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专题2.3 一元二次不等式与其他常见不
等式
题型一
解不含参的一元二次不等式
题型二
分式不等式
题型三
绝对值不等式
题型四
指数，对数不等式
题型五
高次不等式
题型六
解含参的一元二次不等式
题型七
一元二次不等式的恒成立问题
题型八
一元二次不等式的有解问题
题型九
一元二次不等式的实际应用
题型一
解不含参的一元二次不等式
例1．（2023·四川自贡·统考三模）已知集合
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先分别求出集合A,B,再根据并集的概念运算可得.
【详解】因为
，
，
.
故选：C.
例2．（2021 秋·广西桂林·高二校考期中）求下列不等式的解集：
(1)
；
(2)
【答案】(1)
或
1
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(2)
【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可.
【详解】（1）原不等式整理得，
，
即
，解得
或
，
原不等式的解集为
或
（2）原不等式整理得，
，
，
原不等式的解集为
.
练习1．（2022 秋·浙江温州·高一校考期中）不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据一元二次不等式的解法即可求解.
【详解】∵不等式
，
又
，
∴不等式
的解集为
.
故选：A.
练习2．（2023·北京·高三统考学业考试）不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由二次函数的性质，解二次不等式.
【详解】当
时，
；当
时，
，
所以不等式
的解集是
.
故选：B
练习3．（2023·全国·高一专题练习）
的一个充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
或
【答案】C
【分析】解不等式
，利用集合的包含关系判断可得出结论.
【详解】解不等式
可得
或
，
2
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因为
或
，
故只有C 选项中的条件才是“
”的充分不必要条件.
故选：C.
练习4．（2020 秋·福建泉州·高一晋江市第一中学校考阶段练习）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】求解一元二次不等式化简集合
，利用被开方数大于零化简集合
，再利用交集
的定义求解
.
【详解】化简集合
，
，
根据交集的定义，
.
故选：B
练习5．（河北省名校2023 届高三5 月模拟数学试题）设全集为
，集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据一元二次不等式以及对数函数的单调性计算得出
，然后求出交集，根据
集合的补集运算计算，即可得出答案.
【详解】由已知可得
，
，
所以，
，
所以
.
故选：D.
题型二
分式不等式
例3．（2023·上海·高三专题练习）已知
，
，则
__________．
【答案】
【分析】解不等式，再求交集.
3
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【详解】
等价于
，解得
，即
.
则
.
故答案为：
例4．求关于
的不等式的解集：
(1)
； (2)
．
【答案】(1)
或
(2)
【分析】（1）先通分，将分式不等式等价转化为二次不等式即可求解；
【详解】（1）
，即
，等价于
，解得
或
，故
的解集为
或
；
（2）不等式
可化为
，也即
，
所以
，解得：
，
所以原不等式的解集为
.
练习6．已知全集
，集合
，
，则
______，
______.
【答案】
或
或
【分析】先由分式不等式求法求解出集合
, 结合绝对值不等式解法求出集合
,然后结合
集合的交集与并集运算即可求得答案.
【详解】由
得
,
整理得
,
解得
或
, 即
或
因为
或
或
所以
或
;
4
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或
.
故答案为：
或
;
或
.
练习7．（2023 春·湖北·高一随州市第一中学校联考阶段练习）全集
，设集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】解分式不等式与一元二次不等式求得集合A 与集合B，运用集合的补集、交集计
算即可.
【详解】因为
或
，
所以
或
，所以
，
又因为
，所以
，
所以
.
故选：B.
练习8．（2022 秋·云南昆明·高三统考期末）写出一个
的充分条件________．
【答案】
（答案不唯一）
【分析】解不等式
得
，只要找
的一个子集即可.
【详解】
等价于
，即
，
则
，解得
，
所以
的一个充分条件是
，
故答案为：
（答案不唯一）.
练习9．（2023·天津河西·天津市新华中学校考模拟预测）已知全集
，集合
，
，则
（ ）
5
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】可解出集合
，
，然后进行补集、交集的运算即可．
【详解】集合
，
或
；
；
则
．
故选：C
练习10．已知集合
，
，求
．
【答案】
.
【分析】解含绝对值符号的不等式化简集合A，解分式不等式化简集合B，再利用交集的
定义求解作答.
【详解】依题意，解不等式
，得
，解得
，则
，
解不等式
，得
，解得
，则
，
所以
.
题型三
绝对值不等式
例5．（2023·全国·高三专题练习）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先求出集合
，
，然后进行交集的运算即可．
【详解】依题意得
，
，
所以
．
故选：C．
例6．（2023·全国·模拟预测）已知集合
，
，则
的非空真子集的个数为（ ）
A．14
B．6
C．7
D．8
6
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【答案】B
【分析】由绝对值不等式化简集合
,进而由集合的交补运算即可化简
即
可求解.
【详解】由
可得
或
，故集合
或
，
所以
，
所以
，所以
的非空真子集的个数为
.
故选：B.
练习11．（2021 春·陕西渭南·高二校考阶段练习）不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】A
【分析】由绝对值不等式的解法解原不等式即可得解.
【详解】由
可得
，解得
，
故原不等式的解集为
.
故选：A.
练习12．（2023·全国·高三专题练习）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】分别化简集合
，由集合的交集运算即可得出结论.
【详解】由题意可得
，
，则
．
故选：C.
练习13．（2023·上海·高三专题练习）若不等式
，则x 的取值范围是
____________．
【答案】
【分析】根据绝对值的几何意义解不等式.
【详解】∵
，则
，解得
，
∴x 的取值范围是
.
7
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故答案为：
.
练习14．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）已知全集
，集合
，集合
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】计算
，
，再计算补集得到答案.
【详解】
，
，
.
故选：A
练习15．（2023·河南新乡·统考三模）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意求集合
，进而求
.
【详解】因为
，
，
所以
.
故选：C.
题型四
指数，对数不等式
例7．（2023·浙江·高三专题练习）若集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】首先解绝对值不等式求出集合
、再解指数不等式求出集合
，最后根据交集的
定义计算可得.
【详解】由
可得
，解得
，所以
，
由
，可得
，所以
，即
，
所以
.
故选：B
8
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例8．（2023·全国·模拟预测）若集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由绝对值不等式及对数不等式求两个集合，在用交集运算即可.
【详解】由题意得
或
，
，
所以
．
故选：C．
练习16．（2022 秋·浙江杭州·高三校考期中）不等式
成立的一个充分不必
要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】解指数不等式，根据选项是条件的充分不必要条件来判断即可.
【详解】不等式
可以化简为：
解得
或
，则
或
，所以满足条件则选项为A.
故选：A
练习17．（2021 春·广东·高三校联考专题练习）已知全集
，集合
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先化简集合
和
，再结合选项一一判断即可．
【详解】由
或
，
所以
，
，所以选项A，B 都错；
因为
，则
，所以选项C 正确；
9
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由
，所以
，故选项D 错
故选：C
练习18．（2023·全国·模拟预测）已知集合，
，
或
，则
（ ）．
A．
或
B．
或
C．
或
D．
【答案】B
【分析】解法一利用对数不等式及绝对值不等式的解法，结合交集的定义即可求解.
解法二利用特殊值及交集的定义即可求解.
【详解】解法一：由题可得
或
，
或
，
所以
或
.
解法二：由题可得
，所以
，故排除A，D；
又
且
，所以
，故排除C．
故选：B．
练习19．（2023 春·河南·高三校联考阶段练习）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】首先解对数不等式及一元二次不等式，求出集合
、
，再根据交集的定义计算，
即可判断.
【详解】由
，即
，所以
，所以
，
由
，得
，所以
，解得
，
所以
，所以
．
故选：A．
练习20．（2023 春·江西南昌·高三校考阶段练习）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】解集合中的不等式，得到集合
，再求两个集合的交集.
10
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【详解】不等式
解得
，∴
，
不等式
即
，解得
，∴
，
则
故选：B
题型五
高次不等式
例9．（2023·上海·高三专题练习）已知函数
的图像如图所示，则不等式
的解集是_______________.
【答案】
【分析】根据图像判断出
的关系，进而求得不等式
的解集.
【详解】根据函数
的图像可知：
，即
，
不等式
可化为
，
即
，
解得
或
，
所以不等式
的解集是
.
故答案为：
例10．（2019 春·安徽芜湖·高一芜湖一中校考阶段练习）不等式
的解集是
________．
【答案】
或
【分析】将该不等式进行等价转化，从而利用数轴标根法即可得解.
11
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【详解】不等式
可化为
，故等价于
，
利用数轴标根法解得
或
，
即不等式
的解集是
或
.
故答案为：
或
.
练习21．（2004·全国·高考真题）不等式
的解集是___________．
【答案】
【分析】原不等式化为
，即得解.
【详解】原不等式可以化为
，
因为
，所以
.
所以不等式的解集为
.
故答案为：
练习22．（2022 秋·河北保定·高三校考阶段练习）解下列不等式
(1)
(2)
【答案】(1)
或
，
(2)无解
【分析】（1）将原不等式转化为两个不等式组，然后解不等式组即可得答案，
（2）先对不等式变形，得
，然后通过求判别式结合抛物线的性质可得结果.
（1）
由
，得
或
，
得
或
，
由
，解得
或
，
12
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由
，解得
，
综上，
或
，
所以原不等式的解集为
或
，
（2）
由
，得
，
因为
，抛物线
的开口向上，
所以
，
所以原不等式无解.
练习23．（2022 秋·宁夏石嘴山·高二石嘴山市第三中学校考阶段练习）不等式
的解集为_______________．
【答案】
【分析】由题知
，再根据穿根法求解即可.
【详解】解：因为
，
所以
，
因为
的根为
，
，
，
，
所以如图，根据穿根法可得可得不等式的解集为
故答案为：
练习24．（2022 秋·安徽亳州·高三安徽省亳州市第一中学校考阶段练习）不等式
的解集为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】原式可化为
，解不等式即可．
【详解】解：原式可化为
，
即
或
，
解得：
或
．
∴不等式解集为：
．
故选：D．
练习25．（2022 秋·上海徐汇·高一上海中学校考期中）不等式
的解
集为______.
【答案】
【分析】将不等式变形为
，利用数轴标根法得到不等式的解集.
【详解】解：不等式
，即
，
方程
的根有（2 重根），，
，
，（2 重根），
按照数轴标根法可得不等式的解集为
.
故答案为：
题型六
解含参的一元二次不等式
例11．（2023·全国·高三专题练习）解下列关于
的不等式
【答案】答案见解析
【分析】讨论
大小关系求一元二次不等式的解集.
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【详解】由
，可得
或
，则：
当
时，原不等式解集为
；
当
时，原不等式解集为
；
当
时，原不等式解集为
；
例12．（2023·全国·高三专题练习）解下列关于
的不等式
．
【答案】
【分析】根据原不等式中参数的范围判断其对应一元二次方程根的大小，进而确定不等式
的解集即可.
【详解】依题意
，且
，
所以
，且
，解得
，
所以原不等式的解集为
．
练习26．已知函数
．
(1)当
时，求关于x 的不等式
的解集．
(2)若
，求关于x 的不等式
的解集．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）解一元二次不等式，求出解集；
（2）不等式因式分解得到
，分
，
与
三种情况，
求出不等式的解集.
【详解】（1）
时，
，解得：
，
故解集为
；
（2）
时，
，
变形为
，
当
时，
，解得
，
15
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当
时，解得
，
当
时，
，解得
，
综上：当
时，解集为
，
当
时，解集为
，
当
时，解集为
.
练习27．（2023 秋·河北唐山·高三统考期末）（多选）已知关于x 的不等式
的解集为
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．关于x 的不等式
的解集为
【答案】BC
【分析】根据一元二次不等式的解与一元二次方程根的关系，即可由根与系数的关系得
，进而结合选项即可求解.
【详解】由不等式
的解集为
，所以
和1 是方程
的两个根，由根与系数的关系可得
，解得
，
故A 错误，B 正确，
，故C 正确，
不等式
变为
，解得
，故D 错误，
故选：BC
练习28．（2023 春·重庆永川·高一重庆市永川北山中学校校考开学考试）已知函数
(1)解关于x 的不等式
；
(2)若关于x 的不等式
的解集为
，求
的最小值．
16
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【答案】(1)答案见解析
(2)36
【分析】（1）分类讨论参数范围，根据一元二次不等式的解法得出答案；
（2）根据一元二次不等式的解集结合韦达定理确定参数范围和
、
与参数关系，构造
求出其值，结合基本不等式中常数的妙用解出答案.
【详解】（1）因为
，
所以
，即
．
当
时，不等式
的解集为
．
当
时，不等式
的解集为
．
当
时，不等式
的解集为
．
（2）由题意，关于
的方程
有两个不等的正根，
由韦达定理知
解得
．
则
，
，
因为
，
，所以
，
当且仅当
，且
，即
时，等号成立，
此时
，符合条件，则
．
综上，当且仅当
时，
取得最小值36．
练习29．（2023·湖南长沙·高二长郡中学校考学业考试）若关于x 的不等式
只有一个整数解，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】分
讨论解不等式，根据只有一个整数解建立不等关系求解即可.
【详解】不等式
化为
，即
，
当
时，不等式化为
，得
，有无数个整数解，不符合题意；
17
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当
时，由关于x 的不等式
只有一个整数解，可知
，
不等式
的解为
，由题意，
，解得
；
当
时，不等式
的解为
或
，有无数个整数解，不符合题意．
综上，实数a 的取值范围是
.
故选：C
练习30．（2023·北京东城·统考二模）若
，则实数
的
一个取值为__________.
【答案】
（答案不唯一）
【分析】根据题意，由交集的定义可知不等式
的解集为
的子
集即可满足题意.
【详解】因为
，
且当
时，即
时，
，
当
时，即
时，才有可能使得
，
当
的两根刚好是
时，即
，此时
的解集为
刚好满足
，
所以
，所以实数
的一个取值可以为
.
故答案为:
题型七
一元二次不等式的恒成立问题
例13．（2023·四川德阳·统考模拟预测）已知
，q：任意
，
则p 是q 成立的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要
条件
【答案】A
【分析】根据一元二次不等式恒成立解得
：
，结合充分、必要条件的概念即可
求解.
【详解】命题
：一元二次不等式
对一切实数x 都成立，
当
时，
,符合题意；
当
时，有
，即
，解为
，
∴
：
．又
：
，
18
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设
，则
是
的真子集，
所以p 是q 成立的充分非必要条件，
故选：A．
例14．（2023 春·湖南长沙·高一长沙市明德中学校考期中）若
，使得不等式
成立，则实数
的取值范围（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由题意可转化为
，使
成立，求
的最小值即可.
【详解】因为
，使得不等式
成立，
所以
，使得不等式
成立，
令
，
，
因为对称轴为
，
，
所以
，
所以
，
所以实数
的取值范围为
.
故选：D.
练习31．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
，若不等式
在R 上恒成立，则实数m 的取值范围是________.
【答案】
．
【分析】利用换元法把目标式转化为二次函数问题，结合二次函数的单调性和最值情况可
得答案.
【详解】令
因为
在区间
上是增函数，
所以
因此要使
在区间
上恒成立，应有
，即所求实数m 的取值范围为
．
故答案为：
.
练习32．（2023·全国·高三专题练习）不等式
（
）恒成立的一个充分
不必要条件是（ ）
19
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A．a≥1
B．a＞1
C．
D．a＞2
【答案】D
【分析】先求得不等式
（
）恒成立的充要条件，再找其充分不必要条
件.
【详解】不等式
（
）恒成立，显然
不成立，
故应满足
，解得
，所以不等式
（
）恒成立的充要
条件是
，A、C 选项不能推出
，B 选项是它的充要条件，
可以推出
，但
反之不成立，故
是
的充分不必要条件.
故选：D
练习33．（2023 秋·内蒙古呼和浩特·高三统考期末）若不等式
对一切实数
x 都成立，则k 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】A
【分析】由
对一切实数
都成立，结合函数的性质分成
，
讨论
进行求解.
【详解】
对一切实数
都成立，
①
时，
恒成立，
②
时，
，解得
，
综上可得，
.
故选：A.
练习34．（2022 秋·湖南张家界·高三张家界市民族中学校考阶段练习）“
”是“关于
x 的不等式
对任意实数x 恒成立”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】先根据关于x 的不等式
对任意实数x 恒成立得出
，再根据
取值范围的关系判断即可得出答案.
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【详解】因为关于x 的不等式
对任意实数x 恒成立，
当
时，不等式可化为
恒成立；
当
时，要使不等式恒成立，则有
解得：
；
综上：实数
的取值范围为：
，
若
成立，则
不一定成立；反之也不成立，
所以“
”是“关于x 的不等式
对任意实数x 恒成立”的既不充分也不必
要条件，
故选：
.
题型八
一元二次不等式的有解问题
例16．（2023·全国·高一专题练习）若关于
的不等式
有解，则实数
的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】直接利用判别式即可研究不等式的解的情况.
【详解】若关于
的不等式
有解,
则
，解得
.
故选：C.
例17．（2022 秋·安徽马鞍山·高一安徽省马鞍山市第二十二中学校考期中）不等式
对于
恒成立，则
的取值范围是______．
【答案】
【分析】由题意结合指数函数的单调性，得
对于
恒成立，设
，结合二次函数的性质可求得答案.
【详解】由
得
，得
，即
对于
恒成
立，
设
，显然
开口向上，对称轴为
，
所以
在
上单调递增，当
时，
取得最小值0，
则
，即 a 的取值范围为
.
故答案为：
.
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练习35．（2023·全国·高三专题练习）若不等式
对任意
恒成立，
实数x 的取值范围是_____.
【答案】
【分析】把题意转化为
，设
，由一次函数的单
调性列不等式组，即可求解.
【详解】
可转化为
.
设
，则
是关于m 的一次型函数.
要使
恒成立，只需
，
解得
.
故答案为：
练习36．（2022 秋·上海金山·高三上海市金山中学校考期末）若关于
的不等式
的解集非空，则实数
的取值范围是______.
【答案】
【分析】运用判别式求解.
【详解】由题意知
，解得
或
，
∴b 的取值范围是
；
故答案为：
.
练习37．（2023·全国·高三专题练习）已知集合
，
，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由题得
，解出
的范围，再根据交集含义即可得到答案.
【详解】因为
，
，
所以
，所以
或
，
所以
或
，
所以
．
故选：D.
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练习38．（2022 秋·北京·高三统考阶段练习）若存在
，有
成
立，则实数a 的取值范围是__________.
【答案】
【分析】参数分离可得
，设
，将存在问题转化为
，
求出函数的最大值，即可得到实数a 的取值范围.
【详解】解：将原不等式参数分离可得
，设
，
已知存在
，有
成立，则
，
令
，则
，
，
由对勾函数知
在
上单调递减，在
上单调递增，
，
，
所以
，即
，
故答案为：
.
练习39．（2023·全国·高三专题练习）若不等式
在
上有解，则
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由已知可得
在区间
上有解，求出
在区间
上的最小值，
即可得出实数
的取值范围．
【详解】因为关于
的不等式
在区间
上有解，
所以
在区间
上有解，
设
，
，其中
在区间
上单调递减，
所以
有最小值为
，
所以实数
的取值范围是
．
故选：C．
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练习40．（2022 秋·广西桂林·高三校考阶段练习）若关于
的不等式
在区
间
内有解，则
的取值范围是_________.
【答案】
【分析】将问题转化为
在区间
内有解，从而求得
的最
大值即可得解.
【详解】因为
在区间
内有解，
所以
在区间
内有解，
令
，则
开口向上，对称轴为
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
又
，
，故
，
所以
，即
.
故答案为：
.
题型九
一元二次不等式的实际应用
例18．（2020 秋·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考阶段练习）某种饲料原来每袋成本为
10 元，售价为15 元，每月销售8 万袋．
(1)若售价每袋提高1 元，月销售量将相应减少2000 袋，要使月总利润不低于原来的月总利
润（月总利润＝月销售总收入－月总成本），该饲料每袋售价最多为多少元？
(2)厂家决定下月进行营销策略改革，计划每袋售价
元，并投入
万元作为
营销策略改革费用．据市场调查，若每袋售价每提高1 元，月销售量将相应减少
万袋．则当每袋售价为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润．
【答案】(1)
(2)当售价为
时有最大利润为
【分析】（1）设饲料每袋售价为
元，则
，解得答案.
（2）设月总利润为
，
，利用均值不等式计算得到答案.
【详解】（1）设饲料每袋售价为
元，则
，
解得
，
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故饲料每袋售价最多为
元
（2）设月总利润为
，
则
，
当
，即
时等号成立，此时
故当售价为
时有最大利润为
.
例19．（2022 秋·高一课时练习）（多选）某商场若将进货单价为元的商品按每件
元
出售，每天可销售
件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提
高元，销售量就要减少
件．那么要保证每天所赚的利润在
元以上，每件销售价可能
为（ ）
A．
元
B．
元
C．
元
D．
元
【答案】AB
【分析】确定每件商品的利润、销售量，根据利润=每件利润×销售量，得出销售利润y
（元）与销售单价x（元）之间的函数关系，解不等式可得答案.
【详解】设销售价定为每件x 元，利润为y 元，
则
，
依题意有
，
即
，
解得
，
所以每件销售价应为12 元到16 元之间，故每件销售价可能为13 元或15 元，
故选︰AB．
练习41．（2022 春·辽宁·高二统考学业考试）刹车距离是分析交通事故的一个重要依据．
在一条限速为30 km/h 的道路上，某汽车司机发现情况不对，紧急刹车，但还是发生了交
通事故．经现场勘查，测得汽车的刹车距离大于10 m．已知该种车型的刹车距离（单位，
m）与刹车前的车速v（单位km/h）之间有如下函数关系：
，要判断该汽
车是否超速，需要求解的不等式是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
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【分析】根据题意列出不等式即可.
【详解】∵汽车的刹车距离大于10 m,
∴
∴
故选：B
练习42．某旅店有200 张床位，若每床每晚的租金为50 元，则可全部出租，若将出租收费
标准每晚提高10 的整数倍，则出租的床位会减少10 的相应倍数张，若要使该旅店每晚的
收入超过15000 元，则每个床位的出租价格应定在什么范围内？（答案用集合表示）
【答案】
【分析】设每床每晚的租金提高10 的
倍，由题意可得
，解
不等式可得
的范围，再计算每个床位的定价的取值范围即可求解.
【详解】设每床每晚的租金提高10 的
倍，即为
元，
出租的床位会减少10 的
倍张，即为
张，
由题意可得该旅社每晚的收入为
，
整理可得：
解得：
，
因为
，所以
可取6，7，8，9，
此时每个床位的定价
即为110，120，130，140，
所以每个床位的定价的取值范围是
，
故答案为：
.
练习43．（2020 秋·浙江温州·高三校考阶段练习）某种汽车在水泥路面上的刹车距离
（单位：
）和汽车刹车前的车速（单位：
）之间有如下关系：
，
在一次交通事故中，测得这种车刹车距离大于40
，则这辆汽车刹车前的车速至少为
（ ）（精确到1
）
A．76
B．77
C．78
D．80
【答案】B
【分析】设这辆汽车刹车前的车速，利用题设中的的关系式和不等式关系可得的一元二
次不等式，求的范围可得．
【详解】设这辆汽车刹车前的车速为
，
根据题意，有
，
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移项整理，得
，
解得
．
所以这辆汽车刹车前的速度至少为77
．
故选：B
练习44．（2022 秋·广东江门·高一江门市第二中学校考期中）某地区上年度电价为0.8 元
，年用电量为
，本年度计划将电价下降到0.55 元
至0.75 元
之间，而用户期望的电价为0.4 元
．经测算，下调电价后新增用电量和实
际电价与用户的期望电价的差成反比（比练习系数为k）．该地区的电力成本价为0.3 元
．
(1)写出本年度电价下调后电力部门的收益y（单位：元）关于实际电价x（单位：元
）的函数解析式．（收益=实际电量×（实际电价-成本价））
(2)设
，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%？
【答案】(1)
．
(2)0.6 元
．
【分析】（1）根据用电量、下调电价后新增用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比，
得到本年度实际用电量，再乘以
即可；
（2）根据上年度电力部门实际收益，（1）知本年度电力部门预收益，然后由
求解即可.
【详解】（1）设下调后的电价为x 元
，依题意知用电量增至
，
电力部门的收益为
；
（2）依题意有
，
整理得
，
解此不等式组得
．
答：当电价最低定为0.6 元
仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%．
练习45．（2022 秋·江苏常州·高三统考期中）某景区旅馆共有200 张床位，若每床每晚的
定价为50 元，则所有床位均有人入住；若将每床每晚的定价在50 元的基础上提高10 的整
数倍，则入住的床位数会减少10 的相应倍数.若要使该旅馆每晚的收入超过1.54 万元，则
每个床位的定价应为______（元）.
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【答案】120 或130
【分析】设每个床位的定价应为
元，进而得旅馆每晚的收入为
元，
再解不等式
并结合
是10 的整数倍求解即可.
【详解】解：设每个床位的定价应为
元，则每晚上有
张床位有人
入住，
所以，旅馆每晚的收入为
元，
因为要使该旅馆每晚的收入超过1.54 万元，
所以，
，即
，解得
，
因为
是10 的整数倍，
所以，每个床位的定价应为120 或130 元.
故答案为：120 或130.
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