文档文本内容
2026 年高考数学考前冲刺压轴卷 02（全国二卷通
用）
（考试时间：120分钟，分值：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡
上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1．（原创）已知集合A={x∣x>−2}， ，则 （ ）
A． B． C． D．{x∣x>−2}
【答案】D
【详解】由题意得： ，所以 ，
所以A∪B={x∣x>−2}.
2．已知复数z满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意得 ，即 ，
设 ，则 ，故上式化为 ，化简得 ，
即 ，解得 ，故 ， .3．已知直线 与 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【分析】借助直线平行的性质及充分条件与必要条件定义计算即可得.
【详解】若 ，则 ，解得 或 ，
当 时， ，两直线重合，不符；
当 时， ，符合题意；
所以 ，即“ ”是“ ” 的充要条件.
4．如图，在矩形 中， ， 为 的中点， 为等边三角形， 为
的中心，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】借助等边三角形性质、平面向量线性运算与数量积公式计算即可得.
【详解】由 为等边三角形，则 ,
由 为 的中心，则 ， ，
则.
5．在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为 ，且
，若三角形ABC的面积为 ，则 的值为（ ）
A．10 B．5 C． D．
【答案】D
【分析】利用二倍角正弦公式得 ，从而得 或 ，结合
分析得 ，故 ，最后利用三角形面积公式、诱导公式列方程
求边长 .
【详解】由 ，结合二倍角正弦公式得 ，
又 ，且 ，则 或 ，
所以 或 ，
当 ，则 ，此时 ，且 ，显然 不存
在，
当 ，则 ，且 且 ，则 ，
由 ，
又 ，
所以 ，则 ，故 （负值舍去）.
6．已知 为等差数列 的前 项和，若 ， ，则 （ ）
A．28 B．32 C．36 D．45
【答案】D【分析】将已知两式作差求得 的值，再结合等差数列前 项和公式及等差中项性质计算
。
【详解】设等差数列 的公差为 ，由 ， ，得
，即 ，则 ，因此 ，
所以 .
7．中国空间站主要由天和核心舱，问天试验舱，梦天试验舱三个舱构成.某次实验需要4
名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，其中
宇航员甲只能去天和核心舱，则不同的安排方法的种数为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．18
【答案】C
【分析】根据有几个人去天和核心舱进行分类讨论，由此求得正确答案.
【详解】若有 个人去天和核心舱，则这个人是甲，
此时安排方法有 种.
若有 个人去天和核心舱，除了甲以外，还要再选 人，
此时安排方法有 种.所以总的方法有 种.
8．已知函数 ，若对任意 恒成立，则实数a的最小值
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将题设不等式转化为 在 上恒成立，构造函数
，利用其单调性可得 ，从而只需使 ，利用导数求出
最值即得参数a的最小值.【详解】因对任意 恒成立，即 在 上恒成立
变形得 在 上恒成立，即 在
上恒成立，设 ，则有 ，由 ，可知函数 在
上单调递增，故得 ，即 在 上恒成立，
设 ，则 ，当 时， ，当 时， ，
则函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 在 时取得极大值，也是最大值为 ，故得 ，即实数a的最小值为 .
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．某工厂抽检120个机械零件的外径尺寸（单位：mm），分组数据如下表：
尺寸区间
频数 8 13 22 37 24 16
根据表中数据，下列结论正确的有（ ）
A．这120个零件外径尺寸的中位数不小于
B．这120个零件外径尺寸不低于 的零件所占比例不足
C．这120个零件外径尺寸的极差介于 到 之间
D．这120个零件外径尺寸的平均值介于 至 之间
【答案】ABC
【分析】由题设表格数据计算各选项对应统计量，据此可判断选项正误.
【详解】对于A，将零件外径尺寸从小到大排列，则第60个，61个数据均不小于34，则
中位数不小于34，故A正确；对于B，不低于 的零件占比为： ，故B正确；
对于C，由表格数据可得：零件外径尺寸最小值在 内，最大值在 内，则零件
外径尺寸极差，即外径尺寸最大值与最小值差值范围在20到30之间，故C正确；
对于D，由表格数据，每组数据均取最小值，可得零件外径尺寸平均值不低于：
，
每组数据均取区间的右侧端点，可得零件外径尺寸平均值低于：
，
即零件外径尺寸平均值介于 至 之间，故D错误.
10．已知椭圆C： ( )的左、右焦点分别为 ， ，离心率 ，P是C
上一动点，且 的周长为6，直线l与C交于A，B两点(异于点P)，则下列说法正确
的有( )
A．若点P到直线 的距离为3，则
B．若 的中点M的坐标为 ，则直线l的方程为
C．若A，B关于原点对称，直线 ， 的斜率分别为 ， ，则
D．记 的中点为N，则点N的轨迹方程为
【答案】AB
【分析】先根据已知条件求出椭圆方程，再分别利用椭圆的第二定义、点差法(对称点)、
中点坐标代入法逐一验证选项.
【详解】由离心率 及 的周长为6，得 ， ，
解得 ， ， ，椭圆方程为 .对于选项A，椭圆右准线为 ，由点 到直线 的距离为3，得 的横坐标为1.
将 代入椭圆方程，得 ，即 .
所以 ，故A正确.
对于选项B，设 ， ，代入椭圆方程得 ， ，
两式相减得 .
由中点 ，得 ， ，代入得直线斜率 ，
故直线方程为 ，即 ，故B正确.
对于选项C，设 ， ，则 ，斜率 ，
，故 .由椭圆方程得 ， ，
代入化简得 ，故C错误.
对于选项D，设 ，而 ，则 ，
代入椭圆方程得 ，整理得 ，故D错误.
11．如图，在棱长为2的正方体 中， ， 分别是 ， 的中点，点
在正方形 内部（含边界）运动，则下列结论正确的是（ ）A．若 为线段 的中点，则直线 平面
B．三棱锥 的体积为
C．在线段 上存在点 ，使得
D．若 ，则点 的轨迹长为
【答案】ABD
【分析】根据题目条件，以 为原点， 方向为 轴建立空间坐标系，
结合选项条件代入计算判断选项是否正确．
【详解】以 为原点， 方向为 轴建立空间坐标系，棱长为 ，
，
， 分别是 ， 的中点， ，
点 在正方形 上，设 ，其中 ，
对于A选项， 为线段 的中点，则 ，又 是正方体，则 是平面 的法向量，
，即 ，
又 平面 ，所以直线 平行平面 ，A选项正确；
对于B，三棱锥 体积与 相同，
的顶点 ，
， ，
点 到 的距离恒为 ，
于是 ，B选项正确
对于C，在线段 上： ，设 ，
， ，
垂直条件 即 ，
，
但 ，所以不存在这样的点 ，C选项错误；
对于D， 即 ， ，
， ，即 ，
点 限制在 ，且 平面上，因此 在这个范围内对应一条线段：
当 时 ，得 ；当 时 ，得 ，
线段长度： ，所以轨迹长为 ，D选项正确．
故选：ABD第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知 ， ，则 ______.
【答案】 /
【详解】因为 ，
且 ，所以 ，
所以 .由 ，得 ，所以 .
13．已知随机变量 服从正态分布 .若 ，则
=__________.
【答案】0.28
【分析】根据正态分布的对称性求解即可
【详解】由题可得： ;故答案为：
14．已知双曲线 （ ， ）的右焦点为 ，直线 与双曲线的渐
近线相交于点 ，点 在第二象限.直线 与抛物线 的一个交点为 ，若
，则双曲线的离心率为________.
【答案】
【分析】先根据已知条件求出点 坐标，再根据 求出点 坐标，代入抛物线方程化简即可求出双曲线离心率.
【详解】解：由题意知双曲线渐近线方程为 ，
因为直线 与双曲线的渐近线相交于点 ，且点 在第二象限，则点 的横坐标为 ，
代入渐近线 ，得 ，即 ，
因为 ，则 ，设 ，则 ，
又 ，所以 ，解得 ， ，所以 ，
将 代入 得 ，化简得 ，
因为 ，所以 ，则 ，解得 ，
又 ，所以 ，即双曲线的离心率为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）在数列 中， .
(1)求证：数列 是等差数列；
(2)令 ，数列 的前n项和为 ，证明： .
【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析【分析】（1）由递推公式得到 ，利用等差数列的定义进行证明；
（2）根据（1）求出 的通项公式，利用错位相减法可求出数列 的前n项和为 ，
即可证 .
【详解】（1）由 ，可得 ，
又因为 ，所以 ，所以 是首项为1，公差为3的等差数列.
（2）由（1）知， ，所以 .
，①
，②
①-②得，
，所以 ，又 ，所以
.
16．（15分）已知椭圆 的离心率为 ，点 在椭圆C上．(1)求椭圆C的标准方程．
(2)直线 与椭圆C交于M，N两点．
①求m的取值范围；
②若 ，求 的值．
【答案】(1) (2)① ；② ．
【分析】（1）根据离心率和过点 ，代入计算得到答案；
（2）将直线 的方程与椭圆方程联立得 ，利用根的判别式求解即可；
（3）由（2）结合 ，利用韦达定理和弦长公式即可求解.
【详解】（1）因为点 在椭圆C上，所以 ．
椭圆C的离心率为 ，解得 ．
故椭圆C的标准方程为 ．
（2）联立 得 ．
① ，解得 ，所以m的取值范围为 ．
②因为 ，所以 ，解得 ．
．
17．（15分）如图1，在等腰直角三角形ABC中， ， ， 分别为 ， 的
中点，沿 将三角形ADE折起，得到四棱锥 ，如图2．
(1)若平面 与平面 的交线为 ，证明： ；(2)证明：平面 平面 ；
(3)若平面 与平面 夹角的余弦值为 ，求二面角 的余弦值．
【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)
【分析】（1）根据线面平行判定定理证得 平面 ，再利用线面平行的性质定理
证得 ；
（2）建立空间直角坐标系，设 ，二面角 的平面角为 ，求出两个
平面的法向量，并计算向量的点积，根据法向量的位置关系证明两个平面的位置关系；
（3）同（2）问，先求出两个平面的法向量，再根据两平面夹角余弦值列方程求出 .
【详解】（1）因为 ， 分别为 ， 的中点，所以 ，
又 平面 平面 ，所以 平面 ，
又平面 平面 ，所以 ；
（2）由题可知， ， ， ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以平面 平面 ，
以 为原点， 分别为 轴， 轴，
过点 且垂直于底面 的直线为 轴，建立如图所示空间直角坐标系，
设 ，二面角 的平面角为 ，则 ，所以 ，
所以 ，
设平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 ，
所以 ，令 ，则 ，
所以 ，
同理 ，令 ，则 ，所以 ，
所以 ，
所以平面 平面 ；
（3）由（2）可知 ，
设平面 与平面 的法向量分别为 ，
所以 ， ，
令 ，则 ，所以 ，
令 ，则 ，所以 ，
因为平面 与平面 夹角的余弦值为 ，所以 ，
即 ，解得 或 （舍去），
所以二面角 的余弦值为 .
18．（17分）为促进消费，某商场面向顾客开展抽奖活动，规则如下：现有10个不透明
的箱子，每个箱子内装有4个除颜色外其他完全相同的小球，其中5个箱子各装有2个白
球和2个红球，另外5个箱子各装有1个白球和3个红球，顾客从10个箱子中随机地选取
1个箱子，记所选的箱子中红球的个数为m，顾客可从选中的箱子中一次性取出
个球，若取出的均是红球，则顾客可获得奖金 元，否则无法获得奖金.
(1)当 时，求顾客可以获得奖金的概率；
(2)当n取何值时，顾客获得奖金金额的期望更大？
【答案】(1) (2)
【分析】（1）利用全概率公式计算即可；
（2）利用离散型随机变量的分布列分别计算期望比较大小即可.
【详解】（1）当 时，
记事件A为“顾客所选的箱子中有2个白球和2个红球”，事件B为“顾客可以获得奖
金”，
则 .
（2）当 时，记顾客获得的奖金为X元，则X的所有可能取值为0，30，40，
且 ， ， ，
则 .
当 时，记顾客获得的奖金为Y元，则Y的所有可能取值为0，60，80，
且 ， ， ，则 .
因为 ，所以当 时，顾客获得奖金金额的期望更大.
19．（17分）已知函数 ．
(1)当 时，证明： ；
(2)当 时，求 的极大值点．
【答案】(1)证明见解析
(2)当 时，极大值点为 ；当 时，无极大值点；当 时，极大值点为
.
【分析】(1)代入 化简函数，通过求导分析单调性，求得最小值为1，从而证明不等式.
(2)对函数求导并因式分解，根据两个临界点的大小关系分情况讨论函数单调性，进而确定
极大值点.
【详解】（1）当 时， ，定义域为 .求导得 .
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增.
因此 在 处取得最小值 ，故 .
（2）函数 的定义域为 .求导得 .
对分子因式分解得 .
令 ，解得 或 ，由 知 .
当 时， .此时 时， ， 单调递减；
时， ， 单调递增；时， ， 单调递减.故 的极大值点为 .
当 时， ，此时 ，当且仅当 时取等号.
因此 在 上单调递减，无极值点.
当 时， .此时 时， ， 单调递减； 时，
， 单调递增； 时， ， 单调递减.
故 的极大值点为 .
