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第十三章 轴对称（单元测试）
一、单选题（每题3 分，共30 分）
1．（23-24 八年级上·广东惠州·期末）在下列这四个标志中，属于轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了轴对称图形，根据轴对称图形的定义，确定图形的对称轴即可得出答案．即将一
个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分能够重合，这样的图形是轴对称图形.
【详解】解：选项A、B、D 中的图形找不到这样的一条直线，对折后直线两旁的部分能够完全重合，
所以不是轴对称图形，不符合题意；
选项C 中的图形能够找到这样的一条直线，沿直线对折后，图形两旁的部分能够完全重合，
是轴对称图形，符合题意；
故选 ：C．
2．（23-24 八年级上·山西临汾·期末）如图，在
中，
，则
的度数为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用等腰三角形的性质和邻补角的定义即可作答．本题考查了等腰三角形的性质和邻补角，其中
正确应用等腰三角形的性质是解答本题的关键．
【详解】解：
中，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
2
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3．（23-24 七年级下·广东佛山·阶段练习）等腰三角形的一个内角为80 度，则它的顶角是（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理．分两种情况讨论：①当
角为顶角；②当
为底角，根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：①当
角为顶角时，顶角度数为
；
②当
为底角时，顶角：
，
故选：C．
4．（23-24 八年级上·重庆江津·期末）如图，在
中，
，AB的垂直平分线交AB于点
，交
于点
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由垂直平分线的性质可得
，进而可得
，根据三角形外角性质可求出
的度
数，利用三角形内角和定理求出
的度数．
【详解】解：∵
是
的垂直平分线，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∵
，
3
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∴
，
故选∶ B．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，三角形的外角定义以及三角行内角和定理．
熟练掌握相关性质是解题关键．
5．（23-24 九年级上·安徽合肥·期末）如图，
中，
，
于点D，若
，则
的长度为（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2
【答案】C
【分析】本题主要考查直角三角形的性质，熟练运用“在直角三角形中，
角所对的直角边等于斜边的
一半”是解题的关键．
由含
角的直角三角形的性质可分别求得
和
的长，进而求得
的长．
【详解】解：∵在
中，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴在
中，
，
∴在
中，
，
∴
．
故选：C．
6．（23-24 八年级上·安徽合肥·期末）如图，
是等边三角形，BD是中线，延长
至E，使
，则下列结论错误的是（ ）
4
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由
是等边三角形，得
，由
，得
，则
，所以
，可判断A 正确；
由
是等边三角形
的中线，得
，而
，则
，可判断B
正确；
由
，得
，可判断C 正确；
由
，根据垂线段最短得
，所以
，可判断D 错误，于是得到问题的答案．
【详解】解：A、
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
故A 正确，不符合题意；
B、
是等边三角形
的中线，
，
，
，
故B 正确，不符合题意；
C、
，
，
故
正确，不符合题意；
D、
，
5
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，
，
故D 错误，符合题意
故选：D．
【点睛】此题重点考查等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形的外角
等于与它不相邻的两个内角的和、垂线段最短等知识，正确地求出
的度数和
的度数是解题的
关键．
7．（23-24 七年级下·山东东营·期末）如果等腰三角形两边长是6 和3，那么它的周长是（ ）
A．15 或12
B．9
C．12
D．15
【答案】D
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为6 和3，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还
要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目
从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而
应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
【详解】解：当腰为3 时，
，不能构成三角形，因此这种情况不成立．
当腰为6 时，
，能构成三角形；
此时等腰三角形的周长为
．
故选：D．
8．（23-24 九年级上·黑龙江绥化·期末）如图，在
中，
，
，
，
和
的平分线交于点
，过点
作
分别交
，
于
，
，则
的周长为
（ ）
A．8
B．9
C．10
D．11
【答案】B
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的性质，三角形的外角性质，利
用等腰三角形的性质找出
，
是解答本题的关键．
利用平行线的性质和角平分线的性质，得到
，根据三角形的外角性质，得到
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，得到
，同理得到
，由此求出答案．
【详解】解：根据题意得：
，
，
平分
，
，
，
，
，
，
同理，
，
．
故选：
．
9．（23-24 九年级上·福建福州·期末）如图，在
中，
，过点
作
于点
，
为
上一点，过点
作
于点
，过点
作
于点
，
交
于点
，若
，
，则
的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，证明
，得出
，从而推出
，再由等腰三角形的性质得出
，即可得解．
【详解】解：∵
，
，
∴
，
∵
，
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∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
故选：C．
10．（22-23 八年级上·河南漯河·期末）如图，等腰
中，
于点D，点
P 是
延长线上一点，点O 是线段
上一点，
，下面的结论：①
；②
；③
是等边三角形；④
．其中正确的个数为（ ）个
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】B
【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性
质等知识点，正确作出辅助线是解答本题的关键．
①根据等边对等角，可得
、
、则
，
据此即可求解；②因为点
是线段
上一点，所以
不一定是
的角平分线，据此即可求解；③
证明
且
，即可证得
是等边三角形；④先证明
，则
．
【详解】解：①如图1，连接
，
8
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，
，
，
，
，
，
∴
，故①正确；
②由①知：
，
∵点
是线段
上一点，
∴
与
不一定相等，则
与
不一定相等，故②不正确；
③∵
，
，
，
，
，
，
∴
是等边三角形；故③正确；
④如图2，在
上截取
，连接
，
9
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，
是等边三角形，
，
，
，
，
在
和
中，
，
，
，
∴
；故④正确；
∴正确的结论有：①③④．
故选：B．
二、填空题（每题4 分，共20 分）
11．（2024 八年级上·江苏·专题练习）如图，在
的内部有一点
，点
、
分别是点
关于
，
的对称点，
分别交
，
于
，
点，若
的周长为
，则线段
的长为
．
【答案】30
【分析】本题考查轴对称的性质，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等．利用对称性得到
10
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，
，把求
的长转化成
的周长，问题得解．
【详解】解：∵点
关于
、
的对称点分别为
、
，
∴
，
，
∴
．
故答案为：
．
12．（23-24 八年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，在
中，
，
，
于点E，若
，
的周长为10，则
的长为 ．
【答案】3
【分析】本题考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一是解题的关键．根据已知可得
，从而可得
，然后利用等腰三角形三线合一性质计算解答．
【详解】解：
，且
的周长为10，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：3．
13．（2024 八年级上·江苏·专题练习）如图的
的正方形网格中，
的顶点都在小正方形的格点上，
这样的三角形称为格点三角形，在网格中与
成轴对称的格点三角形一共有 个．
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【答案】5
【分析】此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．
直接利用轴对称图形的性质结合题意得出答案．
【详解】解：如图所示：都是符合题意的图形．
．
故答案为：5．
14．（22-23 八年级上·湖南长沙·期末）如图，在等边
中，
是
边的中点，AD是
边上的中线，
是AD上的动点，若
，则
最小值 ．
【答案】
【分析】本题考查了等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，两点之间线段最短，连接
，由等边
三角形的性质可得
，
，进而得到AD为
的垂直平分线，即得
，得到
，可知当点
三点共线时，
的值最小，最小值即为线段
的长，又由等
边三角形的性质可得
，由三角形的面积可得
，即可求解，掌握等边三角形的性质是解
题的关键．
【详解】解：连接
，
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∵
为等边三角形，AD是
边上的中线，
∴
，
，
∴AD为
的垂直平分线，
∴
，
∴
，
∴当点
三点共线时，
的值最小，最小值即为线段
的长，
∵点
为
的中点，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
最小值为，
故答案为：．
15．（23-24 八年级上·安徽合肥·期末）如图①，设计一张折叠型方桌，其示意图如图②，若
，
．现将桌子放平，两条桌腿需要叉开的角度
应为
，则
距离地面
的高为_______
．
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【答案】40
【分析】本题考查含30 度角直角三角形的性质，30 度角所对的直角边长度等于斜边的一半，也考查了等
腰三角形的性质和三角形内角和定理，连接
，过点D 作
于点E．先求出
，根据三角形内
角和定理和等边对等角求出
，由含30 度角直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：如图，连接
，过点D 作
于点E．
∵
，
，
∴
．
∵
，
，
∴
．
∴在
中，
．
故答案为：40．
三、解答题（16-18 题每题4 分，19 题6 分，20 题7 分，21、22 题每题8 分，23 题9 分，共50 分）
16．（2024 八年级上·江苏·专题练习）认真观察图甲，其中每个小正方形的边长都是1．
(1)①图甲中阴影部分构成的图案是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？如果不是，请说明理由．
②图甲中阴影部分的面积是多少？
(2)请在图乙中设计出至少有两条对称轴且面积与图甲中阴影部分面积相等的一个轴对称图形．
【答案】(1)①图甲中阴影部分构成的图案是轴对称图形，有4 条对称轴；②4
(2)见解析
【分析】本题考查了利用轴对称设计图案的知识，同时考查了学生的动手实践能力和逻辑思维能力．
（1）观察图形即可得出答案．
（2）根据轴对称图形的定义及特点即可设计出满足条件的图形．
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【详解】（1）解：①图甲中阴影部分构成的图案是轴对称图形，有4 条对称轴．
②∵每个小正方形的边长都是1，
∴图甲中阴影部分的面积
．
（2）所设计图形如下所示：（答案不唯一）
17．（23-24 七年级下·广东佛山·阶段练习）如图所示，在正方形网格上有一个
．
(1)作
关于直线
的对称图形（不写作法）；
(2)在
上找一点
，使得
最小；
(3)若网格上每个小正方形边长为1，求
的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查作图
轴对称变换，三角形的面积，轴对称最短路径问题等知识，解题关键是熟练掌握
基本知识，属于中考常考题型．
（1）作出
、
、
关于直线
的对称点
、
、
即可；
（2）连接
交
于
，点
即为所求；
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（3）利用割补法求面积即可；
【详解】（1）解：如图所示，
即为所求；
（2）解：连接
交
于
，点
即为所求；
（3）解：
．
18．（2024 八年级上·江苏·专题练习）如图，长方形台球桌
上有两个球E，F．（保留作图痕迹，工
具不限）
(1)请你设计一条路径，使得球F 撞击台球桌边
反射后，撞到球E；
(2)请你设计一条路径，使得球F 连续撞击台球桌边
、
反射后，撞到球E．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查轴对称，解题的关键是学会利用轴对称解决问题，属于中考常考题型．
（1）作点F 关于直线
的对称点
，连接
交
于P，连接
，点P 即为所求；
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（2）作点F 关于直线
的对称点
，点E 关于
的对称点
，连接
交
于M，交
于N，连
接
，
，点M，N 即为所求．
【详解】（1）解：如图1 中，路径是
．
（2）解：如图2 中，路径是
．
19．（2024 八年级上·江苏·专题练习）（1）已知等腰三角形的周长为10，底边长为4，求它的腰长；
（2）已知等腰三角形的周长为10，腰长为4，求它的底边长；
（3）已知等腰三角形的周长为12，一边长为5，求它的另外两边的长．
【答案】（1）3；（2）2；（3）
、
或5、2
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，利用了等腰三角形的性质，三角形三边的关系，分类讨论是解题
关键．
（1）由等腰三角形的周长是10，则底边长4，根据等腰三角形的两腰相等，即可求得其腰长的值；
（2）由已知条件，根据等腰三角形的性质及周长公式即可求得其底边长；
（3）已知给出的等腰三角形的一边长为5，但没有明确指明是底边还是腰，因此要分两种情况，分类讨论
解答．
【详解】解：（1）∵等腰三角形的底边长为4，周长为10，
∴腰长为
；
（2）∵等腰三角形的周长为10，其腰长为4，
∴它的底边长为
．
（3）∵等腰三角形的一边长为5，周长为12，
∴当5 为底时，其它两边都为3.5、3.5，
∵
，
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∴
、
、5 可以构成三角形；
当5 为腰时，其它两边为5 和2，
∵
，
5
∴、5、2 可以构成三角形．
故另两边是
、
或5、2．
20．（23-24 七年级下·广东佛山·期中）如图，在
中，
，
分别垂直平分边
和边
，交边
于
，
两点，
与
相交于点F．
(1)若
，求
的周长；
(2)若
，则
的度数为______°．
【答案】(1)
(2)50
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线
段的两个端点的距离相等是解题的关键．
（1）根据线段的垂直平分线的性质得到
，
，根据三角形的周长公式计算，得到答案；
（2）根据三角形内角和定理得到
，根据对顶角相等得到
，再根据三
角形内角和定理计算，得到答案．
【详解】（1）解：
，
分别垂直平分边
和边
，
，
，
的周长
，
，
的周长为
；
（2）解：
，
，
，
，
，
，
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由（1）可知：
，
，
，
，
，
，
故答案为：50．
21．（23-24 八年级上·四川眉山·期中）如图，在
中，
，
，D 是
边上的
一点，连接BD并延长到点E，连接
、CE，
平分
交BD于点F．
(1)若
，
，求
；
(2)已知
，
，求证：
．
【答案】(1)
(2)见详解
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义以及等腰三角形的性质，
（1）根据角平分线的定义得
，等腰三角形的性质
，结合三角形外角解
答即可；
（2）根据全等三角形的性质判定与性质先证明
，然后证明
即可得出答案．
【详解】（1）解：∵
平分
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
；
（2）设
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
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∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
在
与
中，
，
∴
，
∴
．
22．（2024 八年级上·江苏·专题练习）如图，在
中，
，点
为
的中点，边
的垂直平
分线交
，
，
于点
，
，
，连接
、
．
(1)求证：
为等腰三角形；
(2)若
，求
的度数．
【答案】(1)见解析
(2)15°
【分析】本题主要考查等腰三角形的判定及性质、线段垂直平分线的性质、三角形的外角的性质，牢记等
腰三角形的性质（等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合）是解题的关键．
（1）根据线段垂直平分线的性质，先求得
，根据等腰三角形三线合一的性质，可求得
．
（2）根据等腰三角形三线合一的性质，可求得
，根据三角形内角和定理可求
得
的度数，结合
即可求得答案．
【详解】（1）证明：
为线段
的垂直平分线，
．
20
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，点
为
的中点，
为线段
的垂直平分线．
．
．
为等腰三角形．
（2）解：
，点
为
的中点，
为
的平分线．
．
．
．
为等腰三角形，
．
．
23．（23-24 八年级上·湖北荆门·期末）如图1，点
、Q 分别是边长为
的等边
的边
、
上
的动点，点
从顶点
、点
从顶点
同时出发，且它们的速度都是
．
．
(1)连接
、
交于点
，则在
、Q 运动的过程中，
的度数变化吗？若变化，则说明理由，若
不变，则求出它的度数；
(2)何时
是直角三角形；
(3)如图2，若点
、Q 在运动到终点后继续在射线
、
上运动，直线
、
的交点为
，则
的度数变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．
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【答案】(1)不变，
(2)当第2 秒或第4 秒时，
为直角三角形
(3)不变，
【分析】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，分类讨论是解答本
题的关键．
（1）因为点
从顶点
，点Q 从顶点
同时出发，且它们的速度都为
，所以
，
，
，因而运用边角边定理可知
．再用全等三角形的性质定理及三角形的角间
关系、三角形的外角定理，可求得
的度数；
（2）设时间为，则
，
．分别就①当
时；②当
时利用直角
三角形的性质定理求得的值；
（3）首先利用
定理证得
，再利用全等三角形的性质定理得到
．再运用
三角形角间的关系求得
的度数．
【详解】（1）解：
，不变．
等边三角形中，
，
，
又由条件得
，
在
与
中，
，
，
，
；
（2）设时间为，则
，
，
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①当
时，
，
，得
，
；
②当
时，
，
，得
，
；
当第2 秒或第4 秒时，
为直角三角形；
（3）
，不变．
在等边三角形中，
，
，
，
又由条件得
，
在
与
中，
，
，
，
又
，
．
