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专题19 平面向量的概念与运算及几何性质
№考向解读
考点精析
➊
真题精讲
➋
模拟精练
➌
专题训练
➍
备战2024 高考数学一轮复习
（新高
考）
1
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专题19 平面向量的概念与运算及几何性质
命题解读
命题预测
复习建议
平面向量的概念与运算这一
部分，高考的考察比较少，
主要集中在向量的运算以及
它的几何性质部分，对于平
面向量的运算，要注意运算
的法则，注意向量是矢量这
一知识点。
预计2024 年的高考对于平面
向量的概念及运算部分考察
还是以小题为主，如果出题
可能以选择题的形式出现。
集合复习策略：
1.理解平面向量的概念，几
何表示；
2.掌握平面向量的运算及几
何意义。
→➊考点精析←
一、 平面向量的概念
1．平面向量的有关概念
名称
定义
表示
向量
在平面中,既有大小又有方向的量
用a,b,c,…或⃗AB,⃗BC,…
表示
向量的模
向量a 的大小,也就是表示向量a 的有向线段⃗AB的
长度 (或称模)
|a|或|⃗AB|
零向量
长度为0 的向量
用0 表示
单位向量
长度等于1 个单位的向量
用e 表示,|e|=1
平行向量
方向相同或相反的非零向量(或称共线向量)
a∥b
相等向量
长度相等且方向相同的向量
a=b
相反向量
长度相等,方向相反的向量
向量a 的相反向量是-a
2. 说明:零向量的方向是不确定的、任意的.
规定:零向量与任一向量平行.
二、 平面向量的线性运算
1. 向量的线性运算
向量
运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运
算
三角形法则
平行四边形法则
(1)加法交换律:a+b= b+a;
(2)加法结合律:(a+b)+c= a+
(b+c)
2
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减法
减去一个向量相当
于加上这个向量的
相反向量
三角形法则
a-b= a+(-b)
数乘
实数λ 与向量a 的
积是一个向量,这种
运算叫作向量的数
乘, 记作λa
(1)|λa|=|λ||a|.
(2)当λ>0 时,λa 与a 的方向相
同;当λ<0 时,λa 与a 的方向相
反;当λ=0 时,λa=0
(1) 对向量加法的分配
律:λ(a+b)= λa+λb;
(2) 对实数加法的分配律:
(λ1+λ2)a=λ1a+λ2a
2.常用三角公式
向量的共线定理
向量a(a≠0)与b 共线,当且仅当有唯一的实数λ,使b=λa.
→➋真题精讲←
1. （2023 全国甲卷4）已知向量
满足
，且
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】作出图形,根据几何意义求解.
【详解】因为
,所以
,
即
,即
,所以
.
如图,设
,
3
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由题知,
是等腰直角三角形,
AB 边上的高
,
所以
,
,
.
故选:D.
2. （2023 全国文科乙卷6）正方形
的边长是2，
是
的中点，则
（
）
A.
B. 3
C.
D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】方法一：以
为基底向量表示
，再结合数量积的运算律运算求
解；方法二：建系，利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求
，
4
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进而根据数量积的定义运算求解.
【详解】方法一：以
为基底向量，可知
，
则
，
所以
；
方法二：如图，以
为坐标原点建立平面直角坐标系，
则
，可得
，
所以
；
方法三：由题意可得：
，
在
中，由余弦定理可得
，
所以
.
故选：B.
3.（2023 全国理科乙卷12） 已知
的半径为1，直线PA 与
相切于点A，直线PB 与
交于B，C 两点，D 为BC 的中点，若
，则
的最大值为（ ）
5
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A.
B.
C
D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得
，或
然后结合三角函数的性质即
可确定
的最大值.
【详解】如图所示，
，则由题意可知:
，
由勾股定理可得
当点
位于直线
异侧时，设
，
则：
6
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，则
当
时，
有最大值.
当点
位于直线
同侧时，设
，
则：
7
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，则
当
时，
有最大值
.
综上可得，
的最大值为
.
故选：A.
【点睛】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最
值的问题，考查了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力.
4. （2023 天津卷14）在
中，
，
，点
为
的中点，点
为
的中点，若设
，则
可用
表示为_________；若
，
则
的最大值为_________．
【答案】 ①.
②.
【解析】
【分析】空1：根据向量的线性运算，结合
为
的中点进行求解；空2：用
表示
出
，结合上一空答案，于是
可由
表示，然后根据数量积的运算和基本不
等式求解.
8
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【详解】空1：因为
为
的中点，则
，可得
，
两式相加，可得到
，
即
，则
；
空2：因为
，则
，可得
，
得到
，
即
，即
.
于是
.
记
，
则
，
中，根据余弦定理：
，
于是
，
由
和基本不等式，
，
故
，当且仅当
取得等号，
则
时，
有最大值
.
9
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故答案为：
；
.
5. （2023 全国Ⅰ卷16）已知双曲线
的左、右焦点分别为
．
点
在
上，点
在
轴上，
，则
的离心率为________．
【答案】
##
【解析】
【分析】方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到
关
于
的表达式，从而利用勾股定理求得
，进而利用余弦定理得到
的齐次方程，
从而得解.
方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得
，
，
将点
代入双曲线
得到关于
的齐次方程，从而得解；
【详解】方法一：
依题意，设
，则
，
在
中，
，则
，故
或
（舍去），
所以
，
，则
，
10
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故
，
所以
中，
，整理得
，
故
.
方法二:
依题意，得
，令
，
因为
，所以
，则
，
又
，所以
，则
，
又点
在
上，则
，整理得
，则
，
所以
，即
，
整理得
，则
，解得
或
，
又
，所以
或
（舍去），故
.
故答案为：
.
11
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【点睛】关键点睛：双曲线过焦点的三角形的解决关键是充分利用双曲线的定义，结合勾
股定理与余弦定理得到关于
的齐次方程，从而得解.
→➌模拟精练←
1．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考二模）在如图的平面图形中，已知
,
则
的值为
A．
B．
C．
D．0
【答案】C
【详解】分析：连结MN，结合几何性质和平面向量的运算法则整理计算即可求得最终结
果.
详解：如图所示，连结MN，
由
可知点
分别为线段
上靠近点
的三等分点，
则
，
由题意可知：
，
，
结合数量积的运算法则可得：
.
本题选择C 选项.
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点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的
几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
2.（2023·江苏常州·校考二模）如图所示，边长为2 的正
，以BC 的中点O 为圆心，
BC 为直径在点A 的另一侧作半圆弧
，点P 在圆弧上运动，则
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，可得
，求出
的夹角范围，再利用向量数量
积的定义、运算律求解作答.
【详解】过点
作
交半圆弧于点
，连接
，如图，
而
是正三角形，则
，令
夹角为，
当点P 在弧
上时，
，当点P 在弧
上时，
，于是
，
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显然
，
，
所以
.
故选：B
3．（2023·江苏南通·二模）在平行四边形
中，
，
．若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用平面向量的线性运算求出
即可.
【详解】由题意可得
，
所以
，
，
所以
，
故选：D
4．已知边长为1 的正五边形
，则
（ ）
14
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】如图，设
的中点为
，连接
，
由正五边形的性质可得：
，
所以
，
因为
，
所以
，
故选：
.
5．（2023·广东·高三校联考阶段练习）八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明特
色的花纹.八角星纹常绘于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈红色底衬，然后在上
面绘并列的八角星形的单独纹样.八角星纹以白彩的成，黑线勾边，中为方形或圆形，且有
向四面八方扩张的感觉.八角星纹延续的时间较长，传播范围亦广，在长江以南的时间稍晚
的崧泽文化的陶豆座上也屡见刻有八角大汶口文化八角星纹.图2 是图1 抽象出来的图形，
在图2 中，圆中各个三角形（如
）为等腰直角三角形，点
为四心，中间部分是正
方形且边长为2，定点
，
所在位置如图所示，则
的值为（ ）
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A．10
B．12
C．14
D．16
【答案】C
【解析】如图所示：连接
，
因为中间阴影部分是正方形且边长为2，
且图中各个三角形为等腰直角三角形，
所以可得
，
，
，
则
，
.
故选：C.
6．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中统考三模）平行四边形
中，点
在边
上，
，记
，则
（ ）
16
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】在
中，
，
，
所以
.
故选：D
7．（2023·安徽铜陵·统考三模）在平行四边形
中，
是
边上中点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为
是平行四边形
的
边上中点，所以
，
所以
，
所以
.
故选：C.
→➍专题训练←
1．（2023·江苏·二模）在
所在平面内，
是
延长线上一点且
，
是
的中点，设
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，借助向量的线性运算用
、
表示
即可判断作答.
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【详解】在
所在平面内，
在
延长线上，且
，则
，又
是
的中点，
所以
.
故选：C
2．（2023·河北唐山·统考三模）正方形
边长为
，
为
中点，点
在
上，
，则
（ ）
A．
B．
C．5
D．10
【答案】C
【详解】设
，
因为
，
，
因为正方形
边长为
，
，
所以
，解得
，
所以
，
故选：C
3．（2023·江苏南通·江苏省如皋中学校考模拟预测）单位圆
上有两定点
，
及两动点
，且
.则
的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设
中点为
，
中点为
，
，
.进而可推得
，结合图象，根据数量积的意义，即可求出最值.
【详解】设
中点为
，
中点为
，则
，
.
由已知
，可知
，
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所以
，所以
为等边三角形，所以
.
同理可得，
.
.
如图，当
、
方向相反时，
有最大值为
，
即
的最大值是
.
故选：A.
【点睛】方法点睛：将
转化为以点
为起点的向量表示，然后根据向量
的运算，结合数量积的意义，即可求出最值.
4. 如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中正确的是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】在平行四边形ABCD 中，
，故A 错误；
由向量减法法则得
，故B 错误；
由向量加法的平行四边形法则知
，即C 正确；
由于
，故D 错误；
故选：C.
5. 在平行四边形
中，
，
，
，
交
于F 且
，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解析】
对于选项A：
，故
选项A 不正确；
20
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对于选项B：易证
，所以
，所以
，故
选项B 正确；
对于选项C：
，即
，所以
，所以
，解得：
，
，因为
，所以
，
故选项C 正确；
对于选项D：
，故选项D 正确.
故选：BCD
6．（2023·广东广州·高三广东实验中学校考阶段练习）“圆幂定理”是平面几何中关于圆
的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点
分成的两条线段长的积相等．如图，已知圆O 的半径为2，点P 是圆O 内的定点，且
，弦AC，BD 均过点P，则下列说法正确的是（ ）
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A．
为定值
B．
的取值范围是
C．当
时，
为定值
D．
时，
的最大值为12
【答案】ACD
【解析】如图，设直线PO 与圆O 于E，F．则
，故A 正确．
取AC 的中点为M，连接OM，
则
，
而
故
的取值范围是
故B 错误；
当
时，
，故C 正确．
当
时，圆O 半径
取AC 中点为
，
中点为
，
则
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，
最后等号成立是因为
，
不等式等号成立当且仅当
，故D 正确．
故选:ACD.
7．（2023 春·广东韶关·高三校联考开学考试）已知
，
，
是单位圆上的三点，满足
，
，且
，其中
为非零常数，则下列结论一定正确的有（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．
D．
【答案】AB
【解析】依题意，
是单位向量，由
得：
，
，
而
，因此
，
对于A，当
时，
，由
知，
，则
，
即
，A 正确；
对于B，当
时，
，而
，则
，即
，B
正确；
23
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由
得：
，
即
，则
，
而
，有
，
，
因此
或
，即
或
，
对于C，由
或
得：
或
，C 错误；
对于D，由已知得：
，
，
，
若
，则
，
若
，
，D 错误.
故选：AB
8.给出下列四个命题：
①方向相反的两个向量是相反向量；
②若
，
满足
且
，
同向，则
；
③不相等的两个空间向量的模必不相等；
④对于任意向量
，
，必有
.
其中正确命题的序号为________.
【答案】④
【解析】对于①，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故①错误；
对于②，向量是不能比较大小的，故②错误；
对于③，不相等的两个空间向量的模也可以相等，故③错误；
只有④正确.
故答案为：④
9．（2023·广东肇庆·统考二模）设
是平面直角坐标系中关于
轴对称的两点，且
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.若存在
，使得
与
垂直，且
，则
的最小值为__________.
【答案】
【解析】如图示，
是平面直角坐标系中关于
轴对称的两点，且
，
由题意得：
，
令
，则
三点共线
，则
三点共线
故有
共线，
由题意
与
垂直,
,
知
,且
为定值，
在
中，
，当且仅当
时，
取最大值2，
此时
面积最大，则O 到
的距离最远，而
，
故当且仅当
即
关于y 轴对称时，
最小，
此时O 到
的距离为
，
25
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所以
,故
，即
的最小值为
，
故答案为：
10．（2023 秋·广东潮州·高三统考期末）设
是圆
上不同的两点.且
.则
______.
【答案】6
【解析】如图，设
点为
的中点，则
，
则
.
故答案为：.
11．（2023·广东广州·统考二模）在等腰梯形
中，已知
，
，
，
，动点E 和F 分别在线段
和
上，且
，
，当
__________时，则
有最小值为__________．
【答案】
【解析】因为在等腰梯形
中，已知
，
，
，
，可
知
，
所以
，
，
，
，
26
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则
.
当且仅当
，即
时取等号，即最小值
．
故答案为：
；
.
12．（多选）（2023·浙江·校联考三模）在平面直角坐标系中，已知点
，则（ ）
A．
B．
是直角三角形
C．
在
方向上的投影向量的坐标为
D．与
垂直的单位向量的坐标为
或
【答案】ABD
【详解】因为
，所以
，A 正确
因为
，所以
，
所以
，即
为直角三角形，B 正确；
设与
同向的单位向量为
，
，
所以
在
方向上的投影向量为
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，C 错误；
因为
，设与
垂直的单位向量为
，
则
，解得
或
，
故与
垂直的单位向量的坐标为
或
，D 正确，
故选：ABD．
28
