函数与导数：函数的单调性专项训练
考点目录
判定函数单调性与单调区间
利用单调性求最值
利用单调性解不等式与比较大小
复合函数的单调性
分段函数的单调性
1．（24-25 高一上·福建泉州·阶段练习）函数
1
1
g x
x x
=
+
+ 的单调递减区间为（ ）
A．
1
, 2
¥
æ
ù
-
ç
ú
è
û
B．
1
1,
2
é
ù
- -
ê
ú
ë
û
C．
1, ¥
+
D．
1
,
1,
2
¥
¥
æ
ù
-
È
+
ç
ú
è
û
2．（24-25 高二下·广东深圳·期末）函数
2
1
ln
2
f x
x
x
=
-
的单调递增区间是（ ）
A．
1,1
-
B．
0,1
C．
, 1
(1,
)
-¥ -
+¥
U
D．
1,+¥
3．（24-25 高二下·吉林长春·期末）下列函数中是偶函数且在区间(0,
)
+¥ 上单调递增的是（ ）
A．
( )
|
|
f x
x x
=
B．
2
3
( )
f x
x
=
C．
1
( )
f x
x
x
=
+
D．
2
2
( )
f x
x
=
4．（24-25 高二下·广东广州·阶段练习）下列函数在区间
0,1 上单调递增的是（ ）
A．
1
y
x
= -
B．
2
2
y
x
x
=
-
C．y
x
=
D．
2
y
x
=
5．（2024·北京·三模）下列函数中，在区间
0,+ ¥ 上为增函数的是（ ）
A．
ln
1
y
x
=
-
B．
2 2
1
y
x
x
=
-
+
C．
2
1
x
y
-
=
+
D．
3
1
y
x
=
-
考点一
判定函数单调性与单调区间
6．（24-25 高一下·北京延庆·期中）下列函数中，既是偶函数又在区间
,0
-¥
上单调递增的是（ ）
A．
2
3
y
x
=
B．
2
x
y =
C．
2
y
x
x
= -
+
D．
1
2
log
y
x
=
7．（24-25 高二下·河南商丘·期末·多选）下列函数中，在区间(1,
)
+¥ 上单调递增的是（
）
A．
|
2 |
y
x
=
-
B．
1
3
y
x
=
C．
1
1
y
x
= -
D．
2
4 |
|
y
x
x
=
-
8．（24-25 高一下·云南曲靖·期末·多选）下列函数中，既是偶函数，又在(0,
)
+¥ 上单调递增的是（ ）
A．
2
2
y
x
=
+
B．
1
y
x
x
=
-
C．
lg |
| 1
y
x
=
+
D．
1,
0
1,
0
x
x
y
x
x
-
>
ì
= í +
<
î
1．（24-25 高二下·辽宁沈阳·期末）函数
2
( )
4
2
f x
x
x
x
=
-
+
-
的最小值为（ ）
A．0
B．4
C．2
D．2 2
2．（24-25 高三上·广东广州·阶段练习）函数
4
f x
x
x
=
+
在
3,4 上的最小值是（ ）
A．4
B．13
3
C．14
3
D．5
3．（24-25 高一上·福建泉州·期中）函数
1
( )
1
f x
x
x
=
-
+ 的值域为（ ）
A．(
, 1]
-¥ -
B．[1,
)
+¥
C．[ 1,1]
-
D．R
4．（24-25 高一上·吉林长春·期中）已知函数
2 4
3
1
2
x
x
f x
+
+
æ
ö
= ç
÷
è
ø
，则（ ）
A．函数
f x 的值域为
0,1
B．函数
f x 无最值
C．函数
f x 在R 上递减
D．函数
f x 在
2, ¥
-
+
（
）上单调递减
5．（2025·广东茂名·一模·多选）已知函数
1
2
2
x
x
f x
a
+
=
+
，则（ ）
A．当
0
a >
时，
f x 是增函数
B．当
0
a <
时，
f x 的值域为
2,+¥
C．当
1
a = 时，曲线
y
f x
=
关于点
0,1 对称
D．当
4
a =
时，
2
,
1
2
2
x
f kx
f
x
" Î
+
+
-
<
R
，则2< <2
k
-
考点二
利用单调性求最值
6．（24-25 高一下·四川成都·期末·多选）下列说法正确的有（ ）
A．函数
5
2
3
x
y
x
-
=
+
在[0,2]时有最大值8
5 ，最小值
2
3
-
．
B．函数
2
1
3
x
y
x
+
=
+
的最大值为
1
2 ．
C．函数
3
2
2
( )
(1
)
x
x
f x
x
-
=
+
的值域为
1 1
[
, ]
4 4
-
．
D．若a
b
> ，则
(
0)
a
a
m m
b
b
m
+
>
>
+
7．（24-25 高三上·福建厦门·阶段练习）函数
3
2
1
y
x
x
=
+
- 的值域是
．
8．（24-25 高三上·湖北武汉·阶段练习）函数
2
1
1 ,1
3
1
2
x
f x
x
x
+ æ
ö
é
ù
=
Î
ç
÷
ê
ú
-
ë
û
è
ø
的值域为
．
9．（24-25 高一上·贵州贵阳·期末）已知函数
2
3
1.
2
x
f x
x
+
=
(1)判断
f x 在区间
, 1
-¥ -
上的单调性，并用定义证明；
(2)求
f x 在区间
1,3 上的值域.
10．（24-25 高一上·陕西西安·阶段练习）已知函数
2
2
log
2
log
1
f x
x
x
=
-
+
.
(1)求不等式
0
f x <
的解集；
(2)已知
1
( ,8)
2
xÎ
，求函数
( )
y
f x
=
的值域；
(3)若存在
4,16
xÎ
，使得不等式
2
3
log
f x
m
x
+
³
成立，求实数m 的取值范围.
1．（25-26 高三上·福建厦门·开学考试）若
ln 2
2
a =
，
ln3
3
b =
，
2023
2023
2024
c
æ
ö
= ç
÷
è
ø
，则（ ）
A．a
b
c
<
<
B．a
c
b
<
<
C．b
c
a
<
<
D．c
a
b
<
<
2．（24-25 高三下·安徽合肥·阶段练习）已知
2
3
3
2(2
ln 2)e
3 3
ln3 e ,
ln
3
a
b
c
-
-
=
-
=
-
=
，
，则（
）
A．a
c
b
<
<
B．b
c
a
<
<
C．a
b
c
<
<
D．b
a
c
<
<
3．（2025·江苏泰州·模拟预测）已知函数
1
1
sin 2
2
e
e
2
x
x
f x
x
x
-
-
=
-
-
+
+
ÎR
，
．若
2
2
1
4
f
a
f
a
+
-
<
，则实
数a 的取值范围为（ ）
A．
1 ,1
2
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
B．
1
,
1,
2
¥
¥
æ
ö
-
-
È
+
ç
÷
è
ø
C．
1
1, 2
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
D．
1
, 1
,
2
¥
¥
æ
ö
-
-
È
+
ç
÷
è
ø
4．（24-25 高二下·河南驻马店·期末）定义在R 上的奇函数
f x （
f x 不是常数函数）的导函数为
f
x
¢
，当
0
x ³
时，恒有
3
0
f x
xf
x
+
³
¢
，则不等式
3
3
3
1
3
1
x f x
x
f
x
<
-
-
的解集为（ ）
A．
1
1
,
,
4
2
æ
ö
æ
ö
-¥
+¥
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
U
B．1 1
,
4 2
æ
ö
ç
÷
è
ø
C．
1
, 2
æ
ö
-¥
ç
÷
è
ø
D．1 ,
2
æ
ö
+¥
ç
÷
è
ø
5．（2025·河北石家庄·三模）已知
f x 是定义在R 上的奇函数，当
1
x 、
2
0,
x
¥
Î
+
且
1
2
x
x
¹
时，都有
2
1
1
2
1
2
1
2
0
x f x
x f x
x x
x
x
-
>
-
成立，
2025
2025
f
=
，则不等式
0
f x
x
-
>
的解集为（ ）
A．
,
2025
2025,
¥
¥
-
-
È
+
B．
2025,0
2025, ¥
-
È
+
C．
2025,2025
-
D．
1
1
,
2025 2025
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
考点三
利用单调性解不等式与比较大小
6．（24-25 高二下·江西上饶·期末）已知函数
( )
sin
f x
x
x
=
-
，且
2
log
( 1)
0
f
m
f
+
-
<
，则m 的取值范围是（ ）
A．(
,2)
-¥
B．(0,2)
C．(1,2)
D．(2,
)
+¥
7．（24-25 高一上·四川泸州·期末）已知定义域为R 的函数
f x 满足
f x
f
x
=
-
，当
,0
x
¥
Î -
时，
1
2
x
f x
æ
ö
= ç
÷
è
ø
，则满足
1
3
1
2
f
x
f æ
ö
-
<
ç
÷
è
ø 的实数x 的取值范围是（ ）
A．1 1
,
6 2
é
ö
÷
êë
ø
B．
1
1
,
2
6
æ
ö
-
-
ç
÷
è
ø
C．
1
1
,
3
6
é
ö
-
-
÷
êë
ø
D．1 1
,
6 2
æ
ö
ç
÷
è
ø
8．（25-26 高三上·湖北武汉·开学考试）已知函数
3
2
e
1
x
f x
x
=
-
+
，则满足不等式
2
2
1
2
f m
f
m
+
+
-
>
的实数
m 的取值范围是（ ）
A．
1
3
m <
B．
1
3
m >
C．
1
3
m < -
D．
1
3
m > -
9．（25-26 高三上·广东深圳·开学考试）已知函数
1
ln 2
1
ln3
ln 1 e
,
,
,
2
2
e
3
x
f x
x a
f
b
f
c
f
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
+
-
=
=
=
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø，则
（ ）
A．a
c
b
<
<
B．b
c
a
<
<
C．a
b
c
<
<
D．c
b
a
<
<
10．（24-25 高三上·广东广州·阶段练习·多选）已知定义在R 上的连续函数
f x 是偶函数，且满足
2
2
f x
f x
-
= -
+
，且
1x
" ，
2
0,4
x Î
，
1
2
x
x
¹
，都有
1
2
1
2
0
f x
f x
x
x
-
>
-
，则（ ）
A．
4
f x
f x
=
+
B．
f x 在
8,0
-
单调
C．
121
sin1
f
f
>
D．
f x 在
4,9
-
有三个极值点
11．（24-25 高三上·福建厦门·阶段练习·多选）已知定义在
π
0, 2
é
ö
÷
êë
ø上的函数
f x 的导函数为
f
x
¢
，且
0
0
f
=
，
cos
sin
0
f
x
x
f x
x
¢
+
<
，则下列判断中正确的是（ ）.
A．
π
6
π
6
2
4
f
f
æ
ö
æ
ö
<
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
B．
π
ln
0
3
f æ
ö >
ç
÷
è
ø
C．
π
π
3
6
3
f
f
æ
ö
æ
ö
>
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
D．
π
π
2
4
3
f
f
æ
ö
æ
ö
>
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
12．（24-25 高三上·江苏南京·阶段练习·多选）已知lg
lg
a
b
>
，则下列结论成立的是（ ）
A．2
1
a b
- >
B．
1
1
a
b
a
b
+
>
+
C．
2025
2025
b
b
a
a
+
>
+
D．π
3
a b
a b
-
-
>
13．（24-25 高二下·山东日照·期末）定义域为R 的偶函数
( )
f x 在(
,0]
-¥
上单调递减，且
(1)
0
f
=
，若关于x 的不等
式(
1) (
2)
(
2) (2
)
mx
f x
nx
f
x
-
-
³
+
-
的解集为[1,
)
+¥ ，则
1
e
e
m
n
-
+
的最小值为
．
14．（24-25 高二下·江苏无锡·阶段练习）已知函数
e
e
1
-
=
-
+
x
x
f
x
（e为自然对数的底数），若
2
2
1
4
2
f
x
f
x
-
+
-
>
，则该不等式的解集是
．
15．（24-25 高二下·河北唐山·期末）设
f
x
¢
是函数
f x 的导函数，若对任意
R
xÎ
都有
2,
2
3
f
x
f
¢
<
=
，则使
得
e
2e
1
x
x
f
<
- 成立的x 的取值范围是
.
16．（24-25 高二下·陕西西安·期末）已知
f x 是定义在R 上的奇函数，且当
0
x >
时，
2
log
3
f x
x
x
=
+
- ，则不
等式
0
x f x
×
>
的解集是
.
17．（24-25 高二下·黑龙江牡丹江·期末）已知函数
( )
f x 的定义域为R ，对任意x ，y 都满足
(
)
( ) ( )
f x
y
f x f y
+
=
，
且
( )
0
f x ¹
，当
0
x >
时，0
( )
1
<
<
f x
且
1
(2)
9
f
=
.
(1)求
(1)
f
，
(3)
f
的值；
(2)用函数单调性的定义证明
( )
f x 在R 上单调递减；
(3)若对任意的
R
xÎ
，
2
2
3
2
(
5) (3
4)
f
x
a
a
f x
f
x
-
+
£
-
-
恒成立，求实数a 的取值范围.
18．（24-25 高一上·四川泸州·期末）已知定义在( 2
)
,3
a
-
-
上的函数
2
( )
4
ax
b
f x
x
+
=
-
图象关于原点对称．
(1)求
( )
f x 的解析式；
(2)判断并用定义证明
( )
f x 的单调性；
(3)解不等式
(2
1)
(
2)
0
f
t
f t
+
+
-
>
．
1．（2025·江西·二模）若函数
2025 x a
f x
-
=
∣
∣在区间
2026,+¥ 上单调递增，则a 的取值范围为（ ）
A．
2026,+¥
B．
0,2026
C．
,2026
-¥
D．
,2026
-¥
2．（24-25 高一上·甘肃甘南·期末）函数
2
π
1
log
sin 2
6
2
f x
x
æ
ö
æ
ö
=
-
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
的单调递增区间为（ ）
A．
π
π,
π
Z
3
k
k
k
æ
ù
+
Î
ç
ú
è
û
B．
π
π
π,
π
Z
6
3
k
k
k
æ
ù
-
+
+
Î
ç
ú
è
û
C．
π
7π
π,
π
Z
3
12
k
k
k
é
ö
+
+
Î
÷
êë
ø
D．
π
π
π,
π
Z
6
3
k
k
k
æ
ù
+
+
Î
ç
ú
è
û
3．（24-25 高二下·云南·期末）函数
2
1
10
f x
x
x
=
-
的单调递减区间为（ ）
A．
,0
-¥
B．
10,+¥
C．
5,10
D．
5,+¥
4．（24-25 高一下·贵州毕节·期末）函数
4
1
f x
x
x
=
-
- 的最大值为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
5．（24-25 高二下·辽宁·期末）已知函数
2
1
x
ax
f x
a
-
+
æ
ö
= ç
÷
è
ø
（
0
a >
且
1
a ¹ ）在区间
2,+¥ 上单调递增，则a 的取值
范围为（ ）
A．
1,4
B．（1，4）
C．
1,2
D．
1 ,1
2
æ
ö
ç
÷
è
ø
考点四
复合函数的单调性
6．（2025·重庆·模拟预测）已知函数
1 e
e
2
x
x
f x
-
=
+
，若对任意的
1
2
,
R
x x Î
，满足
1
2
1
2
f x
f x
f x
x
<
<
+
，
则恒有（ ）
A．
1
2
0
x
x
+
>
B．
1
2
0
x
x
-
>
C．
1
2
0
x
x
-
<
D．
1
2
0
x
x
×
>
7．（24-25 高一下·河南·期末·多选）下列函数是奇函数，且满足对任意
1
2
1
2
,
0,
x x
x
x
Î
+¥
¹
，都有
2
1
2
1
0
x
x
f x
f x
é
ù
-
-
>
ë
û
的是（ ）
A．
2
1
2
log
f x
x
=
B．
e
e
2
x
x
f x
-
-
=
C．
1 2
2
1
x
x
f x
-
=
+
D．
2
lg
1
f x
x
x
=
+
+
8．（24-25 高一下·海南海口·期末·多选）已知函数
3
ln 3
x
f
x
x
-
=
+
，则下列说法正确的是（ ）
A．函数
f x 的定义域为
3,3
-
B．函数
f x 是奇函数
C．函数
f x 是增函数
D．若
2
1
0
f a
f
a
+
-
<
，则1
2
3
a
<
<
9．（24-25 高二上·浙江温州·期中）函数
2
( )
6
f x
x
x
=
-
-
的单调递减区间为
.
10．（24-25 高一上·广东湛江·期中）函数
2
12
f x
x
x
=
-
-
的单调递减区间为
.
11．（24-25 高二下·江苏无锡·阶段练习）函数
2
5
6
y
x
x
=
+
-
的单调减区间是 ．
12．（24-25 高三下·四川雅安·开学考试）函数
2
lg
2lg
f x
x
x
=
-
的单调递增区间是
．
13．（24-25 高二下·天津·期末）已知函数
log
2
log
2
a
a
f
x
x
x
=
+
-
-
（
0,
a >
且
1
a ¹ ）．
(1)判断
f x 的奇偶性，并证明；
(2)当
3
a =
时，若
2
f m
f
m
-
-
<
，求实数m 的取值范围．
14．（24-25 高一上·新疆和田·期末）已知函数
2 2
3
2x
x
f x
-
+
=
.
(1)若
8
f x >
，求x 的取值范围.
(2)求
f x 的单调区间.
(3)当
0,3
xÎ
时，求
f x 的最值.
1．（24-25 高三上·江苏南通·开学考试）已知函数
2
5,
1
,
1
x
ax
x
f x
a x
x
ì-
-
-
£
ï
= í
>
ïî
是R 上的增函数，则a 的取值范围是
（ ）
A．3
2
a
-
-
≤≤
B．
2
a £ -
C．3
0
a
- £
£
D．
0
a £
2．（24-25 高二下·黑龙江大庆·期末）已知函数
2
3
4
3,
1
,
1
x
a
x
a
x
f x
a
x
ì
+
-
+
³
= í
<
î
，对任意的
1
2
,
R
x x Î
，且
1
2
x
x
¹
，都
有
1
2
1
2
0
f
x
f
x
x
x
-
>
-
，则a 的取值范围是（ ）
A．
1
a >
B．
2
a <
C．1
2
a
<
<
D．1
2
a
<
£
3．（24-25 高二下·江苏南通·阶段练习）已知函数
3
2
3
0
e
ln
1
0
x
x
ax
x
a
x
f x
x
x
ì
+
+
-
<
ï
= í
+
+
³
ïî
，
，
在R 上单调递增，则实数a 的取值
范围为（ ）
A．
,3]
- ¥
（
B．[3,+¥）
C．
1,3
-
D．
, 3]
- ¥ -
（
4．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知函数
2
2
1,
1,
1
2 ,
1
x
x
ax
x
f x
x
x
ì
-
+
<
ï
= í
-
³
ïî
在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
,2
-¥
B．
3
1, 2
é
ù
ê
ú
ë
û
C．
1,2
D．
2,+¥
5．（24-25 高三上·福建漳州·阶段练习）已知函数
2
5,
1
,
1
x
ax
x
f x
a x
x
ì
+
+
£
ï
= í
-
>
ïî
是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是
（
）
A．3
2
a
-
-
≤≤
B．3
0
a
- £
£
C．
2
a £ -
D．
0
a <
考点五
分段函数的单调性
6．（24-25 高二下·河北秦皇岛·期末）已知函数
2 , 1
1
3
,
1
x
x
x
f x
m x
ì
- <
<
= í
-
³
î
单调递增，且
2
2
1
f m
f
m
+
>
-
，则实数m
的取值范围为（ ）
A．
2,1
-
B．
2,1
-
C．
0,1
D．
0,1
7．（24-25 高二下·福建·期末·多选）已知函数
1
1,
2
1
,
2
2
x
ax
x
f x
x
-
-
£
ì
ï
= íæ
ö
>
ç
÷
ïè
ø
î
.则下列说法正确的是（ ）
A．
3
2
f
f
=
，则
12
a =
B．
1
a = ，
f x 的值域为
1
0, 2
æ
ö
ç
÷
è
ø
C．当
1
0
2
b
<
<
时，
0
g x
f x
b
=
-
=
有2 个不相等的实数根
0
a >
，则
3
4
a ³
D．若
,
2
4 ,
2
f x
x
g x
f x
a x
ì
£
ï
= í
+
>
ïî
在R 上单调递减，则a 的取值范围为
3
,
4
¥
æ
ù
-
-
ç
ú
è
û
8．（2025·宁夏中卫·三模）已知函数
2
1
,
1
4
2
1,
1
a x
f x
x
x
a x
a
x
-
ì
< -
ï
= í
ï
+
-
+
-
³ -
î
，在R 上单调递增，则实数a 的取值范围
为
.
9．（2025·甘肃白银·三模）若函数
2
1
1,
2
3
2
3,
2
x
a
x
x
f x
a
x
x
ì
-
-
+
³
ï
= í
+
-
<
ïî
，是定义在R 上的增函数，则实数a 的取值范围
是
.
10．（2025·甘肃白银·二模）已知
log
1 ,
0
1
2
3,
0
a x
x
f x
a
x
a
x
ì
+
>
ï
= í
+
+
-
£
ïî
是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围
为
．
11．（24-25 高二下·上海·期末）已知函数
2
2
4,
1,
x
x
a
f x
x
x
a
+
£
ì
= í
+
>
î
在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是
．
12．（24-25 高二下·辽宁辽阳·期末）已知函数
2
2
,
1,
3,
1
x
a
x
f x
x
ax
x
ì
>
= í-
+
+
£
î
在R 上单调递增，则a 的取值范围是 ．
