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重难点培优07 解三角形解答题题型全归纳
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01 知识重构・重难梳理固根基..........................................................................................................1
02 题型精研・技巧通法提能力..........................................................................................................4
题型一 三角函数结合三角恒等变换（★★★★）....................................................................................4
题型二 三角形面积问题（★★★★★）....................................................................................................6
题型三 三角形周长、边问题（★★★★★）............................................................................................7
题型四 三线（中线、角平分线、垂线）问题（★★★★★）................................................................9
题型五 几何图形类问题（★★★★★）..................................................................................................10
题型六 结合三角形“四心”问题（★★★★）......................................................................................12
题型七 证明类问题（★★★）..................................................................................................................14
03 实战检测・分层突破验成效........................................................................................................15
检测Ⅰ组 重难知识巩固..............................................................................................................................15
检测Ⅱ组 创新能力提升..............................................................................................................................20
一、降幂公式
二、辅助角公式
asinα+bcosα=√a2+b2sin(α+ϕ)（其中
sinϕ=
b
√a2+b2 ，cosϕ=
a
√a2+b2 ，tanϕ=b
a ）．
三、三角形角的关系
（1）
中，
,
A
2 + B
2 + C
2 =
π
2
（2）
，
（3）
，
四、公式的相关应用
（1）正弦定理的应用
①边化角，角化边
②大边对大角 大角对大边
③合分比：
（2）
内角和定理：
①
②
；
③在
中，内角
成等差数列
.
五、三角形面积和周长的最值、范围问题
1、三角形面积和周长的最值、范围问题
（1）求周长：三角形周长等于三边和，但是有的时候需要转化
周长
（2）面积公式：
（r 是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r. ）
（3）求周长的模型：
（4）基本不等式
①
②
ab≤( a+b
2
)2
(当且仅当
时取“=”号)
（5）利用三角恒等变换转化为内角
有关的三角函数.
①和差角公式：
，
②辅助角公式：asinα+bcosα=√a2+b2sin(α+ϕ)
（其中
sinϕ=
b
√a2+b2 ，cosϕ=
a
√a2+b2 ，tanϕ=b
a ）．
2、解题思路步骤
①利用基本不等式：
，再利用
及
，求出
的取值范围或者利用
②利用三角函数思想：
，结合辅助角公式及三角函
数求最值
六、中线问题
如图，△ABC 中，AD 为BC 的中线，已知AB,AC,及∠A，求中线AD 长.
D
A
B
C
② 向量法：
,平方即可；
③ 余弦定理：邻补角余弦值为相反数，即
注：若或将条件“AD 为BC 的中线”换为“
”则可以考虑方法②或方法③.
七、角平分线问题
ABC
△
中，AD 平分∠BAC.
①
角平分线定理：
证法1（等面积法）
，得
注：
为A 到BC 的距离，
为D 到AB,AC 的距离.
证法2（正弦定理）
如图，
，
,而
，整理得
2
1
4
3
D
A
B
C
②等面积法
D
A
B
C
八、垂线问题
①等面积法：
②
③
D
C
B
A
题型一 三角函数结合三角恒等变换
【技巧通法·提分快招】
1、首先要通过降幂公式降幂，二倍角公式化角：
（1）二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α (S2α)；cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α (C2α)
（2）降幂公式：cos2α＝，sin2α＝，
2、再通过辅助角公式“化一”，化为
3、辅助角公式：asin α＋bcos α ＝sin(α＋φ)，其中tan φ＝.
4、最后利用三角函数图象和性质，求解计算：
一般将
看做一个整体，利用换元法和数形结合的思想解题.与三角函数相关的方程根的问题（零点
问题），通常通过函数与方程思想转化为图象交点问题，再借助图象进行分析.
1．（24-25 高三下·福建龙岩·月考）已知
.
(1)将
化成
的形式；
(2)求
在区间
上的值域.
2．（2025·云南丽江·三模）已知函数
.
(1)求
的最小正周期：
(2)若
，解不等式：
.
3．（24-25 高三上·天津·期中）已知函数
．
(1)求
的最小正周期及单调递增减区间；
(2)若方程
在
上有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围．
4．（25-26 高三上·重庆·月考）已知函数
，且
的最小正周期是
.
(1)求
的值，并求此时
的对称轴；
(2)
，求函数
的单调递减区间.
5．（2025·山东聊城·模拟预测）已知函数
的部分图象如图所示，
其中
在
轴右侧第一个极值点为
(1)求函数
的解析式；
(2)若
，判断在区间
上，
与0 大小关系，并说明理由.
6．已知函数
部分图象如图所示．
(1)求
和
的值；
(2)求函数
在
上的单调递增区间；
(3)将
向右平移
个单位长度得到函数
，已知函数
在
上存在
零点，求实数a 的最小值和最大值．
题型二 三角形面积问题
【技巧通法·提分快招】
利用正、余弦定理求解三角形的面积问题，两种题型，一种是求面积，另外一种是求面积范围.
一般思路是：
1、选定理：对于求面积问题，一般是余弦定理或者是正弦定理加上面积公式即可解决.
2、面积范围问题：第一为求面积最值，一般采用余弦定理加基本不等式；第二类为锐角三角形中的面积
范围问题，则一般采用边角转化，把边长转化成角度，从而利用辅助角公式，转化成三角函数问题去解
决，但是因注意角度的取值范围问题
1．（2025·江苏苏州·三模）在
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，，
的面积和周长
分别为，
，且
．
(1)若
，
，求
；
(2)若
且
，求的最大值．
2．（24-25 高三上·湖北武汉·期中）在
中，内角
，
，
的对边分别为
，
，，
．
(1)求
；
(2)若角
的平分线交边
于点
，
，求
面积的最小值．
3．在锐角
中，角
的对边分别是
，且
.
(1)求
；
(2)若
外接圆的半径是1，求
面积的取值范围.
4．在
中，角
的对边分别为
，若
．
(1)求
；
(2)若
，证明：
是直角三角形．
(3)若
是锐角三角形，
，求
面积的取值范围．
题型三 三角形周长、边问题
【技巧通法·提分快招】
利用正、余弦定理求解三角形的边长周长问题
1、对于求边长问题，主要是把未知边或者角度通过正弦余弦定理用已知边或者是已知角度表示出来.
2、对于周长问题通常牵涉到两种题型，周长或者是周长范围问题，
类型一：一般来说如果求周长或者是边长的最值问题可采用基本不等式+余弦定理求解决.
类型二：常规三角形的周长范围问题也可采用余弦定理+基本不等式解决，或者是通过正弦定理把边装化
成角度，利用辅助角公式从而转化为三角函数问题.
类型三：锐角三角形中周长或者是边长以及其他的范围问题，则一般采用边角转化，把边长转化成角度，
从而利用辅助角公式，转化成三角函数问题去解决，但是因注意角度的取值范围问题.
1．（2025·上海·三模）在
中，角
，
，
所对边的边长分别为
，
，，且满足
(1)求角
的值；
(2)若
，求
周长的最大值.
2．（24-25 高三下·湖南永州·开学考试）在
中，角
，
，
的对边分别为
，
，，且
的
面积
．
(1)求
的大小；
(2)若
的外接圆半径为3，求
周长的取值范围．
3．（2025·浙江·二模）已知
的外接圆半径为1，内角
，
，
的对边分别为
，
，.
(1)若
边上的高为1，求
的面积的最大值；
(2)若
，求
的周长的最大值.
4．（2025·江苏·模拟预测）在
中，内角
、
、
的对边分别为
、
、，且
.
(1)求角
；
(2)若
是锐角三角形，且
，求
的取值范围.
5．（2025·新疆喀什·二模）记
的内角
所对的边分别为
，已知
．
(1)证明：
；
(2)若
，求
的取值范围．
6．（2025·河北沧州·模拟预测）在锐角三角形
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
．
(1)求角C 的大小；
(2)若
，求
周长的取值范围．
7．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，，
(1)求证：
；
(2)若
，求
周长的取值范围．
题型四 三线（中线、角平分线、垂线）问题
【技巧通法·提分快招】
三线问题指的是角平分线，中线，高线
对于角平分线：一种是采用等面积法（面积分割），或者是角平分线定理去解决.
对于中线问题 一般采用向量思想去解决.
垂线问题，一般采用正弦定理或者是等面积法去解决.
1．（2025·山东聊城·三模）记
的内角
的对边分别为
，已知
．
(1)求
；
(2)若
，且
边上的高为
，求
的周长．
2．（24-25 高三下·贵州·开学考试）设
的内角
的对边分别为
，已知
．
(1)求
；
(2)若
的角平分线
与
交于点
，且
，求
的周长．
3．（2025·陕西西安·一模）已知△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
，D 为BC 上一动
点.
(1)若AD 平分
，求证：
；
(2)若D 为BC 上靠近B 的三等分点，当
，
时，求AD 的长.
4．（2025·贵州铜仁·三模）已知在
中，
，其中内角
的对边分
别为
．
(1)求角
的大小；
(2)若
为
的中点，且
，求
的最大值．
5．（24-25 高三上·四川南充·月考）已知函数
在
上的值域为
．
(1)求
，并求
在R 上的单调递增区间；
(2)在
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
，
，
，求边
BC 上的高h．
6．（24-25 高三上·山东淄博·期中）在
中，角
所对的边分别为
，且
.
(1)求角
的大小；
(2)若
，求
的面积的最大值；
(3)设
是边
上一点，
为角平分线且
，求
的值.
7．已知
分别为锐角三角形
三个内角
的对边，且
.
(1)求
;
(2)若
，
为
的中点，求中线
的取值范围.
8．（2024·四川绵阳·模拟预测）三角形三内角
，
，
的对边分别为
，
，，已知
.
(1)求角
的大小；
(2)若
的面积等于
，
为
边的中点，当中线
的长最短时，求
边的长.
9．已知
的内角
的对边为
，且
(1)求
;
(2)若
的面积为
①已知
为
的中点，且
，求
底边
上中线
的长;
②求内角
的角平分线
长的最大值.
题型五 几何图形类问题
【技巧通法·提分快招】
1、解决三角形图形类问题的方法
方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；
方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似
是三角形中的常用思路；
方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；
方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；
方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将
其与余弦定理充分结合到一起；
方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直
观化.
1．（24-25 高三上·湖南常德·月考）如图，在
中，已知角
，
，
所对的边分别为
，
，，角
的平分线交
于点
，且
，
.
(1)求角
的大小;
(2)若
，求
的面积.
2．（24-25 高三上·重庆·月考）平面四边形
中，已知
(1)求
的面积；
(2)若
，求
的大小．
3．（2025·山东·一模）如图，在平面四边形
中，已知
，
，
为等边三角形，记
．
(1)若
，求
的面积；
(2)若
，求四边形
面积的取值范围．
4．（25-26 高三上·山东青岛·开学考试）如图，平面四边形
中，
，
，
．
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且满足
．
(1)求
；
(2)求
内切圆半径的取值范围．
5．（2024·山东济南·二模）如图，已知平面四边形
中，
.
(1)若
四点共圆，求
；
(2)求四边形
面积的最大值.
题型六 结合三角形“四心”问题
【技巧通法·提分快招】
1、对于内切圆圆心是三个角角平分线的交点，外接圆则是三边中垂线的交点，对于内切圆的半径则采用
等面积发，即
.
2、对于外接圆半径问题 一般采用正弦定理
a
sin A =
b
sin B =
c
sinC =2R 解决.
1．在
中，内角
，
，
的对边分别为
，
，，且
．
(1)求
；
(2)若
的重心为
，且
，求
．
2．（24-25 高三上·河南·月考）在
中，内角
的对边分别为
，且
．
(1)求
；
(2)若
为
的外心，
为边
的中点，且
，求
周长的最大值．
3．已知
的内角
的对边分别为
，且
．
(1)求
；
(2)若
，求
面积的最大值；
(3)若
的垂心为
（
在
的内部），直线
与
交于点
，且
，当
最大
时，求
．
4．记
的内角
的对边分别为
，已知
，
.
(1)求角
与
；
(2)若点
为
的所在平面内一点，且满足
，求
的值；
(3)若点
为
的重心，且
，求
的面积.
5．在
中角A，B，C 分别对应边长记为a，b，c，
，
，取
，
，已知
.
(1)求
.
(2)在边
上取一点D，使
为锐角且有
与
的外接圆半径之比为
，设点E 为
的内心，求
的面积.
6．（23-24 高三上·山西吕梁·月考）从①
；②
这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．
在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且满足：______．
(1)求角C 的大小；
(2)若
，
的内心为I，求
周长的取值范围．
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．
7．（2025·四川成都·模拟预测）在
中，角
的对边分别是
，且
．
(1)求角
的大小；
(2)如图，若
为锐角三角形，点
为
的垂心，
，设
，
（i）
，求
的面积；
（ii）求
的取值范围．
题型七 证明类问题
【技巧通法·提分快招】
证明与三角形有关的等式(或不等式)的一般思路
1、利用正、余弦定理完成边角转化：把已知条件或待证等(不等)式转化为以角为研究对象的三角等(不等)
式或以边为研究对象的代数等(不等)式.
2、充分利用三角形中隐含条件：(1)A＋B＋C＝π；(2)A＞B
sin
⇔
A＞sin B；(3)a－b＜c＜a＋b 及三角函数
的性质、三角恒等变换公式等推导证明.
1．（2025·山东济宁·二模）在
中，内角
，
，
所对的边分别为
，
，，且
.
(1)证明：
；
(2)若
的面积为
，证明
为等边三角形.
2．已知在
中，内角
的对边分别为
，记
的面积为.
(1)若
，求的值；
(2)证明
，并指出等号成立的条件.
3．已知在
中，角
的对边分别为
，
，
，D 为边
的中
点.
(1)若
，证明：
；
(2)求BD 的最大值.
4．在
中，点D，E 都是边BC 上且与B，C 不重合的点，且点D 在B，E 之间，
．
(1)求证：
．
(2)若
，求证：
．
5．在
中，
，D 为BC 中点，
．
(1)证明：
；
(2)证明：
或
；
(3)求
的值．
6．已知
的面积为，内角
，
，
所对的边分别为
，
，，点
在
内，且满足
.
(1)证明：
；
(2)证明：
；
(3)若
，
，
，求
及
的长度.
检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．（2025·广东深圳·二模）在
中，
，BC 边上的高等于
．
(1)求
的值；
(2)若
，求
的周长．
2．（2025·湖南邵阳·二模）已知向量
，
，设函数
．
(1)求函数
的最小正周期和单调递减区间；
(2)当
时，
，求实数的取值范围．
3．已知函数
的部分图象如图所示.
(1)求
的解析式及单调递增区间；
(2)将函数
的图象向左平移
个单位长度后得到函数
图象，若不等式
对任意
成立，求m 的取值范围.
4．（2025·宁夏石嘴山·三模）在
中，
.
(1)求
；
(2)若
，求
的周长的最大值.
5．（2025·安徽·模拟预测）在
中，
、
、分别为内角
、
、
的对边，且
．
(1)求
；
(2)若
，
，求
面积的最大值．
6．如图，已知△ABD 的重心为C，△ABC 三内角A、B、C 的对边分别为a，b，c.且
(1)求∠ACB 的大小；
(2)若
，求
的大小.
7．已知在
中，角A，B，C 所对的边记为a，b，c，设其外心为点O，若
.
(1)求角C 的大小；
(2)若
的面积为
，求
周长的最大值.
8．（2025·黑龙江·二模）记
中，内角
所对的边分别为
.已知
.
(1)求
；
(2)若
，求
的最大值.
9．（23-24 高三下·北京·开学考试）已知
的内角
的对边分别为
，且满足
，
．
(1)求
的大小；
(2)已知
是
的中线，求
的最大值．
10．（24-25 高三上·江西赣州·开学考试）在
中，内角
所对的边分别是
，已知向量
，满足
.
(1)求
；
(2)若角
的平分线交边
于点
，求
面积的最小值.
11．（2024·广西·模拟预测）
的内角
的对边分别为
，已知
．
(1)求
；
(2)若
，
的角平分线交
于点
，求线段
长度的最大值．
12．在面积为的
中，内角
，所对的边分别为
，且
.
(1)求角
；
(2)若
，求
的周长；
(3)若
为锐角三角形，且
边上的高为2，求
面积的取值范围.
13．在锐角三角形
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)求角A 的大小；
(2)若
，求
的周长l 的取值范围．
14．在锐角
中，角
，
，
的对边长分别为
，
，，
的面积为，已知
．
(1)求角
；
(2)设
为
的垂心，且
，求
的取值范围．
15．（24-25 高三上·江苏镇江·月考）平面四边形
中，
，
，
，
(1)记
，求
；
(2)求
的面积.
16．（23-24 高三上·河北邢台·期中）在锐角三角形
中，内角
的对边分别为
，且
．
(1)求角
的大小；
(2)若
，求
面积的取值范围．
17．在锐角
中，角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，若
.
(1)求
；
(2)若
为_______，线段
的延长线交
于点
，求
的最大值或最小值.
（从条件①内心，
，②垂心，
③重心，
，任选一个作答）
18．如图，在平面四边形
中，
，
.
(1)若
，求
；
(2)若
和
的面积分别为
，求
的取值范围.
19．（2025·辽宁·二模）已知锐角
，角
、
、
所对的边分别为
、
、，且
，
．
(1)求
；
(2)求
的取值范围．
20．（24-25 高三上·广东·月考）在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
的面积为
，
且
.D 是AB 的中点，点E 在线段AC 上且
，线段CD 与线段BE 交于点M（如
下图）
(1)求角A 的大小：
(2)若
，求
的值；
(3)若点G 是
的重心，求线段GM 的最小值.
21．（24-25 高三下·江苏苏州·开学考试）在
中，角
所对的边分别为
，已知
．
(1)求角
的大小；
(2)若
，
，求
的面积；
(3)若
，且
为锐角三角形，求
的周长的取值范围．
22．（24-25 高三上·贵州黔南·期末）在①
，②
，③
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决该问题．
问题：已知锐角三角形
的内角
、
、
的对边分别为
、
、，______．
(1)求
；
(2)若
，求
面积的取值范围．
23．（2024·河北衡水·模拟预测）如图，在平面四边形
中，
，
设
.
(1)若
，求
的长；
(2)若
，求
.
24．已知A、B、C、D 为平面四边形
的四个内角．
(1)若
，
，求
；
(2)如图，若
，
，
，
，
.
①证明：
；
②求
的值．
检测Ⅱ组 创新能力提升
1．记
的内角
所对的边分别为
，已知
(1)若
为直角，求
；
(2)若
为锐角三角形，证明：
．
2．平面四边形
中，
，
，
，
．
(1)求
；
(2)求四边形
周长的取值范围；
(3)若
为边
上一点，且满足
，
，求
的面积．
3．（24-25 高三上·辽宁大连·期中）在平面四边形
中，
，且
.
(1)
中，设角
、
、
的对边分别为
、
、，若
.
①当
时，求
的值；
②当
时，求ac 的最大值.
(2)若
，当
变化时，求
长度的最大值.
4．（23-24 高三上·江苏扬州·期中）在
中，
，且
边上的中线
长为1.
(1)若
，求
的面积；
(2)若
，求
的长.
5．已知锐角三角形ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且满足
，
.
(1)求
的取值范围；
(2)若
，求三角形ABC 面积的取值范围.
6．在
中，内角
，
，
所对的边分别为
，
，，且
.
(1)若
，
，求边
上的角平分线
长；
(2)若
为锐角三角形，点
为
的垂心，
，求
的取值范围.
7．已知在
与
中，
与
在直线
的同侧，
，直线
与直线
交于
.
(1)若
，求
的取值范围；
(2)证明：
.
