：等式性质1；
（2）解：正确．
等式两边都除以同一个不为0 的数，结果仍相等．依据：等式性质2；
（3）解：正确．
等式两边都乘同一个数，结果仍相等．依据：等式性质2；
（4）解：正确．
由x
y
a
a
知
0
a
，等式两边都乘以同一个不为0 的数，结果仍相等．依据：等式性质2．
12．根据下列条件列出方程：
(1) x 的5倍与2 的和等于x 的3倍与4 的差．
(2)某数的1
2 比它本身小6．（设这个数为x ）
(3)一个数的3倍加上5等于这个数的5倍减去11．（设这个数为x ）
【答案】(1)5
2
3
4
x
x
(2) 1
6
2 x
x
(3)3
5
5
11
x
x
【分析】本题考查了列一元一次方程，熟练掌握方程的列法是解题的关键．
（1）根据题意列出方程即可；
（2）根据题意列出方程即可；
（3）根据题意列出方程即可．
【详解】（1）解：由题意可得：5
2
3
4
x
x
；
（2）解：由题意可得：1
6
2 x
x
；
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（3）解：由题意可得：3
5
5
11
x
x
．
13．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程4
8
x
和
1
0
x
为“美好方程”．
(1)若关于x 的方程2
0
x
m
与方程4
2
7
x
x
是“美好方程”，求m 的值；
(2)若“美好方程”的两个方程解的差为8，其中一个解为n，求n 的值．
【答案】(1)
4
m
(2)
7
2
n
或
9
2
n
【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，能根据等式的性质求出方程的解是解此题的关
键．
（1）先根据等式的性质求出两个方程的解，再根据两方程是“美好方程”得出关于m 的方程，再求出m 即可；
（2）设另一个方程的解为1 n
，列出方程，求出n 值即可．
【详解】（1）解：由条件可知
2
m
x
，
4
2
7
x
x
，
∴𝑥= 3，
关于x 的方程2
0
x
m
与方程4
2
7
x
x
是“美好方程”，
3
1
2
m
，
解得
4
m
；
（2）解：由条件可知另一个方程的解为：1 n
，
又两个方程解的差为8，
得：
1
8
n
n
1
8
n
n
或1
8
n
n
，
7
2
n
或
9
2
n
．
14．请用式子表示下列问题中的数量关系，并判断所列式子中，哪些是一元一次方程．
(1)x 与3 的差是5．
(2)代数式2
x
与2
5
y
的值相等．
(3)两个正方形的边长分别为𝑥cm，𝑦cm，它们的面积差为
2
7cm ．
(4)小明参加学校的乒乓球比赛，胜了x 场，负了(8−𝑥)场，胜的场数大于负的场数．
【答案】(1)
3
5
x
，是一元一次方程
(2) 2
2
5
x
y
，不是一元一次方程
(3)
2
2
7
x
y
，不是一元一次方程
(4)
8
x
x
，不是一元一次方程
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【分析】本题考查了列方程，一元一次方程的定义．
（1）根据题意列出方程，再根据一元一次方程的定义判断即可；
（2）根据题意列出方程，再根据一元一次方程的定义判断即可；
（3）根据题意列出方程，再根据一元一次方程的定义判断即可；
（4）根据题意列出方程，再根据一元一次方程的定义判断即可．
【详解】（1）解：根据题意，x 与3 的差是5，可得
3
5
x
．该式只含一个未知数x，且未知数的次数为
1，是一元一次方程；
（2）解：根据题意，代数式2
x
与2
5
y
的值相等，可得2
2
5
x
y
．该式含有两个未知数x 和y，不
是一元一次方程；
（3）解：根据题意，两个正方形的面积差为
2
7cm ，可得
2
2
7
x
y
．该式含有两个未知数x 和y，且次数
为2，不是一元一次方程；
（4）解：根据题意，胜的场数大于负的场数，可得
8
x
x
．该式不是等式，不是方程，因此不是一元一
次方程．
15．已知两个整式M
x
y
，N
x
y
，将整式M 与整式N 求和后得到整式
1
2 .
A
x
此操作记作第一次求
和操作；将第一次求和操作的结果
1A 加上
2
M
N
的结果记为
2
A ，记作第二次求和操作；将第二次求和操
作的结果
2
A 加上2
3
M
N
的结果记为
3
A ，记作第三次求和操作；将第三次操作的结果
3
A 加上3
4
M
N
的结
果记为
4
A ，记作第四次求和操作，…，以此类推．
根据以上材料，回答下列问题：
(1)【理解定义】
①计算：
2
A ______，
3A ______（用含x，y 的代数式表示）；
②观察前三次的结果，猜想
n
A ______（用含n，x，y 的代数式表示）．
(2)【初步应用】
当
3
y
x
时，
①
6A ______；
②若关于x 的方程
6
3
1
1
2
5
48
2
2
A
A
m
A
有无数个解，则m ______．
(3)【深入探究】
当n 为大于3 的正整数时，
2
1
1
3
2
1
k
k
m
n
A
A
m
x
m
y
x y
是关于x，y 的五次三项式( 其中m 和
k 均为整数) ，则
m
k 的值为______．
【答案】(1)① 5x
y
， 10
2
x
y
；②
2
1
1
n
x
n
y
(2)①22x ；②24
(3)4 或0 或2
【分析】（1）根据所给操作方式进行计算即可；
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（2）结合（1）中发现的规律进行计算即可；
（3）根据题意，求出m 和k 的值即可解决问题．
【详解】（1）解：①由题意知，
2
2
2
2
5
A
x
x
y
x
y
x
y
，
3
5
2
2
3
3
10
2 .
A
x
y
x
y
x
y
x
y
②因为
1
2
A
x
，
2
5
A
x
y
，
3
10
2
A
x
y
，
4
10
2
3
3
4
4
17
3
A
x
y
x
y
x
y
x
y
，…，
所以
2
1
1
.
n
A
n
x
n
y
（2）解：①因为
2
6
6
1
6 1
37
5 .
A
x
y
x
y
则当
3
y
x
时，
6
37
15
22 .
A
x
x
x
②当
3
y
x
时，
3
10
6
4
A
x
x
x
，
则原方程为
2 22
5 4
48
2
x
x
m
x
，
整理得，
24
2
2
x
m x
，
因为此方程有无数个解，
所以
24.
m
（3）解：由题意知，
原多项式为
2
1
1
2
9
3
2
1
.
k
k
m
n
x
n
y
m
x
m
y
x y
因为n 为大于3 的正整数，
所以
2
9
3
n
x
n
y
是一个二项式．
因为该多项式是关于x，y 的五次三项式，
所以
2
0
m
或
1
0.
m
当
2
0
m
，即
2
m
时，要使该多项式为五次的，
则2
1
5
k
，
解得
2
k
或4
，
经检验，都符合题意，
所以
4
m
k
或2
；
当
1
0
m
，即
1
m 时，要使该多项式为五次的，
则3
1
5
k
或1
1
5
k
，
由3
1
5
k
得，𝑘= 3或1
，
经检验，都符合题意，
所以
4
m
k
或0；
由1
1
5
k
得，𝑘= 3或5
，
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5
k
时，该多项式为九次三项式，故舍去；
当𝑘= 3时，符合题意，
则
4
m
k
，
综上所述，
m
k 的值为4 或0 或2.
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