文档文本内容
重难点专训02 解三角形中的最值及范围问题
解题
及
方法
技巧提炼............................................................................................................................1
题
及
型通法
变式提升............................................................................................................................2
题
三角形
角
值范围
型一：已知
一
求取
................................................................................................................2
题
三角形
角及
值范围
型二：已知
一
其对边求取
................................................................................................3
题
三
三角形
角及
值范围
型
：已知
一
其邻边求取
................................................................................................4
题
三角形
角及
的
值范围
型四：已知
一
另外两边
关系求取
................................................................................5
题
中
的最值问题
型五：
线长
................................................................................................................................6
题
角
的最值问题
型六：
平分线长
........................................................................................................................6
题
三角形
的
问题的最值问题
型七：与
有关
实际
................................................................................................7
重难专题分层过关练............................................................................................................................9
巩固过关.................................................................................................................................................................9
创新提升...............................................................................................................................................................11
一、核心解题思路
首先建立所求量（式子）与已知角、边的直接关联，将已知角或边设为自变量，所求量（式子）作为
函数值，通过这种转化构建明确的函数关系，使原问题等价转化为求函数值域的问题。
在此过程中，需充分结合两重范围限制：一是题目给定的显性条件（如边的长度范围、角的特定区间
等）；二是三角形自身的隐性约束（如内角和为 π、两边之和大于第三边、边角对应关系等）。务必全面
梳理自变量（角或边）的取值范围
即函数的定义域，避免因定义域疏漏导致最终结果的范围扩大。
——
二、三角形中的最值范围问题的解题策略：
①基本不等式法
利用基本不等式求最值范围，主要结合余弦定理，可求周长及面积的题目，若要求解周长的范围时，
还需利用三角形“两边之和大于第三边（任意三角形）”
②三角函数法
先利用正弦定理将边转化成角，然后利用
或者题干中角的关系，可将所求式子中的角
统一成一个角，需要注意题干中对角有没有限制要求，利用角的范围求出范围
③坐标法
“坐标法”也是解决三角形最值问题的一种重要方法,解题时，要充分利用题设条件中所提供的特殊边
角关系，建立合适的直角坐标系，正确求出关键点的坐标，将所要求的目标式表示出来并合理化简，再结
合三角函数、基本不等式等知识求其最值:
题型一：
三角形
角
值范围
已知
一
求取
典例1-1．在锐角三角形
中，角
，
，
的对边分别为
，
，，若
，则
的取值范围为
A．
B．
C．
D．
典例1-2．设锐角三角形ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
．
（
）若
Ⅰ
，
，求b
（
）求
Ⅱ
的取值范围．
变式1-1．在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c.已知
.
（1）求角B 的大小；
（2）求
的取值范围.
变式1-2．已知锐角
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，向量
，
，
.
(1)求
；
(2)求
的取值范围.
题型二：
三角形
角及
值范围
已知
一
其对边求取
典例2-1．已知在锐角
中，角
的对边分别为
，且
.
(1)求
的值；
(2)若
，求
周长的取值范围.
典例2-2．在锐角
中，内角
所对的边分别为
，已知
，
(1)求角
的大小；
(2)求
取值范围．
变式2-1．已知
的内角
所对应的边分别为
，若
.
(1)求
；
(2)求
面积的最大值.
变式2-2．在
中，内角
的对边分别为
，且
，
.
(1)求
的大小；
(2)若
，求
的面积；
(3)求
的最大值.
题型三
三角形
角及
值范围
：已知
一
其邻边求取
典例3-1．已知
内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
，
的面积
.
(1)求边c；
(2)若
为锐角三角形，求a 的取值范围.
典例3-2．在
中，设角
，
，
的对边长分别为
，
，，已知
.
（1）求角
的值；
（2）若
为锐角三角形，且
，求
的面积的取值范围.
变式3-1．已知
的内角
的对边分别为
，
(1)求
的值；
(2)若
，求
面积的最大值．
变式3-2．在锐角
中，内角A，B，C 的对边分别是a，b，c，并且
.
(1)求b 的值；
(2)若
，求
面积的取值范围.
题型
三角形
角及
的
值范围
四：已知
一
另外两边
关系求取
典例4-1．记
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，
，若
的面积为2，则当
的周长取到最小值时，
（ ）
A．
B．
C．
D．
变式4-1．在①
，②
，③
这三个条件中
任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．已知
的内角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，若
___________．
(1)求角B；
(2)若
，求
周长的最小值．
变式4-2．在
中，已知
.
(1)若
且
，求
的面积；
(2)若
求
的取值范围.
题型
中
的最值问题
五：
线长
典例5-1．在锐角三角形
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，，已知
，点
为
的中点，则中线
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
典例5-2．已知在锐角三角形
中，内角
，
，
，所对应的边分别为
，
，，且是
，
，则中线
长的取值范围是 .
变式5-1．在
中，内角
所对的边分别是
，且
，
，则边
上的中
线
的取值范围是 .
变式5-2．在锐角
中，设角
的对边依次为
，满足
.
(1)求
的大小；
(2)若
，求边
上的中线
的取值范围.
题型
角
的最值问题
六：
平分线长
典例6-1．在
中，
，
，点
为
边上的点，
是
的角平分线，则
，
的取值范围是 ．
典例6-2．在
中，角
的对边分别为
，且
，
.
(1)若
，求
的值；
(2)若
为锐角三角形.
（
）求
ⅰ
的取值范围；
（
）若
ⅱ
是
的角平分线，求
的取值范围.
变式6-1．已知
的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
．
(1)求A；
(2)若
，D 为BC 中点，求线段AD 长；
(3)若该三角形面积为
，AD 为内角A 的角平分线，交BC 边于点D，求线段AD 长的最大值．
变式6-2．在
中，记内角
，
，
所对的边分别为
，
，，已知
且
.
(1)求
；
(2)求
的最大值；
(3)若
的角平分线交
于点
，求
的取值范围.
题型
三角形
的
问题的最值问题
七：与
有关
实际
典例7-1．湖北省第十六届运动会将于2022 年10 月在宜昌举行，为了方便宜昌市民观看，夷陵广场大屏幕
届时会滚动直播赛事，已知大屏幕下端B 离地面2.5 米，大屏幕高3 米，若某位观众眼睛离地面1.5 米，则
这位观众在距离大屏幕所在的平面多远，可以获得观看的最佳视野？（最佳视野是指看到屏幕上下夹角的
最大值）（ ）
A．
B．
C．3
D．2
典例7-2．如图，在点
处有一座灯塔，
是一条直的海岸线，已知
，
，从灯塔
处射出的灯光照到线段
上的线段
，
、
是线段
（含端点）上的动点，在转动灯光的过程中，
始终保持
不变.
(1)当
时，求被灯光照到的区域
的面积；
(2)求海岸线
上被照到的线段
长的最小值.
变式7-1．某园区有一块三角形空地
（如图），其中
，
，
，现计
划在该空地上划分三个区域种植不同的花卉，若要求
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式7-2．如图，某湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台D．已知湿地夹在公路
之间（
的长度均超过
），且
．在公路
上分别设有游客接送点E，F，
．若要求观景台D 建在E，F 两点连线的右侧，并在观景台D 与接送点E，F 之间建造
两条观光线路
与
，
，则观光线路
与
之和最长为
．
巩固过关
1．已知
中，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．在
中，
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．在锐角
中，为
的面积，
，且
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．在
中，若
，则
的取值范围为 .
5．在
内，内角
的对边分别为
，若
，且
，则
的取
值范围是 ．
6．如图所示，公路
一侧有一块空地
，其中
，市政府拟在中
间开挖一个人工湖
，其中
都在边
上（
不与
重合，
在
之间），且
.
(1)若
在距离A 点
处，求
和
的长度；
(2)为节省投入资金，人工湖
的面积尽可能小，设
，试确定
的值，使
的面积最小，
并求出最小面积.
7．在
中，内角
，
，
所对的边分别是
，
，，且
，
.
(1)求角
；
(2)若
，求边AC 上的角平分线BD 长；
(3)若
为锐角三角形，求边
上的中线
的取值范围.
8．在
中，角
所对的边分别为
，已知向量
满足
，
，且
．
(1)求角
；
(2)若
是锐角三角形，且
，求
的取值范围．
9．设
的内角
的对边分别是
，已知
，且
.
(1)求角C；
(2)若D 为
的中点，求线段
长的取值范围.
10．
的内角
的对边分别为
，已知
．
(1)求角
的大小；
(2)设
，求
的最大值及
取得最大值时
的面积．
创新提升
1．在
中，内角
的对边分别为
．已知
上的中线长为4，则
面积
的最大值是 ．
2．在锐角
中，内角
所对的边分别为
，且
，则
的取值范围是 ．
3．在
中，角
，
，
的对边分别是
，
，，向量
，
，且
.
(1)若
，
，求
面积的最大值；
(2)若
，求
的取值范围.
4．已知
，
，分别为
三个内角
，
，
的对边，
且
.
(1)求
；
(2)若
，求
的取值范围.
