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专题2.3 幂函数与二次函数【七大题型】
【新高考专用】
【题型1 幂函数的定义】..........................................................................................................................................2
【题型2 比较幂值的大小】......................................................................................................................................3
【题型3 幂函数的图象与性质的综合应用】.........................................................................................................3
【题型4 求二次函数的解析式】..............................................................................................................................4
【题型5 二次函数的图象问题】..............................................................................................................................4
【题型6 二次函数的最值问题】..............................................................................................................................6
【题型7 二次函数的恒成立问题】..........................................................................................................................6
1、幂函数与二次函数
考点要求
真题统计
考情分析
(1)了解幂函数的定义，掌
握幂函数的图象与性质
(2)熟练掌握二次函数的图
象与性质（单调性、对称
性与最值等）
2020 年江苏卷：第7 题，5 分
2024 年天津卷：第2 题，5 分
幂函数与二次函数是常见的重要
函数，在历年的高考中都占据着重要的
地位，是高考常考的热点内容，从近几
年的高考形势来看，幂函数较少单独考
查，常与指、对数函数结合考查，包括
比较指对幂的大小、解不等式等考法，
主要出现在选择题、填空题中，难度较
易；二次函数常与其他知识相结合，考
查二次函数的图象与性质.
【知识点1 幂函数的解题技巧】
1.幂函数的解析式
幂函数的形式是
( ∈R)，其中只有一个参数，因此只需一个条件即可确定其解析式.
2.幂函数的图象与性质
在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x 轴(简记为“指大图低”),在区间(1,+
)上，幂
函数中指数越大，函数图象越远离x 轴.
3.比较幂值的大小
在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各
1
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个幂函数的图象和性质是解题的关键.
【知识点2 求二次函数解析式的方法】
1．二次函数解析式的求法
(1)一般式法：已知三点坐标，选用一般式.
(2)顶点式法：已知顶点坐标、对称轴或最大（小）值，选用顶点式.
(3)零点式法：已知与x 轴两交点坐标，选用零点式.
【知识点3 二次函数的图象与性质】
1．二次函数的图象问题
(1)研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图
象上关于对称轴对称的两个点，常取与x 轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物
线的开口方向.
(2)求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件.
2．二次函数的单调性与最值
闭区间上二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一
轴指的是对称轴，结合图象，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解.
3．二次函数的恒成立问题
不等式恒成立求参数范围，一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数，直接借助于函数
图象求最值.这两个思路，最后都是转化为求函数的最值问题.
【题型1 幂函数的定义】
【例1】（23-24 高一下·湖北·阶段练习）下列函数是幂函数的是（ ）
A．y = 1
x
3
B．y =2
x
C．y =2 x
2
D．y =−x
−1
【变式1-1】（23-24 高一上·云南西双版纳·期中）下列结论正确的是（ ）
A．幂函数的图象一定过原点
B．α =1,3, 1
2
时，幂函数y = x
α是增函数
C．幂函数的图象会出现在第四象限
D．y =2 x
2既是二次函数，又是幂函数
【变式1-2】（23-24 高一上·山东济宁·期中）下列函数是幂函数且在(−∞,0)是增函数的是（ ）
A．y = 1
x
B．y = x
3+1
C．y = x
−2
D．y =√|x|
【变式1-3】（23-24 高一上·陕西咸阳·期中）现有下列函数：①y = x
3；②y = 4 x
2；③y = x
5+1；④
2
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y =(x−1)
2；⑤y = x，其中幂函数的个数为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【题型2 比较幂值的大小】
【例2】（2023·上海青浦·一模）已知a，b∈R，则“a>b”是“a
3>b
3”的（ ）.
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件
【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）已知a= log510，b= log48，c = 4
b−7
6，则a、b、c 的大小关系为
（ ）
A．a>b>c
B．b>c>a
C．c>b>a
D．c>a>b
【变式2-2】（2024·江西宜春·模拟预测）已知幂函数f ( x)=(m−1)x
n的图象过点(m,8)．设a= f (2
0.3)，
b= f (0.3
2)，c = f (log20.3)，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．b<c<a
B．a<c<b
C．a<b<c
D．c<b<a
【变式2-3】（2023·湖北孝感·模拟预测）已知f ( x)为奇函数，当0≤x ≤2时，f ( x)=2 x −x
2，当x>2时，
f ( x)=|x−3|−1，则（ ）
A．−f (−√26)>f (2
0.3)>f (3
0.3)
B．f (2
0.3)>f (3
0.3)>−f (−√26)
C．−f (−√26)>f (3
0.3)>f (2
0.3)
D．f (3
0.3)>f (2
0.3)>−f (−√26)
【题型3 幂函数的图象与性质的综合应用】
【例3】（2024·湖南岳阳·模拟预测）探究幂函数f (x)= x
α当α =2,3, 1
2 ,−1时的性质，若该函数在定义域
内为奇函数，且在(0,+ ∞)上单调递增，则α =（ ）
A．2
B．3
C．1
2
D．-1
【变式3-1】（2023·四川南充·模拟预测）已知幂函数f (x)= x
m
n (m,n∈Z)，下列能成为“f (x)是R 上的偶
3
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函数”的充分条件的是（ ）
A．m=−3,n=1
B．m=1,n=2
C．m=2,n=3
D．m=1,n=3
【变式3-2】（23-24 高三上·上海浦东新·阶段练习）如图所示是函数y = x
m
n （m,n均为正整数且m,n互
质）的图象，则（ ）
A．m,n是奇数且m
n <1
B．m是偶数，n是奇数，且m
n <1
C．m是偶数，n是奇数，且m
n >1
D．m,n是奇数，且m
n >1
【变式3-3】（2023·山东菏泽·三模）已知函数f (x)= x
3+(a−2) x
2+2 x +b在[−2c−1,c +3]上为奇函数，
则不等式f (2 x +1)+ f (a+b+c)>0的解集满足（ ）
A．(−2,4]
B．(−3,5]
C．(−5
2 ,2]
D．(−2,2]
【题型4 求二次函数的解析式】
【例4】（23-24 高一上·河北保定·期末）写出一个同时具有下列四个性质中的三个性质的二次函数：
f ( x)=
．
①f ( x)的最小值为−1；②f ( x)的一次项系数为−4；③f (0)=3；④f ( x)= f (−x +2)．
【变式4-1】（2023 高三·全国·专题练习）已知二次函数f (x)的两个零点分别是0 和5，图象开口向上，且
f (x)在区间[−1,4]上的最大值为12，则函数f (x)的解析式为 ．
4
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【变式4-2】（23-24 高一上·新疆克拉玛依·期中）已知二次函数f ( x)=a x
2+bx +c (a>0,a,b,c∈R)，
f (1)=1，对任意x∈R，f ( x−2)= f (−x)，且f ( x)≥x恒成立．则二次函数f ( x)的完整解析式为 ．
【变式4-3】（23-24 高一上·浙江金华·开学考试）已知二次函数f (x)=a x
2+bx +c的对称轴是x =1，且不
等式f (x)≤2 x的解集为[1,3]，则f (x)的解析式是f (x)= ．
【题型5 二次函数的图象问题】
【例5】（2020·山东·高考真题）已知二次函数y =a x
2+bx +c的图像如图所示，则不等式a x
2+bx +c>0
的解集是（ ）
A．(−2,1)
B．(−∞,−2)∪(1,+∞)
C．[−2,1]
D．
(−∞,−2]∪[1,+ ∞)
【变式5-1】（23-24 高一上·湖南株洲·阶段练习）不等式c x
2+ax +b>0的解集为{x∣−1< x< 1
2}，则函
数y =a x
2−bx−c的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-2】（23-24 高二下·北京昌平·期末）若不等式a x
2−x−c>0的解集为{x|−1< x< 1
2 }，则函数
y =c x
2−x−a的图象可以为（ ）
5
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A．
B．
C．
D．
【变式5-3】（2024 高一·全国·专题练习）不等式a x
2−bx +c>0的解集为{x|−2< x<1},则函数
y =a x
2+bx +c的图像大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【题型6 二次函数的最值问题】
【例6】（23-24 高二下·天津河西·期末）下面关于函数f (x)= x
2+3 x + 4的说法正确的是（ ）
A．f (x)>0恒成立
B．f (x)最大值是5
C．f (x)与y 轴无交点
D．f (x)没有最小值
【变式6-1】（2024 高三·全国·专题练习）设二次函数f ( x)=(a−2)x
2+3ax +2在R上有最大值，最大值
为m(a)，当m(a)取最小值时，a=（ ）
6
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A．0
B．1
C．1
2
D．√2
【变式6-2】（23-24 高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）f (x)=2017 x
2−2018 x +2019×2020, x∈[t ,t +2].
则当t变化时，f ( x)max−f ( x)min的最小值为（ ）
A．2020
B．2019
C．2018
D．2017
【变式6-3】（21-22 高一上·浙江台州·期末）已知函数f (x)=a x
2+2 x的定义域为区间[m，n]，其中
a,m,n∈R，若f（x）的值域为[-4，4]，则n−m的取值范围是（ ）
A．[4，4√2]
B．[2√2，8√2]
C．[4，8√2]
D．[4√2，8]
【题型7 二次函数的恒成立问题】
【例7】（2024·辽宁鞍山·二模）已知当x>0时，不等式：x
2−mx +16>0恒成立，则实数m的取值范围是
（ ）
A．(−8,8)
B．(−∞,8]
C．(−∞,8)
D．(8,+∞)
【变式7-1】（2023·辽宁鞍山·二模）若对任意的x ∈(0,+ ∞), x
2−mx +1>0恒成立，则m 的取值范围是
（ ）
A．(−2,2)
B．(2,+ ∞)
C．(−∞,2)
D．(−∞,2]
【变式7-2】（2023·辽宁大连·模拟预测）命题“∃x>0,a x
2+ x +1<0”为假命题，则命题成立的充分不
必要条件是（ ）
A．a≥−1
4
B．a≥0
C．a≥1
D．a<1
【变式7-3】（2024·江西九江·模拟预测）无论x取何值时，不等式x
2−2kx + 4>0恒成立，则k的取值范围
是（ ）
A．(−∞,−2)
B．(−∞,−4)
C．(−4,4)
D．(−2,2)
一、单选题
1．（2024·广东广州·模拟预测）若幂函数f (x)=(m
2−m−1) x
2m−3在(0,+ ∞)上单调递增，则实数m的值为
（ ）
A．2
B．1
C．−1
D．−2
2．（2023·湖南岳阳·模拟预测）如图，已知幂函数y = x
a, y = x
b, y = x
c在(0,+ ∞)上的图象分别是下降，急
速上升，缓慢上升，则（ ）
7
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A．c<b<a
B．a<c<b
C．c<a<b
D．a<b<c
3．（2023·北京海淀·一模）已知二次函数f ( x)，对任意的x∈R，有f (2 x)<2f ( x)，则f ( x)的图象可能
是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024·浙江·模拟预测）若不等式k x
2+(k −6) x +2>0的解为全体实数，则实数k的取值范围是（ ）
A．2≤k ≤18
B．−18<k <−2
C．2<k <18
D．0<k <2
5．（23-24 高一上·浙江·单元测试）设函数f ( x)= x
2+2(4−a)x +2在区间(−∞,3]上是减函数，则实数a
的取值范围是（ ）
A．a≥−7
B．a≥7
C．a≥3
D．a≤−7
6．（2023·四川泸州·一模）已知点(2, 1
8 )在幂函数f ( x)= x
α的图象上，设a= f (log23)，b= f (ln3)，
c = f (3
−1
2 )，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．b＜a＜c
B．a＜b＜c
C．b＜c＜a
D．a＜c＜b
7．（2023·河南·模拟预测）已知幂函数f (x)的图象过(
1
2 , √2
4 )
，P(x1, y1)，Q(x2, y2)（x1< x2
）是函数
8
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图象上的任意不同两点，则下列结论中正确的是（ ）
A．x1f (x1)> x2f (x2)
B．x1f (x2)< x2f (x1)
C．f (x1)
x2
> f (x2)
x1
D．f (x1)
x1
< f (x2)
x2
8．（2023·江西南昌·二模）已知函数f ( x)= x
3+a x
2+bx +c的三个零点分别为1，x1, x2(0< x1< x2)，若函
数f ( x +1)为奇函数，则f (2)的取值范围为（ ）
A．[0,1]
B．(0,1)
C．(0,2)
D．[0,2]
二、多选题
9．（2024·全国·模拟预测）下列函数中既是奇函数，又是定义域上的减函数的是（ ）
A．f (x)=−3 x
5
B．f (x)=2
x
C．f (x)= 1
x
D．f (x)=−2 x
1
3
10．（2023·江苏连云港·模拟预测）若对于任意实数x，不等式(a−1) x
2−2(a−1) x−4<0恒成立，则实
数a 可能是（ ）
A．−2
B．0
C．−4
D．1
11．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知函数f ( x)= x +1，设g1( x)= f ( x)，
gn( x)= f (gn−1( x))(n>1,n∈N
∗)．且关于x的函数y = x
2+∑
i=1
n
gi( x)(n∈N
∗)．则（ ）
A．gn( x)= x +n或gn( x)=nx +1
B．y = n
2+2n
4
+(x + n
2)
2
C．当n≤2时，存在关于x的函数y在区间(−∞,−1]上的最小值为6，n=0
D．当n>2时，存在关于x的函数y在区间(−∞,−1]上的最小值为6，n= 4
三、填空题
12．（2024·北京延庆·一模）已知函数f ( x)= x
α(0<α <1)在区间(−1,0)上单调递减，则α的一个取值为
．
13．（2024·四川宜宾·模拟预测）已知函数y =a( x−4)+2(a>0，且a≠1)的图像恒过定点P，且P 在幂
函数f ( x)的图像上，则f ( x)= ．
9
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14．（2024·河南·模拟预测）已知函数f (x)=|x
2−6 x +7|在[1,m](m>1)上的最大值为A，在[m,2m−1]
上的最大值为B，若A ≥2B，则实数m的取值范围是 ．
四、解答题
15．（2024·山东·二模）已知f (x)是二次函数，且f (1)= 4 ,f (0)=1,f (3)= 4．
(1)求f (x)的解析式；
(2)若x∈[−1,5]，求函数f (x)的最小值和最大值．
16．（2023·山东·一模）已知二次函数f (x)满足f (0)=−1，顶点为(1,−2).
(1)求函数f (x)的解析式；
(2)若函数f (x)在区间[a−1,4 ]上单调递增，求实数a的取值范围.
17．（23-24 高一下·上海·期中）已知幂函数f (x)= x
m
2−2m−3(m∈Z)为奇函数，且在区间(0,+∞)上是严格
减函数.
(1)求函数y = f (x)的表达式；
(2)对任意实数x∈[
1
2 ,1]，不等式f (x)≤t + 4
x恒成立，求实数t 的取值范围.
18．（23-24 高一上·辽宁·阶段练习）已知幂函数f (x)=(m
2+2m−2) x
m
2−7（m∈Z）的定义域为R，且在
[0,+ ∞)上单调递增．
(1)求m 的值；
10
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(2)∀x∈[1,2]，不等式af (x)−3 x +2>0恒成立，求实数a 的取值范围．
19．（23-24 高一上·江苏·阶段练习）设函数f ( x)=a x
2+(1−a)x +a−2.
（1）若关于x的不等式f (x)≥−2有实数解，求实数a的取值范围；
（2）若不等式f (x)≥−2对于实数a∈[−1,1]时恒成立，求实数x的取值范围；
（3）解关于x的不等式：f ( x)<a−1,(a∈R).
11
