宋
数量关系一本通
筑基-提升-飞跃
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1
目录
第一阶段 方法论 .............................................................................................................................. 5
第一节 和差倍比 ...................................................................................................................... 5
【考点筑基】 ................................................................................................................... 5
【母题提升】+【能力扩展】......................................................................................... 6
【强化飞跃】 ................................................................................................................... 8
第二节 基础方程 .................................................................................................................... 12
（1）设未知数 ............................................................................................................... 12
（2）列方程 ................................................................................................................... 14
（3）解方程 ................................................................................................................... 18
【强化飞跃】 ................................................................................................................. 24
第三节 赋值法 ........................................................................................................................ 36
【考点筑基】 ................................................................................................................. 36
【母题提升】+【能力扩展】....................................................................................... 36
【强化飞跃】 ................................................................................................................. 43
第四节 正反比例法 ................................................................................................................ 46
【考点筑基】 ................................................................................................................. 46
【母题提升】+【能力扩展】....................................................................................... 46
【强化飞跃】 ................................................................................................................. 49
第五节 图示法 ........................................................................................................................ 53
【考点筑基】 ................................................................................................................. 53
【母题提升】+【能力扩展】....................................................................................... 53
【强化飞跃】 ................................................................................................................. 57
第六节十字交叉 ..................................................................................................................... 60
【考点筑基】 ................................................................................................................. 60
【母题提升】+【能力扩展】....................................................................................... 61
【强化飞跃】 ................................................................................................................. 63
第七节 代入排除 .................................................................................................................... 70
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2
【考点筑基】 ................................................................................................................. 70
【母题提升】+【能力扩展】....................................................................................... 70
【强化飞跃】 ................................................................................................................. 71
第八节 枚举归纳 .................................................................................................................... 73
【考点筑基】 ................................................................................................................. 73
【母题提升】+【能力扩展】....................................................................................... 73
【强化飞跃】 ................................................................................................................. 73
第九节 约数倍数 .................................................................................................................... 75
【考点筑基】 ................................................................................................................. 75
【母题提升】+【能力扩展】....................................................................................... 76
【强化飞跃】 ................................................................................................................. 77
第十节 循环周期 .................................................................................................................... 83
【考点筑基】 ................................................................................................................. 83
【母题提升】+【能力扩展】....................................................................................... 83
【强化飞跃】 ................................................................................................................. 84
第二阶段 二十大模型 .................................................................................................................... 87
（一）工程问题 ..................................................................................................................... 87
【学前筑基】 ................................................................................................................. 87
【考点筑基】 ................................................................................................................. 89
【母题提升】+【能力扩展】....................................................................................... 89
【强化飞跃】 ................................................................................................................. 96
（二）经济利润问题 ........................................................................................................... 110
【学前筑基】 ............................................................................................................... 110
【考点筑基】 ............................................................................................................... 112
【母题提升】+【能力扩展】..................................................................................... 112
【强化飞跃】 ............................................................................................................... 122
（三）行程问题 ................................................................................................................... 139
【学前筑基】 ............................................................................................................... 139
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3
第一节【基础公式类】 ............................................................................................... 142
第二节【等距离平均速度类】 ................................................................................... 144
第三节【火车过桥类】 ............................................................................................... 147
第四节【流水行船】 ................................................................................................... 149
第五节【正反比类】 ................................................................................................... 154
第六节【直线相遇】 ................................................................................................... 161
第七节【环形相遇】 ................................................................................................... 172
第八节【直线追及】 ................................................................................................... 177
第九节【环形追及】 ................................................................................................... 179
第十节【相遇追及】 ................................................................................................... 184
第十一节【匀变速类】 ............................................................................................... 187
第十二节【间歇变速】 ............................................................................................... 190
第十三节【杂糅类】 ................................................................................................... 191
（四）几何问题 ................................................................................................................... 195
【学前筑基】 ............................................................................................................... 195
第一节【平面几何】 ................................................................................................... 198
第二节【立体几何】 ................................................................................................... 257
第三节【几何性质】 ................................................................................................... 273
第四节【几何构造】 ................................................................................................... 278
第五节【杂糅】 ........................................................................................................... 298
（五）排列组合问题 ........................................................................................................... 304
【学前筑基】 ............................................................................................................... 304
【考点筑基】 ............................................................................................................... 311
【十大模型】 ............................................................................................................... 324
（六）概率问题 ................................................................................................................... 341
【学前筑基】 ............................................................................................................... 341
【考点筑基】 ............................................................................................................... 341
【母题提升】+【能力扩展】..................................................................................... 342
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4
【强化飞跃】 ............................................................................................................... 347
（七）容斥问题 ................................................................................................................... 360
第一节【两集合公式类】 ........................................................................................... 360
第二节【两集合画图类】 ........................................................................................... 366
第三节【三集合公式类】 ........................................................................................... 369
第四节【三集合画图类】 ........................................................................................... 375
第五节【容斥最值类】 ............................................................................................... 379
（八）最值问题 ................................................................................................................... 381
第一节【最不利构造】 ............................................................................................... 381
第二节【数列构造】 ................................................................................................... 390
第三节【多集合反向构造】 ....................................................................................... 397
第四节【其他构造】 ................................................................................................... 401
（九）时间问题 ................................................................................................................... 406
第一节【年龄问题】 ................................................................................................... 406
第二节【星期日期】 ................................................................................................... 412
第三节【钟表问题】 ................................................................................................... 419
（十）溶液问题 ................................................................................................................... 427
（十一）数列问题 ............................................................................................................... 438
（十二）牛吃草问题 ........................................................................................................... 447
（十三）植树问题 ............................................................................................................... 454
（十四）方阵问题 ............................................................................................................... 464
（十五）空瓶换酒问题 ....................................................................................................... 470
（十六）爬井过河问题 ....................................................................................................... 472
（十七）比赛问题 ............................................................................................................... 474
（十八）函数问题 ............................................................................................................... 481
（十九）统筹推断 ............................................................................................................... 487
（二十）不定方程 ............................................................................................................... 494
（二十一）其他杂题 ........................................................................................................... 498
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第一阶段 方法论
第一节 和差倍比
【考点筑基】
（1）和差类：
A 比B 多5：A=B＋5；
A 比B 少5：A=B－5。
（2）倍比类：
①是…m 倍：A 是B 的5 倍：A = 5 × B；
②多…m 倍：A 比B 多5 倍：A=B×（1+5）=A=6×B；
③多…m%：A 比B 多20%：A=B×（1+20%）=A=1.2×B；
④少…m%：A 比B 少20%：A=B×（1-20%）=A=0.8×B；
⑤多…
1
𝑚：A 比B 多
1
5：A=B×（1+
1
5）=A=
6
5×B；
⑥少…
1
𝑚：A 比B 少
1
5：A=B×（1-
1
5）=A=
4
5×B。
（3）比例分数类：
比例：
①若a:b=m:n，则a 是m 的倍数；b 是n 的倍数；
②若a:b=m:n，则a±b 为m±n 的倍数。
分数：
若a = b ×
m
n ，则a 是m 的倍数；b 是n 的倍数；
百分数：100 做分母的分数，将其化为最简分数。
例：24%=
24
100 =
6
25。
小数：扩大整十整百倍后约分为最简分数。
例：1.8=
18
10 =
9
5。
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6
【母题提升】+【能力扩展】
【母题1】小王步行的速度比跑步慢50%，跑步的速度比骑车慢50%。则步行：跑步：
汽车=_____________。
【示范】
第一步：步行的速度比跑步慢50%：步行=跑步×（1−50%），可得步行：跑步=1：2；
第二步：跑步的速度比骑车慢50%：跑步=骑车×（1−50%），可得跑步：骑车=1：2；
第三步：两次比例中都有跑步，令跑步=2，步行=1，骑车=4，步行：跑步：汽车
=1∶2∶4。
【能力扩展】
统一比例思维：若出现“A∶B=____；B∶C=_____”可以找两次比例中都出现过的B 的最
小公倍数，A 和C 按比例扩大即可。例如A∶B=3∶5；B∶C=4∶7，
令B=4×5=20
则A=4×3=12
则C=7×5=35
【母题2】小王比狗的速度快一半，比车的速度慢
3
4，则小王：狗：车=___________。
【示范】
第一步：小王比狗的速度快一半：小王=狗×（1+0.5），可得小王：狗=1.5∶1=3∶2；
第二步：小王比车的速度慢
3
4：小王=车×（1−
3
4），可得小王=车×
1
4，小王：车=1∶4；
第三步：两次比例中都有小王，令小王=3，狗=2，车=12，小王∶狗∶车=3∶2∶12。
【能力扩展】
快一半=多50%=是1.5 倍；
快一倍=多1 倍=是2 倍。
【母题3】某企业共有职工100 多人，其中，生产人员与非生产人员的人数之比为4∶5，
而研发与非研发人员的人数之比为3∶5，该企业总人数为__________。
【示范】
第一步：生产人员与非生产人员的人数之比为4∶5，可得生产人员为4 的倍数，非生产
人员为5 的倍数，总人数为4+5=9 的倍数；
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7
第二步：研发与非研发人员的人数之比为3∶5，可得研发人员为3 的倍数，非研发人员
为5 的倍数，总人数为3+5=8 的倍数；
第三步：总人数既是9 的倍数，又是8 的倍数，可得总人数为8×9=72 的倍数，
72×2=144。
【能力扩展】
若某数既是m 的倍数，又是n 的倍数，则该数是m 与n 最小公倍数的倍数。
【母题4】甲班捐款数是另外两个班捐款总数的2/5 ，乙班捐款数是丙班的1.2 倍，总
数至少为______的倍数。
第一步：乙班捐款数是丙班的1.2 倍，1.2=
12
10 =
6
5，可得乙=丙×
6
5，乙是6 的倍数，丙是
5 的倍数，（乙+丙）是11 的倍数；
第二步：甲班捐款数是另外两个班捐款总数的2/5，可得
甲
乙+丙=
2
5，甲是2 的倍数，
（乙+丙）是5 的倍数；
第三步：（乙+丙）既是11 的倍数，又是5 的倍数，可得（乙+丙）至少是11×5=55 的
倍数，甲此时为2×11=22 的倍数，总数为22+55=77 的倍数。
【能力扩展】
若a:b=m:n，则当a 扩大x 倍时，b 也会扩大x 倍，（a+b）也会扩大x 倍。
【母题5】已知正月初六从某火车站乘车出行旅客人数恰好是正月初五的8.5 倍，且恰
好比正月初七少9%，则正月初七从该火车站乘车出行的旅客人数至少是：
第一步：正月初六从某火车站乘车出行旅客人数恰好是正月初五的8.5 倍，8.5=
17
2 ，可
得初六=初五×
17
2 ，初六是17 的倍数；
第二步：初六比正月初七少9%，可得初六=初七×（1－9%），初六=初七×91%，
91%=
91
100，
初六
初七=
91
100；
第三步：初六：初七=91:100，初六还是17 的倍数，则初七也要扩大17 倍，至少为
100×17
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【能力扩展】
数量关系的条件中出现百分数和小数时通常需要化为最简分数处理。
【强化飞跃】
【例1】某单位男女员工的人数之比是15∶13，求该单位男员工是_____的倍数，女员
工是_____的倍数，该单位总人数是_____的倍数。
【例2】某企业按三个等级给员工发放奖金，一、二、三等奖的获奖人数之比为1：3：
10，求总的获奖人数是_____的倍数。
【例3】如下图，ABCD 是一个梯形，E 是AD 的中点，直线CE 把梯形分成甲、乙两
部分，其面积之比为5∶2，求梯形的面积是_______的倍数，甲比乙多出的面积是_______
的倍数。
【例4】甲部门的男女人数之比为4 : 1，党员人数与非党员之比分别为9 : 2，求甲部
门的总人数至少是______的倍数。
【例5】高三年级与高一年级的人数之比为5∶3，高一年级的男女之比为3∶2，请问：
①高一年级的人数至少是______的倍数；
②高三年级的人数至少是______的倍数；
③这两个年级的人数之和至少是______的倍数。
【例6】甲与乙的效率之比为1∶2，乙与丙的效率之比为3∶4，求甲：乙：丙的效率比
为_______________。
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9
【例7】如果甲乙两人每小时加工的零件数之比为2∶3，乙丙两人每小时加工的零件数
之比为4∶5，求甲：乙：丙的效率比为_______________。
【例8】苹果与芒果的销售量之比为4︰3，芒果与香蕉的销售量之比为2︰11，求苹
果：芒果：香蕉的销量之比为________________。
【例9】某街道常住人口与外来人口之比为1∶2，已知该街道下辖的甲、乙、丙三个社
区人口比为12∶8∶7。其中，甲社区常住人口与外来人口比为1∶3，乙社区为3∶5，请问：
①若甲、乙、丙三个社区人口比为12∶8∶7，则该街道总人数是________的倍数；
②甲社区的人口占街道总人口的_________；
③甲社区常住人口占甲社区总人口的_________。
【例10】某地举办铁人三项比赛，全程为51.5 千米，游泳、自行车、长跑的路程之比
为3：80：20。小陈在这三个项目花费的时间之比为3：8：4，若自行车花费的时间比游泳
多50 分钟。
①求长跑的距离为_______千米；
②小陈花费在三个项目的总时间为__________分钟。
【例11】甲、乙两辆车分别从P、Q 两地同时出发，相向而行。相遇时，甲车比乙车
多行驶36 千米，乙车所行驶的路程为甲车所行路程的4/7，则P、Q 两地相距（ ）千米。
①乙车所行驶的路程是______的倍数，甲车所行驶的路程是______的倍数;
②甲乙两车共行驶的路程是______的倍数，甲车比乙车多行驶的路程是______的倍数。
【例12】某单位2014 年年终评比中，良好等级的人数占总人数的3/5。2015 年年终评
比又多了60 人被评为良好等级，此时该等级的人数占总人数的9/11。
①良好等级的人数占总人数的3/5，可得：良好等级的人数是_______的倍数；总人数
是_____的倍数；
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10
②此时该等级的人数占总人数的9/11，可得：良好等级的人数是_______的倍数；总
人数是_____的倍数；
③根据上述结论，总人数至少是________的倍数。
【例13】甲乙丙丁四人一起去踏青，甲带的钱是另外三个人总和的一半，乙带的钱是
另外三个人的三分之一，丙带的钱是另外三个人的四分之一，求四个人所带钱的总数是
_____的倍数。
【例14】某市服务行业举行业务技能大赛，其中东区参赛人数占总人数的1/5，西区
参赛人数占总人数的2/5，南区参赛人数占总人数的1/4，其余的是北区的参赛人员。结果
东区参赛人数的1/3 获奖，西区参赛人数的1/12 获奖，南区参赛人数的1/9 获奖，已知参
赛总人数超过100 人，不到200 人，则参赛总人数为( )。
A.120 B.140
C.160 D.180
【例15】学校买来四种教材，语文教材是其余三种的1/4，数学教材是其余三种的3/7，
英语教材是其余三种的7/13，科学教材比数学教材少30 本，求总数至少是__________的倍
数。
【例16】某高校本年度毕业学生3060 名，比上年度增长2%。其中本科生毕业数量比
上年度减少2%，而研究生数量比上年度增加10%，
①求今年本科生毕业学生是________ 的倍数；
②求去年本科生毕业学生是________ 的倍数；
③求今年研究生毕业学生是________ 的倍数；
④求去年研究生毕业学生是________ 的倍数。
【例17】两个派出所某月内共受理案件160 起，其中甲派出所受理的案件中有17%是
刑事案件，乙派出所受理的案件中有20%是刑事案件，
①求甲派出所受理的刑事案件是_________的倍数；
②求甲派出所受理的非刑事案件是_______的倍数；
③求甲派出所受理的案件总数是_________的倍数；
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11
④求乙派出所受理的案件总数是_________的倍数。
【例18】某农户饲养有肉兔和宠物兔两种不同用途的兔子共计2200 只，所有兔子的
毛色分为黑、白两种颜色。肉兔中有87.5%的毛色为黑色，宠物兔有23%的毛色为白色。
①求为白色毛色的宠物兔是______的倍数；
②求为黑色毛色的宠物兔是______的倍数。
【例19】某地调派96 人分赴车站、机场、超市和学校四个人流密集的区域进行卫生
安全检查，其中公共卫生专业人员有62 人。已知派往机场的人员是四个区域中最多的，派
往车站和超市的人员中，专业人员分别占64%和65%，派往学校的人员中，非专业人员比
专业人员少30%，
①求派往车站中的专业人员是________的倍数；
②求派往超市中的专业人员是________的倍数；
③求派往学校中的专业人员是________的倍数；
④求派往学校的总人数是_________的倍数。
【例20】某高校今年共招收新生6060 人，比去年增长1%，其中本科新生比去年减少
5%，研究生新生比去年增加13%，那么，该高校今年本科新生有多少人？
A.4200
B.4120
C.3900
D.3800
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12
第二节 基础方程
（1）设未知数
【考点筑基】
设谁：
①求谁设谁；
②设中间变量，与其他量尽量多的有联系，便于表示其他量；便于列等量关系；
③变量比较多，设多个未知数列方程组。
设未知数的技巧：
I.优先设“比”或“是”后的量；
II.设份数，题干中出现分数、百分数、比例、小数等；
III.设有意义的汉字或字母，例如设甲乙丙、姓氏、ABC 等。
【母题提升】+【能力扩展】
【母题1】设中间变量的常见情况：
①设总量：某有色金属公司四种主要有色金属总产量的1/5 为铝，1/3 为铜，镍的产量
是铜和铝产量之和的1/4，而铅的产量比铝多600 吨。问该公司镍的产量为多少吨?
【示范】设总量为15x。
②设相同量：在一场篮球比赛中，甲、乙、丙、丁共得125 分，如果甲再多得4 分，
乙再少得4 分，丙的分数除以4，丁的分数乘以4，则四人得分相同。问甲在这场比赛中得
了多少分？
【示范】设相同的分数为x，则甲为x-4，乙为x+4，丙为4x，丁为x/4。
③设便于表示其他量：某基金公司持有科技、医药和农业类的股票68 只，其中科技
类股票与医药类股票的只数比为2∶3，农业类股票与医药类股票的只数比为3∶5，则该基金
公司持有科技类股票为（ ）只。
【示范】设医药类股票为15x，则科技类股票为10x，农业类股票为9x。
【母题2】设未知数常见的技巧：
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13
①设“比”或“是”后的量：社区工作人员小张连续4 天为独居老人采买生活必需品。已
知前三天共采买65 次，其中第二天采买次数比第一天多50%，第三天采买次数比前两天采
买次数的和少15 次，第四天采买次数比第一天的2 倍少5 次。
【示范】设第一天采买次数为2x。
②设份数：
a.长方体棱长的和是48，其长、宽、高之比为3∶2∶1，则长方体的体积是：
【示范】设长、宽、高分别为3x∶2x∶x。
b.某单位从理工大学、政法大学和财经大学总计招聘应届毕业生三百多人。其中从理
工大学招聘人数是政法大学和财经大学之和的80%，从政法大学招聘的人数比财经大学多
60%。
【示范】设财经大学招聘毕业生25x，政法大学招聘为40x。
c.其中实验小学抽取的人数占其他两所小学抽取人数的五分之一，解放路小学抽取的
人数占其他两所小学抽取人数的二分之一，精英小学抽取的人数为180 人，那么三所小学
合计抽取多少人？
【示范】设总人数为6x。
d.2018 年父亲年龄是女儿年龄的6 倍，是母亲年龄的1.2 倍
【示范】设母亲年龄为5x，父亲为6x。
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14
（2）列方程
【考点筑基】
①根据首末句条件，以和差倍比这四个等量关系词出现，常见的等量关系词有：
和：“总量”“共”“等于”“刚好相等”
差：“……比……多/少……”等
倍：“……是……倍”
比：“……与……之比是”
②根据总量不变，
分-分结构：条件1……；条件2……；
多主体人数之和；多主体某项目个数之和；
③固定公式：工作总量=效率×时间、路程=速度×时间、总价=销量×数量等。
④其他等量关系，如根据题干唯一已知量。
【母题提升】+【能力扩展】
【母题1】某单位从理工大学、政法大学和财经大学总计招聘应届毕业生三百多人。
其中从理工大学招聘人数是政法大学和财经大学之和的80%，从政法大学招聘的人数比财
经大学多60%。问该单位至少再多招聘多少人，就能将从这三所大学招聘的应届生平均分
配到7 个部门？
【示范】
第一步：根据“和条件”列等量关系：单位从理工大学、政法大学和财经大学总计招聘
应届毕业生三百多人，可列为：（ ）+（ ）+（ ）=300 多。
第二步：设财经大学毕业生有25x 人，那么政法大学的毕业生有40x 人，那么政法大
学和财经大学共有65x 人，理工大学毕业生有52x 人，共计：65x+52x=117x=300 多，x=2。
【能力扩展】
（1）若第一个条件是总量的条件，一般都是根据此条件列等量关系；
（2）若总量为范围，一般需要根据数字特性找到总量的具体数值。
【母题2】学校买来四种教材，语文教材是其余三种的1/4，数学教材是其余三种的
3/7，英语教材是其余三种的7/13，科学教材比数学教材少30 本，则数学教材有：
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15
【示范】
第一步：根据“差”条件列等量关系：科学教材比数学教材少30 本，（ ）-（ ）=30；
第二步：设总量为20x；则语文教材为4x，数学教材为6x，英语教材为7x，科学教材
=20x-4x-6x-7x=3x；
第三步：6x-3x=30，x=10。
【能力扩展】
（1）若最后的条件是差值的条件，一般都是根据此条件列等量关系；
（2）若每个主体都能跟总量建立关系，不妨优先设总量为未知数，再表示各个主体。
（3）语文教材是其余三种的1/4，可得总数是5 的倍数，同理，总数还是10 和20 的
倍数，因此令总数为20x。
【母题3】两件快递的重量之比是3︰2，去除包装之后的重量之比是9︰5。若包装重
量都是120 克，则两件快递的重量分别是：
【示范】
第一步：根据“比”条件列等量关系：去除包装之后的重量之比是9︰5，
（ ）
（ ）=
9
5；
第二步：令两件快递的重量分别为3x 和2x，可得，
3𝑥−120
2𝑥−120 =
9
5。
【能力扩展】
（1）先给出某两个主体的比例，再通过变化得到新的比例，通常根据新的比例列等量
关系。
（2）比例类的题目，设未知数通常按照比例关系设为份数。
【母题4】林先生要将从故乡带回的一包泥土分成小包装送给占其朋友总数30%的老
年朋友。在分包装过程中发现，如果每包200 克，则缺少500 克，如果每包150 克，则多
余250 克。那么，林先生的朋友共有多少人？
【示范】
第一步：根据“总量不变”列等量关系：如果每包200 克，则缺少500 克，如果每包
150 克，则多余250 克，（ ）=（ ）
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16
第二步：设200x-500=150x+250。
【能力扩展】
（1）“分配类问题”或“盈亏类问题”通常都是根据总量不变列等量关系；
（2）列方程时根据“余加少减”分别表示两次总量。
【母题5】已知一级技工每小时可加工24 个零件，二级技工每小时可加工20 个零件。
某生产组共有一、二级技工56 名，实行八小时工作制，每天最多可加工10624 个零件，则
该生产组有二级技工（ ）名。
【示范】
第一步：根据“总量不变”列等量关系：共有一、二级技工56 名，实行八小时工作制，
每天最多可加工10624 个零件，（ ）+（ ）=56，（ ）+（ ）=10624；
第二步：设一级技工有x 名，二级技工有y 名,x+y=56，8×(24x+20y)=10624。
【能力扩展】
（1）“鸡兔同笼类问题”通常可列为如下方程：
①X+Y= ②AX+BY=
（2）上述问题也可以用总数－x 表示y，变成一元一次方程。
【母题6】钢铁厂某年总产量的1/6 为型钢类，1/7 为钢板类，钢管类的产量正好是型
钢和钢板产量之差的14 倍，而钢丝的产量正好是钢管和型钢产量之和的一半，而其它产品
共为3 万吨。问该钢铁厂当年的产量为多少万吨？
【示范】
第一步：根据“已知量”列等量关系：其它产品共为3 万吨，（ ）=3；
第二步：设钢铁厂的总产量为42x（42 为6 和7 的最小公倍数），则型钢类产量为7x，
钢板类产量为6x，钢管类产量为14×（7x－6x）＝14x，钢丝产量为（7x＋14x）÷2＝10.5x，
其他产品=4.5x；
第三步：4.5x=3。
【能力扩展】
若题干中某个主体为“唯一已知量”，则列方程时需要根据该已知量建立等量关系。
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17
【母题7】某工程队计划每天修路560 米，恰好可按期完成任务。如每天比计划多修
80 米，则可以提前2 天完成，且最后1 天只需修320 米。问如果要提前6 天完成，每天要
比计划多修多少米？
【示范】
第一步：根据“固定公式”列等量关系：工作总量=效率×时间，（ ）=（ ）。
第二步：设原计划修路时间为t 天，可列方程：560t＝（560＋80）×（t－3）＋320，
解得t＝20。
【能力扩展】
方程法是解决工程问题、行程问题、经济利润等问题的常用方法。
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18
（3）解方程
【考点筑基】
①一元一次方程：
常规型：𝑎𝑥+ 𝑚= 𝑏𝑥+ 𝑛
解题方法：移项：𝑎𝑥+ 𝑚= 𝑏𝑥+ 𝑛→(𝑎−𝑏)𝑥= 𝑛−𝑚
分子分数型：
ax+m
c
=
bx+n
d
解题方法：交叉相乘：
ax+m
c
=
bx+n
d
→d(ax + m) = c（bx + n）
分母分数型：
c
ax+m =
d
bx+n + e
解题方法：代入排除
比例解方程：
解题方法：
𝑥
45 =
𝑥+2
50 →
𝑥
45 =
𝑥+2
50 =
2
5，45÷5=x÷2。
【母题提升】+【能力扩展】
【母题1】5x+3=8（x－6），求x=( )。
【示范】5x+3=8x－48，移项后为：3+48=8x－5x。
【母题2】
5𝑥+4
6𝑥−3 =
5
4，求x=( )。
【示范】交叉相乘后移项处理，即4×（5x+4）=5×（6x-3），20x+16=30x-15。
【母题3】
360
𝑥−3 −
360
𝑥= 20，求x=( )。
A.3
B.4
C.6
D.9
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19
【示范】未知数都在分母，考虑代入排除，x-3 不可能太小，因此优先代入D，
360
6 −
360
9 =
60 −40 = 20，满足题意，因此，选择D 选项。
【母题4】
𝑥
15.3 =
0.8
𝑦+0.8 =
1.2
𝑦+4.2，求x=( )。
【示范】y+0.8 与y+4.2 的差值为常数，因此
𝑥
15.3 =
0.8
𝑦+0.8 =
1.2
𝑦+4.2 =
1.2−0.8
𝑦+4.2−𝑦−0.8 =
0.4
3.4，
𝑥
15.3 =
0.4
3.4
【能力扩展】
当列出形如
𝑥+𝑎
𝑚=
𝑥+𝑏
𝑛的方程，此时可以优先考虑比例解题，
𝑥+𝑎
𝑚=
𝑥+𝑏
𝑛=
𝑎−𝑏
𝑚−𝑛
②二元一次方程组
常规型：{𝑎1𝑥+ 𝑏1𝑦= 𝑚
𝑎2𝑥+ 𝑏2𝑦= 𝑛
方法1：加减消元，{𝑎1𝑥+ 𝑏1𝑦= 𝑚 ①
𝑎2𝑥+ 𝑏2𝑦= 𝑛 ②→①× 𝑎2 −②× 𝑎1
方法2：代入消元，将方程组中的一个方程的未知数用含有另一个未知数的代数式表
示，并代入到另一个方程中去。
乘积型：{𝑎1𝑥(𝑏1𝑦+ 𝑐1) = 𝑚
𝑎2𝑥(𝑏2𝑦+ 𝑐2) = 𝑛
解题方法：上下消元，{𝑎1𝑥(𝑏1𝑦+ 𝑐1) = 𝑚
𝑎2𝑥(𝑏2𝑦+ 𝑐2) = 𝑛→
𝑎1(𝑏1𝑦+𝑐1)
𝑎2(𝑏2𝑦+𝑐2) =
𝑚
𝑛
【母题1】{𝑥+ 𝑦= 24
𝑥−𝑦= 14，求解x=（ ），y=（ ）。
【示范】两个式子相加：2x=24+14=38，解得x=19，两个式子相减：2y=24-14=10，解
得y=5。
【能力扩展】
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20
【母题2】{2𝑥+ 5𝑦= 22①
4𝑥+ 6𝑦= 28②，求解x=（ ），y=（ ）。
【示范】将①式×2 后与②式做差，消掉x，此时变为一元一次方程求解：10y－6y=44
－28，解得y=4，x=1。
【母题3】{𝑥𝑦= 18 ①
(5 + 1.5x)𝑦= 49.5 ②, 求解x=（ ），y=（ ）。
【示范】
②
①=
49.5
18 =
5+1.5𝑥
𝑥
，交叉相乘化简为49.5x=90+27x，解得x=4，y=4.5。
③多元一次方程组
常规型：{
𝑎1𝑥+ 𝑏1𝑦+ 𝑐1𝑧= 𝑚1
𝑎2𝑥+ 𝑏2𝑦+ 𝑐1𝑧= 𝑚2
𝑎3𝑥+ 𝑏3𝑦+ 𝑐3𝑧= 𝑚3
先消掉一个未知数，变为二元一次方程，再消元求解，解方程的时候，一定要明确目
标，我们要求的是ｚ，就一定要努力地消掉ｘ和ｙ
乘积型：定积增减法
{
S = xy ①
S = (x + a)(y −m)②
S = (x −b)(y + n)③
→将①与②联立可得：（x+a）=
𝑎𝑦
𝑚；将①与③联立可得：（x-
b）=
𝑏𝑦
𝑛。
两式相除，可得：
𝑥+𝑎
𝑥−𝑏=
𝑎𝑛
𝑏𝑚，同理可得：
𝑦−𝑚
𝑦+𝑛=
𝑏𝑚
𝑎𝑛。
【母题1】
【示范】
【能力扩展】
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21
解方程的时候，一定要明确目标，我们要求的是z，就一定要努力地消掉ｘ和ｙ，先
把第三个方程等式两边同时除以100，让ｘ的系数变成１；然后利用③①式的差、②③
式的差得到两个不包含ｘ的方程；再把ｙ消掉，直接得到ｚ的值。
【母题2】
{
S = xy ①
S = (x + 1)(y −15)②
S = (x + 3)(y −30)③
，求S=（ ）。
【示范】根据定积增减的结论，
𝑥+1
𝑥+3 =
1×30
3×15 =
2
3，解得x+1=4，x+3=6，同理可得
𝑦−15
𝑦−30 =
3
2，
解得y-15=45，y-30=30，因此S=4×45=6×30=180。
【能力扩展】
在数学问题中，我们经常碰到两个变量分别变化，但其乘积保持固定不变的情况，譬
如：（１）行程问题中，路程＝速度×时间，路程不变，速度和时间在变化；
（２）矩形面积中，面积＝长度×宽度，面积不变，长度和宽度在变化；
（３）分配问题中，总量＝人均×人数，总量不变，人均和人数在变化。
④一元二次方程：𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥= 𝑐
解题方法：
a.代入排除
b.配方：𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥= 𝑐→𝑥2 +
𝑏
𝑎𝑥=
𝑐
𝑎→𝑥2 +
𝑏
𝑎𝑥+ 𝑚=
𝑐
𝑎+ 𝑚(通过加m 将左边凑成完
全平方式)。
例如：𝑥2 + 6𝑥= 16，𝑥2 + 2 × 3𝑥+9=16+9，可得（x + 3）
2 = 25。
c.求根公式：
−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
【母题1】（64-x）(40-x)=1377，求x=（ ）。
A.10
B.11
C.12
D.13
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22
【示范】代入排除，先考虑尾数或奇偶性，乘积为1377，尾数为7 且为奇数，说明x
为奇数，排除AC，代入D，（64-13）×(40-13)=51×27=1377。满足，因此，选择D 选项。
【母题2】𝑥2 + 16𝑥= 36，求x=（ ）。
【示范】配方法，𝑥2 + 16𝑥+ 64 = 36 + 64，可得（x + 8）
2 = 100，可得x+8=10 或
﹣10，因此解得x=2 或﹣18。
【能力扩展】
（𝑥+ 𝑏）
2 = 𝑥2 + 2𝑏𝑥+ 𝑏2，因此配方时，根据2𝑏𝑥，判断b 为多少，从而确定𝑏2，
上题中𝑥2 + 16𝑥，2𝑏𝑥= 16𝑥，确定b=8。
求解方程（组）本身就有很多的技巧，包括但不限于：
１.当方程中因为有小数或分数而计算复杂时，应首先考虑两边乘以一个数以化为整
数；
２.有时候方程可以提取一个共同的因子，从而简化计算；
３.方程组中若存在多个未知数，尽量消去无关未知数，保留我们关心的未知数；
４.方程组中有一些无关的未知数，完全可以作为整体直接消去。
【母题1】12（3x－45）=18x+270，求解x=（ ）。
【示范】先约分再计算，变形为36（x－15）=18×（x+15），约分后为2（x－15）=
（x+15）
，解得x=45。
【能力扩展】
（1）解方程时优先约分；
（2）若有a×b 的式子，带着a×b 化简，尝试最后能否约分。例如16×18+9x=15x，转
化为16×18=6x，约分后为16×3=x。
【母题2】
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23
{
𝑎+ 𝑏+ 𝑐+ 𝑑+ 𝑒= 12 ①
𝑐+ 𝑑+ 𝑒= 10 ②
𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 5 ③
求解a+b=( )
【示范】整体代入，a+b 整体在①式中出现，多出的部分刚好是②式，因此可得12-10=2。
【母题3】求解a=（ ），b=（ ），c=（ ），d=（ ），e=（ ）。
【示范】
【能力扩展】
在求解较复杂方程组的时候（特别是在对称未知数的情形下），往往需要我们进行“整
体代换”。
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24
【强化飞跃】
【和差倍比】
【和】
【例1】周某要在果园中新栽桃树、梨树和杏树若干棵，购买树苗一共花了3070 元，
其中桃树树苗是每棵30 元，梨树是40 元，杏树是50 元。已知桃树比梨树少6 棵，杏树比
桃树和梨树之和还多3 棵。那么，三种果树一共多少棵？
A.71
B.70
C.73
D.72
【例2】社区工作人员小张连续4 天为独居老人采买生活必需品。已知前三天共采买
65 次，其中第二天采买次数比第一天多50%，第三天采买次数比前两天采买次数的和少15
次，第四天采买次数比第一天的2 倍少5 次。问这4 天中，小张为独居老人采买次数最多
和最少的日子，单日采买次数相差多少次？
A.9
B.10
C.11
D.12
【例3】某单位从理工大学、政法大学和财经大学总计招聘应届毕业生三百多人。其
中从理工大学招聘人数是政法大学和财经大学之和的80%，从政法大学招聘的人数比财经
大学多60%。问该单位至少再多招聘多少人，就能将从这三所大学招聘的应届生平均分配
到7 个部门？
A.6
B.5
C.4
D.3
【例4】姐弟四人要为妈妈买生日礼物，四个人的钱合在一起是180 元，如果老大钱
数增加8 元，老二钱数减少8 元，老三钱数乘以2 倍，老四钱数减少到原来的一半，则此
时四个人的钱数相同。若其中两人的钱数凑在一起正好买一个价格为68 元的音乐盒，则这
两个人是？
A.老二和老三
B.老大和老三
C.老大和老二
D.老二和老四
【例5】某单位四个党史宣讲小组各有若干组员，现增加2 人并重新分配，使得四个
小组人数相等。此时与原先相比，第一小组人数增加10 人，第二小组人数减少1 人，第三
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25
小组人数增加一倍，第四小组人数减半。则原先人数最多的的小组与人数最小的小组之间
相差：
A.15
B.21
C.24
D.32
【例6】某抗洪指挥部的所有人员中，有 2/3 的人在前线指挥抢险。由于汛情紧急，又
增派6 人前往，此时在前线指挥抢险的人数占总人数的75%。如该抗洪指挥部需要保留至
少10%的人员在应急指挥中心，那么最多还能再派多少人去前线？
A.8
B.9
C.10
D.11
【例7】甲、乙、丙、丁四人捐款，甲、乙、丙共捐款240 元，甲、丙、丁共捐款190
元，甲捐款额是丙的两倍，甲比乙少捐款40 元。问丁捐款多少元？
A.70
B.80
C.90
D.120
【例8】某公司自主研发生产的A、B、C 三种型号氢燃料电池，解决了该公司今年生
产轿车所需电池数量的10%（按一辆车配一块电池计算）。其中A 型号氢燃料电池的产量
是B 型号的2 倍，C 型号的产量比A、B 两种型号的产量之和还多400 块。预计该公司今
年的轿车总产量是42.4 万辆，那么B 型号氢燃料电池的产量是：
A.3500 块
B.7000 块
C.14000 块
D.21400 块
【例9】小王、小李和小周一共收藏了121 本图画书，小王给小李和小周每人6 本后，
小王图画书的本数是小周的3 倍，小李的2 倍，则小周原有图画书的本数是（ ）。
A.14
B.15
C.16
D.22
甲、乙两个仓库共存有340 吨粮食。如果甲仓库存放的粮食是乙仓库的2 倍多10 吨,
则甲仓库存有粮食（ ）吨。
A.110
B.120
C.230
D.240
【差】
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【例1】某工厂去年的总产值比总支出多60 万元，今年比去年总产值增加10%，总支
出节约20%，如果今年的总产值比总支出多120 万元，那么去年的总支出是多少万元？
A.240
B.200
C.180
D.120
【例2】某单位为定点帮扶村捐建一个乡村图书馆。已知完工时基建支出为总预算的
40%，图书购买支出比基建支出低25%，比信息化支出高25%，其他支出之和为4.5 万元，
最终项目的总支出比总预算结余了3000 元。已知图书来源为购买和捐赠，平均每购买1 本
图书的支出为25 元，且购买的图书比接受外来捐赠的图书多20%。问该乡村图书馆最终拥
有的图书数量在以下哪个范围内？
A.不到1.1 万本
B.1.1～1.4 万本之间
C.1.4～1.7 万本之间
D.超过1.7 万本
【例3】某地组织大型公益演出，临时抽调一支一百多人的志愿服务队。其中，20 至
30 岁（不含30 岁）的人数占总人数的68%，30 岁及以上的人数是不到20 岁人数的7 倍。
已知30 岁以下的人数比30 岁及以上的人数多66 人，问这支服务队共多少人?
A.90
B.120
C.150
D.180
【例4】某季度初期，某贸易公司库存相同数量的T 恤、牛仔裤和衬衣。该季度结束
时，T 恤、牛仔裤、衬衣三种产品的销售比例是2∶3∶4，其中牛仔裤还有库存480 件，T 恤
库存数量恰好为衬衣库存数量的2 倍，则该季度该贸易公司共销售出多少件衬衣？
A.160
B.320
C.640
D.960
【例5】某个品牌的洗洁精分为大瓶、小瓶两种包装，5 大瓶洗洁精的总容量与12 小
瓶相同，8 大瓶洗洁精的总容量比20 小瓶少320 毫升，则一大瓶洗洁精的容量是多少毫升？
A.960
B.1000
C.1080
D.1200
【比】
【例1】光明小学体育馆保管室的篮球和排球共30 个，其比例为7∶3，现购入排球x
个后，排球占总数的40%，那么x＝（ ）。
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27
A.5
B.7
C.10
D.12
【例2】两件快递的重量之比是3︰2，去除包装之后的重量之比是9︰5。若包装重量
都是120 克，则两件快递的重量分别是：
A.390 克、260 克
B.480 克、320 克
C.540 克、360 克
D.630 克、420 克
【例3】某高校组织省大学生运动会预选赛，报名选手中男女人数之比为4∶3，赛后有
91 人入选，其中男女之比为8∶5。已知落选选手中男女之比为3∶4，则报名选手共有：
A.98 人
B.105 人
C.119 人
D.126 人
【例4】某单位原有45 名职工，从下级单位调入5 名党员职工后，该单位的党员人数
占总人数的比重上升了6 个百分点。如果该单位又有2 名职工入党，那么该单位现在的党
员人数占总人数的比重为多少？
A.50%
B.40%
C.70%
D.60%
【例5】某单位原拥有高级职称的职工占职工总数的30%。现又有1 名职工评上高级
职称，并调入2 名具有高级职称的职工，拥有高级职称的人数占总人数比重上升了7.5 个
百分点。该单位要想在不调入更多人的前提下，使得拥有高级职称的员工占比超过50%，
则至少还需要有多少人评上高级职称？
A.4
B.5
C.6
D.7
【例6】一油罐车为三家加油站送油,在第一家加油站卸下车中20%的油料后整个车重
为21 吨,在第二家加油站卸下余下油料的30%后车重18 吨,在第三家加油站卸下了剩下的油
料。该油罐车本身的重量与所送全部油料重量相比：
A.一样重
B.重1 吨
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28
C.轻1.5 吨
D.重1.5 吨
【例7】某单位本科、研究生学历的职工人数之比为7∶5。上半年公开招聘本科毕业生
若干人后，本科与研究生之比为3∶1；下半年通过引才计划引入研究生若干人后，本科与
研究生之比为15∶8。已知该年度引进的本科生比研究生多10 人，则该单位原有本科与研究
生学历的职工共（ ）人。
A.12
B.24
C.36
D.48
【例8】某单位去年的职工男女性别比为4：7，今年净增加男职工24 人、女职工25
人，男女性别比变为11：15，去年该单位的职工总人数为：
A.104
B.35
C.44
D.55
【例9】甲、乙、丙三人的月收入分别为6000 元、3000 元、1000 元。如果保持三人
月收入比值不变且使平均月收入达到5000 元，则丙的月收入增加了：
A.600 元
B.500 元
C.400 元
D.300 元
【例10】某工厂有甲、乙两个生产车间，每个工人的生产效率都相同。甲车间的总生
产效率是乙车间的1.5 倍；从甲车间调派30 名工人到乙车间之后，甲车间的生产效率是乙
车间的1.2 倍。问需要从甲车间再调多少名工人到乙车间，两个车间的生产效率才能相同？
A.20
B.22
C.24
D.25
【例11】某打印店按1∶2∶3 的比例购买了一批A2、A3 和A4 纸，三种打印纸的实际消
耗比例是1∶3∶4。当某种尺寸的打印纸用完时，另两种尺寸的共剩下50 包。此时又购进这
三种打印纸共430 包，从而使三种纸可以同时用完。则新购进的A4 纸有多少包？
A.250
B.225
C.215
D.175
【唯一已知量】
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【例1】甲、乙、丙、丁四个队共同植树造林，甲队造林的亩数是另外三个队造林总
亩数的1/4，乙队造林的亩数是另外三个队造林总亩数的1/3，丙队造林的亩数是另外三个
队造林总亩数的一半，已知丁队共造林3900 亩，问甲队共造林多少亩？
A.9000
B.3600
C.6000
D.4500
【例2】钢铁厂某年总产量的1/6 为型钢类，1/7 为钢板类，钢管类的产量正好是型钢
和钢板产量之差的14 倍，而钢丝的产量正好是钢管和型钢产量之和的一半，而其它产品共
为3 万吨。问该钢铁厂当年的产量为多少万吨？
A.48
B.42
C.36
D.28
【例3】甲、乙、丙、丁四人共同投资一个项目，已知甲的投资额比乙、丙二人的投
资额之和高20%，丙的投资额是丁的60%，总投资额比项目的资金需求高
1
3。后来丁因故
临时撤资，剩下三人的投资额之和比项目的资金需求低
1
12 ，则乙的投资额是项目资金需求
的：
𝐴.
1
6
B.
1
5
C.
1
4
D.
1
3
【例4】林华全家是阅读爱好者，家里有各种书籍，版本也多。已知他家有五分之三
的书是中文版的，六分之一是英文版的，八分之一是中英文互译版的，还有多于11 本但少
于17 本是其它版本的，问他家有多少本英文版书?
A.72 本
B.20 本
C.15 本
D.13 本
【总量不变】
（1）鸡兔同笼：总数之差÷单体之差
X+Y=
AX+BY=
【例1】某餐厅设有可坐12 人和可坐10 人两种规格的餐桌共28 张，最多可容纳332
人同时就餐，问该餐厅有几张10 人桌？
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30
A.2
B.4
C.6
D.8
【例2】某测试共有100 道题，答对一道题得3 分，不答或答错一道题扣2 分，小张
测试成绩为285 分，则他一共答对了多少道题？
A.85
B.90
C.95
D.97
【例3】小明负责将某农场的鸡蛋运送到小卖部。按照规定，每送达1 枚完整无损的
鸡蛋，可得运费0.1 元；若有鸡蛋破损，不仅得不到该枚鸡蛋的运费，每破损一枚鸡蛋还
要赔偿0.4 元。小明10 月份共运送鸡蛋25000 枚，获得运费2480 元。那么，在运送过程中，
鸡蛋破损了：
A.20 枚
B.30 枚
C.40 枚
D.50 枚
【例4】已知一级技工每小时可加工24 个零件，二级技工每小时可加工20 个零件。
某生产组共有一、二级技工56 名，实行八小时工作制，每天最多可加工10624 个零件，则
该生产组有二级技工（ ）名。
A.4
B.5
C.24
D.25
【例5】某饮料厂生产的A、B 两种饮料均需加入某添加剂，A 饮料每瓶需加该添加剂
4 克，B 饮料每瓶需加3 克。已知370 克该添加剂恰好生产了两种饮料共计100 瓶，则A、
B 两种饮料各生产了多少瓶？
A.30、70
B.40、60
C.50、50
D.70、30
【例6】28 名运动员在羽毛球馆打比赛，馆内共有 10 块羽毛球场地，所有运动员都要
上场比赛,或者参加单打比赛,或者参加双打比赛。如果保证每名运动员都在打比赛,且每块
羽毛球场地上都有运动员在打比赛,则有多少名运动员参加双打比赛？
A.20
B.24
C.12
D.16
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31
【例7】某商场进行安全评估，进出该商场共设6 道门，其中4 道正门大小相同，2 道
侧门大小也相同，当同时打开3 道正门、1 道侧门时，2 分钟可以通过600 名顾客；当同时
打开1 道正门、2 道侧门时，4 分钟可以通过800 名顾客。已知当发生紧急情况时因人员拥
挤，通行效率将降低15%，若紧急情况下6 道门全部打开，5 分钟内能疏散顾客（ ）名。
A.1650
B.1870
C.1980
D.2020
（2）盈亏问题：盈亏之和÷分配之差；根据总数不变列等式关系
AX+a=BX－b
【例1】老师拿来一箱笔记本让班长负责给同学们分发，如果每人发2 本，还剩22 本，
如果每人发3 本，就少15 本，该班共有多少学生？
A.37
B.34
C.23
D.17
【例2】某企业员工组织周末自驾游。集合后发现，如果每辆小车坐5 人，则空出4
个座位；如果每辆小车少坐1 人，则有8 人没坐上车。那么，参加自驾游的小车有：
A.9 辆
B.10 辆
C.11 辆
D.12 辆
【例3】某机关事务处集中采购了一批打印纸，分发给各职能部门。如果按每个部门9
包分发，则多6 包；如果按每个部门11 包分发，则有1 个部门只能分到1 包。 这批打印纸
的数量是（ ）。
A.89
B.78
C.69
D.67
【例4】出租车队去机场接某会议的参会者，如果每车坐3 名参会者，则需另外安排
一辆大巴送走余下的50 人；如每车坐4 名参会者，则最后正好多出3 辆空车。问该车队有
多少辆出租车？
A.50
B.55
C.60
D.62
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32
【例5】为了解决环卫、市政、绿化等户外作业人员吃饭难、休息难的问题。某城市
设置了若干个城管驿站。如果每个城管驿站服务80 人，那么有1080 名户外作业人员无法
得到服务；如果每个城管驿站服务100 人，那么就有四个驿站空置。若要满足全部需求，
则每个城管驿站至少要服务多少人？
A.93
B.94
C.95
D.96
【例6】正值毕业季，班长小李组织大家聚餐，费用均摊，结账时，如果每人付300
元，则多出100 元；如果每人付290 元，小李自己要多付80 元才刚好，那么，这次活动的
人均费用大约是：
A.293
B.296
C.295
D.294
【例7】旅游团安排住宿，如果4 个房间每间住4 人，其余房间每间住5 人，空余2 个
床位；若有4 个房间每间住5 人，其余房间每间住4 人，正好住满，该旅游团有多少人？
A.28
B.42
C.44
D.48
【例8】某公司组织所有员工分乘一批大巴去旅游，要求每辆大巴乘坐员工人数不超
过35 人。若每车坐28 人，则有1 人坐不上车；若开走1 辆空车，则所有员工恰好可平均
分乘到各车。该公司共有员工（ ）人。
A.281
B.589
C.841
D.981
【例9】小明去某楼盘售楼部咨询售房情况。置业顾问告诉他，如果再卖出50 套，则
已卖出的数量与未卖出数量相等；如果再卖出150 套，则已卖出的数量比未卖出的数量多
一半，问该楼盘目前还剩下多少套房子未卖出？
A.350 套 B.450 套
C.550 套 D.650 套
【例10】某剧场A、B 两间影视厅分别坐有观众43 人和37 人。如果将B 厅的人往A
厅调动，当A 厅满座后，B 厅内剩下的人数占B 厅容量的二分之一。如果将A 厅的人往B
厅调动，当B 厅满座后，A 厅内剩下的人数占A 厅容量的三分之一。问B 厅能容纳多少人？
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33
A.56
B.54
C.64
D.60
【其他类】
【例1】甲、乙、丙三家科技企业2021 年的收入之和比2020 年提升了20％。其中甲
企业的收入上升了400 万元，乙企业的收入下降了100 万元且是甲企业收入的一半，丙企
业的收入上升了30％且其2020 年的收入与甲、乙两企业同年收入之和相同。问2020 年甲
企业的收入比乙企业高多少万元？
A.900
B.400
C.1100
D.600
【例2】甲、乙两人计划分装会议材料，9 点多先后开始工作，且两人每分钟完成分装
的份数相同。9 点38 分时，甲完成的份数是乙的4 倍，9 点53 分时，甲完成的份数是乙的
1.5 倍，那么，甲比乙早（ ）分钟开始工作。
A.4
B.6
C.8
D.9
【例3】某助农志愿小分队采摘到甲、乙、丙三筐枸杞共144 斤。第一次从甲筐中取
出与乙筐一样重的枸杞放入乙筐，第二次再从现有乙筐中取出与丙筐一样重的枸杞放入丙
筐，第三次从现有丙筐中取出与现有甲筐一样重的枸杞放入甲筐，此时三筐枸杞一样重。
那么原来甲筐中有枸杞：
A.36 斤
B.48 斤
C.56 斤
D.66 斤
【例4】甲、乙、丙三个桶内都有油，如果把甲桶内1/3 的油倒入乙桶，再把乙桶内的
1/4 油倒入丙桶，最后再把丙桶内的1/7 油倒入甲桶，这时各桶内的油都是12 升，则甲桶
内原有（ ）升油。
A.9
B.10
C.12
D.15
【例5】某单位有甲、乙两个处室，甲处室有职工14 名，如从乙处室调动25%的职工
到甲处室，再从甲处室调动2 名职工到乙处室后，两个处室人数相同。则乙处室原来有多
少名职工?
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34
A.12
B.16
C.20
D.24
【例6】老李5 月份在鱼塘放养了5000 尾鱼苗，年底前为了估测鱼苗的存活情况，老
李随机捞取了100 尾鱼苗作上记号后放回鱼塘。若干天后，老李又先后10 次随机捞取100
尾，捞取后放回，并分别统计其中标有记号的鱼苗，依次得：1、19、6、5、7、6、11、2、
7、6，则此时鱼苗的存活数量最接近 。
A.900 尾
B.1400 尾
C.2700 尾
D.4200 尾
【例7】小王和小李参加某公司招聘考试，笔试成绩占总成绩的40%，面试成绩占总
成绩的60%。笔试部分小王得分比小李高6 分，面试部分小李得80 分，两人的总成绩刚好
相同，问小王面试得了多少分？
A.74
B.71
C.78
D.76
【例8】甲、乙两个投资公司共同投资了A、B 两个项目，甲公司在A 项目中的投资
额是B 项目的2 倍，乙公司在A 项目中的投资额是B 项目的一半，这两个投资公司在A 项
目的总投资额是B 项目总投资额的1.2 倍，问甲公司总投资额与乙公司总投资额之比为：
A.5∶3
B.7∶4
C.9∶5
D.14∶9
【例9】某工程由甲、乙两家企业共同参与，甲企业的实际出资额是乙企业的3 倍，
乙企业投入的人力资源是甲企业的2 倍。如将两家企业投入的人力资源按一定价格折算为
出资额并依折算后的出资额分配利润，则甲企业分配的利润是乙企业的1.2 倍。问如乙企
业的出资额增加50%而其他条件不变，其分得的利润为甲企业的多少倍?
A.0.90
B.0.95
C.1.00
D.1.05
【例10】若销售团队有5 个人，每个人把其他四个人的年龄相加，所得到的和分别为
95，102，100，99，104，则这五个人中年龄最大的人为多少岁?
A.29
B.30
C.31
D.32
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35
【例11】某技校安排本届所有毕业生分别去甲、乙、丙3 个不同的工厂实习。去甲厂
实习的毕业生占毕业生总数的32%，去乙厂实习的毕业生比甲厂少6 人，且占毕业生总数
的24%。问去丙厂实习的人数比去甲厂实习的人数：
A.少9 人
B.多9 人
C.少6 人
D.多6 人
【例12】某次比赛报名参赛者有213 人，但实际参赛人数不足200。主办方安排车辆
时，每5 人坐一辆车，最后多2 人；安排就餐时，每8 人坐一桌，最后多7 人；分组比赛
时，每7 人一组，最后多6 人。问未参赛人数占报名人数的比重在以下哪个范围内？
A.低于20%
B.20%~25%之间
C.25%~30%之间
D.高于30%
【例13】甲、乙两名编辑校对同一本书，校对速度保持不变。甲完成20%时乙还有
420 页没完成，甲完成50%时乙完成了450 页。问乙完成全部工作时，甲：
A.早已完成
B.刚好完成
C.还剩200 页
D.还剩20%
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36
第三节 赋值法
【考点筑基】
适用题型：
使用“赋值法”时，大家最大的困惑是什么样的量可以随便设，什么样的量不行。总的
来说，当某类量的大小在题目中无关紧要时，便可以随便设为一个方便计算的数字，这样
的量一般需要满足两个条件：
１.首先，这类量在题目中没有提及具体数字大小；
２.其次，这类量也不能通过其他有具体数字大小的量计算得到。具体如下两种情况：
（一）数学表达式满足A×B=C 的乘积形式
①若只给一个具体量，可赋值一次；
②若没有给出任何具体量，可赋值两次；
常考题型：
①工程：总量=效率×时间；
②行程：路程=速度×时间；
③利润：总利润=单利×销量；
④溶液：溶质=溶液×浓度；
⑤平均数：总数=平均数×个数；
⑥几何：面积公式类。
赋值技巧：
①赋值不变量（如工作总量、路程、溶质、总数等）→最小公倍数
②赋值题干给出的限定关系（比例关系、倍数关系等）→根据比例关系赋值份数。
（二）未给出具体数值，条件都是以分数、百分数、比例、倍数等形式给出的。
【母题提升】+【能力扩展】
【母题1】
为支持“一带一路”建设，某公司派出甲、乙两队工程人员出国参与一个高铁建设项目。
如果由甲队单独施工，200 天可完成该项目；如果由乙队单独施工，则需要300 天。甲、
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37
乙两队共同施工60 天后，甲队被临时调离，由乙队单独完成剩余任务，则完成该项目共需
（ ）天。
A.120
B.150
C.180
D.210
【示范】
识别：考查工程问题，满足乘积形式：工作总量=工作效率×工作时间，且只给出一个
具体量：时间，因此赋值一次。
赋谁：总量为不变量，赋值总量为时间的公倍数：600。
解题：工作总量=工作效率×工作时间
【母题2】
甲工程队与乙工程队的效率之比为4：5，一项工程由甲工程队先单独做6 天，再由乙
工程队单独做8 天，最后由甲、乙两个工程队合作4 天刚好完成，如果这项工程由甲工程
队或乙工程队单独完成，则甲工程队所需天数比乙工程队所需天数多多少天？
A.3
B.4
C.5
D.6
【示范】
识别：考查工程问题，满足乘积形式：工作总量=工作效率×工作时间，且只给出一个
具体量：时间，因此赋值一次。
赋谁：题干给出了效率的比例关系，赋值效率：甲=4，乙=5。
解题：工作总量=工作效率×工作时间
【能力扩展】
（1）工程问题的主要解题思路为赋值；思考母题1 和2 为什么赋值不同。
（2）区分具体量和比例关系：
具体量是该主体真实的数值，例如甲班有30 人，30 是甲班真实的数值，不能改变
的；
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38
比例关系：是满足主体之间限定关系的比值，不是真实的数值。甲∶乙=4∶5、甲是乙的
3 倍、甲占乙的30%等都是限定的比值关系，不是甲和乙的具体量。
【母题3】
甲乙二人沿环形跑道从同一地点同时背向开始跑步，35 秒后两人相遇。已知甲跑一圈
需要60 秒，乙跑一圈需要多少秒？
A. 77
B. 84
C. 91
D. 96
【示范】
识别：考查行程问题，满足乘积形式：路程=速度×时间，且只给出一个具体量：时间，
因此赋值一次。
赋谁：路程为不变量，赋值路程为时间的公倍数:420。
解题：路程=速度×时间
【母题4】
一艘轮船从上游甲地开往下游乙地需要5 个小时，以同样的功率从乙地开往甲地需要
6 个小时。 如在甲地放下一无动力竹排，它到达乙地需要多长时间？ （ ）
A.5 小时 B.15 小时
C.30 小时 D.60 小时
【示范】
识别：考查行程问题，满足乘积形式：路程=速度×时间，且只给出一个具体量：时间，
因此赋值一次。
赋谁：路程为不变量，赋值路程为时间的公倍数:30。
解题：
【能力扩展】
（1）行程问题中的相遇问题和流水行船问题常会用到赋值
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39
（2）相遇公式：S=（大速度+小速度）×相遇时间；
流水行船公式：
顺流航程s＝（v 船速＋v 水速）×顺流时间t
逆流航程s＝（v 船速－v 水速）×逆流时间t
【母题5】
某楼盘的地下停车位，第一次开盘时平均价格为15 万元/个；第二次开盘时，车位的
销售量增加了一倍、销售额增加了60%。那么，第二次开盘的车位平均价格为：
A.10 万元/个
B.11 万元/个
C.12 万元/个
D.13 万元/个
【示范】
识别：考查经济利润问题，满足乘积形式：销售额=单价×销量，且只给出一个具体量：
单价，因此赋值一次。
赋谁：给出了销量和销售额的限定关系，赋值销量或销售额其中之一都可以。
解题：销售额=单价×销量
【母题6】
有一本畅销书，今年每册书的成本比去年增加了10%，因此每册书的利润下降了20%，
但是今年的销量比去年增加了70%。则今年销售该畅销书的总利润比去年增加了？
A.36% B.25%
C.20% D.15%
【示范】
识别：考查经济利润问题，满足乘积形式：总利润=单利×销量，没有给出任何具体量，
因此赋值2 次。
赋谁：给出了单利和销售量的限定关系，赋值单利=10，销量=10。
解题：总利润=单利×销量
【能力扩展】
（1）经济利润问题中总利润=单利×销量；总售价=单价×销量，是常见赋值的公式。
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40
（2）母题5 因为给出了单价的具体量，所以赋值一次，母题6 一个具体量都没有，所
以赋值两次。
【母题7】
一种溶液，蒸发掉一定量的水后，溶液的浓度为10%；再蒸发掉同样多的水后，溶液
的浓度变为12%；第三次蒸发掉同样多的水后，溶液的浓度将变为多少？
A.14%
B.17%
C.16%
D.15%
【示范】
识别：考查溶液问题，满足乘积形式：溶质=溶液×浓度，只给出了一个具体量：溶度，
因此赋值1 次。
赋谁：溶质为不变量，赋值溶质为12。
解题：溶质=溶液×浓度
【母题8】
现需要购买两种调料加工成一种新调料，两种调料的价格分别为20 元/千克、30 元/千
克，如果购买这两种调料所花钱一样多，则每千克新调料的成本是（）。
A.23 元
B.25 元
C.24 元
D.29 元
【示范】
识别：考查平均数问题，满足乘积形式：总花费=单价×购买量，只给出了一个具体量：
单价，因此赋值1 次。
赋谁：花费为不变量，赋值这两次花费均为60 元。
解题：总花费=单价×购买量
【母题9】
某商场为庆祝开业三周年，制作了一个长方形大蛋糕，并切成四块，如图所示。假设
这个蛋糕可供350 人享用，左下角那块蛋糕平均可供50 人享用，右上角那块蛋糕平均可供
70 人，则中间最大块蛋糕平均可供多少人享用？
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41
A.150
B.155
C.175
D.180
【示范】
识别：考查几何问题，满足乘积形式：面积=长×宽，只给出了一个具体量：面积，因
此赋值1 次。
赋谁：长和宽都是未知量，且都没有限定条件，赋值长或宽都可以。
解题：
【母题10】
某企业四月的营业额比三月的营业额多
1
3，五月的营业额比四月多
1
3，则三月的营业额
比五月的营业额少：
A.1/6
B.2/3
C.7/9
D.7/16
【示范】
识别：题干没有给出任何具体量，只给出限定关系：分数。
赋谁：优先赋值“比”、“是”后面的量：三月。
解题：赋值3 月的营业额=3，可得4 月的营业额=_______，5 月的营业额=_______。
【母题11】
某街道常住人口与外来人口之比为1∶2，已知该街道下辖的甲、乙、丙三个社区人口
比为12∶8∶7。其中，甲社区常住人口与外来人口比为1∶3，乙社区为3∶5，则丙社区常住人
口与外来人口比为：
A.2∶3
B.1∶2
C.1∶3
D.3∶4
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42
【示范】
识别：题干没有给出任何具体量，只给出限定关系：比例。
赋谁：题干条件都与甲乙丙社区的人口有关，优先赋值甲乙丙社区的人口。
解题：赋值甲、乙、丙三个社区的人口分别为12、8、7。
【母题12】
小王从甲公司跳槽到乙公司，年工资总额增长25%， 乙公司的工资总额包括现金部分
和股票部分，现金总额和股票价值总额比例为3:1，股票价值按照签订合同当日股票收盘价
计算。一年后公司由于重大变动股价比小王入职时下跌48%，如果按此时股价计算，小王
在乙公司工作一年获得的实际工资总额与在甲公司相比：
A.下降10%
B.下降15%
C.增长10%
D.增长15%
【示范】
识别：题干没有给出任何具体量，只给出限定关系：比例、百分数。
赋谁：题干条件都与乙公司的工资有关，优先赋值乙公司的工资。
解题：赋值乙公司的现金总额和股票总额分别为300 和100，
【能力扩展】
（1）题干中只给出各主体之间的分数、百分数、比例、倍数等限定关系，可赋值计
算；
（2）赋值时尽量按照题干比例关系赋值，若出现百分数时尽量赋为整十整百。
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43
【强化飞跃】
【例1】某便民超市将薏米、红豆和小黄米按2：3：5 混合后出售，每千克成本13.3
元。若薏米每千克成本23.6 元，红豆每千克成本9.8 元，则小黄米每千克的成本是：
A.10.36 元
B.10.18 元
C.11.45 元
D.11.28 元
【例2】演唱会门票300 元一张，卖出若干数量后，组织方开始降价促销。观众人数
增加一半，收入增加了25%。则门票的促销价是：
A.150
B.180
C.220
D.250
【例3】某商品的利润率是20%。如果进货价降低20%，售价保持不变，此时利润率
是多少？
A.40%
B.30%
C.60%
D.50%
【例4】某工厂生产冶金模具，去年按定价的80%出售，获得20%的利润率；今年由
于工厂迁址，使得成本下降。按原定价的75%出售，可获得25%的利润率。去年成本与今
年成本之比为（ ）。
A.4:3
B.10:9
C.16:9
D.75:64
【例5】某医院内科，今年门诊人数比上一年增加了30%，平均每位患者的门诊花费
比上一年下降了20%，若上一年该医院内科门诊收入为3000 万元，那么今年的门诊收入大
约是多少万元?
A.2600
B.2880
C.3120
D.3640
【例6】某仓库有一批货物以75%的利润率出售，售出90%后，剩下的货物全部以6
折出售，那么这批货物的最终利润率为：
A.68%
B.62%
C.54%
D.51%
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44
【例7】某商场与某品牌手机签订短期独家售卖协议，对某款手机进行先期独家售卖，
商场按照40%的利润来设定预售价，售出这批手机总量的70%之后合同到期，价格被调整
为预售价的七五折将这批手机售卖完。请问这批手机的实际利润率约为（ ）。
A.72%
B.30%
C.35%
D.54%
【例8】某钢铁厂生产一种特种钢材，这种钢材每吨的盈利下降40%，不过销售量比
去年增加了80%，那么今年生产该种钢材的总盈利比去年增加了多少？
A.4%
B.8%
C.20%
D.54%
【例9】一艘轮船顺流而行，从甲地到乙地需要6 天；逆流而行，从乙地到甲地需要8
天。若不考虑其他因素，一个漂流瓶从甲地到乙地需要多少天？
A.24
B.36
C.48
D.56
【例10】社区居委会张阿姨为表达对志愿者的感谢，买了一些毛线，准备织帽子和手
套。这些毛线如果全部织帽子可织15 个，全部织手套可织20 只，现将一个帽子和两只手
套做成一个“爱心礼包”。这些毛线最多可做成几个“爱心礼包”？
A.4
B.5
C.6
D.7
【例11】某趣味极速竞赛中有跨栏、匍匐、独木桥三段，其路程比为3∶1∶2，参赛者
甲匍匐路段的爬行速度是跨栏速度的
1
3，通过独木桥的速度又是跨栏速度的
1
6，问甲通过独
木桥路段的时间是匍匐路段时间的多少倍？
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
【例12】小王乘坐匀速行驶的公交车，和人行道上与公交车相对而行、匀速行走的小
李相遇，30 秒后公交车到站，小王立即下车与小李同一方向匀速快步行走。已知他行走的
速度比小李的速度快一倍但比公交车的速度慢一半，则他多久之后追上小李？
A. 3 分钟
B. 2 分钟30 秒
C. 2 分钟
D. 1 分钟30 秒
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45
【例13】某单位男女员工的人数之比是15∶13。按人数之比5∶7∶8，分为甲、乙、丙三
个科室。其中甲科室男女员工的人数之比为4∶3，乙科室为5∶2。则丙科室男女员工人数之
比为：
A. 1∶2
B. 2∶3
C. 5∶9
D. 5∶8
【例14】如下图所示，在直角三角形ABC 中，MN 是中位线。已知四边形ABMN 与
三角形MNC 的周长比为28：15，则AC 与BC 的长度比是：
A. 5∶12
B. 5∶7
C. 3∶4
D. 6∶7
【例15】高架桥12：00～14：00 每分钟车流量比9：00～11：00 少20%，9：00～11：
00、12：00～14：00、17：00～19：00 三个时间段的平均每分钟车流量比9：00～11：00
多10%。问17：00～19：00 每分钟的车流量比9：00～11：00 多：
A.20%
B.30%
C.40%
D.50%
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46
第四节 正反比例法
【考点筑基】
适用题型：数学表达式满足：A×B=C 的形式。
常考题型：
①工程：总量=效率×时间；
②行程：路程=速度×时间；
③利润：总利润=单利×销量；
④溶液：溶质=溶液×浓度；
⑤平均数：总数=平均数×个数；
⑥几何：面积、体积类。
解题方法：若A×B=C。
当C 不变时，A 与B 成反比关系；
当A 不变时，C 与B 成正比关系。
【母题提升】+【能力扩展】
【母题1】
出版社安排甲、乙、丙三人校对一本书，甲完成总任务的1/8 后，剩下的分配给乙和
丙。若乙的工作效率是丙的3/4，且两人完成工作所用时间相同，则乙的工作量是总任务的：
A.3/8
B.21/32
C.7/16
D.1/2
【示范】
识别：工作总量=工作效率×工作时间，满足乘积形式；
谁不变：题干中乙和丙所用时间相同；
解题：效率与工作量成正比，
【母题2】
小王从单位开车去省城，如果他把车速提高20％，可以比原定时间提前15 分钟到达；
求按原定速度行驶多久能到省城？
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47
【示范】
识别：路程=速度×时间，满足乘积形式；
谁不变：题干中两次行驶的路程相同；
解题：时间和速度成反比关系，
【能力扩展】
份数：甲=5x，可理解为甲分为5 份。
若甲∶乙=5∶6，甲比乙少15 分钟，可理解为甲的时间为5 份，乙的时间为6 份，甲比乙
少1 份，这1 份=15 分钟，因此甲的时间=5×15=75 分钟，乙的时间=6×15=90 分钟。
【母题3】
甲、乙两人分别从A、B 两地同时出发，相向而行。甲的速度是8 公里/小时，乙的速
度是5 公里/小时，甲、乙两人相遇时，距离A、B 两地的中点正好1 公里。问当甲到达B
地后，乙还需要多长时间才能到达A 地？
A.39 分钟
B.31 分钟
C.22 分钟
D.14 分钟
【示范】
识别：路程=速度×时间，满足乘积形式；
谁不变：
①题干中甲和乙第一次相遇用的时间相同；
②题干中甲和乙走完全程的路程是相同的，
解题：分别按照①和②两种比例关系解题，
【母题4】
甲、乙两人在一条400 米的环形跑道上从相距200 米的位置出发，同向匀速跑步。当
甲第三次追上乙的时候，乙跑了2000 米。问甲的速度是乙的多少倍？
A.1.2
B.1.5
C.1.6
D.2.0
【示范】
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48
识别：路程=速度×时间，满足乘积形式；
谁不变：题干中甲和乙行驶的时间不变。
解题：时间不变，路程和速度为正比关系，
【能力扩展】
行程问题是考查正反比关系最多的考点。
①基础行程问题：时间或路程不变；
②相遇问题：时间或路程不变；
③追及问题：时间不变。
【母题5】
某化学实验室A 试管盛有10 克水，将某种盐溶液10 克倒入试管A 中，充分混合均匀
后，浓度变为12%，求原溶液的浓度？
【示范】
识别：溶质=溶液×浓度，满足乘积形式；
谁不变：题干中溶质不变。
解题：溶质不变，溶液和浓度为反比关系，
【母题6】
从一瓶浓度为52%的酒精溶液中倒出
1
3，加满纯净水，再倒出
1
3，又加满纯净水，此时
酒精溶液的浓度是多少？
A. 5.8%
B. 23.1%
C. 17.3%
D. 31.5%
【示范】
识别：溶质=溶液×浓度，满足乘积形式；
谁不变：题干中溶液不变。
解题：溶液不变，溶质和浓度为正比关系，
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49
【强化飞跃】
【例1】已知甲乙的速度比为3:2
①若时间相同，则甲乙行驶的路程比为：__________；
若甲比乙多走100 米，则甲行驶了_______米，乙行驶了_________米。
②若路程相同，则甲乙行驶的时间比为：__________；
若甲比乙少用10 分钟，则甲行驶了______分钟，乙行驶了_______分钟。
【例2】小王从单位开车去省城，如果他把车速提高20％，可以比原定时间提前15 分
钟到达，求小王按原定速度从单位到省城需要________分钟。
【例3】骑自行车从甲地到乙地，以10 千米/时的速度行进，下午1 时到；以15 千米/
时的速度行进，上午11 时到。如果希望中午12 时到，那么应以怎样的速度行进？
A.11 千米/时
B.12 千米/时
C.12.5 千米/时
D.13.5 千米/时
【例4】小张和小王18:00 分别从甲、乙两地同时出发，沿相同道路匀速相向而行。
18:20 小张到达丙地停留，18:40 两人在丙地碰面并均以出发时速度继续行进。18:50 小王到
达甲地，问小张在几点到达乙地？
A. 20:00
B. 20:40
C. 19:00
D. 19:40
【例5】一辆汽车运一批货从甲城到乙城，又从乙城运一批货返回甲城，往返共用了
13.5 小时。去时用的时间是回来时用的时间的1.25 倍，去的速度比返回时的速度每小时慢
6 千米。A、B 两地之间距离为多少千米？
A.150
B.160
C.170
D.180
【例6】已知甲乙的速度比为3∶4，
①若甲乙分别从A、B 两地同时出发，则相遇时，甲和乙的路程比为________。
②若甲乙同时从环形跑道的某个点出发，则乙第一次追上甲时，甲跑了______圈，乙
跑了______圈。
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50
【例7】甲乙丙三人同时在起点出发进行1000 米自行车比赛（假设他们各自的速度保
持不变），甲到终点时，乙距离终点还有40 米，丙距离终点还有64 米，那么乙到终点时，
丙距离终点还有（ ）米。
A.35
B.25
C.30
D.21
【例8】小明和小高两人从环形运动场的同起点同向而行，小明跑步的速度为200 米/
分钟，小高步行，当小明第5 次超过小高时，小高刚好走完第三圈，则小高的速度为（ ）
米/分钟。
A.50
B.75
C.80
D.90
【例9】 甲、乙两人在400 米环形跑道上从同一起点反向匀速慢跑，甲的速度为5 米/
秒，乙的速度为3 米/秒，则甲、乙两人经过（ ）再次在起跑点相遇。
A. 4 分10 秒
B. 5 分50 秒
C. 6 分40 秒
D. 7 分30 秒
【例10】环形跑道长400 米，老张、小王、小刘从同一地点同向出发，围绕跑道分别
慢走、跑步和骑自行车。已知三人的速度分别是1 米/秒、3 米/秒和6 米/秒，问小王第3 次
超越老张时，小刘已经超越了小王多少次？
A.3
B.4
C.5
D.6
【例11】甲与乙的效率比为3:2，同一项工程甲比乙少用5 天，则单单独完成该工程
需要______天。
【例12】某新建农庄有一项绿化工程，交给甲乙丙丁四人合作完成，已知四人的效率
比为3∶5∶4∶6，甲乙合作完成所需时间比丙丁合作多9 天，则四人合作完成工程所需时间是：
A. 17 天
B. 18 天
C. 19 天
D. 20 天
【例13】甲、乙、丙三条生产线生产某种零件，效率比为3∶4∶5，甲和乙生产线共同
生产A 订单，完成时甲比乙少生产250 个。乙和丙共同生产B 订单，完成时乙生产了720
个。问A 订单的零件个数比B 订单：
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51
A.少不到100 个
B.少100 个以上
C.多不到100 个
D.多100 个以上
【例14】甲、乙、丙三人工作的效率比为7∶9∶8，现将A、B 两项工作量相同的工程交
给这三个人，甲负责A 工程，乙负责B 工程，丙作为机动参与A 工程若干天后转而参与B
工程，两项工程同时开工，耗时8 天同时结束，问丙在A 工程中参与施工多少天？
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
【例15】甲、乙、丙三个工程队的效率比为6∶5∶4，现将A、B 两项工作量相同的工程
交给这三个工程队，甲队负责A 工程，乙队负责B 工程，丙队参与A 工程若干天后转而参
与B 工程，两项工程同时开工，耗时16 天同时结束。问丙队在A 工程中参与施工多少天？
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
【例16】一碗芝麻粉，第一次吃了半碗，然后用水加满搅匀第二次喝了
1
3碗，用水加
满搅匀；第三次喝了
1
6碗，用水加满搅匀；最后一次全吃完。则最后一次吃下的芝麻糊中芝
麻粉含量是原来的_________。
【例17】有一瓶水，将它倒出
1
3，然后倒进同样多的酒精，再将此溶液倒出
1
4后又倒进
同样多的酒精，第三次倒出此溶液的
1
5后又倒进同样多的酒精，问此时的酒精浓度是多少？
A.70％
B.65％
C.60％
D.55％
【例18】某酒精的浓度为40%若干克，将其倒入质量是其3 倍的水中，此时的溶度为
_________%。
【例19】实验室有A、B、C 三个实验试管，分别装有10 克、15 克、20 克的水，小
明把含有一定浓度的10 克药水倒进A 试管中，混合后取出10 克倒入B 试管中，再次混合
后，从B 试管中取出10 克倒入C 试管中，最后用化学仪器检测出C 试管中药水浓度为2%。
试计算刚开始倒入A 试管中药水的浓度是多少?
A.10%
B.20%
C.30%
D.40%
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52
【例20】一个时钟每小时慢4 分钟，照这样计算，早上6;00 对准标准时间后，当日晚
上该时钟指向8:00 时，标准时间是多少？ （ ）
A.20:56
B.21:00
C.21:30
D.21:56
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53
第五节 图示法
【考点筑基】
列表法：题干主体比较多且分成了两类（例如一类为施工方、一类为工程）。
常用题型：方程问题、工程问题中的双人双工程、经济利润中的部分打折、统筹、年
龄问题等。
解题方法：按照主体的分类分别填入横标目和纵标目，再根据题意填入条件：
线段法：题干阶段性条件比较多时。
常用题型：工程问题多阶段完成工作量、分段计费、行程问题等。
解题方法：画线段，根据题意将每个阶段的条件标注在线段上
函数坐标系：
常用题型：一元一次函数、一元二次函数、行程问题、几何概率等
其他图示：容斥类
【母题提升】+【能力扩展】
【列表法】
【母题1】
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54
甲、乙两个投资公司共同投资了A、B 两个项目，甲公司在A 项目中的投资额是B 项
目的2 倍，乙公司在A 项目中的投资额是B 项目的一半，这两个投资公司在A 项目的总投
资额是B 项目总投资额的1.2 倍，问甲公司总投资额与乙公司总投资额之比为：
A. 5∶3
B. 7∶4
C. 9∶5
D. 14∶9
识别：题目给出（甲、乙）和（A、B）两组平行的条件，
列表：
解题：两个投资公司在A 项目的总投资额是B 项目总投资额的1.2 倍，可得
2𝑥+𝑦
𝑥+2𝑦=
6
5，
解得
𝑥
𝑦=
7
4。
【母题2】
商场以每件80 元的价格购进了某品牌衬衫500 件，并以每件120 元的价格销售了400
件，要达到盈利45%的预期目标，剩下的衬衫最多可以降价：
A.15 元
B.16 元
C.18 元
D.20 元
识别：题目给出（成本、售价、销量）和（降价前、降价后）两组平行的条件，
列表：
解题：要达到盈利45%的预期目标，可得40×400+（x-80）×100=80×500×45%，解得
x=100，降价120-100=20 元。
【母题3】
张先生比李先生大8 岁，张先生的年龄是小王年龄的3 倍，9 年前李先生的年龄是小
王年龄的4 倍。则几年后张先生的年龄是小王年龄的2 倍？
A. 10
B. 13
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55
C. 16
D. 19
识别：题目给出（张、李、王）和（现在、9 年前）两组平行的条件，
列表：
解题: 张先生比李先生大8 岁，可得3x-9-8=4(x-9)，解得x=19，小王19 岁，张先生
3×19=57 岁，57+m=2（19+m），解得m=19。
【线段法】
【母题1】
已知甲的效率为5，乙的效率为4，若让甲先做4 天，然后乙再加入合作10 天后，甲
有事离开，最终花了20 天完成，则工作总量为_______。
识别：工程问题，题目给出三个阶段的完成情况。
线段：
解题：5×4+（5+4）×10+4×6=134。
【母题2】
某个项目由甲、乙两人共同投资，约定总利润10 万元以内的部分甲得80%，10 万
元～20 万元的部分甲得60%，20 万元以上的部分乙得60%。
识别：分段计费问题，题目给出甲和乙三个阶段的分配情况。
线段：设超过20 万元的部分为m 万元，
【母题3】
上午9 点整，甲从A 地出发，骑自行车去B 地，乙从B 地出发，开车去A 地。两人第
一次相遇时为9 点半，甲乙到达目的地后都立即返回。若甲乙的速度比为1∶3，则他们第二
次相遇时为：
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56
A. 9:40
B. 9:50
C. 10:00
D. 10:10
识别：行程相遇问题，题目给出甲乙不同时刻的运动情况。
线段：
解题：
【函数坐标系】
【母题1】
甲和乙两人8:00 同时从A 地出发前往B 地，其中乙全程匀速，甲出发时的速度是乙的
一半，但全程均匀加速。已知10:00 甲追上乙，11:00 甲到达B 地。问乙什么时间到达B 地?
A. 12：15
B. 12：00
C. 11：45
D. 11：30
识别：均加速运动，以横轴表示时间，纵轴表示速度，面积表示路程。
函数：
解题：
【母题2】
甲乙丙丁四人通过手机的位置共享，发现乙在甲正南方向2 公里处，丙在乙北偏西60°
方向2 公里处，丁在甲北偏西75°方向。若丁与甲、丙的距离相等，则该距离为：
A. 1 公里
B.√2公里
C.√3公里
D. 2 公里
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57
识别：几何结合行程问题，甲乙丙丁四个人的位置需要通过坐标系呈现。
函数：
解题：
【强化飞跃】
【例1】张老师家四代同堂，且从父亲、张老师、儿子到孙子，每两代人的年龄差相
同。5 年前张老师父亲的年龄是儿子的3 倍，8 年后张老师的年龄是孙子的5 倍。问今年四
个人的年龄之和为：
A.168 岁
B.172 岁
C.176 岁
D.180 岁
【例2】甲2018 年的年龄比乙的2 倍大3 岁，3 年后乙的年龄是丙年龄的3 倍 小7 岁。
已知丙出生时甲31 岁，问哪一年三人的年龄和第一次超过100 岁？
A.2029
B.2030
C.2031
D.2032
【例3】甲乙丙三人在2008 年的年龄（周岁）之和为60，2010 年甲的年龄是丙的两
倍，2011 年乙的年龄是丙的两倍，问甲是哪一年出生的？
A.1988
B.1986
C.1984
D.1982
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58
【例4】2020 年时，李某的年龄是自己工龄的4 倍，且正好是张某年龄的
2
3。到2024
年时，张某的年龄正好是自己工龄的2 倍。 已知张某参加工作时李某10 岁，那么李某参
加工作时的年龄是多少？
A.18
B.21
C.24
D.27
【例5】某仓库有一批货物以75%的利润率出售，售出90%后，剩下的货物全部以6
折出售，那么这批货物的最终利润率为：
A.68%
B.62%
C.54%
D.51%
【例6】某企业引进新技术后，原材料成本降低了40%，单位人工成本上涨了80%，
所需要的工人数降低为原来的一半。已知采用新技术前，总人工成本为原材料成本的4 倍，
则采用新技术后总人工成本是原材料成本的多少倍？
A.2
B.4
C.6
D.8
【例7】某企业将利润提成作为奖金发放，利润低于或等于10 万元时按5%提成；低
于或等于20 万元时，高于10 万元部分按7.5%提成；高于20 万元时，高于20 万元的部分
按10%提成。问当利润为40 万元时，应发放奖金多少万元？
A.2.5
B.2.75
C.3
D.3.25
【例8】A、B 两地医院分别有库存呼吸设备10 台和6 台，现需要支援C 地医院9 台、
D 地医院7 台。已知从A 地调运一台设备到C 地和D 地的运费分别为400 元和600 元，从
B 地调运一台设备到C 地和D 地的运费分别为300 元和700 元。如果总运费不能超过7800
元，共有多少种调运方案？
A.3
B.4
C.5
D.6
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59
【例9】甲与乙一起骑自行车从A 地去B 地，自行车的速度为每小时15 千米。走了
1
3
的路程后，乙因故骑自行车返回A 地而甲下车继续步行前行。乙在到达A 地后立刻原路折
返，在距离B 地还有
1
3的路程处追上甲。问甲步行的速度为每小时多少千米？
A.3
B.4
C.5
D.6
【例10】部队前哨站的雷达监测范围为100 千米。某日前哨站侦测到正东偏北30°100
千米处，一架可疑无人机正匀速向正西方向飞行。前哨站通知正南方向150 千米处的部队
立即向正北方向发射无人机拦截，匀速飞行一段时间后，正好在某点与可疑无人机相遇。
问我方无人机速度是可疑无人机的多少倍？
A.
2√5
3
B.
4√3
3
C.√3 + 1
D.3（√3 −1）
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60
第六节十字交叉
【考点筑基】
适用题型：本质为解Aa+Bb=(A+B)×r 的过程。其中a 和b 为部分比值，r 为整体比
值，为已知量，求A∶B。形式如下：
在环保知识竞赛中，全部选手的平均得分为72 分（r），其中男选手的平均得分为80
分(a)，女选手的平均得分为65 分（b），求男女选手人数之比：
解题过程：
常考题型：比值类题型，平均数、比重、浓度、利润率、增长率等。
强调细节：
①十字交叉适用：比值类问题，一个整体，两个部分。
②十字交叉出的比例结果是哪两个量的比值：两个部分比值的分母。
例如平均分=
总分数
人数，分母为人数，交叉出结果是两个部分的人数之比；总结如下：
a.平均数=
总数
份数，分母为份数，交叉出的是份数之比；
b.比重=
部分量
整体量，分母为整体量，交叉出的是整体量之比；
c.浓度=
溶质
溶液，分母为溶液，交叉出的是溶液之比；
d.增长率=
增长量
基期量，分母为基期量，交叉出的是两个部分量的基期之比。
③交叉后的对应关系：横向对应关系。
𝑎→𝑎−𝑟→𝐴；
𝑏→𝑟−𝑏→𝐵。
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
61
【母题提升】+【能力扩展】
【母题1】
2019 年全国居民人均消费支出21559 元，其中，城镇居民人均消费支出28063 元，农
村居民人均消费支出13328 元。2019 年城镇居民人口占总人口的比重约为：
A.52.7%
B.53.8%
C.54.1%
D.55.9%
识别：整体人均消费（平均数）：21559，两个部分人均消费：28063 和13328；
方程：A×28063+B×13328=（A+B）×21559；
十字交叉:
解题：
【能力扩展】
若已知
𝐴
𝐵=
𝑚
𝑛，且A+B=总数,可得：
①A 占总数的比重=
𝐴
𝐴+𝐵；B 占总数的比重=
𝐵
𝐴+𝐵；
②A=总数×
𝐴
𝐴+𝐵；B=总数×
𝐵
𝐴+𝐵。
【母题2】
某工厂共有160 名员工，该厂在7 月的平均出勤率是85%，其中女员工的出勤率为
90%，男员工的出勤率为70%，问该厂男员工共有多少人？
A.40
B.50
C.70
D.120
识别：整体出勤率（比重）：85%，两个部分出勤率：90%和70%；
方程：A×70%+B×90%=（A+B）×85%；
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
62
十字交叉:
解题：
【母题3】
某实验室模拟酸雨，现有浓度为30%和10%的两种盐酸溶液，实验需要将二者混合配
置出浓度为16%的盐酸700 克备用，那么30%的盐酸需要多少克？
A.180
B.190
C.200
D.210
识别：整体浓度（溶液）：16%，两个部分浓度：30%和10%；
方程：A×30%+B×10%=（A+B）×16%；
十字交叉:
解题：
【母题4】
学校体育部采购一批足球和篮球，足球和篮球的定价分别为每个80 元和100 元。由于
购买数量较多，商店分别给予足球25%、篮球20%的折扣，结果共少付了22%。问购买的
足球与篮球的数量之比是多少？
A.4：5
B.5：6
C.6：5
D.5：4
识别：整体折扣（
优惠
定价）：22%，两个部分折扣：25%和20%；
方程：A×25%+B×20%=（A+B）×22%；
十字交叉:
解题：
【母题5】
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
63
由于改良了种植技术，农场2017 年种植的A 和B 两种作物，产量分别增加了10%和
25%。已知2017 年两种作物总产量增加了18%，问2017 年A 和B 两种作物的产量比为：
A.7:8
B.8:7
C.176:175
D.77:100
识别：整体增长率（
增长量
基期量）：18%，两个部分增长率：10%和25%；
方程：A×10%+B×25%=（A+B）×18%；
十字交叉:
解题：
【强化飞跃】
【例1】现有浓度为15%和30%的盐水若干，如要配出600 克浓度为25%的盐水，则
分别需要浓度为15%和30%的盐水多少克？
A.100、300
B.200、400
C.300、600
D.400、800
【例2】烧杯中装了100 克浓度为10%的盐水。每次向该烧杯中加入不超过14 克浓度
为50%的盐水，问最少加多少次之后，烧杯中的盐水浓度能达到25%？（假设烧杯中盐水
不会溢出）
A.6
B.5
C.4
D.3
【例3】某班一次数学测试，全班平均91 分，其中男生平均88 分，女生平均93 分，
则女生人数是男生人数的多少倍？
A. 0.5
B. 1
C. 1.5
D. 2
【例4】甲乙两队举行智力抢答赛，两队平均得分为92 分，其中甲队平均得分为88
分，乙队平均得分为94 分，则甲、乙两队人数之和可能是：
A. 20
B. 21
C. 23
D. 25
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
64
【例5】某单位为全体员工进行体检，平均体重是57.5 公斤。其中，男员工的平均体
重是62.5 公斤，女员工的平均体重是55.5 公斤。则该单位的男、女员工人数比为（ ）。
A. 2∶5
B. 2∶7
C. 7∶2
D. 5∶2
【例6】五个数写成一排，前三个数平均值是15，后两个数平均值是10，则这五个数
的平均值是：
A. 11
B. 12.5
C. 13
D. 14
【例7】在一次法律知识竞赛中，甲机关20 人参加，平均80 分，乙机关30 人参加，
平均70 分，问两个机关参加竞赛的人总平均分是多少?
A. 76
B. 75
C. 74
D. 73
【例8】小明前三次数学测验的平均分数是88 分，要想平均分数达到90 分以上，他
第四次测验至少要达到：
A. 98 分
B. 96 分
C. 94 分
D. 92 分
【例9】某年级有甲、乙、丙三个班级，三个班级的期末考试平均成绩分别为70 分、
88 分和74 分。若甲班和乙班的平均成绩为78 分，乙班和丙班的平均成绩为82 分。问该
年级的期末考试平均成绩为多少分?
A. 75
B. 77
C. 79
D. 81
【例10】某单位共有A、B、C 三个部门，三部门人员平均年龄分别为38 岁、24 岁、
42 岁。A 和B 两部门人员平均年龄为30 岁，B 和C 两部门人员平均年龄为34 岁。该单位
全体人员的平均年龄为多少岁？
A. 34
B. 36
C. 35
D. 37
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65
【例11】某单位共有职工72 人,年底考核平均分数为85 分,根据考核分数,90 分以上的
职工评为优秀职工，已知优秀职工的平均分数为92 分，其他职工的平均分数是80 分，问
优秀职工的人数是多少？
A. 12
B. 24
C. 30
D. 42
【例12】我国儿童使用电子产品日平均用时96.3 分钟，其中，乡镇儿童平均使用电子
产品用时108.2 分钟，市区儿童88.4 分钟。
在该次调查中，市区儿童占被调查儿童的比重是：
A.40%
B.50%
C.60%
D.70%
【例13】2018 年国家统计局组织开展了第二次全国时间利用的随机抽样调查，共调查
48580 人。结果显示，受访居民在一天的活动中，有酬劳动平均用时4 小时24 分钟。其中，
男性5 小时15 分钟，女性3 小时35 分钟；城镇居民3 小时59 分钟，农村居民5 小时1 分
钟；工作日4 小时50 分钟，休息日3 小时19 分钟。受访居民有酬劳动的参与率为59.0%，
其中城镇居民53.1%。受访居民无酬劳动平均用时2 小时42 分钟。其中，女性3 小时48
分钟；农村居民2 小时39 分钟；工作日2 小时34 分钟。受访居民无酬劳动的参与率为
70.2%，其中男性55.3%。
受访的男性居民约有：
A.2.38 万人
B.2.43 万人
C.2.65 万人
D.2.91 万人
【例14】2014 年全国人均可支配收入20167 元，比上年增上10.1%，按常住地分，城
镇居民人均可支配收入28844 元，比上年增上9.0%，城镇居民按户人均可支配收入的中位
数为26635 元，增长10.3%。农村居民人均可支配收入10489 元，比上年增长11.2%，农村
居民人均可支配收入的中位数为9497 元，增长12.7%。全国居民人均消费14491 元，比上
年增长9.6%。按常住地分，城镇居民人均消费支出19968 元，增长8.0%；农村居民人均
消费支出8383 元，增长12.0%。
2014 年全国城镇居民人数占全国居民人数的比重是（ ）。
A.36.4%
B.42.1%
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66
C.52.7%
D.69.9%
数据显示，受访者2013 年人均网购次数为19.4 次。此外，女性受访者人均网购次数
为21.1 次，比男性受访者高出3.8 次。2013 年该市网购10 类主要商品和服务的受访者占比
情况如下：
【例15】受访者中女性所占的比例约为（ ）。
A.71.2%
B.65.7%
C.55.3%
D.44.7%
【例16】某工厂共有160 名员工，该厂在7 月的平均出勤率是85%，其中女员工的出
勤率为90%，男员工的出勤率为70%，问该厂男员工共有多少人？
A.40
B.50
C.70
D.120
【例17】2018 年11 月中旬，某市统计局对全市2000 名18-65 周岁的常住居民进行了
有关“双11”网购情况的电话调查。调查结果显示，47.5%的受访者参与了2018 年“双11”的
网购，其中64.4%的男性和67.2%的女性表示“有实际购物需求”是其参与“双11”网购的原
因之一。
该市参与2018 年“双11”网购的受访者中，男、女人数的比值最接近：
A.0.47
B.0.51
C.0.59
D.0.65
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67
【例18】甲、乙两条生产线每小时分别可以生产15000 件和9000 件某种零件，产品
合格率分别为99%和99.8%。现接到36 万件这种零件的生产任务，要求合格率不得低于
99.5%，则两条生产线合作，至少需要多少小时完成?
A. 15
B. 18
C. 24
D. 25
【例19】2012 年，我国矿产品对外贸易活跃，进出口额9919 亿美元，同比增长3.6%，
其中，进口额同比增长1.4%，出口额同比增长7.6%。
2011 年我国矿产品进口总额约是出口总额的多少倍？
A.1.5
B.1.8
C.2.1
D.2.5
【例20】2019 年1 至6 月，全国发行地方政府债券28372 亿元，同比增长101.09%。
其中，发行一般债券12858 亿元，同比增长23.21%，发行专项债券15514 亿元，同比增长
322.38%；
2018 年1 至6 月，发行一般债券占整体的比重比发行专项债券的占比约：
A.低9.36%
B.低52.81%
C.高47.93%
D.高53.43%
【例21】某高校今年共招收新生6060 人，比去年增长1%，其中本科新生比去年减少
5%，研究生新生比去年增加13%，那么，该高校今年本科新生有多少人？
A.4200
B.4120
C.3900
D.3800
【例22】某高校今年计划招收各类学生共6630 人，比去年增长2%，其中本科生比去
年减少4%，研究生的招生计划数比去年增加9%。那么，该校今年研究生的招生计划数为：
A.3052 人
B.3161 人
C.3270 人
D.3379 人
【例23】将300 克浓度95%的酒精与若干浓度60%的酒精，混合成浓度75%的酒精，
需要浓度60%的酒精多少克
A.225
B.240
C.380
D.400
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68
【例24】有一瓶浓度为15%的盐水500 克，每次加入34 克浓度为60%的盐水，则至
少加 次该盐水，使这瓶盐水的浓度超过30%。
A.6
B.7
C.8
D.9
【例25】某果蔬专业博士生一行8 人，深入某贫困山区，为当地3 个村的村民传授果
树的种植技术。当年3 个村的水果产量之比为3∶2∶5，第2 年3 个村的水果产量都有不低于
20％的增加，且3 村水果总产量增加50％，问3 个村水果产量的最大增幅可能是：
A.80％
B.120％
C.150％
D.170％
【例26】某银行为一家小微企业提供了年利率分別为6％、7％的甲、乙两种贷款，期
限均为一年。若两种货款的合计数额为400 万元，企业需付利息总额为25 万元，则乙种贷
款的数额是：
A.100 万元
B.120 万元
C.130 万元
D.150 万元
【例27】某地居民生活使用天然气每月标准立方数的基本价格为4 元/立方，若每月使
用天然气超过标准立方数，超出部分按其基本价格的80%收费。某用户2 月份使用天然气
100 立方，共交天然气费380 元，则该市每月使用天然气标准立方数为多少立方？
A.60 B.65
C.70 D.75
【例28】2017 年1~12 月，全国内燃机累计销量5645.38 万台，同比增长4.11%，从燃
料类型来看，柴油机累计销量556 万台，同比增长13.04%；汽油机累计销量5089 万台。
2017 年汽油内燃机累计销量同比增速：
A.低于−4%
B.在−4%~0%之间
C.在0%~4%之间
D.超过4%
【例29】2020 年上半年，我国农产品进出口总额达1159.0 亿美元。农产品进口额为
807.5 亿美元，同比增长13.2%。受新冠肺炎疫情影响，我国农产品出口额同比下降3.8%，
为351.5 亿美元。
2020 年上半年，我国农产品进出口额同比增长约：
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69
A.2.5%
B.5.0%
C.7.5%
D.10.0%
【例30】2019 年我国海洋相关产业产值增速：
A.低于3.0%
B.介于3.0%和4.0%之间
C.高于5.0%
D.介于4.0%和5.0%之间
【例31】某高校艺术学院分音乐系和美术系两个系别，已知学院男生人数占总人数的
30%，且音乐系男女生人数之比为1∶3，美术系男女生人数之比为2∶3，问音乐系和美术系
的总人数之比为多少？
A. 5∶2
B. 5∶1
C. 3∶1
D. 2∶1
【例32】某园林处计划购进甲、乙两种树苗共1400 棵,已知甲树苗每棵4 元,乙树苗每
棵3 元。根据经验可知,甲、乙两种树苗的成活率分别为97%和90%,为了使这批树苗的成
活率至少为94%,且购买成本最小,那么购进甲、乙两种树苗的最小费用是多少元?
A.4850
B.4800
C.5050
D.5000
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70
第七节 代入排除
【考点筑基】
适用题型：
1.选项信息充分：即选项中数据比较多，有两个或者两个以上数据。
2.固定题型：如多位数问题、余数问题、年龄问题、不定方程、计算复杂类问题等
解题技巧：
1.将选项依次代入题干，符合题干选项保留，与题干条件有矛盾的选项予以排除。
2.如果题目问最大/最小，则按照选项从大到小/从小到大的顺序依次验证。
3.如果题目没有问最大/最小，则优先代入最方便计算的选项。
【母题提升】+【能力扩展】
【母题1】
某手机厂商生产甲、乙、丙三种机型，其中甲产量的2 倍与乙产量的5 倍之和等于丙
产量的4 倍，丙产量与甲产量的2 倍之和等于乙产量的5 倍。甲、乙、丙产量之比为：
A.2∶1∶3 B.2∶3∶4
C.3∶2∶1 D.3∶2∶4
识别：选项有两个或两个以上数据；
代入：2 甲+5 乙=4 丙，丙+2 甲=5 乙，消掉5 乙，可得4 甲=3 丙，代入选项只有D。
【母题2】
在统计某高校运动会参赛人数时，第一次汇总的结果是1742 人，复核的结果是1796
人，检查发现是第一次计算有误，将某学院参赛人数的个位数字与十位数字颠倒了。已知
该学院参赛人数的个位数字与十位数字之和是10，则该学院的参赛人数可能是：
A.64 人 B.73 人
C.82 人 D.91 人
识别：本题考查多位数问题；
代入：两次汇总人数差1796－1742=54，说明该学院参赛人数个位和十位颠倒差相差
54。
【母题3】
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71
一个自然数，它除以6 余2，除以8 余4，这个数最小是：
A.48
B.44
C.24
D.20
识别：本题考查余数问题；
代入：求最小，从最小代入，D 刚好满足题意。
【母题4】
某部门正在准备会议材料，共有153 份相同的文件，需要装到大小两种文件袋里送至
会场，大的每个能装24 份文件，小的每个能装15 份文件。如果要使每个文件袋都正好装
满，则需要大文件袋（ ）个。
A.2
B.3
C.5
D.7
识别：本题考查不定方程问题；
代入：24x+15y=153，化简为8x+5y=51，代入A 满足题意。
【强化飞跃】
【例1】某工厂生产的零件总数是一个三位数，平均每个车间生产了35 个，统计员在
记录时粗心地将该三位数的百位与十位数字对调，结果统计的零件总数比实际总数少270
个。问该工厂所生产的零件总数最多可能有多少个？
A.525
B.630
C.855
D.960
【例2】一个两位数的中间加上一个0，那么所得的这个数是原数的9 倍，原来这个两
位数是多少？
A.15
B.25
C.35
D.45
【例3】小李的弟弟比小李小2 岁，小王的哥哥比小王大2 岁、比小李大5 岁。1994
年，小李的弟弟和小王的年龄之和为15。问2014 年小李与小王的年龄分别为多少岁？
A.25、32
B.27、30
C.30、27
D.32、25
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72
【例4】有四个学生恰好一个比一个大一岁，他们的年龄相乘等于93024，问其中最大
的年龄是多少岁？
A.16 岁
B.18 岁
C.19 岁
D.20 岁
【例5】某电商网站推出免息分期购物活动，购买某件商品的消费者第一个月只用支
付总金额的一半加10 元，第二个月支付剩余金额的一半加20 元，第三个月支付剩余金额
的一半加30 元，第四个月付清剩余未支付的10 元。问这件商品的价格为多少元？
A.400
B.410
C.420
D.460
【例6】一群学生分小组在户外活动，如3 人一组还多2 人，5 人一组还多3 人，7 人
一组还多4 人，则该群学生的最少人数是：
A.23
B.53
C.88
D.158
【例7】一只黑色布袋中装着分别标有数字1、2、3 的三种玻璃球若干。若从布袋中
随机摸出10 个球，球上数字之和为21，则10 个球中标有数字1 的玻璃球至多有：
A.2 个
B.3 个
C.4 个
D.5 个
【例8】某学校组织学生分组参观红色教育基地，租赁了若干辆客车。其中，一辆大
型客车可容纳5 个小组，一辆中型客车可容纳3 个小组，大型客车比中型客车多容纳16 个
小组，那么至少租赁了大型客车和中型客车各多少辆？
A.3；5
B.5；3
C.4；3
D.5；6
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73
第八节 枚举归纳
【考点筑基】
适用题型：排列组合、几何计数、周期类等不易通过方程表达的题型
解题技巧：
枚举法：当满足条件的情形比较少时（比如选项数字都比较小），直接一一列举；
归纳法：当答案要求数字很大时，我们从较小的数字出发，总结归纳其通用规律。
【母题提升】+【能力扩展】
【母题1】张师傅从事自行车、电动车、摩托车三种类型的车辆维修工作，每辆维修工时
费分别为3 元、6 元和9 元。若张师傅某时段维修工时费共收入15 元，那么该时段张师傅维修
车辆类型及相应数量的情况有：
A.4 种
B.5 种
C.6 种
D.7 种
【母题2】有一列数，第1 个数是16，第二个数是8，第3 个数开始，每一个数都是它前
面两个数的平均数，则第2021 个数的整数部分是：
A.9
B.10
C.11
D.12
【强化飞跃】
【例1】余梅今年4 岁，爱吃泡泡糖，她现有10 颗完全相同的泡泡糖，妈妈只允许她
每次吃一颗或两颗，则她共有多少种不同的组合方法吃完这些泡泡糖？
A.72
B.89
C.95
D.107
【例2】下边是空心圆有规律生成的一个树形图，由此可知，第10 行的空心圆的个数
是：
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74
A.34
B.21
C.13
D.8
【例3】用直线切割一个有限平面，后一条直线与此前每条直线都要产生新的交点，
第1 条直线将平面分成2 块，第2 条直线将平面分成4 块，第3 条直线将平面分成7 块，
按此规律，将平面分为22 块需：
A.7 条直线
B.8 条直线
C.5 条直线
D.6 条直线
【例4】从1 开始的自然数在正方形网格内按如图所示规律排列，第1 个转弯数是2，
第2 个转弯数是3，第3 个转弯数是5，第4 个转弯数是7，第5 个转弯数是10，则第22
个转弯数是：
A.123
B.131
C.132
D.133
【例5】有一列数，第一个数是90，第二个数是80。从第三个数开始，每一个数都是
它前面两个数的平均数。则第100 个数的整数部分是：
A.80
B.83
C.85
D.87
【例6】有一列数，第1 个数是16，第二个数是8，第3 个数开始，每一个数都是它
前面两个数的平均数，则第2021 个数的整数部分是：
A.9
B.10
C.11
D.12
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75
第九节 约数倍数
【考点筑基】
适用题型：
①单独命题：求最小公倍数或最大公约数、数字特性问题；
②结合题型：余数问题、工程问题、行程问题、几何问题、星期日期问题、植树问
题、周期问题等。
解题技巧：求最小公倍数或最大公约数。
短除法：
当出现两个互质的数字时（第四步），即结束。
最大公约数＝２×２×３＝１２（第四步左侧的三个数字的乘积）。
最小公倍数＝２×２×３×４×５＝２４０（第四步左侧的三个数字与下边两个数字的乘
积）。
2.三个数字：
在得到 1、2、1 这三个两两互质的数字之后，我们将左侧的数字与下边的数字相乘，
就是这三个数字的“最小公倍数”：2×3×2×3×5×1×12×1＝360。
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76
或先求出60 与72 的最小公倍数，再将该结果继续与90 求最小公倍数。
【母题提升】+【能力扩展】
【最大公约数】
【母题1】三个自然数分别是一位数、两位数和三位数，其积为3930，其和最小为多
少？
A. 144
B. 146
C. 148
D. 162
识别：求3930 的三个约数，使这三个的约数和最小。
解题：个位数+十位数+百位数字和最小，则首先百位数字尽量小，十位数字尽量小，3930
＝3×10×131，3+10+131=144。
【能力扩展】
考生可以通过分解质因数或“找配对”的方式求解：
分解质因数：将数字分解成几个质因数的乘积，然后再列举出它们的所有组合方式：
例如24=2×2×2×3，再列举因数的组合方式（1 和24）、（2 和12）、（4 和6）、（8 和3），故
约数共有8 个。
找配对：24=1×24=2×12=3×8=4×6，那么其因数为1、24、2、12、3、8、4、6 。
【母题2】用一张长1007 毫米、宽371 毫米的长方形纸，剪成多个面积相等且尽可能
大的正方形。长方形纸最后没有剩余，则这些正方形的边长是（ ）毫米。
A.19
B.53
C.79
D.106
识别：求1007 余371 的最大公约数。
解题：求1007 和371 的最大公约数，不能直接辨别，尝试将两者做差，1007－371＝636＝
12×53，1007 和371 既不是2 的倍数也不是3 的倍数，因此两者一定有公约数为53。
【母题3】用全部156 个边长为1 的小正方形，最多可以拼成（ ）种形状不同的长方
形。
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
识别：求156 可以分解为多少组不同的因数相差。
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77
解题：156=22 × 3 × 13，则156 共有3×2×2=12 个约数，则两两配对的有6 组。
【能力扩展】
因数个数定理：如果将一个数字进行质因数分解，把各个质因数的幂次数字分别加
1，再相乘，得到的数字就是这个数字的约数的个数。最小的约数为１，最大的约数就是这
个数字本身。
例如：360＝23 × 32 × 51，其因数个数为：（3+1）×（2+1）×（1+1）=4×3×2=24 个。
【最小公倍数】
【母题】
①一项工程，甲做需要12 天，乙做需要15 天，
②甲每3 天打一次羽毛球，乙每4 天打一次羽毛球，丙每5 天打一次羽毛球，
③一条400 米的马路，原来每隔10 米种一颗树，现打算每隔8 米种一棵树，则有多少棵
树不需要移动。
④4a=5b=7c，求a+b+c 的和最小为多少？
【强化飞跃】
【例1】有100 个编号为1~100 的罐子，第1 个人在所有的编号为1 的倍数的罐子中
倒入1 毫升水，第2 个人在所有编号为2 的倍数的罐子中倒入1 毫升水……最后第100 个
人在所有编号为100 的倍数的罐子中倒入1 毫升水，问此时第92 号罐子中装了多少毫升的
水？
A.2
B.6
C.46
D.92
【例2】编号为1—50 的选手参加一个爬楼比赛，楼高为60 层，所有选手在第1 层均
获得一个特别的号牌，此后每经过一个楼层，如果选手的编号正好是楼层数的整数倍，就
将得到一个特别的号牌，所有选手都到达终点后，正好持有3 个特别号牌的选手有多少人？
A.1
B.4
C.7
D.10
【例3】现用5700 立方厘米的蜡制作二十多个同样大小，且长、宽、高均为整数厘米
的长方体实心蜡块，问蜡块的尺寸有多少种不同的可能性？
A.4
B.6
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78
C.10
D.16
【例4】甲、乙两名运动员参加射箭比赛，每一箭的环数是不超过10 的自然数，甲、
乙两名运动员各射了5 箭，每人5 箭的环数乘积均为1764，但乙的总环数比甲的少4 环，
则甲、乙两名运动员的总环数各是多少？
A.26、22
B.27、23
C.28、24
D.32、28
【例5】箱子里有标号1 至10 共10 个球，小张随机取了三个球并记下号码后将球放
回，小李也随机取了三个并记下号码。这时发现两人取的球的号数之积都恰好是144。已
知小张的号数之和比小李的大，那么小张取的球的号数之和是多少？
A.19
B.17
C.16
D.14
【例6】一个数有6 个约数，其最小的3 个约数之和为11，满足条件的所有数之和是
多少？
A.210
B.343
C.798
D.840
【例7】整数8 可以写成1、1、2、4 这4 个整数的和，也可以写成这4 个整数的乘积。
那么最少有多少个不等于2008 的整数，使得它们的和等于2008，它们的乘积也等于2008?
A.1002
B.1004
C.1006
D.2
【例8】可以分解为三个质数相乘的最小的三位数是：
A.100
B.102
C.104
D.105
【例9】某突击队150 名工人准备选一名代表上台领奖，选择的方法是：让150 名工
人排成一排，由第一名开始报数，报奇数的人落选退出队列，报偶数的站在原位置不动，
然后再从头报数，如此继续下去，最后剩下的一名当选。小李非常想去，他在第一次排队
时应在队列的什么位置上才能被选中？
A.64
B.128
C.148
D.150
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79
【例10】将参加社会活动的108 个学生平均分成若干小组，每组人数在8 人到30 人
之间，则共有多少种不同的分法？
A.3
B.4
C.5
D.6
【例11】某部队的士兵为偶数个，将所有士兵排成长和宽都大于1 的实心方阵，发现
只有一种排法，且该排法下长和宽都小于100。要使该部队在调入8 名新兵之后仍为只有
一种排法的实心方阵，问调入后人数最多可能为多少？
A.104
B.194
C.202
D.9029
【例12】企业某次培训的员工中有369 名来自A 部门，412 名来自B 部门。现分批对
所有人进行培训，要求每批人数相同且批次尽可能少。如果有且仅有一批培训对象同时包
含来自A 和B 部门的员工，那么该批中有多少人来自B 部门？
A.14
B.32
C.57
D.65
【例13】小李第一次买了A、B、C 三种饮料各若干瓶，共花去了75 元；之后他再次
买了这三种饮料若干瓶，共花去了134 元。两次购买的每种饮料数量之和相同，那么若三
种饮料各买1 瓶最多需花费 元。（假设饮料价格都是整数元）
A.11
B.15
C.19
D.23
【例14】1~200 这200 个自然数中，能被4 或能被6 整除的数有多少个？
A.65
B.66
C.67
D.68
【例15】世界石油价格上涨，导致油站供油不足，已知三辆油罐车分别运来
35
6 ，
21
8 ，
56
9 吨油。双忙季节农用机车急需用油，为支援生产，把三罐油平均分成若干等份每份尽可
能多，每台农用机车一次凭车牌号领取一份油，则至少可满足（ ）台农用机车的需求。
A. 125
B. 138
C. 151
D. 163
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80
【倍数】
【例1】某城市有A、B、C、D 四个区，B、C、D 三区的面积之和是A 的14 倍，A、
C、D 三区的面积之和是B 的9 倍，A、B、D 三区的面积之和是C 区的2 倍，则A、B、C
三区的面积之和是D 区的：
A.1 倍
B.1.5 倍
C.2 倍
D.3 倍
【例2】张警官一年内参与破获的各类案件有100 多件，是王警官的5 倍，李警官的
五分之三，赵警官的八分之七，问李警官一年内参与破获了多少案件？
A.175
B.105
C.120
D.不好估算
【例3】一艘海军的训练船上共有60 人，其中有驾驶员、船员、见习驾驶员、见习船
员、还有一些陆战队员。已知见习人员的总人数是驾驶员和船员总数的四分之一，船员
（含见习船员）总人数是驾驶员（含见习驾驶员）总数的7 倍，则船上有（）个陆战队员。
A.12
B.15
C.20
D.25
【例4】某单位3 个部门共有员工50 人，拥有中级工程师职称的人员比重为40%。其
中甲、乙两个部门拥有中级工程师职称的人员比重分别为45％和32%，则丙办公室拥有中
级工程师职称的人员比重为：
A.60%
B.52%
C.44%
D.36%
【例5】某公司年终获利颇丰，公司董事会讨论决定拿出30 万元重奖贡献突出的三位
职工，原计划按职务的高低以4∶3∶2 的比例为甲，乙，丙分配奖金，后公司董事会采纳了
职工建议，按实际对公司的贡献大小以5∶4∶3 的比例为甲，乙，丙分配奖金。前后两个方
案中奖金减少的职工是哪个？
A.职工甲
B.职工乙
C.职工丙
D.三人均无变化
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81
【例6】某企业员工编号为6 位自然数，其中前两位代表入职年份的最后两位数，第3
位代表所属部门，后3 位代表员工当年在部门中的入职顺序。2018 年入职的员工小张发现，
自己的员工编号能同时被5、9 和101 整除。问当年他所在的部门最少可能有多少人入职？
A.不到250 人
B.250～499 人之间
C.500～749 人之间
D.超过749 人
【例7】小明在相距100 米的甲乙两地插彩旗，小明从甲开始往乙方向出发，每隔6
米插一面绿旗，到乙地后返回甲地，每隔4 米插一面黄旗，绿黄旗重复时改插一面红旗。
如果不算两端彩旗，问一共有多少面红旗？（ ）
A.8
B.9
C.12
D.14
【例8】某市一体育场有三条同心圆的跑道，里圈跑道长公里
1
5，中圈跑道长公里
1
4，
外圈跑道
3
8公里。甲、乙、丙三人分别在里、中、外圈同一起跑线同时同向跑步。甲每小时
跑3.5 公里，乙每小时跑4 公里，丙每小时5 公里，问几小时后三人同时回到出发点？
A.8 小时
B.7 小时
C.6 小时
D.5 小时
【例9】一副扑克牌有52 张，最上面一张是红桃A。如果每次把最上面的10 张移到
最下面而不改变它们的顺序及朝向，那么，至少经过多少次移动，红桃A 会出现在最上面？
A.27
B.26
C.25
D.24
【例10】有一种长方形小纸板，长为29 毫米，宽为11 毫米。现在用同样大小的这种
小纸板拼合成一个正方形，问最少要多少块这样的小纸板？
A.197 块
B.192 块
C.319 块
D.299 块
【例11】甲、乙、丙三个办公室的职工参加植树活动，三个办公室人均植树分别为4，
5，6 棵，三个办公室植树总数彼此相等。问这三个办公室总共至少有多少职工？
A.37
B.53
C.74
D.106
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82
【例12】假设三颗小行星绕着一颗恒星运动，它们的运行轨道都是圆形，每条轨道的
圆心都是该恒星，且三条轨道都在同一平面内。若这三颗小行星同向旋转，且绕轨道运行
一周的时间分别是60 年、84 年、140 年。现在三颗小行星和恒星在同一直线上且三颗小行
星都在恒星的同侧，那么至少（ ）年后它们再次在同一直线上且三颗小行星都在恒星的同
侧。
A.210
B.315
C.420
D.630
【例13】公司购买某设备24 套，现要登记单价，但是数据上没有标注单价，且总价
第一位和最后一位模糊不清，只看到是☆579△元。则☆可能是 。
A.3
B.5
C.7
D.9
【例14】某市服务行业举行业务技能大赛，其中东区参赛人数占总人数的1/5，西区
参赛人数占总人数的2/5，南区参赛人数占总人数的1/4，其余的是北区的参赛人员。结果
东区参赛人数的1/3 获奖，西区参赛人数的1/12 获奖，南区参赛人数的1/9 获奖，已知参
赛总人数超过100 人，不到200 人，则参赛总人数为()。
A.120
B.140
C.160
D.180
某化学生产厂商生产甲、乙、丙三种试剂，其中：甲试剂每瓶重
2
15克，乙试剂每瓶重
4
21克，丙试剂每瓶重
8
35克。现在需要分别购买这三种试剂若干瓶，使得最后购买得到的三
种试剂的总重量相等，那么至少需要购买这三种试剂共多少瓶？（ ）
Ａ.197
B.137
Ｃ.97
Ｄ.67
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83
第十节 循环周期
【考点筑基】
解题思路：
若一串事物以Ｔ为周期，且Ａ÷Ｔ＝Ｎ⋯ａ，那么第Ａ项等同于第ａ项。
如果上式可以整除，那么第Ａ项就相当于周期当中的最后一项，即第Ｔ项。
例如：ABCD ABCD ABCD⋯，以4 为周期。
【母题提升】+【能力扩展】
【母题1】某新建高速公路中间隔离带绿化时，顺次种植2 株蜀桧、3 株刺柏、5 株小叶女
贞、3 株大叶黄杨，按此循环，第2019 株树木是什么？
A.蜀桧
B.刺柏
C.小叶女贞
D.大叶黄杨
解题：最小周期为：2+3+5+3=13，
2019
13 =155⋯4，等同于第4 棵树，为刺柏。
【母题2】公司安排甲、乙、丙三人从周一开始上班，已知甲每上班一天休一天，乙每上
班两天休一天，丙每上班三天休一天，那么三人第三次同时休息是星期（ ）。
A.日
B.一
C.二
D.三
解题：甲2 天休息一次，乙3 天休息一次，丙4 天休息一次，三人同时休息的周期为2、3、
4 的最小公倍数12 天。第三次同时休息为第12×3＝36（天），36÷7＝5 周……1 天，三人第三
次同时休息是星期一。
【能力扩展】
若甲的周期为a，乙的周期为b，则甲乙两人的周期为a 和b 的最小公倍数。
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84
【强化飞跃】
【例1】某单位共有8 名安保队员，并根据序号每天安排2 名队员轮流值班：第一天由队
员1、2 负责值班；第二天由队员3、4 负责值班……以此类推。如果队员3 今天负责了值班,则
他将在（ ）天后再次负责值班。
A.4
B.5
C.6
D.7
【例2】王老师是甲、乙、丙三个班的辅导员，甲、乙、丙三个班的班长分别每3 天、5 天、
6 天汇报一次班级情况，某天三人同时到王老师那儿做班级汇报，那么下次他们同时到王老师
那儿做班级汇报至少要多少天？
A.90
B.36
C.30
D.18
【例3】王老师在整理书籍，将15 本社科类书、10 本数学类书、12 本哲学类书放进有5
层格子的书橱，一层格子可放8 本书，每层按从左至右，层数按从下至上的顺序排放书籍，先
放社科类的全部书籍，再放数学类、最后哲学类。则从下到上的第4 层左边第一本为（ ）。
A.社科类书
B.数学类书
C.哲学类书
D.空
【例4】某马路宽8 米，为方便行人过马路，要刷一条4 米宽的人行横道线。已知横道线
每间隔45 厘米刷一条宽也为45 厘米的白线，白漆每升可以刷6 平方米，则刷这条横道线至少
需要（ ）桶一升装的白漆。
A.2
B.3
C.4
D.5
【例5】某班有48 位同学，教室里有6 排，每排8 个座位。若在每个周一早上班里同学按
照如下要求换座位：①第一排同学换到最后一排，其他每排同学向前换一排；②最左边一列的
同学换到最右边一列，其他每列同学向左换一列。那么坐在第一排最左边的同学经过 后首次回
到第一排最左边。
A.12 周
B.24 周
C.36 周
D.48 周
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85
【例6】公司的门卫岗与消防岗均采用轮班制，门卫岗每隔两天值一天班，消防岗每4 天
值一天班，节假日无休息。小张是门卫，小王是消防员，则小张和小王在2019 年中一个自然月
里同时上班最多有（ ）天。
A.8
B.4
C.3
D.2
【例7】长方形ABCD，从图示的位置开始沿着AP 每秒转动90 度（无滑动情况），AB=4
厘米，BC=3 厘米，当长方形的右端到达距离A 为46 厘米的位置时是（ ）秒后 。
A.11
B.12
C.13
D.14
【例8】有一条长100 厘米的纸带，从一端开始，先涂一段红色，长度为4 厘米；再涂一
段白色，长度为4 厘米。按此规律重复操作，直到颜色涂满整条纸带。则涂红色的部分共有（ ）
段。
A.10
B.13
C.15
D.25
文化广场上从左到右一共有5 面旗子，分别代表中国、德国、美国、英国和韩国。如果将
5 面旗子从左到右分别记作A 、B 、C 、D 、E ，那么从中国的旗子开始，按照
ABCDEDCBABCDEDCBA......的顺序数，数到第313 个字母时，是代表（）的旗子。
A.英国
B.德国
C.中国
D.韩国
【例9】五名工人按甲—乙—丙—丁—戊的顺序轮流值夜班，每人值班1 天休息4 天。某
日乙值夜班，问再过789 天该谁值班？
A.甲
B.乙
C.丙
D.戊
【例10】有一列数，第一个数为8，第二个数为4，从第二个数起，它们的每个数都比它
前后相邻的两数的和少5，从第一个数到第2003 个数的和是：
A.10001
B.10000
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C.10011
D.11000
【例11】有一部96 集的电视纪录片从星期三开始在电视台播出。正常情况下，星期二到
星期五每天播出1 集，星期六、星期天每天播出2 集，星期一停播。播完35 集后，由于电视台
要连续3 天播出专题报道，该纪录片暂时停播，待专题报道结束后继续按常规播放。那么该纪
录片最后一集将在（ ）播出。
A.星期二
B.星期五
C.星期六
D.星期日
【例12】一个圆盘上按顺时针方向依次排列着编号为1 到7 的七盏彩灯，通电后每个时刻
只有三盏亮着，每盏亮6 秒后熄灭，同时其顺时针方向的下一盏灯开始亮，如此反复。若通电
时编号为1，3，5 的三盏先亮，则200 秒后亮着的三盏彩灯的编号是：
A.1，3，6
B.1，4，6
C.2，4，7
D.2，5，7
【例13】甲乙丙三个网站定期更新。甲网站每隔48 小时，乙网站每隔72 小时，丙网站每
隔96 小时更新一次内容。问在同一星期内至多有几天，三个网站中至少有一个更新内容？
A.7
B.6
C.5
D.4
【例14】某工厂有三条生产线a、b 和c。a 生产线每生产2 天检修1 天，b 生产线每生产3
天检修1 天，c 生产线每生产4 天检修1 天。2017 年（不是闰年）1 月1 日3 条生产线正好都检
修，则当年3 月有多少天只有1 条生产线生产？
A.3
B.4
C.5
D.6
某培训班学制1 个半月，采用滚动招生培训制，在不断有学员完成培训毕业离开的同时，
也不断有新学员加入培训。已知本月该培训班共增加了45 名新学员，目前在学人数比上个月多
了25%，那么，本月该培训班的毕业人数最多是（ ）人。
A.21
B.27
C.30
D.36
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87
第二阶段 二十大模型
（一）工程问题
【学前筑基】
（1）熟悉本章公式：
工作总量=工作效率×工作时间；
①甲工程队与乙工程队的效率分别为4 和5，一项工程由甲工程队单独做6 天，再由乙工
程队单独做8 天，最后由甲、乙两个工程队合作4 天刚好完成，求工作总量
______________
②甲工程队与乙工程队的效率分别为4 和5，甲乙合作完成该项目，期间甲做了10 天，乙
做了12 天，求工作总量______________
③甲、乙、丙三人工作的效率分别为7、9、8，耗时8 天结束，求工作总量_____________
④甲和乙的效率分别为3 和5，一项工程先由甲、乙两人合作6 天，再由乙单独做9 天可
完成，若按阶段完成，可表示为：__________________；若按主体完成，可表示为：
__________。
工作效率=
工作总量
工作时间
⑤一项工程总量为120，甲单独完成需要12 天，甲乙合作需要8 天，求甲的效率：
_______；乙的效率：___________。
⑥一项工程总量为36，甲、乙合作12 天完成，乙、丙合作9 天完成，丙、丁合作12 天完
成，求甲和乙的效率和：__________；求甲乙丙丁的效率和：___________。
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88
⑦ 某项工程工作量为420，若由甲、乙两队合作需105 天完成，甲、丙两队合作需60 天，
丙、丁两队合作需70 天，甲、丁两队合作需84 天。问这四个工程队的工作效率分别为：
_______________
⑧ 一项工程总量为60，如果由甲、乙两人合作，需要12 小时完成；如果由乙、丙两人合
作，需要10 小时完成；如果甲、乙、丙三人合作，需要6 小时才能完成，求乙的效率：
___
工作时间=
工作总量
工作效率
⑨一项工程总量为60，甲的效率为12，求甲单独完成的时间：__________
⑩一项工程总量为60，甲的效率为4，乙的效率为5，若甲单独做5 天后，乙再加入2 天
后甲有事离开，求最终需要_________天。
（2）熟悉解题步骤中需要用到的其他考点：
①赋值法：赋值最小公倍数、效率比
求12 和18 的最小公倍数：______；
求36 和24 的最小公倍数：______；
求18、30、12 的最小公倍数：_______；
②方程法：通过时间差、工作总量不变列等量关系：
a.甲和乙的效率为5 和6，一项工程甲单独完成的时间比乙多8 天，求甲单独需要：_____
天；
b.一项工程总量为300。甲一天能做30，乙做10。期间甲休息2 天，乙请了8 天假，两人
在外时间不重叠。问一共花了_______天？
c.乙每小时比甲多生产5 个零件。已知两人生产了1350 个零件，用时30 小时，求甲和乙的
效率：_________
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【考点筑基】
基本公式：工作总量=工作效率×工作时间
解题方法：赋值、方程、列表
题型：
（1）时间型：题干只给出各主体独立或者合作完成某项工程的时间
做题思路：
第一步：赋总量（总量赋值为时间的公倍数）
第二步：求效率（利用总量÷时间）
第三步：看问题：（分阶段或分主体完成总量，如：总量=1 阶段+2 阶段+…）
（2）效率型：题干不仅给时间，更为重要的是给出各主体的效率比
做题思路：
第一步：赋效率（根据效率比赋值，尽量为整数）
第二步：求总量（利用效率×时间）
第三步：看问题（分阶段或分主体完成总量，如：总量=1 阶段+2 阶段+…）
（3）综合型：题干给出总量、效率、时间三者中任意两个变量的具体数值
做题思路：列方程求解，一般设效率或者时间
（4）统筹型：最短时间或最少费用问题
做题思路：
最短时间：求效率，各个主体做擅长的工作；
最少费用：求各个主体每做一个工作量的费用；
【母题提升】+【能力扩展】
第一节【时间型】
【个体完成】
【母题1】为支持“一带一路”建设，某公司派出甲、乙两队工程人员出国参与一个高铁建
设项目。如果由甲队单独施工，200 天可完成该项目；如果由乙队单独施工，则需要300 天。
甲、乙两队共同施工60 天后，甲队被临时调离，由乙队单独完成剩余任务，则完成该项目共需
（ ）天。
A.120
B.150
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90
C.180
D.210
【识别】题干只给出甲和乙单独完成项目的时间（200 天、300 天）
【步骤】
第一步：赋总量：
第二步：求效率：
第三步：列方程：
【合作完成】
【母题2】工厂有5 条效率不同的生产线。某个生产项目如果任选3 条生产线一起加
工，最快需要6 天整，最慢需要12 天整；5 条生产线一起加工，则需要5 天整。问如果所
有生产线的产能都扩大一倍，任选2 条生产线一起加工最多需要多少天完成？
A.11
B.13
C.15
D.30
【识别】题干只给出主体之间合作完成的时间（6 天、12 天、5 天）
【步骤】
第一步：赋总量：
第二步：求效率：
第三步：列方程：
【部分完成】
【母题3】若将一项工程的 1/6、1/4 、1/3 、1/4 ，依次分配给甲、乙、丙、丁四家工程
队，分别需要15 天、15 天、30 天和9 天完成，则他们合作完成该项工程需要的时间是：
A.12
B.15
C.18
D.20
【识别】题干只给出主体完成部分量的时间（15 天、15 天、30 天、9 天）
【步骤】
第一步：转化为各主体完成全部工作量的时间：
第二步：赋总量：
第三步：求效率：
第四步：列方程：
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91
【交替完成】
【母题4】一个编程项目，甲用12 天时间可以完成，乙用18 天时间可以完成，现在按
照甲工作一天，乙再接着工作一天，然后甲再接替乙工作一天......如此循环完成，整个编程
项目需要（）天完成。
A.14
B.15
C.16
D.17
【识别】题干只给出甲和乙单独完成项目的时间（12 天、18 天）
【步骤】
第一步：赋总量：
第二步：求效率：
第三步：找周期：
第四步：列方程：
第二节【效率型】
【已知效率比】
【母题1】甲、乙、丙三人共同完成一项工程，他们的工作效率之比是5:4:6。先由甲、
乙两人合做6 天，再由乙单独做9 天，完成全部工程的60%。若剩下的工程由丙单独完成，
则丙所需要的天数是：
A.9
B.11
C.10
D.15
【识别】题干直接给出主体之间的效率比（5:4:6）
【步骤】
第一步：赋效率
第二步：求总量
第三步：看问题
【间接效率比】
【母题2】有一项工程，甲公司花6 天，乙公司再花9 天可以完成；或者甲公司花8 天，
乙公司再花3 天可以完成。如果这项工程由甲公司或乙公司单独完成，则甲公司所需天数比乙
公司少（ ）天。
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92
A.15
B.18
C.24
D.27
【识别】通过同一工作量被不同主体通过不同时间完成从而推导效率比
【步骤】
第一步：通过总量相等，推导甲和乙的效率比：
第二步：赋效率
第三步：求总量
第四步：看问题
【母题3】某检修工作由李和王二人负责，两人如一同工作4 天，剩下工作量李需要6 天，
或王需要3 天完成。现李和王共同工作了5 天，则剩下的工作李单独检修还需几天完成？
A.2
B.3
C.4
D.5
【识别】通过同一工作量被不同主体通过不同时间完成从而推导效率比
【步骤】
第一步：通过总量相等，推导甲和乙的效率比：
第二步：赋效率
第三步：求总量
第四步：看问题
【效率赋1 型】
【母题4】某件刺绣产品，需要效率相当的三名绣工8 天才能完成；绣品完成50%时，
一人有事提前离开，绣品由剩下的两人继续完成；绣品完成75%时，又有一人离开，绣品
由最后剩下的那个人做完。那么，完成该件绣品一共用了：
A.10 天
B.11 天
C.12 天
D.13 天
【识别】多人/多台机器类的题型，效率相等，可以赋值为1。
【步骤】
第一步：赋效率
第二步：求总量
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93
第三步：看问题
第三节【综合型】
【设时间】
【母题1】某工程队计划每天修路560 米，恰好可按期完成任务。如每天比计划多修80 米，
则可以提前2 天完成，且最后1 天只需修320 米。问如果要提前6 天完成，每天要比计划多修
多少米？
A.160
B.240
C.320
D.400
【识别】题干给出了时间和效率的具体量（560 米）或和差关系（多80 米）
【步骤】
第一步：设时间
第二步：找等量关系
第三步：看问题
【设总量】
【母题2】某商铺甲、乙两组员工利用包装礼品的边角料制作一批花朵装饰门店。甲组单
独制作需要10 小时，乙组单独制作需要15 小时，现两组一起做，期间乙组休息了1 小时40 分，
完成时甲组比乙组多做300 朵。问这批花有多少朵？
A.600 B.900
C.1350 D.1500
【识别】题干给出了时间（10 小时、15 小时）和总量的具体值（相差300 朵）
【步骤】
第一步：设总量
第二步：找等量关系
第三步：看问题
【设效率】
【母题3】甲和乙两个小组共同植树，计划共同花10 个小时完成，但实际上甲组先单独开
工，2 小时后乙组加入，又过1 个小时后还剩3/4 没有完成，已知甲组比乙组每个小时多植树
10 棵，问两个小组一共要植多少棵？
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94
A.200
B.220
C.240
D.300
第四节【统筹型】
【最短时间】
【母题1】梳理甲、乙两个案件的资料，张警官单独完成，分别需要2 小时和8 小时；王
警官单独完成需要1 小时和6 小时。若两人合作完成，要的时间最少是？
A.3
B.4
C.5
D.6
【步骤】时间型工程+统筹
第一步：列表按时间型工程问题的解题步骤求出各主体做不同工程的效率
第二步：根据相对效率法，确定各主体擅长的项目：张警官做乙，王警官做甲
相对效率：张警官在两个项目中的效率比：
3
1＞王警官的
4
2。
第三步：优先做完的主体去帮忙另一个主体：
甲工程：王警官需要：2÷2=1 小时，
乙工程：24=3×1+（3+4）×t，解题t=3，共需要3+1=4 小时。
【能力扩展】
经济学中的“比较优势理论”告诉我们：在分工合作的时候，决定各自分工的，不是各自的
“绝对优势”，而是各自的“比较优势”。
相对效率：若
𝐵
𝐴＞
𝐷
𝐶（或B×C＞A×D），则王师傅→乙，李师傅→甲；
方案①：王师傅→甲，李师傅→乙，则当王师傅做完甲时，李师傅做了：
1
𝐴× 𝐷；
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方案②：王师傅→乙，李师傅→甲，则按方案①的时间，王师傅做
1
𝐶× 𝐵+（
1
𝐴-
1
𝐶）×
（B+D）；
这两个方案均是将甲工程做完后，乙工程分别被做了多少，比较这两次谁做的更多，
比较
1
𝐴× 𝐷与
1
𝐶× 𝐵+（
1
𝐴－
1
𝐶）×（B+D）的大小：②－①化简为：
𝐵
𝐴−
𝐷
𝐶，
【母题2】小王和小刘手工制作一种工艺品，每件工艺品由一个甲部件和一个乙部件组成，
小王每天可以制作150 个甲部件，或者制作75 个乙部件；小刘每天可以制作60 个甲部件，或
者制作24 个乙部件。现两人一起制作工艺品，10 天时间最多可以制作该工艺品（ ）件。
A.660
B.675
C.700
D.900
【步骤】
第一步：根据相对效率，确定各主体擅长的项目：
第二步：根据甲的工作量=乙的工作量，列方程：
【最少费用】
【母题3】某单位需要搬家，可以使用甲、乙、丙三个搬家公司。单独完成该搬家任务，
甲需要3 天，乙需要4 天，丙需要12 天；搬家费用分别为甲1000 元/天，乙850 元/天，丙350
元/天。要求在2 天内搬完，最少需要花费多少元？（搬家不足一天按一天计算）
A.3200
B.3400
C.3550
D.3700
【破题】找每做一个工作量的费用最低
【步骤】
第一步：计算每个主体每做一个工作量的费用：
①
每天的费用
每天的效率：赋值工作总量为12，甲的效率为4，乙的效率为3，丙的效率为1，则每做一
个工作量的费用分别为：
1000
4
= 250、
850
3 ≈283、
350
1 。
②
总费用
工作总量：3 个人的总费用分别需要：3×1000=3000、4×850=3400、12×350=4200。
第二步：尽量多安排费用低的主体多做：
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96
甲费用最低，故让甲做两天工作量为2×4=8，剩下12-8=4，故只需乙和丙各一天完成即可。
第三步：利用工作时间×每天的费用求解总费用：1000×2＋850×1＋350×1=3200。
【强化飞跃】
【时间型】
【例1】某公司要完成一项工程，如果单独交给甲项目组，需要x 天完成；如果单独交给
乙项目组，需要y 天完成，若甲、乙两个项目组共同完成该项目，最短需要多少天？
A.
𝑥𝑦
𝑥+𝑦
B.
1
𝑥+𝑦
C.
1
𝑥𝑦
D.
𝑥+𝑦
𝑥𝑦
【例2】录入员小张和小李需要合作完成一项录入任务，这项任务小李一人需要8 小时，
小张一人需要10 小时。两人在共同工作了3 个小时后，小李因故回了趟家，期间小张一直在工
作，小李返回后两个人又用了1 个小时就完成了任务。在完成这项任务的过程中，小张比小李
多工作了几个小时？
A.1
B.1.5
C.2
D.2.5
【例3】一项工程由甲、乙工程队单独完成，分别需50 天和80 天。若甲、乙工程队合作
20 天后，剩余工程量由乙、丙工程队合作需12 天完成，则丙工程队单独完成此项工程所需的
时间是：
A.40 天
B.45 天
C.50 天
D.60 天
【例4】现有一条柏油马路需要铺设，甲、乙两施工队合作铺设3 天可以完成，而乙施工
队单独铺设需要5 天完成。如果甲、乙合作铺设1 天，乙施工队另有任务，剩余任务由甲单独
完成需要多少天?
A.4
B.5
C.5.5
D.6
【例5】小李的耳机充满电可通话6 小时，或者待机210 小时。某天小李乘坐火车，上车
时耳机满电，而当他下车时耳机电量刚好用光。如果小李在火车上有一半的时间在通话，其余
时间耳机均为待机状态，则他乘坐火车的时长为：
A.9 小时10 分钟
B.9 小时30 分钟
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C.10 小时20 分钟
D.11 小时40 分钟
【例6】甲、乙两个工程队共同完成某项工程需要12 天，其中甲单独完成需要20 天。现8
月15 日开始施工，由甲工程队先单独做5 天，然后甲、乙两个工程队合作3 天，剩下的由乙工
程队单独完成，问工程完成的日期是：
A.9 月5 日
B.9 月6 日
C.9 月7 日
D.9 月8 日
【例7】工厂有5 条效率不同的生产线。某个生产项目如果任选3 条生产线一起加工，最
快需要6 天整，最慢需要12 天整；5 条生产线一起加工，则需要5 天整。问如果所有生产线的
产能都扩大一倍，任选2 条生产线一起加工最多需要多少天完成？
A.11
B.13
C.15
D.30
【交替完成-例8】单独修筑某条乡村公路，甲工程队需18 天，乙工程队需24 天，丙工程
队需30 天。现甲、乙、丙按如下顺序轮流施工：甲、乙、丙、乙、丙、甲、丙、甲、乙……每
个工程队工作一天换班，直到工程完成。当工程完成时，乙工程队干了多少天？
A.8 天
B.11 天
C.9 天
D.7 天
【例9】工厂需要加工一批零件，甲单独工作需要96 个小时完成，乙需要90 个小时，丙
需要80 个小时。现在按照第一天甲乙合作，第二天甲丙合作，第三天乙丙合作的顺序轮班工作，
每天工作8 小时，当全部零件完成时，乙工作了多少小时？
A.16
5
27
B.24
1
3
C.28
4
17
D.44
5
31
【例10】某项工作，甲单独做需10 天完成，乙单独做需6 天完成。如果甲先做2 天，然
后乙接替甲做2 天，再由甲接替乙做2 天……两人如此交替工作，那么，完成此项工作共用多
少天？
A.6
B.7
C.8
D.9
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98
【例11】某水池装有甲、乙、丙三根水管，独开甲管30 分钟可注满全池，独开乙管24 分
钟可注满全池，独开丙管48 分钟可注满全池，如果按照甲、乙、丙、甲、乙、丙、甲、……的
顺序轮流放水，每次两分钟，那么注满这水池需要多少分钟？
A.6.25
B.31.25
C.6
D.31
【部分完成型-例12】甲、乙两个工程队被安排实施某个工程。甲工程队先施工，用了15
天完成了一半，剩下部分甲、乙合作，比前一半的用时短了9 天。则乙工程队独立完成整个工
程需要多少天?
A.10
B.15
C.16
D.20
【例13】甲乙两个工程队承担了精准扶贫村公路的修筑任务，先是甲工程队单独修了10
天，完成了总工程的四分之一，接着乙工程队加入合作，完成剩余工程。在第14 天完成到总工
程的一半，则按照这种进度完成全部工程所用的天数比由甲单独完成这项工程少用的天数是：
A.12 天
B.20 天
C.18 天
D.16 天
【例14】赵、钱、孙3 人共同完成一项工程，赵、钱合作8 天完成工程的40%，钱、孙合
作2 天完成工程的20%，然后3 人合作3 天完成剩余工程，3 人工作效率由高到低的排序：
A.孙、赵、钱
B.钱、赵、孙
C.赵、孙、钱
D.孙、钱、赵
【例15】某小微企业接到三个相同的订单，赵、钱、孙、李四位师傅单独完成一个，分别
需20 小时、20 小时、15 小时和12 小时。现钱、孙、李各负责一个订单，赵根据需要协助他们
完成任务。若要三个订单同时完工且用时最短，则赵协助钱的时间是：
A.8 小时
B.7 小时
C.6 小时
D.5 小时
【例16】工厂甲、乙、丙3 条生产线共同完成一项任务，甲、丙先合作两天，完成了全部
任务的1/3，接着乙、丙合作两天完成剩下任务的45%，最后甲、乙合作2 天恰好完成剩余任
务。问甲完成的部分占全部任务的：
A.4/15
B.1/3
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C.2/5
D.3/5
【例17】某企业生产一批产品，计划在42 天内完成。先由甲、乙车间共同生产，12 天后
甲车间完成总任务的10%，乙车间完成总任务的15%。乙车间因设备整修，此后只能以80%的
效率工作。为按时完成任务，丙车间此时新加入工作。问其产能至少应是甲车间的：
A.100%
B.80%
C.60%
D.50%
【例18】某工厂加工一批定制口罩，计划15 天完成，做完第5 天时订货方要求追加50%
的订货量，且最多延迟5 天交货。问工厂的工作效率至少需要提高：
A.
1
3
B.
1
4
C.
1
5
D.
1
6
【例19】一游泳池有进出水管各一根。单独开放进水管20 分钟可注满全池，单独开放出
水管40 分钟可放空满池水。一次注水2 分钟后发现出水管并未关闭，及时关闭出水管后继续注
水。那么再需（）分钟可注满游泳池。
A.18
B.18.5
C.19
D.20
【例20】甲、乙、丙共同编制一标书，前三天3 人一起完成了全部工作量的1/5，第四天
丙没参加，甲、乙完成了全部工作量的1/18，第五天甲、丙没参加，乙完成了全部工作量的
1/90，从第六天起三人一起工作直到结束，问这份标书的编制一共用了多少天？
A.13
B.14
C.15
D.16
【效率型】
【例1】一个工程的施工有甲、乙、丙和丁四个工程队供选择。已知甲、乙、丙的效率比
为5:4:3，如果由丁单独施工，比由甲单独施工用时长4 天，比由乙单独施工用时短5 天。问四
个队共同施工，多少天可以完成（不足1 天的部分算1 天）？
A.10
B.11
C.12
D.13
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100
【例2】甲、乙、丙和丁四辆载重不同的卡车运输一批货物，其中甲的载重是乙的2 倍，
是丙的3 倍，是丁的1.5 倍。如果甲和丁一起运货，各跑10 次正好能运完所有货物。如果乙和
丙一起运货，且乙每小时运一趟、丙每半小时运一趟，问需要多少小时才能运完所有货物？
A.14
B.14.5
C.15
D.15.5
【例3】某新建农庄有一项绿化工程，交给甲乙丙丁四人合作完成，已知四人的效率比为
3∶5∶4∶6，甲乙合作完成所需时间比丙丁合作多9 天，则四人合作完成工程所需时间是：
A.17 天
B.18 天
C.19 天
D.20 天
【例4】某项工程由工作效率相同的甲、乙两工程队承担。若甲、乙两队合作，工期可提
前5 天；若两队先合作6 天，余下的由甲队单独做，恰好也能按工期完成。则该工程的工期是
（ ）。
A.14 天
B.15 天
C.16 天
D.18 天
【例5】某市有甲、乙、丙三个工程队，工作效率比为3∶4∶5。甲队单独完成A 工程需要
25 天，丙队单独完成B 工程需要9 天。现由甲队负责B 工程，乙队负责A 工程，而丙队先帮
甲队工作若干天后转去帮助乙队工作。如希望两个工程同时开工同时竣工，则丙队要帮乙队工
作多少天？
A.6
B.7
C.8
D.9
【例6】甲、乙、丙三人工作的效率比为7∶9∶8，现将A、B 两项工作量相同的工程交给这
三个人，甲负责A 工程，乙负责B 工程，丙作为机动参与A 工程若干天后转而参与B 工程，
两项工程同时开工，耗时8 天同时结束，问丙在A 工程中参与施工多少天？
A.3
B.4
C.5
D.6
【例7】甲乙丙三人完成同一幅拼图的时间分别需要1 小时、1.2 小时、1.5 小时。现在有
两幅拼图需要甲、乙完成，两人同时开始，丙刚开始帮助甲拼拼图，后来又帮助乙拼，最后两
个拼图同时完成。问：丙分别帮助甲、乙多长时间？
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101
A.0.1 小时、0.3 小时
B.0.3 小时、0.5 小时
C.0.5 小时、0.6 小时
D.0.6 小时、0.2 小时
【间接效率】
【例8】某绘图工作交由水和火二人完成，若两人一同工作了6 天，剩下的工作量水需要
三天或者火需要两天才能完成。现在水和火一起工作了4 天，则剩下的工作水单独完成，还需
要（）天。
A.5
B.6
C.7
D.8
【例9】一项工程由甲、乙、丙三个工程队共同完成需要15 天，甲队与乙队的工作效率相
同，丙队3 天的工作量与乙队4 天的工作量相当。三队同时开工2 天后，丙队被调往另一工地，
甲、乙两队留下继续工作。那么，开工22 天以后，这项工程：
A.已经完工
B.余下的量需甲乙两队共同工作1 天
C.余下的量需乙丙两队共同工作1 天
D.余下的量需甲乙丙三队共同工作1 天
【例10】有一项工程，甲公司花6 天，乙公司再花9 天可以完成；或者甲公司花8 天，乙
公司再花3 天可以完成。如果这项工程由甲公司或乙公司单独完成，则甲公司所需天数比乙公
司少（ ）天。
A.15
B.18
C.24
D.27
【例11】有甲、乙、丙三个工作组，已知乙组2 天的工作量与甲、丙共同工作1 天的工作
量相同。A 工程如由甲、乙组共同工作3 天，再由乙、丙组共同工作7 天，正好完成。如果三
组共同完成，需要整7 天。B 工程如丙组单独完成正好需要10 天，问如由甲、乙组共同完成，
需要多少天？
A.不到6 天
B.6 天多
C.7 天多
D.超过8 天
【例12】用A、B、C 三种不同型号的挖掘机完成一项土方工程，A 型5 台和B 型4 台一
起挖2 天正好完成；A 型10 台和C 型12 台一起挖1 天正好完成；B 型2 台和C 型3 台一起挖4
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
102
天正好完成。若先用A 型1 台工作5 天，再用B 型2 台工作2 天，最后用C 型3 台完成剩下的
工程，则完成该项工程共需的天数为：
A.8
B.9
C.10
D.11
【例13】甲和乙两个工厂分别生产x 件某种产品，甲工厂每天比乙工厂多生产20 件。甲
工厂25 天后正好完成自己的生产任务，随后立刻开始帮助乙工厂生产。所有生产任务完成时，
甲工厂正好帮乙工厂生产300 件产品。问x 的值为：
A.1000
B.1200
C.1300
D.1500
【例14】一批药品需要检测，若第一天由甲检测，第二天由乙检测，按此方式交替，完成
的天数为整数。若第一天由乙检测，第二天由甲检测，按此轮替，那么在按前者轮流方式完工
的天数后，还有56 个药品未检测。已知甲、乙工作效率之比为9∶5。问甲每天检测多少个药品？
A.72
B.99
C.112
D.126
【例15】规定两人轮流做一批零件，第一个人先做一个小时，第二个人做一个小时，然后
再由第一个人做一个小时，然后又由第二个人做一个小时，如此反复，做完为止。如果甲、乙
轮流做完该批零件需要9.8 小时，而乙、甲轮流做完该批零件只需要9.2 小时，则乙单独做需：
A.4.85 小时
B.5.15 小时
C.6.05 小时
D.7.25 小时
【效率变化型-例16】A、B 两台高性能计算机共同运行30 小时可以完成某个计算任务。
如两台计算机共同运行18 小时后，A、B 计算机分别抽调出20%和 50%的计算资源去执行其他
任务，最后任务完成的时间会比预计时间晚6 小时。如两台计算机共同运行18 小时后，由B 计
算机单独运行，还需要多少小时才能完成该任务？
A.22
B.24
C.27
D.30
【例17】在某应急救援作业中，假设每台机器工作效率相同，如果两台机器配合作业，效
率分别提高25%，而三台机器同时合作，每台效率各自提高50%。甲、乙、丙三台机器依次投
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
103
入救援，直到救援完成。已知甲救援时间为60 分钟，乙救援时间为甲的1/2，而丙救援时间为
乙的1/3，问仅有一台机器完成该救援作业需要多少分钟？
A.120
B.125
C.130
D.150
【例18】甲、乙两人同时加工一批零件，速度比为3:2，当两人共同完成总任务的一半后，
甲生产速度降低20%，乙生产速度提高20%，当甲完成总任务的一半时，还剩100 个零件未加
工，问这批零件总数在以下哪个范围内?
A.不到500 个
B.500～800 个
C.801～1200 个
D.超过1200 个
【例19】甲和乙两个工程队共同承担某项工程的施工任务，两队合作时各自的效率均比单
独施工时高20％。已知两队合作施工需要25 天完工；如甲先施工15 天后乙加入，两队合作15
天后剩余工作乙单独施工还需要10 天完成，问甲队的效率是乙队的多少倍？
A.3/2
B.4/3
C.1/2
D.2/3
【例20】甲、乙二人合作计划30 天完成一项工程，甲的工作效率是乙的2 倍。两人合作
10 天后，甲的效率提升25%，乙的效率提升50%。又工作10 天后，乙因其他任务撤出，甲单
独完成剩余任务。问最终工作比预计时间：
A.早2 天
B.晚2 天
C.早4 天
D.晚4 天
【例21】某种商品有小箱和大箱两种包装，一大箱这种商品有400 件，张和王同时开始制
造这种商品，制造一小箱和一大箱这种商品后，张比王多做50 件。如果王此时的效率提高
100%，并与张再共同制造一大箱这种商品，则王制造的总件数比张多50 件。问一小箱这种商
品有多少件？
A.50
B.100
C.150
D.200
【赋1 型-例22】某酒店14 名员工需要2 个小时清理完所有房间，如果要将这个时间缩短
1 刻钟，那么需增加 名员工（假设每位员工的工作效率相同）。
A.1
B.2
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C.3
D.4
【例23】建筑公司安排100 名工人去修某条路，工作2 天后抽走30 名工人，又工作了5
天后再抽走20 名工人，总共用时12 天修完。如果整条路希望在10 天内修完，且中途不得增减
人手，则要安排多少名工人？
A.80
B.90
C.100
D.120
【例24】某工程50 人进行施工。如果连续施工20 天，每天工作10 小时，正好按期完成。
但施工过程中遭遇原料短缺，有5 天时间无法施工，工期还剩8 天时，工程队增派15 人并加班
施工。若工程队想按期完成，则平均每天需工作（ ）小时。
A.12.5
B.11
C.13.5
D.11.5
【例25】修一条公路，假设每人每天的工作效率相同，计划180 名工人1 年完成，工作4
个月后，因特殊情况，要求提前2 个月完成任务，则需要增加工人多少名?
A.50
B.65
C.70
D.60
【例26】有两堆材料需要搬运。工人先搬了第一堆材料的一半，然后分出3/5 的人手去搬
第二堆材料，其余工人继续搬第一堆。当第二堆材料刚好搬完时，第一堆材料还剩下10%没搬。
则第二堆材料的数量比第一堆少：
A.40%
B.50%
C.55%
D.60%
【例27】某超市设有10 个人工收银台。周末10 个收银台全开，顾客结账平均排队20 分
钟。为提高效率，超市撤了4 个人工收银台，并改造为6 个自助收银台。若自助收银的效率是
人工收银效率的90%。改造后，周末当人工收银台和自助收银台全开，预计顾客结账平均排队
耗时约为 。
A.12 分钟
B.14 分钟
C.16 分钟
D.18 分钟
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105
【例28】泳池进出水用的机器，往泳池里注水时，每工作30 分钟，停3 分钟；把泳池里
的水抽空时，每工作30 分钟，停5 分钟，抽水的速度是注水速度的2 倍，如果把泳池水抽完用
了2 小时50 分钟，那么把泳池里注满水用的时间是多少？
A.4 小时17 分钟
B.5 小时27 分钟
C.5 小时36 分钟
D.5 小时41 分钟
【例29-定积增减】一批零件如果全部都交由甲厂加工，正好在计划时间完成，如果全部
交由乙厂加工，要超过计划时间5 天才能完成，如果甲乙两厂合作加工3 天，再由乙厂单独加
工，正好也是在计划时间完成，则加工完这批零件计划时间是（ ）天
A.5
B.7
C.7.5
D.8.5
【例30】甲、乙两企业合作完成某订单需要x 天。如果甲企业产能增加50%而乙企业不变，
可提前2 天完成；如果乙企业产能增加300%而甲企业不变，可提前4 天完成。问x 的值是：
A.6
B.8
C.10
D.12
【综合型】
【例1】甲乙两个工程队共同修建一段长为2100 千米的公路，甲队每天比乙队少修50 千
米，甲队先单独修3 天，余下的路程与乙队合修6 天完成，则乙队每天所修公路的长度是
A.135 千米
B.140 千米
C.160 千米
D.170 千米
【例2】甲企业有两台新旧程度不同的设备A 和B，两台设备同时运作10 小时可生产出
920 件零件，已知新设备A 生产速度是旧设备B 生产速度的1.3 倍，设备A 每小时能生产出（ ）
件零件。
A.52
B.40
C.30
D.35
【例3】收割一片稻田，可选择甲、乙、丙3 台农机。用丙收割的用时比用甲短4 小时，
比用乙长2 小时。已知甲、乙的收割速度分别为5 亩/小时和9 亩/小时，那么丙的收割速度在以
下哪个范围内?
A.小于6 亩/小时
B.6~7 亩/小时
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106
C.7 ~8 亩/小时
D.大于8 亩/小时
【例4】甲、乙、丙三名员工共同修剪6060 平方米草地，甲的修剪效率为30 平方米/分钟，
乙的修剪效率为40 平方米/分钟，丙的修剪效率为60 平方米/分钟。上午，甲7 点30 分开始修
剪，乙7 点45 分开始修剪，丙8 点15 分开始修剪，他们同一时间完成工作，乙用了（ ）
分钟。
A.56
B.57
C.58
D.59
【例5】制作一批风筝，甲需要12 天完成，乙需要18 天完成。两人共同制作，完成时甲
比乙多制作72 个。如果按“甲制作一天、乙制作两天”的方式重复下去，当制作完成时，甲制作
的风筝有（ ）个。
A.140
B.145
C.150
D.160
【例6】轨道交通公司定期进行轨道检修工作，甲、乙两个工程队合作进行需4 小时完成，
甲队单独完成比乙队单独完成快15 小时，则甲队单独完成需要的时间是：
A.5 小时
B.6 小时
C.7 小时
D.8 小时
【例7】一项工作甲独立完成需要3 小时，乙独立完成的用时比其与甲合作完成多4 小时，
且乙和丙合作完成需要4 小时。问丙独立完成需要多少小时？
A.6
B.8
C.10
D.12
【例8】甲和乙两家工厂各开一条产量为250 件/天的生产线，完成相同数量的某种产品生
产任务。完成部分生产任务后，供货商向乙工厂追加了相当于两家工厂当前已完成任务总量的
订单。此时乙工厂增开一条产量为200 件/天的生产线，生产10 整天后与甲工厂同时完成任务。
问供货商是在开始生产多少天后追加的订单？
A.2
B.4
C.6
D.8
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
107
【例9】某印刷厂原计划用全自动装订机花费4 小时装订一批文件，但在还剩300 份文件
时装订机出现故障，无法装订。印刷厂立即安排了部分员工进行人工装订，由于人工装订的总
效率仅为机器的20%，最终比原计划推迟1 小时完成装订。则这批文件共有（ ）份。
A.2400
B.3600
C.4800
D.5600
【例10】甲乙丙丁四个建筑队分别承担相同的施工任务。由于设备原因，当甲乙丙同时开
工时，丁已经干了若干天。经过一番努力，甲用3 天，乙用5 天，丙用8 天，赶上了丁的进度。
已知甲的效率是12，乙的效率是8，则丙的效率是（ ）。
A.4
B.4.5
C.5.75
D.7.5
【例11】甲、乙两个工程队需要在规定的工期内完成某项工程。若甲、乙两队合作，则恰
好能按期完成；若甲的效率提高1/3，乙的效率提高1/2，则用原定工期的5/7 即可完成；若乙
的效率降低1/4，则需要推迟2 天才能完成。那么，该工程原定的工期为多少天?
A.10 天
B.12 天
C.16 天
D.18 天
【例12】一项工程，如果小王先单独干6 天后，小刘接着单独干9 天可完成总任务量的
2/5；如果小王单独干9 天后，小刘接着单独干6 天可完成总任务量的7/20。则小王和小刘一起
完成这项工作需要多少天？
A.15
B.20
C.24
D.28
【定积增减-例13】某工程队承担一项工程，由于天气原因，工期将延后10 天。为了按期
完工，需增加施工人员。若增加4 人，工期会延后4 天；若增加10 人，工期将提前2 天。假设
每人工作效率相同，为确保按期完工，则工程队最少应增加的施工人员数是：
A.6
B.7
C.8
D.9
【统筹型】
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108
【例1】有甲、乙两项工程，张师傅单独完成甲工程需6 天，单独完成乙工程需30 天，李
师傅单独完成甲工程需18 天，单独完成乙工程需24 天，若合作两项工程，最少需要的天数为：
A.16 天
B.15 天
C.12 天
D.10 天
【例2】甲、乙两个工程队共同完成A 和B 两个项目。已知甲队单独完成A 项目需13 天，
单独完成B 项目需7 天；乙队单独完成A 项目需11 天，单独完成B 项目需9 天。如果两队合
作用最短的时间完成两个项目，则最后一天两队需要共同工作多长时间就可以完成任务？
A.1/12
B.1/9
C.1/7
D.1/6
【例3】有甲乙两个工程队负责某小区主干道维修及墙面粉刷。主干道维修，如果两个工
程队合作，30 天完成，若乙工程队单独进行，105 天完成；粉刷墙面，若两个工程队合作，28
天完成，若甲工程队单独做，140 天完成。如果两项工作两个工程队共同分工合作，最少需要
多少天?
A.34
B.35
C.40
D.41
【例4】甲、乙两家园林公司共同完成两个项目。已知甲公司单独完成项目Ⅰ需要3 天，单
独完成项目Ⅱ需要12 天；乙公司单独完成项目Ⅰ需要5 天，单独完成项目Ⅱ需要8 天。并且甲公
司在开工后的第2 天，因故停工1 天，那么，两家公司共同完成两个项目最少需要多少天？
A.6
B.6
2
5
C.6
27
40
D.6
9
10
【例5】将A、B 两个工程交给甲、乙两个工程队实施，已知A 工程甲、乙合作需14 小时
完成，甲单独需18 小时完成；B 工程甲、乙合作需18 小时完成，乙单独需30 小时完成。问如
两个工程队同时开始工作且在完成所有工程之前中途不休息，则完成时间最长和最短的实施方
案，完成时间相差:
A.不到10 小时
B.10—15 小时之间
C.15—20 小时之间
D.超过20 小时
【例6】某项工作可雇佣甲、乙两人完成。若以"甲工作3 天、乙工作2 天"的顺序轮流加
工，则需25 天完成，共支付工费3300 元;若以"乙工作3 天、甲工作4 天"的顺序轮流加工，则
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109
需24 天完成，共支付工费3240 元。现不采用轮流加工的方式，要想在18 天内完成这项工作，
则最少需要支付多少工费（不足1 天按1 天计算）?
A.3600 元
B.3210 元
C.3060 元
D.3000 元
【例7】某服装厂有甲、乙两个生产车间，甲车间每天能制作上衣20 件或裤子25 条；乙
车间每天能制作上衣18 件或裤子24 条。现在要让上衣和裤子配套（一件上衣和一条裤子合为
一套衣服），两个车间合作21 天最多能制作衣服多少套？ （ ）
A.456
B.504
C.525
D.600
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110
（二）经济利润问题
【学前筑基】
（1）熟悉本章公式：
利润=售价－成本=成本×利润率；利润率=
售价−成本
成本
；
售价=利润×（1+利润率）=定价×折扣
总利润=总售价－总成本=单利×销量。
①2022 年某商品进价为100 元，售价为150 元，到2023 年时，该商品进价为80 元，在售
价不变的情况下，
求2022 年该商品的利润：__________元；利润率为：_________；
求2023 年该商品的利润：__________元；利润率为：_________；
②某商场柜台销售一款时装，若将进价的20%作为利润，则销售价为240 元，求该时装的
成本：____________；若该款时装销售价为300 元时，此时利润率为：_________。
③某件商品进价为20 元，售价为30 元，共售出40 件，则总利润为：__________。
④某种蔬菜进价5 元/斤，售价10 元/斤，当天卖不完的蔬菜不再出售。过去7 天里，菜商
共购进该种蔬菜700 斤，其中售出650 斤，这7 天菜商共赚了多少元钱？
若利用总售价－总成本，可表示为：___________
若利用单件利润×销量，可表示为：___________
⑤一件商品成本为100 元，商家一开始以获利50%来定价，出售一段时间后打八折促销，
求一开始的定价为：__________；促销价为：____________。
⑥某商品按20%利润定价，然后按8.8 折卖出，共获得利润84 元，求商品的成本是_____
元？
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111
⑦一批商品进价10 元/个，按期望获得50%的利润来定价，结果只销售掉7 个，为尽早销
售掉剩下的3 个，商店决定按定价8 打折出售，这样所获得的全部利润为：___________
（2）熟悉解题步骤中需要用到的其他考点：
①列表法：
单价商品：
成本
定价
售价
利润
a.一台全自动咖啡机打八折销售，利润为进价的60%，若设成本为x，表示其他变量：
多件商品：
成本
售价
利润
销量
打折前
打折后
②赋值法：赋值成本、销量；多应用于利润率、部分打折类问题；
b.有一批商品以70%的利润出售，售出80%后，剩下的商品全部以5 折出售，求商品的最终利
润率：_________
成本
售价
利润
销量
打折前
100
170
70
8
打折后
85
﹣15
2
【分析】：
总利润=单件利润×销量，题干中单件利润和销量都没有给具体量，因此赋值两次；
成本×（1+期望利润率）=售价，售价－成本=利润，通过赋值成本→售价→利润，三者赋值一个
即可，一般优先赋值成本。
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112
【考点筑基】
题型1：基本公式类：
（1）一般从成本入手，依次表示售价、利润、销量；
成本×（1+利润率）=售价 售价－成本=利润 利润×销量=总利润
1.利润＝售价-成本=成本×利润率
2.利润率=
利润
成本=
售价-成本
成本
=
售价
成本-1
3.定价×折扣=售价
4.总售价＝单件售价×销售量=未打折收入+打折后收入
5.总利润＝总售价-总成本=单件利润×销售量。
（2）部分打折类：列表法、赋值法
题型二：分段计费类：
第一步：画出分段区间
第二步：表示每段的费用
题型三：统筹优化
(1)一元二次函数型：Y=(a-nx)(b+mx),当x=
𝑥1+𝑥2
2
(2)多主体运输型：列表分析每个主体运输的均价
（3）其他统筹型
【母题提升】+【能力扩展】
第一节【基本公式类】
【单件商品】
【母题1】小明新进一批服装，每件以30%的利润定价，销售时打7 折，结果每件亏9 元，
则小明购进每件服装的成本是多少元？
A.115
B.100
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113
C.150
D.160
【识别】题干给出成本、定价、折扣、利润，求每件的成本，为单件商品问题，列表：
【步骤】设成本为x，按表格提示填空：
【母题2】一台全自动咖啡机打八折销售，利润为进价的60%，如打七折出售，利润为50
元。则这台咖啡机的原价是多少元？
A.250
B.240
C.210
D.200
【识别】题干给出成本、定价、折扣、利润，求每件的定价，为单件商品问题，列表：
【步骤】设成本为x，按表格提示填空：
【母题3】某商品的成本比原来增加10%,但是仍保持原售价，致使商品的成本占售价
的百分比高达82.5%，那么该商品的利润下降了多少?
A.20%
B.25%
C.30%
D.35%
【识别】题干给出成本、售价的关系，没有给出具体数据，赋值求解。
【步骤】赋值售价为100
现成本：__________；现利润：___________。
原成本：__________；原利润：___________。
【多件商品】
【母题4】某种蔬菜进价5 元/斤，售价10 元/斤，当天卖不完的蔬菜不再出售。过去7
天里，菜商每天购进该种蔬菜100 斤，其中有4 天卖完，有2 天各剩余20 斤，有1 天剩余
10 斤，这7 天菜商共赚了多少元钱？
A.2950
B.3000
C.3250
D.3500
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114
【识别】题干给出成本、售价、销量的具体量，求解总利润，为多件商品的问题。
【步骤】
①总售价：_______________；总成本：_________________；总利润：___________。
②单件利润：____________ ；没有售出的成本：_____________ ；总利润：
_____________。
【母题5】商店销售某种商品，打八折销售时卖2 件的利润与按定价销售时卖1 件的
利润相同，相当于降价120 元/件销售时卖3 件的利润。问该商品的定价为多少元/件？
A.360 B.450
C.540 D.720
【识别】题干给出成本、定价、售价、销量，求解定价，为多件商品的问题。
【步骤】设成本为x，定价为y，
按原价__________________=打八折__________________=按降价
___________________
【利润率型】
【母题6】商场里某商品成本上涨了20%，售价只上涨了10%，毛利率（利润/进货价）
比以前的下降了10 个百分点。问原来的毛利率是多少？
A.10%
B.20%
C.30%
D.40%
【识别】题干给出成本、售价、前后两次的利润率变化量，题干只知道利润率的变化
量，可赋值一次。
【步骤】赋值成本为10，售价为x，根据利润率=
售价−成本
成本
=
售价
成本−1
原来利润率：_____________；现在利润率：__________________。
原来利润率－现在利润率=10%，列式为：_______________________
【能力扩展】
（1）
售价1−成本1
成本1
−
售价2−成本2
成本2
= 百分数的解题方法如下：上述方程转化为：
售价1
成本1
−
售价2
成本2
= 百分点；
（2）利用两期比重差公式：
现期售价
现期成本×
售价增长率−成本增长率
1+售价增长率
= 利润率差
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115
【部分打折】
【母题7】某种商品原价25 元，每半天可销售20 个。现知道每降价1 元，销量即增
加5 个。某日上午将该商品打八折，下午在上午价格的基础上再打八折出售，问其全天销
售额为多少元？
A. 1760
B. 1940
C. 2160
D. 2560
【识别】上午、下午打折出售
【步骤】
【母题8】超市销售某种水果，第一天按原价售出总量的60%，第二天原价打8 折售
出剩下的一半，第三天按成本价全部售出。若销售全部该水果的利润率为34%，则该水果
按原价销售的利润率为：
A.68%
B.51%
C.50%
D.36%
【识别】总量的60%、总量的20%、总量的20%，分三次出售，每次的售价不同；
【步骤】成本、售价、销量的具体数值没有给出，通过赋值，
三次的利润之和：（ ）+（ ）+（ ）=10×10×34%。
【能力扩展】
①赋值几次的问题：（部分打折问题研究就是成本、售价、销量，其中成本和售价只
能赋值一个，因为售价－成本=利润，若同时对成本和售价赋值，那利润就是固定量了）。
若题干中没有一个具体的量，一般赋值两次：成本和销量；若题干有关于利润（收
入）或销量的具体量，一般赋值一次：成本。
②怎么列等量关系：看最后的条件
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116
a.根据利润列：表示打折前后的总利润，与原利润建立等量关系。
b.根据售价列：表示打折前后的总售价，与原售价或原利润建立等量关系。
【母题9】服装店买进一批童装，按每套获利50%定价卖出这批童装的80%后，按定
价的八折将剩下的童装全部卖出，总利润比预期减少了390 元。问服装店买进这批童装共
花了多少元？
A. 5500
B. 6000
C. 6500
D. 7000
【步骤】
【母题10】某仓库有一批货物以75%的利润率出售，售出90%后，剩下的货物全部以
6 折出售，那么这批货物的最终利润率为：
A.68%
B.62%
C.54%
D.51%
【步骤】
第二节 【分段计费】
【母题11】假设个人出版著作所得稿费纳税方法如下：（1）稿费不超过800 元不纳税；
（2）超过800 元但不超过4000 元的部分纳税10%；（3）超过4000 元的部分纳税15%。已
知张教授出版一部著作，纳税620 元，则张教授的这笔稿费是多少元？
A.9000
B.8000
C.7000
D.6000
【步骤】
①画分段区间： 0---------800---------4000----------
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117
②表示每个区间的费用： （ ） + （ ） + （ ）=620
【母题12】某地居民用水价格分二级阶梯，户年用水量在0~180（含）吨的水价5 元/
吨；180 吨以上的水价7 元/吨。户内人口在5 人以上的，每多1 人，阶梯水量标准增加30
吨。老张家5 人，老李家6 人，去年用水量都是210 吨。问老李家的人均水费比老张家少
约多少元？
A.12
B.35
C.47
D.60
【步骤】
老李家；
①画分段区间：
②表示每个区间的费用：
老张家；
①画分段区间：
②表示每个区间的费用：
【母题13】某游乐园提供打折的团体门票。当团队人数低于50 时，票价为10 元/人；
团队人数在51—100 时，票价为8 元/人；团队人数超过100 时，票价为5 元/人。某校甲班
有50 多人，乙班不足50 人，如果以班为单位分别购买门票，两个班一共应付944 元；如
果两个班联合起来作为一个团体购票，一共要付530 元。问乙班有多少人？
A.46
B.47
C.48
D.49
【步骤】
①画分段区间：0-------50-------100--------
②确定甲班和乙班合并后的人数之和在哪个区间：
③列方程组：
甲+乙=
甲×8+乙×10=944
【能力扩展】
确定人数和问题：
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
118
用总费用÷每个区间的单价，不能整除的要排除，例如：
530
8 不是整数，
530
5 = 106
【母题14】汪先生乘飞机需托运69 千克行李，应付行李超重费735 元，后在候机室
内巧遇2 位没有托运行李的好友，他们也乘同一个航班，于是汪先生就将行李作为三人共
有，因而只需付135 元行李超重费，那么每位乘客可免费托运行李 千克。
A.20
B.18
C.16
D.15
【步骤】
方法一：设免费拖运行李x 克，超过部分的单价为y 元，则：
__________________=735；
__________________=135。
方法二：思考两次付费减少原因：
第一步：多了两个免费的部分=减少的费用=735－135=600，则免费拖运的行李为300
元。
第二步：若没有免费的拖运，则69 千克需要的费用为735+300，可得单价=
735+300
69
【母题15】某商场开展购物优惠活动：一次购买300 元及以下的商品九折优惠；一次
购买超过300 元的商品，其中300 元九折优惠，超过300 元的部分八折优惠。小王购物第
一次付款144 元，第二次又付款310 元。如果他一次购买并付款，可以节省多少元？
A.16
B.22.4
C.30.6
D.48
【步骤】
第一步：计算两次商品的原价：
第二步：分开买和合并买，哪些部分会导致节省：
【能力扩展】
分开合并类问题：关键在于两次购买是哪个部分导致省钱了
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119
第三节 【统筹优化】
【一元二次函数型】
【母题16】北京冬奥会期间，冬奥会吉祥物“冰墩墩”纪念品十分畅销。销售期间某商
家发现，进价为每个40 元的“冰墩墩”，当售价定为44 元时，每天可售出300 个，售价每
上涨1 元，每天销量减少10 个。现商家决定提价销售，若要使销售利润达到最大，则售价
应为：
A.51 元
B.52 元
C.54 元
D.57 元
【识别】售价增长，销量降低，求总利润最大
【步骤】设售价上涨x 次，
第一步：涨价后的利润：_________ ，涨价后的销量：_________ ，总利润
y=__________。
第二步：令y=0,解出𝑥1 =_______，𝑥2 =_______，
第三步：x=
𝑥1+𝑥2
2
取到最大利润。
【能力扩展】
一元二次函数型：Y=(a-nx)(b+mx),令y=0 当x=
𝑥1+𝑥2
2
时取到最大值。若计算出的结果不
是整数，则越接近
𝑥1+𝑥2
2
的整数，结果越大。
【二元一次线性目标函数型】
【母题17】某电商公司计划运送180 台液晶电视和110 台空调到位于A 地的仓库，现
在可使用两种火车，甲种火车每辆最多可载40 台液晶电视和10 台空调，乙种火车每辆最
多可载20 台液晶电视和20 台空调，已知甲、乙两种火车运送一次的费用分别是800 元和
720 元，则运费最少只需花费（ ）元。
A.5000
B.5180
C.5200
D.5240
【识别】甲乙两个主体运送不同物品，且限定物品的数目，求最低费用
【步骤】设甲需要x 辆，乙需要y 量
第一步：根据电视和空调总量列出约束条件：40x+20y≥180，10x+20y≥110；
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
120
第二步：确定目标函数：Z=800x+720y，求Z 最小值
第三步：乙车比甲车便宜，所以先考虑乙车；化简得：y≥4
1
3，且y 均是整数，则y＝5，
x=2，
第四步：代入Z=800x+720y=800×2+720×5=5200。
【能力扩展】
线性规划型：
第一步：确定线性约数条件：𝑎1x+𝑏1y≥𝑐1，𝑎2x+𝑏2y≥𝑐2 ；
第二步：确定目标函数：Z=𝑎3x+𝑏3y，即𝑏3y=﹣𝑎3x+Z
第三步：画出可行域：一般取到C 点时为答案。
【注】当x=0 时，Z 为目标函数在y 轴的交点。
【装载运输型】
【母题18】某公司需要将A、B 两地的同一产品运往甲、乙两个工厂。已知A、B 两
地分别有该产品500 吨和700 吨，甲、乙两个工厂对该产品的需求量均为600 吨，若从A
地出发运往甲、乙两个工厂的运价分别为150 元／吨和130 元／吨，从B 地出发的运价分
别为160 元／吨和145 元／吨，则完成此项运输任务的运费最少是：
A.174000 元
B.174500 元
C.175000 元
D.175500 元
【识别】题干分别给出了A、B 运输到甲乙两地的单价，求解最低运费
【步骤】列表法：
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121
方法一：若两个主体最省钱的方案去的是同一个地方，则需要考虑哪个相对优势更明
显。
甲
乙
A
150
130
B
160
145
A:乙→甲多花150－130=20 元；
B:乙→甲多花160－145=15 元；可知A 地运往乙工厂最划算
方法二：
甲
乙
A
X
500－x
B
600－x
100＋x
运输费为：150ｘ＋130（500-x）＋160（600－ｘ）＋145（100＋ｘ）＝17550＋
5x≥17550
【满减折扣型】
【母题19】某服装商场举行店庆优惠活动，全场商品满199 减100，满399 减200 元，
满599 减300 元，该服装商场平时全场5.5 折销售服装，小王买了价值680 元，440 元，
250 元服装各一件，那么参加店庆活动与平时相比：
A.少花了16.5 元
B.多花了16.5 元
C.少花了15.5 元
D.多花了15.5 元
【步骤】
平时5.5 折需要支付：
按满减活动需要支付：
【方案型】
【母题20】某镇政府有工作人员104 人，他们在清明节前去烈士陵园缅怀革命先烈，
需全部坐船渡过一条河。已知大船可载客12 人，小船可载客5 人，大船和小船不论坐满与
否，都按满载算。若大船渡一次70 元，小船渡一次30 元，则他们渡河最节省的方案是：
A.7 只大船和4 只小船 B.2 只大船和16 只小船
C.6 只大船和2 只小船 D.1 只大船和20 只小船
【识别】题干分别给出大船和小船两种方案
【步骤】
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
122
第一步：计算人均费用：大船__________，小船___________。
第二步：设大船x 只，小船y 只，可得：12x+5y≥104，当x 不是整数时，分情况讨论
【强化飞跃】
【基本公式】
【单价商品】某消防器材销售中心购进一批进价为4000 元/台的消防泵，卖出的起始
原价为5500 元/台，折价销售后的利润率为5%，则此消防泵约按（）折销售。
A.6
B.7
C.7.6
D.8
【例2】某服装店进了一批短袖T 恤，每件进价40 元，以80 元出售。但由于极端天
气影响，这批T 恤大批量积压。现老板打算将这批T 恤打折处理，但要求利润率不低于
10%，则最多能打（ ）折出售。
A.4
B.5
C.5.5
D.6.5
【例3】某企业预计今年营业收入增长15%，营业支出增长10%，营业利润增加600
万元。已知该企业去年的营业利润为1000 万元，则其今年的预计营业支出是：
A.9000 万元
B.9900 万元
C.10800 万元
D.11500 万元
【例4】一款手机按2000 元单价销售，利润为售价的25%。若重新定价，将利润降至
新售价的20%，则新售价是：
A.1900 元
B.1875 元
C.1840 元
D.1835 元
【例5】超市采购一批食用油，其中玉米油每桶进价比花生油低20％，若花生油利润
定为进价的24％，玉米油利润定为进价的30％，则花生油比玉米油每桶售价高10 元。问
玉米油每桶比花生油进价低多少元？
A.10
B.15
C.24
D.25
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
123
【例6】某工厂生产冶金模具，去年按定价的80%出售，获得20%的利润率；今年由于工
厂迁址，使得成本下降。按原定价的75%出售，可获得25%的利润率。去年成本与今年成本之
比为（ ）。
A.4:3
B.10:9
C.16:9
D.75:64
【例7】某公司每月成本比上月增加10 万元，收入比上月增加20%。已知该公司今年1 月
份亏损10 万元，2 月份亏损8 万元，则该公司在今年（ ）月份可以第一次实现盈利。
A.3
B.4
C.5
D.6
【例8】某商场柜台出售一款小家电，如果按定价打九折出售可获得利润70 元，如果按定
价打九五折出售可获得利润100 元，这款小家电进货价格所在区间是
A.400-450 元
B.450-500 元
C.500-550 元
D.550-600 元
【例9】某水果采摘园门票为每人X 元，采摘水果20 元/斤，采摘满3 斤可免除一半门票
费用，采摘满5 斤可免除全部门票费用。已知采摘6 斤的价格是采摘2 斤价格的2 倍。问采摘
8 斤的价格比采摘4 斤多多少元?
A.70
B.80
C.90
D.100
【例9】甲、乙两件商品的成本共400 元，分别以25%、40%的利润定价，然后分别以定
价的9 折、8.5 折售出，共获得65.6 元的利润。乙的售价是多少元？
A.216.8
B.285.6
C.294.6
D.272.8
【多件商品】某商品成本为200 元，售价为292 元，公司根据市场情况调整了销售方案，
将售价调整为268 元，预计日销量将上涨15%。现欲通过改进生产线降低成本，以保持降价前
的单日利润，则单件产品的生产成本至少需要降低：
A.4%
B.5%
C.6%
D.8%
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124
【例11】某商品上月售价为进价的1.4 倍，销售m 件。本月该商品进价下降20% ，售价
不变，销售利润为上月的1.8 倍。那么本月的销量为多少件?
A.1.3m
B.1.25m
C.1.2m
D.1.15m
【例12】某早餐店试营业主打套餐每份成本8 元，售价26 元。当天卖不完的主打套餐不
再出售，在过去两天时间里，餐厅每天都会准备200 份主打套餐，第一天剩余20 份主打套餐，
第二天全部卖光。问这两天该早餐店主打套餐共盈余多少元？
A.6680
B.6840
C.7000
D.7160
【例13】蔬菜摊贩某日花费x 元购进蔬菜，上午、下午、傍晚分别按进货单价的150%、
130%、120%卖掉占总进货价值50%、20%、25%的蔬菜，并将剩下未卖的蔬菜送给养殖场。如
摊位成本为0.06x，则该摊贩当日盈利为：
A.0.2x
B.0.25x
C.0.3x
D.0.35x
【例14】某网店零售月季花，每束成本39 元、售价99 元，月销量800 束。现推出团购活
动，购买10 束及以上，每束售价59 元，预计零售销量减半，团购销量激增。若使原销售利润
不减，则月团购销量至少应是：
A.800 束
B.1000 束
C.1200 束
D.1500 束
【例15】某种农作物原来亩产为 600 千克，改进种植技术后，亩产增加100 千克，且
由于品质改善，每千克的售价提高 1 元，每亩产值比之前增加1100 元。则原来每亩产值是
多少元?
A.1800
B.2100
C.2400
D.2700
【例16】妇女节时，某饭店推出两种优惠方案，方案一为男士全价、女士打七折，方
案二为不分男女，只要三人以上就餐，总价就打八折。若两位男士和两位女士一同前来就
餐，方案一的总价比方案二的总价：
A.低12.5%
B.低6.25%
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125
C.高6.25%
D.高12.5%
【例17】超市经理为某商品准备了两种促销方案，第一种是原价打7 折，第二种是买
二件赠一件同样商品。经计算，两种方案每件商品利润相差0.1 元，若按照第一种促销方
案，则100 元可买该商品件数最大值是：
A.33
B.47
C.49
D.50
【例18】某种商品的售价是进价的1.4 倍，如果每件降价75 元，则销售80%的商品即
可回本。问这种商品如果在售价基础上打8 折，1 万元最多可以购买多少件？
A.15
B.17
C.19
D.21
【例19】甲、乙二人合伙成立公司，约定每年利润的60％留作公司发展用途，40％按二
人投资比例分配。已知公司成立第三年的利润比第二年高300 万元，是第一年利润的3 倍；甲
第二年分配的金额是第三年的一半，且比第一年多20 万元。问乙的投资额占比为多少？
A.40％
B.50％
C.60％
D.75％
【例20】有甲、乙两种咖啡豆，按照质量比a:b 相混合制成一种拼配豆，已知甲咖啡豆每
公斤60 元，乙咖啡豆每公斤50 元，现因产量变化，甲咖啡豆单价上涨15%，乙咖啡豆单价下
跌15%，以致该拼配咖啡豆的成本上调了5%，则a:b 为（ ）。
A.1:1
B.5:3
C.4:3
D.2:1
【例21】某商店进了5 件工艺品甲和4 件工艺品乙，如将甲加价110%，乙加价90%
出售，利润为302 元；如将乙加价110%，甲加价90%出售，利润为298 元。则甲的进价为
每件多少元？
A.14
B.32
C.35
D.62.5
【例22】张大爷用20000 元投资了一只股价为10 元的股票，两周后股票价格跌到6 元，
此时张大爷又买入该股票若干，当股票价格涨到12 元时张大爷卖出了所有股票。如不计税费的
话，张大爷交易这只股票总计获利16000 元，问张大爷第二次花了多少元买这只股票？
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126
A.6000
B.9000
C.12000
D.18000
【例23】吴老师到商店买篮球和足球共56 个。篮球每个定价90 元，足球每个定价80 元。
由于购买的数量较多，该商店老板就给吴老师八折优惠，结果吴老师付的钱比按定价买少付了
960 元，那么他买了（ ）个篮球。
A.24
B.26
C.30
D.32
【例24】小张到文具店采购办公用品，买了红黑两种笔共66 支。红笔定价为5 元，黑笔
的定价为9 元，由于买的数量较多，商店给予优惠，红笔打八五折，黑笔打八折，最后支付的
金额比原定价少18%，那么他买了红笔：
A.36 支
B.34 支
C.32 支
D.30 支
【多次买卖-例25】小张收购一台手机，然后转手卖出，赚取了30%的利润。一星期后，
客户要求退货。小张和客户达成协议，以当时交易价格的90%回收了这台手机，后来小张又以
最初的收购价格将其卖出。小张在这场手机交易中的利润率是多少？
A.27%
B.20%
C.17%
D.13%
【例26】有人用60 元买了一只羊，又以70 元的价格卖出；然后他又用80 元的价格买回
来，又以90 元的价格卖出去，在这只羊的交易中，他的盈亏情况是：
A.赔了10 元
B.赚了10 元
C.收支平衡
D.赚了20 元
【假钞问题-例27】甲卖服装，某件衣服进价100 元，定价150 元，国庆打八折促销，乙
手持两张100 元假币向甲购买该衣服，商家由于没有零钱将其中一张100 元假币与邻居换成零
钱，事后邻居发现钱是假的，甲又赔给邻居100 元，则甲因为卖给乙该件衣服亏损?
A. 100 元
B. 200 元
C. 180 元
D. 280 元
【例28】某商店有两个进价不同的计算器都卖了64 元，其中一个赢利60%，另一个亏本
20%。在这次买卖中，这家商店（ ）。
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127
A.不赔不赚
B.赚了8 元
C.赔了8 元
D.赚了32 元
【例29】某商场出售甲乙两种不同价格的笔记本电脑，其中甲电脑两次提价10%，乙电脑
连续两次降价10%，最后两种电脑均以9801 元售出各一台，与价格不升不降比较，则商场盈
亏情况是（）。
A.不赚不亏
B.少赚598 元
C.多赚980.1 元
D.多赚490.05 元
【利润率型】某商品的利润率是20%。如果进货价降低20%，售价保持不变，此时利润率
是多少？
A.40%
B.30%
C.60%
D.50%
【例2】某商品今年的成本比去年减少15%，由于售价不变，利润率比去年增加了24 个百
分点，则该商品去年的利润率为：
A.24%
B.30%
C.36%
D.42%
【例3】一商品的进价比上月低了5%，但超市按上月售价销售，其利润率提高了6 个百分
点，则超市上月销售该商品的利润率为：
A.12%
B.13%
C.14%
D.15%
【例4】商店经销某商品，第二次进货的单价是第一次进货单价的九折，而售价不变，利
润率比第一次销售该商品时的利润率增加了15 个百分点，则该商店第一次经销该商品时所定的
利润率是：
A.35%
B.20%
C.30%
D.12%
【例5】某品牌月饼进价比上月提高了4%，某商场仍按上月售价销售该品牌月饼，利润率
比上月下降了5 个百分点，那么该商场上月销售该品牌月饼的利润率是多少？
A.20%
B.25%
C.30%
D.32%
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128
【例6】若商品的进货价降低8%，而售出价不变，那么利润率（按进货价而定）可由目前
的p%增加到（p＋10）%。问p 的值是：
A.20
B.15
C.10
D.5
【部分打折】有一批商品以70%的利润出售，售出80%后，剩下的商品全部以5 折出售，
求商品的最终利润率（ ）。
A.50%
B.53%
C.46%
D.48%
【例2】一批商品，按期望获得50%的利润来定价，结果只销售掉70%的商品，为尽早销
售掉剩下的商品，商店决定按定价打折出售，这样所获得的全部利润，是原来所期望利润的
82%，问打了多少折扣？
A.4 折
B.6 折
C.7 折
D.8 折
【例3】某书店开学前新进一批图书，原计划按40%的利润定价出售，售出80%图书之后，
剩下的图书打折出售，结果所得利润比原计划少14%，则剩下的图书销售时按定价打了几折？
A.7
B.8.5
C.8
D.7.5
【例4】某家具店购进100 套桌椅，每套进价200 元，按期望获利50%定价出售。卖掉60
套桌椅后，店主为提前收回资金，打折出售余下的桌椅。售完全部桌椅后，实际利润比期望利
润低了18%。问余下的桌椅是打几折出售的？
A.七五折
B.八二折
C.八五折
D.九五折
【例5】某商店花10000 元进了一批商品，按期望获得相当于进价25%的利润来定价。结
果只销售了商品总量的30%。为尽快完成资金周转，商店决定打折销售，这样卖完全部商品后，
亏本1000 元。问商店是按定价打几折销售的？
A.九折
B.七五折
C.六折
D.四八折
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129
【例6】某商店进了一批饼干，并以高出进货价40%的价格出售。当这批饼干还剩10%时，
商店决定以定价打七折的优惠价促销。这样，实际所得纯利润比希望获得的纯利润少了15％。
按规定，这批饼干不论按什么价格出售，都必须上缴营业税300 元（税金与进货款一起作为成
本）。该商店进这批饼干用了：
A.1200 元
B.2000 元
C.2500 元
D.3000 元
【例7】某水果店销售一批水果，按原价出售，利润率为25%。后来按原价的九折销售，
结果每天的销售量比降价前增加了1.5 倍。则打折后每天销售这批水果的利润比打折前增加了
（ ）。
A.15%
B.20%
C.25%
D.30%
【例8】商店销售某种商品，在售出总进货数的一半后将剩余的打八折出售，销售掉剩余
的一半后在现价基础上打五折出售，全部售出后计算毛利润为采购成本的60%。问如果不打折
出售所有的商品，毛利润为采购成本的多少？
A.45%
B.60%
C.90%
D.100%
【例9】商店销售某种商品，先按定价卖了300 件，打七五折卖了200 件，后在此基础上
再打八折卖完了剩下的100 件，总利润为总成本的2/3。单件成本相当于单件定价的：
A.57%
B.54%
C.51%
D.48%
【例10】小张去机票代理处为单位团购机票10 张，商务舱定价1200 元/张，经济舱定价
700 元/张。由于买的数量较多，代理商就给予优惠，商务舱按定价的9 折付钱，经济舱按定价
的6 折付钱，如果他付的钱比按定价少31%，那么小张一共买了经济舱票的票数是：
A.7 张
B.6 张
C.9 张
D.8 张
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130
【分段计费】
【已知分段结点】某市出租车的计费方式如下：路程在2 公里以内（含2 公里）为8
元；达到2 公里后，每增加1 公里收费1.9 元；达到8 公里后，每增加1 公里收费2.1 元，
增加不足1 公里时按四舍五入计算。某乘客乘坐这种出租车交了44.6 元车费，则该乘客乘
坐此出租车行驶的路程为：
A.18 公里
B.19 公里
C.20 公里
D.21 公里
【例2】某智慧公共停车场的收费标准如下：停车不超过15 分钟，不收费；超过15
分钟但不超过60 分钟，按1 小时计，收费5 元；超过1 小时后，超过的部分按每30 分钟4
元收费（不足30 分钟，按30 分钟计）。若李先生支付停车费17 元，则他停车的时长可能
为：
A.2 小时
B.2 小时15 分钟
C.2 小时45 分钟
D.3 小时
【例3】李教授受某单位邀请作一次学术报告，得到劳务费1760 元。按规定，一次性
劳务费超过800 元的部分需要扣缴20%的税，则李教授的税前劳务费是：
A.2200 元
B.2000 元
C.1950 元
D.1900 元
【例4】为了节约水资源，某城市规定每人每月不超过5 吨，则按2.5 元/吨；超出5
吨的，超出部分按4 元/吨收费，每次收费时用水量都按整数计算。已知胡家3 口人，熊家
4 口人，某月月底结算时，胡家收费69.5 元，比熊家多交了15.5 元。那么熊家该月用了多
少吨水？
A.20
B.21
C.22
D.23
【例5】某商品的单位利润和进货量的大小相关，进货总额低于5 万元时利润率为5%，
低于或等于10 万元时，高于5 万元的部分利润率在10%，高于10 万元的部分利润率在
15%。问当进货量在20 万元时，一共有多少万元的利润？
A.1.75
B.2.25
C.3.15
D.4.05
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131
【例6】某市出租车收费标准是：5 千米内起步费10.8 元，以后每增加1 千米增收1.2
元，不足1 千米按1 千米计费。现老方乘出租车从A 地到B 地共支出24 元，如果从A 地
到B 地先步行460 米，然后再乘出租车也是24 元，那么从AB 的中点C 到B 地需车费（）
元。（不计等候时间所需费用）
A.12
B.13.2
C.14.4
D.15.6
【例7】某公司的工资制度规定：8 小时工作时间内工资为20 元/小时，加班费为30
元/小时，每月加班时间超过20 小时，超过部分为40 元/小时，某职工3 月份22 个工作日
全勤，税前工资为4800 元，问其3 月份工作时间共多少小时?
A.213
B.219
C.228
D.240
【未知分段结点】
【例8】某商城停车场实行按时长阶梯式收费，收费规则如下：不超出某一基础时长
的，按5 元/小时收费。超出该基础时长的，超出的部分每小时收费增加3 元；停车时长达
基础时长3 倍以上时，则超出基础时长3 倍的部分，每小时收费再增加3 元。若甲某次停
车离场时超出基础时长11 小时，共交费116 元，则基础时长为（ ）小时。（该基础时长为
整数，停车时长不满1 小时的按1 小时计）
A.6
B.5
C.4
D.3
【例9】甲乙两人需托运行李，托运收费标准为10kg 以下6 元/kg，超出10kg 部分每
公斤收费略微低一些。已知甲乙两人托运费分别为109.5 元、78 元，甲的行李比乙重了
50%。那么，超出10kg 部分每公斤收费标准比10kg 以内的低了（ ）元。
A.1.5
B.2.5
C.3.5
D.4.5
【例10】自来水收费标准，每户每月用水5 吨以下为2.2 元/吨，超过5 吨时，超出部
分为3.2 元/吨。某月，张、李两户共交70 元水费，用水量李是张的1.5 倍，问张比李少交
水费多少元？
A.16
B.15
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
132
C.14
D.12
【例11】同事甲、乙两人共携带120 千克行李乘坐飞机，根据规定，甲单独托运则超
重需支付200 元，乙单独托运则超重需支付100 元。若全部行李由一人负责托运，则超重
需支付450 元。问每位乘客的免费托运的行李最多为多少千克?
A.20
B.25
C.30 D.35
【分类合并型】
【例12】某商场举行促销活动，规定：一次购物不超过100 元的，不给优惠；超过
100 元而不超过300 元的，一律9 折优惠；超过300 元的，其中300 元及以内部分仍然9 折
优惠，超过部分按8 折优惠。小王两次购物分别用了90.9 元和295.6 元，现小李决定一次
买小王分两次购买的同样的物品，那么小李应付款：
A.368.32 元
B.352.4 元
C.352.4 元或368.32 元
D.368.32 元或376.4 元
【例13】李亮和刘纯两人采购同一款录音笔，如果一次购买数量不足50 个，每个售
价176 元；如果一次购买50—99 个，每个售价160 元；如果一次购买100 个及以上，每个
售价144 元。如果李亮和刘纯分别购买，共要付18688 元，如果两人合买，可以节省2416
元。问两人中购买录音笔数量较少者买了多少个录音笔？
A.52
B.56
C.20
D.38
【例14】某商场做促销活动，一次性购物不超过500 元的打九折优惠；超过500 元的，
其中500 元打九折优惠，超过500 元部分打八折优惠。小张购买的商品需付款490 元，小
李购买的商品比原价优惠了120 元。如两人一起结账，比分别结账可节省多少元钱?
A.10
B.20
C.30
D.50
【例15】某市规定，出租车合乘部分的车费向每位乘客收取显示费用的60%，燃油附
加费由合乘客人平摊。现有从同一地方出发的三位客人合乘，分别在D、E、F 点下车，显
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133
示的费用分别为10 元、20 元、40 元，那么在这样的合乘中，司机的营利比正常（三位客
人是一起的，只是分别在上述三个地方下车）多：
A.2 元
B.10 元
C.12 元
D.15 元
【例16】甲、乙两人由于顺路搭乘同一辆出租车，甲坐了4 公里后下了车，出租车又
走了6 公里，乙下车并付了18 元车费。如果车费由两人分摊，甲应分摊多少元？
A.3 元
B.3.6 元
C.7.2 元
D.7.5 元
【分段最值型】
【例17】某市电价为一个自然月内用电量在100 度以内的每度电0.5 元，在101 度到
200 度之间的每度电1 元，在201 度以上的每度电2 元。张先生家第三季度缴纳电费370 元，
该季度用电最多的月份用电量不超过用电量最少月份的2 倍，问他第三季度最少用了多少
度电？
A.300
B.420
C.480
D.512
【例18】某城市居民用水价格为：每户每月不超过5 吨的部分按4 元/吨收取；超过5
吨不超过10 吨的部分按6 元/吨收取；超过10 吨的部分按8 元/吨收取。某户居民两个月共
交水费108 元，则该户居民这两个月用水总量最多为多少吨？
A.17.25
B.21
C.21.33
D.24
【统筹优化】
【一元二次函数】
【例1】某商店商品，单价为75 元，可卖500 个，单价每涨1 元，就会少卖20 个，为了
使销售额最大，那么单价可定为：
A.50 元
B.28 元
C.27 元
D.20 元
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
134
【例2】某商品的进货单价为80 元，销售单价为100 元，每天可售出120 件，已知销售单
价每降低1 元，每天可多售出20 件。若要实现该商品的销售利润最大化，则销售单价应降低的
金额是：
A.5 元
B.6 元
C.7 元
D.8 元
【例3】一厂家生产销售某新型节能产品。产品生产成本是168 元，销售定价为238 元。
一位买家向该厂家预订了120 件产品，并提出如果产品售价每降低2 元，就多订购8 件。则该
厂家在这笔交易中能获得的最大利润是（ ）元。
A.17920
B.13920
C.10000
D.8400
【例4】某汽车租赁公司有200 辆同型号的汽车，每辆车的日租金为100 元时可全部租出；
当每辆车的日租金增加5 元时，未租出的汽车就会多4 辆，租出的车每天需要维护费20 元。每
辆车的日租金为多少时，租赁公司的日收益最大？
A.155 元
B.165 元
C.175 元
D.185 元
【例5】某汽车坐垫加工厂生产一种汽车坐垫，每套成本是144 元，售价是200 元。一个
经销商订购了120 套这种汽车坐垫，并提出：如果每套坐垫的售价每降低2 元，就多订购6 套。
按经销商的要求，该加工厂获得最大利润需售出的套数是：
A.144
B.136
C.128
D.142
【例6】某类商品按质量分为8 个档次，最低档次商品每件可获利8 元，每提高一个档次，
则每件商品的利润增加2 元。最低档次商品每天可产出60 件，每提高一个档次，则日产量减少
5 件。若只生产其中某一档次的商品，则每天能获得的最大利润是（）元。
A.620
B.630
C.640
D.650
【例7】某公司推出A、B 两种新产品，产品A 售价为X 元，本月售出了Y 件；产品B 售
价为Y 元。本月A、B 两种产品共售出500 件，且产品A 的销量为产品B 的3 倍多，产品A 的
销售额为1 万元。问A、B 两种产品本月可能的最高销售总额最接近下列哪个值？
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
135
A.5.5 万元
B.5.7 万元
C.7.2 万元
D.7.5 万元
【线性规划型】
【例8】生产一件甲产品消耗4 份原料A、2 份原料B、3 份原料C，可获得1.1 万元利润；
生产一件乙产品3 份原料A、5 份原料B，可获得1.3 万元利润。现有40 份原料A、38 份原料
B、15 份原料C 用于生产，问最多可获得多少万元利润？
A.10.2
B.12.0
C.12.2
D.12.8
【例9】生产一件A 产品消耗原料甲4 千克、乙2 升，可获得1000 元利润，生产一件B 产
品消耗原料甲3 千克、乙5 升，可获得1300 元利润。现有原料甲40 千克、乙38 升，通过生产
这两种产品，可获得的最大利润为多少元？
A.15000
B.14500
C.13500
D.12500
【装载运输型】
【例10】A、B 两个仓库分别存放有8 台和12 台挖掘机，现需要往C 工地和D 工地各运
10 台挖掘机。A 仓库到C 工地的运输费用为600 元/台，到D 工地的费用为900 元/台；B 仓库
到C 工地的运输费用为400 元/台，到D 工地的费用为800 元/台。问要将20 台挖掘机运到两个
工地，至少需要花运输费多少元？
A.14400
B.13600
C.12800
D.12000
【例11】A、B 两地分别有10 台和6 台型号相同的机器，准备配送到E、F 两地，其中E
地11 台，F 地5 台，若每台机器从A 到E 和F 的物流费用分别为350 元和550 元，从B 到E 和
F 的物流费用分别为600 元和900 元，则配送这16 台机器的总物流费用最少为：
A.7850 元
B.8100 元
C.8400 元
D.8700 元
【例12】甲、乙两地稻谷同时成熟，分别需要15 台和13 台大型收割机进行收割，计划从
丙、丁两地分别调配20 台和8 台收割机进行支援。若从丙地调配一台收割机到甲、乙两地分别
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136
需要油费40 元、50 元；从丁地到甲、乙两地分别需要50 元、30 元，则完成所有的收割机调配
至少需要油费（ ）元。
A.1000
B.1090
C.1180
D.1270
【例13】A、B 两地医院分别有库存呼吸设备10 台和6 台，现需要支援C 地医院9 台、D
地医院7 台。已知从A 地调运一台设备到C 地和D 地的运费分别为400 元和600 元，从B 地调
运一台设备到C 地和D 地的运费分别为300 元和700 元。如果总运费不能超过7800 元，共有
多少种调运方案？
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
【满减折扣型】
【例14】某品牌网店迎接“双11”推出优惠如下：满399 元减20 元，满599 元减50 元，满
999 元减100 元。甲选购的4 件衣服价格分别为：597 元、408 元、309 元、189 元。为了享受最
大的优惠，最多能减（ ）元。
A.170
B.150
C.120
D.70
【例15】某商场在进行“满百省”活动，满100 省10，满200 省30，满300 省50。大于
400 的消费只能折算为等同于几个100、200、300 的加和。已知一位顾客买某款衬衫1 件支付
了175 元，那么买3 件这样的衬衫最少需要：
A.445 元
B.475 元
C.505 元
D.515 元
【例16】文体用品店有一批数量为35 支的羽毛球拍，进货价为每支130 元，在进货价基
础上提高20%销售，并实行消费返现制度，顾客购买羽毛球拍每满100 元即减5 元。假如规定
每名顾客最多只能买3 支球拍，则销售这批球拍至少可赚（ ）。
A.650 元
B.675 元
C.735 元
D.900 元
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137
【例17】超市销售某种圆珠笔，单盒装的售价10 元，5 盒装的售价40 元，10 盒装的售价
70 元，20 盒装的售价120 元。现有两家企业来采购这种圆珠笔，甲企业的预算最多正好买92
盒，乙预算最多正好买103 盒。问，两家企业如果合买，最多比分开买多采购多少盒？
A.3
B.5
C.8
D.10
【例18】某商场举行周年让利活动，单件商品满300 返180 元，满200 返100 元，满100
返40 元，如果不参加返现金的活动，则商品可以打5.5 折。小王买了价值360 元、220 元、150
元的商品各一件，问最少需要多少钱？
A.360 元
B.382.5 元
C.401.5 元
D.410 元
【不同方案型】
【例19】某种圆珠笔单支购买1.7 元/支，另有5 元/3 支和15 元/10 支两种包装供购买，办
公室购买这种圆珠笔x 支，最低可能的购买总价为1.7x－2.3 元，问x 可能的最大值为：
A.19
B.21
C.29
D.31
【例20】某自助餐饮店推出了两种自助方案：甲方案成人每人90 元，小孩每人60 元；乙
方案无论大人小孩，每人均为70 元。现有m 人组团就餐，并规定1 个大人至多带2 个小孩就
餐。那么，对这些顾客来说：
A.只要选择甲方案都不会吃亏
B.甲方案总是比乙方案更优惠
C.只要选择乙方案都不会吃亏
D.甲方案和乙方案一样优惠
【例21】甲和乙两个实验室共同承接10000 份样本的检验工作。甲实验室每小时可检验
200 份样本，每检验一份样本的费用为100 元；乙实验室每小时可检验500 份样本，每检验一
份样本的费用为200 元。问如要求15 小时内检验完毕，最低总检验费用比要求18 小时内检验
完毕时高多少万元？
A.3
B.4
C.5
D.6
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138
【例22】某动物园规定，个人票每张50 元，团体票每张450 元（可供15 人游览），无其
他票价优惠政策，某单位共有58 人游览该动物园，则最少应付多少元？
A.2000
B.1800
C.1600
D.1500
【例23】某公司要买100 本便签纸和100 支胶棒，附近有两家超市。A 超市的便签纸0.8
元一本，胶棒2 元一支且买2 送1。B 超市的便签纸1 元一本且买3 送1，胶棒1.5 元一支。如
果公司采购员要在这两家超市买这些物品，则他至少要花多少元钱？
A.208.5
B.183.5
C.225
D.230
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139
（三）行程问题
【学前筑基】
（1）基础公式类：
核心公式：路程=速度×时间；速度=
路程
时间；时间=
路程
速度；
基础思路：
①根据各阶段路程和或路程差列等量关系、或路程不变列等量关系；
②根据各阶段时间和或时间差列等量关系；
③根据正反比关系列等量关系。
单位转换：
1m/s=60 米/分钟=3.6km/小时
常用技巧：
①线段法：将每个阶段的行驶路径通过线段呈现出来，当主体比较多时，可以采用“实
线”、“虚线”分别表示；
②赋值法：路程=速度×时间，
a.若只给出其中一个的具体数值，可以赋值一次；
b.若一个具体量都未给出，可以赋值两次。
③正反比：
a.路程不变，速度与时间为反比关系；
b.时间不变，速度与路程为正比关系。
【基础公式】
①小王家距离单位1.2 公里，每天步行上班。速度为每分钟100 米，则他上班需要花
（ ）分钟。
A.12
B.15
C.18
D.20
②小张将带领三位专家到当地B 单位调研，距离B 单位1.44 千米处设有地铁站出口。
调研工作于上午9 点开始，他们需提前10 分钟到达B 单位，则小张应通知专家最晚几点一
起从地铁站出口出发，步行前往B 单位？（假设小张和专家的步行速度均为1.2 米/秒）
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140
A.8 点26 分
B.8 点30 分
C.8 点36 分
D.8 点40 分
③一辆汽车第一天行驶了5 个小时，第二天行驶了600 公里，第三天比第一天少行驶
200 公里，三天共行驶了18 个小时。已知第一天的平均速度与三天全程的平均速度相同，
问三天共行驶了多少公里？
A. 900
B. 800
C. 1100
D. 1000
④“和谐号”高速列车从甲地出发向相距1300 千米的乙地行驶，列车分别以250 千米/
小时和300 千米/小时的平均速度在两种不同路况的路段上行驶，4.5 小时恰好走完全程。
则这两种路段的里程数之差是：
A.600 千米
B.700 千米
C.800 千米
D.1050 千米
⑤一辆汽车从A 地运货到B 地，若该车的速度增加20 千米/小时，可以提前45 分钟
到达B 地，若该车的速度减少12 千米/小时，到达B 地的时间将延迟45 分钟，则A 地与B
地之间的距离为多少千米？
A.164
B.176
C.180
D.196
【单位转换】
⑥72 ㎞/h=_______m/s=__________米/分钟；
⑦108 ㎞/h=_______m/s=__________米/分钟；
⑧45 ㎞/h=_______米/分钟；
【常用技巧】
⑨ 线段法：
a.AB 两地间有县道连接，BC 两地间有高速公路连接，且AB 间路程是BC 间路程的
3/4。则用线段可表示为：
b.甲与乙一起骑自行车从A 地去B 地，自行车的速度为每小时15 千米。走了
1
3的路程
后，乙因故骑自行车返回A 地而甲下车继续步行前行。乙在到达A 地后立刻原路折返，在
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141
距离B 地还有
1
3的路程处追上甲。问甲步行的速度为每小时多少千米？用线段法表示甲乙的
形式路径：
⑩赋值法：
a.AB 两地间有县道连接，BC 两地间有高速公路连接，且AB 间路程是BC 间路程的
3/4。郭某从A 地开车匀速前往B 地，到B 地后以AB 间2 倍的速度开往C 地，共用时2 小
时30 分。由C 地返回A 地时高速公路行驶速度不变，县道行驶速度比去程降低1/3，则返
程用时为:
A.2 小时45 分
B.2 小时50 分
C.3 小时10 分
D.3 小时15 分
【思路】题干只给出了时间的具体量，路程和速度没有给出，可以赋值一次，
第一步：赋值县道速度为1，告诉速度为2；县道路程为3s，高速路程为4s，
第二步：根据时间列出：______________+________________=2 小时30 分=150 分钟；
第三步：根据问题求解：
b.某趣味极速竞赛中有跨栏、匍匐、独木桥三段，其路程比为3∶1∶2，参赛者甲匍匐路
段的爬行速度是跨栏速度的
1
3，通过独木桥的速度又是跨栏速度的
1
6，问甲通过独木桥路段
的时间是匍匐路段时间的多少倍？
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
【思路】题干未给出任何具体量，可以赋值2 次，
第一步：赋值路程分别为：3、1、2；跨栏速度为6，匍匐为2，独木桥为1。
第二步：独木桥的时间：________，匍匐的时间：__________。
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142
第一节【基础公式类】
【考点筑基】
【例1】汽车在平直的公路上运动，它先以速度V 行驶了2/5 的路程，接着以30km/h
的速度驶完余下的3/5 路程，若全程平均速度是40km/h，则V 是多少？
A.60km/h
B.70km/h
C.80km/h
D.90km/h
【例2】甲乙两地之间高速公路设有4 个服务区，从甲地驾车以90 千米时速行驶并在
每个服务区休息10 分钟需要4 小时20 分钟到达乙地。若从乙地驾车以时速120 千米并在
每个服务区休息5 分钟，到达甲地需要的时间是多少？
A.2 小时45 分钟
B.3 小时5 分钟
C.3 小时25 分钟
D.4 小时20 分钟
【例3】黑脸琵鹭飞行速度较快。为55 公里/小时；白琵鹭飞行速度为45 公里/小时，
黑、白两群琵鹭从距离深圳湾湿地3120 公里的黑龙江湿地出发南飞越冬，若不考虑途中停
歇，则白琵鹭需比黑脸琵鹭早起飞（ ）小时以上，才能确保率先到达深圳湾湿地。
A.11
B.12
C.13
D.14
【例4】从甲地到乙地全程为9 千米。其中前1/6 为下坡路；剩下路程中，前2/3 为平
路，后1/3 为上坡路。小张从甲地到乙地，下坡路转平路、平路转上坡路时各休息5 分钟，
下坡路、平路和上坡路的用时之比为1:4:5 （休息时间不计）。已知他走上坡路的速度为2
千米/小时，则其全程用时为:
A.2 小时
B.2 小时30 分钟
C.2 小时40 分钟
D.3 小时
【例5】一辆汽车第一天和第二天的行驶时间之比为3∶4，第二天与第三天行驶路程相
同，第三天行驶5 小时，第一天行驶400 千米，三天全程的平均速度为80 千米/小时。问
第二天的平均速度是多少千米/小时？
A.70
B.75
C.80
D.85
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143
【例6】出租车以固定速度从乙地出发到甲地再回到乙地，往返需要1 小时40 分，这
一天，小明早上8 点从甲地出发步行去乙地，出租车在上午9 点从乙地出发，小明中途遇
到这辆出租车便坐车去乙地，并于早上10 点20 分到达。问出租车的速度是小明步行速度
的多少倍？
A.4
B.6
C.8
D.10
【例7】一辆大货车由M 地匀速驶向相距120 千米的N 地，它的速度是30 千米/小时，
则该辆大货车与N 地的距离s（千米）和行驶时间t（小时）之间的关系用图象表示应为：
A.如图所示
B.如图所示
C.如图所示
D.如图所示
【例8】甲、乙两人沿相同的路线由A 地匀速前进到B 地，A、B 两地之间的路程为
20 千米，他们前进的路程为S（千米），乙出发后的时间为t（单位：时），甲、乙前进的路
程与时间的函数图像如图所示。下列说法错误的是：
A.甲的速度是5 千米/小时
B.乙的速度是20 千米/小时
C.甲比乙晚到B 地2 小时
D.甲比乙晚出发1 小时
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144
第二节【等距离平均速度类】
【考点筑基】
识别：不同的速度行驶两段相同的路程；
公式：
2𝑣1𝑣2
𝑣1+𝑣2
扩展
非等距离平均速度：
总路程
总时间=
𝑆1+𝑆2
𝑆1
𝑉1+𝑆2
𝑉2
等时间平均速度：
𝑣1+𝑣2
2
。
【母题提升】
【母题1】某地举办了“铁人三项”体育活动，先进行蛙跳，后游泳，最后竞走到达终
点。一位选手在上午7 点出发,9 点到达了终点，全程未休息,其蛙跳、游泳和竞走的速度分
别为每小时2 千米、3 千米和6 千米。如果蛙跳和竞走的路程相同,则所有项目的总路程是
（ ）。
A.无法计算
B.6 千米
C.8 千米
D.12 千米
【识别】蛙跳和竞走的路程相同
【步骤】蛙跳和竞走的平均速度：
2𝑣1𝑣2
𝑣1+𝑣2 =
2×2×6
2+6 =3，与游泳的速度相同，则全程按3
的速度行驶，路程=平均速度×时间=3×2=6。
【母题2】甲去北京出差，去时坐飞机，返回时坐高铁，若飞机的速度比高铁快3 倍，
且往返平均速度为480 千米/小时，问甲乘坐的飞机速度为多少千米/小时？
A.720
B.768
C.960
D.1200
【识别】 去时和返回的路程相同
【步骤】高铁速度为：v，飞机为4v，根据等距离平均速度：
2𝑣1𝑣2
𝑣1+𝑣2 =
2×𝑣×4𝑣
𝑣+4𝑣=480。
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145
【强化飞跃】
【例1】某人开车从A 镇前往B 镇，在前一半路程中，以每小时60 公里的速度前进；
而在后一半的路程中，以每小时120 公里的速度前进。则此人从A 镇到达B 镇的平均速度
是每小时多少公里？
A.60
B.80
C.90
D.100
【例2】小明从家到学校去上学，先上坡后下坡。到学校后，小明发现没带物理课本，
他立即回家拿书（假设在学校耽误时间忽略不计），往返共用36 分钟，假设小明上坡速度
为80 米/分钟，下坡速度为100 米/分钟，小明家到学校有多远？
A.2400 米
B.1720 米
C.1600 米
D.1200 米
【例3】科研人员在山路测试救援机器人性能。已知救援机器人电池续航时间为60 分
钟，其上坡、下坡、平路速度分别为4 米/秒、8 米/秒、6 米/秒。机器人从A 点出发，沿箭
头所示路线行进一定距离后折返，并在电量耗尽时正好返回A 点。问机器人在折返前最多
能行进多少米？
A.6750
B.10350
C.13500
D.17100
【例4】小明的步行速度为1 米/秒，从A 地到B 地步行需要3 小时，骑自行车需要1
小时，电动车的速度是自行车的两倍。现在小明从A 地出发，步行1.5 小时后骑自行车到
B 地，然后返回途中先骑电动车走完一半路程，再步行返回A 地，则小明的往返平均速度
为（ ）千米/小时。
A.4.75
B.5.76
C.5.96
D.6.25
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146
【例5】某天，自行车运动员小吴训练了3 个小时，他先匀速骑行了一段上坡路程，
又以2 倍的速度匀速骑行了一段下坡路程，最终共骑行60 千米，则（ ）。
A.如果上坡路程大于下坡路程，他上坡的时速必然小于15 千米
B.如果上坡路程大于下坡路程，他上坡的时速必然大于20 千米
C.如果下坡路程大于上坡路程，他下坡的时速必然小于30 千米
D.如果下坡路程大于上坡路程，他下坡的时速必然大于25 千米
【例6】张红和李健同时从班级出发沿同一条路线去食堂，若张红用一半的时间以速
度x 行走，另一半时间以速度y 行走；李健在前一半路程以速度x 行走，后一半路程以速
度y 行走（x≠y），则下列说法正确的是：
A.张红先到达食堂
B.李健先到达食堂
C.张红和李健同时到达食堂
D.两人谁先到达食堂不能确定
【例7】自行车运动员在400 米长的环形跑道上骑行了两圈，他前一半时间的平均速
度是6 米/秒，后一半时间的平均速度是10 米/秒，问他第一圈用时为多少秒？
A.50
B.60
C.70
D.80
【例8】从甲地到乙地111 千米，其中有
1
4是平路，
1
2是上坡路，
1
4是下坡路。假定一辆
车在平路的速度是20 千米/小时，上坡的速度是15 千米/小时，下坡的速度是30 千米/小时。
则该车由甲地到乙地往返一趟的平均速度是多少？
A. 19 千米/小时
B. 20 千米/小时
C. 21 千米/小时
D. 22 千米/小时
【例9】四名运动员参加4×100 米接力，他们100 米速度分别为
、
、
、
，
不考虑其他影响因素，他们跑400 米全程的平均速度为：
A.
4
𝑣1 +
4
𝑣2 +
4
𝑣3 +
4
𝑣4
B.
4
1
𝑉1+ 1
𝑉2+ 1
𝑉3+ 1
𝑉4
C.
𝑣1+𝑣2+𝑣3+𝑣4
4
D.
4
𝑣1+𝑣2+𝑣3+𝑣4
【例10】一条路长400 公里，某辆汽车先以80 的速度行驶了整个路程的
1
4，而后将速
度提高25%走完剩下的路程，求解该汽车走完全程的平均速度？
A.
1600
17
B.90
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147
C.95
D.100
第三节【火车过桥类】
【考点筑基】
①完全过桥：桥长+车长=速度×时间
②在桥上：桥长－车长=速度×时间
③头上头下：桥长=速度×时间
【母题提升】
【例1】某隧道长1500 米，有一列长150 米的火车通过这条隧道，从车头进入隧道到
完全通过隧道花费的时间为50 秒，整列火车完全在隧道中的时间是：
A. 43.2 秒
B. 40.9 秒
C. 38.3 秒
D. 37.5 秒
【例2】某公路隧道长1500 米，一辆公共汽车匀速从隧道通过，测得公共汽车从开始
进入隧道到车身完全驶出隧道用时151 秒，整辆公共汽车完全在隧道里的时间为149 秒，
则公共汽车的车身长度和行驶速度分别为：
A.8 米；5 米／秒
B.10 米；10 米／秒
C.10 米；15 米／秒
D.12 米；20 米／秒
【例3】一列火车途经两个隧道和一座桥梁，第一个隧道长600 米，火车通过用时18
秒；第二个隧道长480 米，火车通过用时15 秒；桥梁长800 米，火车通过时速度为原来的
一半，则火车通过桥梁所需的时间为：
A.20 秒
B.25 秒
C.40 秒
D.46 秒
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148
【例4】某公路铁路两用桥，一列动车和一辆轿车均保持匀速行驶，动车过桥只需35
秒，而轿车过桥的时间是动车的3 倍，已知该动车的速度是每秒70 米，轿车的速度是每秒
21 米，这列动车的车身长是（轿车车身长忽略不计）：
A.120 米
B.122.5 米
C.240 米
D.245 米
【例5】一支车队共有20 辆大拖车，每辆车的车身长20 米，两辆车之间的距离是10
米，行进的速度是54 千米/小时。这支车队需要通过长760 米的桥梁（从第一辆车头上桥
到最后一辆车尾离开桥面计时），以双列队通过与以单列队通过花费的时间比是：
A.7∶9
B.29∶59
C.3 ∶5
D.1∶2
【例6】火车通过560 米长的隧道用20 秒，如果速度增加20%，通过1200 米长的隧
道用30 秒。火车的长度是多少米？
A. 220
B. 240
C. 250
D. 260
【例7】某列车通过1200 米长的隧道要用时33 秒，与另一列长150 米速度为50 米/秒
的列车错车而过需要3 秒，则该列车减速一半后，通过一座600 米的桥梁所需的时间为：
A.18 秒
B.20 秒
C.30 秒
D.36 秒
【例8】有一列车长为200 米的火车，从车头进入到车头离开长度为1500 米的隧道，
用了30 秒，通过第二条长为1200 米的隧道（从车头进入到车头离开）时速度减少了20%,
则火车通过该隧道用了多少秒？
A.25
B.30
C.40
D.50
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149
第四节【流水行船】
【考点筑基】
基础公式：
顺流：S=(V船+ V水)×t顺流
逆流：S=(V船−V水)×t逆流
特殊题型：
①无动力漂流：无动力竹排漂流时间=
2t顺流×t逆流
t逆流−t顺流
②扶梯上下型：
公式1：扶梯阶数＝时间×（人的速度＋电梯的速度）；
公式2：扶梯阶数=人走的阶数×（1+
v电梯
v人
）。
【母题提升】
【基础公式】甲、乙两地分别为一条河流的上下游，两地相距360 千米，A 船往返需
要35 小时，其中从甲地到乙地的时间比从乙地到甲地的时间短5 小时。B 船在静水中的速
度为12 千米每小时。问其从甲地开往乙地需要多少小时？
A.12
B.20
C.24
D.40
【解题】
第一步：求A 船顺流的时间：__________；A 船逆流的时间：__________；
第二步：求A 船在静水的速度：
第三步：求B 船顺流的时间：
【两个主体】两艘船相对划行，一船从A 到B 顺水，一船从B 到A 逆水，结果所用
时间相同（假设水流速、行船速恒定，快船速是慢船速2 倍），则慢船速是水流速的几倍？
A.3
B.2
C.1
D.4
【解题】
第一步：赋值快船速2，慢船速1，
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150
第二步：时间相同，路程相同，则顺流速度=逆流速度，即__________=__________
【往返时间】一条河的水流速度为每小时4 公里，一条船以恒定的速度逆流航行6 公
里后，再返回原地，共耗时2 小时（不计船掉头时间）。请问船逆流航行与顺流航行的速度
之比是多少？
A.1∶3
B.2∶3
C.1∶2
D.1∶4
【解题】
第一步：设船速为a，水速为b，
第二步：顺流时间：_____________；逆流流时间：_____________；
第三步：顺流时间+逆流时间=6，列式为：_____________________；
【能力提升】
设路程为S，船速为a，水速为b，则往返的时间和=
𝑆
𝑎+𝑏+
𝑆
𝑎−𝑏
【以水为参考系】
小刚和小强租一条小船，向上游划去，不慎把空塑料水壶掉进江中，当他们发现并调
过头时，水壶与船已经相距2 千米。假定小船的速度是每小时4 千米，水流速度是每小时
2 千米，那么他们追上水壶需要多少时间？
A.0.2 小时
B.0.3 小时
C.0.4 小时
D.0.5 小时
【解题】若以水为参考系，
第一步：水壶的速度为0，小船顺流的速度=逆流的速度=4
第二步：追上水壶的速度=
2
4=0.5。
【能力提升】
以水为参考系，此时相当于水面为静止状态，即不存在顺流和逆流，考生可以想象一
列火车上你走路的时候掉落了一个物体，一段时间后取捡，车内人看你是否就像物体一直
是静止的，你自己走了个来回，车外人看你像流水行船一样，先顺流再逆流。
【无动力竹排】
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
151
一艘轮船从上游甲地开往下游乙地需要5 个小时，以同样的功率从乙地开往甲地需要
6 个小时。如在甲地放下一无动力竹排，它到达乙地需要多长时间?
A.5 小时
B.15 小时
C.30 小时
D.60 小时
【解题】
第一步：赋值路程为30，
第二步：顺流公式：_____________________；逆流公式：______________________；
第三步：解得水速后，求解无动力竹排漂流时间：
【能力提升】
（1）
S
t顺流
= 船速+ 水速；
S
t逆流
= 船速−水速；可得：
S
水速=
2t顺流×t逆流
t逆流−t顺流
（2）当题干只给出时间时，可以通过赋值法求解。
【扶梯问题】
某商场在一楼和二楼间安装一自动扶梯，该扶梯以均匀的速度向上行驶。一男孩与一
女孩同时从自动扶梯走到二楼（扶梯本身也在行驶），假设男孩与女孩都做匀速运动，且男
孩每分钟走动的级数是女孩的两倍，已知男孩走了27 级到达扶梯顶部，而女孩走了18 级
到达扶梯顶部（设男孩、女孩每次只跨一级），则扶梯露在外面的部分共有（ ）级。
A.54
B.64
C.81
D.108
【解题】扶梯阶数=人走的阶数×（1+
v电梯
v人
）。
第一步：赋值男孩的速度2，女孩速度1，扶梯速度v，
第二步：扶梯阶数=27×（1+
v电梯
2 ）=18×（1+
v电梯
1 ）
【强化飞跃】
【例1】 一条客船往返于甲、乙两个沿海城市之间，由甲市到乙市是顺水航行，由乙
市到甲市是逆水航行。已知船在静水中的速度是每小时25 海里。由甲市到乙市用了8 小时，
由乙市到甲市所用的时间是由甲市到乙市所用时间的1.5 倍，则甲乙两个城市相距多少海
里？
A. 240
B. 260
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152
C. 270
D. 280
【例2】有A、B 两家工厂分别建在河流的上游和下游，甲、乙两船分别从A、B 港口
出发前往两地中间的C 港口。C 港与A 厂的距离比其与B 厂的距离远10 公里。乙船出发
后经过4 小时到达C 港，甲船在乙船出发后1 小时出发，正好与乙船同时到达。已知两船
在静水中的速度都是32 公里/小时，问河水流速是多少公里/小时？
A.4
B.5
C.6
D.7
【例3】一艘货船，第一次顺流航行420 千米，逆流航行80 千米，共用11 小时；第
二次用同样的时间顺流航行了240 千米，逆流航行140 千米。问水流速度是多少千米/小时？
A.12
B.16
C.20
D.24
【例4】一艘船模出发后先逆流航行1 分钟；掉头后顺流航行2 分钟；再掉头后逆流
航行3 分钟……以此类推。已知船模顺流速度为30 米/分钟，逆流速度为10 米/分钟。问
10 分钟后船模的位置和20 分钟后船模的位置相距多少米？
A.0
B.30
C.50
D.100
【例5】甲、乙两船分别从上游和下游同时出发，甲顺流而下，乙逆流而上，相遇时
甲、乙走过的路程之比为3∶1，两船相遇后各自立即掉头沿原路返回，甲、乙各自返回到
出发点所用时间之比为5∶1。设船速和水流速度均不变，则甲船速度与乙船速度的比值是
（ ）。
A.
7
5
B.
8
7
C.
9
7
D.
7
9
【例6】处于某河流上的A、B 两地相距600 米，B 为上游，水流速度为2.5 米/分钟，
乙由A 到B 和甲由B 到A 都需要40 分钟，现让甲由A 向B，乙由B 向A，两人相向而行，
到达指定的某一点后返回，则该点选在距离A 大约多少米处，两人分别返回到起点时的时
间大致相同？
A.240
B.247
C.254
D.260
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153
【例7】一只装有动力桨的船，其单靠人工划船顺流而下的速度是水速的3 倍。现该
船靠人工划动从A 地顺流到达B 地，原路返回时只开足动力桨行驶，用时比来时少2/5。
问船在静水中开足动力浆行驶的速度是人工划船速度的多少倍？
A.2
B.3
C.4
D.5
【例8】一艘船从A 地行驶到B 地需要5 天，而该船从B 地行驶到A 地则需要7 天。
假设船速、水流速度不变，并具备漂流条件，那么船从A 地漂流到B 地需要（）天。
A.40
B.35
C.12
D.2
【例9】一艘轮船顺流而行，从甲地到乙地需要6 天；逆流而行，从乙地到甲地需要8
天。若不考虑其他因素，一个漂流瓶从甲地到乙地需要多少天？
A.24
B.36
C.48
D.56
【例10】某商场一楼到二楼有一部自动扶梯匀速上行，甲、乙二人共同乘梯上楼。甲
在乘扶梯同时匀速登梯，乙在恰好半程后，也开始匀速登梯，但登梯速度是甲的1/2。甲乙
二人分别登了36 级、12 级到达二楼，问这部扶梯静止时一楼到二楼的级数是多少？
A.48
B.60
C.66
D.72
【例11】一艘维修快艇沿着河流逆流而上执行维修任务，快艇航行到途中某处时工具
包掉进了河里，10 分钟后，驾驶员到达目的地时发现工具包丢失后立即返回追寻。已知水
的流速为每秒1 米，如果工具包会浮在水面上漂流，那么驾驶员将在距离丢失处（ ）米的
地方找回工具包。
A.640
B.900
C.1080
D.1200
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154
第五节【正反比类】
【考点筑基】
两大情况：
路程不变：时间与速度成反比
条件①：题干给出不同速度下的时间差，例如速度提高1/3，少用10 分钟；
条件②：题干给出同一路程下时间关系，例如乙2 小时的路程，甲需要4 小时；
条件③：题干给出不同时间下的速度差，例如时间比3：4，速度相差10。
时间不变：路程与速度成正比
条件：一般应用在相遇追及中，同时出发同时到达。
条件①：题干给出不同速度下的路程差，例如A 和B 的速度为20 和30，相遇时相差60；
条件②：题干给出同一时间下的路程比，甲跑5 圈时，乙跑3 圈。
【母题提升】
【路程不变】不同速度下的时间差
小明骑车从甲镇前往乙镇。如果骑车的速度为每小时20 千米，那么将准时到达。如果
骑车的速度为每小时24 千米，那么将提早5 分钟到达。则甲镇到乙镇的距离为（ ）千米。
A.8
B.10
C.12
D.16
【解题】路程不变，给出不同速度（20 ㎞/h 和30 ㎞/h）下的时间差（5 分钟）
第一步：速度比为：__________；时间比为：______________。
第二步：时间差=原来时间－现在时间=_____________；原来时间=_______；现在时
间=________。
【能力扩展】
若时间比为6:5，两次时间相差5 分钟，可理解为一个时间为6 份，一个时间为5 份，
二者相差1 份，这1 份就是5 分钟，则6 份时间=6×5=30 分钟，5 份时间=5×5=25 分钟，考
生要熟悉份数的概念。
【路程不变】同一路程下时间关系
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155
甲从邮局出发去图书馆，乙从图书馆出发去邮局。两人12 点同时出发，相向而行。12
点40 分两人相遇并继续以原速度前行。13 点12 分甲到达图书馆后立刻返回邮局。假定两
人速度不变，甲返回邮局时，乙已到邮局多长时间了?
A.40 分钟
B.50 分钟
C.54 分钟
D.64 分钟
【解题】路程不变，乙走40 分钟的路程甲只需要32 分钟。
第一步：甲∶乙的速度______________；
第二步：甲走40 分钟的路程，乙需要____________分钟；
第三步：相遇后到甲再次回图书馆共需要__________分钟。
【路程不变】路程相同，不同速度下的时间关系
某人每天固定时间骑摩托车从家里到乡镇的木材加工厂上班，如果他以30 千米/小时
的速度行驶，会比上班时间提前10 分钟到达加工厂，如果他以20 千米/小时的速度行驶，
则会迟到12 分钟。如果小张某天迟到了6 分钟，则他的速度是（ ）千米每小时。
A.22
B.23
C.24
D.25
【解题】路程不变，不同的速度（30 和20）下，时间相差10+12=22 分钟，
第一步：根据速度比，可得两次时间的比值为：__________；
第二步：根据时间差为22 分钟，可得两次的时间分别为：________、________；
第三步：总路程为：___________，迟到6 分钟是行驶_____________分钟
【时间不变】已知速度比和路程差
两辆汽车同时从两地相向开出，甲车每小时行驶60 千米，乙车每小时行驶48 千米，
两车在离两地中点48 千米处相遇。则两地相距（ ）千米。
A.192
B.224
C.416
D.864
【解题】时间不变，已知速度（60 和48）和路程差（48+48=96）
第一步：甲乙的速度比为：______________；路程比为：______________
第二步：根据路程相差96 ㎞，可得总路程：__________________
【时间不变】已知路程比
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
156
甲、乙、丙三人同时从起点出发，匀速跑向100 米处的终点，并在到达终点后立刻以
相同的速度匀速返回起点。甲第一个到达终点时，乙和丙分别距离终点20 米和36 米。问
当丙到达终点时，乙距离起点多少米？
A.60
B.64
C.75
D.80
【解题】时间不变，题干给出甲乙丙的路程关系，
第一步：当甲跑到终点时，乙和丙分别跑了：_______、_________；
第二步：乙和丙的路程比为：_________；当丙跑100 米时，乙跑了_____________米
【强化飞跃】
【路程不变】
【例1】某快速反应部队运送救灾物资到灾区。飞机原计划每分钟飞行12 千米，由于
灾情危急，飞行速度提高到每分钟15 千米，结果比原计划提前30 分钟到达灾区，则机场
到灾区的距离是多少千米？
A.1600
B.1800
C.2050
D.2250
【例2】小王平时骑摩托车上班，如果他提速 20%，那么他到公司的时间比平时要提
早10 分钟。假如他提速25%，则他到公司的时间比平时早多长时间?
A.16 分钟
B.15 分钟
C.13 分钟
D.12 分钟
【例3】一辆车从甲地开往乙地，如果提速20%，可比原定时间提前1 小时到达，如
果以原速行驶120 千米后，再将速度提高25%，则可提前40 分钟到达。问甲乙两地相距多
少千米？
A.240
B.250
C.270
D.300
【例4】小王从单位开车去省城，如果他把车速提高20％，可以比原定时间提前15 分
钟到达；如果按原速度行驶30 千米后再将车速提高25％，也比原定时间提前15 分钟到达。
问小王单位距离省城多少千米？
A.60
B.120
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
157
C.180
D.240
【例5】小王从乡镇骑自行车前往县城，若他骑行速度为18 千米/时，则下午5 点钟到
达；若他骑行速度为20 千米/时，则下午4 点钟到达。小王的出发时间为：
A.早上6 点
B.早上7 点
C.早上8 点
D.中午12 点
【例6】某人以每小时10 公里的速度从甲地骑车前往乙地，中午12:30 到达。若以每
小时15 公里的速度行驶，上午11:00 到达，则他出发的时间是：
A.上午7:15
B.上午7:30
C.上午7:45
D.上午8:00
【例7】甲乙两辆车从A 地驶往90 公里外的B 地，两车的速度比为5:6，甲车于上午
10 点半出发，乙车于10 点40 分出发，最终乙车比甲车早2 分钟到达B 地，问乙车是在何
时追上甲车的？
A.10：55
B.10：58
C.11：40
D.11：50
【例8】小张和小王18:00 分别从甲、乙两地同时出发，沿相同道路匀速相向而行。
18:20 小张到达丙地停留，18:40 两人在丙地碰面并均以出发时速度继续行进。18:50 小王到
达甲地，问小张在几点到达乙地？
A.20:00
B.20:40
C.19:00
D.19:40
【例9】李明倡导低碳出行，每天骑自行车上下班，如果他每小时的车速比原来快3
千米，他上班的在途时间只需原来时间的4/5；如果他每小时的车速比原来慢3 千米，那么
他上班的在途时间就比原来的时间多（ ）。
A.1/3
B.1/4
C.1/5
D.1/6
【例10】甲地到乙地，步行速度比骑车速度慢75%，骑车速度比公交慢50%，如果一
个人坐公交从甲地到乙地，再从乙地步行回甲地一共用了1 个半小时，则该人骑车从甲地
到乙地需要多长时间？
A.10 分钟
B.20 分钟
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
158
C.30 分钟
D.40 分钟
【例11】小赵骑车去医院看病，父亲在发现小赵忘带医保卡时以60 千米/小时的速度
开车追上小赵，把医保卡交给他并立即返回。小赵拿到医保卡后又骑了10 分钟到达医院，
小赵父亲也同时到家。假如小赵从家到医院共用时50 分钟，则小赵的速度为多少千米/小
时？（假定小赵及其父亲全程都匀速行驶，忽略父子二人交接卡的时间）
A.10
B.12
C.15
D.20
【例12】一辆汽车从单位往机场接客人，通常以60 公里/小时的速度行驶要2 小时才
能到达，有一次该汽车以这个速度去机场，行驶了1 小时就坏了，之后停下来修理，花了
15 分钟才修好，问汽车要以多大的速度行驶才能准时到达机场？
A.60 公里/小时
B.70 公里/小时
C.80 公里/小时
D.90 公里/小时
【例13】一辆汽车将一批货物从A 地运送到B 地，又从B 地运送另一批货物返回A
地，往返共用了13.5 小时，去时用的时间是回来时用的时间的1.25 倍，去的速度比返回时
的速度每小时慢6 千米。A、B 两地之间距离为多少千米？
A.150
B.160
C.170
D.180
【例14】从A 地到B 地是下坡路，一辆车从A 地开往B 地需要三小时，从B 地开往
A 地需要四小时。已知这辆车下坡速度比上坡速度快15 千米/小时，则A、B 两地之间的距
离是多少千米？
A.120
B.180
C.240
D.300
【时间不变】
【例1】某地突发森林火灾，现有甲、乙两支消防队离火灾发生地距离相同，但路况
不同，假设两支队伍接到命令后同时出发，并且按照一定速度匀速赶往火灾现场参与救援。
已知当甲消防队走了路程1/3 时，乙消防队走了9 公里，当乙消防队走了路程1/3 时，甲消
防队走了16 公里，问甲消防队到达目的地时，乙消防队距离目的地还有多少公里？
A.9
B.12
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
159
C.27
D.36
【例2】甲公司的马经理从本公司坐车去乙公司洽谈，以30 千米/时的速度出发20 分
钟后，马经理发现文件忘带了，便让司机以原来1.5 倍的速度回甲公司拿，而他自己则以5
千米/时的速度步行去乙公司。结果司机和马经理同时到达乙公司。甲乙两公司的距离是（ ）
千米。
A.12.5
B.13
C.13.5
D.14
【例3】冬奥会男子短道速滑1500 米比赛中，A、B 两位运动员同时出发，已知本次
比赛需要绕场地滑13.5 圈，假设每位运动员滑完全程的速度是不变的，A 运动员滑完全程
需要2 分15 秒，B 运动员滑一圈比A 运动员少用时1 秒，则A 开始滑第几圈时，B 运动员
正好领先A 运动员一整圈？
A.9
B.10
C.11
D.12
【例4】一条圆形跑道长500 米，甲、乙两人从不同起点同时出发，均沿顺时针方向
匀速跑步。已知甲跑了600 米后第一次追上乙，此后甲加速20%继续前进，又跑了1200 米
后第二次追上乙。问甲出发后多少米第一次到达乙的出发点？
A.100
B.120
C.150
D.180
【例5】甲乙两人在环湖小路上匀速行驶，且绕行方向不变，19 时，甲从A 点，乙从
B 点同时出发相向而行。19 时25 分，两人相遇；19 时45 分，甲到达B 点；20 时5 分，两
人再次相遇，乙环湖一周需要多长时间？
A.72 分钟
B.81 分钟
C.90 分钟
D.100 分钟
【例6】甲、乙、丙三人沿着长为500 米、宽为250 米的长方形场地跑步，三人以
2:1:3 的速度之比匀速顺时针跑步。当甲进入场地时乙已跑完1/3 圈，丙到场地时已落后甲
100 米。问当乙跑完2 圈时，甲与丙的位置关系如何?
A.丙领先甲3000 米
B.丙领先甲2900 米
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
160
C.丙领先甲2450 米
D.丙领先甲2350 米
【例7】甲和乙同时出发，在长360 米的环形道路上沿同一方向各自匀速散步。甲出
发2 圈后第一次追上乙，又走了4 圈半第二次追上乙。则甲出发后走了多少米第一次到达
乙的出发点？
A.160
B.200
C.240
D.280
【例8】小强从学校出发赶往首都机场乘坐飞机回老家，若坐平均速度40 千米/小时的
机场大巴，则飞机起飞时他距机场还有12 公里；如果坐出租车，车速50 千米/小时，他能
够先于起飞时间24 分钟到达，则学校距离机场（ ）公里。
A.100
B.132
C.140
D.160
【例9】学校运动会4×400 米比赛，甲班最后一名选手起跑时，乙班最后一名选手已
经跑出20 米。已知甲班选手跑8 步的路程乙班选手只需要跑5 步，但乙班选手跑2 步的时
间甲班选手能跑4 步，则当甲班选手跑到终点时，乙班选手距离终点（ ）米。
A.30
B.40
C.50
D.60
【例10】英雄骑马射箭，路遇猛虎，相距50 米，适逢箭矢已尽，遂驱汗血宝马逐之，
意欲生擒。今知宝马步幅较猛虎为大，宝马2 步值猛虎3 步，然猛虎动作较宝马迅捷，宝
马奔跑3 步之时猛虎已经狂奔4 步，则英雄追上猛虎之时，汗血宝马跑了（ ）米。
A.320
B.360
C.420
D.450
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
161
第六节【直线相遇】
【考点筑基】
【两端出发】
【基础公式】（2n－1）S=（𝑣1 + 𝑣2）×t，其中S 为初始距离，n 为相遇次数。
【比例关系】如上图
①第n 次相遇与第1 次相遇相比：
总路程为第一次相遇的（2n－1）倍；时间为第一次的（2n－1）倍；A、B 自走的路程都
是第一次的（2n－1）倍。
②𝑣𝐴: 𝑣𝐵= 𝑆𝐴: 𝑆𝐵。
③若第一次相遇的时间为t，A、B 继续向前走到对面的时间分别为：
𝑣𝐵×𝑡
𝑣𝐴和
𝑣𝐴×𝑡
𝑣𝐵。
④第二次仍为迎面相遇需要满足的条件：𝑣𝐴＜2𝑣𝐵。
【同端出发】
【基础公式】2nS=（𝑣1 + 𝑣2）×t，其中S 为初始距离，n 为相遇次数。
【比例关系】第n 次相遇与第1 次相遇相比：路程相同，时间相同。
【母题+强化】
【两端出发-单次】
【例1】A、B 两架飞机同时从相距1755 公里的两个机场起飞相向飞行，经过45 分钟
后相遇，如果A 机的速度是B 机的1.25 倍，那么两飞机的速度差是每小时（）。
A.250 公里
B.260 公里
C.270 公里
D.280 公里
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
162
【例2】甲、乙两人同时从相距2000 米的两地相向而行，甲每分钟行55 米，乙每分
钟行45 米，如果一只狗与甲同时同向而行，每分钟行120 米，遇到乙后，立即回头向甲跑
去，遇到甲再向乙跑去。这样不断的来回，直到甲和乙相遇为止，狗跑过的距离为（）米。
A.800
B.1200
C.1800
D.2400
【多主体分别相遇】
【例3】小车和客车从甲地开往乙地，货车从乙地开往甲地，他们同时出发，货车与
小车相遇20 分钟后又遇客车。已知小车、货车和客车的速度分别为75 千米/小时、60 千米
/小时和50 千米/小时，则甲、乙两地的距离是：
A.205 千米
B.203 千米
C.201 千米
D.198 千米
【例4】小张从甲地出发匀速前往乙地，同时小李和小王从乙地出发匀速前往甲地，
小张和小李在途中的丙地相遇，小张和小王在途中的丁相遇，已知小张的速度比小李快一
半，小王的速度比小李慢一半，则丙丁两地之间的距离与甲乙之间的距离之比为：
A.2:15
B.1:4
C.3:20
D.1:15
【例5】甲、乙两车分别以30 公里/小时和40 公里/小时的速度同时匀速从A 地开往B
地，丙车以50 公里/小时的速度匀速从B 地开往A 地。A、B 两地距离120 公里。问丙车
遇到乙车后多久会遇到甲车？
A.8 分钟
B.10 分钟
C.12 分钟
D.15 分钟
【例6】甲、乙两人分别从A、B 两地同时出发相向而行，当两人合计走完两地间路
程的1/4 时，甲距A 地的路程是500 米；当两人合计走完两地间路程的3/4 时，乙距B 地
的路程是2400 米。若两人的速度始终不变，则当速度较快者走完全程时，速度较慢者距走
完全程还剩的路程是：
A.1350 米
B.1600 米
C.1800 米
D.1950 米
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
163
【相遇后继续行驶】
①走过你走过的路：𝑡2 = 𝑡𝐴× 𝑡𝐵
②若第一次相遇距离中点m 处，则两个人路程比：（S-m）∶（S+m）
【例6】为加快推进县域交通基础设施内畅外联、互联互通，A、B 两地新修建了一条
高速公路。甲、乙两辆汽车在这条高速公路上同时从A、B 两地相向开出，甲车每小时行
驶74 千米，乙车每小时行驶65 千米，两车在距中点18 千米处相遇。这条连通A、B 两地
的高速公路全长是
A.139 千米
B.256 千米
C.278 千米
D.556 千米
【例7】甲乙两人分别从A、B 两地同时出发，相向而行。甲的速度是8 公里/小时，
乙的速度是5 公里/小时，甲乙两人相遇时，距离A、B 两地的中点正好1 公里，问当甲到
达B 地后，乙还需要多长时间才能到达A 地？
A.39 分钟
B.31 分钟
C.22 分钟
D.14 分钟
【例8】一辆客车与一辆货车从东、西两个车站同时出发匀速相向而行，客车和货车
的行驶速度之比为4︰3。两车相遇后，客车的行驶速度减少10%，货车的行驶速度增加
20%，当客车到达西车站时，货车距离东车站还有17 公里。东、西两个车站的距离是（ ）
公里。
A.59.5
B.77
C.119
D.154
【例9】甲车从A 地开往B 地，乙车从B 地开往A 地。上午八点整，两车同时出发，
相向而行，相遇后继续向前。甲车又行驶了2 小时到达B 地，乙车又行驶了4.5 小时到达
A 地。甲乙两车到达目的地后都立即返回，则在返程途中两车再次相遇时，时间为：
A.15 点整
B.15 点半
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164
C.17 点整
D.17 点半
【例10】甲车从A 地开往B 地，乙车从B 地开往A 地。上午八点整，两车同时出发，
相向而行，相遇后继续向前。甲车又行驶了2 小时到达B 地，乙车又行驶了8 小时到达A
地。则在甲乙两车的速度比为：
A.1:2
B.1:4
C.2:1
D.4:1
【变速定点相遇】---抓住速度不变的主体破题
【例11】甲、乙两人分别从A、B 两地同时出发，6 小时后在A、B 两地中点相遇，
如果甲每小时多走8 公里，乙提前2 小时出发，则甲、乙两人仍在中点相遇，那么A、B
两地相距多少公里？
A.168
B.192
C.256
D.304
【例12】A、B 两地有一座桥，甲、乙两人分别从A、B 两地同时出发，3 小时在桥中
间相遇，如果甲加快速度，每小时多行2 千米，而乙提前0.5 小时出发，则仍旧在桥中间
相遇；如果甲延迟0.5 小时出发，乙每小时少走2 千米，还会在桥中间相遇，则A、B 相距
（ ）千米。
A.60
B.64
C.72
D.80
【例13】甲乙两人从P、Q 两地同时出发相向匀速而行，5 小时后于M 点相遇。若其
他条件不变，甲每小时多行4 千米，乙速度不变，则相遇地点距M 点6 千米；若甲速度不
变，乙每小时多行4 千米，则相遇地点距M 点12 千米，则甲乙两人最初的速度之比为（ ）。
A.2∶1
B.2∶3
C.5∶8
D.4∶3
【火车相遇问题】
两列火车从车头相遇到车尾分开：相遇
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165
①𝑆𝐴+ 𝑆𝐵= (𝑉𝐴+ 𝑉𝐵)×t
②对面火车驶过问题
A 车上的人看B 车驶过的时间：𝑆𝐵= (𝑉𝐴+ 𝑉𝐵)×𝑡𝐵；
B 车上的人看A 车驶过的时间：𝑆𝐴= (𝑉𝐴+ 𝑉𝐵)×𝑡𝐴
两列火车从车尾齐平到车头齐平：追及
③𝑆𝐴−𝑆𝐵= (𝑉𝐴−𝑉𝐵)×t
【例14】梦想号”和“启航号”两列火车在两条平行轨道上匀速相向而行，“梦想号”的车
长为270 米，“启航号”的车长为360 米。若“梦想号”的乘客从车窗看见“启航号”驶过的时
间是8 秒，则“启航号”的乘客从车窗看见“梦想号”驶过的时间是（ ）秒。
A.10
B.8
C.6
D.4
【例15】一列高铁列车A 车长420 米，另一列高铁列车B 车长300 米，在平行的轨道
上相向而行，从两个车头相遇到车尾相离经过30 秒。如果两车同向而行，列车B 在前，
列车A 在后，从列车A 车头遇到列车B 车尾再到列车A 车尾离开列车B 车头经过120 秒。
那么列车A 的速度为（）。
A.每小时54 公里
B.每小时100 公里
C.每小时200 公里
D.每小时300 公里
【两端出发---多次】
【例1】甲、乙两人在长30 米的泳池内游泳，甲每分钟游37.5 米，乙每分钟游52.5
米。两人同时分别从泳池的两端出发，触壁后原路返回，如是往返。如果不计转向的时间，
则从出发开始计算的1 分50 秒内两人共相遇多少次？
A.2
B.3
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166
C.4
D.5
【中途休息问题】-行驶时间+休息时间
【例2】甲乙两车早上分别同时从A、B 两地出发，驶向对方所在城市，在分别到达
对方城市并各自花费一小时卸货后，立刻出发以原速返回出发地。甲车的速度为60 千米/
小时，乙车的速度为40 千米/小时。两地之间相距480 千米。两车第二次相遇距离两车早
上出发经过了多少个小时？
A.13.4
B.14.4
C.15.4
D.16.4
【例3】甲、乙两公司相距2000 米，某日上午8:30 小明从甲公司出发到乙公司，小华
同时从乙公司出发到甲公司，两人到达对方公司后分别用8 分钟时间办事，然后原路返回。
假设小明的速度为4km/h，小华的速度为5km/h，则两人第二次相遇的时间是几点?
A.9:18
B.9:22
C.9:24
D.9:28
【比例倍数】
【比例关系】如上图
第n 次相遇与第1 次相遇相比：
总路程为第一次相遇的（2n－1）倍；时间为第一次的（2n－1）倍；A、B 自走的路
程都是第一次的（2n－1）倍。
【例4】甲乙两人同时沿直线跑道两端匀速相向而行，两人第一次迎面相遇时距跑道
中点50 米，两人到达跑道尽头时立即掉头重新出发，重新出发后两人第二次相遇，第二次
两人相遇也为迎面相遇，且距跑道中点150 米。则此时两人中速度较快一人比速度较慢一
人多行走多少米?
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167
A.150
B.400
C.200
D.300
【例5】AB 两点间有一条直线跑道，甲从A 点出发，乙从B 点出发，两人同时开始
匀速在两点之间往返跑步。第一次迎面相遇时离A 点1000 米，第三次迎面相遇时离B 点
200 米，此时甲到达B 点2 次，乙到达A 点1 次，问AB 两点间跑道的长度是多少米?
A.1400
B.1500
C.1600
D.1700
【能力扩展】
第一步：结合图示法，分别找到第n 次相遇和第m 次相遇时某个主体的行驶距离，记
为Sn和Sm。（注：每调头一次则迎面相遇一次）
第二步：根据
𝑆𝑛
𝑆𝑚=
2𝑛−1
2𝑚−1，列式求解。
【例6】甲、乙两人同时从A、B 两地出发相向而行，甲到达B 地后立即往回走，回
到A 地后，又立即向B 地走去；乙到达A 地后立即往回走，回到B 地后，又立即向A 地
走去。如此往复，行走的速度不变，若两人第二次迎面相遇，地点距A 地500 米，第四次
迎面相遇地点距B 地700 米，则A、B 两地的距离是：
A.1350 米
B.1460 米
C.1120 米
D.1300 米
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168
【例7】甲、乙两人同时从A、B 两地出发，相向前行，甲到达B 地后，立即往回走，
回到A 地后，又立即向B 地走去；乙到达A 地后，立即往回走，回到B 地后，又立即向A
地走去。两人如此往复，行走速度不变。若两人第二次迎面相遇的地点距A 地450 米，第
四次迎面相遇的地点距B 地650 米，则A、B 两地相距：
A.1020 米
B.950 米
C.1150 米
D.1260 米
【单岸两岸型】
（1）若两次距离都是距离同一端的，称之为“单岸型”，AB 两端的距离公式为：
3𝑆1+𝑆2
2
（其中S1为第一次相遇点与某端的的距离，S2为第二次相遇点与这一端的的距离）
（2）若两次距离是分别距离两端的，称之为“两岸型”，AB 两端的距离公式为：3𝑆1 −
𝑆2（其中S1为第一次相遇点与某端的的距离，S2为第二次相遇点与另一端的的距离）。
【例8】甲车从A 地、乙车从B 地同时出发匀速相向行驶，第一次相遇距A 地100 千
米，两车继续前进到达对方起点后立即以原速度返回，在距离A 地80 千米的位置第二次
相遇，则AB 两地相距多少千米？
A.170
B.180
C.190
D.200
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169
【例9】货车A 由甲城开往乙城，货车B 由乙城开往甲城，它们同时出发并以各自恒
定的速度行驶，在途中第一次相遇时，它们离甲城为35 千米。相遇后两车继续以原来的速
度行驶至目的地城市后立即折返，途中再一次相遇，这时它们离乙城为25 千米。则甲乙两
城相距（ ）千米。
A.80
B.85
C.90
D.95
【例10】甲、乙两汽车分别从P、Q 两地同时出发相向而行，途中各自速度保持不变，
他们第一次相遇在距P 点16 千米处，然后各自前行，分别到达Q、P 两点后立即折返。第
二次相遇是在距P 点32 千米处，则甲、乙两车的速度之比为：
A.2:3
B.2:5
C.4:3
D.4:5
【例11】甲从A 地，乙从B 地同时以均匀的速度相向而行，第一次相遇离A 地6 千
米，继续前进，到达对方起点后立即返回，在离B 地3 千米处第二次相遇，则A、B 两地
相距多少千米？
A.10
B.12
C.18
D.15
【例12】甲乙两车同时从A、B 两地相向而行，在距B 地54 千米处相遇，它们各自
到达对方车站后立即返回，在距A 地42 千米处相遇。请问A、B 两地相距多少千米？
A.120
B.100
C.90
D.80
【迎面相遇】
①若第二次为迎面相遇：𝑣𝐴＜2𝑣𝐵；
②从第一次相遇到追及相遇：A 比B 多走了2×𝑆𝐵（𝑆𝐵为第一次相遇时B 走的路程）
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
170
【例1】上午9 点整，甲从A 地出发，骑自行车去B 地，乙从B 地出发，开车去A 地。
两人第一次相遇时为9 点半，甲乙到达目的地后都立即返回。若甲乙的速度比为1∶3，则他
们第二次相遇时为：
A.9:40
B.9:50
C.10:00
D.10:10
【例2】甲乙二人分别从A、B 两地同时出发，相向而行，甲的速度是乙的4 倍，甲用
时15 分钟到达B 地后立即返回，甲乙第二次相遇后，乙再走多少分钟才能到达A 地？
A.40
B.30
C.45
D.33.3
【例3】丙地为甲、乙两地之间高速公路上的一个测速点，其与甲地之间的距离是与
乙地之间距离的一半，A、B 两车分别从甲地和乙地同时出发匀速相向而行，第一次迎面
相遇的位置距离丙地500 米，两车到达对方出发地后立刻原路返回，第二次两车相遇也为
迎面相遇，问第二次相遇的位置一定：
A.距离甲地1500 米
B.距离乙地1500 米
C.距离丙地1500 米
D.距离乙、丙中点1500 米
【例4】甲和乙走完AB 两地之间的距离分别需要120 分钟和x 分钟。某日甲从A 地
出发前往B 地，1 小时后乙从B 地出发前往A 地，两人到达目的地后都立刻折返。如甲和
乙前两次遇见都是迎面相遇，问x 的取值范围为：
A.30＜x＜150
B.30＜x＜180
C.40＜x＜150
D.40＜x＜180
【例5】A、B 两地间有条公路，甲从A 地出发步行到B 地，乙骑摩托车从B 地不停
地往返两地之间，若他们同时出发，80 分钟后两人第一次相遇，100 分钟后乙第一次超过
甲，当甲到达B 地时，甲乙相遇多少次？
A.5
B.7
C.9
D.10
【例6】河流赛道长120 米，水流速度2 米/秒，甲船速度为6 米/秒，乙船速度为4 米/
秒。比赛进行两次往返，甲、乙同时从起点出发，先顺水航行，问多少秒后甲、乙船第二
次迎面相遇？
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
171
A.48
B.50
C.52
D.54
【同端出发】
【例1】A、B 两地相距400 米，早上8 点小周和老王同时从A 地出发在A、B 两地间
往返锻炼。小周每分钟跑200 米，老王每分钟走80 米，问8 点11 分，小周和老王之间的
距离是多少米？
A.0
B.80
C.120
D.200
【例2】甲与乙同时从A 地出发匀速跑向B 地，跑完全程分别用了3 小时和4 小时，
下午4 点时，甲正好位于乙和B 地之间的中点上，问两人是下午什么时候出发的？
A.1 点24 分
B.1 点30 分
C.1 点36 分
D.1 点42 分
【例3】A、B 二人开车同时从甲地到乙地，A 到达乙地后立即返回，在距乙地64 千
米处与B 相遇，已知A 每小时行40 千米，B 每小时行24 千米，求甲乙两地相距多少千米？
A.192
B.256
C.320
D.512
【例4】甲、乙二人同时从A 地去B 地，甲每分钟行60 米，乙每分钟行90 米，乙到
达B 地后立即返回，并与甲相遇，相遇时，甲还需行3 分钟才能到达B 地，问A、B 两地
相距多少米？
A.1350 米
B.1080 米
C.900 米
D.720 米
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
172
【例5】小张和小王同时骑摩托车从A 地向B 地出发，小张的车速是每小时40 公里，
小王的车速是每小时48 公里。小王到达B 地后立即返回，又骑了15 分钟后与小张相遇。
那么A 地与B 地之间的距离是多少公里?
A.144
B.136
C.132
D.128
【例6】A、B 两辆车同时从甲地出发驶向乙地，A 车到达乙地后立即返回，返回途中
与B 车相遇，相遇点距乙地30 公里，相遇后A 车经过4 小时返回甲地，B 车经过0.5 小时
到达乙地，则A 车往返一趟总共用了多少小时？
A.10
B.6+2√2
C.10√2
D.8+√2
【例7】小王和小李沿着绿道往返运动，绿道总长度为6 公里。小王每小时走4 公里；
小李每小时跑8 公里。如果两人同时从绿道的一端出发，则两人第7 次相遇时的地点距离
出发点：
A.0 公里
B.2 公里
C.3 公里
D.4 公里
第七节【环形相遇】
【考点筑基】
【基础公式】nS=（𝑣1 + 𝑣2）×t，其中S 为环形周长，n 为相遇次数。
【常用技巧】
①方程法、赋值法、比例法
②比例问题：如上图：
时间相同时，V甲: V乙= S甲:S乙
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
173
【母题+强化】
【单次相遇】
【例1】甲、乙二人从同一地点同时出发，绕西湖匀速背向而行，35 分钟后甲、乙二
人相遇。已知甲绕西湖一圈需要60 分钟，则乙绕西湖一圈需要（ ）分钟。
A. 25
B. 70
C. 80
D. 84
【例2】甲乙二人沿环形跑道从同一地点同时背向开始跑步，35 秒后两人相遇。已知
甲跑一圈需要60 秒，乙跑一圈需要多少秒？
A. 77
B. 84
C. 91
D. 96
【例2】已知一形状为正六边形的跑道，边长为150 米，甲、乙两人分别从两个相对
的顶点同时出发，沿跑道相向匀速前进。两人第一次相遇时乙比甲多跑了50 米，则甲、乙
两人跑步的速度之比是：
A. 3∶5
B. 4∶5
C. 5∶3
D. 5∶4
【例3】甲、乙、丙、丁四人同时同地出发，绕一椭圆形环湖栈道行走，甲顺时针行
走，其余三人逆时针行走，已知乙的行走速度为60 米/分钟，丙的速度为48 米/分钟，甲在
出发6、7、8 分钟时分别与乙、丙、丁三人相遇，求丁的行走速度是多少？
A.31 米/分钟
B.36 米/分钟
C.39 米/分钟
D.42 米/分钟
【例4】王大妈与李大妈两人分别从小区外围环形道路上A、B 两点出发相向而行。
走了5 分钟两人第一次相遇，接着走了4 分钟后，李大妈经过A 点继续前行，又过了26 分
钟两人第二次相遇。问李大妈沿小区外围道路走一圈需要几分钟？
A. 54
B. 59
C. 60
D. 63
【多次相遇】
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
174
【例1】甲、乙两人从环形跑道的A 点同时出发背向而行，6 分钟后两人第一次相遇，
相遇后两人的速度各增加10 米每分钟，5 分钟后两人第二次相遇，问环形跑道的长度为多
少米？
A.600
B.500
C.400
D.300
【相遇次数问题】
①若从同点出发：n=
(𝑉1+𝑉2)×𝑡
𝑆
；
②若从不同点出发：n=
(𝑉1+𝑉2)×𝑡
𝑆
+
S−两个主体初始距离
S
（即先假设为开始就从同点出发，这
样计算出的结果偏少，因为默认为从同点出发的话相遇一次是一圈，而实际一开始不是同
点出发， 第一次相遇用不了一圈，因此要修正
S−两个主体初始距离
S
）
③计算出的结果为小数时，需要取整数部分。
【例2】在一次航海模型展示活动中，甲乙两款模型在长100 米的水池两边同时开始
相向匀速航行，甲款模型航行100 米要72 秒，乙款模型航行100 米要60 秒，若调头转身
时间略去不计，在12 分钟内甲乙两款模型相遇次数是：
A.9
B.10
C.11
D.12
【例3】某圆形跑道长为400 米，甲从跑道上A 点以6 米/秒的速度顺时针跑步前行。
乙在A 点对应直径的另一端B 点同时以5 米/秒的速度逆时针跑步前行，问在14 分钟内，
他们共相遇了多少次？
A.22
B.23
C.24
D.25
【例4】一条环形跑道的长度是400 米，甲和乙在相距200 米两个起点同时出发相向
而行，已知甲的速度是每分钟60 米，乙的速度是每分钟40 米，那么46 分钟时，两人相遇
了多少次？
A.13
B.12
C.10
D.11
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
175
【相遇点的问题】
①第一次相遇点距离出发点的距离𝑆𝐴𝐵=V乙× 𝑡，之后每次相遇，相遇点都会移动V乙× 𝑡；
则n 次相遇后的位置：
𝑛V乙×𝑡
𝑆
，取余数部分。
②周期问题：多少次相遇后回到原点：各个主体都刚好走的为整数圈时，根据速度比确
定，例如甲乙速度为5∶4，则甲走5 圈，乙走4 圈时回到出发点。
【例5】甲、乙两人在400 米环形跑道上从同一起点反向匀速慢跑，甲的速度为5 米/
秒，乙的速度为3 米/秒，则甲、乙两人经过多少分钟再次在起跑点相遇。
A.4 分10 秒
B.5 分50 秒
C.6 分40 秒
D.7 分30 秒
【例6】甲、乙、丙三个滑冰运动员在一起练习滑冰，已知甲滑一圈的时间，乙、丙
分别可以滑5/4 圈和7/6 圈，若甲、乙、丙同时从起点出发，则甲滑多少圈后三人再次在起
点相遇？
A.8
B.10
C.12
D.14
【例7】如下图所示，长度均为六分之五千米的三个圆形跑道汇聚于点O，若甲、乙、
丙三人分别以5 千米/小时、8 千米/小时、12 千米/小时的速度同时从O 点出发分别绕三个
圈奔跑，则三人再次相聚于O 点需经过多少分钟？
A.40
B.50
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
176
C.52
D.60
【例8】如下图所示，AB 两点是圆形体育场直径的两端，两人从AB 点同时出发，沿
环形跑道相向匀速而行，他们在距A 点弧形距离80 米处的C 点第一次相遇，接着又在距
B 点弧形距离60 米处的D 点第二次相遇，问这个圆形体育场的周长是多少米？
A.240
B.300
C.360
D.420
【例9】如图，正方形的迷你轨道边长为1 米，1 号电子机器人从点A 以1 米/秒的速
度顺时针绕轨道移动，2 号电子机器人从点A 以3 米/秒的速度逆时针绕轨道移动，则它们
的第2017 次相遇在：
A.点A
B.点C
C.点B
D.点D
【例10】甲、乙两人在圆形跑道上，同时从某地出发沿相反方向跑步。甲的速度是乙
的3 倍，他们第一次与第二次相遇地点之间的较短的跑道长度是100m。那么，圆形跑道的
周长是（ ）m。
A. 200
B. 300
C. 400
D. 500
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
177
第八节【直线追及】
【考点筑基】
【基础公式】S=（𝑣1 −𝑣2）×t，其中S 为追及距离。
【母题+强化】
【两主体】
【例1】在甲村到乙村的路中间有一个丙村，丙村正在修路，只能一辆车通行，两辆
车分别从甲村开到乙村，第一辆车8 点15 分从甲村出发，第二辆车9 点45 分从甲村出发，
第一辆车的速度每小时60 公里，第二辆车的速度每小时75 公里。当第一辆车通过丙村2
小时之后被第二辆车追上。问第一辆车到达丙村的时候，两辆车之间的距离是多少？
A.90 公里
B.75 公里
C.60 公里
D.30 公里
【例2】某宣讲团甲宣传员骑摩托车从红星村出发以20 公里/小时的速度去相距60 公
里的八一村，1 小时后由于路面湿滑，速度减少一半，在甲出发1 小时后，乙宣传员以50
公里/小时的速度开车从红星村出发追甲，当乙追上甲时，他们与八一村的距离为：
A.25 公里
B.40 公里
C.35 公里
D.30 公里
【例3】小芳和妹妹去10 公里之外的电影院看电影。小芳坐出租车，妹妹骑自行车，
小芳所乘出租车的速度是妹妹骑自行车速度的2 倍。小芳比妹妹晚15 分钟出发，最终两人
同时到电影院，那么小芳妹妹的时速是多少?
A.10 公里/时
B.15 公里/时
C.20 公里/时
D.30 公里/时
【例4】某人走失了一只小狗，于是开车沿路寻找，突然发现小狗沿路边往反方向走，
车继续前行30 秒后，他下车去追小狗，如果他的速度比小狗快3 倍、比车慢3/4。问追上
小狗需要多长时间？
A.165 秒
B.170 秒
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
178
C.180 秒
D.195 秒
【例5】小王乘坐匀速行驶的公交车，和人行道上与公交车相对而行、匀速行走的小
李相遇，30 秒后公交车到站，小王立即下车与小李同一方向匀速快步行走。已知他行走的
速度比小李的速度快一倍但比公交车的速度慢一半，则他多久之后追上小李？
A.3 分钟
B.2 分钟30 秒
C.2 分钟
D.1 分钟30 秒
【例6】某人乘坐公交车，公交车的速度是60km/h，下车10 分钟后他发现丢失了物品，
随即乘出租车追赶，出租车的速度是85km/h，出租车起步价是8 元（含4km），后1.5 元
/km，问当他追上公交车时出租车的车费是多少元？（ ）
A.40
B.46
C.48
D.53
【例7】小王和小张分别于早上8：00 和8：30 从甲地出发，匀速骑摩托车前往乙地。
10：00 小王到达两地的中点丙地，此时小张距丙地尚有5 千米。11：00 时小张追上小王。
则甲、乙两地相距多少千米？
A.50
B.75
C.90
D.100
【例8】设乙地在甲、丙两地之间，小赵从乙地出发到甲地去送材料，小钱从乙地到
丙地去送另一份材料，两人同时出发，10 分钟后，小孙发现小赵小钱两人都忘记带介绍信，
于是他从乙地出发骑车去追赶小赵和小钱，以便把介绍信送给他们。已知小赵小钱小孙的
速度之比为1∶2∶3，且中途不停留。那么，小孙从乙地出发到把介绍信送到后返回乙地最少
需要多少分钟？
A.45
B.70
C.90
D.95
【例9】一只猎豹锁定了距离自己200 米远的一只羚羊，以30m/s 的速度发起进攻，2
秒钟后，羚羊意识到危险，以20m/s 的速度快速逃命。问猎豹捕捉到羚羊时，羚羊跑了多
少路程？
A. 520 米
B. 360 米
C. 280 米
D. 240 米
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179
【例10-火车问题】一列货运火车和一列客运火车同向匀速行驶，货车的速度为72 千
米/时，客车的速度为108 千米/时。已知货车的长度是客车的1.5 倍，两列火车由车尾平齐
到车头平齐共用了20 秒，则客运火车长（ ）米。
A. 160
B. 240
C. 400
D. 600
【例11】有一行人和一骑车人都从A 向B 地前进，速度分别是行人3.6 千米/小时，骑
车人为10.8 千米／小时，此时道路旁有列火车也由A 地向B 地疾驶，火车用22 秒超越行
人，用26 秒超越骑车人，这列火车车身长度为（）米。
A. 232
B. 286
C. 308
D. 1029.6
第九节【环形追及】
【考点筑基】
【基础公式】nS=（𝑣1 −𝑣2）×t，其中S 环形周长，n 为追上的次数
①不同点出发：第一次追及相当于圆弧追及，从第二次开始才是完整环形追及。
②同点出发的环形追及问题，每追上一次，都会超过一圈。
【母题+强化】
【例1】环形跑道周长400 米，甲乙两个运动员同时从起跑线同向出发，甲每分钟跑
375 米，乙每分钟跑365 米，多少时间后甲乙再次遇见?
A. 34 分钟
B. 36 分钟
C. 38 分钟
D. 40 分钟
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180
【例2】如图、在长方形跑道上，甲乙两人分别从A、C 处同时出发，按顺时针方向
沿跑道匀速奔跑，已知甲乙两人的速度分别是5 米/秒、4.5 米/秒。则当甲第一次追上乙时，
甲沿长方形跑道跑过的圈数是：
A. 4
B. 4.5
C. 5
D. 5.5
【例3】张明和李亮两人绕操场竞走，操场一周是400 米，李亮每分钟走80 米，张明
的速度是李亮的1.25 倍，现在张明在李亮的前面100 米，则两人第一次追上在：
A.8 分钟后
B.7 分钟后
C.15 分钟后
D.30 分钟后
【例4】环形跑道长400 米，老张、小王、小刘从同一地点同向出发，围绕跑道分别
慢走、跑步和骑自行车。已知三人的速度分别是1 米/秒、3 米/秒和6 米/秒，问小王第3 次
超越老张时，小刘已经超越了小王多少次？
A.1
B.2
C.3
D.4
【例5】甲、乙两名运动员在400 米的环形跑道上练习跑步，甲出发1 分钟后乙同向
出发，乙出发2 分钟后第一次追上甲，又过了8 分钟，乙第二次追上甲，此时乙比甲多跑
了250 米，问两人出发地相隔多少米？
A.200
B.150
C.100
D.50
【例6】甲、乙两人从运动场同一起点同向出发，甲跑步速度为200 米/分钟，乙步行，
当甲第5 次超越乙时，乙正好走完第三圈，再过1 分钟，甲在乙前方多少米（）
A.105
B.115
C.120
D.125
【变速追及】
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181
①若最初两人的速度分别为a 和b，每追上一次两人总走：𝑆×
𝑎+𝑏
𝑎−𝑏；
②若最初两人的速度分别为a 和b，每追上一次，一人速度减少
1
𝑚，一人速度增加
1
𝑚，
追上n 次时速度相等：(
𝑚+1
𝑚−1)𝑛=
𝑎
𝑏
【例7】小花猫和大黄狗从一周长为210 米的环形花园的同一起点同时出发，沿着花
园同向奔跑，已知小花猫和大黄狗的初始速度分别为20 米/分，160 米/分。每当大黄狗追
上小花猫一次，大黄狗就减速1/3，小花猫则提速1/3。那么，当小花猫和大黄狗速度刚好
相等时，他们共跑了（ ）米。
A.1250
B.940
C.750
D.1310
【例8】甲乙两车分别以96 千米/小时、24 千米/小时的速度在一长288 千米的环形公
路上行驶。如果甲乙两车在同一地点、沿同一方向同时出发，甲每次追上乙时甲减速1/3，
而乙增速1/3，则当甲乙速度相等时甲所行驶的路程是：
A.950 千米
B.960 千米
C.970 千米
D.980 千米
【例9】在周长为300 米的环形跑道的某处，甲、乙两人分别以6 米/秒，3 米/秒的速
度同时同向出发，沿跑道奔跑，甲每次追上乙后都减速0.5 米/秒，直至他们两人的速度相
同，问在他们出发后的30 分钟内，甲和乙以相同速度跑过的路程为多少米?
A. 990
B. 1080
C. 1530
D. 1800
【特殊点-中点、起点】
①若甲乙的连线过圆心，说明甲比乙多跑了半圈。
②若甲追上乙的时候，刚好是出发点：说明甲乙走的都是整数圈，根据速度比等于路
程比得到答案。
【例10】在一条400 米的圆形跑道上，甲乙两人同时从起点同向出发，甲速度为100
米/分钟，乙速度为80 米/分钟，则甲乙二人的连线第一次通过该圆形跑道的中心时，甲跑
的是：
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182
A.第10 圈
B.第20 圈
C.第3 圈
D.第5 圈
【例11】一条环形赛道前半段为上坡，后半段为下坡，上坡和下坡的长度相等。两辆
车同时从赛道起点出发同向行驶，其中A 车上下坡时速相等，而B 车上坡时速比A 车慢
20%，下坡时速比A 车快20%。问在A 车跑到第几圈时，两车再次齐头并进?
A.22
B.23
C.24
D.25
【例12】有甲、乙、丙3 人，甲每分钟行走120 米，乙每分钟行走100 米，丙每分钟
行走70 米。如果3 人同时同向，从同地出发，沿周长是400 米的圆形跑道行走，那么最少
经过多少分钟以后，3 人来到跑道上的同一处？
A.30
B.40
C.45
D.60
【三主体依次追及问题】
三个人同时同地出发，甲超过乙一圈需要𝑡2，甲超过丙一圈需要𝑡1，则乙超过丙一圈
的时间：
①找两次追及时间的最小公倍数，最小公倍数除每次的追及时间，分别计算追了几
圈，计算圈数之差；
②t=
𝑡1×𝑡2
𝑡1−𝑡2
S=（𝑉甲−𝑉乙）×𝑡2；S=（𝑉甲−𝑉丙）×𝑡1；S=（𝑉乙−𝑉丙）×t；
【例1】甲、乙、丙三人跑步比赛，从跑道起点出发，跑了20 分钟，甲超过乙一圈，
又跑了10 分钟，甲超过丙一圈，问再过多长时间，丙超过乙一圈？
A.30 分钟
B.40 分钟
C.50 分钟
D.60 分钟
【例2】老杨、老朱、小郭三人开展社区巡防工作，三人从社区工作站同时同向出发，
绕社区外围持续巡逻，老杨开巡逻车，老朱骑自行车，小郭步行，已知老杨与小郭每20 分
钟相遇一次，老杨与老朱每40 分钟相遇一次，则老朱与小郭每（ ）分钟相遇一次。
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183
A.20
B.30
C.40
D.50
【直线三主体互相追及】
【例3】清晨，爷爷、爸爸和小磊在同一条笔直跑道上朝同一方向匀速晨跑。某一时
刻，爷爷在前，爸爸在中，小磊在后，且三人之间的间距正好相等。跑了12 分钟后小磊追
上了爸爸，又跑了6 分钟后小磊追上了爷爷，则再过（ ）分钟，爸爸可追上爷爷。
A.12
B.15
C.18
D.36
【例4】甲、乙、丙三辆汽车分别从A 地开往千里之外的B 地。若乙比甲晚出发30 分
钟，则乙出发后2 小时追上甲；若丙比乙晚出发20 分钟，则丙出发后5 小时追上乙。若甲
出发10 分钟后乙出发，当乙追上甲时，丙才出发，则丙追上甲所需时间是：
A.110 分钟
B.150 分钟
C.127 分钟
D.128 分钟
【例5】小王、小李、小张三人决定各自开车自驾游从S 市出发前往L 市。小张最先
出发，若小李比小张晚出发10 分钟，则小李出发后40 分钟追上小张；若小王又比小李晚
出发20 分钟，则小王出发后1 小时30 分钟追上小张；假设S 市与L 市相距足够远，且三
人均匀速行驶，则小王出发后（ ）小时追上小李。
A.1
B.2
C.3
D.5
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184
第十节【相遇追及】
【直线】
【等发车前后过车】
方法一：若每隔n 分钟发一辆A 类车，此后每过x 分钟有一辆A 类车追上同向的C
车，每y 分钟有一辆对面驶过的A 类车与C 车相遇。则此时的路程和与路程差都等于相邻
两辆A 类车的间隔，若设该路程为S，S=VA × t发车间隔，可列式为：
S=（VA −VC）×t追及时间；S=（VA + VC）×t相遇时间（S 可赋值为时间的公倍数求解）。
方法二：发车时间间隔T=
2t追及时间×t相遇时间
t追及时间+t相遇时间
。
【例1】某人沿电车线路匀速行走，每12 分钟有一辆电车从后面追上，每4 分钟有一
辆电车迎面开来。假设两个起点站的发车间隔是相同的，求这个发车间隔？
A.2 分钟
B.4 分钟
C.6 分钟
D.8 分钟
【例2】地铁检修车沿地铁线路匀速前进，每6 分钟有一列地铁从后面追上，每2 分
钟有一列地铁迎面开来。假设两个方向的发车间隔和列车速度相同，则发车间隔是：
A.2 分钟
B.3 分钟
C.4 分钟
D.5 分钟
【例3】往返A 市和B 市的长途汽车以同样的发车间隔从两个城市分别发车，以每小
时40 公里的速度前往目标城市。上午9 点多，李先生以每小时50 公里的速度开车从A 市
长途汽车站前往B 市长途汽车站，路途中总共追上了3 辆从A 市开往B 市的长途汽车。问
他在路途中最多能迎面遇到多少辆从B 市开往A 市的长途汽车？
A.27
B.25
C.36
D.34
【例4】为了保持赛道清洁，每隔10 分钟会有一辆清扫车从起点出发，匀速清扫赛道。
甲、乙两名车手分别驾驶电动车和自行车考察赛道，甲每隔5 分钟追上一辆清扫车，每隔
20 分钟有一辆清扫车追上乙，问甲的速度是乙的多少倍？
A.3
B.4
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185
C.5
D.6
【队伍行进】
队头→队尾：队伍长度＝（人速＋队伍速度）×时间；
队尾→队头：队伍长度＝（人速－队伍速度）×时间。
【例1】一支600 米长的队伍行军，队尾的通讯员要与最前面的连长联系，他用3 分
钟跑步追上了连长，又在队伍休息的时间以同样的速度跑回了队尾，用了2 分24 秒，如队
伍和通讯员均匀速前进，则通讯员在行军时从最前面跑步回到队尾需要多长时间?
A. 48 秒
B. 1 分钟
C. 1 分48 秒
D. 2 分钟
【例2】一列队伍沿直线匀速前进，某时刻一传令兵从队尾出发，匀速向队首前进传
送命令，他到达队首后马上以原速返回，当他返回队尾时，队伍行进的距离正好与整列队
伍的长度相等。问传令兵从出发到最后到达队尾所行走的整个路程是队伍长度的多少倍?
A.1.5
B.2
C.1＋√2
D.1＋√3
【例3】有两个班的学生从南部校区到北部校区参加活动，但只有一辆车接送。第一
班的学生坐车从学校出发的同时，第二个班的学生开始步行。车到途中某处，让第一个班
的学生下车步行，车立刻返回接第二班学生上车并直接开往北部校区，学生步行速度为每
小时4 公里，汽车载学生时车速每小时40 公里，空车每小时50 公里。问：要使两班学生
同时到达北部校区，第二班学生要步行全程的（ ）。
A.1/6
B.1/7
C.1/8
D.1/10
【环形】
【例1】甲和乙在长400 米的环形跑道上匀速跑步，如两人同时从同一点出发相向而
行，则第一次相遇的位置距离出发点有150 米的路程；如两人同时从同一点出发同向而行，
问跑得快的人第一次追上另一人时跑了多少米？
A. 600
B. 800
C. 1000
D. 1200
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186
【例2】甲、乙两人同时从同一地点出发沿同一环形跑道进行健身锻炼，甲跑步，乙
走路。若甲追上乙所需时间是两人相向而行相遇所需时间的3 倍，则甲、乙的速度之比是：
A.3︰1
B.5︰2
C.2︰1
D.3︰2
【例3】环形跑道的周长为400 米，甲乙两人骑车同时从同一地点出发，匀速相向而
行，16 秒后甲乙相遇。相遇后，乙立即调头，6 分40 秒后甲第一次追上乙，问甲追上乙的
地点距原来的起点多少米？
A.8
B.20
C.180
D.192
【例4】某环形公路长15 千米，甲、乙两人同时同地沿公路骑自行车反向而行，0.5
小时后相遇，若他们同时同地同向而行，经过3 小时后，甲追上乙，问乙的速度是多少？
A.12.5 千米/小时
B.13.5 千米/小时
C.15.5 千米/小时
D.17.5 千米/小时
【例5】某环形跑道，两人由同一起点同时出发，异向而行，每隔10 分钟相遇一次；
如果两人由同一起点同时出发，同向而行，每隔25 分钟相遇一次。已知环形跑道的长度是
1800 米，那么两人的速度分别是多少？
A.126 米/分、54 米/分
B.138 米/分、42 米/分
C.110 米/分、70 米/分
D.100 米/分、80 米/分
【例6】王大妈与李大妈两人分别从小区外围环形道路上A、B 两点出发相向而行。
走了5 分钟两人第一次相遇，接着走了4 分钟后，李大妈经过A 点继续前行，又过了26 分
钟两人第二次相遇。问李大妈沿小区外围道路走一圈需要几分钟？
A.54
B.59
C.60
D.63
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187
第十一节【匀变速类】
【考点筑基】
【基础公式】
① 𝑉𝑡= 𝑉0 + 𝑎𝑡，其中𝑎为加速度，𝑉0为初速度，𝑉𝑡为t 时间后的速度；
② 𝑉0 + 𝑉𝑡
2
= 𝑣̅
③ 𝑆=
𝑉0+𝑉𝑡
2
× 𝑡= 𝑉0𝑡+
1
2 𝑎𝑡2 =
𝑉𝑡2−𝑉02
2𝑎
；
【函数图像】
①红线：表示初速度为0，黑线：表示初速度为𝑉0，𝑡1时刻表示两个速度相等。
②行驶的路程S=梯形的面积或三角形的面积，当梯形的面积等于三角形面积时表明二者
行驶的路程相等。
【母题+强化】
【例1】一辆汽车在高速公路上以60 公里/小时的速度匀速行驶，此时司机开始以固定
的加速度进行加速，加速后50 秒内，汽车行驶了1 公里。则汽车从开始加速，到加速至高
速公路的速度上限120 公里/小时需要多长时间？
A.100 秒
B.125 秒
C.150 秒
D.180 秒
【例2】从某车站以加速度为
1
18m/s²始发的甲列车出发后9 分钟，恰好有一列与甲列车
同方向，并以50 米/秒作匀速运行的乙车通过该车站，则乙车运行多少分钟与甲车距离为
最近？
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188
A. 9
B. 3
C. 5
D. 6
【例3】上午8 点，甲、乙两车同时从A 站出发开往1000 公里外的B 站。甲车初始速
度为40 公里/小时，且在行驶过程中均匀加速，1 小时后速度为42 公里/小时；乙车初始速
度为50 公里/小时，且在行驶过程中均匀减速，1 小时后速度为48 公里/小时。问中午12
点前，两车最大距离为多少公里？
A.8
B.12.5
C.16
D.25
【例4】甲和乙两人8:00 同时从A 地出发前往B 地，其中乙全程匀速，甲出发时的速
度是乙的一半，但全程均匀加速。已知10:00 甲追上乙，11:00 甲到达B 地。问乙什么时间
到达B 地?
A.12：15
B.12：00
C.11：45
D.11：30
【例5】一辆汽车从甲地开往乙地，先以40 千米／小时的速度匀速行驶一半的路程，
然后均匀加速；行驶完剩下路程的一半时，速度达到80 千米／小时；此后均匀减速，到达
乙地时的速度正好降为0。问其全程的平均速度在以下哪个范围内？
A.不到44 千米/小时
B.在44～45 千米/小时之间
C.在45～46 千米/小时之间
D.超过46 千米/小时
【例6】甲、乙两辆小车从相距100 米的轨道两端同时出发相向而行，甲车以2 米/秒
的速度匀速行驶，乙车从静止状态开始以1 米/秒²的加速度均匀加速行驶，到达终点后停下。
问以下哪个图能准确描述甲乙各自到达终点前，两车之间的距离与时间的关系（横轴为时
间，纵轴为直线距离）？D
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189
【例7】两辆完全相同的汽车沿水平公路一前一后匀速行驶，A 车在前，B 车在后，速
度均为V。若A 车突然以恒定的加速度刹车，在它刚停住时，B 车以A 车刹车时的加速度
开始刹车。已知A 车在刹车过程中所行驶的路程为S，若要保证两车在上述过程中不相撞，
则两车在匀速行驶时保持的距离至少应为（ ）。
A.S
B.2S
C.3S
D.4S
【例8】甲从A 地骑车前往B 地，出发时的速度为x 千米/小时，出发后均匀加速，到
达B 地时的速度为1.5x 千米/小时。如甲到达B 地后，立刻保持原加速度继续均匀加速返
回A 地，其到达A 地时的速度比从B 地返程时快：
A.不到0.4x 千米/小时
B.0.4x-0.5x 千米/小时之间
C.0.5x-0.6x 千米/小时之间
D.0.6x 千米/小时以上
【例9】下图是一辆汽车行驶在道路上速度（V）随时间（T）变化的关系图，则下列
说法正确的是（ ）。
A.汽车在第6 分钟的时候回到原出发点
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190
B.汽车在第2 分钟的时候距离出发点最远
C.汽车在第2 分钟的速度与第6 分钟的速度大小相等
D.汽车在0—2 分钟时的加速度与2—4 分钟时的加速度相同
第十二节【间歇变速】
【间歇到达】
某人每走x 分钟休息y 分钟，已知速度和路程，求解到达目的地的时间：
设需要n 个周期余m 分钟到达，可列nx+m=实际行驶时间；
①若m=0,则总时间=n(x+y)-y；（即行驶了 n 个周期，但最后一个周期不需要休息）
②若m≠0，则总时间= n(x+y)+m（即行驶了n 个周期，余m 分钟的路程）
【例1】小王去一个离家12 公里的地方，他每小时步行3 千米，每步行50 分钟他要
休息10 分钟，8 点整出发，他几点可以到目的地？
A.12:00
B.12:30
C.12:35
D.12:40
【例2】老李每天早晨9 点准时出门散步锻炼身体。他以3 公里每小时的速度步行6
公里，其中每走20 分钟休息5 分钟。那么老李锻炼到（ ）回家。
A.11 点20 分
B.11 点25 分
C.11 点30 分
D.11 点45 分
【间歇追及】
（1）若甲的速度为𝑉甲，但每x 分钟休息y 分钟，乙匀速行驶的速度为𝑉乙，二人相距
S，甲追上乙的时间：
①求出一个周期（x+y）分钟内甲比乙多走的路程：x𝑉甲−(𝑥+ 𝑦)𝑉乙,记为𝑆周期；
②n×𝑆周期+𝑆余= 𝑆。求出n 和𝑆余
③总时间=n（x+y）+
𝑆余
𝑉甲−𝑉乙
。
（2）若两人都是间歇运动，则结合选项代入排除。
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191
【例1】甲、乙两人骑车在路上追逐，甲的速度为27 千米/小时，每骑5 分钟休息1 分
钟，乙的速度是300 米/分，现在已知乙先行1650 米，甲开始追乙，甲追到乙所需的时间
是：
A.10 分钟
B.15 分钟
C.16 分钟
D.17 分钟
【例2】已知A、B 两地相距9 公里，甲、乙两人匀速从A 地前往B 地。甲每小时走
6 公里，每走半小时休息15 分钟；乙比甲早15 分钟出发，中间不休息。若他们在途中
（不含起点和终点）相遇了2 次，则乙从A 地到B 地所用的时间至少为：
A. 75 分钟
B. 120 分钟
C. 135 分钟
D. 150 分钟
【例3】已知A、B 两地相距9 公里，甲乙两人沿同一条路从A 地匀速去往B 地，甲
的速度为6 公里/小时，每走半小时休息15 分钟；乙比甲早15 分钟出发，中途不休息。若
他们在途中（不包括起点和终点）至少相遇2 次，则甲、乙两人到达B 地的时间最多相差：
A. 30 分钟
B. 45 分钟
C. 60 分钟
D. 75 分钟
【例2】甲、乙两人从湖边某处同时出发，反向而行，甲每走50 分钟休息10 分钟，
乙每走1 小时休息5 分钟。已知绕湖一周是21 千米，甲、乙的行走速度分别为6 千米/小
时和4 千米/小时，则两人从出发到第一次相遇所用的时间是：
A.2 小时10 分钟
B.2 小时22 分钟
C.2 小时16 分钟
D.2 小时28 分钟
第十三节【杂糅类】
【考点筑基】
①行程+几何：
I.直角坐标系类：将运动的主体构建在直角三角形内，根据特殊角度和勾股定理求解。
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
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II.直角三角形+圆、正六边形：过圆心的三角形为直角三角形；正六边形内形成等腰三角
形。
②行程+植树：
直线植树：棵树=总长÷间隔+1；
【母题+强化】
【例1】A 地在B 地正北方x 千米处，甲从A 地出发以4 千米/小时的速度向南行走，
同时乙从B 地出发以8 千米/小时的速度向西慢跑，出发20 分钟后，甲与乙的距离为x 千
米。问x 的值为：
A.5/3
B.6
C.3
D.10/3
【例2】两条公路成十字交叉，甲从十字路口南1200 米处向北直行，乙从十字路口处
向东直行。甲、乙同时出发10 分钟，两人与十字路口的距离相等，出发后100 分钟，两人
与十字路口的距离再次相等，此时他们距离十字路口 米。
A.6600
B.6000
C.5600
D.5400
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
193
【例3】已知一形状为正六边形的跑道，边长为150 米，甲、乙两人分别从两个相对
的顶点同时出发，沿跑道相向匀速前进。两人第一次相遇时乙比甲多跑了50 米，则甲、乙
两人跑步的速度之比是：
A.3∶5
B.4∶5
C.5∶3
D.5∶4
【例4】一艘非法渔船作业时发现其正右方有海上执法船，于是沿下图所示方向左转
30°后，立即以15 节（1 节＝1 海里/小时）的速度逃跑，同时执法船沿某一直线方向匀速追
赶，并正好在某一点追上。已知渔船在被追上前逃跑的距离刚好与其发现执法船时与执法
船的距离相同，问执法船的速度为多少节？
A. 20
B. 30
C.15√3
D.10√3
【例5】部队前哨站的雷达监测范围为100 千米。某日前哨站侦测到正东偏北
30°100 千米处，一架可疑无人机正匀速向正西方向飞行。前哨站通知正南方向150 千米处
的部队立即向正北方向发射无人机拦截，匀速飞行一段时间后，正好在某点与可疑无人机
相遇。问我方无人机速度是可疑无人机的多少倍？
A.
2√5
3
B.
4√3
3
C.√3 + 1
D.3√3 −1
【例6】 “幸福号”客轮星期一沿着河岸60 度夹角方向前行，刚好到达对岸码头，星
期二“幸福号”准备返回时，沿河岸30 度夹角方向返回，顺利到达码头。假设客轮往返速度
均是v 千米/小时，且行驶过程中河水流速是恒定的，问返程时河水流速是去程时的多少倍？
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
194
A.√3
3
B.
1
2
C.√3
D.2
【例7】 如图所示，甲和乙在面积为54π 平方米的半圆形游泳池内游泳，他们分别从
位置A 和B 同时出发，沿直线同时游到位置C。若甲的速度为乙的2 倍，则原来甲、乙两
人相距：
A. 9√2米
B. 15 米
C. 9√3米
D. 18 米
【例8】老王围着边长为50 米的正六边形的草地跑步，他从某个角点出发，按顺时针
方向跑了500 米，距出发点直线距离多少米？
A.50√2
B.50√3
C.25(√2 + 1)
D.50(√3 −1)
【植树】水文工作人员小张和小刘同时乘坐相同的船，分别从下游的A 码头和上游的
B 码头出发前往对方所在码头，并沿途采集水样。两人出发时各采集第一份水样，往后每
行驶1.31 千米采集一份水样。两船相遇时，小张正好采集第16 份水样。已知船在静水中
的速度是水流速度的5 倍，那么两人全程一共采集了多少份水样?
A.38
B.39
C.76
D.78
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195
（四）几何问题
【学前筑基】
【相似】
（1）相似三角形判定法则：
1.平行于三角形一边的直线和其他两边所构成的三角形与原三角形相似（如图）；
2.两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似；
3.三边对应成比例，两个三角形相似。
（2）相等的两个角对应的边长成比例。
𝑂𝐴
𝑂𝐶=
𝑂𝐵
𝑂𝐷=
𝐴𝐵
𝐶𝐷
【角度】
外角和=360°；内角和=（n-2）×180°
【例1 】已知A 和B 分别为OC 和OD 的三分点，则AB∶CD=________ ；
𝑆△𝑂𝐴𝐵: 𝑆△𝑂𝐴𝐵= __________
【例2】已知长方体AB=6，AE=2，BC=5，求EF∶FC=__________；求𝑆△𝐸𝐹𝐵=_______。
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196
【例3】乙地在甲地的正东方26 千米处，丙地在甲、乙两地连线的北方，且与甲、乙
的距离分别为24 千米和10 千米。一辆车从甲、乙两地中点位置出发向正北方行驶，在经
过甲丙连线时，与丙地的距离在以下哪个范围内？
A.不到8 千米
B.8-9 千米
C.9-10 千米
D.10 千米以上
【例4】某长方形田地ABCD 的长为250 米，其中有一条直路连接两个相对的顶点A
和C，而B 顶点与这条直路的最短距离为70 米。
①求OC=________；
②△𝐴𝐵𝑂∽△𝐵𝑂𝐶，则
𝐴𝑂
𝐵𝑂=
( )
( ) =
( )
( )
③△𝐴𝐵𝐶∽△𝐵𝑂𝐶，则
𝐴𝐵
𝐵𝑂=
( )
( ) =
( )
( )
【例5】某电脑游戏是通过控制屏幕中的小海龟前进后退或旋转，来绘制出各种图案。
若控制小海龟每前进10cm 就逆时针旋转α°，称作一次操作，恰好经过了5 次操作后，小
海龟首次回到起点。那么下列满足条件的角度为 。
A.45°
B.90°
C.120°
D.144°
【例6】科技馆为某机器人编制一段程序，如果机器人在平地上按照图中所示的步骤
行走，那么该机器人所走的总路程为多少米？
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197
A.20 米
B.15 米
C.12 米
D.10 米
【例7】若一个多边形有且仅有两个内角为钝角，有至少两个外角为锐角，问该多边
形最多有几条边？
A.4
B.5
C.6
D.7
【例8】如图所示，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数是__________。
A.720°
B.540°
C.360°
D.108°
【例9】如右图所示，在△ABC 中，已知AB＝AC，AM＝AN，∠BAN=30°，∠MNC
的度数是多少？
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198
A.15°
B.20°
C.25°
D.30°
【解析】∠C+α=∠AMN=∠ANM，∠AMN+α=30°+∠B。
第一节【平面几何】
【三角形】
【直角-考点筑基】
【直角三角形】
（1）面积：
1
2 𝑎× 𝑏=
1
2 h × c
（2）特殊角度：30°和45°；√2≈1.414，√3≈1.732
（3）勾股定理：
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199
（4）特殊性质：
①射影定理：BD²=AD·DC （2）AB²=AD·AC（3）BC²=CD·CA
②斜边中线定理：
直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半OA=OB=0C（即直角三角形的外心位于斜边
的中点，外接圆半径R=
𝐴𝐶
2 。
③内切圆和内接正方形：
内切圆：半径OD=CD=
AC+BC−AB
2
=
2𝑆
𝑎+𝑏+𝑐
内接正方形：边长=
𝐴𝐵×𝐵𝐶
𝐴𝐵+𝐵𝐶，当AB=BC 时，面积最大。
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200
【母题强化】
【周长和面积】
【例1】某训练基地的一块三角形场地的面积是1920 平方米。已知该三角形场地的三
边长度之比是5∶12∶13，则其周长是：
A.218 米
B.240 米
C.306 米
D.360 米
【例2】已知一直角三角形的一个直角边长为12，且周长比面积的数值小18，则该三
角形的面积是：
A.20
B.36
C.54
D.96
【例3】若一直角三角形的周长与面积的数值相等，且两直角边长之和为14,则该三角
形的面积是：
A.20
B.24
C.12
D.6.2
【勾股定理】
【例1】一直角三角形最长边是10 厘米，最短边是6 厘米，则这个三角形的面积是多
少平方厘米？
A.24
B.30
C.48
D.60
【例2】如下图所示，在直角三角形ABC 中，MN 是中位线。已知四边形ABMN 与三
角形MNC 的周长比为28：15，则AC 与BC 的长度比是：
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201
A.5∶12
B.5∶7
C.3∶4
D.6∶7
【例3】兔子和乌龟举行一场跑步比赛，终点位于起点正北方500 米位置。兔子的速
度是乌龟的5 倍，兔子和乌龟同时出发，兔子先向正东方跑了一会儿后意识到自己方向错
误，马上直奔终点，速度不变，结果兔子和乌龟同时到达。问兔子意识到自己的错误时已
经跑了多少米？
A. 600
B. 1200
C. 2400
D. 3000
【例4】一个半圆形拱门的宽和高分别为8 米和4 米，一辆货车拉着宽4.8 米、每层高
20 厘米的泡沫板通过该拱门。如果车斗底部与地面的垂直距离为1.1 米，问要通过拱门，
每次最多可以装载几层泡沫板?
A.9
B.10
C.11
D.12
【能力扩展】
可提取公因数后再求勾股数：例如2.4、3.2，写为0.8×3，0.8×4，则另一个为
0.8×5=4。
【例5】有一个长方形的对角线为17cm，长比宽多3cm，那么这个长方形的面积为：
A.140cm²
B.136cm²
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202
C.132cm²
D.128cm²
【例6】边长为10 厘米的正方形ABCD 如下图所示，E 为正方形中某一点，已知AE
长8 厘米，BE 长6 厘米，问三角形ADE 的面积为多少平方厘米？
A.24
B.32
C.44
D.48
【能力扩展】
①BD=
𝐴𝐵×𝐵𝐶
𝐴𝐶；
②△ABC∽△ABD∽△BCD，对应边成比例可得，CD=
𝐵𝐶×𝐵𝐶
𝐴𝐶；
③EF 为垂直平分线，则DE=CD－
𝐴𝐶
2 ；
【例7】军事演习的模拟战场上有3 个要点，B 点在A 点正北方3 千米处，C 点在A
点正东方4 千米处。现某部队保持与B、C 两点相同的距离穿过战场，其在行进过程中，
与A 点之间最短的距离为多少千米？
A.0.5
B.0.6
C.0.7
D.0.875
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203
【例8】台风中心从A 地以每小时20 公里的速度向东北方向移动，离台风中心30 公
里内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40 公里处。B 城处于危险区内的时间为:
A.1.5 小时
B.1 小时
C.0.5 小时
D.2 小时
【例9】气象台测得在S 岛正东方向80 千米处，一台风中心正以20 千米/小时的速度
沿北偏西60 度的方向匀速移动。若台风中心50 千米范围内为影响区域，台风中心移动方
向不变、强度不变，该台风对S 岛的影响时间约持续：
A.2 小时
B.3 小时
C.4 小时
D.5 小时
【例10】如下图所示，一张边长8 厘米的正方形纸片先进行对折，再沿着两边的中点
连线剪掉一个角后，则剩下部分展开面积是多少平方厘米？
A.16
B.32
C.36
D.48
【例11】如下图所示，正方形ABCD 的边长是14 厘米，其中，BE＝CE＝7 厘米。如
果点P 以每秒2 厘米的速度沿着边线CD 从点C 出发到点D，那么三角形AEP 的面积将以
每秒（ ）平方厘米的速度增加。
A.7
B.8
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204
C.9
D.10
【例12】海岸线附近的救生员A 发现海中有溺水者B，于是前往营救，他们的位置如
图所示，救生员到海岸线的最短距离AC 和溺水者到海岸线的最短距离BD 均为10 米，米，
现在有三条营救线路：（1）折线ACB；（2）线段AB；（3）折线ADB。已知救生员跑步的
速度是15 公里/小时，游泳的速度是6 公里/小时，为了尽快赶到溺水者处，应当选择（ ）。
A.线路（1）
B.线路（2）
C.线路（3）
D.三条路线一样
【例13】一只小鸟离开在树枝上的鸟巢，向北飞了20 米，之后又向东飞了20 米，然
后又向上飞了20 米。最后，它沿着到鸟巢的直线飞回了家。请问小鸟飞行的总长度与下列
哪个最接近？
A.34 米
B.80 米
C.94 米
D.100 米
【例14】如图所示，A、B、C 是三个等腰直角三角形，其中A 的面积大于B 的面积、
B 的面积大于C 的面积，它们的三条斜边a、b、c 恰好构成一个直角三角形S。已知a 为定
值，下列推论正确的是：
A.S 的周长为定值
B.S 的面积为定值
C.A、B、C 面积之和为定值
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205
D.B、C 面积之和大于A 面积
【特殊角度】
【例1】老王围着边长为50 米的正六边形的草地跑步，他从某个角点出发，按顺时针
方向跑了500 米，距出发点直线距离多少米？
A.50√2
B.50√3
C.25(√2 + 1)
D.50(√3 −1)
【例2】游乐场的摩天轮半径为10 米，匀速旋转一周需要2 分钟。小浩坐在最底部的
轿厢（距离地面0.1 米），当摩天轮启动旋转40 秒时小浩距离地面的高度是多少米？
A.15
B.12.1
C.11
D.15.1
【例3】某大型商场的地下停车场入口处横截面如下图所示，入口处斜坡的坡角为30
度，下坡起点至入口顶部水平距离为6 米，楼板厚为 0.6 米。商场管理处需在入口处张贴
限高标志，以便告知车辆能否安全驶入。若停车场内部的高度均高于入口处汽车可通过的
最低高度，则下列限高最为合理的是:
A.1.8 米
B.2.3 米
C.2.6 米
D.3.2 米
三角函数
【例4】厦门鼓浪屿海滨覆鼎岩上屹立着一尊郑成功雕像。为了测量石像的高度，某
测量小组选取的测量点A 与覆鼎岩底部D 在同一水平线上，如下图所示。已知覆鼎岩高
CD 为24 米，在A 处测得石像头顶部B 的仰角为45°，石像底部C 的仰角为31°（参考数
据：），则石像BC 的高度约为：
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206
A.20 米
B.18 米
C.16 米
D.14 米
【能力提升】
三角函数：sinα=
𝐵𝐶
𝐴𝐶 𝑐𝑜𝑠α=
𝐴𝐵
𝐴𝐶 𝑡𝑎𝑛α=
𝐵𝐶
𝐴𝐵
【例4】在一个坡面角约为20°的山坡上有一个泉眼，从泉眼开挖一条正对山脚向下到
山脚的灌溉水渠。已知泉眼距地面的垂直高度约为100 米，开挖水渠每米的土方量约为0.3
立方米，则开挖整条水渠的土方量约为 。（sin20°≈0.34,cos20°≈0.94,tan20°≈0.36）
A.10 立方米
B.32 立方米
C.88 立方米
D.980 立方米
【例5】文化广场举行放风筝比赛，老年组老王、老侯、老黄三位选手同场竞技，评
委测量各人放出的风筝线长分别为60 米、50 米、40 米，风筝线与地平面所成角分别为
𝜋
6、
𝜋
4、
𝜋
3。假设风筝线看做是拉直的，则三位选手放风筝最高的是：
A.老王
B.老侯
C.老黄
D.不能确定
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207
【例6】一条东西向的河流，水流自西向东，速度为10 千米/小时，现有摆渡船从南岸
的A 点出发，要开往正北方向的位于北岸的B 点，已知船速为20 千米/小时，则摆渡船往
______方向行驶，可以保证船能够向正北方向航行。
A.北偏西30 度
B.西偏北45 度
C.东偏北30 度
D.北偏东45 度
【能力扩展】
直角坐标系类：将运动的主体构建在直角三角形内，根据特殊角度和勾股定理求解。
【例7】如果从甲船看乙船，乙船在甲船的西偏北65°方向，那么从乙船看甲船，甲船
在乙船的：
A.东偏南75°方向
B.东偏南65°方向
C.西偏南75°方向
D.北偏东25°方向
【例8】小王开车以80 千米/小时的速度向北行驶，发现一辆在直线轨道上匀速行驶的
火车车头始终位于自己的正西方，且逐渐变远。已知该火车的速度为160 千米/小时，问小
王行驶1 分钟后，火车车头与自己的距离将增加多少千米?
A.√2
B.√3
C.
4.√3
3
D.2（√3 −1）
【例9】部队前哨站的雷达监测范围为100 千米。某日前哨站侦测到正东偏北30° 100
千米处，一架可疑无人机正匀速向正西方向飞行。前哨站通知正南方向150 千米处的部队
立即向正北方向发射无人机拦截，匀速飞行一段时间后，正好在某点与可疑无人机相遇。
问我方无人机速度是可疑无人机的多少倍？
A.
2√5
3
B.
4.√3
3
C.√3 −1
D. √3 + 1
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208
【例10】一艘轮船在点A 处测得灯塔M 在北偏西15°，向北航行了20 千米后到达B
点，测得灯塔M 在北偏西30°。此后该船继续向北航行，在到达灯塔正东方向C 处时，轮
船与灯塔M 的距离为多少千米？
A.10
B.12
C.6√3
D.20（2-√3）
【例11】甲乙两部队参加军事演习，甲部队从大本营以60 千米/小时的速度往西行进，
乙部队晚半小时由大本营往东行进，速度比甲部队慢。一段时间后，两部队同时接到军令
紧急集合，集合地位于大本营正北某处。此时两部队所在位置与集合地恰好构成有一角为
30 度的直角三角形。若两部队同时调整方向往集合地行军，且保持速度不变，则可同时到
达集合地。则集合地与大本营的距离约为（ ）千米。
A.41
B.43
C.45
D.47
【例12】某海关缉私巡逻船在巡逻任务时，发现其所在位置南偏东30 度方向12 海里
处有一涉嫌走私船只，正以20 海里/小时的速度向正东方向航行。若巡逻船以28 海里/小时
的速度追赶，在涉嫌走私船只不改变航向和航速的前提下，至少需要几个小时才能追上？
A.1
B.1.25
C.1.5
D.1.75
【例13】小张在路上匀速行走，观测到前方垂直悬挂的一条彩色灯带，其底部和顶部
的仰角分别 为60°和75°。他沿直线继续往前走，5 秒后恰好走到灯带的正下方。若小张行
走的速度为3.6 千米/小时，那么这条灯带长为：
A.5 米
B.10 米
C.18 米
D.36 米
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
209
【例14】边长为整数且成等差数列的三个正方形，面积之和不大于5000，其中有两个
正方形的面积之和等于第3 个正方形的面积，这样的正方形存在多少组？
A.6
B.7
C.9
D.10
【特殊题型】
【例1】在大小相等的两个等腰直角三角形中，按不同的方式各内接一个正方形（如
图a、b 所示）。如果图b 中的内接正方形的面积是144，那么图a 中的内接正方形的面积是
多少？
A. 225
B. 162
C. 128
D. 98
【能力扩展】
①内接正方形的边长为：
𝑎𝑏
𝑎+𝑏，最大面积=
1
2三角形
②任意三角形内，其内接正方形的边长：
𝑎𝑏
𝑎+ℎ
证明：△ADP∽△ABC，令正方形边长为x，可得
𝑥
𝐵𝐶=
ℎ−𝑥
ℎ，x=
𝐵𝐶×ℎ
ℎ+𝐵𝐶。
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210
【例2】如图所示，△ABC 是直角三角形，四边形IBFD 和四边形HFGE 都是正方形，
已知AI＝1cm，IB＝4cm，问正方形HFGE 的面积是多少？
A.10
16
25cm²
B.10
9
16cm²
C.10
6
25cm²
D.10
5
16cm²
【例3】一个圆形水库的半径为1 千米。一艘船从水库边的A 点出发，直线行驶1 千
米后到达水库边的B 点，又从B 点出发直线行驶2 千米后到达水库边的C 点。则C 点与A
点的直线距离最短可能为多少千米？
A.不到1 千米
B.1—1.3 千米之间
C.1.3—1.6 千米之间
D.超过1.6 千米
【例4】某长方形田地ABCD 的长为250 米，其中有一条直路连接两个相对的顶点A
和C，而B 顶点与这条直路的最短距离为70 米。问这长方形田地的面积在以下哪个范围内？
A.不到1.7 万平方米
B.在1.7—2.0 万平方米之间
C.在2.0—2.3 万平方米之间
D.超过2.3 万平方米
【例5】在三角形纸片ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AC=6，折叠该纸片，使点A 与点
B 重合，折痕与AB、AC 分别交于D、E，折痕DE 的长度是：
A.1
B.2
C.3
D.4
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211
【例6】一块正方形土地上立有一根旗杆，旗杆距离土地最近的边9 米，与最近的2
个顶点的距离分别为15 米和41 米。问这块土地的面积在以下哪个范围内?
A.不到2600 平方米
B.2600—2900 平方米之间
C.2900—3300 平方米之间
D.超过3300 平方米
【等边-考点筑基】
【等边等腰三角形】
（1）面积：等边三角形面积：√3
4 𝑎2；如下等腰三角形的三边关系1：1：√3
（2）中心（等边三角形重心、垂线、内心、外心四心合一）
内心（内切圆的圆心）：角平分线的交点。
外心（外接圆的圆心）：垂直平分线的交点
重心：中线的交点
①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。
②重心和三角形3 个顶点组成的3 个三角形面积相等，𝑆△𝐴𝑂𝐵= 𝑆△𝐴𝑂𝐶= 𝑆△𝐵𝑂𝐶=
1
3 𝑆△𝐴𝐵𝐶
垂心：高的交点
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212
（3）内切圆与外接圆
内切圆的半径r 与等边三角边长a 的关系：r:a=1: 2√3；
外接圆的半径r 与等边三角边长a 的关系：r:a=1: √3
【母题强化】
【例1】△ABC 为等边三角形，若DEF 为三角形三个边的中点，用ABCDEF 六个点
中的任意三个作顶点，可有多少种面积不等的三角形？
A.3
B.4
C.5
D.6
【例2】公园计划修建一座等腰三角形花坛，已知这个花坛的一边长为15m，另一边
为32m，则这个三角形花坛的周长为：
A.62m
B.79m
C.62m 或79m
D.无法确定
【例3】一个正三角形和一个正六边形周长相等，则正六边形面积为正三角形的：
A.√2倍
B.1.5 倍
C.√3倍
D.2 倍
【例4】两个相同的等边三角形如图所示拼合在一起，若AB 长为9，则CB 之间的距
离为：
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
213
A.9√3
B.18
C.12
D.9√5
【例5】蓝天幼儿园小朋友在做剪纸活动，有一张如图所示的等腰三角形纸片，底边
长15 厘米，底边上的高为22.5 厘米，现在沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3 厘米的矩
形纸条，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是第几张?
A.4
B.5
C.6
D.7
【例6】火车站点A 和B 与初始发车站C 的直线距离都等于a km，站点A 在发车站C
的北偏东20°，站点B 在发车站C 的南偏东40°，若在站点A 和站点B 之间架设火车轨道，
则最短的距离为：
A.a km
B.3a km
C.2a km
D.√3𝑎km
【例7】某围场的形状为边长100 米的等边三角形，在场地正中修建一座信号塔，塔
顶安装有效覆盖半径为
110√3
3
米的信号发射器。如要信号覆盖整个围场的地面，则信号塔的
高度最高为多少米？
A.15√5
B.10√7
C.5√21
D.15√21
【其他三角形-考点筑基】
【其他三角形】
（1）面积：
1
2 底× 高
（2）周长：两边之和大于第三步，两边之差小于第三边；
（3）特殊定理：
①同底：②共高：
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
214
衍生五大模型：
鸟头：两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形；共角三角形的
面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
𝑆∆𝐴𝐵𝐶：𝑆∆𝐴𝐷𝐸=（AB×AC）（AD×AE），其中△𝐴𝐷𝐸可以任意旋转、移动。
燕尾：
𝑆∆𝐴𝐵𝑂：𝑆∆𝐴𝐶𝑂=BD∶DC
蝴蝶：对于任意四边形，四个区域的面积满足如下关系
𝑆1: 𝑆2 = 𝑆4: 𝑆3或𝑆1 × 𝑆3 = 𝑆2 × 𝑆4
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
215
(𝑆1 + 𝑆2): （𝑆4: 𝑆3）=AO∶OD
等积：
两组平行之间形成的三角形共高共底时，其面积相等且为四边形面积的一半。
相似：
【三角形不等性质】两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
【母题强化】
【例1】一块三角形农田ABC（如下图所示）被DE、EF 两条道路分为三块。已知
BD＝2AD，CE＝2AE，CF＝2BF，则三角形ADE、三角形CEF 和四边形BDEF 的面积之
比为：
A.1∶3∶3
B.1∶3∶4
C.1∶4∶4
D.1∶4∶5
蝴蝶定理
【例2】某民营企业新建一个四边形的厂区，按对角线将整个厂区分为四个功能区，
如图所示。已知生产、仓储和营销三个功能区的面积分别为26 亩、18 亩和13 亩，若保留
休闲区的12 亩天然小湖泊，则休闲区可利用的陆地面积是：
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
216
A.36 亩
B.26 亩
C.24 亩
D.23 亩
【例3】 如图所示，公园有一块四边形的草坪，由四块三角形的小草坪组成。已知四
边形草坪的面积为480 平方米，其中两个小三角形草坪的面积分别为70 平方米和90 平方
米，则四块三角形小草坪中最大的一块面积为多少平方米？
A. 120
B. 150
C. 180
D. 210
【例4】公园里有一片四边形草坪，沿对角线修建的小道相交于O 点，O 到四个顶点
A、B、C、D 的距离之比正好为1:2:3:4，一名工人花费1 天正好完成AOB 区域的修剪，
问第二天至少需要额外增加多少名效率相同的工人一起工作，才能在当天内完成剩余草坪
的修剪？
A.8
B.10
C.11
D.12
【鸡头定理】
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217
【例5】在三角形ADC 中，B、E 分别是AC、AD 上的点，且BC＝2AB，DE＝3AE，
三角形ADC 的面积为36 平方米，则三角形AEB 面积为（）平方米。
A.3
B.4
C.5
D.6
【例6】如右图所示，△ABC 是等腰直角三角形，AB=12，AD 的长度是CD 的2 倍，
四边形EBCD 与△AED 的面积之比为3︰2，问AE 的长度是多少？
A.6.9
B.7.1
C.7.2
D.7.4
【例7】为推动产业园和产业集聚区加快转型，某地计划在三角形ABC 区域内建设新
能源产业园区（如下图所示），三角形DEF 是中央工厂区，已知BD：DE：EC=1 : 2 : 3，F
为AE 的中点，则新能源产业园区总面积是中央工厂区面积的：
A.7 倍
B.6 倍
C.5 倍
D.4 倍
【例8】一个三角形公园 ABC 内的道路如下图中实线所示。已知 AE=EF=FB，
AD=DC，且黑色部分为人工湖。问公园总面积是人工湖面积的多少倍？
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218
A.9
B.12
C.16
D.18
【例9】已知𝑆△𝐵𝑂𝐷= 𝑆△𝐵𝑂𝐶= 7, 𝑆△𝐶𝑂𝐸= 3，求𝑆△𝐴𝐸𝐷=
【解析】根据蝴蝶定理，可知𝑆△𝐸𝑂𝐷= 3 ，设𝑆△𝐴𝐸𝐷= 𝑥，根据共高，
AD∶DB=𝑆△𝐴𝐶𝐷: 𝑆△𝐵𝐶𝐷= (𝑥+ 6): 14=𝑆△𝐴𝐸𝐷: 𝑆△𝐵𝐸𝐷= 𝑥：10。解得x=15。
【例10】已知BD∶DC=4∶9，BF∶FA=4∶3，求AE∶EC
【解析】根据燕尾定理，𝑆△𝐴𝐶𝑂: 𝑆△𝐴0𝐵=4∶9=12∶27；𝑆△𝐴𝑂𝐶: 𝑆△𝐵𝑂𝐶=3∶4=12∶16
𝑆△𝐴𝑂𝐷: 𝑆△𝐵𝑂𝐶=27∶16。
【例11】已知D、E、F 都为三分之一点，求中间三角形占总面积的：
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219
【解析】根据燕尾定理，𝑆△𝐴𝐶𝐻: 𝑆△𝐵𝐶𝐻= 2∶1, 𝑆△𝐵𝐶𝐻: 𝑆△𝐴𝐵𝐻= 2∶1, 可得
𝑆△𝐴𝐶𝐻: 𝑆△𝐵𝐶𝐻: 𝑆△𝐴𝐵𝐻= 4: 2: 1，则𝑆△𝐵𝐶𝐻占𝑆△𝐴𝐵𝐶的
2
7，中间面积=1-
2
7 × 3=
1
7。
【例12】如图，在△ABC 中，已知BD=2DC，EC=2AE，则△BFD 与△AEF 面积的比
值为 ：
A.4
B.6
C.8
D.9
【解析】连接FC，根据燕尾定理，𝑆△𝐴𝐵𝐹: 𝑆△𝐵𝐹𝐶=1∶2，𝑆△𝐴𝐵𝐹: 𝑆△𝐴𝐹𝐶=2∶1。根据等
高，𝑆△𝐵𝐹𝐷: 𝑆△𝐵𝐹𝐶=2:3，𝑆△𝐴𝐸𝐹: 𝑆△𝐴𝐹𝐶=1∶3。
【例13】如图所示，△ABC 中DE∥BC，且BO 和CO 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分
线。已知AB=25.4cm，BC=24.5cm，AC=20cm。问△ADE 的周长是多少？
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220
A.45.4cm
B.45.1cm
C.44.8cm
D.44.5cm
【三角形内接长方形】
【例14】一个三角形的面积为12 平方米，则该三角形内接长方形的最大面积为：
A.6 平方米
B.4 平方米
C.3 平方米
D.不能确定
【重心】
【例15】如图三角形中，A、B 分别为两条边的中点，则图中阴影部分面积为三角形
总面积的（ ）。
A.
1
3
B.
1
4
C.
2
7
D.
3
8
【三边关系】
【例1】一个等腰三角形，两边长分别为5cm、2cm，则周长为多少cm？
A.12
B.9
C.12 或9
D.无法确定
【例2】科考队员在冰面上钻孔获取样本，测量不同孔心之间的距离，获得的部分数
据分别为1 米、3 米、6 米、12 米、24 米、48 米。问科考队员至少钻了多少个孔？
A.4
B.5
C.6
D.7
【例3】已知三角形三边长分别为3、15、X。若X 为正整数，则这样三角形有多少个？
A.3 个
B.4 个
C.5 个
D.无数个
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221
【例4】某厂生产一批商标，形状为等边三角形或等腰三角形。已知这批商标边长为
2cm 或4cm，那么这批商标的周长可能是：
A.6cm、12cm
B.6cm、8cm、12cm
C.6cm、10cm、12cm
D.6cm、8cm、10cm、12cm
【例5】三边长均为整数且最大边长为2009 的三角形共有多少个？
A.1008016
B.1009020
C.1010025
D.2019045
【例6】若一个三角形的所有边长都是整数，其周长是偶数，且已知其中的两边长分
别为10 和2000，则满足条件的三角形总个数是：
A.10
B.7
C.8
D.9
【例7】有一批长度分别为3、4、5、6 和7 厘米的细木条，它们的数量足够多，从中
适当选取3 根木条作为三角形的三条边，可能围成多少个不同的三角形？
A.25 个
B.28 个
C.30 个
D.32 个
【例8】幼儿园举办益智活动，准备了一批木棒，长度分别为5、6、7、8、9cm，倘
若这些木棒的数量足够多，则可能围成多少种不同的三角形？
A.35
B.33
C.34
D.36
【能力扩展】
①等边三角形：5 条长度中任意选1 个长度：𝐶5
1 = 5种；②等腰三角形：因为五个长
度中任意三个都可以构成三角形，5 个中选1 个做底边，从剩余4 个选1 个做腰，共有
5×4=20 种，③三边不等：𝐶5
3 = 10种，共5+20+10=35 种。
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222
【四边形】
【正方形】
【基础公式】面积= 𝑎2；周长= 4a。
注：正方形面积为平方数，常常和勾股数结合考查。
基础周长和面积
【例1】将5 个大小相同的正方形按下图的方式叠放，两个正方形重叠的位置刚好为
边的中点。如果正方形的边长为8 厘米，则这个组合图形的外周（下图粗线条）长度为
（ ）。
A. 72 厘米
B. 80 厘米
C. 88 厘米
D. 96 厘米
【能力扩展】
对切割或叠加后的部分的边长进行如下平移，计算平移后的周长。
【例2】某公司装修面积320 平方米的办公室恰好使用了500 块正方形的地砖，问每
块地砖的边长为多少米？
A.0.6
B.0.8
C.1
D.1.2
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223
【例3】现有一批正方形的地砖，如拼成一个大正方形则可余62 块；若每边都再增加
一块，则缺少37 块，这批地砖共有（ ）块。
A.2433
B.2459
C.2463
D.2475
【例4】用篱笆围成一个面积为625 平方米的正方形菜园，现用总长度为100 米的篱
笆将菜园分隔成面积相同的小菜园，问最多能分成多少个小菜园？
A.5
B.8
C.9
D.12
【例5】一个边长为80 厘米的正方形，依次连接四边中点得到第二个正方形，这样继
续下去可得到第三个、第四个、第五个、第六个正方形，问第六个正方形的面积是多少平
方厘米？
A.128 平方厘米
B.162 平方厘米
C.200 平方厘米
D.242 平方厘米
【例6】如图，将正方形边长三等分后可得9 个边长相等的小正方形，把中间的小正
方形去掉，对剩下的8 个小正方形，均按上面方法操作。问：对一个边长为2 的正方形如
此操作三次后所剩白色区域的面积是多少？
A.
8
9
B. 2（
8
9 ）
3
C. 4（
8
9 ）
3
D. 8（
8
9 ）
3
【能力扩展】
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224
此类题我们需要找到面积缩减的规律，若每操作一次就使面积减少
1
𝑚，即面积变为原
来的
m−1
m ，则操作n 次后面积为:原有面积× （
m−1
m ）
n
。
【例7】如图阴影部分是一块由8 块相同的正方形草皮围成的草坪。已知草坪的内、
外圈均铺有一圈小石子带，小石子带的总长度为48 米，则该草坪的面积为（ ）平方米。
A.48
B.72
C.81
D.96
【例8】在一个正方形内画中、小两个正方形，使三个正方形具有公共顶点，这样大
正方形被分割成了正方形区域甲，和L 形区域乙、丙。已知三块区域甲、乙、丙的周长之
比为4∶5∶7，并且区域丙的面积为48，求大正方形的面积：
A.96
B.98
C.200
D.102
正方形+其他图形
【例1】如图所示，某主题公园将一块正方形的地面按七巧板图案设计，其中平行四
边形1 个、正方形1 个、等腰直角三角形5 个，并用油漆将七块区域刷成不同的颜色。若
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225
每种颜色的油漆单价相同，平行四边形区域的油漆费用为200 元，则整块地面的油漆费用
为：
A.1200 元
B.1600 元
C.2000 元
D.2400 元
【例2】某产业展洽会主办方将一块正方形场地设计成七个展区（如下图所示）。按面
积大小分类，共有几类展区？
A.6
B.5
C.4
D.3
【例3】如图，由四个全等的小长方形拼成一个大正方形，每个长方形的面积都是1，
且长与宽之比大于等于2，则这个大正方形的面积至少为 。
A.3
B.4.5
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226
C.5
D.5.5
【例4】一个箱子的底部由5 块正方形纸板 ABCDE 和1 块长方形纸板F 拼接而成（如
图所示）,已知A、B 两块纸板的面积比是1:16,假设A 纸板的边长为2 厘米,则该箱子底部
的面积为（ ）平方厘米。
A.200
B.320
C.360
D.420
【例5】如图所示，长方形恰好分为六个正方形，其中最小的正方形面积为1 平方厘
米，则这个长方形的面积是：
A.143 平方厘米
B.132 平方厘米
C.110 平方厘米
D.90 平方厘米
【例6】下列图形均是由正方形与圆形所构成的，图形中阴影部分的面积最大的是（）。
A.A 最大
B.B 最大
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227
C.C 最大
D.都一样大
【例7】一正方形铁片面积为1 平方米，用其剪出一个最大的圆，然后在圆中剪出一
个最大的正方形，问新正方形的面积比原正方形的面积小多少？
A.
1
4平方米
B.
1
2平方米
C.
𝜋
8平方米
D.
𝜋
16平方米
【能力扩展】
（1）正方形内切圆最大如下图，此时圆的直径=正方形边长。
（2）圆内接正方形最大如下图，此时圆直径=√2倍的正方形边长。
【例8】一正方形铁片面积为1 平方米，用其剪出一个最大的圆，然后在圆中剪出一
个最大的正方形，问新正方形的面积比原正方形的面积小多少？
A.1/4 平方米
B.1/2 平方米
C.π/8 平方米
D.π/16 平方米
【例9】下图中间阴影部分为长方形。它的四周是四个正方形，这四个正方形的周长
和是320 厘米，面积和是1700 平方厘米，则阴影部分的面积是（ ）平方厘米。
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228
A.375
B.400
C.425
D.430
【例10】把一个正方形的四个角分别切除一个等腰三角形，剩下一个长宽不等的矩形。
若被切除部分的总面积为400 平方厘米，且切除的三角形的直角边的长度均为整数，则所
剩矩形的面积为多少平方厘米？
A.320
B.336
C.360
D.384
【例11】下图是由三个边长分别为4、6、x 的正方形所组成的图形，直线AB 将它分
成面积相等的两部分，则x 的值是：
A.3 或5
B.2 或4
C.1 或3
D.1 或6
【例12】 两个红色正方形面积分别是1996²平方米和1993²平方米，两个蓝色正方形
面积分别是1997²平方米和1992²平方米。则红色正方形比蓝色正方形面积（ ）。
A. 少12 平方米
B. 多12 平方米
C. 多8 平方米
D. 少8 平方米
【例13】如图所示，在直线L 上依次摆放着5 个正方形。已知斜放置的2 个正方形的
面积分别是3 和2，正放置的3 个正方形的面积依次是S1、S2、S3，且S2=S3。问
S1+S2+S3 的值为：
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229
A. 4
B. 5
C. 11
D. 13
【例14】如图，有大小两个正方形，其对应边的距离均为1 厘米，如果两个正方形之
间部分的面积是20 平方厘米，那么小正方形的面积是多少平方厘米?
A. 4
B. 9
C. 16
D. 25
【长方形】
【基础公式】面积= 𝑎𝑏；周长= 2(a + b)。
【周长类】
【例1】一个长方形长6cm，宽4cm，现分别平行于长和宽剪了若干刀，将长方形分
割成若干个小长方形，这些小长方形的周长之和比原长方形周长多了56cm。那么最多剪了
刀。
A.3
B.4
C.5
D.6
【例2】一块正方形田地的周长是240 米，另一块长方形田地的周长比这块正方形田
地长60 米，面积与这块正方形田地一样。则长方形田地的长比宽长多少米？
A.60
B.70
C.80
D.90
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230
【例3】从一块正方形木板上锯下宽5cm 的一个木条后，剩下的长方形面积是750cm²，
锯下的木条面积是多少平方厘米？
A.25
B.150
C.152
D.168
【例4】如图所示，8 块同样大小的长方形钢板拼成了一块大的长方形钢板，已知大长
方形钢板周长为112 厘米，那么大长方形钢板的面积是（ ）平方厘米。
A.432
B.588
C.768
D.945
【例5】如图所示，宽为50 cm 的矩形图案由10 个全等的小长方形拼成，问拼接后的
大长方形的面积为多少？
A.1825
B.2000
C.3200
D.4000
【例6】在一幅比例尺为1︰200 的地图上标注有一个长方形的鱼塘，该鱼塘的长与宽
之比为3︰2，在地图上量得的周长为30 厘米。则该鱼塘的实际面积是（ ）平方米。
A.216
B.432
C.864
D.900
【例7】一个长方体形状的玻璃鱼缸，从鱼缸内侧量，它的2 个相邻的侧面及底面的
面积分别是5、6、7.5 平方分米，则这个玻璃鱼缸最多可以装（ ）立方分米的水。
A.12
B.15
C.16
D.18
【赋值】
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231
【例8】某商场为庆祝开业三周年，制作了一个长方形大蛋糕，并切成四块，如图所
示。假设这个蛋糕可供350 人享用，左下角那块蛋糕平均可供50 人享用，右上角那块蛋糕
平均可供70 人，则中间最大块蛋糕平均可供多少人享用？
A.150
B.155
C.175
D.180
【例9】长方形ABCD 的面积是72 平方厘米，E、F 分别是CD、BC 的中点。问三角
形AEF 的面积为多少平方厘米？
A.24
B.27
C.36
D.40
【例10】如图，在长方形ABCD 中，已知三角形ABE、三角形ADF 与四边形AECF
的面积相等，则三角形AEF 与三角形CEF 的面积之比是：
A.5∶1
B.5∶2
C.5∶3
D.2∶1
【例11】长为8 宽为5 的长方形内有一内接阴影四边形（如图所示），则阴影四边形
的面积是：
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232
A.15.5
B.21.5
C.20.5
D.20
【扩展】
两种情况四边形的面积都是=
总面积+S1
2
【长宽增减问题】
【例1】一个长方形周长130 厘米，如果它的宽增加
1
5，长减少
1
8，就得到一个相同周长
的新长方形，则原长方形的面积为（ ）平方厘米。
A.1000
B.900
C.850
D.840
【例2】长方形花坛的周长为20 米，若长与宽各增加3 米，则增加的面积是：
A.42 平方米
B.24 平方米
C.28 平方米
D.39 平方米
【例3】如图所示，在长为64 米、宽为40 米的长方形耕地上修建宽度相同的两条道
路（一条横向、一条纵向），把耕地分为大小不等的四块耕地。已知，修路后耕地总面积为
1377 平方米，则该道路路面宽度为多少米？
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
233
A.10
B.11
C.12
D.13
【例4】如图所示，市政部门在一块周长为260 米的长方形草地旁边铺设宽为10 米的
L 形道路。已知铺好道路后，道路和草地面积之和为草地面积的1.5 倍。则草地的面积为
（ ）平方米。
A.4200
B.4000
C.3000
D.2800
【例5】某单位扩建周长为44 米的长方形草坪，计划扩建后的草坪仍为长方形，其长
和宽分别比原来增加5 米和3 米，面积比原来增加95 平方米，则扩建前草坪的面积为：
A.85 平方米
B.105 平方米
C.117 平方米
D.121 平方米
【例6】矩形的一边增加了10%，与它相邻的一边减少了10%，那么矩形的面积：
A.增加10%
B.减少10%
C.不变
D.减少1%
【例7】某工程队给一个长方形广场铺地砖，已知每平方米铺设成本为25 元，若广场
的宽不变，长增加5 米，总成本则上升1.25 万元；若广场的长不变，宽增加3 米，总成本
则上升1.5 万元。则广场原来铺设的总成本为（ ）万元。
A.50
B.60
C.70
D.80
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
234
【例8】有一周长为100 米的长方形花园，在花园外围沿花园建一条等宽的环路，路
的面积为600 平方米，则路的宽度为（ ）米。
A.3 或4
B.5
C.8
D.10 或15
【例9】某公园内原有一个深2.5m、长宽均为5m 的观赏鱼池，现需将鱼池四壁及底
面铺满厚5cm、长宽均为10cm 的砖，则至少需使用（ ）块砖。
A.7500
B.7401
C.7351
D.7301
【能力扩展】
设原长方形长和宽分别为m 和n，路宽为x，可得：（m+2x）（n+2x）-mn=𝑆路
【例10】某城市准备在公园里建一个矩形的花园，长比宽多40 米，同时在花园周围
建一条等宽的环路。路的外周长为280 米，路的面积为1300 平方米，则路的宽度为多少米？
A.3
B.4
C.5
D.6
【例11】某单位计划在一间长15 米、宽8 米的会议室中间铺一块地毯，地毯的面积
占会议室面积的一半。若四周未铺地毯的留空宽度相同，则地毯的宽度为：
A.3 米
B.4 米
C.5 米
D.6 米
【例12】在正方形草坪的正中有一个长方形池塘，池塘的周长是草坪的一半，面积是
除池塘之外草坪面积的1/3 ，则池塘的长和宽之比为：
A.1∶1
B.2∶1
C.4∶1
D.√2∶（2-√2 ）
【例13】有两个边长为整数且不相同的矩形，其中一边的长度分别为2016 和2017，
另一边的长度均不超过2017。已知它们的对角线长度相等，则两个矩形的周长之差为：
A.37
B.38
C.72
D.76
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235
【梯形】
【基础公式】面积=
（𝑎+𝑏）×ℎ
2
；
【常见性质】
面积关系：
①𝑆1: 𝑆2: 𝑆3: 𝑆4 = 𝑎2: 𝑎𝑏: 𝑏2: 𝑎𝑏；总面积的份数：（𝑎+ 𝑏）
2；
②𝑆1 × 𝑆3 = 𝑆2 × 𝑆4
横切线长度：对于任意梯形
①若AE∶ED=m∶n，可得E0=
𝑚𝑏
𝑚+𝑛 F0=
𝑛𝑎
𝑚+𝑛；EF=
𝑚𝑏+𝑛𝑎
𝑚+𝑛；当m=n 时，EF=
𝑏+𝑎
2 。
②E0=FO=
𝑎𝑏
𝑎+𝑏；EF=
2𝑎𝑏
𝑎+𝑏；
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236
【例1】一个梯形草地，它的上底为10m，下底是上底的2 倍，高为15m。问该草地
的面积为多少平方米？
A.150
B.175
C.200
D.225
【例2】如图ABCD 是一个梯形，E 是AD 的中点，直线CE 把梯形分成甲、乙两部分，
其面积之比是15∶7。问上底AB 与下底CD 的长度之比是：
A.5∶7
B.6∶7
C.4∶7
D.3∶7
【例3】如右图所示，梯形ABCD 的对角线AC⊥BD，其中AD＝
1
2，BC＝3，AC＝
14
5 ，
BD＝2.1。问梯形ABCD 的高AE 的值是：
A.
43
24
B.1.72
C.
42
25
D.1.81
【例4】一块面积为800 平方厘米的等腰梯形彩纸做风筝，为牢固起见用竹条做风筝
的对角线，对角线恰好互相垂直，则需要竹条长度为：
A.40
B.70
C.80
D.90
横切线问题
【例5】如图所示，梯形ABDC 的两条对角线AD、BC 相交于O，EF 平行于两条边且
过O 点。现已知AB=6，CD=18，问EF 的长度为多少？
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237
A.8.5
B.9
C.9.5
D.10
【例6】某水渠长100 米，截面为等腰梯形，其中渠面宽2 米，渠底宽1 米，渠深2 米。
因突降暴雨，水深由1 米涨至1.8 米。则水渠水量增加了：
A.112 立方米
B.136 立方米
C.272 立方米
D.324 立方米
【例7】如图，在梯形ABCD 中，AB＝2，CD＝3，AC 交BD 于O 点，过O 作AB 的
平行线交BC 于E 点，连接DE 交AC 于F 点，过F 作AB 的平行线交BC 于G 点，连接
DG 交AC 于M 点，过M 作AB 的平行线交BC 于N 点，则线段MN 的长为（ ）。
A.
2
3
B.
5
6
C.
6
11
D.
16
25
【例8】在一块正方形土地中，画一条经过某个顶点的规划线，将其分割为三角形和
梯形两块土地，且梯形土地的面积正好是三角形土地的2 倍。问三角形和梯形土地的周长
之比是多少？
A.1∶2
B.5∶7
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
238
C.（5+√13）∶（（7+√13））
D.（1+√5）∶（（2+√4））
【例9】如果，在梯形ABCD 中，AB 与CD 平行，O 为AC 与BD 的交点，CO=2AO，
则梯形ABCD 与三角形AOB 的面积之比:
A.6∶1
B.7∶1
C.8 : 1
D.9 : 1
【例10】如右图，在直角梯形中，AD＝12 厘米，AB＝8 厘米，BC＝15 厘米，且
△ADE、四边形DEBF、△CDF 的面积相等，△EDF 的面积是多少?
A.28 平方厘米
B.30 平方厘米
C.32 平方厘米
D.33 平方厘米
【例11】某社区拟对一块梯形活动场地进行扩建，经测算，如果将梯形的上底边增加
1 米，下底边增加1 米，则面积将扩大10 平方米；如果将梯形的上底边增加1 倍，下底边
增加1 米，则面积将扩大55 平方米；如果将上底边增加1 米，下底边增加1 倍，则面积将
扩大105 平方米。现拟将梯形的上底边增加1 倍还多2 米，下底边增加3 倍还多4 米，则
面积将扩大多少？
A.280 平方米
B.380 平方米
C.420 平方米
D.480 平方米
【例12】等腰梯形ABCD 中，AB//DC，AB＝4，DC＝2，AC 平分∠DAB，则梯形的
高为：
A.√2
B.√3
C.2
D.3
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239
【例13】已知下面直角梯形的高是10 厘米，∠1=∠2=45°，则梯形的面积为（ ）平方
厘米。
A.45
B.50
C.55
D.60
【例14】如右图所示，若在梯形ABCD 中，下底长度为上底的2 倍，若分别以梯形的
两个腰AD、BC 为边作正方形与，以下底DC 为边作正方形，如图所示，则当梯形下底与
腰所成夹角之和为90°时，这三个正方形面积的满足的数量关系为（ ）。
A.𝑆1＋𝑆2＝𝑆3
B.𝑆1＋𝑆2＝𝑆3/2
C.𝑆3－𝑆1＝3𝑆2
D.𝑆1＋𝑆2＝𝑆3/4
【例15】若在一梯形中，下底长度为上底的2 倍，若分别以梯形的两个腰AB、DC 为
边作正方形S1 与S2，以上底AD 为边作正方形S3，如图所示，则当梯形下底与两腰所成
夹角之和为90°时，这三个正方形面积所满足的数量关系为：
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240
A.𝑆1＋𝑆2＝𝑆3
B.𝑆1＋𝑆2＝𝑆3/2
C.𝑆3－𝑆1＝3𝑆2
D.𝑆1＋𝑆2＝𝑆3/4
【例16】如图，长方形ABCD 中，AB＝12 厘米，BC＝8 厘米，平行四边形BCEF 的
一边BF 交CD 于G，若梯形CEFG 的面积为64 平方厘米，则DG 长为多少厘米？
A.3
B.4
C.5
D.6
【例17】如图所示，一块梯形农田中有个四边形鱼塘ABCD，周围阴影部分是蔬菜种
植区，其面积为266 平方米，其余部分是果林区。已知鱼塘面积是蔬菜种植区的19/28，那
么这块农田的面积为多少平方米？
A.572
B.627
C.683
D.745
【例18】
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241
如图所示（仅为示意图），一片直角梯形的土地ABCD，AB、CD、AD 边分别为6 米、
16 米和1 米，甲和乙分别沿AB 边和CD 边又新开拓了半圆形的两块地，问这两块半圆形
土地上距离CD 边最远的点E 和F 之间的距离为多少米？
A.11 米
B.13 米
C.15 米
D.17 米
【菱形】
【基础公式】面积=
两条对角线的乘积
2
。
①对角线垂直的平行四边形；连接对角线会分成四个相同的直角三角形。
②△ADB 为等腰三角形，当∠A=60°时，△ABD 为等边三角形，AC=√3BD。
③菱形的四条边相等。
【例1】小王近期正在装修新房，他计划将长8 米、宽6 米的客厅按右图所示分别在
各边中点连线形成的四边形内铺设不同花色的瓷砖，则需要为最里侧的四边形铺设多少平
方米的瓷砖？
A.3
B.6
C.12
D.24
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242
【例2】一菱形土地的面积为平方公里，菱形的最小角为60 度，如果要将这一菱形土
地向外扩张变成一正方形土地，问正方形土地边长最小为多少公里？
A.6
B.5
C.2
D.√3
【例3】在如图的圆形广场上举办一个市民文艺活动，参加活动的n 名市民排成如图
中的ABCD 的菱形方阵（图中数字单位为米）。已知方阵面积为m 平方米，且n＝2m，问
n 的值为：
A.96
B.120
C.192
D.240
【例4】如图，在菱形ABCD 中，AB=10，∠A＝120°，点P，Q，K 分别为线段BC，
CD，BD 上的任意一点，则PK＋QK 的最小值为：
A. 5
B. 10
C. 5√2
D. 5√3
【能力扩展】
求AP+PB 的最短路径可以转化为𝐴,𝑃+ 𝑃𝐵的最短路径，即𝐴,、𝑃、𝐵三点共线时。
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243
【例5】一块菱形铁皮ABCD 如图所示，BD 与AB 边的长度相等，E 是BC 边的中点，
将其沿BD 折起，使面ABD 与面BCD 相互垂直，问折起后三角形ABE 的面积与三角形
ABD 的面积之比是多少？
A. 1∶2
B.√3∶2
C. √5∶4
D. √15∶16
【平行四边形】
【基础公式】面积= 底× 高
①连接对角线会分成四个三角形，△AOB=△COD。
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244
②当AD=DC 时，平行四边形变成菱形。
常见的平行四边形与三角形相结合的考法：
（1）平行四边形某条边上的任意一点（也可是边长延长线上的点）与对面边长的两个
顶点的连线形成的三角形其面积为平行四边形面积的一半，如图：
（2）从顶点往对面边长引垂线会形成直角三角形，考生可以直角三角形入手，思考是
否为特殊角度或者特殊勾股数的题目，如图：
（3）边长上的任意点和对面边长顶点的连线，与对角线产生交点，此时形成的三角形
为相似的，如图：
【例1】公园里一块平行四边形的土地如下图，F 为CD 中点，E、G 分别为CF、FD
中点。现园艺师准备将AB 边上的两个端点A、B 与CD 边上某点连接所形成区域建设为绿
色草地，要求其面积为这块土地的一半。那么，将A、B 点与CD 边上（ ）连接能满足要
求。
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245
A.C 点
B.F 点
C.E 点或G 点
D.任意一点
【例2】如图所示，周长为24 米的平行四边形绿化地被划分为三块区域，两边为三角
形的花坛，中间为矩形的草地。已知a、b、c 长度之比为4∶2∶√3，则矩形草地的面积为（ ）
平方米。
A. 6
B. 6√3
C. 12
D. 12√3
【例3】平行四边形ABCD 如图所示，E 为AB 上的一点，F、G 分别是AC 和DE、
DB 的交点。若AB=3AE，则四边形BEFG 与ABCD 的面积之比是：
A.2︰7
B.3︰13
C.4︰19
D.5︰24
【例4】如图，平行四边形ABCD 的面积是54 平方厘米，点E、F、G 分别是平行四
边形ABCD 边上的中点，H 为AD 边上的任意一点，则阴影部分的面积为（ ）平方厘米。
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246
A. 27
B. 28
C. 32
D. 36
【例5】矩形ABCD 长宽分别为12cm 和8cm，E 为边AB 上一移动的点，当阴影部分
面积为60cm²时，则四边形EFGH 的面积等于：
A. 6cm²
B. 12cm²
C. 18cm²
D. 24cm²
【例6】如图所示，某地计划修建一个长50 米、宽40 米的长方形观光园。现在需要
在观光园中修建几条鹅卵石小道供游客行走，其中一条是长为50 米、宽为2 米的水平直线
型小路，另外两条修成斜线型，并且要求这两条斜线型小路任何地方的水平方向宽度都是
1 米，问修完小路后观光园剩下部分的面积是多少平方米？
A.1862
B.1880
C.1950
D.1960
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247
【多边形】
一个正三角形和一个正六边形周长相等，则正六边形面积为正三角形的：
A.√2 倍
B. 1.5 倍
C.√3倍
D. 2 倍
一个边长为1 的正方形木板，锯掉四个角使其变成正八边形，那么正八边形的边长是
多少？
A.
1
2
B.√2
2
C.2√2
D.√2 −1
【圆和扇形】
【圆】面积= 𝜋𝑟2，周长=2πr；
圆周角定理:在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的一
半。
常考：圆一般和直角三角形、等边三角形、正方体综合考察。
【扇形】扇形的面积=
nπ𝑟2
360°，扇形的周长=
𝑛𝜋𝑟
180°（n 为圆心角）。
常考：圆和等边三角形结合，求圆心角为120°时的扇形面积。
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248
【圆】
【例1】桌面上有两个半径分别为1 厘米、8 厘米的圆环，若固定大圆环，让小圆环沿
着大圆环外边缘滚动一周，则小圆环所扫过的面积为：
A.36π 平方厘米
B.57π 平方厘米
C.76π 平方厘米
D.100π 平方厘米
【例2】某公园雇佣一名小丑表演骑独轮车。独轮车车轮直径为50 厘米，小丑沿如图
所示8 字形轨迹骑行。轨迹为相切的两个圆，两个圆面积比是16∶9，小圆直径为15 米。问
小丑沿8 字形轨迹骑行一圈，车轮转动了多少圈?
A.50
B.60
C.70
D.90
【例3】一个圆形牧场面积为3 平方公里，牧民骑马以每小时18 公里的速度围着牧场
外沿巡视一圈，约需多少分钟？
A.12
B.18
C.20
D.24
【例4】一个圆形，半径变为原来的4 倍之后的圆的面积，等于半径增加2 厘米之后
的面积的4 倍，则原来的半径是：
A.1 厘米
B.4 厘米
C.3 厘米
D.2 厘米
【例5】用两根同样长度的铁丝分别圈成圆形和正方形，圆形面积大约是正方形面积
的几倍？
A.
3
𝜋
B.
4
𝜋
C.
5
𝜋
D.
6
𝜋
【例6】某商业小区计划打造两个娱乐广场，其中一个为正方形广场，面积为320 平
方米，另一个为圆形广场，其直径比正方形广场的边长短10%，问，圆形广场的面积是多
少平方米？
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249
A.206
B.307
C.452
D.824
【例7】某品牌圆形扫地机器人升级设计方案，是在原有扫地机器人的前端伸出8cm
可转动的边刷进行清扫（如下图所示 ）,目的是将无法触及的边边角角都彻底清扫干净，那
么，为保证这一效果，该型号扫地机器人圆形机身的最大直径是:（答案取整数位 ）
A. 30cm
B. 36cm
C. 38cm
D. 40cm
【例8】某地打算在绿地上建两个圆形花坛，如右图所示，大圆的直径为6 米，小圆
的直径为2 米，修建期间暂时在外围设置围栏。已知围栏呈矩形，大圆与围栏的三条边相
切，小圆与围栏的两条边相切，且两圆相切，那么矩形围栏的面积是多少平方米?
A.12 × （2 + √3）
B.12 × （1 + 2√3）
C.6√13
D.6 × （3 + √13）
【例9】一个高为40 厘米，直径为6 厘米的空心圆桶，放入半径为2 厘米的小铁球，
如果铁球不能露出圆桶，最多放多少个？
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250
A.10
B.11
C.12
D.13
【例10】下图为某公园花展的规划图。其中，正方形面积的
3
4是玫瑰花展区，圆形面
积的
6
7是郁金香花展区，且郁金花展区比玫瑰花展区多占地450 平方米。那么，水池占地
（ ）平方米。
A.100
B.150
C.225
D.300
【例11】一个位于O 点的雷达探测半径为25 千米。某日该雷达探测到一辆车沿直线
驶过探测区，行驶过程中途经距离雷达20 千米外的P 点。如该车在雷达探测区内行驶的距
离为X 千米，为X 的最大值和最小值相差多少？
A.15
B.16
C.20
D.25
【例12】如下图所示，一个面积为450π 平方米的半圆形广场，甲、乙分别从A、B 两
点同时出发走向C 点，已知两人速度相同，但甲花费的时间为乙的√2 倍，问甲乙最初相距：
A.15
B.15√2
C.15√3
D.9√3
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251
【例13】⊙O 内有一内接三角形ABC，其斜边为⊙O 的直径，已知AB=12cm，
BC=5cm。若三角形内有一内切圆，求内切圆的面积。
A.4π
B.8π
C.16π
D.24π
【能力扩展】
直角三角形内接圆：
【例14】某商场为了促销，进行掷飞镖游戏。每位参与人员投掷一次，假设掷出的飞
镖均扎在飞镖板上且位置完全随机，扎中中间阴影部分区域（含边线）即为中奖。该商场
预设中奖概率约为60%，仅考虑中奖概率的前提下，以下四幅图形（图中的正三角形和正
方形均与圆外切或内接）最适合作为飞镖板的是：
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252
A.如图所示
B.如图所示
C.如图所示
D.如图所示
【扇形】
【例1】在圆中画一个与这个圆等半径、圆心角是60°的扇形，圆内其余部分的面积是
这个扇形面积的多少？
A.4 倍
B.5 倍
C.6 倍
D.8 倍
【例2】太平洋上有一个圆形的平坦小岛，岛上遍布森林，闪电击中处于小岛边缘的
树木引发森林火灾（如图所示）。假设火线是以圆弧状往小岛深处推进，问当大火烧到小岛
中心位置时，过火面积占全岛面积的比例大约是多少？
A.45%
B.40%
C.35%
D.30%
【例3】一个边长为a 的正方形ABCD，沿直线l 向前不断翻滚，经过若干次滚动后，
第二次恢复到初始位置（字母位置相同）。在这过程中，点A 形成的轨迹总长度是 。
A.√2+2
2 πa
B.2πa
C.（√2 + 1）πa
D.√2+3
2 πa
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253
【例4】如图，ABCD 为矩形，AB=4，BC=3，边CD 在直线L 上，将矩形ABCD 沿
直线L 作无滑动翻转，当点A 第一次翻转到点𝐴1位置时，点A 经过的路线长为：
A.7π
B.6π
C.3π
D.4π
【能力扩展】
B 点经过4 次翻转的路径为：分别以BC、CD、AC 为半径的四分之一弧长。
【例5】一只闹钟的秒针顶点距离表盘圆心4 厘米，分针顶点距离表盘圆心3 厘米。
小王烧开一壶水的时间内，秒针顶点累计移动了40π 厘米。那么这一时间段内，分针顶点
与表盘圆心的连线扫过的扇形面积为多少平方厘米?
A.0.5π
B.0.75π
C.π
D.1.5π
【例6】有一个花坛的形状是一个直角扇形，由三个半径分别为1、2、3 米的圆弧构
成现用两条线段将此扇形圆心角平均分割成三部分。（如图）设计者在阴影部分和空白部分
分别种上不同的花卉，那么阴影部分花卉的种植面积为多少平方米？
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254
A.π/3
B.π/2
C.π
D.2π
【例7】射击用的靶子是由若干个同心圆组成，最中心的圆代表10 环，而10 环外圈
的一个圆环代表9 环。在随机射击时，若要使得击中10 环和9 环的概率相同，那么10 环
外圈半径与9 环外圈半径的比值为 。
A.1
B.√2
C.
1
2
D.√2
2
【例8】如图，边长为1 米的正方形棋盘上有100 个大小一样的小方格，点O 为棋盘
的中心，将一个直径是0.8 米的圆形纸片放在该棋盘上，使其中心也位于O 点，则该圆形
纸片可以完全覆盖的小方格个数是：
A.32
B.50
C.48
D.36
【不规则图形】
【解题思路】割、补、平移
①割：将一个整体图形分割为多个部分，利用整体与部分之间的关系来求解，一般连接中
点、顶点等特殊位置。
②补：当两个规则图形存在“包含”关系的时候，“大规则图形”挖去“小规则图形”所剩下的
形状往往是不规则的，其面积必然是两个规则图形的面积差。
③平移：将某个不规则图形进行平移、翻转到其他位置，构成规则图形。
【例1】一头羊用10 米长的绳子拴在一个长方形小屋外的墙角处，小屋长9 米、宽7
米，小屋周围都是草地，羊能吃到草的草地面积为（ ）平方米。
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
255
A.
155𝜋
2
B.
299𝜋
4
C.75π
D.
309𝜋
4
【例2】已知易拉罐的直径为8cm，现将7 个易拉罐如图捆扎在一起，那么需要
________cm 长的绳子。（仅计算一圈的绳长）。
A.4π+24
B.4π+48
C.8π+24
D.8π+48
【例3】某小区规划建设一块边长为10 米的正方形绿地。如图所示，以绿地的2 个顶
点为圆心，边长为半径分别作扇形，把绿地划分为不同的区域。小区现准备在图中阴影部
分种植杜鹃，则杜鹃种植面积为（ ）平方米。
A.100－25π
B.200－35π
C.200－50π
D.100π－100
【例4】如图所示，A、B、C、D、E、F 将圆六等分。圆内接一个正三角形。已知阴
影部分的面积是100 平方米，则圆面积为（）。
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
256
A.180 平方米
B.200 平方米
C.220 平方米
D.240 平方米
【例5】在下图中，大圆的半径是8，求阴影部分的面积是多少？
A.120
B.128
C.136
D.144
【例6】某农户在半径为100 米的圆形及内接的等边六边形田地中的不同区域种植不
同作物，如图所示，已知阴影部分种植A 作物，平均年产量为2 公斤/平方米，空白区域种
植B 作物，平均年产量为1 公斤/平方米，问每年两种农作物的总产量在以下哪个范围之内？
A.不到40 吨
B.40-45 吨之间
C.45-50 吨之间
D.50 吨以上
【例7】如下图所示，在一个边长为8 米的正方形与一个直径为8 米的半圆形组成的
花坛中，阴影部分栽种了新引进的郁金香，则郁金香的栽种面积为（ ）平方米。
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
257
A.4＋4π
B.4＋8π
C.8＋8π
D.16＋8π
第二节【立体几何】
【柱状体】
【正方体】
基本公式：正方体的表面积=6𝑎2，正方体的体积=𝑎3；
染色问题：若正方体一条边长有n 个小正方体，现将大正方体的六个面均涂上颜色，则
有：
1、一面涂色：一面涂色的是（n −2）
2×6 个。
2、三面涂色：三面涂色的是8 个。
3、二面涂色：二面涂色的是（n-2）×12 个。
4、没有面涂色：没有面涂色的是（n −2）
3个。
与球结合：
（1）若正方体里的内切球最大：此时球的直径等于正方体的边长；
（2）若球里的内接正方体最大：此时球的直径等于内接正方体的对角线长度。
截面问题：
（1）最大的截面为沿着对角线截开，最大的截面面积为√2𝑎2，如图：
（2）若为“三角形截面”，最大截面为√3
2 𝑎2，如图：
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
258
【截面问题】
【例1】将一个表面积为18 平方厘米的正方体沿对角线切成两块对称的三棱柱（见右
图），并将这两块三棱柱重新拼接成一个大的三棱柱。则这个大三棱柱的表面积最大为（ ）
平方厘米。
A.12+2√3
B.12+6√2
C.15+2√3
D.15+6√2
【例2】将边长为1 的正方体一刀切割为2 个多面体，其表面积之和最大为：
A.6+2√2
B.6+2√3
C.6+√2
D.6+√3
【例3】1 个棱长为1 的正方体零件切去1 个角，切口是边长为X 的正三角形，正方体
的表面积比之前减少了0.1。问X 的值在以下哪个范围内?（≈1.732）
A.X＜0.3
B.0.3≤X＜0.4
C.0.4≤X＜0.5
D.X≥0.5
【例4】若一个棱长为20 厘米的正方体表面上挖一个棱长为10 厘米的正方体洞，问
大正方体的表面积增加了多少？
A.100cm²
B.400cm²
C.500cm²
D.600cm²
【例5】将一个表面积为36 平方米的正方体等分成两个长方体，再将这两个长方体拼
成一个大长方体，则大长方体的表面积是：
A. 24 平方米
B. 30 平方米
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
259
C. 36 平方米
D. 42 平方米
【染色问题】
【例6】将一个立方体的表面涂黑，用刀片平行于立方体各个面，将其切割成若干个
棱长为1 的小立方体。如果只有一个面涂黑的小立方体的个数与没有一个面涂黑的小立方
体的个数相等，那么原立方体的棱长为多少？
A.4
B.6
C.16
D.8
【例7】将1000 个边长为1cm 的小正方体组合成一个实心的大正方体后，将该正方体
的5 个面涂满色后再全部分开，那么至少有一面涂色的小正方体有多少个？
A.424
B.488
C.512
D.576
【例8】1000 个体积为1 立方厘米的小正方体合在一起成为一个边长为10 厘米的大正
方体，大正方体表面涂油漆后，再分开为原来的小正方体，这些小正方体至少有一面被油
漆涂过的数目是（ ）个。
A.490
B.488
C.484
D.480
【例9】将512 个体积为1 立方厘米的小立方体，合成一个边长为8 厘米的大立方体，
并在大立方体的六面分别刷上不同的颜色，再分开为原来的小立方体，则被刷上两种不同
颜色的小立方体的数目是（ ）个。
A.72
B.80
C.88
D.96
【例10】一个边长为8cm 的立方体，表面涂满油漆，现在将它切成边长为0.5cm 的小
立方体，问两个表面有油漆的小立方体有几个?
A.144
B.168
C.192
D.256
【例11】某加工厂要将一个表面积为384 平方厘米的正方体金属原材料切割成体积为
8 立方厘米的小正方体半成品，如果不计损失，这样的小正方体可以加工的个数为：
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
260
A.64
B.36
C.27
D.16
【例12】在空间中最多能放置多少个正方体，使得任意两个正方体都有一部分表面相
接触？
A.4
B.5
C.6
D.7
【体积】
【例1】有大、中、小三个正方形水池，它们的内边长分别是6 米、3 米、2 米。把两
堆碎石分别沉在大、小水池的水中，两个水池的水面分别提高了1 厘米和4.5 厘米。如果
将两堆碎石都沉在中水池的水中，中水池的水面将升高多少厘米？
A.0.75
B.2
C.5
D.6
【例2】一个圆柱形的容器内放有一个长方体铁块，现打开水龙头往容器中注水3 分
钟时，水恰好没过长方体铁块的顶面。又过了18 分钟后，容器内被注满了水。已知容器的
高是50 厘米，长方体铁块的高是20 厘米，那么长方体铁块的底面面积是圆柱形容器底面
面积的（）。
A.
5
6
B.
3
4
C.
2
3
D.
1
2
【例3】某工厂加工出一批正方体奶酪,抽检时质检员从奶酪中切下了一个厚度为2 厘
米的长方体（如图所示）。如果剩余奶酪的体积为144 立方厘米，则奶酪原本的边长为（ ）
厘米。
A.4
B.6
C.8
D.10
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261
【例4】有一种红砖，长24 厘米、宽12 厘米、高5 厘米，问至少用多少块这种砖才
能拼成一个实心的正方体?
A.600 块
B.1200 块
C.1800 块
D.2400 块
【例5】把若干个大小相同的立方体摆成如图形状：从上向下数，摆1 层有一个立方
体，摆2 层共有4 个立方体，摆3 层共有10 个立方体，问摆7 层共有多少个立方体？
A.60
B.64
C.80
D.84
【例6】有120 个棱长为30cm 的正方体包装盒，按图示规律堆放在长方体库房的一角，
恰好全部堆在一起，且最高的3 层形状和图中一致，则该库房的高至少为：
A.2.4m
B.2.7m
C.3.0m
D.3.3m
【能力扩展】
1+3+6+10+…
①通项公式：
𝑛（𝑛+1）
2
；
②前n 项和：
𝑛（𝑛+1）（𝑛+2）
6
【长方体】
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262
基本公式：表面积公式为S=2（ab＋ac+bc）,体积公式为V=a×b×c，（a、b、c 分别为长方
体的长、宽、高，长方体有4 个长，4 个宽，4 个高）。
【表面积、体积】
【例1】长方体的表面积是88，其长、宽、高之比为3∶2∶1，则长方体的体积是：
A.48
B.45
C.384
D.3072
【例2】如右图所示，一个长方形的场地要分割成4 块长方形区域进行分区活动。测
量得知，区域A、B、C 的面积分别是15、27、36 平方米。则这块长方形场地的总面积为
（ ）平方米。
A.84
B.92
C.98
D.100
【例3】一个长方体木块恰能切割成五个正方体木块，五个正方体木块表面积之和比
原来的长方体木块的表面积增加了200cm²。则长方体木块的体积为多少?
A.625cm³
B.125cm³
C.500cm³
D.750cm³
【能力扩展】
将长方体切成n 个正方体，需要（n-1）刀，则会增加2（n-1）个截面，
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263
【例4】一个长方体木块恰好能切割成三个正方体木块，三个正方体木块表面积之和
比原来的长方体木块的表面积增加了64 平方厘米。则长方体木块的体积为（ ）立方厘米。
A.128
B.192
C.256
D.512
【例5】工作人员做成了一个长60 厘米，宽40 厘米，高22 厘米的箱子，因丈量错误，
长和宽均比设计尺寸多了2 厘米，而高比设计尺寸少了3 厘米，那么该箱子的表面积与设
计时的表面积相差多少平方厘米？
A.4
B.20
C.8
D.40
【例6】边长为1 米的正方体525 个，堆成了一个实心的长方体，它的高是5 米，长、
宽都大于高，则长方体的长与宽的和是多少米？
A.21
B.22
C.23
D.24
【例7】一个无盖长方体饮料盒如下图所示，其底面为正方形，高为23 厘米，若插入
一根足够细的不可弯折的吸管与底部接触，已知插入饮料盒内的吸管长度最大为27 厘米，
问饮料盒底面边长为多少厘米？
A.5√2
B.8
C.10
D.10√2
【例8】A、B 两个方形的蓄水池，池底面积为7:5,A 蓄水池水深5 米，B 水池水深3
米。往两个蓄水池注入同样多的水，使得两个蓄水池水深相等，这时水深多少米？
A.10
B.15
C.20
D.25
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264
【例9】“嫦娥一号”卫星在未打开太阳翼时，外形是长222 厘米，宽172 厘米，高220
厘米的长方体，若在表面包裹1 厘米厚的防震材料层，在这外面还有1 厘米厚的木板包装
箱，则木板包装箱所需木材的体积至少为（）立方厘米。
A.224×174×222-222×172×220
B.223×173×221-221×171×219
C.225×175×223-224×174×222
D.226×176×224-224×174×222
【染色】
【例10】表面为六种不同颜色的一个长方体，被分割成若干个体积相同的小正方体，
如果在这些小正方体中，每面都不带颜色的小正方体的个数为11 个，那么有且仅有两个面
带颜色的小正方体的个数是多少？
A.52
B.48
C.44
D.32
【圆柱】
基础公式：
（1）圆柱体的表面积＝2πr2＋2πrh；圆柱体的两个底面积＝2πr2；圆柱体的侧面积＝2πrh。
（2）圆柱体的体积＝πr2h。
【例1】压路机的滚筒是圆柱形，长是1.5m，滚筒的半径是0.54m。如果滚筒每分钟
转动16 周，则压路机每分钟可压路面约（ ）平方米。
A. 58
B. 69
C. 76
D. 81
【例2】 在一只底面半径是15 厘米的圆柱形容器中，有一底面半径为10 厘米的圆柱
形钢材完全浸没在水中，当钢材从容器中取出后，容器内的水下降了8 厘米，那么这段钢
材的长度是多少？
A. 6 厘米
B. 9 厘米
C. 12 厘米
D. 18 厘米
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265
【例3】甲、乙两个圆柱体容器的底面积之比为2∶3，容器中的水深分别为10 厘米和5
厘米。现将甲容器中的水倒一半在乙容器中，则此时两个容器中的水深之比为：
A.3∶5
B.3∶4
C.2∶3
D.2∶5
【例4】有一个圆柱体花瓶，装有5cm 深的水，花瓶的内底面直径为12cm，现在往花
瓶中放入一个玻璃球，当球沉入水底时，水面恰好与玻璃球相切，则玻璃球的半径为（ ）
cm。
A.3
B.4
C.5
D.6
【例5】某蔬菜种植基地有甲、乙两个圆柱形蓄水池，它们的底面积之比为4∶3，甲池
中水深8m，乙池中水深5m，再往两个蓄水池注入同样多的水，直到两个蓄水池水深相等，
则甲蓄水池的水面上升：
A.12m
B.18m
C.9m
D.6m
【例6】两个半径不同的圆柱形玻璃杯内均有一定量的水，甲杯的水位比乙杯高5 厘
米。甲杯底部沉没着一个石块，当石块被取出并放进乙杯沉没后，乙杯的水位上升了5 厘
米，并且比这时甲杯的水位还高10 厘米。则可得知甲杯与乙杯底面积之比为：
A.1∶2
B.2∶3
C.3∶2
D.3∶5
【例7】有甲、乙两只装满水的圆柱形玻璃杯，杯的内半径分别是5 厘米、8 厘米，甲
杯中此前放一铁块，当取出此铁块时，甲杯中的水位下降了3 厘米，然后将此铁块放入乙
杯中。这时乙杯中的水位上升了多少厘米？
A.4 厘米
B.1 厘米
C.0.5 厘米
D.0 厘米
【例8】在一个以1 为底圆半径，4 为高的圆柱体内装了高度为3 的液体，在保证液体
不流出的前提下倾斜圆柱体，则倾斜的最大角度为（不考虑表面张力）：
A. 15°
B. 30°
C. 45°
D. 60°
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266
【能力扩展】
如图，假设倾斜角为α，此时三角形ABC 的区域为流出的部分（若为倾斜后溶液刚好
不流出，则该区域为圆柱直立放置时空出的部分），根据角度和圆柱的直径AB，推导出
AC 的高度，从而根据题意求解，（并且此类问题一般为45°角偏多，此时AB=AC）。
。
【例9】已知一内直径为50cm，内高100cm 的圆柱形木桶，灌满了浓度为20%的盐水
溶液，使其倾斜45 度倒出部分溶液后放平，再加满清水，问此时木桶内盐水溶液的浓度是
多少？
A.10%
B.12.5%
C.13.3%
D.15%
【例10】一个圆柱体零件的高为1，其圆形底面上的内接正方形边长正好也为1。现
将该圆柱体零件切割4 次，得到棱长为1 的正方体，则切去部分的总面积为：
A.(√2 + 1)π + 2
B.(𝜋+ 1)√2
C.(𝜋−2)2√2
D.2√2𝜋−2
【例11】小庄要制作一个工业模具。他在一个边长4 厘米的正方体上表面正中心位置
向下挖掉一个直径2 厘米、高2 厘米的圆柱体，接着再向下挖掉一个直径1 厘米、高1 厘
米的小圆柱体（如图所示）。那么，该模具的表面积约为多少平方厘米？
A.82.8
B.108.6
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267
C.111.7
D.114.8
【例12】一个圆柱形的容器内放有一个长方体铁块，现打开水龙头往容器中注水3 分
钟时，水恰好没过长方体铁块的顶面。又过了18 分钟后，容器内被注满了水。已知容器的
高是50 厘米，长方体铁块的高是20 厘米，那么长方体铁块的底面面积是圆柱形容器底面
面积的（）。
A.
5
6
B.
3
4
C.
2
3
D.
1
2
【例13】野外生存需要用一个简易的圆锥型过滤器（如下图所示）装满溪水进行过滤。
过滤器的底面直径为20 厘米，高为6 厘米。问全部过滤完毕后，在不考虑损耗的情况下，
可使底面半径为5 厘米，高为15 厘米圆柱型容器的水面高度达到：
A.4 厘米
B.6 厘米
C.8 厘米
D.12 厘米
【其他】
【例14】一个瓶子的瓶内容积为204cm³（见下图），瓶口向上正放时，瓶内水的高度
为14cm，瓶口向下倒放时，剩余部分的高度为3cm，则瓶内的水的体积是（ ）cm³。
A.168
B.178
C.188
D.198
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268
【例15】一个重量为x 千克的圆台形容器如下所示，其口部半径是底面半径的2 倍，
在容器中装满水，总重量为9 千克，从中倒出部分水使得液面高度为装满水时的一半，总
重量下降到4.5 千克。问x 的值在以下哪个范围内?
A. x＜1.5
B. 1.5≤x＜2
C. 2≤x＜2.5
D. x≥2.5
【球体】
球的体积公式为：
4
3 𝜋𝑟3，表面积为：4𝜋𝑟2
球缺：若已知PA 和PB 的长度，则根据OA=OB=球体半径r，OP=OA－PA，在直角
三角形OPB 内，根据勾股定理可得，𝑟2 = 𝑃𝐵2 + (𝑟−𝑃𝐴)2，进而解出r 的结果。
【例1】一个正方体与其内切球体的表面积的比值是：
A.
1
𝜋
B.
2
𝜋
C.
3
𝜋
D.
6
𝜋
【例2】将一个边长为1 的木质正方体削去多余部分，使其成为一个最大的木质圆球，
则削去部分的体积为：
A.
𝜋
6
B.1-
𝜋
6
C.
𝜋2
16
D.1-
𝜋2
16
【例3】将一个球形西瓜平行切下两刀后，所得切面圆的半径分别为厘米和8 厘米，
且两切面圆之间的距离为1 厘米，问长、宽、高分别为48 厘米、32 厘米及32 厘米的纸箱
最多能装多少个这样的西瓜？
A.8
B.12
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269
C.14
D.16
【例4】有一个圆柱体花瓶，装有5cm 深的水，花瓶的内底面直径为12cm，现在往花
瓶中放入一个玻璃球，当球沉入水底时，水面恰好与玻璃球相切，则玻璃球的半径为（ ）
cm。
A.3
B.4
C.5
D.6
【例5】把一个半径为3 厘米的金属小球放到半径为5 厘米且装有水的圆柱形烧杯中。
如全部浸入后水未溢出，则水面比未放入小球之前上升多少厘米？
A.1.32
B.1.36
C.1.38
D.1.44
【例6】某游乐园在一个平地中央挖了一 个球形下沉广场，广场直径为200 米，最深
处50 米，那么这个球形的直径为______米。
A.125
B.200
C.225
D.250
【椎体】
圆锥：
（1）基本公式：圆锥体的体积＝
1
3πr2h；圆锥的表面积=πrL+π𝑟2（L 为母线，r 为底面
圆半径）；
（2）基本结论：如图，若左边扇形围成右边的圆锥，则扇形的周长等于圆锥底面圆的
周长，且α×L=360°×r，通过母线长和底面半径推导扇形的圆心角。
【例1】一实心圆锥体的底面半径为r，母线长为2r。若截圆锥体得到两个同样的锥体
（如图），则所得两个椎体的表面积之和与原圆锥体表面积的比值是：
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270
A.
1
2
B.
𝜋+4√3
6
C.
3𝜋+2√3
3𝜋
D.
3𝜋+4
6𝜋
【例2】把一个半圆形的纸片围成漏斗状，若圆锥的底面半径为1，则圆锥的高为（ ）。
A.1
B.√3
C.2
D.2√6
【例3】用一个平面将一个边长为1 的正四面体切分为两个完全相同的部分，则切面
的最大面积为：
A.
1
4
B.√2
4
C.√3
4
D.
1
2
棱锥：棱锥的体积计算公式为V=
1
3Sh（S 为棱锥的底面积，h 为棱锥的高）。
正四面体：体积：√2
12 𝑎3，高：√6
3 𝑎
正四面体的棱长是其外接正方体的棱长的√2 倍。
正四面体的体积是其外接正方体的体积的1/3。
外接球心在顶点与底面重心的连线的距顶点3/4 处，外接球半径(a√6)/4。
正三棱锥：是锥体中底面是正三角形，三个侧面是全等的等腰三角形的三棱锥。
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271
【例4】下图所示是一种帐篷屋顶的示意图，底面是一个长4 米宽3 米的长方形，屋
顶高1 米，上棱长2 米且平行于底面，那么该帐篷屋顶的体积是：
A.5 立方米
B.11 立方米
C.12 立方米
D.24 立方米
【例5】一个人工湖的湖面上有一个露出水面3 米的圆锥体人工景观（底面朝下）。如
人工湖水深减少20％，则该景观露出水面部分的体积将增加61/64。问原来的人工湖水深
为多少米?
A.3.5
B.3.75
C.4.25
D.4.5
【例6】过长方体一侧面的两条对角线交点，与下底面四个顶点连得一四棱锥，则四
棱锥与长方体的体积比为多少?
A.1︰8
B.1︰6
C.1︰4
D.1︰3
【例7】如图，正方体的棱长为1，则三棱锥𝐶−𝐴𝐵1𝐷1的体积是（ ）。
A.
1
3
B.
1
4
C.
1
5
D.
1
6
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
272
【例8】将棱长为1 的正方体的六个面的中点相连接可以得到一个八面体，则这个八
面体的体积为：
A.1/6
B.√3
6
C.1/4
D.1/3
【例9】如下图1 所示，在一个金字塔造型（底面为正方形，侧面为四个全等的等腰
三角形）的铸造件内部挖空一个圆柱。现沿铸造件顶点A 且垂直底面的方向切开，切开后
的截面如下图2 所示，已知DE、GF 为圆柱的高，BC=4√2分米，DE=2 分米，AO=4 分米，
那么挖后铸造件的体积是：
A.128－4π 立方分米
B.128/3－4π 立方分米
C.64/3－4π 立方分米
D.64－4π 立方分米
【例10】在三棱锥P-ABC 中，棱PA、PB、PC 两两垂直，且其长分别是3cm，4cm，
5cm。若使此三棱锥以任一方位均能穿过一圆环，则圆环半径最小为：
A. 2√2cm
B.
5
2 √2cm
C. 3√3cm
D.
7
2 √2cm
【能力扩展】
（1）若连接正方体的某顶点与其相邻三个面的对角线会形成正三棱锥，此时正三棱锥
的外接圆就是该正方体的外接圆；
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
273
（2）以长方体或正方体中三个垂直的边长作为棱边，垂直面某个顶点作为棱锥的顶
点，如图，此时会形成三组两两垂直的棱，此时三棱锥的外接圆就是该正方体或长方体的
外接圆。
第三节【几何性质】
【相似性质】
一个几何图形，若其尺度变为原来的m 倍，则：
１.所有对应角度不发生改变；③
２.所有对应长度变为原来的m 倍；
３.所有对应面积变为原来的𝑚2倍；
４.所有对应体积变为原来的𝑚3倍。
【例1】如图，沙漏计时器由上下两个大小相同、相互连通且底面互相平行的圆锥组
成，下面的圆锥内装有细沙，计时开始时，将沙漏倒置，已知上面圆锥中细沙全部流下恰
好需要1 小时，则细沙高度下降一半所需的时间是：
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
274
A.30 分钟
B.45 分钟
C.47.5 分钟
D.52.5 分钟
【例2】某餐馆承诺25 分钟内上齐一桌菜，若超时则未上的菜品免单。每张餐桌上都
有一个装满后正好25 分钟漏完的圆锥形沙漏（如下图所示）。某位顾客在等待的过程中发
现沙漏内上方沙子的高度为原先的一半，此时还差一道菜未上，则再过多久还未上菜，这
位顾客将享受免单服务：
A.不到3 分钟
B.3—4 分钟之间
C.4-5 分钟之间
D.超过6 分钟
【例3】一个球内接立方体的表面积增加21％后，则该球的体积增加百分之几？
A.10
B.21
C.33.1
D.33.3
【例4】正六面体的表面积增加96%，则棱长增加多少？
A.20%
B.30%
C.40%
D.50%
【例5】正四面体的棱长增长10%，则表面积增加：
A.21%
B.15%
C.44%
D.40%
【例6】某甜品店出售一种规则球形的甜品，该甜品由内部中空的球形面皮（每立方
厘米成本0.4 元）和实心的芝士球（每立方厘米成本1 元）组成。无论甜品大小规格如何，
其中的芝士球半径始终为甜品半径的四分之三。已知制作半径为1 厘米的该甜品成本约为
2.73 元，那么要制作半径为2 厘米的该甜品，成本约为:
A.5.46 元
B.7.45 元
C.14.92 元
D.21.88 元
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275
【平面】
【例1】用边长为0.2m 的正三角形地砖铺满一块边长为1m 的正六边形地面，需要多
少块地砖？
A.30
B.60
C.150
D.180
【例2】某演播大厅的地面形状是边长为100 米的正三角形，现要用边长为2 米的正
三角形砖铺满（如图所示）。问，需要用多少块砖？
A.2763
B.2500
C.2340
D.2300
【例3】下图为以AC、AD 和AF 为直径画成的三个圆形，已知AB、BC、CD、DE
和EF 之间的距离彼此相等。问小圆x、弯月y 以及弯月z 三部分的面积之比为：
A.4：5：16
B.4：5：14
C.4：7：12
D.4：3：10
【最值理论】
几何最值理论：
（1）平面图形中，若周长一定，越接近于圆，面积越大；
（2）平面图形中，若面积一定，越接近于圆，周长越小。
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
276
（3）立体图形中，若表面积一定，越接近于球，体积越大；
（4）立体图形中，若体积一定，越接近于球，表面积越小。
【周长一定】
【例1】某健身馆准备将一块周长为100 米的长方形区域划为瑜伽场地，将一块周长
为160 米的长方形区域划为游泳场馆。若瑜伽场地和游泳场馆均是满足周长条件下的最大
面积，问两块场地面积之差为多少平方米？
A.625
B.845
C.975
D.1150
【例2】用18 厘米长的警戒线围成各种长方形，要求长和宽的长度都是厘米数，则围
成的长方形的面积最大是多少？
A.18 平方厘米
B.20 平方厘米
C.25 平方厘米
D.40 平方厘米
【例3】在美化城市活动中，某街道工作人员想借助如图所示的直角墙角，用28 米长
的篱笆围成一个矩形花园ABCD，篱笆只围AB、BC 两边。图中P 为一棵直径为1 米的树，
其与墙CD、AD 的最短距离分别是14 米和5 米，若要将这棵树围在花园内，则花园的最
大面积为多少平方米？
A.187
B.192
C.195
D.196
【例4】村民陶某承包一长方形地块，他将地分割成如图所示的A、B、C、D 四个地
块，其中A、B、C 的周长分别是20 米、24 米、28 米，D 的最大面积是多少平方米？
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277
A.42
B.49
C.64
D.81
【面积一定】
【例1】某地市区有一个长方形广场，其面积为1600 平方米。由此可知，这个广场的
周长至少有：
A.160 米
B.200 米
C.240 米
D.320 米
【例2】某村拟建造一个容积为144 立方米，深度为4 米的长方体无盖蓄水池。为节
约成本，侧面积最小为多少平方米？
A.24
B.36
C.96
D.132
【例3】建造一个容积为16 立方米、深为4 米的长方体无盖水池，如果池底和池壁的
造价分别为每平方米160 元和每平方米100 元，那么该水池的最低总造价是多少元？
A.3980
B.3560
C.3270
D.3840
【例4】某村拟建造一个容积为144 立方米，深度为4 米的长方体无盖蓄水池。经测
算，蓄水池底部造价为260 元/平方米，侧面造价为180 元/平方米。那么该水池的最低总造
价为：
A.11440 元
B.25920 元
C.26640 元
D.31680 元
【例5】用40 厘米×60 厘米的方砖铺一个房间的长方形地面，在不破坏方砖的情况下，
正好需要用60 块方砖。假设该长方形地面的周长的最小值为X 米，那么X 的值在以下哪
个范围内？
A.X＜15
B.15≤X＜16
C.16≤X＜17
D.X≥17
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278
第四节【几何构造】
【最短路径】
平面：（镜面对称、定值理论）、立体（长方体、圆柱、圆锥）
镜面对称：
两点之间线段最短，将A 关于做对称点𝐴1，𝐴1𝐵即为所求
【例1】A、B 两村在一条笔直公路的同侧，到公路的垂直距离分别是3 公里和7 公里，
两村相距8.5 公里，现需在公路边建一个物资集散中心，为节约物资配送成本，集散中心
到两个村的直线路程之和应尽可能小，若货车的速度约为60 公里/小时，那么货车从集散
中心出发，到两村送货后返回中心，路途所花费的最少时间为：
A.18 分钟
B.21 分钟
C.24 分钟
D.27 分钟
【例2】某市规划建设的4 个小区，分别位于直角梯形ABCD 的4 个顶点处（如图），
AD=4 千米，CD=BC=12 千米。欲在CD 上选一点S 建幼儿园，使其与4 个小区的直线距
离之和为最小，则S 与C 的距离是：
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279
A.3 千米
B.4 千米
C.6 千米
D.9 千米
【例3】悟空与二郎神在离地面1 米的空中决斗，两人相距2 米，悟空想用分身直接
偷袭二郎神，为了不引起对方的警觉，分身必须在地面反弹一次再进行攻击，则分身到达
二郎神的位置所走的最短距离为：
A.2√2米
B.√3米
C.√2米
D.2√3米
【例4】A、B 两村庄分别在一条公路L 的两侧，A 到L 的距离丨AC 丨为1 公里，B
到L 的距离丨BD 丨为2 公里，C、D 两处相距6 公里，欲在公路某处建一个垃圾站，使得
A、B 两个村庄到此处处理垃圾都比较方便，应建在离C 处多少公里？
A.2.75
B.3.25
C.2
D.3
【例5】如右图所示，某条河流一侧有A、B 两家工厂，与河岸的距离分别为４千米
和５千米，且Ａ与Ｂ的直线距离为11 千米。为了处理这两家工厂的污水，需要在距离河岸
1 千米处建造一个污水处理厂，分别铺设管道连接Ａ、Ｂ两家工厂。 假定河岸是一条直线，
则排污管道总长最短是（ ）。
A.11
B.12
C.13
D.14
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280
【例6】Ａ点、Ｂ点与墙的位置如下图所示，现从Ａ点出发以５米／秒的速度跑向墙，
接触到墙后再跑到Ｂ点，问最少要多少秒到达Ｂ点？
A.30
B.34
C.38
D.42
【例7】一个300 米×200 米的池塘ABCD 如下图所示。甲从A 点划船出发依次经过
CD 边上的一点、AB 边上的一点后，最终到达C 点。问最短行进距离在以下哪个范围内？
A.不到690 米
B.690~720 米之间
C.720~750 米之间
D.超过750 米
平面图形：三角形、正方形、平行四边形
【例1】一个半径为120 米的圆形人工湖正中有一个半径为60 米的圆形人工岛。甲从
岛的正北岸边出发，以1 米／秒的速度匀速划船前往湖的正南岸边，则最少需要多长时间？
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281
A.不到3 分45 秒
B.3 分45 秒～4 分之间
C.4 分～4 分15 秒之间D.超过4 分15 秒
【例2】人行道ABC，BC 长286cm，D 为BC 中点。AD 直线距离为324cm，过B 点
做直线BE，过C 点做垂线与BE 交于E 点，问AE 最小距离为多少？
A.38cm
B.168cm
C.176cm
D.181cm
【菱形】
如图，在菱形ABCD 中，AB=10，∠A＝120°，点P，Q，K 分别为线段BC，CD，BD
上的任意一点，则PK＋QK 的最小值为：
A. 5
B. 10
C. 5√2
D. 5√3
【能力扩展】
求AP+PB 的最短路径可以转化为𝐴,𝑃+ 𝑃𝐵的最短路径，即𝐴,、𝑃、𝐵三点共线时。
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282
【奇点问题】
（1）当图形有0 或2 个奇点时，可以一笔画走完。（注意若0 个奇点，可以从某点出
发一笔画走完回到该点，若2 个奇点，只能从某个奇点出发回到另一个奇点，这两种情况
还略有区别，考生要注意审题）。
（2）若有2n 个奇点，则需要n 笔完成，则需要重复n-1 条边。
【例1】一块由两个正三角形拼成的菱形土地ABCD 周长为800 米，土地周围和中间
的道路如下图所示，其中DE、BF 分别与AB 和CD 垂直。如要从该土地上任何一点出发
走完每一段道路，问需要行进的距离最少是多少米?
A.1000+400√3
B.1100+400√3
C.1100+500√3
D.1000+600√3
【例2】某公园的道路由如下所示的5 个正六边形组成，每个六边形每条边的长度都
是100 米，保安员从道路上某一点出发巡视完所有的道路至少要走多少米？
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283
A.2600
B.2800
C.3000
D.2300
【例3】某社区道路如下图所示，社区民警早上9 点整从A 处的办公室出发，以每分
钟50 米的速度对社区内每一条道路进行巡查（要求完整走过整个社区内的每一段道路），
问他最早什么时候能完成任务返回办公室？
A.9:54
B.9:50
C.9:47
D.10:00
【立体】
【正方体】
【例1】 A 和B 为正方体两个相对的顶点，一个点从A 出发沿正方体表面以最短路径
移动到B，则其可选择的路线有几条：
A. 2
B. 3
C. 6
D. 12
【例2】一只蚂蚁从下图的正方体A 顶点沿正方体的表面爬到正方体C 顶点，设正方
体边长为a，问该蚂蚁爬过的最短路程为：
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284
A.（
1
2 + √5
2 ）a
B.√5a
C.（1+√2）a
D.（1+√3）a
【长方体】
（1）对角路径最短：连接最远两点的距离，过最长边的线更短，如图，该距离为
√𝑎2 + (𝑏+ 𝑐)2（若长方形的长宽高分别为a、b、c，且a 为最大的）。
（2）对角面面积或周长：以最长边为一条边，两条较短边所在面的对角线为另外一条
边，得到的对角面，面积和周长都是最大的，切面=a×√𝑏2 + 𝑐2（若长方形的长宽高分别为
a、b、c，且a 为最大的）。
【例3】一间房屋的长、宽、高分别是6 米、4 米和3 米，施工队员在房屋内表面上画
一条封闭的线，其所画的线正好在一个平面上且该平面正好将房屋的空间分割为两个形状
大小完全相同的部分，问其所画的线可能的最长距离和最短距离之间的差是多少米？
A.6
B.6（√5 −1）
C.8
D.4（√12 −1）
【例4】某公司要在长、宽、高分别为50 米、40 米、30 米的长方体建筑的表面架设
专用电路管道联接建筑物内最远两点，预设的最短管道长度介于：
A.70~80 米之间
B.60~70 米之间
C.90~100 米之间
D.80~90 米之间
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285
【例5】长、宽、高分别为12cm、4cm、3cm 的长方体ABCD—𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1上，有一个
蚂蚁从A 出发沿长方体表面爬行到𝐶1获取食物，其路程最小值是多少cm？
A.13
B.√193
C.√241
D.17
【例6】沿一个平面将长、宽和高分别为8、5 和3 厘米的长方体切割为两部分，问两
部分的表面积之和最大是多少平方厘米？
A.206
B.238
C.158 + 16√34
D.158 + 10√73
【例7】一个长方体的长为5，宽为3，高为4，一只蚂蚁从长方体A 点爬行到B 点，
它爬行的最短距离是：
A.√74
B. 4
C. 3
D. 4
【例8】如图所示的长方体中，长BF=7cm，宽AB=5cm，高AC=6cm，一只蚂蚁从点
A 沿着长方体的外表面爬行到点E 的最短路成为（ ）。
A.12
B.17
C.13
D.√170
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286
【例9】如右图所示，一个边长为10 厘米的正方体木块ABCD-𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1，点E、F 分
别是BC、𝐴1𝐵1的中点，𝐶1𝐸是用蜂蜜画的一条线段，一只蚂蚁在点F 处，要想沿正方体表
面最快到达蜂蜜所在线段𝐶1𝐸，它所爬行的最短距离是多少厘米？
A.3√5
B.6√5
C.12√5
D.30√5
【例10】下图是长为3a 厘米，宽、高均为a 厘米的长方体。一只蚂蚁以m 厘米/秒的
速度沿如图所示的路径由A 点爬行到B 点后，又沿棱BA 爬回A 点。问其全程用时最短可
能为多少秒？
A.
7𝑎
𝑚
B.
8𝑎
𝑚
C.
9𝑎
𝑚
D.
10𝑎
𝑚
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287
【圆柱】
（一）如图，若A 点在圆柱外部，B 点在圆柱内部对角位置，此时会有两种情况：
情况一，圆柱侧面不展开，根据两点之间线段最短，可以先竖直走上去，然后竖直走
下去，再走直径，此时，走过的距离为高（h）×2＋直径（d），代入数据，求出该路径的
长度。
情况二，圆柱侧面展开为矩形，两点之间线段最短，将A、B 两点放在同一个平面上
连线即可。根据直线同侧两点到直线上同一点距离之和最短用对称点法，画图如下，再根
据勾股定理求解长度。
比较两条路径的长度，选二者中短的路径。
（二）如图，若A 点在圆柱外部，C 点在圆柱外部某个位置，此时将圆柱侧面展开，
连接AC 即可。
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288
【例1】在猫鼠游戏中，跑道为无顶和底的圆柱形，底或顶的圆周长度为5 米。圆柱
的高为12 米，老鼠只能在顶端圆周逃跑并以0.5 米/秒的速度从A 点出发，与此同时，猫
从B 点出发匀速追击老鼠，并可以在圆柱形的表面选择任意路线追击。若猫想在A 点恰好
追击到跑了一圈的老鼠，则它至少要保持的速度为：
A.1.1 米/秒
B.1.4 米/秒
C.1.3 米/秒
D.1.2 米/秒
【例2】有一个圆柱，它的高等于8 厘米，底面半径等于2 厘米，在圆柱下底面上的
A 点有一只蚂蚁，它想从点A 爬到点B，蚂蚁沿着圆柱表面爬行的最短路径是多少？（π
的值取3）
A.8
B.10
C.12
D.14
【例3】一个不计厚度的圆柱型无盖透明塑料桶，桶高2.5 分米，底面周长为24 分米，
AB 为底面直径。在塑料桶内壁桶底的B 处有一只蚊子，此时，一只壁虎正好在塑料桶外
壁的A 处，则壁虎从外壁A 处爬到内壁B 处吃到蚊子所爬过的最短路径长约为：
A. 10.00 分米
B. 12.25 分米
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289
C. 12.64 分米
D. 13.00 分米
【例4】有一圆柱体高为15cm，底面圆的周长为10cm，在𝐴𝐴1外壁上有一个蜘蛛Q，
QA=3cm，在圆柱体内壁𝐵𝐵1上有一只蚊子P，P𝐵1=2cm，蜘蛛从Q 点爬到内壁P 点吃掉蚊
子，所走的最短路径为（ ）cm。
A. 5 √5
B. 5 √5+4
C.√221
D. 15
【圆锥】
第一步：根据α×L=360°×r，求出扇形圆心角；
第二步：将圆锥侧面展开，连接所求点。
注：圆锥的侧面展开后是一个扇形，该扇形的弧长等于圆锥的底面周长，该扇形的半
径等于圆锥的母线长。
【例1】如图，圆锥高6√3厘米，底面半径为6 厘米，一只蚂蚁从A 点沿圆锥侧面爬
行到B 点，则最短的距离为______厘米。
A.12
B.12√2
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290
C.6π
D.24
【例2】已知圆锥的底面半径为10，圆锥的高为10√15，底面圆上蜘蛛从A 点出发，
沿着侧面爬行一周回到A 点，求蚂蚁爬行的最短距离：
A.40
B.40π
C.40√2
D.80
【例3】如图，已知圆锥的底面半径是4，高是8√2。如果A 是底面圆周上一点，从
点A 拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A 点，则这根绳子最短的长度是：
A.6√3
B.8√3
C.10√2
D.12√2
【例4】如图2，有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为6 m 的正三角形ABC，母线AC
的中点P 处有一老鼠正在偷吃粮食，小猫从B 处沿圆锥表面去抓住老鼠，则小猫经过的最
短路程是多少米？
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291
A.3√3
B.4√2
C.3√5
D.5√3
【例5】如图，正四面体ABCD，P、Q 分别是棱AB、CD 的三等分点和四等分点
（AB＝3AP＝4CQ），棱AC 上有一点M，要使M 到P、Q 距离之和最小，则MC∶MA＝
（ ）。
A.1∶2
B.4∶5
C.3∶4
D.5∶6
【例6】如图，A—BCD 是棱长为3 的正四面体，M 是棱上的一点，且MB=2MA，G
是三角形BCD 的重心，动点P 在棱BC 上，则PM+PG 的最小值是：
A.√10
B.√7
C.3
D.√11
【例7】
【构造特殊图形】
三角形、正方体等构造
【均值不等式】
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292
令CD=a，DB=b，根据射影定理可得AD=√𝑎𝑏，A0=
𝑎+𝑏
2 ，∵AD≤AO，√𝑎𝑏≤
𝑎+𝑏
2 。
应用：若a+b=定值，则当a=b 时，a×b 取到最大值；
【例1】甲、乙协商，在属于乙的一片荒地上由甲负责开发一块长30 米宽若干米的长
方形地块，开发出来后，分一块以长方形地块的宽为边长的正方形地块归乙使用，剩下部
分归甲使用，若使甲可使用的地块面积最大，长方形地块的宽应为多少米？
A.25
B.20
C.15
D.10
【例2】某农家要建造一个新的矩形鸡圈，如图所示，该鸡圈一面靠围墙，另外三面
共使用了200 米长的铁丝网，问如果想让鸡圈的面积最大，鸡圈的长和宽比值应为多少?
A.1∶1
B.2∶1
C.3∶2
D.7∶3
【例3】某单位计划在户外举办讲座，计划使用72 米的隔离带围成长方形作为活动场
所，其中一边不封闭（即成|__|形），缺口面向讲坛。能围成的场所面积最大是（ ）平方米。
A.324
B.648
C.972
D.1296
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293
【例4】某图书馆为增加室内采光，在墙上新增一扇窗户（如下图所示）上半部分是
个半圆，下半部分是个矩形。窗户用铝合金材料制作，材料总长度为27 米（图中黑色线部
分均为铝合金材料，铝合金宽度忽略不计，π 取3）。那么该窗户的最大面积为：
A.12 平方米
B.15.75 平方米
C.16.25 平方米
D.18 平方米
【例5】妈妈为了给过生日的小东一个惊喜，在一底面半径为20cm，高为60cm 的圆
锥形生日帽内藏了一个圆柱形礼物盒。为了不让小东事先发现礼物盒，该礼物盒的侧面积
最大为多少？
A.600πcm²
B.640πcm²
C.800πcm²
D.1200πcm²
【覆盖类】
①圆覆盖长方形面积：从顶点入手，利用勾股定理求出一个圆最大能覆盖的长和宽，
再求需要几个圆；若一个圆不能同时覆盖两个顶点，则需要扩大2 倍。
②圆覆盖周长：一般构造为特殊正六边形。
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294
【例1】现要在一块长25 公里、宽8 公里的长方形区域内设置哨塔，每个哨塔的监视
半径为5 公里，如果要求整个区域内的每个角落都能被监视到，则至少需要设置多少个哨
塔？
A.7
B.6
C.5
D.4
【例2】有一条长为100 米、宽为16 米的小路，需要在道路两侧对称的位置安装路灯。
若已知每盏路灯可以照亮以路灯正下方地面为圆心，10 米半径的范围。那么这段小路至少
需要安装（ ）路灯才能将整条小路的路面都照亮。
A.22 盏
B.20 盏
C.18 盏
D.16 盏
【例3】某社区为一个长80 米、宽8 米的花坛设置若干定点智能洒水装置，洒水范围
是半径为5 米的圆形。要保证花坛各个区域都可能被灌溉，最少需要洒水装置：
A.12 个
B.14 个
C.16 个
D.18 个
【例4】如果不堆叠，直径16 厘米的盘子里最多可以放多少个边长6 厘米的正方体？
A.1
B.2
C.3
D.4
【例5】一个半径为R 的大圆用一些半径为R/2 的小圆去覆盖，至少要用几个小圆才
能将大圆完全盖住？
A.5 个
B.6 个
C.7 个
D.8 个
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295
【例6】直径为12 米的圆形苗圃内任意栽种7 棵树，将距离最近的两棵树用绳子连起
来（树干直径不计），则绳子的长度最长可能为（ ）米。
A.√5
B.√10
C.6√2
D.6
【例7】在一个半径为10 米的圆形广场的边缘及其内部安装广告牌，任意相邻的两个
广告牌的直线距离不能超过10 米，则至少需要安装（ ）个广告牌。
A.6
B.7
C.8
D.9
【集装箱装载类】
此类的问题的解题思路为：找到一层最多放多少个，最多可放多少层，同时保证空余
的体积越少越好，即大集装箱的长宽高尽量能整除小物体的长宽高或不能整除时让余数尽
量少。具体如下：
（1）若大集装箱的长宽高能整除小物体的长宽高（未必是长除长），此时最多就是大
集装箱的体积除物体的体积即可。例如大集装箱长宽高分别为20、15、12，物体的长宽高
分别为6、5、3，最多能装
20×15×12
5×3×6
= 40个。
（2）若大集装箱的长宽高不能都整除小物体的长宽高，此时先确定出可以整除的哪一
组，同时保证不能整除的余数尽量少。例如大集装箱长宽高分别为20、13、12，物体的长
宽高分别为6、5、3，此时
20
5 = 4，
12
6 = 2，
13
3 = 4 余1，可安排为一层4×2=8 个，最多放
4 层，共计8×4=32 个（此类题方案不唯一，考生可以思考还可以如何放置）。
【例1】集装箱内部空间的长、宽和高分别为20 英尺、7 英尺和7 英尺。某种货物的
包装箱尺寸为2×3×5 英尺，问一个集装箱内最多可以装多少箱这种货物？
A.29
B.30
C.31
D.32
【例2】用一辆小型厢式货车运送荔枝干，该货车货箱长4.2 米、宽1.9 米、高1.8 米。
600 克装荔枝干的外包装长20 厘米，宽和高都是14 厘米。那么一次最多可以运送约 吨荔
枝干。
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296
A.2.1
B.2.0
C.1.9
D.1.8
【例3】一辆卡车车厢底面为4.8 平方米，运送一种长方形包装箱，包装箱的棱长分别
为0.5 米，0.4 米，0.3 米。如果放三层，这辆卡车最多可装（ ）包装箱。
A.100
B.120
C.150
D.200
【例4】有一批商品需要装箱运输。商品每件均为10 厘米×40 厘米×80 厘米的长方体。
包装箱为边长为1.2 米的立方体，一个包装箱最多能装（ ）件商品。
A.54
B.53
C.52
D.51
【例5】有一个箱子的底面积是90 平方分米，装一种长方形木块，木块的棱长分别为
2 分米，3 分米和5 分米，如果放3 层，这个箱子最多可装多少个木块？
A.25
B.27
C.30
D.45
【例6】将一个棱长为5 的正方体切割成多个小正方体，其中小正方体的棱长均为整
数，那么所切割的小正方体中棱长为1 的小正方体至少有多少个？
A.21
B.34
C.42
D.50
【解析】5×5×5－3×3×3－7×2×2×2
底层 上层
【特殊题型】
【例1】在一个正六边形的纸片内有60 个点，这60 个点和六边形的顶点最多可以剪
出多少个三角形？
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
297
A.60
B.124
C.240
D.360
【例2】某市为了解决停车难问题，在如下图所示的一段长55 米的路宽开辟斜列式停
车位，每个车位为长6 米、宽2.6 米的矩形，矩形的宽与路边成30°角，则在这个路段最多
可以划出多少个这样的停车位？（√3取1.7）
A.16
B.17
C.18
D.19
【例3】劳动技能课上老师给出一道手工题：一张正方形纸片，在一对对角处各减去
一个边长为1 厘米的小正方形（如右图所示），想办法把这个缺角的正方形恰好剪成一些长
2 厘米、宽1 厘米的小矩形，问初始的大正方形边长要多大时，任务才有可能完成？
A.8 厘米
B.15 厘米
C.32 厘米
D.以上答案都不对
【例4】如图，自行车的链条每节长为2.5cm，每两节链条相连接部分重叠的圆的直径
为0.8cm ，如果某种型号的自行车链条共有60 节，则这根链条没有安装时的总长度为（ ）。
A.150 厘米
B.104.5 厘米
C.102.8 厘米
D.102 厘米
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298
第五节【杂糅】
【物理】
【影子问题】
太阳：同一时刻，太阳光的入射角相同，身高与影子的比例不变，
𝑎
𝑏=
𝑐
𝑑。
路灯：人在两个位置下，分别根据相似得到
身高
灯高=
影长
人与路灯的水平距离。
【例1】小斌和小雯一起在公园跑步，小斌身高1.6 米，同一时刻，小斌和小雯在地上
形成的影子长度为3.6 米和3.69 米。则小雯的身高为：
A.1.56 米
B.1.59 米
C.1.62 米
D.1.64 米
【例2】太阳高度角是太阳光的入射方向和地平面之间的夹角。在正午时，太阳高度
角为90°－|𝛿−𝜑|，𝜑为纬度，𝛿为太阳赤纬。已知小陈的身高为180 厘米，他所在地的纬
度为43°，当日太阳赤纬为13°。那么，在正午时他的影子长度约为：
A.60 厘米
B.90 厘米
C.104 厘米
D.208 厘米
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299
【例3】阳光下，电线杆的影子投射在墙面及地面上，其中墙面部分的高度为1 米，
地面部分的长度为7 米。甲某身高1.8 米，同一时刻在地面形成的影子长0.9 米。则该电线
杆的高度为：
A.12 米
B.14 米
C.15 米
D.16 米
【例4】阳光下，电线杆的影子投射在地面以及与地面成45 度角的土坡上。其中，电
线杆投影在土坡上的部分长√2米，投影在地面上的部分长12 米，而此时同一位置站立的
人在地面的影子长度恰好与身高相同，则电线杆的高度为（ ）米。
A.12
B.14
C.15
D.16
【例5】楼道上方有一盏灯，小刘径直走向这盏灯。一开始，他发现自己影子的长度
为3.2 米，前进1 米后，发现影子缩短为1.6 米。已知小刘身高为1.6 米，则这盏灯的高度
约为（ ）米。
A.2.6
B.2.8
C.3.2
D.3.4
【例6】老师跟学生在室内场馆玩倒影距离的游戏。老师让身高1.6 米的小陈站在场馆
中间，并依次打开位于小陈正前方高度均为6.4 米的两盏灯。如果测得小陈在地板上的影
子长度分别是1 米与2 米，那么，上述两盏灯之间的距离是多少米？
A.2
B.3
C.4
D.5
【例7】某人站在高为15.3 米的路灯旁边，此时他在地面上的影长为0.8 米，若他沿
着影子方向移动3 米后，测得影长增加了0.4 米，则此人的身高为（）米。
A.1.60
B.1.70
C.1.74
D.1.80
【浮力、密度问题】
浮力的公式：F 浮=ρ 液×g×V 排，（ρ 液表示液体的密度，g 表示常数，g=9.8N/kg；V 排表
示排开液体的体积），浮力和密度不变时，根据两次排出水的体积相等列等式。
密度：ρ=m/V
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
300
【例1】将一个高度为x 的实心圆锥体零件尖部朝下放入密度为1 的液体A 中，浮出
液面的高度为0.1x。如将其尖部朝上放入密度为1.5 的液体B 中，浮出液面的高度将在以
下哪个范围内？
A.超过0.8x
B.0.7x～0.8x 之间
C.0.6x～0.7x 之间
D.不到0.6x
【例2】一个高为10 厘米、底面半径为5 厘米的圆锥体塑料零件置于水中，底面朝上
且与水面平行，其浮出水面部分的高为2 厘米。那么当该零件底面朝下且与水面平行置于
水中时，浮出水面部分的高在以下哪个范围内？（零件始终不接触水底）
A.不到6 厘米
B.6～7 厘米之间
C.7～8 厘米之间
D.超过8 厘米
【例3】一个圆柱体零件A 和一个圆锥体零件B 分别用甲、乙两种合金铸造而成。A
的底面半径和高相同，B 的底面半径是高的2 倍，两个零件的高相同，质量也相同。问甲
合金的密度是乙合金的多少倍？
A.4/3
B.3/4
C.2/3
D.3/2
【例4】长为1 米的细绳上系有一个小球，从A 处放手以后，小球第一次摆到最低点
B 处共移动了几米
A.1+1/3π
B.1/2+1/2π
C.2/3π
D.1+2/3π
【经纬】
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301
如图，（1）考生要知道北纬度对应在图中的角，例如北纬45°，则图中α=45°；（2）若
求AC的距离，根据AB相切与B点，可知三角形AOB为直角三角形，此时根据勾股定理或
直角三角形中的特殊角度求解AO，利用OA－OC（半径），求解AC。
【例1】在一次亚丁湾护航行动中，由“北斗”定位系统测得护航舰队与海盗船在同一
经度上，其纬度分别在北纬11°46′和北纬26°46′。地球半径为R 千米，护航舰队与海盗船
相距多少千米？
A.
𝜋
12 𝑅
B.
𝜋
15 𝑅
C.
𝜋
18 𝑅
D.
𝜋
20 𝑅
【例2】3 颗气象卫星与地心距离相等，并可同时覆盖全球地表，现假设地球半径为R，
则3 颗卫星距地球最短距离为：
A.R
B.2R
C.
𝑅
2
D.
2𝑅
3
【函数】
【例1】如图，长为4，宽为2 的长方形ABCD 顶点A 处有昆虫P、Q，昆虫P 以每秒
三个单位的速度沿方向移动，昆虫Q 以每秒一个单位的速度沿方向移动，当两者相遇时停
止移动。问在整个运动过程中，当三角形APQ 为直角三角形时，昆虫Q 的移动时间范围
是：
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302
A.（0，
4
3]
B.（0，2]
C.（0，
4
3]∪{2}
D.（0，
4
3]∪[2,
7
3]
【例2】如下图，正方形ABCD 边长为10 厘米，一只小蚂蚁E 从A 点出发匀速移动，
沿边AB、BC、CD 前往D 点。问哪个图形反映了三角形AED 的面积与小蚂蚁行走时间的
关系？
A.如上图所示
B.如上图所示
C.如上图所示
D.如上图所示
【容斥】
【例1】下面图形阴影部分的面积是多少？（单位：米）
A.12.5π 平方米
B.25 平方米
C.（50—12.5π）平方米D.（25π—50）平方米
【例2】如下图所示，正方形ABCD 的边长5cm，AC、BD 分别是点D 和点C 为圆心，
5cm 为半径的圆弧，问阴影部分a 比阴影部分的面积b 的面积小多少？（π 为3.14）
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303
A.13.75 平方厘米
B.14.25 平方厘米
C.14.75 平方厘米
D.15.25 平方厘米
【例3】矩形ABCD 长宽分别为12cm 和8cm，E 为边AB 上一移动的点，当阴影部分
面积为60cm²时，则四边形EFGH 的面积等于：
A. 6cm²
B. 12cm²
C. 18cm²
D. 24cm²
【知识扩展】
调和平均数、几何平均数、算数平均数
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304
（五）排列组合问题
【学前筑基】
【区分排列组合】
排列：从n 个不同的元素中选出m 个元素，并对这n 个元素进行排序，记为𝐴𝑛𝑚；
组合：从n 个不同元素中选出m 个元素，任意互换两个元素的顺序没有区别，记为
𝐶𝑛𝑚。
第一节【区分排列组合】
区别与鉴定：
排列需要“取出元素”和“对取出的元素按一定顺序排成一列”两个过程；而组合只需要
“取出元素”不管怎样的顺序并为一组这一个步骤。
（1）区别：组合仅与选取的元素有关，而排列不仅与选取的元素有关，而且还与取出
元素的顺序有关。因此，所给问题是否与取出元素的顺序有关是区分排列还是组合的关
键。
（2）联系：获得一个排列需要“获得一个组合”和“对取出的元素进行全排列”两个步
骤，因此排列与组合之间的关系为：𝐴𝑛𝑚= 𝐶𝑛𝑚× 𝐴𝑚
𝑚。
【组合的题型】
①从7 人中选取3 人去参加活动，共有多少种不同的选法？
②从5 男3 女中选取2 男2 女去参加舞蹈比赛，共有多少种不同的选法？
③某乒乓球队有9 名队员，其中2 名是种子选手，现在挑选5 名队员参加比赛，种子
选手都必须在内，那么不同的选法共有多少种？
④学校新开设了4 门体育类选修课和4 门艺术类选修课，学生需要从这8 门选修课中
选修2 门或3 门，并且每类选修课至少选修1 门，有多少种选法？
⑤某公司向餐馆订购盒饭，要求每份盒饭包含2 种荤菜、2 种素菜。如果餐馆共准备
了4 种荤菜和3 种素菜，则最多有多少种盒饭？
⑥从0-9 个数中任意选两个，其乘积为奇数的情况数有多少种？
⑦宴会上有10 个人，要求每个人都要和别人握手但不重复，则握手的情况数为多少？
⑧九宫格中取出不同行不同列的两枚棋子，有多少种情况？
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305
⑨小明从周一到周五任选两天参加博物馆，有多少种选择？
⑩任意连接正八边形的三个顶点，能形成多少个三角形？
【排列的题型】
①从7 人中选取3 人去三个不同的地方参加活动，共有多少种不同的安排方式？
②行测五个模块的做题顺序有多少种情况？
③将5 名志愿者分成三个组，其中两组各有两人，然后将这三个组志愿者分配到3 个
不同的奥运场馆参加接待工作，则不同的分配方案有多少种？
④6 个人参加演讲比赛，小明和小华的演讲顺序排在前3 位的情况有多少种？
⑤3 名学生和2 名老师站成一排照相，有多少种排队方式？
⑥3 辆车停到10 个车位，情况数有多少种?
⑦5 个人坐5 个座位，有多少种安排？
⑧1-9 个数，从中任选3 个数能组成多少个不同的三位数？
⑨26 个英文字母中任意选2 个不同字母作为车牌后两位，从1-9 个数中任意选3 个不
同数字作为车牌前三位，这样的车牌有多少种？
⑩小明银行卡密码后三位记混了，只记得数字为2、5、9，小明最多试几次才能测出
密码？
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306
第二节【计算排列组合】
排列：𝐴𝑛𝑚= 𝑛× (𝑛−1) × (𝑛−2) ⋯(𝑛−𝑚+ 1)，即从下标n 乘起，依次递减，乘上
标m 那么多个数。
例如：𝐴9
4 = 9 × 8 × 7 × 6；𝐴4
4 = 4 × 3 × 2 × 1
注：全排列：𝐴𝑛𝑛= 𝑛× (𝑛−1) × (𝑛−2) ⋯× 1；一个元素：𝐴𝑛1 = 𝑛。
组合：𝐶𝑛𝑚=
𝐴𝑛𝑚
𝐴𝑚
𝑚=
𝑛×(𝑛−1)×(𝑛−2)⋯(𝑛−𝑚+1)
𝑚×(𝑚−1)×(𝑚−2)⋯×1
，即分子从n 乘起，分母从m 乘起，均依次
递减，乘m 个数为止。
例如：𝐶9
4 =
分子从9 乘起，依次递减，乘4 个数
分母从4 乘起，依次递减，乘4 个数=
9×8×7×6
4×3×2×1（计算时先分子、分母约分）；
注：①𝐶𝑛𝑚= 𝐶𝑛𝑛−𝑚，例如𝐶9
6 = 𝐶9
3；②𝐶𝑛𝑛= 1， 𝐶𝑛1 = 𝑛。
常考排列组合数：3、4、5、6、7、8；多加练习这些数的结果，常见结果能记下来。
A3
3 = A3
2 = 3 × 2 × 1 = 6；𝐶3
1 = 𝐶3
2 = 3。
A4
4 = A4
3 = 4 × 3 × 2 × 1 = 24；A4
2 = 4 × 3 = 12；𝐶4
2 =
4×3
2×1 = 6。
A5
5 = A5
4 = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120；𝐶5
3 = 𝐶5
2 =
5×4
2×1 = 10。
A6
6 = A6
5 = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720；𝐶6
2 =
6×5
2×1 = 15，𝐶6
3 =
6×5×4
3×2×1 = 20。
①计算𝐶9
6 + 𝐶5
3 + 𝐴6
4=___________
【答案】454
②计算𝐶5
3 × 𝐴3
3 + 𝐶11
9 + 𝐴4
3=___________
【答案】139
③
=
4
6
4
7
A
C
___________
【答案】12600
④ 𝐶5
1+𝐶5
2+𝐶5
3+𝐶5
4+𝐶5
5=__________
【答案】31
⑤ 𝐴4
4×𝐶10
3 + 𝐴5
2 × 𝐶8
2=___________
【答案】3440
⑥𝐶8
3 × 𝐶3
2 × 𝐶2
1 × 𝐴3
3 × 𝐴2
2 × 𝐴3
2=____________
【答案】24192
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307
⑦ 𝐴4
4 × （A7
2 + C5
2）=____________
【答案】1248
⑧𝐴5
2×（𝐶6
3 −𝐴4
1）=____________
【答案】320
⑨𝐴6
6－𝐴4
4 × 𝐴3
3=_________
【答案】576
⑩ 为2×𝐴3
3×𝐴4
2=__________
【答案】144
第三节【分步分类原理】
分步（乘法原理）：做一件事，完成它需要分成n 个步骤，，在第一步骤中有𝑚1种不同
的方法，在第二步骤中有𝑚2种不同的方法，……，在第n 步骤中有𝑚𝑛种不同的方法，那
么完成这件事共有N=𝑚1 × 𝑚2 × 𝑚3 ×…× 𝑚𝑛种不同方法。
任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n 步才能完成此任
务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不
同。
分类（加法原理）：做一件事，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有𝑚1种不同
的方法，在第二类办法中有𝑚2种不同的方法，……，在第n 类办法中有𝑚𝑛种不同的方
法，那么完成这件事共有N=𝑚1+𝑚2+𝑚3+…+𝑚𝑛种不同方法。
分类的要求 ：每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具
体方法，互不相同（即分类不重）；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类（即分类不
漏）。
【分类】
【例1】某商店售卖氢气球，氢气球根据外观可分为5 只小猪佩奇、1 只维尼熊、6 只
米奇老鼠以及4 只熊大，小红要买2 只氢气球和她的好朋友一起分享，问小红选到2 只相
同外观氢气球的情况数有多少？
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308
【例2】鲜花店在情人节时已卖出大量花束，现为了包装一束花，需要在里面插入3
支花，店里只剩下6 支桔梗、5 支绣球、4 支香槟玫瑰、2 支百合可以选择，问这三支花是
同一种花的情况数为（ ）
列式 。
【正确答案】𝐶6
3+𝐶5
3+𝐶4
3
【例3】某单位A、B、C、D、E 5 个部门分别派出2 名、4 名、5 名、3 名、6 名员工
到上级单位参加培训，培训结束后随机选择3 名员工上台分享学习感悟，如果这3 名员工
均来自该单位的同一部门，共有多少种选择方式？
列式 。
【正确答案】𝐶4
3 + 𝐶5
3 + 𝐶3
3 + 𝐶6
3
【例4】学校新开设了3 门体育类选修课和5 门艺术类选修课，学生需要从这8 门选
修课中选修2 门或3 门，问选修同一类课程的情况数为多少？
A.36
B.24
C.18
D.12
【例5】某公益组织开展给贫困农户送温暖活动，组织采购7 份生活用品送给该村7
户贫困农户，每户1 份，其中有2 户是特贫农户。生活用用品可为米面粮油，每份200 元，
也可是米面粮油再加上被褥，每份300 元，不能超过1700 元的预算。若采购了米面粮油和
被褥，需优先发放给特贫农户。问共有多少种不同的发放方式？
A.8
B.9
C.10
D.11
【例6】现共有8 名志愿者参加某志愿活动，给8 名志愿者安排两个不同任务，一个
是维持秩序，一个是讲解活动内容，要求每个任务不少于3 人，问一共有多少种分配方法？
A.336
B.168
C.364
D.182
【例7】某三年一班学生参加文艺汇演，现要从10 个学生中选出至多4 人至少2 人先
后上台表演，问有多少种安排方式？
A.10080
B.720
C.5040
D.5850
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309
【例8】某班同学要订A、B、C、D 四种学习报，每人至少订一种，最多订四种，那
么每个同学有多少种不同的订报方式？（ ）
A. 7 种
B. 12 种
C. 15 种
D. 21 种
【例9】单位3 个科室分别有7 名、9 名和6 名职工。现抽调2 名来自不同科室的职工
参加调研活动，问有多少种不同的挑选方式？（ ）
A. 146
B. 159
C. 179
D. 286
【例10】从19，20，21，……，98，99 这81 个数中，选取两个不同的数，使其和为
偶数的选法有（）种。
A.1620
B.1580
C.1540
D.1600
【分步】
【例1】某奶茶店调配奶茶，每杯果茶都需要一种糖、两种水果、三种小料和一种茶
底，店里储备有零卡糖和果糖两种糖，7 种水果、8 种小料和4 种茶底，问最多有多少种不
同的果茶？
A.
4
1
8
3
7
2
1
2
A
A
A
A
B.
4
1
8
3
7
2
1
2
C
C
C
C
C
1
4
3
8
2
7
1
2
A
A
A
A
D.
1
4
3
8
2
7
1
2
C
C
C
C
【例2】要求厨师从12 种主料中挑选出2 种，从13 种配料中挑选出3 种来烹饪某道菜
肴，烹饪的方式共有7 种，那么该厨师最多可以做出多少道不一样的菜肴（）
A.130468
B.131204
C.132132
D.133456
【例3】A、B、C 三个社区需要建设若干个5G 基站，三个社区可供选择的建设基站
地点分别有2 个、4 个、5 个，现从A、B、C 三个社区分别选取1、2、3 个地点随机分配
给甲、乙、丙三个施工队进行建设，要求每个施工队只能承接一个社区，则承建方式有：
A.720 种
B.480 种
C.360 种
D.120 种
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310
【例4】某公司现有6 箱不同的水果，安排三个配送员送到A、B、C 三个不同的仓储
点，其中A 地1 箱，B 地2 箱，C 地3 箱，问配送方式有：
A.60 种
B.180 种
C.360 种
D.420 种
【例5】某商场开展“助农销售”活动，凡购买某种农产品满300 元者可获得一个礼盒，
其中装有6 种干货中的随机3 种各1 小袋，以及1 袋小米或红豆。问内容不完全相同的礼
盒共有多少种可能？
A.30
B.40
C.45
D.50
【例6】学校举办学生风采比赛，12 位同学参加初赛进行选拔，5 名男生，7 名女生，
有8 人进入决赛。问至少有3 个男生进入决赛选拔的情况有多少种。
【正确答案】𝐶5
3 × 𝐶7
5+𝐶5
4 × 𝐶7
4+𝐶5
5 × 𝐶7
3
【例7】木盒里有5 个黑球，4 个红球，这些球除了颜色不同外其余均相同，随机从中
一次性取出4 个球，问至少有2 个红球的情况有多少种？
【正确答案】𝐶4
2 × 𝐶5
2+𝐶4
3 × 𝐶5
1+𝐶4
4
【例8】某家电维修公司的职工每人每天最多完成5 次修理任务。维修工小张上个月
工作了20 天，总计完成修理任务98 次，则他上个月每天完成的修理任务次数有多少种不
同的可能?
A. 190
B. 210
C. 380
D. 400
【例9】小明、小红等7 人一起去公园划船，已知小船刚好够坐7 个人且每排最多坐
一个人；要求小亮不能坐前两排，小红必须坐最后一排，小明必须在前三排选择座位。则
小明这7 人有多少种坐法？
A.168
B.264
C.192
D.242
【例10】甲、乙两个科室各有4 名职员，且都是男女各半。现从两个科室中选出4 人
参加培训，要求女职员比重不得低于一半，且每个科室至少选1 人。问有多少种不同的选
法？
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
311
A.67
B.63
C.53
D.51
【考点筑基】
第一节【基础排列组合】
排列类：
（1）选排列和全排列：
选排列：从n 个不同元素中选出m 个元素排成一列，𝐴𝑛𝑚；
【例1】从1-5 这五个数中任意选3 个不同的数组成三位数，其种类数为：_______
全排列：从n 个不同元素中选出n 个元素排成一列，𝐴𝑛𝑛。
【例1】五项不同的工作需要处理，其安排的顺序有多少种：________
（2）可重复排列：元素可重复出现
可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，
把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则情况数为：店数
客人数。
【例1】手机号码后两位有多少种情况数：_________
【分析】手机号码为0-9 这十个数字，数字可以重复出现，情况数为：102。
【例2】将3 封不同的信投入4 个不同的邮筒，则有多少种不同投法：_____
【分析】邮筒可以重复，每封信都有4 种选择，情况数为：43。
【例3】把6 名实习生分配到7 个车间实习共有多少种不同方法？
【分析】车间可以重复，每个人都有7 种选择，情况数为：76。
【例4】有4 名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的
报名方法？
【分析】科目可以重复，每个人都有三种竞赛可以选，情况数为：34。
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
312
【例5】有4 名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？
【分析】人是可以重复的，每个冠军都有4 个人可以选，情况数为：43。
【例6】汽车牌照“赣A12B45”，如果在1245 的位置可选择10 个数字“0～9”和26 个英文
字母“A～Z”的一个，则可以形成几个不同的牌照？
A.1679628
B.1296000
C.466560
D.1679616
【例7】将5 个不同颜色的锦囊放入4 个不同的锦盒里，如果允许锦盒是空的，则所有
可能的放置方法有：
A.54种
B.45种
C.𝐴5
4种
D. 𝐶5
4种
（3）不尽相异元素的全排列：
N 个元素中，有a 个相同元素，b 个相同元素，c 个相同元素，且a+b+c=N，则其全排列
为：
𝐴𝑁
𝑁
𝐴𝑎𝑎×𝐴𝑏
𝑏×𝐴𝑐𝑐。
【例1】将0、9、a、a、b、b 全排列，有多少种情况：_________
【分析】6 个元素中，有2 个a，2 个b，可得
6！
2！2！=𝐴6
2 × 𝐶4
2=180。
【例2】
组合类：
（1）选组合和全组合：
选组合：从n 个不同元素中选出m 个元素，𝐶𝑛𝑚；
全组合：从n 个不同元素中选出n 个元素，𝐶𝑛𝑛= 1。
（2）可重复组合：
从n 不同元素中，每次取出m 个元素，允许重复，不管其顺序合并成一组，这种组合称
为有重复的组合，其情况数为：𝐶𝑛+𝑚−1
𝑚
。
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
313
n 个不同的元素形成n-1 个空，m 个相同的三角形相当于次数，几个三角形插在这相当于
前面的圆元素重复选了几次，n-1 个空插m 个相同的三角形进去有𝐶𝑛+𝑚−1
𝑚
种情况。
【例1】有7 种荧光棒，数量足够多，从中任意取出2 个，有多少种组合？𝐶8
2 = 𝐶7
2 +
𝐶7
1 = 28。
【例2】有足够多的红、蓝、绿三种颜色的小球，其形状大小完全相同，从中任意取3
个，颜色组合有多少种：________。
【例3】要求厨师从7 种主料中挑选出2 种、从10 种配料中挑选出3 种来烹饪一道菜肴，
烹饪的方式共有6 种，那么该厨师最多可以做出多少道不一样的菜肴？
A.10290
B.18470
C.19826
D.15120
【例4】小凯家住在A 区，但在B 区上学，每天上学必须经过河上的一座桥。小凯从他
家到这座桥有若干不同的路可走，而从这座桥到学校可走的路要比从他家到这座桥的路多
3 条，这样他从家出发经过这座桥到学校共有40 种沿不同路线的走法。则小凯从家到这座
桥有（）条不同的路可走。
A.8
B.7
C.6
D.5
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
314
第一节【常规题型】
【例1】某次专业技能大赛有来自A 科室的4 名职工和来自B 科室的2 名职工参加，结
果有3 人获奖且每人的成绩均不相同。如果获奖者中最多只有1 人来自B 科室，那么获奖
者的名单和名次顺序有多少种不同的可能性？
A.48
B.72
C.96
D.120
【例2】在一次“互联网+现代农业”培训会后，为了交流拓展农村电商产业路径，要求各
地参会代表一周内每两人互通一次电话，已知他们一周内共打了120 次电话，这次参与培
训交流的人数是：
A.20
B.18
C.16
D.15
【例3】某市从市儿童公园到市科技馆有6 种不同路线，从市科技馆到市少年宫有5 种
不同路线，从市儿童公园到市少年宫有4 种不同路线，则从市儿童公园到市少年宫的路线
共有：
A.24 种
B.36 种
C.34 种
D.38 种
【例4】小李今天上午有a、b、c、d 这四项工作要完成，下午有e、f、g 这三项工作要
完成，每半天内各项工作的顺序可以随意调整，则他今天有（ ）种完成工作的顺序。
A.30
B.60
C.72
D.144
【例5】余梅今年4 岁，爱吃泡泡糖，她现有10 颗完全相同的泡泡糖，妈妈只允许她每
次吃一颗或两颗，则她共有多少种不同的组合方法吃完这些泡泡糖？
A.72
B.89
C.95
D.107
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
315
【例6】如图所示为两排蜂房，一只蜜蜂从左下角的1 号蜂房到8 号蜂房，假设只向右
方（正右或右上或右下）爬行，则不同的走法有：
A.16 种
B.18 种
C.21 种
D.24 种
【例7】某单位要求职工参加20 课时线上教育课程，其中政治理论10 课时，专业技能
10 课时。可供选择的政治理论课共8 门，每门2 课时；可供选择的专业技能课共10 门，其
中2 课时的有5 门，1 课时的有5 门。问可选择的课程组合共有多少种？
A.5656
B.5600
C.1848
D.616
【例8】某家电维修公司的职工每人每天最多完成5 次修理任务。维修工小张上个月工
作了20 天，总计完成修理任务98 次，则他上个月每天完成的修理任务次数有多少种不同
的可能?
A.190
B.210
C.380
D.400
【例9】小周记住了自己身份证号码的前14 位，但他肯定，后面4 位数字全是奇数，最
后一个数字是1 且后4 个数字中相邻数字不相同，那么小周的身份证号码有（ ）种可能。
A.24
B.27
C.48
D.64
【例10】某部门有9 名员工，从中随机抽取2 人参加公司代表大会，要求女员工人数不
得少于1 人。已知该部门女员工比男员工多1 人，则共有多少种方案符合要求?
A.24
B.30
C.36
D.72
【例11】某班同学要订A、B、C、D 四种学习报，每人至少订一种，最多订四种，那么
每个同学有多少种不同的订报方式？
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316
A.7 种
B.12 种
C.15 种
D.21 种
【例12】有颜色不同的四盏灯，每次使用一盏、两盏、三盏或四盏，并按一定的次序挂
在灯杆上表示信号，问共可表示多少种不同的信号？
A.24 种
B.48 种
C.64 种
D.72 种
【例13】世界非物质文化遗产高峰论坛召开记者会，共有10 家国内媒体和4 家国外媒
体参加。组委会从中选出3 家媒体回答他们的问题，要求这3 家媒体中既有国内媒体又有
国外媒体，且国内外媒体交叉提问，则不同的提问方式有：
A.240 种
B.360 种
C.480 种
D.1440 种
【例14】在一排10 个花盆中种植3 种不同的花，要求每3 个相邻的花盆中花的种类各
不相同，问有多少种不同的种植方法？
A.6
B.12
C.18
D.24
【例15】某大学考场在8 个时间内共安排了10 场考试，除了中间某个时间段，不安排
考试外，其它每个时间段安排1 场或2 场考试。那么，该考场有多少种考试安排方式（不
考虑考试科目的不同）？
A.210
B.270
C.280
D.300
【例16】某企业举行职业技能大赛，3 个下属分公司均选2 名员工参赛。若同一分公司
的员工比赛时出场顺序不能相邻，则参赛的6 名员工不同的出场顺序共有：
A.80 种
B.120 种
C.160 种
D.240 种
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317
第三节【十大意识】
（一）“特殊要求分析”：优先安排特殊元素+特殊位置；
位置分析法和元素分析法是排列组合最常用、最基础的方法，找“要求”---确定特殊位置分
析或元素分析---确定其他没有要求的元素和位置。
【母题剖析】由0，1，2，3，4，5 可以组成多少个没有重复数字的五位奇数。
位置分析法：首尾位置比较特殊，优先考虑：
末位：奇数需要从1，3，5 这三个数中任意选一个；
首位：元素分析法，0 不能做首位，这时剩下4 个数可以选择（还有一个已经做了末
位）；
剩余的位置和元素没有特殊性：从剩下的4 个数任意选3 个排序。
【例1】一位女士为了寻找曾经帮助她的司机，向新闻媒体提供了她记得的车牌信息。
女士看到的车牌号为“吉AC****”，最后一位是字母，其他三位全是奇数，且数字逐渐变大，
那么符合要求的车牌有：
A.180 个
B.460 个
C.380 个
D.260 个
【例2】将张、王、李、陈、赵五名应届毕业生分配到甲、乙、丙3 个不同的科室，
要求每个科室至少分配1 人，甲科室分配的人数多于乙科室，且张和王不能去丙科室。则
有多少种不同的分法?
A.12
B.21
C.35
D.72
【例3】某教育平台的网络课程由阅读资料、观看视频、论坛交流、练习作业和问卷
考试五部分学习内容组成。学员需先后完成这五部分学习内容，其中论坛交流与练习作业
均不能在最先和最后完成，则学员安排学习的顺序共有：
A.120 种
B.72 种
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318
C.36 种
D.24 种
【例4】有两个三口之家一起出行去旅游，他们被安排坐在两排相对的座位上，每排
有3 个座位，小孩只能安排在靠窗或过道的位置，一共有多少种坐法？
A.32
B.16
C.18
D.19
【例5】某学院从9 名同学中选出4 名同学去四个不同的乡镇甲、乙、丙、丁参加三
下乡社会实践活动，其中有两名同学不能去乡镇丁，则分配方案共有多少种？
A.2352
B.2452
C.2552
D.2652
【例6】某部门开展年终评选工作。需从11 名员工中评选出一名优秀员工和两名积极
员工，且优秀员工与积极员工不能为同一人。则可能会出现的评选结果共有（ ）种。
A.495
B.990
C.1210
D.1980
【例7】某自驾游车队由6 辆车组成，车队的行车顺序有如下要求：甲车不能排在第
一位，乙车必须排在最后一位，丙车必须排在前两位，且任一车辆均不得超车或并行。该
车队的行车顺序共有（ ）种可能。
A.36
B.42
C.48
D.54
【例8】甲、乙、丙、丁、戊5 门课安排在先后4 个学期开课，每个学期至少1 门。
已知甲不与其他任何一门课安排在同一学期，乙和丙均不能在第一个学期或最后一个学期
开课，丁必须在戊和甲之后的学期开课，那么这5 门课有多少种不同的安排方式?
A.5
B.6
C.7
D.8
（二）定序问题：
倍缩法：排列时一些元素的位置或顺序已经固定，可先把这几个元素与其他元素一起排
列，然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数。
7 个人排队，甲乙丙三人的相对顺序确定，则共有多少种？
𝐴77
𝐴3
3
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319
（三）多排问题：元素分成多排的排列问题，可归结为一排考虑，再分段研究
【例1】宾馆有6 个空房间，3 间在一楼，3 间在二楼。现有4 名客人要入住，每人都住单
间，都优先选择一楼房间。问宾馆共有多少种安排？
A.24
B.36
C.48
D.72
【例2】某部门里身高各不相同的8 人一起排练合唱节目。合唱要求8 人排成两排，前后
人员对齐，但要求后排的每个人要比站其前面的那个人高，以不被挡住。则这8 人的站位
方法有（ ）种。
A.980
B.1260
C.1860
D.2520
（四）正难则反：正向情况比较多时，可以考虑利用总情况数－反面情况数；
特征：要求中出现“至少”“最多、最少、不少于”等，
【例1】由1—9 组成一个3 位数，肯定有数字重复的组合有多少种？
A.220
B.255
C.280
D.225
【例2】罐中有12 颗围棋子，其中8 颗白子，4 颗黑子。从中任取3 颗棋子，则至少有一
颗黑子的情况有：
A.98 种
B.164 种
C.132 种
D.102 种
【例3】在一个3×3 的表格（如下图所示）中，分别填入5 个数字0 和4 个数字1，若要求
灰色方格中不能同时都填入数字1，问有多少种填法？
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320
A.98
B.100
C.120
D.126
【例4】某单位要从8 名职员中选派4 人去总公司参加培训，其中甲和乙两人不能同时参
加。问有多少种选派方法？
A.40
B.45
C.55
D.60
【例5】甲、乙两人从5 项健身项目中各选2 项，则甲、乙所选的健身项目中至少有1 项
不相同的选法共有：
A.36 种
B.81 种
C.90 种
D.100 种
【例6】某单位今年新进了3 个工作人员，可以分配到3 个部门，但每个部门至多只能接
收2 个人，问：共有几种不同的分配方案？
A.12 种
B.16 种
C.24 种
D.以上都不对
【例7】某高校开设A 类选修课四门，B 类选修课三门，小刘从中选取四门课程，若要求
两类课程各至少选一门，则选法有：
A.18 种
B.22 种
C.26 种
D.34 种
（五）概率换算：总情况数×满足题干要求的概率
一般题干中的总情况数比较好求解，若能知道题干“要求的情况数在总情况数中发生的概
率”，则可以使用概率换算的方式求解，其本质就是概率问题的逆应用。
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321
【例1】Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ 六个人排成一排，请问A 要站在B 的前面（不要求
挨着）的站法有多少种？
A.120
B.240
C.360
D.720
【例2】Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ 六个人排成一排，请问A 要站在B 的前面（不要求
挨着）且B 要站在C 的前面的站法有多少种？
A.120
B.240
C.360
D.720
【例3】按中国篮球职业联赛的规则，各篮球队员的号码可以选择的范围是0~55 号，
但选择两位号码每位数不超过5，那可供每支球队选择的号码共有几个？
A.30
B.34
C.36
D.40
（六）枚举法：有些排列组合问题不能或不易用公式表达，此时可以枚举情况数。
考生枚举时可以抓住某个主体，以它为中心，根据题目要求有序分类。比如按照该主体数
目由少到多依次分类。
【例1】某人将一张百元人民币换成零钱，他希望所换零钱的最低币值为10 元，共有换法
总数为：
A.8
B.6
C.4
D.9
【例2】小王去超市购物，带现金245 元，其中1 元6 张、2 元2 张、5 元3 张、10 元2 张、
50 元2 张、100 元1 张，选购的物品总计167 元。若用现金结账且不需要找零，则不同的
面值组合方式有：
A.6 种
B.7 种
C.8 种
D.9 种
【例3】从1，2，3，4，5，6，7，8，9 中选择两个数，使它们的和为质数，则共有多少
种不同的选择方式？
A.20
B.18
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322
C.16
D.14
【例4】中秋假期，小王请同在一个城市的9 位大学同学聚餐。10 人围坐一桌，敬酒前小
王提出一个建议：每人要同不相邻的同学喝一杯。如果小王提议被通过，那么一共要准备
（ ）杯酒。
A.70
B.90
C.140
D.210
【例5】某电影公司准备在1—10 月中选择两个不同的月份，在其当月的首日分别上映两
部电影。为了避免档期冲突影响票房，现决定两部电影中间相隔至少3 个月，则有（ ）
种不同的排法。
A.21
B.28
C.42
D.56
【例6】不相识的六名游客到一旅游点排队买每张50 元的门票，其中三名女游客均有50
元零钱，可直接购票，三名男游客只有百元人民币需找零，旅游点刚开门无法找零，这六
人成功购票的顺序有（ ）种情况。
A.60
B.90
C.150
D.180
（七）树图、列表：对于条件比较复杂的排列组合，通过树图或列表的方式归纳出规律。
【例1】如图所示为两排蜂房，一只蜜蜂从左下角的1 号蜂房到8 号蜂房，假设只向右
方（正右或右上或右下）爬行，则不同的走法有：
A.16 种
B.18 种
C.21 种
D.24 种
（八）描点标数法：几何路径问题可以从出发点依次标注到达每个节点的情况数，一直到
终点。
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323
【例1】A、B、C 三地的地图如下图所示，其中A 在C 正北，B 在C 正东，连线处为道路。
如要从A 地到达B 地，且途中只能向南、东和东南方向行进，有多少种不同的走法：
A.9
B.11
C.13
D.15
【例2】从A 地到B 地的道路如图所示，所有转弯均为直角，问如果要以最短距离从A 地
到达B 地，有多少种不同的走法可以选择？
A.14
B.15
C.18
D.21
（九）分解策略：将复杂问题分解成几个小问题逐一解决，然后根据问题分解后的结果，
利用分类和分步原理将问题合成，从而得到问题的答案。
【例1】30030 能被多少个不同的偶数整除。
分析：30030 分解成质因数的乘积形式30030=2×3×5×7×11×13，偶因数必先取2，再从其余
5 个因数中任取若干个组成乘积，所有的偶因数为：𝐶5
1 + 𝐶5
2+𝐶5
3+𝐶5
4+𝐶5
5。
【例2】正方体的8 个顶点可以连成多少对异面直线？
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324
分析：从8 个顶点中任意取4 个顶点构成四面体共有𝐶4
2 −12 = 58，每个四面体有3 对异
面直线，正方体中的8 个顶点可连成3×58=174 对异面直线。
（十）构造模型：一些不易理解的排列组合如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模
型、排队模型、装盒模型等，可使问题直观解决。
【例1】某条道路一侧共有20 盏路灯。为了节约用电，计划只打开其中的10 盏。但为了
不影响行路安全，要求相邻的两盏路灯中至少有一盏是打开的，则共有（ ）种开灯方案。
A.2
B.6
C.11
D.13
【例2】某道路旁有10 盏路灯，为节约用电，准备关掉其中3 盏。已知两端的路灯不能关，
并且关掉的灯不能相邻，则有（）种不同的关灯方法。
A.20
B.40
C.48
D.96
【例3】某市举办经济建设成就展，计划在六月上旬组织5 个单位参观，其中一个单位由
于人数较多，需要连续参观2 天，其他4 个单位只需要参观1 天，若每天只能安排一个单
位参观，则参观的时间安排有多少种？
A.630
B.700
C.15120
D.16800
【十大模型】
【捆绑法】
特征：题目中出现“相邻”“相连”“挨着”、“在一起”等要求时，
思路：
第一步：先整体，将相邻的元素当成整体“1”，与其他元素排序；
第二步：再内部，考虑内部的顺序，分步相乘。
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325
【例1】四对情侣排成一队买演唱会门票，已知每对情侣必须排在一起，问共有多少种不
同的排队顺序？
A.24 种
B.96 种
C.384 种
D.40320 种
【例2】某场学术论坛有6 家企业作报告，其中A 企业和B 企业要求在相邻的时间内作报
告，C 企业作报告的时间必须在D 企业之后，在E 企业之前，F 企业要求不能第一个，也
不能最后一个作报告。如满足所有企业的要求，则报告的先后次序共有多少种不同的安排
方式？
A.12
B.24
C.72
D.144
【例3】某美术馆计划展出12 幅不同的画，其中有3 幅油画、4 幅国画、5 幅水彩画，排成
一行陈列，要求同一种类的画必须连在一起，并且油画不放在两端，问有多少种不同的陈
列方式？
A.不到1 万种
B.1 万—2 万种之间
C.2 万—3 万种之间
D.超过3 万种
【例4】单位组织拔河比赛，每支参赛队伍由3 名男职工和3 名女职工组成，假设比赛时
要求3 名男职工不能全连在一起，则每支队伍有（ ）种不同站位方式。
A.432
B.504
C.576
D.720
【例5】某单位欲将甲、乙、丙、丁4 个大学生分配到3 个不同的岗位实习，若每个岗位
至少分到1 名大学生，且甲、乙两人被分在同一岗位，则不同的分配方法共有：
A.6 种
B.8 种
C.9 种
D.12 种
【例6】某展览馆计划4 月上旬接待5 个单位来参观，其中2 个单位人数较多，分别连续
参观3 天和2 天，其他单位只参观1 天，且每天最多只接待1 个单位。参观的时间安排共
（ ）种。
A.30
B.120
C.2520
D.30240
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326
【插空法】
特征：题目中出现“间隔”“不相邻”“不相连”“不在一起”等要求时。
思路：
第一步：先栽秧，将其他元素排好
第二步：再插空，将不相邻的元素插到其他元素空内。
【例1】两公司为召开联欢晚会，分别编排了3 个和2 个节目，要求同一公司的节目不能
连续出场，则安排节目出场顺序的方案共有：
A.12 种
B.18 种
C.24 种
D.30 种
【例2】小区内空着一排相邻的8 个车位，现有4 辆车随机停进车位，恰好没有连续空位
的停车方式共有多少种？
A.48
B.120
C.360
D.1440
【例3】某市至旱季水源不足，自来水公司计划在下周七天内选择两天停止供水，若要求
停水的两天不相连，则自来水公司共有（）种停水方案。
A.21
B.19
C.15
D.6
【例4】3 名学生和2 名老师站成一排照相，2 名老师必须站在一起且不在边上的不同排法
共有：
A.12 种
B.24 种
C.36 种
D.48 种
【例5】某学习平台的学习内容由观看视频、阅读文章、收藏分享、论坛交流、考试答题
五个部分组成。某学员要先后学完这五个部分，若观看视频和阅读文章不能连续进行，该
学员学习顺序的选择有：
A.24 种
B.72 种
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327
C.96 种
D.120 种
【隔板法】
特征： 把n 个相同元素，分给m 个主体，要求每个主体至少有1 个
思路：C𝑛−1
𝑚−1
原理：将n 个相同的元素分成m 份，每份至少一个元素，可以用m-1 个隔板，插入n 个元
素排成一排的n-1 个空隙内
【例1】将7 个大小相同的桔子分给4 个小朋友，要求每个小朋友至少得到1 个桔子，一
共有几种分配方法？
A.14
B.18
C.20
D.22
【例2】某办公室接到15 份公文的处理任务，分配给甲、乙、丙三名工作人员处理。假如
每名工作人员处理的公文份数不得少于3 份，也不得多于10 份，则共有（ ）种分配方式。
A.15
B.18
C.21
D.28
【例3】有3 个单位共订300 份《人民日报》，每个单位最少订99 份，最多101 份。问一共
有多少种不同的订法？
A.4
B.5
C.6
D.7
【例4】甲、乙、丙3 个单位订阅同一种报刊。已知3 个单位一共订了12 份，其中，每个
单位订阅数量不少于3 份，但不超过5 份，则这3 个单位的报刊订阅数量有（ ）种组合。
A.2
B.6
C.7
D.9
【例5】某单位共有10 个进修的名额分到下属科室，每个科室至少一个名额，若有36 种
不同分配方案，问该单位最多有多少个科室？
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328
A.7
B.8
C.9
D.10
【例6】某领导要把20 项任务分给三个下属，每个下属至少分得三项任务，则共有多少种
不同的分配方式？
A.28
B.36
C.54
D.78
【例7】某单位订阅了30 份学习材料发放给3 个部门，每个部门至少发放9 份材料。问一
共有多少种不同的发放方法？
A.12
B.10
C.9
D.7
【例8】x+y+z+w=100，求这个方程组的自然数解的组数：_____𝐶103
3
【错位排列】
特征： 把n 个小球放在n 个盒子内，将小球拿出来重新放，此时不放入原来的盒子内
思路：D1=0，D2=1,D3=2,D4=9,D5=44，通项公式：Dn = （n −1）（Dn−1 + Dn−2）；
原理：红球除了原来位置，有4 个位置；假设红球去黄色位置，则接下来讨论：
第一种：黄色去了红色位置，此时相当于黑、白、蓝三个元素的错位排列D3；
第二种：黄色没去红色位置，相当于除了红球之外的其余4 个球的错位排列D4（假想为红色和
黄色互换位置，黄不去红、黑不去黑、白不去白、兰不去兰）。
因此共产生D5 =4×（D3 + D4）
【例1】相邻的4 个车位中停放了4 辆不同的车，现将所有车开出后再重新停入这4 个车
位，要求所有车都不得停在原来的车位中，则一共有多少种不同的停放方式？
A.9
B.12
C.14
D.16
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329
【例2】某单位从下属的5 个科室各抽调了一名工作人员，交流到其他科室，如每个科室
只能接收一个人的话，有多少种不同的人员安排方式？
A.120
B.78
C.44
D.24
【例3】要把A、B、C、D 四包不同的商品放到货架上，但是，A 不能放在第一层，B 不
能放在第二层，C 不能放在第三层，D 不能放在第四层，那么，不同的放法共有多少种？
A.6
B.7
C.8
D.9
【环形排列】
特征： 将n 个不同元素，沿着圆周或封闭曲线而排列，只考虑元素的相对位置。
思路：n 个不同元素的环形排列为
𝐴𝑛𝑛
𝑛= 𝐴𝑛−1
𝑛−1。环形排列=
1
𝑛× 直线排列
变形：
①n 个不同元素围在正m 边形，情况数为：
𝐴𝑛𝑛
𝑚
②n 个不同元素中取m 个元素围成一圈，情况数为：
𝐴𝑛𝑚
𝑚
③珠状（项圈）排列，将n 个不同颜色的珠子穿成一串，情况数为：
𝐴𝑛𝑛
2𝑛（项圈可以翻转，
所以柱状排列=
1
2 × 环形排列）
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330
若元素是人，翻转后情况则不同，若元素是珠子，翻转后情况数相同。
【例1】6 个小朋友围成一圈做游戏，小华和小明需要挨在一起，问有多少种安排方法？
A.72
B.18
C.56
D.48
【例2】办公室8 名员工围着一张圆桌就座准备用餐，此时又有3 名加完班的员工在已就
座的员工中间加座并参加用餐。已知加座后，3 名加完班的员工彼此都不相邻，且8 名已
就座的员工最多与1 名加完班的员工相邻。问有多少种不同的加座方式？
A.336
B.96
C.48
D.30
【例3】公司安排6 位新员工共同参加一次为期两天的活动，6 个人围成一个圆桌进行交流。
为促进新员工间的互动，如果要求第二天每个人身边坐着的两个人都与第一天不同，则新
员工们有（ ）种座位安排方式。
A.5
B.6
C.7
D.8
【分组问题】
（一）平均分组
思路：将n 个不同的元素，平均分成m 组，其情况数为：
𝐶𝑛𝑚×𝐶𝑛−𝑚
𝑚
⋯𝐶𝑚
𝑚
𝐴𝑚
𝑚
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331
（二）不等分组
思路：将n 个不同的元素，分成𝑛1，𝑛2，𝑛3，𝑛𝑚这m 个组，且每组元素个数各不相同，情
况数为：𝐶𝑛
𝑛1 × 𝐶𝑛−𝑛1
𝑛2
⋯× 𝐶𝑚𝑚。
（三）部分等分
思路：先将不等分的组分配好，剩余的元素按平均分组处理。
平均分组
【例1】县公安局计划举办篮球比赛，6 支报名参赛的队伍将平均分为上午组和下午组进行
小组赛。其中甲队与乙队来自同部门，不能分在同一组，则分组情况共有（ ）种可能。
A.6
B.8
C.10
D.12
【例2】将2 名教师、4 名学生分成2 个小组，去甲乙两座城市参加数学建模比赛，每个小
组都要包含1 名教师和2 名学生，问不同的安排方法共有几种？
A.6
B.12
C.18
D.24
【例3】身高不等的7 人站成一排照相，要求身高最高的人排在中间，按身高向两侧递减。
共有多少种排法?
A.20
B.24
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332
C.36
D.48
【例4】某单位有3 名职工和6 名实习生需要被分派到A、B、C 三个地区进行锻炼，每个
地区分配1 名职工和2 名实习生，则不同的分派方案有多少种？
A.90
B.180
C.270
D.540
【例5】某科室共有8 人，现在需要抽出两个2 人的小组到不同的下级单位检查工作，问
共有多少种不同的安排方案？
A.210
B.260
C.420
D.840
不等分组
【例1】奶奶有6 颗口味各不相同的糖，现分给3 个孙子，其中1 人得1 颗，1 人得2 颗，
1 人得3 颗，则共有（ ）种分法。
A.60
B.120
C.240
D.360
【例2】为了支持乡村教育，某市派出6 位优秀教师前往该市农村的三所学校支教，一所1
名，一所2 名，一所3 名，不同的选派方法共有：
A.60 种
B.120 种
C.360 种
D.720 种
注【】：在这有部分学员会对分组分配问题产生混淆，作如下解释：
①将ABCDEF 这6 个人分成3 组，每组分别为1 个人、2 个人、3 个人，其分组情况数？
情况数为：𝐶6
1 × 𝐶5
2 × 𝐶3
3，分组即可。
②将ABCDEF 这6 个人分到3 个城市，A 城市需要1 个人、B 城市需要2 个人、C 城市需
要3 个人，其分组情况数？
情况数为：𝐶6
1 × 𝐶5
2 × 𝐶3
3，注意该问题已经明确每个城市需要的人数，所以：𝐶6
1就只能是
去A 城市，𝐶5
2就只能是去B 城市，剩余的人去C 城市，不需要再乘𝐴3
3。分组后不需要再
分配。
③将ABCDEF 这6 个人分到3 个城市，每个城市分配的人各不相同，情况数有多少种？
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333
情况数为：该题没有明确每个城市需要的人数，所以分组后再分配到3 个城市。
结论：分组分配的关键在于先分组再考虑是否需要分配，若明确了每组的去向则不需要再
分配，若分组后没有明确每个组的去向则需要再分配。
部分等分
【例1】小王等6 名学生参与了某展览会志愿者活动。他们被安排到两个不同的会场服务。
如果要求每个会场都至少有2 名志愿者，则对小王等人共有_______种不同的安排方式。
A.20
B.30
C.50
D.360
【例2】某单位有两个对口扶贫地，每月需安排10 人到两地参与扶贫工作，要求每个对口
扶贫地区至少要有4 人参与工作。问共有多少种不相同的分配方案？
A.210
B.252
C.420
D.672
【例3】某单位拟开展3 场文化交流活动，安排给3 个部门进行策划。若每个部门最多承
担2 场活动的策划，每场活动只安排给1 个部门，则不同的安排方法共有：
A.16 种
B.24 种
C.32 种
D.48 种
【例4】安排4 名护士护理3 个病房，每个病房至少一名护士，每名护士固定护理一个病
房，则共有 种安排方法。
A.24
B.36
C.48
D.72
【例5】某单位欲将甲、乙、丙、丁4 名大学生分配到3 个不同的岗位实习，若每个岗位
至少分到1 名大学生，且甲、乙两人被分在不同岗位，则不同的分配方法共有：
A.30 种
B.36 种
C.60 种
D.72 种
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334
【例6】某次会议邀请4 所高校每所各2 位学者作报告。在某日上午、下午和晚上的三个
时间段分别安排3 位、3 位和2 位学者依次作报告，且同一所高校的2 位学者不安排在同一
时间段内作报告。问8 人的报告次序有多少种不同的安排方式？
A.不到5000 种
B.5000～10000 种之间
C.10001～20000 种之间
D.超过20000 种
【例7】某公司人事部门，拟将新招聘的10 名实习生分配给3 个部门，问这3 个部门分到
的实习生人数相差不超过2 人的方案有多少种？
A.4200
B.7350
C.22050
D.44100
【例8】某单位购买了10 台新电脑，计划分配给甲、乙、丙3 个部门使用。已知每个部门
都需要新电脑，且每个部门最多得到5 台，那么电脑分配方法共有（ ）种。
A.9
B.12
C.18
D.27
【例9】将4 个颜色互不相同的球全部放入编号为1 和2 的两个盒子里，使得放入每个盒
子里球的个数不小于盒子的编号，则不同的放球方法有多少种？
A.9
B.10
C.12
D.18
【例10】某单位组织志愿者参加公益活动，有8 名员工报名，其中2 名超过50 岁。现将
他们分成3 组，人数为3、3、2，要求2 名超过50 岁的员工不在同组，则不同分组的方案
共有：
A.120 种
B.150 种
C.160 种
D.210 种
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335
【几何类】
（一）三角形
（二）九宫格
（三）正方体
（四）平面计数
【例1】现有6 根钢筋，长度分别为4 尺、7 尺、8 尺、9 尺、10 尺和12 尺。现每次抽取3
根首尾相连组成一个三角形，则一共能组成多少个不同的三角形？
A.20
B.19
C.18
D.17
【例2】在一条线段中间另有6 个点，则这8 个点可以构成多少条线段？
A.15
B.21
C.28
D.36
【例3】某产业展洽会主办方融合“七巧板”元素设计了七大展示区域（如下图所示），甲、
乙、丙三家参展公司从7 块展区中分别选择面积各不相同的一个区域进行布展，则共有多
少种选择方案？
A.48
B.72
C.96
D.192
【例4】小张从华兴园到软件公司上班要经过多条街道（软件公司在华兴园的东北方）。假
如他只能向东或者向北行走，则他上班不同走法共有：
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336
A.12 种
B.15 种
C.20 种
D.10 种
【例5】如下图所示，某城镇共有6 条东西方向的街道和6 条南北方向的街道，其中有一
个湖，街道在此变成一个菱形的环湖大道。现要从城镇的A 处送一份加急信件到B 处，为
节省时间，要选择最短的路线，共有（ ）种不同走法。
A.35
B.36
C.37
D.38
【例6】一块长方形土地的周长为260 米，面积为3600 平方米。将该土地划分成边长10
米的小正方形土地。现从中选取3 块，使得任意两块既不同行也不同列。问有多少种不同
的选取方式？
A.不到200 种
B.200—400 种
C.400—800 种
D.超过800 种
【例7】在7×7 的队列中，先随机给一个队员戴上红绶带，再给另一个队员戴上蓝绶带，
要求戴两种颜色绶带的这两位队员不在同一行也不在同一列。问有多少种戴法？
A.1048
B.1374
C.1764
D.1858
【例8】在九宫格内依次填入数字1—9，现从中任取两个数，要求取出的两个数既不在同
一行也不在同一列，共有多少种不同取法？
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337
A.9
B.18
C.36
D.45
【例9】三行三列间距相等共有九盏灯，任意亮起其中的三盏组成一个三角形，持续5 秒
后换另一个三角形，那么如此持续亮。亮完所有的三角形组合至少需要多少秒？
A.380
B.390
C.410
D.420
【例10】一个正八面体两个相对的顶点分别为A 和B，一个点从A 出发，沿八面体的棱移
动到B 位置，其中任何顶点最多到达1 次，且全程必须走过所有8 个面的至少1 条边，问
有多少种不同走法？
A.8
B.16
C.24
D.32
【数字排序】
【例1】像中国的回文联“洞帘水挂水帘洞，山果花开花果山”一样，如果将一个数的数字
倒排后所得的数仍是这个数，这样的数称为回文数，例如11，22，343，565，1881，
20102 等，在所有三位数中回文数共有：
A.81 个
B.90 个
C.99 个
D.100 个
【例2】将所有由1、2、3、4 组成且没有重复数字的四位数，按从小到大的顺序排列，则
排在第12 位的四位数是：
A.3124
B.2341
C.2431
D.3142
【例3】用数字0、1、2（既可全用也可不全用）组成的非零自然数，按从小到大排列，问
“1010”排在第几个？
A.30
B.31
C.32
D.33
【例4】用5、6、7、8 四个数字组成五位数，数字可重复，组成的五位数中至少有连续三
位是5 的数字有（ ）个。
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338
A.30
B.33
C.37
D.40
【例5】在999 张牌上分别写上数001，002，003，…，998，999。甲、乙两人分这些纸牌，
分配办法是：凡纸牌上写的三位数字的三个数码都不大于5 的纸牌属于甲，凡牌上有一个
或一个以上的数码大于5 的纸牌属于乙。例如，324，501 等属于甲，而007，387，923 等
属于乙，则甲分得牌的张数为：
A.215
B.216
C.214
D.217
【例6】712934856 是一个包含1 至9 每个数字恰好一次的九位数，它具有以下特征：数字
1 至6 在其中是从小到大排列的，但是数字1 至7 不是从小到大排列的。则符合这种特征的
九位数共有多少个？
A.12
B.336
C.432
D.504
【例7】用印有“1”、“5”、“6”的三张卡片，可以组成许多不同的三位数，所有这些三位数
的和为：
A.5992
B.5993
C.5985
D.5994
【例8】恰有两位数字相同的三位数一共有：
A.243 个
B.234 个
C.225 个
D.216 个
【例9】从1，2，3，4，5，6，7 中任取2 个数字，把它们分别作为一个分数的分子和分
母，则在所得分数中不相同的最简真分数一共有（）个？
A.14
B.17
C.18
D.21
【例10】从3、5、7、11 四个数中任取两个数相乘，可以得到多少个不相等的积？
A.5
B.4
C.6
D.7
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339
【染色问题】
【例1】将5 个相同的圆锥体零件表面涂上红、黄、蓝三种颜色。要求同一个零件的底面
只能用一种颜色，同一个零件的斜面也只能用一种颜色，且5 个零件的颜色彼此不完全相
同，问总共有多少种不同的涂色方式？
A.84
B.126
C.172
D.180
【例2】如图所示，五个圆相连，现在用三种不同颜色分别给每个圆涂色，要求相连接的
两个圆不能涂同种颜色，则共有多少种不同的涂色方法？
A.36
B.72
C.112
D.144
【其他类】
【例1+最值】某地方性体育彩票“10 选4”的投注规则如下：投注者可以从01—10（共10
个号码）中投选1—4 个号码合成一组，称为“一注”（号码不区分排列顺序，如02 06 03 和
02 03 06 是由该3 个号码组成的同一注）。当投注了（ ）注时，会出现至少5 注相同号码。
A.1255
B.1361
C.1401
D.1541
【例2-翻转】同样的木棍，做成三节棍，每一节随机染色，分别为红、白、黑，问：最后
共生产多少种三节棍？
A.18
B.21
C.24
D.27
【例3-容斥】某单位有老陶和小刘等5 名工作人员，需安排在星期一至星期五的中午值班，
每人一次，若老陶星期一外出开会不能排，小刘有其他的事不能排在星期五，则不同的排
法共有（）种。
A.36
B.48
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340
C.78
D.96
【例4】车间共有50 名工人，年底进行考核，有12 人业务能力为优，10 人政治表现为优，
没有一项考核成绩为优的有34 人，车间要向上级单位推荐2 名两项考核均为优的工人作为
先进个人的候选人，问有多少种推荐方案？
A.12
B.15
C.18
D.21
【例5-数字特性】从19，20，21，……，98，99 这81 个数中，选取两个不同的数，使其
和为偶数的选法有多少种？
A.1620
B.1580
C.1540
D.1600
【例6】从分别写着1-9 数字的9 张卡中选出4 张并排列为一个四位数，其结果能被75 整
除的数字：
A.不到15 个
B.15-20 个
C.21-25 个
D.超过25 个
【例7】某学习软件要求使用字母和数字组成的8 位密码。赵某使用D、E、F、W4 个大写
字母（不重复使用）和4 个不同非零数字的组合作为自己的密码，要求数字放在后四位，
且4 个数字的乘积须是320 的倍数。那么这样的密码有多少种不同的可能？
A.不到1000 种
B.1000-3000 种
C.3000-8000 种
D.超过8000 种
【例8-比赛】某高校学生处要在大一新生中组织篮球比赛，赛制为单循环形式，即每两队
都赛一场，如果学生处计划安排21 场比赛，则应邀请多少支球队参加比赛？
A.5
B.8
C.7
D.6
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341
（六）概率问题
【学前筑基】
（1）熟悉基本公式：
概率＝
满足要求的情况数
总情况数
①从5 男3 女中任选1 人，选到女生的概率为：_________；
②十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30 秒，绿灯亮25 秒，黄灯亮5 秒。当你抬头看信
号灯时，是绿灯的概率为：__________；
③已知甲、乙、丙三班的人数之比为3∶4∶5，问从中任选1 人，选到丙班的概率为：
________；
④小明投掷飞镖，投掷任一点的概率一样，已知圆环由外向内的面积分别为20、12、8，
问小明投掷到内环的概率为：________。
（2）区分分步概率和分类概率：
①小明语文及格的概率为0.8，数学及格的概率为0.7，求小明两个科目都及格的概率为
：________。
②小明语文及格的概率为0.8，数学及格的概率为0.7，求小明只有一门及格的概率为
：________。
【考点筑基】
（1）基本公式：P＝
满足要求的情况数
总情况数
（2）分步概率与分类概率
分类概率:在计算概率问题时,要完成所求问题有多种方式,每一种方式都可以独立达成
最终目的。每种方式（又称每类方式）之间互不影响、互不干涉，是“要么……要么……”
的关系。
分步概率:在计算概率问题时,要完成所求问题需要多个步骤，每个步骤对于完成整件事
情而言缺一不可。步骤之间有明显的先后顺序,是“先……再……”的关系。
（3）正向情况比较复杂，考虑利用1－反面发生的概率
（4）几何概率：满足条件的概率＝满足条件的几何区域面积÷总几何面积；
（5）条件概率：“Ａ 成立”时“Ｂ 成立”的概率＝Ａ、Ｂ 同时成立的概率÷Ａ 成立的概率；
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342
（2）考生也可以先计算出A 事件发生后的情况下，B 若发生时的总情况数和满足条件的情
况数，利用概率公式求解。
（6）概率期望：各个实现值乘以各自的概率，最后再相加。
（7）比赛、植树等题型。
【母题提升】+【能力扩展】
第一节【基础概率】
【母题1】小张和小王在同一个学校读研究生，每天早上从宿舍到学校有6:40、7:00、
7:20 和7:40 发车的4 班校车。某星期周一到周三，小张和小王都坐班车去学校，且每个人
在3 天中乘坐的班车发车时间都不同。问这3 天小张和小王每天都乘坐同一趟班车的概率
在：
A.3%以下
B.3%~4%之间
C.4%~5%之间
D.5%以上
【母题2】某公益组织登记在册的男、女志愿者人数之比为2：3，男性志愿者中20%
为教师，女性志愿者中25%为教师。现从该公益组织登记在册的志愿者中随机选出1 人，
恰好为教师，则该志愿者为男性的概率是：
A.
2
5
B.
3
7
C.
9
16
D.
8
23
【母题3】在ATM 机上输入银行卡密码时，若连续三次输入错误则会吞卡，老李忘了
银行卡密码的末两位数，只记得是两个不相同的奇数，若他在末两位上随意输入两个不同
奇数，能在吞卡前猜中正确密码的概率是：
A.3/20
B.1/9
C.1/5
D.2/9
【能力扩展】
“抓阄问题”任意1 人抽到的概率都是相同的。
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343
【母题4】将张、王、李、赵、吴5 名督导员分配到4 个分公司开展工作，要求每个
分公司至少分配1 人。问在所有安排方式中随机选择一种，能同时满足“张、王都单独负责
1 个分公司”和“李不能和赵分配到同一个分公司”两个条件的概率为：
A.20%
B.30%
C.40%
D.50%
【能力扩展】
概率其实类比于比重，最终看的是部分与整体的比例，该题我们其实只需要考虑“分
组”，而不需要考虑后面的“分配”。
第二节【分步概率】
【母题1】某学校举行迎新篝火晚会，100 名新生随机围坐在篝火四周。其中，小张与
小李是同桌，他俩坐在一起的概率为：
A.2/97
B.2/98
C.2/99
D.2/100
【母题2】某市举办足球邀请赛，共有9 个球队报名参加，其中包含上届比赛的前3
名球队。现将这9 个球队通过抽签的方式平均分成3 组进行单循环比赛，则上届比赛的前
3 名球队分别在不同小组的概率是：
A.5/18
B.7/24
C.9/28
D.8/31
【能力扩展】
概率问题中涉及到元素在“同一组”、“同一排”、“相邻”等要求时，考生不知道可利用
分步法快速求解，导致计算繁琐而出错。
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344
第三节【反向概率】
【母题1】为了加强环境治理和生态修复，某市派出4 位专家（甲、乙、丙、丁）前
往某山区3 个勘探点进行环境检测，要求每个勘探点至少安排一名专家。那么甲、乙两名
专家去了不同勘探点的概率是：
A.
3
4
B.
1
6
C.
5
6
D.
1
4
【母题2】某单位分为A、B 两个部门，A 部门有3 名男性，3 名女性；B 部门有4 名
男性，5 名女性，该单位欲安排三人出差，要求每个部门至少派出一人，则至少一名女性
被安排出差的概率为：
A.107/117
B.87/98
C.29/36
D.217/251
第四节【几何概率】
【母题1】小波通过往圆圈里投掷米粒（米粒本身长度不计，视为一个点）的方式决
定自己的周末活动。经过试验，他将米粒投进圆圈内的成功率达到100%，但投掷在圆内
的位置随机。如果米粒到圆心的距离大于圆半径的一半，那么他周末去看电影；若米粒到
圆心的距离小于半径的，他会去打篮球；否则，他将在家看书。据此可知小波周末不在家
看书的概率为：
A.13/16
B.2/5
C.3/5
D.1/16
【母题2】某公司职员预约某快递员上午9 点30 分到10 点在公司大楼前取件，假设
两人均在这段时间内到达，且在这段时间到达的概率相等。约定先到者等后到者10 分钟，
过时交易取消。快递员取件成功的概率为：
A.
1
3
B.
2
3
C.
5
9
D.
7
9
【母题3】将一根绳子任意分成三段,则此三段能构成一个三角形的概率是：
A.1/4
B.1/3
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345
C.1/2
D.3/4
（1）几何概率：满足条件的概率＝满足条件的几何区域面积÷总几何面积；
（2）几何概率的难点在于需要考生根据题意去构造出几何区域，构造的过程常考的
为：第一种几何面积类，考生根据题意利用几何公式求出面积即可；第二种构造函数类，
考生需要建立坐标系，用x 和y 去表示题干中的变量，根据题意要求列出不等式找到面积
求解。
第五节 【条件概率】
【母题1】有3 个红球，2 个黑球，取出不放回，若已知第一次从中取出一个为黑球，
则第二个取出为黑球的概率为多少？
解法1：从5 个球中取出两个都是黑色的概率为
1
𝐶5
2 =
1
10，从中取出一个为黑球的概率
为
2
5，则根据公式可得：
1
10÷
2
5=
1
4；
解法2：若第一次取出为黑球，则此时还剩下4 个球，其中黑球为1 个，则第二个取
出黑球的概率为
1
4。
条件概率为两个相关事件A 和B，在A 已经发生的情况下，B 在发生的概率。（1）条
件概率的公式：“Ａ 成立”时“Ｂ 成立”的概率＝Ａ、Ｂ 同时成立的概率÷Ａ 成立的概率；
（2）考生也可以先计算出A 事件发生后的情况下，B 若发生时的总情况数和满足条件的情
况数，利用概率公式求解。
【母题2】小孙的口袋里有四颗糖，一颗巧克力味的，一颗果味的，两颗牛奶味的。
小孙任意从口袋里取出两颗糖，他看了看后说，其中一颗是牛奶味的。问小孙取出的另一
颗糖也是牛奶味的可能性（概率）是多少？
A.
1
2
B.
1
3
C.
1
4
D.
1
5
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
346
第六节【比赛类问题】
【母题1】小王和小李进行七局四胜的乒乓球比赛，两人水平相当，每局胜对方的概
率都是1/2。若前三局过后小王获胜的概率是11/16，则她前三局的胜负情况是：
A.胜3 局
B.胜2 局、负1 局
C.负3 局
D.胜1 局、负2 局
【母题2】进入某比赛四强的选手通过抽签方式随机分成2 组进行半决赛，已知小王
在面对任何对手时获胜的概率都是60％，小张在面对任何对手时获胜的概率都是40%。问
小王和小张均在半决赛中获胜的概率为：
A.2/15
B.4/15
C.3/25
D.4/25
【母题3】植树节期间，某单位购进一批树苗，在林场工人的指导下组织员工植树造
林。假设植树的成活率为80%，那么，该单位职工小张种植3 棵树苗，至少成活2 棵的概
率是：
A.
27
125
B.
48
125
C.
64
125
D.
112
125
此类题目的公式为𝐶𝑛𝑚× 𝑝𝑚× (1 −𝑝)𝑛−𝑚，考生尤其不要忘乘公式中的𝐶𝑛𝑚。
第七节【概率期望】
【母题1】某仓库存放三个厂家生产的同一品牌洗衣液，其中甲厂生产的占20%，乙
厂生产的占30%，剩余为丙厂生产的，且三个厂家的次品率分别为1%、2%、1%，则从仓
库中随机取出一件是次品的概率为：
A.1%
B.2%
C.1.6%
D.1.3%
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347
【母题2】某电子元件制造厂有甲、乙、丙三个车间，甲、乙、丙三个车间的产量分
别占总产量的5%、70%、25%，且甲、乙、丙三个车间的次品率依次为4%、3%、2%。任
取一件产品，取到次品为乙车间制造的概率是：
A.15%
B.45%
C.75%
D.85%
【母题3】某商场以摸奖的方式回馈顾客，箱内有5 个乒乓球，其中1 个为红色，2 个
为黄色，2 个为白色，每位顾客从中任意摸出一个球，摸到红球奖10 元，黄球奖1 元，白
球无奖励，则一位顾客所获奖励的期望值为：
A.10 元
B.1.2 元
C.2 元
D.2.4 元
【强化飞跃】
【基础概率】
【例1】中秋节前夕，小赵买了6 个外观相同的月饼，其中有3 个是蛋黄馅的。回到
家后，小赵从中任取3 个月饼，里画恰好有1 个是蛋黄馅的概率为：
A.9/20
B.
C.
D.
【例2】某单位有甲和乙2 个办公室，分别有职工5 人和4 人。每周从这9 名职工中
随机抽取1 人下沉社区担任志愿者（同一人有可能被连续、重复选中）。问7 月前2 周的志
愿者均来自甲办公室的概率在以下哪个范围内？
A.不到25%
B.25%～35%之间
C.35%～45%之间
D.超过45%
【例3】某单位的一个科室从10 名职工中随机挑选2 人去听报告，要求女职工人数不
得少于1 人。已知该科室女职工比男职工多2 人，小张和小刘都是该科室的女性职工，则
她们同时被选上的概率在以下哪个范围内？
A.3%到5%之间
B.小于2%
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348
C.2%到3%之间
D.大于5%
【例4】甲和乙两个办公室分别选出2 人听一个讲座。如每个办公室均随机选择，则
甲办公室员工小刘和小陈同时被选中的概率正好为 10%。乙办公室员工小吴被选中的概率
为20%，则两个办公室共有多少名员工？
A.11
B.15
C.16
D.20
【例5】10 个完全一样的杯子，其中6 个杯子装有10 克酒精，4 个杯子装有10 克纯水。
如果从中随机拿出4 个杯子将其中的液体进行混合，问最终得到50%酒精溶液的可能性是
得到75%酒精溶液的可能性的多少倍？
A.3/2
B.4/3
C.6/5
D.9/8
【例6】将15 名实习生名额随机分配给12 个部门，每个部门至少分配1 人。问有部
门获取的名额是3 的概率是有部门获取的名额是4 的概率的多少倍?
A.5.5
B.6
C.11
D.1
【例7】街道有5 个小区。街道干部小张和民警小王本周各自安排巡察计划，在星期
一至星期五每天各巡察1 个小区。如果两人均是随机安排巡察顺序，问两人在本周中至少
有3 天巡察同一个小区的概率在以下哪个范围内？
A.低于5%
B.在5%－8%之间
C.在8%－10%之间
D.高于10%
【例8】山东手造精品众多，某展览会有叶雕、皮影、风筝、麦秸画、柳编、葫芦画、
锡雕、鲁班枕8 个展厅。因时间原因，一名参观者决定从8 个展厅中随机选取3 个进行参
观。问叶雕和皮影展厅至少有一个被选中的概率是多少？
A.5/14
B.15/24
C.9/14
D.19/28
【例9】甲和乙进行打靶比赛，各打两发子弹，中靶数量多的人获胜。甲每发子弹中
靶的概率是60%，而乙每发子弹中靶的概率是30%。则比赛中乙战胜甲的可能性：
A.小于5%
B.在5%～10%之间
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349
C.在10%～15%之间
D.大于15%
【例10】某单位有3 项业务要招标，共有5 家公司前来投标，且每家公司都对3 项业
务发出了投标申请，最终发现每项业务都有且只有1 家公司中标。如5 家公司在各项业务
中中标的概率均相等，问这3 项业务由同一家公司中标的概率为多少？
A.1/25
B.1/81
C.1/125
D.1/243
【例11】小张和小王在同一个学校读研究生，每天早上从宿舍到学校有6:40、7:00、
7:20 和7:40 发车的4 班校车。某星期周一到周三，小张和小王都坐班车去学校，且每个人
在3 天中乘坐的班车发车时间都不同。问这3 天小张和小王每天都乘坐同一趟班车的概率
在：
A.3%以下
B.3%~4%之间
C.4%~5%之间
D.5%以上
【例12】某单位原有几十名职员，其中有14 名女性。当两名女职员调出该单位后，
女职员比重下降了3 个百分点。现在该单位需要随机选派两名职员参加培训，问选派的两
人都是女职员的概率在以下哪个范围内？
A.小于1%
B.1%~4%
C.4%~7%
D.7%~10%
【例13】甲、乙、丙三人打羽毛球，甲对乙、乙对丙和甲对丙的胜率分别为60%、50%
和70%。比赛第一场甲与乙对阵，往后每场都由上一场的胜者对阵上一场的轮空者。则第
三场比赛为甲对丙的概率比第二场：
A.低40 个百分点
B.低20 个百分点
C.高40 个百分点
D.高20 个百分点
【例14】一个由4 个数字（0—9 之间的整数）组成的密码，每连续两位都不相同，问
任意猜一个符合该规律的数字组合，猜中密码的概率为：
A.1/5040
B.1/7290
C.1/9000
D.1/10000
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350
【例15】某工厂的产品有7 家代理商，如果以满意度最高为7 分，满意度最低为1 分，
7 家代理商对工厂的满意度正好是1 分到7 分的不同整数值。如从中任意选择3 家代理商进
行调查，其对工厂满意度的平均值与所有代理商满意度平均值相差小于1 的概率为：
A.30%
B.40%
C.48%
D.60%
【例16】某次招标活动中，甲、乙、丙、丁、戊和己6 家投标企业依次对自己的设计
进行讲解。已知甲和乙均不能安排在第一个或最后一个，丙只能安排在第三个或第四个，
如在满足以上条件的次序中随机选择一个，则丁和戊的讲解次序相邻的概率为：
A.2/9
B.1/5
C.2/7
D.1/4
【例17】甲、乙等36 人分为6 个小组参加某项活动，要求任意2 组人数不同，每个
组都不少于3 人，且任何一组人数不得超过另一组的3 倍。问甲和乙至少有1 人分到人数
第二多的小组的概率为:
A.25%
B.30%
C.35%
D.40%
【例18】某知识比赛共10 题，规定答对一题得2 分，不答不得分，答错扣1 分。小
王参加比赛后共得3 分，已知小王回答题目超过5 题，问小王第一题答错的概率是多少？
A.1⁄10
B.2⁄5
C.3⁄20
D.4⁄45
【例19】某房间共有6 扇门，甲、乙、丙三人分别从任一扇门进去，再从剩下的5 扇
门中的任一扇出来，问甲未经过1 号门，且乙未经过2 号门，且丙未经过3 号门进出的概
率为多少？
A.125/256
B.8/27
C.37/64
D.64/125
【例20】某市公安局从辖区2 个派出所分别抽调2 名警察，将他们随机安排到3 个专
案组工作，则来自同一派出所的警察不在同一组的概率是：
A.2/3
B.1/4
C.1/3
D.1/2
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351
【例21】小张回家乘地铁18：45 之前到家的概率为0.8，乘公交为0.7。已知小张下
班回家要么乘地铁，要么乘公交，且选择乘地铁的概率为0.6，则他下班回家18：45 之前
到家的概率是：
A.0.73
B.0.74
C.0.75
D.0.76
【例22】某商店搞店庆，购物满200 元可以抽奖一次。一个袋中装有编号为0 到9 的
十个完全相同的球，满足抽奖条件的顾客在袋中摸球，一共摸两次，每次摸出一个球（球
放回），如果第一次摸出球的数字比第二次大，则可获奖，则某抽奖顾客获奖概率是：
A.5%
B.25%
C.45%
D.85%
【特殊考点】
【例1】某企业将5 台不同的笔记本电脑和5 台不同的平板电脑捐赠给甲、乙两所小
学,每所学校分配5 台电脑。如在所有可能的分配方式中随机选取一种，两所学校分得的平
板电脑数量均不超过3 台的概率为：
A.125/126
B.125/252
C.25/63
D.50/63
【例2】甲、乙等16 人参加乒乓球淘汰赛，每轮对所有未被淘汰选手进行抽签分组两
两比赛，胜者进入下一轮。已知除甲以外，其余任意两人比赛时双方胜率均为50%。甲对
乙的胜率为0%，对其他14 人的胜率均为100%。则甲夺冠的概率为：
A.225/256
B.11/15
C.8/11
D.3/4
【例3】甲、乙、丙三人未来3 周均要去A、B、C 三个地方调研，每人每个地方调研
时长为1 周，如每个人随机安排顺序，则每周三个人去的地方都不同的概率为：
A.1/3
B.1/6
C.1/9
D.1/18
【例4】两个大人带四个孩子去坐只有六个位置的圆型旋转木马，那么两个大人不相
邻的概率为：
A.2/5
B.3/5
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352
C.1/3
D.2/3
【例5】销售员小刘为客户准备了A、B、C 三个方案。已知客户接受方案A 的概率为
40%。如果接受方案A，则接受方案B 的概率为60%，反之为30%。客户如果A 或B 方案
都不接受，则接受C 方案的概率为90%，反之为10%，问将3 个方案按照客户接受概率从
高到低排列，以下正确的是：
A.A＞B＞C
B.A＞C＞B
C.B＞C＞A
D.C＞B＞A
【例6】某集团企业5 个分公司分别派出1 人去集团总部参加培训。培训后再将5 人
随机分配到这5 个分公司，每个分公司只分配1 人。问5 个参加培训的人中，有且仅有1
人在培训后返回原分公司的概率：
A.低于20%
B.在20%~30%之间
C.在30%~35%之间
D.大于35%
【例7】有5 对夫妇参加一场婚宴，他们被安排在一张10 个座位的圆桌就餐，但是婚
礼操办者并不知道他们彼此之间的关系，只是随机安排座位。问5 对夫妇恰好都被安排在
一起相邻而坐的概率是多少？
A.在1‰到5‰之间
B.在5‰到1%之间
C.超过1%
D.不超过1‰
【例8】亲子班上5 对母子坐成一圈，孩子都挨着自己的母亲就坐，问所有孩子均不
相邻的概率在以下哪个范围内？
A.小于5%
B.5%-10%
C.10%-15%
D.大于15%
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353
【例9】单位将10 个培训名额分配给4 个分公司，要求在每个分公司至少分配1 个名
额的所有分配方案中，随机选择1 个方案实施，问4 个分公司中有3 个分配名额数量相同
的概率为多少？
A.3/50
B.1/10
C.3/25
D.1/7
【例10】某企业选拔170 多名优秀人才平均分配为7 组参加培训。在选拔出的人才中，
党员人数比非党员多3 倍。接受培训的党员中的10%在培训结束后被随机派往甲单位等12
个基层单位进一步锻炼。已知每个基层单位至少分配1 人，问甲单位分配人数多于1 的概
率在以下哪个范围内？
A.不到14%
B.14%~17%之间
C.17%~20%之间
D.超过20%
【例11】箱子中有编号为1~10 的10 个小球，每次从中抽出1 个记下后放回，如是重
复3 次，则3 次记下的小球编号乘积是5 的倍数的概率是多少？
A.43.2%
B.48.8%
C.51.2%
D.56.8%
【例12】已知10 个外观完全一样的产品中有1 个是次品。 如果从中随机选择3 个，
选中次品的概率为x％ ；每次随机选择1 个后放回，选择4 次后至少有1 次选中次品的概
率为y％。 问：x-y 的值z 在以下哪个范围内？
A.ｚ＜－5
B.－5≤ｚ＜0
C.0≤z＜5
D.ｚ≥5
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354
【例13】甲乙两人相约见面，并约定第一人到达后，等15 分钟不见第二人来就可以
离去。假设他们都在10 点至10 点半的任一时间来到见面地点，则两人能见面的概率有多
大?
A.37.5％
B.50％
C.62.5％
D.75％
【例14】甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛8 名乒乓球爱好者随机分成4 个双打组合，
随机分配对手两两比赛，两场比赛的胜者进行决赛。如每个组合对其他任意组合的胜率都
是50%，问甲所在队伍在决赛中战胜丙所在队伍的概率在以下哪个范围内？
A.低于3%
B.在3%－5%之间
C.在5%－8%之间
D.高于8%
【例15】某单位要抽调若干人员下乡扶贫，小王、小李、小张都报了名，但因工作需
要，若选小李或小张，就不能选小王。已知三人入选的概率都是0.2，但小李、小张同时入
选的概率是0.1，则三人中有人入选的概率是：
A.0.3
B.0.4
C.0.5
D.0.6
【例16】人力资源部推荐本部门员工小王和小李参加公司最佳员工评选，若小王、小
李成功入选的概率分别为0.6 和0.5，两人都成功入选的概率为0.25。则人力资源部有员工
被评选为公司最佳员工的概率为：
A.0.6
B.0.75
C.0.8
D.0.85
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355
【例17】有7 件产品，其中有3 件是次品。每次抽查一件产品（不放回），能够恰好
在第四次找出3 件次品的概率为：
A.9/56
B.3/35
C.3/28
D.1/7
【例18】甲、乙、丙三个单位各派2 名志愿者参加公益活动，现将这6 人随机分成3
组，每组2 人，则每组成员均来自不同单位的概率是：
A.1/3
B.5/12
C.1/4
D.8/15
【例19】一个木制正方体在表面涂上颜色，将它的每条棱三等分，然后从等分点将正
方体展开，得到27 个小正方体，将这些小正方体充分混合后，装入一个口袋，从这个口袋
中随机取出两个小正方体，其中一个正方体只有一个面涂有颜色，另一个至少2 个面涂有
颜色的概率约为：
A.0.05
B.0.17
C.0.34
D.0.67
【例20】清朝乾隆皇帝曾出上联“客上天然居，居然天上客”，纪昀以“人过大佛寺，
寺佛大过人”对出下联，这副对联既可以顺读也可以逆读，被称作回文联。数学中也有类似
回文数，如212、37473 等，则三位数中回文数是奇数的概率为：
A.2/9
B.1/3
C.4/9
D.5/9
【例21】有两排各6 个连续的空车位，包含甲车、乙车在内的6 辆车随机停入这12
个车位中，则以下哪种情况发生的概率最低?
A.有一排正好停了2 辆车
B.甲车和乙车停在同一排的不相邻车位
C.甲车停在某一排的中间两个车位之一
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356
D.甲车和乙车中至少有1 辆停在靠边的车位
【例22】小李有一张银行卡，他忘记了密码的后3 位，只记得这3 个数全是奇数且有
2 个相同。问他尝试不超过两次就输入正确密码的概率为多少？
A.1/30
B.1/50
C.2/59
D.2/57
【例23】苹果有每盒3 个、5 个和8 个三种不同的包装。如果随机拿4 盒，苹果总个
数多于20 个且为偶数的概率：
A.低于25%
B.在25%--30%之间
C.在30%--35%之间
D.高于35%
【例24】某停车场有7 个连成一排的空车位。现有3 辆车随机停在这排车位中，则任
意两辆车之间至少间隔一个车位的概率为:
A.1/5
B.2/7
C.6/35
D.9/35
【例25】某公司对10 个创新项目进行评选，选出最优秀的3 个项目投入运行。小张
随机预测3 个项目将会入选。问他至少猜对1 个入选项目的概率在以下哪个范围内？
A.不到50%
B.50%～60%
C.60%～70%
D.超过70%
【例26】研究人员在A、B、C、D、E 五块试验田中种植甲、乙、丙、丁、戊五种作
物，每块试验田只种一种作物，每年都在所有的安排中随机挑选一种进行种植。问在连续
的3 年中，A 试验田至少2 年种植同一种作物的概率为:
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357
A.36%
B.48%
C.52%
D.64%
【例27】某公司组织面试每位考生都要回答甲、乙、丙、丁、戊5 道试题，作答顺序
随机安排。已知小张第二题是甲题、第四题是丁题，小王第三题是乙题，那么两人作答顺
序完全相同的概率是：
A.1/72
B.1/48
C.1/36
D.1/24
【例28】某同学在某天12:15-13:15 内随机一个时刻开始午睡，午睡时长为0-1 小时内
的随机时间。问该同学在14:00 之后起床的概率为：
A.1/16
B.1/32
C.1/48
D.1/64
【例29】甲、乙两个箱子中分别装有不同数量的某种商品，总数不到100 件，如果从
甲或乙箱子中随机拿出1 件这种商品，拿到次品的概率分别为5%和10%。如果将两箱内
的商品混合后再随机拿出1 件，则拿到次品的概率为6%。问从乙箱中随机拿出3 件这种商
品，均不为次品的概率x 在以下哪个范围内？
A.x＜72%
B.72%≤x＜81%
C.81%≤x＜90%
D.x≥90%
【例30】桌上有20 张正面向上的卡片，每次任选其中的3 张翻面后放置于原位。问
操作2 次后，任一张卡片正面向上的概率为：
A.72.25%
B.74.5%
C.82.5%
D.85%
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358
【例31】从正九边形的顶点中任选3 个作为顶点绘制三角形，问其中等腰三角形占全
部可画出三角形的比例在以下哪个范围内?
A.低于28%
B.在28%到33%之间
C.在33%到40%之间
D.高于40%
【例32】甲、乙、丙、丁四个车间生产相同的产品，生产效率之比为4:3:2:1，产品不
合格率分别为2%、3%、4%、5%。质检人员从这4 个车间某小时内生产的所有产品中随机
抽取1 件，发现该产品不合格，该产品是乙车间生产的概率为:
A.30%
B.40%
C.50%
D.60%
【例33】某会议室共5 排座位，每排座位数依次为10、9、8、7、6 个，甲、乙两人
随机选择座位入座，则他们左右相邻的概率：
A.不到2%
B.在2%到5%之间
C.在5%到10%之间
D.高于10%
【例34】从3 双完全相同的鞋中，随机抽取一双鞋的概率是：
A.2/5
B.3/5
C.1/6
D.1/3
【例35】某单位工会组织桥牌比赛，共有8 人报名，随机组成4 队，每队2 人。那么
小王和小李恰好被分在同一队的概率是:
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
359
A.1/7
B.1/14
C.1/21
D.1/28
【例36】张、王、刘、李、陈五人按照特定的规则随机分配给A、B、C、D 四个任务
组，要求每组至少分配1 人，张不分配在A 组，李必须分配在C 组，D 组只分配1 人。问
张和王分配在同一组的概率为：
A.不到5％
B.5％～10％之间
C.10～15％之间
D.超过15％
【例37】一块直角三角形绿地的三边均铺有长度为整数米的水管，其中一条直角边外
的水管长7 米。现在三边的水管上随机任选1 处做标记，则该标记在斜边上的概率在以下
哪个范围内？
A.小于0.35
B.0.35～0.42
C.0.42～0.50
D.超过0.50
【例38】某高校从E、F 和G 三家公司购买同一设备的比例分别为20%、40%和40%，
E、F 和G 三家公司所生产设备的合格率分别为98%、98%和99%，现随机购买到一台次品
设备的概率是：
A.0.013
B.0.015
C.0.016
D.0.01
【例39】甲、乙两个商场营业日每天是否打折概率均为1/2。某周，甲商场营业7 天，
而乙商场营业6 天，休业1 天。问在这一周，甲商场打折天数比乙商场多的概率为：
A.1/6
B.1/3
C.1/2
D.7/13
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360
（七）容斥问题
第一节【两集合公式类】
【考点筑基】
两集合标准公式：A＋B－A∩B＋都不符合的部分＝总情况
【母题汇总】
【母题1】某单位计划从全部80 名员工中挑选专项工作组成员，要求该组成员须同时
有基层经历和计算机等级证书。已知，单位内有40 人具有基层经历，有46 人有计算机等
级证书，既没有基层经历又未获得计算机等级证书的有10 人。那么能够进入工作组的员工
有（ ）人。
A.16
B.40
C.46
D.54
【母题2】在一块边长为8 米的正方形草坪上架设了5 个自动洒水器，洒水器的洒水
半径为2 米（如图所示）。问草坪上同时被两个洒水器洒到水的区域（灰色）面积比没有洒
到水的区域（黑色）面积:
A.小不到5 平方米
B.小5 平方米以上
C.大不到5 平方米
D.大5 平方米以上
【母题3】某单位共有员工200 人，其中订阅杂志的人数比只订阅报纸的人数多88%。
则报纸和杂志均未订阅的员工有（ ）人。
A.36
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
361
B.56
C.76
D.96
【母题4】在1 至1000 的1000 个自然数中，既不是4 的倍数，也不是5 的倍数的数共
有多少个?
A.600
B.550
C.500
D.450
【强化提升】
【例1】学校有300 个学生选择参加地理兴趣小组，生物兴趣小组或者两个小组同时
参加。如果80%学生参加地理兴趣小组，50%学生参加生物兴趣小组。问同时参加地理和
生物兴趣小组的学生人数是多少？
A.240
B.150
C.90
D.60
【例2】某班38 名学生参加两次体能测试，测试成绩分为A、B 两个等级，在第一次
和第二次测试中分别有12 人、16 人的测试成绩为A。如果两次测试中都没得到A 的学生
有15 人，那么两次测试中都获得A 的人数是多少？
A.5
B.6
C.8
D.10
【例3】一个班级有50 名学生参与选课，其中选了A 课程的有31 人，选了B 课程的
有24 人，两门课程都未选择的有6 人，同时选了A、B 两门课程的有多少人？
A.7
B.11
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
362
C.18
D.25
【例4】市电视台向150 位观众调查前一天晚上甲、乙两个频道的收视情况，其中108
人看过甲频道，36 人看过乙频道，23 人既看过甲频道又看过乙频道，则受调查观众中在前
一天晚上两个频道均未看过的人数是：
A.17
B.22
C.29
D.38
【例5】某单位员工总数是480 人，在第一次体检中有320 人合格，在第二次体检中
有240 人合格，若两次体检中都没合格的有40 人，那么两次体检都合格的人数是：
A.80
B.100
C.120
D.140
【例6】某俱乐部会下中国象棋的有85 人，会下围棋的有78 人，两种都会下的有35
人，两种都不会下的有18 人，那么该俱乐部一共有多少人？
A.128
B.146
C.158
D.166
【例7】如下图所示，正方形ABCD 的边长5cm，AC、BD 分别是点D 和点C 为圆心，
半径为5cm 的圆弧，问阴影部分a 比阴影部分的面积b 的面积小多少？（π 为3.14）
A.13.75 平方厘米
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363
B.14.25 平方厘米
C.14.75 平方厘米
D.15.25 平方厘米
【例9】长方形ABCD 的面积为80，阴影部分面积为64，则四边形EFPQ 的面积为：
A.12
B.36
C.24
D.48
【例10】某乡有32 户果农，其中有26 户种了柚子树，有24 户种了橘子树，还有5
户既没有种柚子树也没有种橘子树，那么该乡同时种植柚子树和橘子树的果农有：
A.23 户
B.22 户
C.21 户
D.24 户
【例11】某班共有46 人参加了一次数学测验，其中35 人做对了第一题，28 人做对了
第二题，有3 人都做错了这两道题，那么该班有（ ）人只做对了第二题。
A.8
B.11
C.15
D.18
【例12】某公司组织歌舞比赛，共68 人参赛。其中，参加舞蹈比赛的有12 人，参加
歌唱比赛的有18 人，45 个人什么比赛都没有参加。问其中参加歌唱比赛但不参加舞蹈比
赛的有多少人？
A.9
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
364
B.11
C.15
D.17
【例13】野生动物保护机构考查某圈养动物的状态，在n（n 为正整数）天中观察到：
（1）有7 个不活跃日（一天中有出现不活跃的情况）；（2）有5 个下午活跃;（3）有6 个
上午活跃；（4）当下午不活跃时，上午必活跃。则n 等于：
A.7
B.8
C.9
D.10
【例14】某委员会有成员465 人，对2 个提案进行表决，要求必须对2 个提案分别提
出赞成或反对意见。其中赞成第一个提案的有364 人，赞成第二个提案的有392 人，两个
提案都反对的有17 人。问赞成第一个提案且反对第二个提案的有几人？
A.56 人
B.67 人
C.83 人
D.84 人
【例15】某单位派60 名运动员参加运动会开幕式，他们着装白色或黑色上衣，黑色
或蓝色裤子。其中有12 人穿白上衣蓝裤子，有34 人穿黑裤子，29 人穿黑上衣，那么穿黑
上衣黑裤子的有多少人？
A.12
B.14
C.15
D.29
【例16】旅行社对120 人的调查显示，喜欢爬山的与不喜欢爬山的人数比为5︰3；喜
欢游泳的与不喜欢游泳的人数比为7︰5；两种活动都喜欢的有43 人。对这两种活动都不
喜欢的人数是：
A.18
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
365
B.27
C.28
D.32
【例17】运动会上100 名运动员排成一列，从左向右依次编号为1—100，选出编号为
3 的倍数的运动员参加开幕式队列，而编号为5 的倍数的运动员参加闭幕式队列。问既不
参加开幕式又不参加闭幕式队列的运动员有多少人？
A.46
B.47
C.53
D.54
【例18】某超市举办促销活动，凡是购物满200 元即可进行抽奖，抽到“谢谢参与”的
则送一盒面巾纸。带有编号的礼物卡共100 张，编号1—100，按礼物卡标签号发放奖品的
规则如下：（1）标签号为2 的倍数，领2 盒鸡蛋。（2）标签号为3 的倍数，领3 盒鸡蛋。
（3）标签号既是2 的倍数，又是3 的倍数可重复领奖。（4）其他标签号均领1 盒鸡蛋。那
么本次联谊活动应准备鸡蛋（ ）盒。
A. 215
B. 232
C. 312
D. 416
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366
第二节【两集合画图类】
【考点筑基】
考生要理解每个区域的含义以及关系；
常见关系：A+B-A∩B=A+只B=B+只A=只A+A∩B+只B（只A 为只满足A 条件的缩
写）=总情况数－AB 都不满足的情况数。如下：
【母题汇总】
【母题1】某公司共有180 名员工，举行甲、乙两项团建活动，60%的员工参加甲活
动，50%的员工参加乙活动。若只参加甲活动的员工有80 人，则只参加乙活动的员工有：
A.10 人
B.28 人
C.62 人
D.72 人
【母题2】农科院在某村287 名淡水鱼养殖人员中开展防病培训和育种培训，已知参
加防病培训的养殖人员中，参加育种培训的人数比未参加的多21%；参加育种培训的养殖
人员中，参加防病培训的人数比未参加的多76 人。问共有多少人未参加任何一项培训?
A.21
B.23
C.25
D.27
【母题3】某科学家做了一项实验，通过向若干只狒狒提供不限量的香蕉和香肠以研
究其食性。结果表明，90%的狒狒有进食，其中吃香蕉的狒狒是吃香肠的狒狒数量的3 倍，
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367
而两种食物都吃的狒狒是只吃香肠的狒狒数量的2/3，则未进食的狒狒是只吃香蕉的狒狒数
量的：
A.1/5
B.3/10
C.2/13
D.4/15
【强化提升】
【例1】有64%的教师发表了核心期刊论文，有40%的教师承担了科研项目，其中有
90%的公开发表了论文，这些论文均发表在核心期刊上，那么发表核心期刊论文但没有承
担科研项目的教师是承担了科研项目但没发表核心期刊论文的教师人数的多少倍？
A.6
B.7
C.9
D.10
【例2】某班级对70 多名学生进行数学和英语科目摸底测验，有12%的学生两个科目
均不及格。已知有2/3 的学生英语及格，数学及格的学生比英语多10 人，那两科均及格的
学生有多少人?
A.31
B.37
C.41
D.44
【例3】某班期末考试结束后统计，物理、化学均不及格的人数占全班的14%，物理
及格的人数比化学及格的人数多10 人，且化学及格的人数占全班的60%。已知全班人数不
超过70 人，问物理及格的人中化学也及格的有多少人?
A.25
B.26
C.27
D.28
【例4】为实现产业振兴，农科院对某县的所有自然村进行了调研，结果发现，适合
种植A 作物的自然村占4/13。适合种植B 作物的自然村有25 个，同时适合种植两种作物
的自然村占总数的1/14，则在该县，不适合种植两种作物的自然村至少有多少个?
A.57
B.67
C.114
D.134
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368
【例5】甲、乙两个单位分别有60 和42 名职工，共同成立A、B 两个业余活动小组，
所有职工每人至少参加1 个。乙单位职工中仅参加A 组的人数是只参加一个小组人数的
60%，乙单位职工中参加B 组的人数与参加A 组的人数之比为3∶4，参加B 组的人中，甲
单位职工占5/8。问有多少人仅参加A 组?
A.35
B.42
C.46
D.56
【例6】某单位所有员工都参加艺术、科学、人文三类书籍的阅读活动，每名员工至
多阅读2 种书籍，阅读1 种书籍员工人数比阅读2 种书籍的人数多一半，阅读艺术类书籍
的人数是阅读科学类书籍人数的2/3，阅读科学类书籍人数是阅读人文类书籍人数的4/5，
问该单位至少有多少人？
A.20
B.25
C.30
D.50
【例7】某试验室通过测评Ⅰ和Ⅱ来核定产品的等级：两项测评都不合格的为次品，仅
一项测评合格的为中品，两项测评都合格的为优品。某批产品只有测评Ⅰ合格的产品数是优
品数的2 倍，测评Ⅰ合格和测评Ⅱ合格的产品数之比为6∶5。若该批产品次品率为10%，则
该批产品的优品率为：
A.10%
B.15%
C.20%
D.25%
【例8】篮子里有苹果和梨子两种水果若干个，将这些水果分发给13 人，每人最少拿
一个，最多拿两个不同的水果。已知有9 个人拿到了苹果，有8 人拿到了梨，最后全部分
完。那么，有（ ）人只拿到了苹果。
A.4
B.5
C.6
D.7
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369
第三节【三集合公式类】
【考点筑基】
公式1：A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C=总数-ABC 均不满足的个数；
图示1：
公式2：A+B+C-只满足两种的个数-2A∩B∩C=总数-ABC 均不满足的个数。
图示2：
【母题汇总】
【母题1】某单位共有240 名员工，其中订阅A 期刊的有125 人，订阅B 期刊的有
126 人，订阅C 期刊的有135 人，订阅A、B 期刊的有57 人，订阅A、C 期刊的有73 人，
订阅3 种期刊的有31 人，此外，还有17 人没有订阅这三种期刊中的任何一种。问订阅B、
C 期刊的有多少人？
A.57
B.64
C.69
D.78
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370
【母题2】某机关开展红色教育月活动，三个时间段分别安排了三场讲座。该机关共
有139 人，有42 人报名参加第一场讲座，51 人报名参加第二场讲座，88 人报名参加第三
场讲座，三场讲座都报名的有12 人，只报名参加两场讲座的有30 人。问没有报名参加其
中任何一场讲座的有多少人？
A.12
B.14
C.24
D.28
【母题3】某高校法学院对学生毕业后就职于司法机关、律所、企业的意愿进行调查，
共725 名学生参与调查，可选其中0 至3 项。结果显示，选择司法机关、律所、企业的学
生分别有360 人、380 人、237 人，3 项都选的学生有60 人，3 项都不选的学生有8 人，则
仅选择其中1 项的学生有（ ）人。
A.517
B.516
C.515
D.514
【母题4】某公司年终联欢，准备了52 张编号分别为1 至52 的奖券用于抽奖。如果
编号是2、3 的倍数的奖券可分别兑换2 份、3 份奖品，编号同时是2 和3 的倍数的奖券只
可兑换3 份奖品，其他编号的奖券只可兑换1 份奖品，则所有奖券可兑换的奖品总数是：
A.99 份
B.100 份
C.102 份
D.104 份
【母题5】如图所示，X、Y、Z 分别是面积为64、180、160 的三张不同形状的纸片。
它们部分重叠放在一起盖在桌面上，总共盖住的面积为290。且X 与Y、Y 与Z、Z 与X
重叠部分面积分别为24、70、36。问阴影部分的面积是多少?
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371
A.15
B.16
C.14
D.18
【强化提升】
【例1】针对100 名旅游爱好者进行调查发现，28 人喜欢泰山，30 人喜欢华山，42 人
喜欢黄山，8 人既喜欢黄山又喜欢华山，10 人既喜欢泰山又喜欢黄山，5 人既喜欢华山又
喜欢泰山，3 人喜欢这三个景点，则不喜欢这三个景点中任何一个的有多少人？
A.20
B.18
C.17
D.15
【例2】某乡镇举行运动会，共有长跑、跳远和短跑三个项目。参加长跑的有49 人，
参加跳远的有36 人，参加短跑的有28 人，只参加其中两个项目的有13 人，参加全部项目
的有9 人。那么参加该次运动会的总人数为：
A.75
B.82
C.88
D.95
【例3】为丰富职工业余文化生活，某单位组织了合唱、象棋、羽毛球三项活动。在
该单位的所有职工中，参加合唱活动有189 人，参加象棋活动有152 人，参加羽毛球活动
有135 人，参加两种活动的有130 人，参加三种活动的有69 人，不参加任何一种活动的有
44 人。该单位的职工人数为：
A.233
B.252
C.321
D.520
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372
【例4】某高校做有关碎片化学习的问卷调查，问卷回收率为90%，在调查对象中有
180 人会利用网络课程进行学习，200 人利用书本进行学习，100 人利用移动设备进行碎片
化学习，同时使用三种方式学习的有50 人，同时使用两种方式学习的有20 人，不存在三
种方式学习都不用的人，那么，这次共发放了多少份问卷？
A.370
B.380
C.390
D.400
【例5】某企业调查用户从网络获取信息的习惯，问卷回收率为90%。调查对象中有
179 人使用搜索引擎获取信息，146 人从官方网站获取信息，246 人从社交网站获取信息，
同时使用这三种方式的有115 人，使用其中两种的有24 人，另有52 人这三种方式都不使
用，问这次调查共发出了多少份问卷？
A.310
B.360
C.390
D.410
【例6】一旅行团共有50 位游客到某地旅游，去A 景点的游客有35 位，去B 景点的
游客有32 位，去C 景点的游客有27 位，去A、B 景点的游客有20 位，去B、C 景点的游
客有15 位，三个景点都去的游客有8 位，有2 位游客去完一个景点后先行离团，还有1 位
游客三个景点都没去。那么，50 位游客中有多少位恰好去了两个景点？
A.29
B.31
C.35
D.37
【例7】工厂组织工人参加技能培训，参加车工培训的有17 人，参加钳工培训的有16
人，参加铸工培训的有14 人，参加两项及以上培训的人占参加培训总人数的2/3，三项培
训都参加的有2 人，问总共有多少人参加了培训？
A.24
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373
B.27
C.30
D.33
【例8】某班参加学科竞赛人数40 人，其中参加数学竞赛的有22 人，参加物理竞赛
的有27 人，参加化学竞赛的有25 人，只参加两科竞赛的有24 人，参加三科竞赛的有多少
人？
A.2
B.3
C.5
D.7
【例9】五年级一班共有55 个学生，在暑假期间都参加了特长培训班，35 人参加书法
班，28 人参加美术班，31 人参加舞蹈班，其中以上三种特长培训班都参加的有6 人，则有
多少人只参加了一种特长培训班？
A.45
B.33
C.29
D.22
【例10】某单位举办设有A、B、C 三个项目的趣味运动会，每位员工三个项目都可
以报名参加。经统计，共有72 名员工报名，其中参加A、B、C 三个项目的人数分别为26、
32、38，三个项目都参加的有4 人，则仅参加一个项目的员工人数是：
A.48
B.40
C.52
D.44
【例11】团体操表演中，编号为1~100 的学生按顺序排成一列纵队，编号为1 的学生
拿着红、黄、蓝三种颜色的旗帜，以后每隔2 个学生有1 人拿红旗，每隔3 个学生有1 人
拿蓝旗，每隔6 个学生有1 人拿黄旗。问所有学生中有多少人拿两种颜色以上的旗帜？
A.13
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374
B.14
C.15
D.16
【例12】某翻译团队中，每名译员都擅长英语、日语、俄语中的至少一门语言。经统
计，擅长英语的有17 人，擅长日语的有21 人，擅长俄语的有23 人；擅长英语和日语的有
7 人，擅长英语和俄语的有6 人，擅长日语和俄语的有6 人；擅长三门语言的仅占总人数
的十五分之一，则仅擅长英语的译员有（ ）人。
A.4
B.5
C.6
D.7
【例13】某通讯公司对3542 个上网客户的上网方式进行调查，其中1258 个客户使用
手机上网，1852 个客户使用有线网络上网，932 个客户使用无线网络上网。如果使用不止
一种上网方式的有352 个客户，那么三种上网方式都使用的客户有多少个？
A.148
B.248
C.350
D.500
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
375
第四节【三集合画图类】
【考点筑基】
（1）考生要理解每个区域的含义以及关系。
特别注意“满足某条件”和“只满足某条件”的区别，具体如下：
满足条件A:①+②+③+⑤
只满足条件A: ⑤
同时满足条件A、B→A∩B: ①+③
只同时满足条件A、B: ③
只满足1 个条件: ⑤+⑥+⑦
只满足2 个条件: ②+③+④
只满足3 个条件: ①
【母题汇总】
【母题1】联欢会上，有24 人吃冰激凌、30 人吃蛋糕、38 人吃水果，其中既吃冰激
凌又吃蛋糕的有12 人，既吃冰激凌又吃水果的有16 人，既吃蛋糕又吃水果的有18 人，三
样都吃的则有6 人。假设所有人都吃了东西，那么只吃一样东西的人数是多少?
A.12
B.18
C.24
D.32
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376
【母题2】某单位利用业余时间举行了3 次义务劳动，总计有112 人次参加，在参加
义务劳动的人中，只参加1 次，参加2 次和3 次全部参加的人数之比为5∶4∶1，问该单位共
有多少人参加了义务劳动？
A.70
B.72
C.77
D.80
【母题3】在一项课题研究中，数据搜集方式有问卷调研、当面访谈与电话访谈三种。
参加问卷调研的有27 人，参加电话访谈的有21 人。参加了三种数据搜集方式的有5 人，
既参加问卷调研又参加当面访谈的有9 人，既参加问卷调研又参加电话访谈的有12 人，既
参加当面访谈又参加电话访谈的有7 人。已知只参加当面访谈的人数占数据搜集人员总数
的20%，则数据搜集人员共有多少人？
A.45
B.50
C.55
D.60
【强化提升】
【例1】某旅行团共有48 名游客，都报名参观了三个景点中的至少一个。其中，只参
观了一个景点的人数与至少参观了两个景点的人数相同，是参观了三个景点的人数的4 倍。
则需要为这些游客购买多少张景点门票？
A.48
B.72
C.78
D.84
【例2】某出版社新招了10 名英文、法文和日文方向的外文编辑，其中既会英文又会
日文的小李是唯一掌握一种以上外语的人。在这10 人中，会法文的比会英文的多4 人，是
会日文人数的两倍。问只会英文的有几人？
A.2
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377
B.0
C.3
D.1
【例3】某单位乒乓球、羽毛球、篮球三个兴趣小组共有72 人参加。已知同时参加3
个小组的人数为0，只参加羽毛球小组的人数是只参加乒乓球小组人数的4 倍，只参加篮
球小组的有11 人，同时参加两个小组的人数与只参加1 个小组的人数相同，参加乒乓球小
组但未参加篮球小组的人中有一半参加羽毛球小组。问参加包括篮球小组在内的两个小组
的有：
A.32 人
B.31 人
C.25 人
D.24 人
【例4】单位组织职工前往甲、乙、丙三个爱国主义教育基地学习，要求每名职工至
少去1 个基地。已知有48 人去了甲基地，有42 人未去乙基地，去丙基地的人中，去1 个、
2 个、3 个基地的人数比为3∶2∶1。如仅去2 个基地和去3 个基地的职工分别有x 人和y 人，
则x 和y 的关系为：
A.x=4y+6
B.x=4y-6
C.x=3y+6
D.x=3y-6
【例5】小明对甲、乙、丙三种手机软件的安装情况进行街头调查,随机选取的一批调
查对象中,手机安装了甲、乙、丙三种软件的人数分别是40、36、35；只安装了其中一种软
件的人数分别占其中的25%、25%、20%；同时安装了甲、乙软件而未安装丙软件的有4
人；同时安装了甲、丙软件而未安装乙软件的人数比同时安装了乙、丙软件而未安装甲软
件的人数多3,那么有（ ）人同时安装了甲、乙、丙三种软件。
A.15
B.21
C.27
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
378
D.33
【例6】某公司有80 人报名参加会计、法律和技术三项培训中的一项或多项，三项培
训的报名人数比为6:5:4。已知同时参加会计和法律培训的人数，和同时参加法律和技术培
训的人数，分别是同时参加会计和技术培训的人数的70％和80%，且无人同时参加3 项培
训，则只参加技术培训的有多少人？
A.4
B.6
C.8
D.10
【例7】某大学法学院72 名研究生当中有36 人是中国法律援助网志愿者，有28 人是
广东省法律援助中心志愿者，还有一些同学是学校法律援助协会会员。已知参加学校法律
援助协会的人数是既是中国法律援助网志愿者又参加学校法律援助协会人数的3 倍，是三
种组织均参加了的人数的6 倍；既参加了学校法律援助协会又是广东省法律援助中心志愿
者的人数是三种组织都参加了的人数的2 倍；既是中国法律援助网志愿者又是广东省法律
援助中心志愿者的人数有10 人，则参加了学校法律援助协会的有（ ）人。
A.24
B.28
C.36
D.48
【例8】某高校外国语学院中，会俄语的学生都会英语，其中一半还会法语；会英语
的学生中有一半会法语；这三种语言都会的学生有50 人，只会其中两种语言的有100 人，
只会其中一种语言的有150 人。问会法语的学生有多少人?
A.50
B.100
C.150
D.200
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
379
第五节【容斥最值类】
【例1】某班在筹备联欢会时发现很多同学都会唱歌和乐器演奏，但有部分同学这2
种才艺都不会。具体有4 种情况：只会唱歌，只会乐器演奏，唱歌和乐器演奏都会，唱歌
和乐器演奏都不会。已知会唱歌的有22 人，会乐器演奏的有15 人，两种都会的人数是两
种都不会的5 倍。这个班至多有（ ）人。
A.27
B.30
C.33
D.36
【例2】某小区有40%的住户订阅日报，有15%的住户同时订阅日报和时报，至少有
75%的住户至少订阅两种报纸中的一种，问订阅时报的比例至少为多少？
A.35%
B.50%
C.55%
D.60%
【例3】有135 人参加某单位的招聘，31 人有英语证书和普通话证书，37 人有英语证
书和计算机证书，16 人有普通话证书和计算机证书，其中一部分人有三种证书，而一部分
人则只有一种证书。该单位要求必须至少有两种上述证书的应聘者才有资格参加面试。问
至少有多少人不能参加面试？
A.51
B.50
C.53
D.52
【例4】一次期末考试，某班同学成绩统计如下表：
求：这个班最多有多少人？
A.45
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
380
B.51
C.53
D.55
【例5】一个班级组织跑步比赛，共设100 米、200 米、400 米三个项目。班级有50
人，报名参加100 米比赛的有27 人，参加200 米比赛的有25 人，参加400 米比赛的有21
人。如果每人最多只能报名参加2 项比赛，那么该班最多有多少人未报名参赛？
A.11
B.12
C.13
D.14
【例6】某单位有72 名职工，为丰富业余生活，拟举办书法、乒乓球和围棋培训班，
要求每个职工至少参加一个班。已知三个班报名人数分别为36、20、28，则同时报名三个
班的职工数至多是：
A.6 人
B.12 人
C.16 人
D.20 人
【例7】有100 人参加运动会的三个比赛项目，每人至少参加一项，其中未参加跳远
的有50 人，未参加跳高的有60 人，未参加赛跑的有70 人。问至少有多少人参加了不止一
个项目？
A.7
B.10
C.15
D.20
【例8】某单位有80 名职工参加了义务劳动、希望工程捐款和探望敬老院三项公益活
动中的至少一项。只参加一项的人数与参加超过一项的人数相同，参加所有三项公益活动
的与只捐款的人数均为12 人，且只探望敬老院的人比只参加义务劳动的人多16 人。问探
望敬老院的人最多比参加义务劳动的人多多少人？
A.28
B.32
C.36
D.44
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
381
（八）最值问题
第一节【最不利构造】
【考点筑基】
（1）问法：至少…保证…
（2）解题思路：
第一步：根据问题求不利值＝保证值－1；
第二步：最不利情况数（不利值求和，不够的也要加进去）＋1
【母题汇总】
【母题1】一个袋子里装了50 个苹果，5 个香蕉，30 个橘子和50 个梨，若每次从袋
子里随机取出1 个水果，问至少需要取多少次能肯定拿出10 个相同种类的水果？
A.10
B.35
C.33
D.32
【母题2】某早餐店推出“10 元2 件”套餐，顾客花费10 元即可在白粥、豆浆、油条、
蛋饼、叉烧包、云吞面6 个品类中任选2 件，既可以选相同的，也可以选不同的。则至少
售出（ ）份该套餐时，一定有2 份套餐的搭配完全一致。
A.15
B.16
C.21
D.22
【母题3】某部门欲评选一名年度优秀工作者，候选人为甲、乙、丙。该部门全体职
工参与投票，每人只能投一票，得票最多的人当选。经统计，有效票为89 张，在已公布结
果的58 张票中，甲得34 票，乙得9 票，丙得15 票。甲若想确保当选，则在剩余的选票中
至少需再得：
A.16 票
B.11 票
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
382
C.9 票
D.7 票
【母题4】已知某宾馆共有30 个房间，一名清洁工拿着30 把钥匙，她只知道一把钥
匙开一把锁，但是不知道哪把钥匙开哪把锁，现在她要打扫每一间房子，需要将钥匙和房
间一一匹配，她最多要试多少次？
A.365
B.385
C.435
D.465
【母题5】七夕节，某市举办大型公益相亲会，共42 人参加。其中女生20 名，每人
至少相亲一次，共相亲61 次，则至少有一名女生至少相亲多少次？
A.6
B.4
C.5
D.3
【母题6】将2 个棱长为30 厘米的正方体木块的六面分别全涂成黑色后，都锯成棱长
为10 厘米的小正方体，问从这些小正方体中随机抽取出多少个，才能保证一定能够在取出
的小立方体中挑出8 个，拼成外表面全为黑色的、棱长为20 厘米的正方体？
A.27
B.36
C.40
D.46
【母题7】有编号为1~13 的卡片，每个编号有4 张，共52 张卡片。问至少摸出多少
张，就可保证一定有3 张卡片编号相连？
A.27 张
B.29 张
C.33 张
D.37 张
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
383
【母题8】有20 位运动员参加长跑，他们的参赛号码分别是1，2，3，……，20，至
少要从中选出多少个参赛号码，才能保证至少有两个号码的差是13 的倍数？
A.12
B.15
C.14
D.13
【母题9】254 个志愿者来自不同的单位，任意两个单位的志愿者人数之和不少于20
人，且任意两个单位志愿者的人数不同，问这些志愿者所属的单位数最多有几个?
A.17
B.15
C.14
D.12
【强化提升】
【例1】某部门举行年会抽奖活动。抽奖箱里有80 个抽奖券，共20 个不同的数字，
每个数字均出现4 次，且分别对应一份礼品，不同的数字对应的礼品不同。每人当天限抽
1 次。那么最少多少人当天参加抽奖活动，才能保证至少有3 人领取的礼品相同?
A.41
B.42
C.61
D.62
【例2】某会展中心布置会场，从花卉市场购买郁金香、月季花、牡丹花三种花卉各
20 盆，每盆均用纸箱打包好装车运送至会展中心，再由工人搬运至布展区。问至少要搬出
多少盆花卉才能保证搬出的鲜花中一定有郁金香？
A.20 盆
B.21 盆
C.40 盆
D.41 盆
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384
【例3】一个纸箱中装有43 本同样大小的教辅资料，其中物理教辅资料4 本，化学教
辅资料3 本，语数英三种教辅资料各12 本，那么一次至少拿出多少本教辅资料，才能保证
取的教辅资料中至少有7 本是同一种教辅资料？
A.7
B.26
C.28
D.29
【例4】某地区招聘卫生人才，共接到600 份不同求职者的简历。其中，临床、口腔、
公共卫生和护理专业分别有200 人、160 人、140 人和100 人，问至少有多少人被录用，才
能保证一定有140 名被录用者专业相同？
A.141
B.240
C.379
D.518
【例5】某部门工会为丰富职工文化生活、增进职工身心健康，组织开展了拔河、羽
毛球、乒乓球、台球四项比赛活动，每名职工参加一项或者两项比赛。若要保证至少有5
名职工参加的比赛项目完全相同，则该部门参加比赛的职工至少有：
A.40 名
B.41 名
C.50 名
D.51 名
【例6】有17 个完全一样的信封，其中7 个分别装了1 元钱，8 个分别装了10 元钱，
2 个是空的，问最少需要从中随机取出几个信封，才能保证支付一笔12 元的款项而无需找
零？
A.4
B.7
C.10
D.12
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385
【例7】有四种颜色的文件夹若干，每人可任取1～2 个，如果要保证有3 人取到完全
一样的文件夹，则至少应该有（ ）人去取。
A.18
B.20
C.11
D.21
【例8】箱子里有大小相同的3 种颜色玻璃珠各若干颗，每次从中摸出3 颗为一组，
问至少要摸出多少组，才能保证至少有2 组玻璃珠的颜色组合是一样的？
A.9
B.10
C.11
D.12
【例9】某高校举办一次读书会共有37 位同学报名参加，其中中文、历史、哲学专业
各有10 位同学报名参加此次读书会，另外还有4 位化学专业学生和3 位物理专业学生也报
名参加此次读书会，那么一次至少选出（ ）位学生，能保证选出的学生中至少有5 位学
生是同一专业的。
A.17
B.20
C.19
D.39
【例10】某公司举办大型年会活动，共35 人参加。其中13 名女生，每人至少表演一
个节目，导演尽可能平均分配节目，共表演了27 个节目，则至少有一名女生至少表演多少
个节目？
A.4
B.3
C.2
D.1
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386
【例11】某个社区老年协会的会员都在象棋、围棋、太极拳、交谊舞和乐器五个兴趣
班中报名了至少一项。如果要在老年协会中随机抽取会员进行调查，至少要调查多少个样
本才能保证样本中有4 名会员报的兴趣班完全相同?
A.93
B.94
C.96
D.97
【例12】某单位五个处室分别有职工5、8、18、21 和22 人，现有一项工作要从该单
位随机抽调若干人，问至少要抽调多少人，才能保证抽调的人中一定有两个处室的人数和
超过15 人？
A.34
B.35
C.36
D.37
【例13】某单位安排职工参加百分制业务知识考试，小周考了88 分，还有另外2 人
的得分比他低。若所有人的得分都是整数，没有人得满分，且任意5 人的得分不完全相同，
问参加考试的最多有多少人？
A.38
B.44
C.50
D.62
【例14】有红、黄、绿三种颜色的手套各6 双，装在一个黑色布袋里，从袋子里任意
取出手套来，为确保至少有2 双手套不同颜色，则至少要取出的手套只数是：
A.15 只
B.13 只
C.12 只
D.10 只
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387
【例15】某单位每名党员每周六都被随机安排到甲、乙、丙三个社区中的一个开展志
愿服务（同一个社区可以连续前往）。已知任意连续的3 个周六中，都能保证至少3 名党员
的志愿服务行程完全相同。问该单位至少有多少名党员？
A.55
B.52
C.24
D.21
【例16】运动队组织队员参加长跑、铅球、标枪、跳高和跳远五项运动训练，每名队
员参加其中三项，无论如何安排，都至少有6 名队员参加的训练项目完全相同，该田径运
动队至少有（ ）名队员。
A.15
B.18
C.51
D.90
【例17】某演唱会主办方为观众准备了白红橙黄绿蓝紫7 种颜色的荧光棒各若干支，
每名观众可在入口处任意选取2 支，若每种颜色的荧光棒都足够多，那么至少（ ）名观
众中，一定有两人选取的荧光棒颜色完全相同。
A.14
B.22
C.28
D.29
【例18】某市有n 个服装厂，第i 个服装厂派出xi 名员工到剧院观看行业协会组织的
节目演出（0≤xi≤39，i＝1，2，…，n），总人数X＝x1＋x2＋…＋xn＝1990。剧院的每一
横排有199 个座位，要求每一服装厂的员工必须坐在同一横排，则剧院至少要安排多少横
排座位才能保证全部员工都按要求入座？
A.10
B.11
C.12
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388
D.13
【例19】四年级一班选班长，每人投票从甲、乙、丙三位候选人中选一人，已知全班
共有52 人，并且在计票过程中的某一时刻，甲得到17 票，乙得到16 票，丙得到11 票，
如果得票最多的候选人将成为班长，甲最少再得多少张票就能够保证当选？
A.1 张
B.2 张
C.4 张
D.8 张
【例20】100 名村民选一名代表，候选人是甲、乙、丙三人，每人只能投票选举一人，
得票最多的人当选。开票中途累计前61 张选票中，甲得35 票，乙得10 票，丙得16 票。
在尚未统计的选票中，甲至少再得多少票就一定当选？
A.11
B.12
C.13
D.14
【例21】小明和姐姐用2013 年的台历做游戏，他们将12 个月每一天的日历一一揭下，
背面朝上放在一个盒子里，姐姐让小明一次性帮她抽出一张任意月份的30 号或者31 号。
问小明一次至少应抽出多少张日历，才能保证满足姐姐的要求？
A.346
B.347
C.348
D.349
【例22】如右图所示，在3 行3 列的方格表中，分别填上0、2、4 这三个数字中的任
意一个，则每行、每列以及对角线AC、BD 上的各个数之和至少有（ ）个相同。
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389
A.2
B.3
C.4
D.5
【例23】黑色布袋中装有红、黄、蓝三种颜色的袜子各3 只，如果闭上眼睛从布袋中
拿这些袜子，为保证拿到两双（每双颜色要相同）袜子，至少要拿多少只？
A.5
B.6
C.7
D.8
【例24】调研人员在一次市场调查活动中收回了435 份调查问卷，其中80%的调查问
卷上填写了被调查者的手机号码。那么调研人员至少需要从这些调查表中随机抽出多少份，
才能保证一定能找到两个手机号码后两位相同的被调查者？
A.101
B.175
C.188
D.200
【例25】有120 名职工投票从甲、乙、丙三人中选举一人为劳模，每人只能投一次，
且只能选一个人，得票最多的人当选。统计票数的过程中发现，在前81 张票中，甲得21
票，乙得25 票，丙得35 票。在余下的选票中，丙至少再得几张选票就一定能当选？
A.15
B.18
C.21
D.31
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390
第二节【数列构造】
【考点筑基】
（1）问法：排名第几的…最多/最少…
（2）解题思路：排序-定位-构造-求和
排序：根据题干由多到少依次列出：1 2 3…
定位：将所求项设为X
构造：根据问题，反向表示其他项
（3）注意事项：“各不相同”、“整数”、“不超过…”等限制要求
【母题汇总】
【母题1】部队射击比赛中，5 名参赛的战士共击中了88 次目标。已知任意2 人击中
的目标数量均互不相同。问射击成绩排前两名的战士至少击中了多少次目标？
A.39
B.40
C.58
D.60
【母题2】有100 人参加五项活动，参加人数最多的活动的人数不超过参加人数最少
活动人数的两倍，问参加人数最少的活动最少有多少人参加？
A.10
B.11
C.12
D.13
【母题3】一个快递分发点的快递员某天人均送件量为220 件，最少的送了200 件。
已知有一名快递员送了260 件，除他之外的快递员人均送件量为218 件。当天该快递分发
点的一名快递员送件量最多为：
A.542 件
B.560 件
C.582 件
D.596 件
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391
【母题4】某公司开展爱心捐款活动，50 名员工人均捐款81.5 元。已知任意2 名员工
捐款金额相差不超过10 元，问该公司捐款83 元及以上的员工最多可能有多少人？
A.40
B.42
C.44
D.46
【母题5】高校某教研室某年承接部级科研项目5 个，经费总额为500 万元，且每个
项目经费都是整数万元，已知经费最多的两个项目平均经费与经费最少的两个项目经费之
和相同，问经费排名第三的项目可能的最低经费金额为多少万元？
A.145
B.142
C.74
D.71
【母题6】某企业招聘一批新员工，有65%的应聘者通过笔试，在面试环节有20 人被
淘汰。最终录取的人数占总应聘人数的40%，企业将录取的新员工分成若干个小组进行业
务培训，每个小组的人数都不同，每组至少2 人，问至多可以分成多少组？
A.7
B.8
C.5
D.6
【母题7】某次百分制考试共有30 名考生参加，每人的成绩均为正整数，所有考生平
均成绩为80 分，且所有考生成绩均不相同。问成绩低于60 分的考生最多有多少人？
A.7
B.8
C.9
D.10
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392
【母题8】某次知识竞赛的决赛有3 人参加，规则为12 道题每题由1 人以抢答方式答
题，正确得10 分，错误扣8 分，如果最后所有人得分都是正分，且回答问题最多的人是得
分最少的人，那么前两名之间的分差最多为多少分？
A.8
B.12
C.20
D.40
【强化提升】
【例1】19 个不同的正整数从小到大排序，总和为191，则最大的数只能取：
A.18
B.19
C.20
D.21
【例2】现有100 块糖，把这些糖分给10 名小朋友，每名小朋友分得的糖数都不相同，
则分得最多的小朋友至少分得多少块糖？
A.13
B.14
C.15
D.16
【例3】植树节到来之际，120 人参加义务植树活动，共分成人数不等且每组不少于
10 人的六个小组，每人只能参加一个小组，则参加人数第二多的组最多有多少人？
A.32
B.33
C.35
D.36
【例4】为增强职工的锻炼意识，某单位举行了踢毽子比赛，比赛时长为1 分钟。参
加比赛的职工平均每人踢了76 个，已知每人至少踢了70 个，并且其中一人88 个，如果不
把该职工计算在内，那么平均每人踢了74 个。则踢得最快的职工最多踢了多少个？
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393
A.88
B.90
C.92
D.94
【例5】公司举办的内部业务知识竞赛有若干人参加，所有参赛者获得的名次之和为
300，且所有人没有并列名次。其中，销售部门、售后服务部门和技术部门参赛者获得的名
次平均数分别为11.3、10.4 和9.2，问其他部门获得的名次最高为多少？
A.16
B.18
C.20
D.21
【例6】某工厂4 个车间的工人都出生在1985 到1988 年间，如果统计任意2 个车间
的人数和，分别得到54、63、75、78、90、99 这6 个不同的结果。则人数最多的车间至少
有多少工人出生于同一年？
A.14
B.15
C.16
D.17
【例7】某单位进行了一次绩效考评打分，满分为100 分。有5 位员工的平均分为90
分，而且他们的分数各不相同，其中分数最低的员工得分为77 分，那么排第二名的员工至
少得______分。（员工分数取整数）
A.90
B.92
C.94
D.96
【例8】从某物流园区开出6 辆货车，这6 辆货车的平均装货量为62 吨，已知每辆货
车载重量各不相同且均为整数，最重的装载了71 吨，最轻的装载了54 吨。问这6 辆货车
中装货第三重的卡车至少装载了多少吨?
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394
A.59
B.60
C.61
D.62
【例9】某街道服务中心的80 名职工通过相互投票选出6 名年度优秀职工，每人都只
投一票，最终A、B、C、D、E、F 这6 人当选。已知A 票数最多，共获得20 张选票；B、
C 两人的票数相同，并列第2；D、E 两人票数也相同，并列第3；F 获得10 张选票，排在
第4。那么B、C 获得的选票最多为（ ）张。
A.11
B.12
C.13
D.14
【例10】企业今年从全国6 所知名大学招聘了500 名应届生，从其中任意2 所大学招
聘的应届生数量均不相同。其中从A 大学招聘的应届生数量最少且正好为B 大学的一半。
从B 大学招聘的应届生数量为6 所大学中最多的，则该企业今年从A 大学至少招聘了多少
名应届生？
A.48
B.47
C.46
D.45
【例11】某市场调查公司3 个调查组共40 余人，每组都有10 余人且人数各不相同，
2017 年重新调整分组时发现，若想分为4 个人数相同的小组，至少需要新招1 人；若想分
为5 个人数相同的小组，至少还需要新招2 人。问原来3 个组中人数最多的组比人数最少
的组至少多几人？
A.2
B.3
C.4
D.5
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395
【例12】为推行垃圾分类，某小区物业准备了230 盒垃圾袋免费派发给10 栋楼，要
求任意两栋楼派发的垃圾袋数量都不相同，但最多相差不超过1 倍。假设垃圾袋不拆盒发
放，那么派发垃圾袋数量最少的那栋楼最少可派发垃圾袋：
A.18 盒
B.15 盒
C.14 盒
D.12 盒
【例13】某机构计划派45 名志愿者分别前往A、B、C、D 四个地区参与扶贫活动，
其中A 地区的志愿者人数要比B 地区多4 人，C 地区人数为全部志愿者人数的1/5，D 地
区人数不超过任何其他地区，则A 地区至少有多少名志愿者？
A.12
B.13
C.15
D.16
【例14】某地10 户贫困农户共申请扶贫小额信贷25 万元。已知每人申请金额都是
1000 元的整数倍，申请金额最高的农户申请金额不超过申请金额最低农户的2 倍，且任意
2 户农户的申请金额都不相同。问申请金额最低的农户最少可能申请多少万元信贷？
A.1.5
B.1.6
C.1.7
D.1.8
【例15】某工厂有100 名工人报名参加了4 项专业技能课程中的一项或多项。已知A
课程和B 课程不能同时报名，如果按照报名参加的课程对工人进行分组，将报名参加的课
程完全一样的工人分到同一组中，则人数最多的组最少有多少人：
A.9
B.10
C.11
D.12
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396
【例16】5 名职工在办公室里的分机号码都是2 位数字，且他们分机号码最后一位的
5 个数字相加为32，最大的数比最小的大7 且各不相同。如将每个人的分机号码个位和十
位颠倒形成新的分机号，则5 个人新分机号码的5 个2 位数字之和最大为：
A.365
B.395
C.482
D.495
【例17】舞蹈队的年龄之和是2654 岁，其中年龄最大的不超过79 岁；最小的不低于
50 岁，且最多有4 个人彼此年龄相同，则这些人中至少有多少人的年龄不低于60 岁？
A.5
B.6
C.7
D.8
【例18】有30 名学生，参加一次满分为100 分的考试，每位学生的成绩均为整数，
已知该次考试的平均分是85 分，问不及格（小于60 分）的学生最多有几人？
A.9 人
B.10 人
C.11 人
D.12 人
【例19】一个20 人的班级举行百分制测验，平均分为79 分，所有人得分都是整数且
任意两人得分不同。班级前5 名的平均分正好是16 到20 名平均分的2 倍。则班级第6 名
和第15 名之间的分差最大为多少分？
A.34
B.37
C.40
D.43
【例20】老王和老赵分别参加4 门培训课的考试，两人的平均分数分别为82 和90 分，
单个人的每门成绩都为整数且彼此不相等。其中老王成绩最高的一门和老赵成绩最低的一
门课分数相同，问老赵成绩最高的一门课最多比老王成绩最低的一门课高多少分？
A.20
B.22
C.24
D.26
【例21】某机关20 人参加百分制的普法考试，及格线为60 分，20 人的平均成绩为
88 分，及格率为95%。所有人得分均为整数，且彼此得分不同。问成绩排名第十的人最低
考了多少分？
A.89
B.88
C.91
D.90
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397
第三节【多集合反向构造】
【考点筑基】
（1）问法：至少…都…（本质为多集合容斥的最值问题，即求A∩B∩C∩D 的最少问题）
（2）解题思路：反向-加和-做差
【母题汇总】
【母题1】某机构对全运会收视情况进行调查，在1000 名受访者中，观看过乒乓球比
赛的占87%，观看过跳水比赛的占75%，观看过田径比赛的占69%。这1000 名受访者中，
乒乓球、跳水和田径比赛都观看过的至少有：
A.310 人
B.440 人
C.620 人
D.690 人
【母题2】观众对五位歌手的歌曲进行投票，每张选票都可以选择五首歌曲中的一首
或多首，但只有选择不超过3 首歌曲的选票才是有效票，五首歌曲的得票数分别为总票数
的82%、73%、69%、51%和45%，那么本次投票的有效率最高可能为：
A.95%
B.90%
C.85%
D.80%
【母题3】共有100 个人参加某公司的招聘考试，考试的内容共有5 道题，1~5 题分别
有80 人、92 人、86 人、78 人和74 人答对。答对3 道和3 道以上的人员能通过考试，请问
至少有多少人能通过这次考试？
A.30
B.55
C.70
D.74
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398
【强化提升】
【例1】阅览室有100 本杂志，小赵借阅过其中75 本，小王借阅过70 本，小刘借阅
过60 本，则三人共同借阅过的杂志最少有（ ）本。
A.5
B.10
C.15
D.30
【例2】小明、小刚和小红三人一起参加一次英语考试，已知考试共有100 道题，且
小明做对了68 题，小刚做对了58 题，小红做对了78 题。问三人都做对的题目至少有几题?
（ ）
A.4 题
B.8 题
C.12 题
D.16 题
【例3】公司某部门80%的员工有本科以上学历，70%有销售经验，60%在生产一线工
作过。该部门既有本科以上学历，又有销售经历，还在生产一线工作过的员工至少占员工
的：
A.20%
B.15%
C.10%
D.5%
【例4】建华中学共有1600 名学生，其中喜欢乒乓球的有1180 人，喜欢羽毛球的有
1360 人，喜欢篮球的有1250 人，喜欢足球的有1040 人，问以上四项球类运动都喜欢的至
少有几人？
A.20 人
B.30 人
C.40 人
D.50 人
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
399
【例5】某数学竞赛共160 人决赛，决赛共四题，做对第一题的136 人，第二题的125
人，第三题的118 人，第四题的104 人，那么在决赛中至少几个人是满分？
A.3
B.4
C.5
D.6
【例6】某软件公司对旗下甲、乙、丙、丁四款手机软件进行使用情况调查，在接受
调查的1000 人中，有68%的人使用过甲软件，有87%的人使用过乙软件，有75%的人使
用过丙软件，有82%的人使用过丁软件。那么，在这1000 人中，使用过全部四款手机软件
的至少有（ ）人。
A.120
B.250
C.380
D.430
【例7】书法大赛的观众对5 幅作品进行不记名投票。每张选票都可以选择5 幅作品
中的任意一幅或多幅，但只有在选择不超过2 幅作品时才为有效票。5 幅作品的得票数
（不考虑是否有效）分别为总票数的69%、63%、44%、58%和56%。问本次投票的有效
率最高可能为多少？
A.65%
B.70%
C.75%
D.80%
【例8】某小学举行作文大赛，家长们对挑选出来的6 篇作文进行不记名投票。每张
选票可以选择6 篇作文中的任意一篇或多篇，但只有选择不超过3 篇作文的票才是有效票。
6 篇作文的得票数（不考虑是否有效）分别为总票数的67%、53%、72%、39%、51%、
48%，那么本次投票的有效率最少为（ ）。
A.21%
B.22%
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400
C.26%
D.28%
【例9】营养专家提出，鉴别奶粉优劣，主要看OPO 结构脂、乳铁蛋白、叶黄素、牛
磺酸、酪蛋白磷酸肽等几项指标，符合三项及以上指标要求的奶粉品牌可以认定为合格。
某次对一批奶粉品牌进行的抽检发现，符合上述各项指标要求的品牌数量分别占抽检总量
的82%、78%、73%、90%、57%，那么此次抽检的奶粉品牌的合格率至少是（ ）。
A.70%
B.66%
C.62%
D.58%
【例10】某单位开展“我身边的榜样”评选活动，现对3 名候选人甲、乙、丙进行不记
名投票，投票要求详见选票。这3 名候选人的得票数（不考虑是否有效）分别为总票数的
88%、70%、46%，则本次投票的有效率（有效票数与总票数的比值）最高可能为：
A.68%
B.88%
C.96%
D.98%
【例11】某班有70%的学生喜欢打羽毛球，75%的学生喜欢打乒乓球，问喜欢打乒乓
球的学生中至少有百分之几喜欢打羽毛球？
A.30%
B.45%
C.60%
D.72%
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401
第四节【其他构造】
【例1】某企业篮球队16 名队员进行投篮测试，每人投篮两次，这两次都命中的加投
一次，每命中一次得1 分，不命中不得分。若16 人的总得分为26 分，则得分大于1 分的
队员至少有：
A.5 人
B.6 人
C.7 人
D.8 人
【例2】甲、乙、丙3 人参加专业测试，考试包含10 道题，答对每题得10 分，不答
或答错不得分。已知每道题3 人中至少有2 人答对，没有人得100 分且任意2 人总分都不
相同。则最多有（ ）道题3 人都答对。
A.3
B.4
C.5
D.6
【例3】某次考试有20 道选择题和20 道判断题，每题答对得3 分，答错得0 分，不
答得1 分。考生小王成绩为82 分，且他选择题的答错数比答对数多。问他判断题至少答对
了多少道?
A.15
B.16
C.17
D.18
【例4】杂技团表演小猴骑小车，3 只小猴配3 辆小车，要求每只小猴至少骑一次车但
不能重复骑同一辆，最后3 只小猴分别骑了2，2，x 次，小车被骑了1，3，y 次，则x+y
的最大值为：
A.2
B.4
C.6
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402
D.8
【例5】某草莓经销商有201 箱的草莓要分配给若干个水果店，要求无论选用怎样的
分配方式，都要有水果店至少分到8 箱，则水果店至多有:
A.20 个
B.21 个
C.28 个
D.29 个
【例6】港口仓库有4 个不同重量的集装箱（均为整数吨），管理员将集装箱重量两两
求和，并将得到的6 个数都登记在册，后因保管不当，数据中的最大值被污渍遮盖。已知
其余5 个数据分别是23 吨、27 吨、30 吨、31 吨、34 吨，则4 个集装箱中最重的为（ ）
吨。
A.17
B.18
C.21
D.23
【例7】某集团有13 个分公司，每个分公司的员工数均不超过50 人。甲和乙两个分
公司各招聘若干人后，员工人数分别达到76 人和137 人，且集团平均每个分公司的员工数
增加了9 人，问甲分公司和乙分公司在招聘前的员工数最多相差几人？
A.4
B.3
C.2
D.1
【例8】防火指挥小组中，男性比重为63%，党员比非党员多12 人，那么该小组男性
中党员的比重最高为（ ）。
A.63%
B.87%
C.88%
D.89%
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403
【例9】参加某部门招聘考试的共有120 人，考试内容共6 道题。1 至6 道题分别有
86 人、88 人、92 人、76 人、72 人和70 人答对，如果答对3 道题或3 道题以上的人员能通
过考试，那么至少有多少人能通过考试？
A.50
B.61
C.75
D.80
【例10】一项测验共有29 道单项选择题，答对得5 分，答错减3 分，不答不得分也
不减分，答对15 题及以上另加10 分，否则另减5 分。小郑答题共得60 分，问他最少有几
道题未答？
A.1
B.2
C.3
D.4
【例11】某高校向学生颁发甲、乙两项奖学金共10 万元。已知每份甲等、乙等奖学
金的金额分别为3000 元和1000 元，每人只能最多获得一项奖学金，获得乙等奖学金的人
数在获得甲等奖学金人数的2 倍到3 倍之间。问最多可能有多少人获得奖学金？
A.62
B.64
C.66
D.68
【例12】某零件加工厂采用计件工资。已知合格品每件1 元，优良品每件2 元，瑕疵
品不得工资。当生产的优良品达到生产总数的30%时，可额外获得400 元奖励。某工人生
产了3000 个零件，共获得计件工资4000 元，请问该工人生产的零件中，合格品最多为多
少个?
A.2100
B.2000
C.1800
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404
D.1200
【例13】园林工人用一辆汽车将20 棵行道树运往一公里的地方开始种植，在1 公里
处种第一棵，以后往更远处每隔50 米种一棵，该辆汽车每次最多能运3 棵树，当园林工人
完成任务时，这辆汽车行程最短是（ ）米。
A.20800
B.20900
C.21000
D.21100
【例14】某次智力测验的形式为选择题，规定答对一题得20 分，不作答的题不扣分，
而在作答的题中，第一道答错的题扣10 分，此后每一道答错的题的扣分都比上一道答错的
题多10 分，小张在测验中拿到一份100 道试题的试卷，总共获得1270 分。问他至少有几
道题没有作答？
A.0
B.5
C.7
D.9
【例15】甲、乙、丙和丁四个依次相邻的农场分别饲养76 头、82 头、45 头和93 头
牛，位置如下图所示（虚线位置为栅栏）。现由于两处栅栏损坏，有3 个农场的牛混在一起。
问最多需要分辨多少头牛，就一定能将所有牛还回原本的农场？
A.219
B.220
C.250
D.251
【例16】某次招标规定：与每个报价数之差的平方和最小的价格为“预中标价”，最接
近“预中标价”报价的为预中标单位。6 家单位投标，报价分别是37 万元、62 万元，61 万元、
47 万元，49 万元、56 万元，其“预中标价”是多少万元？
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405
A.51
B.51.5
C.52
D.52.5
【例17】某城市9 月平均气温为28.5 度，如当月最热日和最冷日的平均气温相差不超
过10 度，则该月平均气温在30 度及以上的日子最多有多少天？
A.24
B.25
C.26
D.27
【例18】有一排长椅总共有65 个座位，其中已经有些座位上有人就坐。现在又有一
人准备找一个位置就坐，但是此人发现，无论怎么选择座位，都会与已经就坐的人相邻。
问原来至少已经有多少人就坐?
A.13
B.17
C.22
D.33
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406
（九）时间问题
第一节【年龄问题】
【考点筑基】
（1）解题思路；列表法、代入法、线段法
（2）考点：两个人的年龄差不变；过N 年每人都长N 岁。
（3）做题时根据生活常识；1.十二生肖的顺序：鼠牛虎兔龙蛇马羊猴鸡狗猪；2.两人属相
相同说明年龄差是12 的倍数。
【母题汇总】
【母题1-列表】小张和小王的年龄之和为45 岁。5 年之后，小李的年龄比小张的3 倍
少16 岁。已知小张的年龄比小王小，那么再过5 年，3 人的平均年龄最大可能为多少岁？
A.45
B.48
C.50
D.54
【母题2-代入】美术培训班有3 名学员，他们的年龄满足以下条件：他们的年龄都是
正整数；2 号学员的年龄是1 号学员年龄的一半；3 号学员比2 号学员大7 岁；3 名学员的
年龄之和是不超过70 的素数，且该素数的各位数字之和为13，那么这3 位学员的年龄分
别是多少岁？
A.12；6；13
B.20；10；17
C.24；12；19
D.30；15；22
【母题3】甲、乙二人现在的年龄之和是一个完全平方数。7 年前，他们各自的年龄都
是完全平方数。再过多少年，他们的年龄之和又是完全平方数？
A.20
B.18
C.16
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407
D.9
【母题4】今年是鸡年，公历年数为2017。小王发现，在未来十年内的某一年，他年
龄的平方数正好是那年的公历年数，则小王的属相为：
A.牛
B.虎
C.兔
D.猴
【母题5】甲乙两人年龄不等，已知当甲像乙现在这么大时，乙8 岁；当乙像甲现在
这么大时，甲29 岁。问今年甲的年龄为多少岁？
A.22 岁
B.34 岁
C.36 岁
D.43 岁
【强化提升】
【例1】王和张现在是同小区的邻居，3 年之后，王比张年龄的3 倍少2 岁，再过5 年
王比张年龄的两倍多五岁，再在此基础上过10 年王的年龄是多少岁？
A.31
B.34
C.39
D.49
【例2】2020 年老张的年龄是小王年龄的4 倍，2021 年老李的年龄是小王年龄的3 倍，
已知老张比老李大12 岁，问哪一年三人的年龄之和第一次超过140 岁？
A.2020
B.2023
C.2026
D.2029
【例3】王老师一家有5 人，父亲、母亲、妻子、女儿和他本人，今年母亲、王老师
和女儿年龄之和为135 岁，且他们三人的年龄正好构成等差数列，那么今年王老师多少岁？
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408
A.42
B.45
C.48
D.50
【例4】某业务处长和科员两人属相相同，科员在第一个本命年时处长是第三个本命
年。科员今年20 岁，当处长年龄是科员年龄的2 倍时，需要经过的时间是：
A.7 年
B.4 年
C.5 年
D.6 年
【例5】一家四口人的年龄之和为149 岁，其中外公年龄、母亲年龄以及两人的年龄
之和都是平方数，而父亲7 年前的年龄正好是孩子年龄的6 倍，问外公年龄上一次是孩子
年龄的整数倍是在几年前？
A.9
B.8
C.7
D.6
【例6】已知今年小明父母的年龄之和为76 岁，小明和他弟弟的年龄之和为18 岁。
三年后，母亲的年龄是小明的三倍，父亲的年龄是小明弟弟的四倍。问小明今年几岁？
A.11
B.12
C.13
D.14
【例7】有一个20 世纪80 年代出生的人，如果他能活到80 岁，那么有一年他的年龄
的平方数正好等于那一年的年份。此人生于：
A.1985 年
B.1984 年
C.1983 年
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409
D.1980 年
【例8】已知张先生的童年占去了他年龄的1/14，再过了他年龄的他进入成年1/7，又
过了1/6 他结婚了，婚后3 年他的儿子出生了，儿子7 岁时，他们的年龄和为某个素数的
平方，则张先生结婚时的年龄是：
A.38 岁
B.32 岁
C.28 岁
D.42 岁
【例9】某人出生于20 世纪70 年代，某年他发现从当年起连续10 年自己的年龄均与
当年年份数字之和相等（出生当年算0 岁）。问他在以下哪一年时，年龄为9 的整数倍？
A.2006 年
B.2007 年
C.2008 年
D.2009 年
【例10】2014 年父亲、母亲的年龄之和是年龄之差的23 倍，年龄之差是儿子年龄的
五分之一，5 年后母亲和儿子的年龄都是平方数。问2014 年父亲的年龄是多少？（年龄都
按整数计算）
A.36 岁
B.40 岁
C.44 岁
D.48 岁
【例11】有一位百岁老人出生于二十世纪，2015 年他的年龄各数字之和正好是他在
2012 年的年龄的各数字之和的三分之一，问该老人出生的年份各数字之和是多少（出生当
年算作0 岁）？
A.14
B.15
C.16
D.17
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410
【例12】小强的爸爸比小强的妈妈大3 岁，全家三口的年龄总和为74 岁，9 年前这家
人的年龄总和49 岁，那么小强的妈妈今年多少岁？
A.32
B.33
C.34
D.35
【例13】四人年龄为相邻的自然数列且最年长者不超过30 岁，四人年龄之乘积能被
2700 整除且不能被81 整除。则四人中最年长者多少岁？
A.30
B.29
C.28
D.27
【例14】兄弟俩今年的年龄之和是35 岁，当哥哥像弟弟现在这样大时，弟弟的年龄
恰好是哥哥年龄的一半，则哥哥今年年龄为多少岁？
A.20
B.21
C.23
D.22
【例15】甲、乙、丙三人的年龄之比为3∶4∶5。8 年之后，甲、乙的年龄之和是丙的
1.5 倍，且这一年甲、乙、丙、 丁四人的平均年龄为43 岁。问再过 15 年，甲、乙、丙、
丁中有几人将超过60 岁?
A.1
B.2
C.3
D.4
【例16】2023 年王的年龄比张的年龄的2 倍小2 岁，2025 年张的年龄是李的年龄的
1.5 倍，2030 年张和李的年龄之和与王的年龄相同。同3 人的年龄之和在哪一年第一次超
过120 岁?
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411
A.2034 年
B.2035 年
C.2036 年
D.2037 年
【例17】一家三口年龄各不相同，今年爸爸与妈妈年龄之和是孩子年龄的8 倍，而10
年后，爸爸与妈妈年龄之和为孩子年龄的5 倍。今年爸爸、妈妈的年龄在各种可能组合中
乘积最大，问今年妈妈的年龄可能是多少岁？
A.39
B.40
C.50
D.51
【例18】2020 年时，李某的年龄是自己工龄的4 倍，且正好是张某年龄的2/3。 到
2024 年时，张某的年龄正好是自己工龄的2 倍。 已知张某参加工作时李某10 岁，那么李
某参加工作时的年龄是多少岁？
A.18
B.21
C.24
D.27
【例19】某单位有2 个处室，甲处室有12 人，乙处室有20 人。现在将甲处室最年轻
的4 人调入乙处室，则乙处室的平均年龄增加了1 岁，甲处室的平均年龄增加了3 岁。问
在调动之前，两个处室的平均年龄相差多少岁？
A.8
B.12
C.14
D.15
【例20】若销售团队有5 个人，每个人把其他四个人的年龄相加，所得到的和分别为
95，102，100，99，104，则这五个人中年龄最大的人为多少岁？
A.26
B.28
C.30
D.32
【例21】刘女士今年48 岁，她说：“我有两个女儿，当妹妹长到姐姐现在的年龄时，
姐妹俩的年龄之和比我到那时的年龄还大2 岁。”问姐姐今年多少岁?
A.23
B.24
C.25
D.不确定
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412
第二节【星期日期】
【考点筑基】
（1）解题思路：列表枚举、周期问题
（2）常见考点：
①平年闰年：平年（不能被4 整除）：365 天，
365
7 = 52 … 1；闰年（能被4 整除、世纪年
能被400 整除）：366 天,
366
7 = 52 … 2；
②大月与小月：大月（31 天）：1、3、5、7、8、10、12 月小月（30 天）：4、6、9、11 月
平年2 月有28 天；闰年2 月有29 天。
③ 推算星期：
a. n 天后（掐头算尾）星期几的推导：就用n÷7，余数是几，星期数就往后推几。
b.平年+1，闰年＋2
④最小公倍数：每M 天…，每N 天…，下一次同时需要过M 与N 的最小公倍数天；（每
隔N 天=每N+1 天）
⑤月份内有若干个周几的问题：28 天+余数，分析余数；且1 号与29 号星期相同。
【母题汇总】
【母题1】小丽和小宋拟从2023 年12 月1 日（星期五）起实施健身计划。小丽的计
划是当天的日期为质数就跑步；小宋的计划是每周一、三、五跑步。按小丽和小宋的计划，
他们2023 年12 月同日跑步的天数是：
A.5
B.4
C.3
D.2
【母题2】只有在星期六，小王才会去图书馆。如果某年3 月小王一共有5 天去过图
书馆，则当年4 月1 日可能是？
A.星期二
B.星期三
C.星期五
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413
D.星期六
【母题3】某一年的元旦是星期二，这一年共有53 个星期三，则3 月27 日这一天为：
A.星期二
B.星期三
C.星期四
D.星期五
【母题4】2021 年7 月1 日是中国共产党建党100 周年的纪念日，这一天是星期四，
那么建党110 周年纪念日是：
A.星期一
B.星期二
C.星期三
D.星期四
【母题5】小张每周二、周五和周日固定参加骑行社团活动。某年9 月和10 月，小张
分别参加了13 次和14 次活动。问当年他最后一次参加活动是在哪一天?
A.12 月28 日
B.12 月29 日
C.12 月30 日
D.12 月31 日
【母题6】甲乙丙三个志愿者共同照顾李奶奶，甲每4 天去一次，乙每5 天去一次，
丙每6 天去一次。如果他们三个于5 月5 日在李奶奶家同时见面，则他们三人下次在李奶
奶家同时见面的时间是：
A.7 月4 日
B.7 月5 日
C.9 月1 日
D.9 月2 日
【母题7】甲、乙、丙三人都报名去摄影馆学习摄影技术，甲每隔4 天去一次，乙每
隔5 天去一次，丙每隔6 天去一次，三人在星期四第一次相遇，下次相遇的日期为∶
A.星期一
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414
B.星期三
C.星期四
D.星期五
【母题8】已知A 单位在3 月x 日（x≤10）举行校招会，B 单位在4 月y 日（y≥20）
举行校招会，两个单位的校招会都在星期五举行，已知x+y=32，问y 的值为：
A.24
B.25
C.26
D.27
【母题9】用6 位数字表示日期，如170226 表示的是2017 年2 月26 日。如果用这种
方法表示2019 年的日期，则全年中六个数字都不相同的日期有多少天？
A.12
B.24
C.30
D.36
【强化提升】
【例1】公司小张、小王、小李、小陈4 人在工作日轮流值班，每周五值班员要撰写
一周小结。3 月5 日周五小李值班撰写了小结，下一次小李撰写一周小结的日期是:
A.4 月9 日
B.4 月2 日
C.3 月29 日
D.3 月23 日
【例2】某年的3 月有5 个星期一和4 个星期二，则该年的国庆节是：
A.星期二
B.星期三
C.星期四
D.星期五
【例3】假设本月28 日是星期四，则本月1 号是（ ）。
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415
A.星期三
B.星期六
C.星期五
D.星期四
【例4】某市在工作日对本地机动车实行尾号限行，规则为：周一限行“1”“9”，周二限
行“2”“8”，周三限行“3”“7”，周四限行“4”“6”，周五限行“5”“0”。已知某年7 月份尾号“1”“9”
和“5”“0”的限行天数一样多，则该年的7 月1 日是（ ）。
A.周六
B.周日
C.周一
D.周二
【例5】某物业公司规定，小区大门每2 天清洁一次，消防设施每3 天检查一次，绿
化植物每5 天养护一次，如果上述3 项工作刚好都在本周四完成了，那么下一次3 项工作
刚好同一天完成是在（ ）。
A.星期一
B.星期二
C.星期六
D.星期日
【例6】甲、乙、丙三人定期到某棋馆学围棋，甲每隔3 天去一次，乙每隔4 天去一
次，丙每隔5 天去一次。若2016 年2 月10 日三人在棋馆相遇，则下次三人在棋馆相遇的
日期是：
A.2016 年4 月8 日
B.2016 年4 月11 日
C.2016 年4 月9 日
D.2016 年4 月10 日
【例7】博物馆员工小王每周二至周六上班,周一、周日休息（法定节假日照常）,某月
有31 天,小王工作了22 天,则该月4 日是（ ）。
A.周一或周三
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416
B.周二或周五
C.周一或周四
D.周四或周六
【例8】一个闰年。若地球绕太阳公转的周期为365 天8 小时，而历法规定每一年仍
是365 天，那么为了补足地球公转周期的时间差，需要每 设置一个闰年。
A.1 年
B.2 年
C.3 年
D.4 年
【例9】小王打算从6 月某日开始每天进行在线学习。每3 天学习一次语文，每4 天
学习一次数学，每5 天学习一次外语，已知小王8 月13 日学习语文，8 月14 日学习数学，
8 月15 日学习外语。问他是从6 月哪一天开始第一次学习的?
A.6 月12 日
B.6 月13 日
C.6 月14 日
D.6 月15 日
【例10】已知2021 年7 月1 日是星期四，那么2021 年12 月10 日是星期几?
A.星期二
B.星期三
C.星期四
D.星期五
【例11】甲、乙、丙三人均每隔一定时间去一次健身房锻炼。甲每隔2 天去一次，乙
每隔4 天去一次，丙每7 天去一次。4 月10 日三人相遇，下一次相遇是哪天？
A.5 月28 日
B.6 月5 日
C.7 月24 日
D.7 月25 日
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417
【例12】从A 市到B 市的航班每周一、二、三、五各发一班。某年2 月最后一天是星
期三。问当年从A 市到B 市的最后一次航班是星期几出发的?
A.星期一
B.星期二
C.星期三
D.星期五
【例13】7 月的某一天，小张制定了一个读书计划：从今天开始，在每周的周一至周
五晚上读党史系列丛书。如果小张每晚读20 页，到7 月28 日刚好能读完第一卷，如果每
天读30 页，则到7 月20 日刚好能读完第一卷。如果7 月1 日是星期三，则小张是在7 月
( )日制定的读书计划。
A.2
B.3
C.5
D.7
【例14】某工厂员工周一到周五每天工作8 小时，周六工作5 小时，周日休息。小王
某年6 月下旬到该工厂上班，某天下班后算得已到该工厂上班500 小时。如当年7 月1 日
是星期六，问小王到该工厂上班的日期是：
A.6 月21 日
B.6 月22 日
C.6 月23 日
D.6 月24 日
【例15】小张每周一到周五都要去健身房锻炼，某年小张每个季度去健身房锻炼的天
数相同，问当年的国庆节是星期几？
A.星期一
B.星期五
C.星期六
D.星期日
【例16】非闰年的一年的中间时刻应该是A 月B 日C 点，则A+B+C=（） 。
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418
A.22
B.21
C.20
D.19
【例17】1898 年4 月1 日，星期五，三只新时钟被调到相同的时间：中午12 点。第
二天中午，发现A 钟的时间完全准确，B 钟正好快了1 分钟，C 钟正好慢了1 分钟。现在
假设三个钟都没有被调，它们保持着各自的速度继续走而且没有停。那么到（），三只时钟
的时针分针会再次都指向12 点。
A.1900 年3 月20 日正午12 点
B.1900 年3 月21 日正午12 点
C.1900 年3 月22 日正午12 点
D.1900 年3 月23 日正午12 点
【例18】某个月有五个星期六，已知这五个日期之和为85，则这个月中最后一个星期
六是多少号？
A.10
B.17
C.24
D.31
【例19】办公室小李发现写字台上的台历很久没有翻了，就一次翻了7 张，这些台历
的日期数加起来恰好是77，请问这一天是几号？
A.14
B.15
C.16
D.17
【例20】某天办公桌上台历显示是一周前的日期，将台历的日期翻到当天，正好所翻
页的日期加起来是168。那么当天是几号？
A.20
B.21
C.27
D.28
【例21】有人将1/10 表示为1 月10 日，也有人将1/10 表示为10 月1 日，这样一年中
就有不少混淆不清的日期了，当然，8/15 只能表示8 月15 日，那么，一年中像这样不会搞
错的日期最多会有多少天？
A.221
B.234
C.216
D.144
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419
第三节【钟表问题】
【考点筑基】
解题思路：
（1）分针速度是时针的12 倍，分针每分钟走6°，时针每分钟走0.5°；需要追及的度
数为S，可得S=（6°－0.5°）×追及时间=5.5°×追及时间。
（2）时针和分针的夹角为90°时显示垂直，夹角为0 时显示重合，一天内，时针和分
针会垂直44 次，重合22 次。（时针与分针垂直问题中一般从整点到下一个整点会出现2 次
垂直，但九点和三点比较特殊，8:00-10:00 这两个小时只会出现3 次垂直）。
（3）钟表问题可以通过画图的形式，分别标注时针、分针不同时刻的位置，再进行分
析。
【母题汇总】
【母题1】某时刻时针与分针的夹角为60 度，问至少经过多长时间，时针和分针又一
次形成60 度夹角？
A.21.2 分钟
B.21.4 分钟
C.21.6 分钟
D.21.8 分钟
建议：
方法1：考生可以把钟表追及当成行程追及问题，已知分针每分钟走6°，时针每分钟
走0.5°。设需要追及的度数为S，可得S=（6°－0.5°）×追及时间=5.5°×追及时间。
方法2：利用公式T=𝑇0 ×
12
11。其中𝑇0为时针不动的情况下，分针追及的时间。
例如：时针和分针在7 点多少分重合（ ）？
【母题2】在时钟的表面上，12 时30 分的时针与分针的夹角是多少度？
A.165 度
B.155 度
C.150 度
D.145 度
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420
建议：
第一步：先计算整点时分针和时针夹角对应的度数；
第二步：利用追及公式：（6°－0.5°）×（整点到目标点需要经过的分钟数），计算出分
针比时针多走了多少度；
第三步：将第一步和第二步计算的夹角做差或做和（思考整点时分针和时针谁在前
面）。
【母题3】小张参加一个会议，会议下午2 点多开始时小张看表发现时针与分针呈直
角。会议开到下午5 点多结束，小张发现时针与分针完全重合。则会议开了（ ）。
A.3 小时整
B.3 小时整或3.5 小时
C.3 小时1 分到3 小时5 分之间
D.3 小时25 分到3 小时29 分之间
【母题4-时间偏差类】两只机械手表，一只每天快18 分钟，一只每天慢15 分钟。现
在将两只手表同时调整到标准时间，则它们再次同时显示标准时间要经过（ ）天。
A. 40
B. 88
C. 178
D. 240
建议：此类问题的本质是“最小公倍数”的问题。
第一步：从调整到标准时间，到再次回到标准时间，要快或慢12 小时的倍数，最短为
12 小时。
第二步：分别计算每个钟表快或者慢12 个小时所需要的时间。
第三步：取这些时间的最小公倍数。
【母题5】某收藏家有三个古董钟，时针都掉了，只剩下分针，而且都走的较快，每
小时分别快2 分钟、6 分钟及12 分钟。如果在中午将这三个钟的分针都调整指向钟面的12
点位置，（ ）小时后这3 个钟的分针会指在相同的分钟位置。
A. 24
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421
B. 26
C. 28
D. 30
建议：指针重合问题相当于行程问题中的“环形追及”，即某个指针多跑“一圈”。
第一步：利用60=（t1 −t2）×追及时间（t1和t2分别是两个钟表比正常钟表每小时快
的分钟数），计算各个钟表每追上一圈所需要的时间。
例如：两个机械手表分别每小时比正常钟表快4 分钟和7 分钟，若此时两个手表的分
针指向同一刻度，求至少经过多少分钟两个手表的分针会再次重合？
60=（7－4）×追及时间，解得为20 小时。
第二步：求解这些时间的最小公倍数即可。
【母题6】一个时钟每小时慢4 分钟，照这样计算，早上6;00 对准标准时间后，当日
晚上该时钟指向8:00 时，标准时间是多少？ （ ）
A.20:56
B.21:00
C.21:30
D.21:56
建议：此类问题的本质是比例问题。 解题关键：抓住“标准比”，按比例计算。
即
“坏表”时针走过的时间
标准钟表时针走过的时间=
“坏表每小时走的分钟数”
60
。例如某钟表每小时比正常钟表慢5 分钟，
若该钟表显示走过5 小时，则正常钟表显示走的时间为t 小时，可得：
55
60 =
5 小时
t
。
【母题7】电子计时器一天显示的时间是从00:00 到23:59，每一时刻都由四个数字组
成，问一天中显示的四个数字之和为24 的时刻一共会出现多少次？
A.24
B.12
C.1
D.0
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422
【母题8】某单位实行弹性工作制，不严格规定上下班时间，但是上班打卡时间与下
班打卡时间差应不少于9 小时。某天上午小刘到单位打卡时，从镜子里看到时钟显示如下
图。则小刘当天最早的下班打卡时间为：
A.18:05
B.18:35
C.12:05
D.17:55
建议：（1）镜子里的图像与真实的图像是左右对称的，考生可以根据对称性将点在试
卷上绘制出来，或考试时从试卷的反面看。
（2）电子表显示的时间形式为：XX∶XX，小时数的范围为0~23，数字之和最大为
10；分钟数的范围为0~59，数字之和最大为5+9=14；同时“01∶10”类的形式为中心对称，
“05∶50”为回文数。
【母题9】甲乙两地位于不同时区，小张早上10 点从甲地乘飞机到乙地，到达的时间
为当地时间早上10 点，第二天下午4 点30 分从乙地飞回甲地，到达的时间为当地时间22
点30 分。如果两次飞行时间相同。那么，当甲地时间为中午12 点时，乙地时间为：
A. 8 点30 分
B. 9 点
C. 9 点30 分
D. 10 点
建议：
（1）时区时差类的题目一般根据两个不同的时区，其时差是固定不变的列等式关系。
（2）A 区出发时间+飞行时间－B 区达到的时间=时差。
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423
【强化提升】
【例1】小王将新买的时钟调准使用，60 天后，时钟走慢了5 分钟。那么，该时钟平
均每天走慢（ ）秒。
A.5
B.10
C.15
D.20
【例2】某市民中心广场钟楼上东、西、南、北四面各有一个挂钟，则每日早8 点至
晚8 点，任意相邻两个钟的时针互相垂直的次数是：
A.2
B.3
C.4
D.5
【例3】李强家的钟走时正确，但显示时间被调错了，某天上班出发时，家里的钟显
示时间为8:04，到达办公室恰好是北京时间8:00，下班时间李强于北京时间17:00 准时离
开办公室，到家时发现家里的钟显示的时间为17:30，如果李强上、下班所用时间相同，则
他从家到办公室需要多少分钟?
A.13
B.14
C.15
D.16
【例4】小张早上起床的时候，发现挂钟电池没电已经停止了，他把挂钟换好电池，
但未来得及调整时间就匆忙出门上班了，出门前挂钟显示时间是5 点25 分。小张赶到单位
时，刚好是8 点整。中午12 点小张从单位返回家中吃饭，12 点半进门。假设小张上下班
路上花费时间相等，则小张进门时家里挂钟显示时间为：
A.9 点25 分
B.9 点55 分
C.10 点25 分
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424
D.10 点55 分
【例5】某日上午8 点多，朱博士外出考察并在中午12 点前返回办公室。已知，朱博
士出门时办公室挂钟的时针与分针成160 度角，回来时成30 度角，则在朱博士外出考察期
间，时针与分针成90 度角的次数最多有（ ）次。
A.7
B.6
C.5
D.4
【例6】阿学的爸爸上午七点多出门钓鱼时，发现家里墙上时钟的时针与分针夹角为
90°，中午十二点多回家吃饭时，发现墙上时钟的时针与分针夹角依然为90°。阿学的爸爸
外出期间，时针与分针呈180°至多有（ ）次。
A.4
B.5
C.6
D.7
【例7】小周早上 8 点多开始处理公文，此时发现时钟的时针和分针夹角不超过30 度，
处理完公文时，发现已经上午 10 点多，时钟的时针和分针正好重合。那么小周处理公文的
时长可能为以下哪个结果？
A.2 小时 5 分钟
B.2 小时15 分钟
C.2 小时25 分钟
D.2 小时35 分钟
【例8】时钟的分针顶点距离圆心5 厘米，现在时间为7:30，那么接下来时针和分针
第三次成直角的时候，分针顶点走过的长度累计为多少厘米？
A.156/11π
B.15π
C.47/3π
D.33/2π
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425
【例9】一只挂钟的秒针长30 厘米，分针长20 厘米，当秒针的顶点走过的弧长约为
9.42 米时，分针的顶点约走过的弧长为多少厘米？
A.6.98
B.10.47
C.15.70
D.23.55
【例10】一只闹钟的秒针顶点距离表盘圆心4 厘米，分针顶点距离表盘圆心3 厘米。
小王烧开一壶水的时间内，秒针顶点累计移动了40π 厘米。那么这一时间段内，分针顶点
与表盘圆心的连线扫过的扇形面积为多少平方厘米?
A.0.5π
B.0.75π
C.π
D.1.5π
【例11】张爷爷早晨5 点多外出晨练，出门时钟表上的时针和分针的夹角是110 度，
不到6 点进门时，钟表上的时针和分针的夹角还是110 度，则张爷爷外出时间是多少分钟？
A.30
B.35
C.40
D.45
【例12】小王早上看到挂钟显示8 点多，急忙赶时间上班，但是到了公司却发现时间
和自己出门看到的挂钟时间一样，才明白是自己出门前误把挂钟的时针看成分针，分针看
成时针。已知小王平时上班路程不超过1.5 小时，今天上班他花费了（ ）。
A.48 分钟
B.55 分钟
C.1 小时
D.1 小时3 分钟
【例13】有一只怪钟，每昼夜设计成10 小时，每小时100 分钟，当这只怪钟显示5
点时，实际上是中午12 点，当这只怪钟显示8 点50 分时，实际上是什么时间？
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426
A.17 点50 分
B.18 点10 分
C.20 点04 分
D.20 点24 分
【例14】3 点19 分时，时钟上的时针与分针所构成的锐角为几度？
A.14 度
B.14.5 度
C.15 度
D.15.5 度
【例15】有一个电子钟，每走8 分钟亮一次灯，每到整点响一次铃。中午12 点整，
电子钟响铃又亮灯。下一次既响铃又亮灯是几点钟？
A.1
B.2
C.3
D.4
【例16】小李开了一个多小时会议，会议开始时看了手表，会议结束时又看了手表，
发现时针与分针恰好互换了位置。问这次会议大约开了1 小时多少分？
A.51
B.47
C.45
D.43
【例17】张某下午六时多外出买菜，出门时看手表，发现表的时针和分针的夹角为
110°，七时前回家时又看手表，发现时针和分针的夹角仍是110°。那么张某外出买菜用了
多少分钟？
A.20 分钟
B.30 分钟
C.40 分钟
D.50 分钟
【例18】一个快钟每小时比标准时间快3 分钟，一个慢钟每小时比标准时间慢2 分钟。
如果将两个钟同时调到标准时间，结果在24 小时内，快钟显示11 点整时，慢钟显示9 点
半。则此时的标准时间是：
A.10 点35 分
B.10 点30 分
C.10 点15 分
D.10 点06 分
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427
（十）溶液问题
【学前筑基】
建议：
（1）区分三者：溶剂，是一种可以溶化固体，液体或气体溶质的液体（气体、或固
体）；溶质，是溶液中被溶剂溶解的物质；溶液是由至少两种物质组成的均匀、稳定的混合
物，被分散的物质（溶质）以分子或更小的质点分散于另一物质（溶剂）中。
（2）三者之间的关系：溶液=溶质+溶剂。
（3）溶液=
溶质
浓度。溶质=浓度×溶液。
【例1】将水加入某盐水后，形成溶度15%的盐水200 克，求此时盐水中的含盐量为多少
克？列式为：__________。
【例2】小明将6 克糖和24 克水加入某烧杯中，此时的糖水浓度为?
溶质为：_______；溶液为：_________；列式为：___________。
【例3】使用浓度为60%的硫酸溶液50 克和浓度为90%的硫酸溶液若干克，配制浓度为
66%的硫酸溶液100 克，需要加水的质量是：
（1）若设浓度为90%的硫酸溶液为a 克，根据溶质列等量关系为：______________。
（2）若设浓度为90%的硫酸溶液为a 克，需要加水的质量是b 克，根据溶液关系，列式为：
______________。
【考点筑基】
一.基本公式：溶度=
溶质
溶液；溶质=溶液×浓度；
二.常考题型：
（1）蒸发：溶质不变列方程：
（2）稀释：溶质不变列方程：
（3）混合：M1C1+M2C2=（M1+M2）C 或𝐶=
𝑀1𝐶1+𝑀2𝐶2
𝑀1+𝑀2 。（部分比例不变，混合溶度不变）
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428
（4）十字交叉：（本质就是解M1C1+M2C2=（M1+M2）C 的过程）
注：交叉做差一般用大数减小数，上述过程默认C1＞C＞C
（5）反复操作：正反比解题
①溶液不变：倒出比例为a 的溶液，再加入相同的溶剂，则浓度变为原来的（1－a）
②溶质不变，溶液与浓度为反比。溶液中加入比例为a 的溶剂，再倒出相同的溶液，则浓度
变为原来的
1
1+𝑎
【母题汇总】
【母题1-稀释】甲烧杯装有浓度为6%的酒精200 克，乙烧杯装有浓度为10.5%的酒精
100 克。现向两个烧杯各加入x 克水后，两个烧杯中酒精浓度相同。问x 的值为：
A.350
B.400
C.550
D.600
【母题2-蒸发】将40 千克浓度16%的溶液蒸发一部分水，化为20%的溶液。应蒸发
掉水多少千克？
A. 8 千克
B. 9 千克
C. 10 千克
D. 11 千克
【母题3-混合】甲容器有浓度为3%的盐水190 克，乙容器中有浓度为9%的盐水若干
克，从乙容器中取出210 克盐水倒入甲容器中，则甲容器中盐水的浓度是多少？
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429
A.5.45%
B.6.15%
C.7.35%
D.5.95%
【母题4-多部分】瓶子原有浓度为15%的酒精溶液1000 克，分别加入A、B 两种酒精
溶液100 克和400 克后（假设溶液不会溢出），测得瓶子里的酒精浓度为14%，若A 种酒
精溶液的浓度是B 的2 倍，则A 种酒精溶液的浓度为：
A.20%
B.24%
C.30%
D.36%
【母题5-按比配】A、B 两个容器装有质量相同的酒精溶液，若从A、B 中各取一半溶
液，混合后浓度为45%，若从A 中取1/2、B 中取溶液1/4，混合后浓度为40%。若从A 中
取1/5、B 中取4/5 溶液，则混合后溶液的浓度是：
A.48%
B.50%
C.54%
D.60%
【母题6-混合思维】有A、B 两瓶混合液，A 瓶中水、油、醋的比例为3∶8∶5，B 瓶中
水、油、醋的比例为1∶2∶3，将A、B 两瓶混合液倒在一起后，得到的混合液中水、油、醋
的比例可能为：
A. 4∶5∶2
B. 2∶3∶5
C. 3∶7∶7
D. 1∶3∶1
【母题7-多次混合】有一瓶浓度为15%的盐水500 克，每次加入34 克浓度为60%的
盐水，则至少加多少次该盐水，使这瓶盐水的浓度超过30%。
A.6
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430
B.7
C.8
D.9
【母题8-等量置换】有两只相同的大桶和一只空杯子，甲桶装牛奶，乙桶装糖水，先
从甲桶内取出一杯牛奶倒入乙桶，再从乙桶取出一杯糖水和牛奶的混合液倒入甲桶，请问
此时甲桶内的糖水多还是乙桶内的牛奶多？
A. 无法判定
B. 甲桶糖水多
C. 乙桶牛奶多
D. 一样多
建议：此类问题的结果是相等的：
（1）从甲取出1 个单位的甲溶液加入乙中，此时：甲中乙的量=0，乙中甲的量=1；
（2）从此时乙中取1 个单位的混合液，倒入甲中，假设其中有x 是乙，则1－x 是
甲，此时：甲中的乙=x，乙中的甲=1－（1－x）=x，两者相等。
【母题9-极值问题】有甲乙丙三种盐水，浓度分别为5%、8%、9%，质量分别为60
克、60 克、47 克，若用这三种盐水配置浓度为7%的盐水100 克，则甲种盐水最多可用：
A.49 克
B.39 克
C.35 克
D.50 克
【母题10-赋值】一种溶液，蒸发掉一定量的水后，溶液的浓度为10%；再蒸发掉同
样多的水后，溶液的浓度变为12%；第三次蒸发掉同样多的水后，溶液的浓度将变为多少？
A.14%
B.17%
C.16%
D.15%
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431
【母题11-溶液不变】从一瓶浓度为52%的酒精溶液中倒出
1
3，加满纯净水，再倒出
1
3，
又加满纯净水，此时酒精溶液的浓度是多少？
A.5.8%
B.23.1%
C.17.3%
D.31.5%
【母题12-溶质不变】某化学实验室有A、B、C 三个试管分别盛有10 克、20 克、30
克水，将某种盐溶液10 克倒入试管A 中，充分混合均匀后，取出10 克溶液倒入B 试管，
充分混合均匀后，取出10 克溶液倒入C 试管，充分混合均匀后，这时C 试管中溶液浓度
为1%，则倒入A 试管中的盐溶液浓度是：
A. 40%
B. 36%
C. 30%
D. 24%
【母题13-饱和】在某状态下，将28g 某种溶质放入99g 水中恰好配成饱和溶液，从中
取出
1
4溶液加入4g 溶质和11g 水，请问此时浓度变为多少？
A. 21.61%
B. 22.05%
C. 23.53%
D. 24.15%
【强化提升】
【例1】有两个容器A 和B，容器中原有不等量的水，分别放入葡萄糖后，容器A 葡
萄糖液体质量270 克，浓度10%，容器B 葡萄糖液体质量150 克，浓度12%。若往两个容
器分别倒入等量的水，使葡萄糖浓度相同，那么需要多少克水？
A.30
B.50
C.79
D.90
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432
【例2】一杯含盐15%的盐水200 克，要使盐水含盐20%，应加盐多少克？
A.12.5
B.10
C.5.5
D.5
【例3】一容器内有浓度为30%的糖水，若再加入30 千克水与6 千克糖。则糖水的浓
度变为25%。问原来糖水中含糖多少千克？
A.15 千克
B.18 千克
C.21 千克
D.24 千克
【例4】在一杯清水中放入10 克盐，然后再加入浓度为5％的盐水200 克，这时配成
了浓度为2.5％的盐水，问原来杯中有清水多少克?
A.460 克
B.490 克
C.570 克
D.590 克
【例5】将40 千克浓度16%的溶液蒸发一部分水，化为20%的溶液。应蒸发掉水多少
千克？
A.8 千克
B.9 千克
C.10 千克
D.11 千克
【例6】四个烧杯甲、乙、丙、丁的容量比为3∶4∶8∶10。用甲烧杯装满与水比重相同的
A 溶液倒入丙烧杯后，用水兑满，然后将混合的溶液倒入乙烧杯至满后，将剩下的部分倒
入丁烧杯并用水将丁烧杯注满，问此时乙烧杯中A 溶液的浓度是丁烧杯中的多少倍？
A.2
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433
B.2.5
C.4
D.6
【例7】一份溶液，加入一定量的水后，浓度降到3%，再加入同样多的水后，浓度降
为2%，该溶液未加水时浓度是：
A.6%
B.4%
C.5%
D.4.5%
【例8】某种溶液的浓度为20%，加入水后溶液的浓度变为15%，如果再加入同样多
的水，则溶液浓度变为：
A.13%
B.12.5%
C.12%
D.10%
【例9】已知盐水若干千克，第一次加入一定量的水后，盐水浓度变为6%，第二次加
入同样多的水后，盐水浓度变为4%，第三次再加入同样多的水后盐水浓度是多少？
A.3%
B.2.5%
C.2%
D.1.8%
【例10】甲烧杯中装有浓度为30％的盐水溶液200g，乙烧杯中装有浓度为55％的盐
水溶液300g。现在从两个烧杯中取出相同总量的溶液，分别倒入到对方烧杯中，混合均匀，
使甲、乙两个烧杯中溶液浓度相同。则现在甲乙两杯的溶液浓度为：
A.45%
B.49%
C.50%
D.54%
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434
【例11】已知内径直径为10cm，内高为20cm 的圆柱形水桶装满浓度为20%的盐水溶
液，使其倾斜45 度，到处部分溶液后放平，再加满清水，此时水桶内盐水溶液的浓度是：
A.5%
B.10%
C.15%
D.18%
【例12】一杯浓度为50%的糖水，加入一定量的水后浓度变为40%，再加入与上一次
等量的水后，糖水变为60 克，问糖水中的糖有多少克？
A.18
B.20
C.24
D.30
【例13】有甲、乙两个瓶子，甲瓶里装了200 毫升清水，乙瓶里装了200 毫升纯酒精。
第一次把20 毫升纯酒精由乙瓶倒入甲瓶，第二次把甲瓶中20 毫升溶液倒回乙瓶，此时甲
瓶里含有纯酒精的量 乙瓶里含水的量。
A.大于
B.小于
C.等于
D.不能确定
【例14】已知一内直径为50cm，内高100cm 的圆柱形木桶，灌满了浓度为20%的盐
水溶液，使其倾斜45 度倒出部分溶液后放平，再加满清水，问此时木桶内盐水溶液的浓度
是多少？
A.10%
B.12.5%
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435
C.13.3%
D.15%
【例15】浓度分别为68%、72%、78%的三种酒精溶液的总质量为240 克。若将它们
全部混合，则可得浓度为74%的酒精溶液；若只将浓度为72%和78%的酒精溶液混合，则
得浓度为76%的酒精溶液。这三种酒精溶液中，浓度为72%的酒精溶液质量为：
A.30 克
B.40 克
C.48 克
D.60 克
【例16】甲瓶中有50 克浓度为80%的溶液，加水50 克混合后倒出40 克至空瓶乙中；
再往甲瓶中加水40 克，混合后又倒出40 克至乙瓶中。最终乙瓶中溶液的浓度是：
A.38%
B.32%
C.26%
D.20%
【例17】现有浓度为 70%的盐水100 克。从中倒出40 克，再加入 40 克浓度为20%的
盐水，如此操作共 5 次后，问盐水的浓度在以下哪个范围内？
A.低于23%
B.23%—25%
C.25%—27%
D.高于27%
【例18】实验室有A、B、C 三个实验试管，分别装有10 克、15 克、20 克的水，小
明把含有一定浓度的10 克药水倒进A 试管中，混合后取出10 克倒入B 试管中，再次混合
后，从B 试管中取出10 克倒入C 试管中，最后用化学仪器检测出C 试管中药水浓度为2%。
试计算刚开始倒入A 试管中药水的浓度是多少?
A.10%
B.20%
C.30%
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436
D.40%
【例19】有一瓶浓度为15%的盐水500 克，每次加入34 克浓度为60%的盐水，则至
少加 次该盐水，使这瓶盐水的浓度超过30%。
A.6
B.7
C.8
D.9
【例20】一碗芝麻粉，第一次吃了半碗，然后用水加满搅匀；第二次喝了1/3 碗，用
水加满搅匀；第三次喝了1/6 碗，用水加满搅匀；最后一次全吃完。则最后一次吃下的芝
麻糊中芝麻粉含量是 。
A.1/6
B.5/6
C.1/18
D.5/18
【例21】现有一种浓度为15%的盐水30 千克，如果用50 千克浓度更高的盐水和它混
合，混合后的盐水浓度将大于20%，而小于35%。据此可知，后加入的盐水的浓度（假设
浓度为x）范围是：
A.23%＜x＜47%
B.15%＜x＜35%
C.15%＜x＜23%
D.23%＜x＜50%
【例22】有甲、乙两种不同浓度的盐水，取3 克甲盐水和1 克乙盐水混合可以得到浓
度为x%的盐水；用1 克甲盐水和3 克乙盐水混合可以得到丙盐水。问用多少克甲盐水和1
克丙盐水混合可以得到浓度为x%的盐水？
A.2
B.4
C.6
D.8
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
437
【例23】从装满100 克浓度为80%的盐水中倒出40 克盐水，再倒入清水将杯倒满，
这样反复三次后，杯中盐水的浓度是多少？
A.5.12%
B.12.8%
C.17.28%
D.28.8%
【例24】现分多次用等量清水去冲洗一件衣服，每次均可冲洗掉上次所残留污垢的
3/4，则至少需要冲洗几次才可使得最终残留的污垢不超过初始时污垢的1%？
A.3 次
B.4 次
C.5 次
D.6 次
【例25】甲杯中有浓度为17%的溶液400 克，乙杯中有浓度为23%的同种溶液600 克，
现在从甲、乙杯中取出相同质量的溶液，把甲杯取出的倒入乙杯中，把乙杯取出的倒入甲
杯中，使甲、乙两杯溶液的浓度相同，问现在两杯溶液浓度是多少？
A.20%
B.20.6%
C.21.2%
D.21.4%
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438
（十一）数列问题
【考点筑基】
1.等差数列求和公式：
＝平均数×项数＝中位数×项数=na1+𝑛(𝑛−1)
2
𝑑
2.等差数列通项公式：
例如：
1, 4, 7, 11, 14….
数列的第一项为首项，记为𝑎1；
数列的第n 项记为𝑎𝑛；
相邻两项之间的差值为公差，记为d；
前n 项的数列的和记为𝑆𝑛。
3. 等差数列对称公式：若m+n=i+j，则
；例如：𝑎3 + 𝑎7 = 𝑎2 + 𝑎8
4. 等比数列求和公式：
（q≠1）
等比数列通项公式：
=am×qn-m
5. 斐波那契数列，又称黄金分割数列，其数值为：1、1、2、3、5、8、13、21、34……在
数学上，递推规律为𝑎𝑛= 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛−2。
【母题+强化】
【例1】工厂从某周第一天开始生产某种零件，每周生产7 天，从第二天开始每一天
都比前一天多生产200 件，已知工厂第三周的产量是第一周的2 倍，问第几天其日产量第
一次达到1 万件？
A.37
B.38
C.39
D.40
(
)
1
2
n
n
a
a
n
S
+
=
(
)
1
1
na
a
n
d
=
+
−
j
i
n
m
a
a
a
a
+
=
+
(
)
q
q
a
S
n
n
−
=
1
-
1
1
1
1
−
=
n
n
q
a
a
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439
【例2-中位数】某成衣厂对9 名缝纫工进行技术评比，9 名工人的得分正好成等差数
列，9 人的平均得分是86 分，前5 名工人的得分之和是460 分，那么前7 名工人的得分之
和为
A.602
B.623
C.627
D.632
【例3-级差公式】电梯在竖直的矿井内匀速下降。王工程师对电梯开始下降后每分钟
的海拔高度数值进行记录（将开始下降后第n 分钟的读数记为，海拔高度在0 以下时记为
负数），发现，𝑎5 + 𝑎6＞𝑎7 −𝑎8，𝑎5 + 𝑎7＜𝑎8 −𝑎10问电梯是在开始下降后的哪个时间段
内降到海拔高度0 以下的？
A. 第6 分钟之前
B. 第6 到第7 分钟
C. 第7 到第8 分钟
D. 第8 分钟之后
【例4-书页问题】小李家住在一个小胡同里，各家门牌号从1 开始按顺序排列。已知
胡同里各家门牌号之和减去小李家门牌号等于85，则小李家门牌号是：
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
建议：此类问题多是“门牌号”、“书页问题”，对于“缺数求和”型的等差数列问题，考
生将缺失的项设为x，共n 项。
第一步，假设不缺失该项，列出求和公式；
第二步，利用求和公式－x=缺失后的和，列出等量关系；
第三步，结合选项代入验证，项数n 为多少时满足上述公式。
【例5-奇数项】一个等差数列共有2n-1 项，所有奇数项的和为36，所有偶数项的和
为30，那么n 的值为：
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440
A. 5
B. 6
C. 10
D. 11
【例6-等比】一个公比为2 的等比数列，第n 项与前n-1 项和的差等于5，则此数列前
4 项之和：
A. 70
B. 85
C. 80
D. 75
【例7-斐波那契数列】一对成熟的兔子每月繁殖一对小兔子，而每对小兔子一个月后
就变成一对成熟的兔子，那么从一对刚出生的兔子开始，一年后可变成（ ）对兔子。
A. 55
B. 89
C. 144
D. 233
【例8-枚举】在数列𝑎𝑛（n＝1，2，……）中，𝑎1 = 1959，𝑎2 = 1995，且从第三项
起，每项是它前二项平均的整数部分，则lim
𝑛→∞𝑎𝑛=（ ）
A. 1980
B. 1981
C. 1983
D. 1982
【例9】把2022 到1 的所有整数按下图所示规律依次排列，2022 排在第一行，第二行
开始，每一行比前一行多两个数，则第30 行中间的数是：
A.1092
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441
B.1152
C.1210
D.1320
【例10】已知4 人的年龄总和为142 岁，且他们的年龄恰好构成等差数列，若其中一
人的年龄为47 岁，则这4 人中年龄最大的为：
A.62 岁
B.70 岁
C.80 岁
D.91 岁
【例11】若干职员参加某次强国知识竞赛，每个人的得分均不相同且为整数，分数排
名相邻的2 人分差均为5 分。已知有3 人成绩低于70 分，且超过70 分的职员平均分为82
分。问所有职员中竞赛成绩超过70 分的人数占比在下列哪个范围内？
A.低于50%
B.50%-60%之间
C.60%-70%之间
D.高于70%
【例12】因自然灾害产生泄漏，某河流出现A 物质污染。根据环保部门要求，自然水
源中A 物质的浓度不得高于x。经应急处置后，水中的A 物质浓度每24 小时下降一半。自
应急处置时开始，环保部门每24 小时对河流水质进行1 次检测，在216 小时后首次检测到
河流中A 物质浓度达标。问应急处置前A 物质可能的最高浓度在以下哪个范围内？
A.不到300x
B.300x~600x
C.600x~1200x
D.超过1200x
【例13】有一组算式1+1、2+3、3+5、4+7、1+9、2+11、3+13、4+15、1+17、2+19、
3+21、4+23、1+25、2+27……和为 2021 的是第几个算式？
A.507
B.1010
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442
C.1012
D.1014
【例14】甲、乙两条生产线同一天开始生产某种产品，甲每天比前一天多生产m 件，
乙每天比前一天少生产2m 件，第5 天两条生产线的当日产量相同，且前5 天乙的累计产
量是甲的2 倍。问第一天乙的产量是甲的多少倍?
A.7
B.6
C.5
D.4
【例15】某人甲状腺机能减退，为维持血液中甲状腺素的浓度，医生为他开了处方，
每8 小时服用60 毫克甲状腺素片。若他的肾脏8 小时后能够过滤掉60%的药量，问10 天
后此人体内含药量的范围？
A.60-100 毫克
B.40-100 毫克
C.40-80 毫克
D.50-130 毫克
【例16】某书的页码是从1 开始的连续自然数1,2,3,4,5……莎莎将该书全部页码相加
时，不小心将其中某页码多加了一次，结果加为2003，则该多加的页码为（ ）。
A.45
B.50
C.56
D.62
【例17】工厂从某周第一天开始生产某种零件，每周生产7 天，从第二天开始每一天
都比前一天多生产200 件，已知工厂第三周的产量是第一周的2 倍，问第几天其日产量第
一次达到1 万件？
A.37
B.38
C.39
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443
D.40
【例18】商场6 月6 日开始销售某种电器，从6 月7 日起，每天这种电器的销量都比
前一天多1 台。已知6 月16 日卖了22 台这种电器，问其6 月共卖了多少台这种电器？
A.555
B.600
C.645
D.690
【例19】某市举行庆典活动，将依次升空105 架无人机，升空方式如下：每架无人机
间距均相等，第一次升空n 架，第二次升空n-1 架，以此类推，最终在夜空中组成一个近
似等边三角形背景的灯光秀，那么第10 次升空的无人机数量是：
A.3 架
B.5 架
C.8 架
D.10 架
【例20】某市对下辖9 个文艺表演团体去年新创节目的数量进行统计分析，发现9 个
团体新创节目的数量恰好成等差数列，其中前5 个团体的新创节目总数是60，前7 个团体
的新创节目总数是70。那么这9 个文艺表演团体去年新创节目的总数是：
A.72
B.76
C.78
D.80
【例21】如图，仓库有一堆管材，每一层的数量都比上一层多1 根。搬运工人将管材
逐根搬离。搬了99 根后发现，管材堆少了3 层，且剩余每层的管材数量都减少了3 根。如
果这堆管材刚好还剩10 层，则剩下的管材共有（ ）根。
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444
A.245
B.265
C.305
D.325
【例22】小王从图书馆借了一本书，书共204 页，阅读时，他发现书的前半部分有连
续的4 个页码被墨水污染，将其余200 个页码加总，其和刚好可以被85 整除，则被污染的
4 个页码中最小的数是：
A.100
B.95
C.75
D.41
【例23】某水果种植特色镇创办水果加工厂，从去年年初开始通过电商平台销售桃汁、
橙汁两种产品。从去年2 月开始，每个月桃汁的销量都比上个月多5000 盒，橙汁的销量都
比上个月多2000 盒。已知去年第一季度桃汁的总销量比橙汁少4.5 万盒，则去年桃汁的销
量比橙汁：
A.多不到5 万盒
B.少不到5 万盒
C.多5 万盒以上
D.少5 万盒以上
【例24】某企业在“十二五”期间第一年的营业额比上一年增长了1.5 亿元，且往后每
年的营业额增量都保持1.5 亿元不变。已知该企业在“十四五”期间的营业额将是“十二五”和
“十三五”期间营业额之和的80%。问该企业在“十二五”到“十四五”期间的总营业额在以下
哪个范围内？
A.不到300 亿元
B.300—330 亿元
C.330—360 亿元
D.超过360 亿元
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445
【例25】某公司2017 年每个月的销售额都比上个月高x 万元。其9 月的销售额是1
月的2 倍，11 月的销售额为900 万元。问该公司2017 年全年的销售额是多少万元?
A.7200
B.7650
C.8100
D.8550
【例26】某种产品每箱48 个。小李制作这种产品，第1 天制作了1 个，以后每天都
比前一天多制作1 个，X 天后总共制作了整数箱产品。问X 的最小值在以下哪个范围内？
A.不到20
B.在20—40 之间
C.在41—60 之间
D.超过60
【例27】工作室接到某种手工艺品的生产任务，从某周一开始生产，每周工作6 天，
任务中每工作一天都比上一个工作日多生产6 件。已知第4 周和第5 周生产的件数之和与
前三周相同，问第8 周能生产多少件手工艺品？
A.超过3500 件
B.3001—3500 件之间
C.2500－3000 件之间
D.不到2500 件
【例28】某大型社区提供巴士换乘地铁服务，规定车满载后直达地铁站，中间站不再
停留上客。如果巴士共有座位48 个，第一站上来1 人，第二站2 人，第三站3 人，按照这
个规律，第（ ）站司机将不再停车。
A.8
B.9
C.10
D.11
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
446
【例29】小明买了7 本书共花去100 元，后发现有一本书质量有问题，故补了若干元
换了另外一本书，回来后发现，退换后7 本书的价格成等差数列且均为整数元，而最贵的
书价格为26 元，问最便宜的书多少钱？
A.2 元
B.6 元
C.8 元
D.14 元
【例30】论文集中收录了一篇十多页的论文，其所在各页的所有页码之和为1023，问
这篇论文之后的一篇论文是从第几页开始的？
A.94
B.99
C.102
D.109
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447
（十二）牛吃草问题
【考点筑基】
（1）核心公式：ｙ＝（Ｎ－ｘ）×Ｔ
１．“ｙ”代表原有存量（比如“原有草量”）；
２．“Ｎ”代表促使原有存量减少的变量（比如“牛数”）；
３．“ｘ”代表存量的自然增长速度（比如“草长速度”）；
４．“Ｔ”代表存量完全消失所耗用时间。
根据不同方案的原有存量不变，列出ｙ＝（Ｎ1－ｘ）×Ｔ1=（Ｎ2－ｘ）×Ｔ2=（Ｎ3－
ｘ）×𝑇3，解方程组即可。
（2）本质为“边消耗边补充”，牛吃草常见模型有：柜台收银、窗口买票、核酸检测等
排队问题，砂石植被开采种植等。
【母题汇总】
【母题1】一条船因触礁船体破了一个洞，海水均匀地进入船内。发现船漏时，船已
经进了一些水。如果13 个人舀水，3 小时可以舀完；如果6 人舀水，10 小时可以舀完。如
果在2 小时内舀完水，最少需要多少人？
A.15
B.16
C.17
D.18
【母2】某河道由于淤泥堆积影响到船只航行安全，现由工程队使用挖沙机进行清淤
工作，清淤时上游河水又会带来新的泥沙。若使用1 台挖沙机300 天可完成清淤工作，使
用2 台挖沙机100 天可完成清淤工作。为了尽快让河道恢复使用，上级部门要求工程队25
天内完成河道的全部清淤工作，那么工程队至少要有多少台挖沙机同时工作？
A.4
B.5
C.6
D.7
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448
【母题3-效率同向】由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少。经计算，
牧场上的草可供20 头牛吃5 天，或供16 头牛吃6 天。那么可供11 头牛吃（ ）天。
A.12
B.10
C.8
D.6
【母题4】由于连日暴雨，某水库水位急剧上升，逼近警戒水位。假设每天降雨量一
致，若打开2 个水闸放水，则3 天后正好到达警戒水位；若打开3 个水闸放水，则4 天后
正好到达警戒水位。气象台预报，大雨还将持续七天，流入水库的水量将比之前多20%。
若不考虑水的蒸发、渗透和流失，则至少打开几个水闸，才能保证接下来的七天都不会到
达警戒水位？
A.5
B.6
C.7
D.8
【强化提升】
【例1】某高校音乐学院主题演唱会开始前已有360 名游客在排队等待。假设开门后
每分钟来的观众人数是一样的，一个入口每分钟可以进12 名观众。如果同时开放3 个入口，
需要30 分钟才没有人排队。现要使得开门10 分钟后就没有人排队，至少需要同时开放
（ ）个入口。
A.4
B.5
C.6
D.7
【例2】某牧场的草每天都会缓慢生长。若放牧20 头牛，则20 天把牧场的草吃完；
若放牧30 只羊，则30 天会把草吃完。已知1 头牛每天的食草量与2 只羊相当，如果同时
放牧10 头牛和10 只羊，则（ ）天后牛羊就会把牧场的草吃完。
A.10
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
449
B.20
C.30
D.40
【例3】某农产品基地对外供应一批农副产品。假设这批农副产品每天都有定量的自
然损耗，如果提货方每天运走1.5 吨农副产品，则50 天运完；如果提货方每天运走2 吨农
副产品，则40 天运完。那么这批农副产品有:
A.75 吨
B.80 吨
C.100 吨
D.110 吨
【例4】某零件生产车间每天产量固定且目前有一定库存，车间用货车将库存零件运
往买方仓库。如每天运24 车，5 天刚好运完；如每天运18 车，8 天刚好运完。现每天运x
车，4 天后车间生产效率提高了50%，又用了7 天运完存货。问x 可能的最小值为:
A.18
B.19
C.20
D.21
【例5】某高速公路上发生一起车祸，交警前往处置并疏导交通。当前拥堵路段已积
压车辆约300 辆，因时值节假日高峰时段预计在30 分钟内还将汇入约200 辆，30 分钟后每
分钟汇入该路段约3 辆。已知在交警疏导下每分钟能通行10 辆，则大约( )分钟后道路基本
疏通。
A.40
B.50
C.60
D.70
【例6】某疫苗接种点市民正在有序排队等候接种。假设之后每小时新增前来接种疫
苗的市民人数相同，且每个接种台的效率相同，经测算：若开8 个接种台，6 小时后不再
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
450
有人排队；若开12 个接种台，3 小时后不再有人排队。如果每小时新增的市民人数比假设
的多25%，那么为保证2 小时后不再有人排队，需开接种台的数量至少为：
A.14 个
B.15 个
C.16 个
D.17 个
【例7】某政务服务大厅开始办理业务前，已经有部分人在排队等候领取证书，且每
分钟新增的人数一样多。从开始办理业务到排队等候的人全部领到证书，若同时开5 个发
证窗口就需要1 个小时，若同时开6 个发证窗口就需要40 分钟。按照每个窗口给每个人发
证需要1 分钟计算，如果想要在20 分钟内将排队等候的人的证书全部发完，则需同时开
（ ）个发证窗口。
A.7
B.8
C.9
D.10
【例8】火车站售票窗口一开始有若干乘客排队购票，且之后每分钟增加排队购票的
乘客人数相同。从开始办理购票手续到没有乘客排队，若开放3 个窗口，需耗时90 分钟，
若开放5 个窗口，则需耗时45 分钟。问如果开放6 个窗口，需耗时多少分钟?
A.36
B.38
C.40
D.42
【例9】某剧场8:30 开始检票，但很早就有人排队等候，从第一名观众来到时起，每
分钟来的观众一样多，如果开三个检票口，则8:39 就不再有人排队，如果开五个检票口，
则8:35 就没有人排队，那么第一名观众到达的时间是：
A.7:30
B.7:45
C.8:00
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
451
D.8:15
【例10】某轮船发生漏水事故，漏洞处不断地匀速进水。船员发现险情后，立即开启
抽水机向外抽水。已知每台抽水机每分钟抽水20 立方米，若同时使用2 台抽水机15 分钟
能把水抽完，若同时使用3 台抽水机9 分钟能把水抽完。当抽水机开始向外抽水时，该轮
船已进水（ ）立方米。
A.360
B.450
C.540
D.600
【例11】假设一片牧场的青草一直都是“匀速”自然生长的，该牧场3 月初放养有1000
只羊，30 天后青草的总量变为3 月初的90%，此时牧场又一次性增加了300 只羊。12 天后
青草的总量变为3 月初的80%，如果要让青草在接下来4 个月内（每月按30 天计算）回到
3 月初的总量，则这4 个月间该牧场至多放牧（ ）只羊。
A.800
B.750
C.700
D.600
【例12】某河段中的沉积河沙可供80 人连续开采6 个月或60 人连续开采10 个月。
如果要保证该河段河沙不被开采枯竭，问最多可供多少人进行连续不间断的开采？（假定
该河段河沙沉积的速度相对稳定）
A.25
B.30
C.35
D.40
【例13】有一个水池，池底不断有泉水涌出，且每小时涌出的水量相同。现要把水池
里的水抽干，若用5 台抽水机40 小时可以抽完，若用10 台抽水机15 小时可以抽完。现在
用14 台抽水机，多少小时可以把水抽完？
A.10 小时
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
452
B.9 小时
C.8 小时
D.7 小时
【例14】某演唱会检票前若干分钟就有观众开始排队等候入场，而每分钟来的观众人
数一样多。从开始检票到等候队伍消失，若同时开4 个入场口需50 分钟，若同时开6 个入
场口则需30 分钟。问如果同时开7 个入场口需几分钟？
A.18
B.20
C.22
D.25
【例15】某篮球比赛14：00 开始，13：30 允许观众入场，但早有人来排队等候入场。
假设从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多，如果开3 个入场口，13：45 时
就不再有人排队；如果开4 个入场口，13：40 就没有人排队，那么第一个观众到达的时间
是：
A.13：00
B.13：05
C.13：10
D.13：15
【例16】有甲乙两个水池，其中甲水池中一直有水注入，如果分别安排8 台抽水机去
抽空甲和乙水池，则分别需要16 小时和4 小时，如给甲水池加5 台，则可以提前10 小时
抽空。若共安排20 台抽水机，则为了保证两个水池能同时抽空，在甲水池工作的抽水机应
该比乙水池多多少台？
A.4
B.6
C.8
D.10
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
453
【例17】某水库共有10 个泄洪闸，当10 个泄洪闸全部打开时，8 小时可将水位由警
戒水位降至安全水位；只打开6 个泄洪闸时，这个过程为24 个小时。如水库每小时的入库
量稳定，问如果打开8 个泄洪闸时，需要多少小时可将水位降至安全水位？
A.10
B.12
C.14
D.16
【例18】在春运高峰时，某客运中心售票大厅站满等待买票的旅客，为保证售票大厅
的旅客安全，大厅入口处旅客排队以等速度进入大厅按次序等待买票，买好票的旅客及时
离开大厅。按照这种安排，如果开10 个售票窗口，5 小时可使大厅内所有旅客买到票；如
果开12 个售票窗口，3 小时可使大厅内所有旅客买到票，假设每个窗口售票速度相同。由
于售票大厅入口处旅客速度增加到原速度的1.5 倍，为了在2 小时内使大厅中所有旅客买
到票，按这样的安排至少应开售票窗口数为（ ）个。
A.15
B.16
C.18
D.19
【例19】某医院有一氧气罐匀速漏气，该氧气罐充满后同时供40 人吸氧，60 分钟后
氧气耗尽，再次充满该氧气罐同时供60 个人吸氧，则45 分钟后氧气耗尽。问如果该氧气
罐充满后无人吸氧，氧气耗尽需要多长时间?
A.一个半小时
B.两个小时
C.两个半小时
D.三个小时
【例20】一个水库在年降水量不变的情况下，能够维持全市12 万人20 年的用水量。
在该市新迁入3 万人之后，该水库只够维持15 年的用水量，市政府号召节约用水，希望能
将水库的使用寿命提高到30 年。那么，该市市民平均需要节约多少比例的水才能实现政府
制定的目标?
A.2/5
B.2/7
C.1/3
D.1/4
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
454
（十三）植树问题
【考点筑基】
（1）线形植树：
①单边线型植树公式：（两个端点需植树）棵数＝总长÷间隔＋1。
②双边线型植树公式：相对应单边植树问题所求数值的2 倍。
（2）环形种植：棵数＝总长÷间隔
（3）单边楼间植树公式：棵数＝总长÷间隔－１；总长＝（棵数＋１）×间隔。
（4）最小公倍数与最大公约数类
①若已知原来m 米种一棵树树，现在n 米种一棵树，求多少棵树不需要动，找的是m
与n 的最小公倍数；
②若已知两条路分别长m 米和n 米，两条路植树的间隔相同，求最少可以植树多少棵，
找的是m 与n 的最大公约数。
【母题汇总】
【母题1】有一条新修的公路，现在需要在该道的两边植树，已知路长为5052 米，如
果每隔6 米栽一棵树，一共需要种植多少棵树？
A.1646
B.1648
C.1686
D.1628
【母题2】在一条路两旁栽树，两棵树之间的距离是5 米，这条路刚好栽满100 棵树。
这条路总长是多少米？（ ）
A. 500
B. 495
C. 250
D. 245
【母题3】某小区两栋楼之间间距为375 米，现在要在两栋楼之间均匀种74 棵树，请
问第5 棵树到第26 棵树之间的距离是（ ）米。
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455
A.90
B.95
C.100
D.105
【母题4】如右图，街道ABC 在B 处拐弯，在街道一侧等距离安装路灯，要求ABC
三处各装一盏路灯，这条街最少装多少盏路灯？
A 18
B 19
C 20
D 21
建议：若设这两段路长分别为m 和n，若想安装的路灯尽量少，说明相邻两个路灯之
间的间隔要尽量大，即找m 与n 的最大公约数。因此：
第一步：计算m 与n 的最大公约数；
第二步：利用
m+n
最大公约数+ 1求解。
【母题5】某条道路进行灯光增亮工程，原来间隔35 米的路灯一共有21 盏，现要将
路灯的间隔缩短为25 米，那么有（ ）盏路灯无需移动。
A.2
B.3
C.4
D.5
建议：树不需要移动，即两次植树种在同一位置，找的是两次植树间隔的最小公倍
数，具体步骤如下：
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456
第一步：计算两次间隔的最小公倍数；
第二步：利用
总长
最小公倍数+ 1求解多少棵树不移动。
【母题6】环保部门对一定时间内的河流水质进行采样，原计划每41 分钟采样1 次，
但在实际采样过程中，第一次和最后一次采样的时间与原计划相同，每两次采样的间隔变
成20 分钟，采样次数比原计划增加了1 倍。问实际采样次数是多少次？
A. 22
B. 32
C. 42
D. 52
建议：与线型植树有关的变形题，常见的有“等时间采样问题”、“等距离车站问题”
等，
以等时间采样问题为例，如图：若每隔5 分钟采样一次，则5 分钟采样2 次（因为来了
就采样，5 分钟后第2 次采样），10 分钟采样3 次，依次类推，采样次数相当于植树棵树，
采样总时间=（采样次数－1）×采样间隔时间。
【母题7】已知一个四边形操场四条边的长度分别为112 米、128 米、88 米、76 米。
现在四条边上间隔相同的距离插1 面红旗，且四个角上必须各插1 面红旗，问最少需要多
少面红旗？
A.101
B.102
C.103
D.105
【母题8】施工队给一个周长为40 米的圆形花坛安装护栏。刚开始，每隔1 米挖一个
洞用于埋栏杆。后来发现洞的间隔太远，决定改为每隔0.8 米挖一个洞。那么，至少需要
再挖几个洞？
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457
A. 39
B. 40
C. 41
D. 42
【母题9】某公园举办春节花展，在周长400 米的中心区布置了环形花槽，并在花槽
上每隔16 米挂一只灯笼，不久后元宵灯会临近，公园决定增加并挪动一些灯笼，但仍保持
灯笼间距相等。已知加入新灯笼后，共有5 只旧灯笼没有移动，则调整后的灯笼间距最大
为（ ）米。
A. 12
B. 10
C. 8
D. 5
建议：此类问题是常规求最小公倍数题型的反向应用，具体解题步骤如下：
第一步：利用
总长
最小公倍数= 不需要移动的棵树，求解最小公倍数；
第二步：结合选项，选项中哪个数与题目中已知的间隔数的最小公倍数符合条件。
【母题10】一圆形广场一圈长1000 米，每隔50 米安装一个路灯，每隔10 米种植一
棵树，但是有路灯的地方不能植树。植树按照5 棵梧桐树、4 棵银杏树、3 棵杨柳树的顺序
依次种植，则广场一共种（ ）棵银杏树。
A. 18
B. 21
C. 27
D. 35
【母题11】有一个长方形花坛，长为10 米，宽为8 米。现要在花坛四周安装栅栏，
要求4 个顶点处各插一根木桩，除顶点处的木桩外，每边还要插若干木桩，且每两根木桩
间的距离至少为3 米，则最多可以插（ ）根木桩。
A. 10
B. 12
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458
C. 14
D. 16
建议：环形植树问题其实本质是没有端点的植树问题，“多边形”是封闭图形也没有端
点，因此考生可以类比为环形植树，但需要考生注意两点：
（1）若“多边形”每条边长都刚好整除两棵树之间的间隔，则棵树=
多边形周长
植树间隔；
（2）若“多边形”边长并不能整除两棵树之间的间隔，且端点需要种树，则需要用每条
边长分别除间隔后取整，最后再将整数求和。
例如：正三角形的边长为10 米，每隔3 米种一颗树，三个顶点各种一棵树，则每条边
种的数为
10
3 = 3 ⋯1，取整为3 棵，共植树3×3=9 棵。不等于
30
3 = 10。
【母题12】某单位两座办公楼之间有一条长204 米的道路，在道路起点的两侧和终点
的两侧已栽种了一棵树。现在要在这条路的两侧栽种更多的树，使每一侧每两棵树之间的
间隔不多于12 米。如栽种每棵树需要50 元人工费，则为完成栽种工作，在人工费这一项
至少需要做多少预算？
A.800 元
B.1600 元
C.1700 元
D.1800 元
【母题13】施工队要在一东西长600 米的礼堂顶部沿东西方向安装一排吊灯，根据施
工要求，必须在距西墙375 米处安装一盏，并且各吊灯在东西墙之间均匀排列（墙角不能
装灯）。该施工队至少需要安装多少盏吊灯？
A.6
B.7
C.8
D.9
【母题14】马拉松组委会在赛道中设置18 个水站，将赛道平均分为19 段。送水车下
午14：00 从起点出发匀速行驶，每到一个站点停1 分钟时间卸下瓶装水，到达终点之后原
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459
速返回起点且不再停站。已知14：27，送水车卸完第9 个站的瓶装水，问如果其到达终点
后立刻返回，什么时间能重新回到起点？
A.15：30
B.15：32
C.15：34
D.15：36
【母题15】搬运工负重徒步上楼，刚开始保持匀速，用了30 秒爬了两层楼（中间不
休息）；之后每多爬一层多花5 秒，多休息10 秒，那么他爬到七楼一共用了多少秒？
A.220
B.240
C.180
D.200
【强化提升】
【例题1】某个障碍跑项目需要在100 米长的跑道上布置障碍（起点和终点均不布置），
如果从起点开始，每隔4 米布置一个甲障碍，每6 米布置一个乙障碍，甲、乙障碍的重合
点则不布置甲障碍。则跑道上总共需要布置（ ）个甲障碍。
A.16
B.17
C.24
D.25
【例题2】某地计划在连接甲镇和乙镇的长度为60 公里的公路上安装限速标志和测速
仪器。具体方案是：从距离甲镇3 公里处开始安装限速标志，然后每隔4 公里再设置一个
限速标志；从8 公里处开始安装测速仪器，然后每隔9 公里再设置一个测速仪器。假设单
独安装一个限速标志费用为500 元，单独安装一个测速仪器费用为800 元，如果限速标志
和测速仪刚好在同一个地点安装，则可以节约安装费用，此时安装两种设备总共只需要
1000 元。问最终安装总费用是多少元？
A.10600
B.11200
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
460
C.12000
D.12300
【例题3】有一个长方形花坛，长为10 米，宽为8 米。现要在花坛四周安装栅栏，要
求4 个顶点处各插一根木桩，除顶点处的木桩外，每边还要插若干木桩，且每两根木桩间
的距离至少为3 米，则最多可以插（ ）根木桩。
A.10
B.12
C.14
D.16
【例题4】某市计划在一条笔直公路的两侧每隔8 米种一棵木棉树，并把植树任务交
由甲、乙两组工人完成，若甲组先做3 天，余下的任务由两组合作，则再做4 天恰好完成。
若乙组先做10 天，余下的任务交由甲组，则再做2 天恰好完成。已知甲组比乙组每天多种
5 棵树，则这条公路长（ ）米。
A.1224
B.1232
C.1240
D.1248
【例题5】某机构计划在一块边长为18 米的正方形空地开展活动，需要在空地四边每
隔2 米插上一面彩旗，若该空地的四个角都需要插上彩旗，那么一共需要（ ）面彩旗。
A.32
B.36
C.44
D.48
【例题6】有一条新修的公路，现在需要在该道的两边植树，已知路长为5052 米，如
果每隔6 米栽一棵树，一共需要种植多少棵树？
A.1646
B.1648
C.1686
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
461
D.1628
【例题7】一条笔直的林荫道两旁种植着梧桐树，同侧道路每两棵梧桐树间距50 米。
林某每天早上七点半穿过林荫道步行去上班，工作地点恰好在林荫道尽头。经测试，他每
分钟步行70 步，每步大约50 厘米，每天早上八点准时到达工作地点。那么，这条林荫道
两旁栽种的梧桐树共有多少棵?
A.21
B.22
C.42
D.44
【例题8】某条道路进行灯光增亮工程，原来间隔35 米的路灯一共有21 盏，现要将
路灯的间隔缩短为25 米，那么有（ ）盏路灯无需移动。
A.2
B.3
C.4
D.5
【例题9】把一根钢管锯成5 段需要8 分钟，如果把同样的钢管锯成20 段需要多少分
钟？（ ）
A.32 分钟
B.38 分钟
C.40 分钟
D.152 分钟
【例题10】一环形跑道上画了100 个标记点，已知相邻任意两个标记点之间的跑道距
离相等。某人在环形跑道上跑了半圈，问他最多能经过几个标记点？
A.49
B.50
C.51
D.100
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
462
【例题11】在长581 米的道路两侧植树，假设该路段仅两端有路口，要求在道路路口
15 米范围内最多植1 棵树，并且相邻两棵树间的距离为4 米，问最多能植多少棵树？
A.137
B.139
C.278
D.280
【例题12】在400 米的环形跑道上每隔16 米插一面彩旗。现在要增加一些彩旗，并
且保持每两面相邻彩旗的距离相等，起点的一面彩旗不动，重新插完后发现共有5 面彩旗
没有移动，则现在彩旗间的间隔最大可达到（ ）米。
A.15
B.12
C.10
D.5
【例题13】在一条新修的道路两侧各安装了33 座路灯，每侧相邻路灯之间的距离相
同。为提高照明亮度，有关部门决定在该道路两侧共加装16 座路灯，要使加路灯后相邻路
灯之间的距离也相同，最多有（ ）座原来的路灯不需要挪动。
A.9
B.10
C.18
D.20
【例题14】某市一条大街长10080 米，从起点到终点共设有9 个公交车站，那么每两
个车站之间的平均距离是多少米？
A.1120
B.1210
C.1260
D.1320
【例题15】有一根长240 米的绳子，从某一端开始每隔4 米作一个记号，每隔6 米也
作一个记号。然后将标有记号的地方剪断，则绳子共剪成多少段？
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
463
A.40
B.60
C.80
D.81
【例题16】某单位计划在不相交的两条路的两旁栽上树，现在运回一批树苗，已经知
道一条路的长度是另一条路长度的两倍还多6000 米。若每隔4 米栽一棵，则少1864 棵；
若每隔5 米栽一棵，则多406 棵，问共有树苗多少棵?
A.9200
B.9490
C.9600
D.9780
【例题17】某单位购买一批树苗计划在一段路两旁植树。若每隔5 米种1 棵树，可以
覆盖整个路段，但这批树苗剩20 棵。若每隔4 米种1 棵树且路尾最后两棵树之间的距离为
3 米，则这批树苗刚好可覆盖整个路段。这段路长为（ ）米。
A.195
B.205
C.375
D.395
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464
（十四）方阵问题
【考点筑基】
（1）三角实心方阵：实心三角阵的最外层有3n－3 个元素，总个数为
n（n+1）
2
个。
（2）四边空心方阵：
方法1：方阵每层元素的个数为等差数列，相邻两层差8 个，利用（最外层人数＋最内
层人数）×层数÷2＝中间层人数×层数求解。
方法2：空心方阵总个数=（n－层数）×层数×4（n 为方阵最外层一条边上的元素
数）。如图：n=11，层数为3，该空心方阵的元素数共=（11－3）×3×4=96 个。
方法3：总人数＝大实心方阵人数－小实心方阵人数。
（3）四边实心方阵：N 排N 列的实心方阵公式：
总人数（为平方数）＝N2；最外层人数＝4N－4
（4）实心矩阵：
建议：M 排N 列的实心长方阵公式：
（1）总人数=M×N
（2）最外层人数=2M＋2N－4
【母题汇总】
【母题1】现有60 枚1 元硬币，若把它们在平面上紧密排列成实心正三角形，要使剩
下的硬币尽可能少，则三角形的最大边长放（ ）枚硬币。
A. 11
B. 10
C. 8
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
465
D. 6
【母题2】有一列士兵排成若干层的中空方阵，外层共有68 人，中间一层共有44 人，
则该方阵士兵的总人数是（ ）。
A.296 人
B.308 人
C.324 人
D.348 人
【母题3】参加奥运开幕式表演的某方阵正在彩排，如果减少一行和一列，人数减少
319 人。则该方阵原来最外围的四边共有（ ）人。
A.636
B.638
C.640
D.644
【母题4】用红、黄两色鲜花组成的实心方阵（所有花盆大小完全相同），最外层是红
花，从外往内每层按红花、黄花相间摆放。如果最外层一圈的正方形有红花44 盆，那么完
成造型共需黄花（ ）盆。
A.48
B.60
C.72
D.84
建议：相邻两层的元素差8 个，相隔一层的元素差16 个。考生可通过枚举的方式找到
各层的元素数。（注：方阵最中心的元素数有1 和4 两种情况）如图：
【母题5】在开幕式上恰好排成一个正方形，有两行两列的运动员离场后，运动员人
数减少64 人，则参加该运动会的运动员人数为：
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
466
A.225
B.256
C.289
D.324
建议：对于n 行n 列的一个方阵，若去掉m 行m 列，则去掉的人数为2mn－𝑚2人，
剩余人数为(𝑛−𝑚)2。
【母题6】一个由边长25 人和15 人组成的矩形方阵，最外面两圈人数总和为：
A.232
B.144
C.165
D.196
【强化提升】
【例1】园丁将若干同样大小的花盆在平地上摆放为不同的几何图形，如果摆成实心
正三角形，其外层为15 盆，求共多少盆花？
A. 21
B. 22
C. 23
D. 24
【例2】某学院有新生两百多人，将学生从1 开始依次编号，选取编号为3 的倍数的
学生，正好构成新生运动会开幕式方队，选取编号为m（3＜m＜10，且m 为整数）的倍数
的学生，恰好构成闭幕式方队，问该学院新生人数有多少人？
A.242
B.243
C.245
D.246
【例3】某中学运动会开幕式的学生表演方阵中，有三排是文科生，其余都是理科生。
若理科生的人数是270。则文科生的人数是：
A.42
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
467
B.45
C.54
D.171
【例4】某灯光秀表演中，无人机群先排列成红、绿两个正方形实心方阵，然后融合
并变换灯光，形成一个黄色的正方框形空心方阵。原红方阵最外侧每边有8 架无人机，且
原红方阵恰好可填满黄方阵的空心，原绿方阵最外侧每边的无人机数量比黄方阵少4 架。
则参加灯光秀表演的无人机共有（ ）架。
A.260
B.233
C.196
D.185
【例5】某学院有新生两百多人，将学生从1 开始依次编号，选取编号为3 的倍数的
学生，正好构成新生运动会开幕式方队，选取编号为m（3＜m＜10，且m 为整数）的倍数
的学生，恰好构成闭幕式方队，问该学院新生人数有多少人？
A.242
B.243
C.245
D.246
【例6】某学校要将全体运动员排成方阵，老师按人数粗略估计进行第一次排列，发
现多出99 人，于是又将每行和每列多加了4 人进行排列，发现缺少37 人。问学校共有运
动员多少人？
A.256
B.289
C.324
D.361
【例7】某次运动会需组织长宽相等的方阵。组织方安排了一个鲜花方阵和一个彩旗
方阵，两个方阵分别入场完毕后又合成一个方阵，鲜花方阵的人恰好组成新方阵的最外圈。
已知彩旗方阵比鲜花方阵多28 人，则新方阵的总人数为（ ）。
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
468
A.100
B.144
C.196
D.256
【例8】机关运动会上，来自3 个单位的参赛者正好站成1×1、2×2 到9×9 共9 个方阵，
且每个方阵的人都来自同一个单位。已知来自甲单位的人组成了1 个方阵，来自乙单位的
人组成了6 个方阵，且乙单位的参赛者正好是丙单位的2 倍。则乙单位有多少名参赛者？
A.108
B.136
C.166
D.184
【例9】园丁将若干同样大小的花盆在平地上摆放为不同的几何图形，发现如果增加5
盆，就能摆成实心正三角形，如果减少4 盆，就能摆成每边多于1 个花盆的实心正方形，
问将现有的花盆摆成实心矩形，最外层最少有多少盆花？
A.22
B.24
C.26
D.28
【例10】参加某运动会的全体运动员在开幕式上恰好排成一个正方形，有两行两列的
运动员离场后，运动员人数减少64 人，则参加该运动会的运动员人数为：
A.225
B.256
C.289
D.324
【例11】.
参加奥运开幕式表演的某方阵正在彩排，如果减少一行和一列，人数减少319 人。则
该方阵原来最外围的四边共有（ ）人。
A.636
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
469
B.638
C.640
D.644
【例12】若干学校联合进行团体操表演，参演学生组成一个方阵，已知方阵由外到内
第二层有104 人，则该方阵共有学生（ ）人。
A.625
B.841
C.1024
D.1369
【例13】有绿、白两种颜色且尺寸相同的正方形瓷砖共400 块。将这些瓷砖铺在一块
正方形的地面上：最外面的一周用绿色瓷砖铺，从外往里数的第二周用白色的瓷砖铺，第
三周用绿色瓷砖，第四周用白色瓷砖……这样依次交替铺下去，恰好将所有瓷砖用完。这
块正方形地面上的绿色瓷砖共有（ ）块。
A.180
B.196
C.210
D.220
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470
（十五）空瓶换酒问题
【考点筑基】
空瓶换酒的公式为：买了P 瓶酒，及M 个空瓶可以换N 瓶酒，最多可以喝到P+
𝑃×𝑁
𝑀−𝑁瓶酒
（一般N 为1）。
【母题＋强化】
【例1】某超市为了增加收入，开展“8 个空啤酒瓶换1 瓶啤酒”的促销活动，老李在活
动期间共购买了127 瓶啤酒，期间老李不断用空啤酒瓶去换啤酒，请问老李在活动期间一
共喝掉了多少瓶啤酒？
A.140
B.142
C.143
D.145
【例2】某品牌啤酒开展“5 个空瓶换1 瓶啤酒”的优惠促销活动。现在已知小刘在活动
促销期间共喝掉80 瓶该品牌啤酒，问张先生最初用钱买了多少瓶啤酒？
A.62 瓶
B.63 瓶
C.64 瓶
D.65 瓶
【例3】某啤酒厂为促销啤酒，开展6 个空瓶换1 瓶啤酒的活动，孙先生去年花钱先
后买了109 瓶该品牌啤酒，期间不断用空啤酒瓶去换啤酒，请问孙先生去年一共喝掉了多
少瓶啤酒？
A.127
B.128
C.129
D.130
【例4】“红星”啤酒开展“7 个空瓶换1 瓶啤酒”的优惠促销活动。现在已知张先生在活
动促销期间共喝掉347 瓶“红星”啤酒，问张先生最少用钱买了多少瓶啤酒？
A.296 瓶
B.298 瓶
C.300 瓶
D.302 瓶
【例5】商场开展促销活动，凡购物满100 元即可返还现金30 元，小王现有280 元，
最多能买到价值多少元的商品？
A.250
B.280
C.310
D.400
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
471
【例6】31 个小运动员在参加完比赛后，口渴难耐，去小店买饮料，饮料店搞促销，
凭三个空瓶子可以再换一瓶，他们最少买多少瓶饮料才能保证一人一瓶？
A.21
B.23
C.25
D.27
【例7】超市规定每3 个空汽水瓶可以换一瓶汽水，小李有11 个空汽水瓶，最多可以
换几瓶汽水?
A.5 瓶
B.4 瓶
C.3 瓶
D.2 瓶
【例8】某旅游景点商场销售可乐，每买3 瓶可凭空瓶获赠1 瓶可口可乐，某旅游团
购买19 瓶，结果每人都喝到了一瓶可乐，该旅游团有多少人？
A.19
B.24
C.27
D.28
【例9】12 个啤酒空瓶可以免费换1 瓶啤酒，现有101 个啤酒空瓶，最多可以免费喝
到的啤酒为：
A.10 瓶
B.11 瓶
C.8 瓶
D.9 瓶
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
472
（十六）爬井过河问题
【考点筑基】
（1）M 个人过河，划船人数为A，船能载N 个人，则一共需要送
𝑀−𝑁
𝑁−𝐴+ 1 =
𝑀−𝐴
𝑁−𝐴 次能
把所有人都送到对岸。
（2）爬井类问题和过河类问题的核心公式一样，利用公式
𝑀−𝑎
𝑁−𝑎计算爬井的天数（M 为
井深，N 为白天向上爬井的高度，a 为晚上掉下的高度）。
【母题＋强化】
【例1】有38 人要到河对岸去，现在河边只有一条小船（没有船工），每次只能载5
人。那么这些人全部过河需要渡河几次？
A. 8
B. 9
C. 10
D. 11
【例2】49 名探险队员过一条小河，只有一条可乘7 人的橡皮船，需1 人划船，则需
要运几次才能把全体队员运到河对岸？
A.6
B.7
C.8
D.9
【例3】41 个学生要坐船过河，渡口处只有一只能载4 人的小船（无船工），他们要全
部渡过河去，至少要使用这只小船渡河多少次？
A.23
B.24
C.27
D.26
建议：过河问题中，若题目问的是需要渡河多少次，则渡河次数=运人次数×2－1。
【例4】有39 名学生坐船到河对岸野餐，现仅有一只小船，每次只能载5 人（其中1
人负责划船），需要几次才能渡完？
A.8
B.9
C.10
D.11
【例5】49 名探险队员过一条小河，只有一条可乘7 人的橡皮艇，过一次河需要3 分
钟。全体队员渡到河对岸需要多少分钟？
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
473
A.30
B.35
C.40
D.45
建议：
第一步：利用过河的公式
𝑀−𝑎
𝑁−𝑎计算出过河的次数。
第二步：用一次往返的时间×过河次数－单次过河时间（理解为往返总时间减去最后
一次不返程的时间）。
【例6】42 名游客需要到河对岸去野炊，只有一条小船，每次最多载5 人（其中需1
人划船），往返一次需6 分钟，如果9 时整开始渡河，9 时20 分时，至少有（ ）人还在等
待渡河。
A.23
B.24
C.25
D.26
【例7】有口井23 米深，有只蜗牛从井底往上爬，白天爬4 米，晚上下坠3 米，问蜗
牛多少天能爬到井口？
A.19
B.20
C.22
D.23
【例8】一个青蛙爬20 米深的井，假定白天每次向上爬5 米，晚上又向下滑3 米，问
青蛙多少天才能爬出该井？
A.7
B.8
C.9
D.10
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474
（十七）比赛问题
【考点筑基】
（1）循环赛（小组赛）：
①场次问题：枚举、画图列表
I. n 个人（队伍）单循环赛的场次为𝐶𝑛2；
II. n 个人（队伍）双循环赛的场次为𝐴𝑛2；
III. 若n 个人进行单循环赛，则每个人都需要比赛（n－1）场次。
②分数问题：
I.思考一场比赛产生的分数；II.思考平均每场产生的分数; III.思考最高分和最低分
（2）淘汰赛：
①若n 个队伍或人打比赛，决出冠亚军需要（n－1）场；
②若n 个队伍或人打比赛，决出三、四名需要n 场。
【母题＋强化】
场次问题：
【例1】某单位职员在健身活动中举行乒乓球比赛，每个选手都要和其他选手各赛一
场，一共120 场比赛，则该单位参加人数是多少人？
A.18
B.16
C.15
D.14
【例2】八名棋手进行单循环比赛，每两人只对局一次，其中七人已经分别赛过7、6、
5、4、3、2、1 盘。 问另外一人比赛了几盘？
Ａ.0
Ｂ.2
Ｃ.4
Ｄ.6
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475
【例3】小张、小李和小王三人以擂台形式打乒乓球，每局2 人对打，输的人下一局
轮空。半天下来，小张共打了6 局，小王共打了9 局，而小李轮空了4 局。那么，小李一
共打了多少局？
A.5 局
B. 7 局
C. 9 局
D. 11 局
建议：三个人打比赛的问题，解题关键在于“轮空”场次，
（1）甲轮空的场次，就是乙与丙比赛的场次。
（2）已知甲和乙共计轮空的场次，则轮空的场次和等于丙共比赛的场次。
（3）甲轮空+甲比赛=乙轮空+乙比赛=丙轮空+丙比赛=总场次。
（4）三个人打比赛，每次比赛必会产生一胜一负。
【例4】某次足球比赛采用双循环制，若已知球队之间两两比赛后共计比赛56 场，求
共有多少个队伍参赛？
A.6
B.7
C.8
D.9
【例5】16 支球队分两组，每组打双循环赛，共需打多少场比赛？
A. 16
B. 56
C. 64
D. 112
【例6】21 人打单循环淘汰赛，只取第一，共进行多少场比赛就可以得到冠军？（ ）
A. 20
B. 11
C. 19
D. 10
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476
【例7】某羽毛球协会举办羽毛球单打公开赛，共有1044 人报名参加。比赛采取淘汰
制。首先用抽签的方法抽出522 对进行522 场比赛，获胜的522 人，进入第2 轮比赛。第2
轮比赛也用同样的抽签方法决定谁与谁比赛。这样比赛下去，假如没有人弃权，最少要打
多少场才可决出冠军？
A. 1044
B. 1043
C. 874
D. 688
【例8】40 支社区足球队参加全市社区足球淘汰赛，每一轮都要在未失败过的球队中
抽签决定比赛对手，如上一轮未失败过的球队是奇数，则有一队不用比赛直接进人下—轮。
问夺冠的球队至少要参加几场比赛？
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
【例9】某单位组织的羽毛球男单比赛共有48 名选手报名参加，比赛采用淘汰赛制，
在比赛中负一场的选手即被淘汰，直至决出最后的冠军，如每名选手每天最多参加一场比
赛，则比赛至少需要举行几天？
A.4
B.5
C.6
D.7
【例10】某工会组织了一次乒乓球单打比赛，由54 名职工参加，比赛规则如下：每
轮比赛所有参赛人抽签捉对厮杀，胜者和轮空者进入下一轮，直至决出冠军，问总共要进
行多少轮比赛？
A.4
B.5
C.6
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477
D.7
【例11】某围棋队的两位选手小李与小张决定进行1 次围棋比赛，两人轮流先手开局，
第一局小李先手开局。甲、乙两人分别记录了全程比赛，均显示共比赛18 局，结果为10∶8。
甲的记录显示为：小李胜10 局，小张胜8 局，且先手者共胜8 局，但乙的记录显示为：先
手者共胜6 局。问甲乙两人的记录结果是：
A.甲错乙对
B.甲错乙错
C.甲对乙错
D.甲对乙对
【例12】某球赛积分规则为胜一场积3 分，平一场积1 分，负一场积0 分。某队经过
8 场比赛，最终积了13 分。问此球队胜、平、负的情况可能有几种？
A.1
B.2
C.3
D.4
【例13】6 支队伍进行单循环的足球比赛，比赛结束后，战绩如下：
则F 队的战绩为（ ）
A.0 胜5 负
B.1 胜4 负
C.2 胜3 负
D.3 胜2 负
【例14】21 人打单循环淘汰赛，只取第一，共进行多少场比赛就可以得到冠军？（ ）
A.20
B.11
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478
C.19
D.10
【例15】某篮球比赛有12 支球队报名参加，比赛的第一阶段中，12 支球队平均分成
2 个组进行单循环比赛，每组前4 名进入第二阶段；第二阶段采用单场淘汰赛，直至决出
冠军。问亚军参加的场次占整个赛事总场次的比重为：
A.10%以下
B.10%—15%
C.15%—20%
D.20%以上
【例16】张、王、刘和李四人进行象棋比赛，每两人之间都要赛一局。已知张胜了两
局，王平了三局，问刘和李加起来最多胜了几局？
A.0
B.1
C.2
D.3
【例17】某单位五个科室间举办拔河比赛，每两个科室之间最多比赛一场。其中甲、
乙、丙、丁科室分别参加了4、3、2 和1 场比赛，问已经进行了多少场比赛？
A.8
B.7
C.6
D.5
【例18】甲、乙、丙三人打羽毛球，每一局由两人上场，另一人做裁判。第一局抽签
决定裁判，往后每一局的比赛在上一局的胜者和上一局的裁判之间进行。打了若干场之后，
甲胜了10 局，而乙和丙各负了8 局，则他们至少打了（ ）局。
A.20
B.21
C.22
D.23
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479
【例19】小赵、小钱、小孙一起打羽毛球，每局两人比赛，另一人休息，三人约定每
一局的输方下一局休息。结束时算了一下，小赵休息了2 局，小钱共打了8 局，小孙共打
了5 局，则参加第9 局比赛的是：
A.小钱和小孙
B.小赵和小钱
C.小赵和小孙
D.以上皆有可能
分数问题：
【例1】有5 支足球队进行单循环比赛，每场比赛胜者得3 分，负者不得分，平局双
方各得1 分。比赛结束后，若5 支球队的总得分为25 分，冠军得12 分，则亚军得：
A.5 分
B.6 分
C.7 分
D.8 分
【例2】某单位举办象棋比赛,规则为胜一场得4 分，负一场得－1 分，平一场不得分。
一轮比赛中参赛人员共100 人，两两配对后分别比赛，所有人的总得分为126 分，问该轮
比赛中平局有多少场？
A.4
B.8
C.12
D.16
【例3】8 个人比赛国际象棋，约定每两人之间都要比赛一局，胜者得2 分，平局得1
分，负的不得分。在进行了若干局比赛之后，发现每个人的分数都不一样。问最多还有几
局比赛没比？
A.3
B.7
C.10
D.14
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480
【例4】某市举办高校足球比赛，每所高校都要与其余所有参赛高校各进行一场比赛。
积分规则为：胜一场积3 分，平一场积1 分，负一场积0 分。已知此次比赛的冠军积分为
14 分，其中取胜场次比平局多2 场，平局场次是告负场次的2 倍。问参加这次足球比赛的
高校有多少所？
A.7
B.8
C.9
D.10
【例5】一项足球比赛共有8 支队伍参加，每两支队伍之间需要踢两场比赛，获胜得3
分，打平得1 分，落败不得分。在该项足球比赛中，获得第一名的队伍积分最多可能比第
二名多（ ）分。
A.40
B.30
C.20
D.10
【例6】某单位举行象棋比赛，计分规则为：赢者得2 分，负者得0 分，平局各得1
分，每位选手与其他选手各下一局。已知男选手数是女选手的10 倍，而得分是女选手的
4.5 倍，则参加比赛的男选手数是：
A.40 人
B.30 人
C.20 人
D.10 人
【例7】小王、小张、小李3 人进行了多轮比赛，比赛按名次高低计分，得分均为正
整数。多轮比赛结束后，小王得22 分，小张和小李各得9 分且小张在其中一轮比赛中获第
一名。那么，三人共进行了多少轮比赛？
A.2
B.3
C.4
D.5
【例8】象棋比赛中，每个选手均与其他选手比赛一局，每局胜者得2 分，负者得0
分，和棋各得1 分，那么以下可能是这次比赛所有选手得分的总和是：
A.78
B.67
C.56
D.89
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481
（十八）函数问题
【考点筑基】
常见函数图像类题目的解题思路：
（一）分类讨论法：函数问题通常与行程问题、几何问题、经济利润问题、方程问题
结合，若可以根据这些考点列式表达，可根据题意列式后分析每个区间的函数图像。
（二）若不太好列式表达该函数图像，或列式后为非常规函数，考生可以通过枚举和
描点的方式，借助函数图形的特殊拐点和变化趋势来排除选项。
1.枚举法：依次列出可能数值，看其规律。
2.描点法（特殊点）：可根据特殊点，排除错误选项。
【母题＋强化】
【例1】向截面为如下形状的高为H 的水杯内等速注水，直到注满为止，则杯中水量
v 与水深h 的函数图像是下图中哪一个？（四个选项中坐标系横轴表示水深h，纵轴表示水
量v）
A.如图所示
B.如图所示
C.如图所示
D.如图所示
【例2】下表给出了两个变量之间关系的部分观测数据
那么下列四个图形中，最适合描述这两个变量之间关系的是：
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482
A.如图所示
B.如图所示
C.如图所示
D.如图所示
建议：常见函数图像：
（1）一元一次方程：
（2）常见曲线类型的函数：
【例3】将一个圆盘形零件匀速向下浸入水中。已知函数为（1 −A0）
2 +
CD2
4 = 1，问
以下哪个坐标图能准确反映浸入深度AO 及圆盘与水面的接触部位长度CD 之间的关系？D
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483
【例4】甲工艺品厂x 名工人平均每人生产y 件某种工艺品，正好完成生产任务。如
调入1 名工人，则每人只需要完成y－2 件这种工艺品即可。问以下哪个坐标图能准确反映
x（横轴）与y（纵轴）之间的关系?
A.如图所示
B.如图所示
C.如图所示
D.如图所示
【例5】某商业银行的总利润P 与贷款量Q 之间的函数关系为：P＝10000＋400Q－Q²。
当贷款数量为（ ）万元时，总利润最大。
A.100
B.150
C.200
D.250
𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐，当x=−
𝑏
2𝑎时取到最值，若a＞0，函数图像开口朝上，取到最小
值，若a＜0，函数图像开口朝下，取到最大值。
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484
【例6】甲和乙两条自动化生产线同时生产相同的产品，甲生产线单位时间的产量是
乙生产线的5 倍，甲生产线每工作1 小时就需要花3 小时时间停机冷却而乙生产线可以不
间断生产。问以下哪个坐标图能准确表示甲、乙生产线产量之差（纵轴L）与总生产时间
（横轴T）之间的关系？
A.如上图所示
B.如上图所示
C.如上图所示
D.如上图所示
【例7】一个正方形跑道如下图所示。甲从A 出发沿顺时针方向匀速跑步，其到达
AB 中点时，之前一直在A 保持静止状态的乙也出发，沿顺时针方向以与甲相同的速度跑
步。问以下哪个坐标图最能准确地描述跑步时间（横轴T 值）和甲、乙之间直线距离（纵
轴L 值）之间的关系？
A.
B.
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485
C.
D.
【例8】在平面直角坐标系中，如果点P（3a－9，1－a ）在第三象限内，且横坐标纵
坐标都是整数，则点P 的坐标是：
A.（-1，-3）
B.（-3，-1）
C.（-3，-2）
D.（-2，-3）
【例9】某网上商城做促销活动，在该商场购物任意商品每满299 元即可减免100 元。
以下哪个图形最能反映购买货物价格（横坐标轴）与实际支付价格（纵坐标轴）之间的关
系? B
【例10】道健身锻炼，小李跑步、老张慢走。若同向而行，小李追上老张所需时间是
两人相向而行相遇所需时间的x 倍。假设两人运动均为匀速，且小李跑步是老张慢走速度
的y 倍，则下列能反映y 与x 关系的是D
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486
【例11】如右图所示，向高度为H 的水瓶中注水，注满为止，下列反映注水量V 与
水深h 的函数关系正确的是（ ）。
A.
B.
C
D.
【例12】一正三角形小路如右图所示，甲乙两人从A 点同时出发，朝不同方向沿小
路散步，已知甲的速度是乙的2 倍。问以下哪个坐标图能准确描述两人之间的直线距离与
时间的关系（横轴为时间，纵轴为直线距离）？D
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487
（十九）统筹推断
【母题＋强化】
【例1-非闭合运输】在一条公路上每隔10 里有一个集散地，共有5 个集散地，其中一
号集散地有旅客10 人，三号集散地有25 人，五号集散地有45 人，其余两个集散地没有人。
如果把所有人集中到一个集散地，那么，所有旅客所走的总里数最少是：
A.1100
B.900
C.800
D.700
建议：这类题型称为非闭合运输问题。要想费用最省，应该使运输的重量最少，与距
离无关。
解题采用二分原则：任意选取两个仓库之间的空白进行划线，将所有货物分成左右两
个部分，比较左右两边货物总重量：若左边＞右边，则考虑将右边货物全部集中至划线左
边最近的一个仓库；若右边＞左边，则考虑将左边货物全部集中至划线右边最近的一个仓
库。接下来重复以上步骤，直至确定最后集中的仓库。
【例2】在一条公路上每隔100 公里有一个仓库，共有5 个仓库，一号仓库存有10 吨
货物，二号仓库存有20 吨货物，五号仓库存有40 吨货物，其余两个仓库是空的。现在要
把所有的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输1 公里需要0.5 元运输费，则最
少需要运费（ ）。
A. 4500
B. 5000
C. 5500
D. 6000
【例3】6 个人各自拿一只水桶到水龙头接水，水龙头注满6 个人的水桶，所需要的时
间分别是5 分钟、4 分钟、3 分钟、10 分钟、7 分钟、6 分钟。现在只有甲乙两个水龙头可
以用，问6 个人等待总时间最短为多少分钟？（ ）
A. 20
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
488
B. 25
C. 29
D. 35
过桥和打水模型解题的关键都是相同的，都是有一些工作需要反复做（对过桥而言是
将灯带回，对打水而言是等待），只是有一些小区别，因此两个模型的解题思路也是大同小
异，解题需遵循以下三个基本原则：
1.能者多劳：反复做的工作由效率最快或耗时最少的人进行，即过桥模型中应由速度
最快的人将灯带回，打水模型中应由耗时最少的人先打水。
2.负担打包：耗时最长的工作组合在一起同时进行。在过桥模型中，还涉及到行走时
间，应该由过桥时间最长的两人一起组合过桥，且耗时最少的组合先进行。
3.结合选项：如果已经得到选项中最短的时间，则不用再讨论其他方案。
【例4】某喷绘机每次同时单面印刷2 张广告布，每印1 面需要1 分钟，广告布印后
需晾干2 分钟，现需双面印刷15 张广告布，则至少需（ ）分钟的印刷时间。
A. 15
B. 16
C. 17
D. 19
建议：正反面交替工作类（摊煎饼、印刷类）：根据烙饼问题的公式：烙饼所需最少时
间=饼数×2÷每锅可烙的张数×烙每面的时间，
找到“最短时间”的一个周期，看其总共有多少周期；例如，摊熟煎饼的一面1 分钟，
煎饼摊可以同时摊两个煎饼，则摊1 个煎饼2 分钟，2 个煎饼也只需要2 分钟，3 个煎饼只
需要3 分钟（考生可以交替去摊，第一次：A 和B 的正面；第二次A 的反面和C 的正面；
第三次，B 的反面和C 的反面），“最短时间”的周期为“3 个煎饼需要3 分钟”。
【例5】８枚一元真币和1 枚一元假币混在一起，假币与真币外观相同，但比真币略
重。问用一台天平最少称几次就一定可以从这9 枚硬币中找出假币？（ ）
A.２次
B.3 次
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
489
C.４次
D.5 次
建议：若知道假币是轻或是重，Ｎ次天平称量可从3𝑁枚硬币（其中有1 枚假币）中选
出假币。若3𝑁＜硬币数≤3𝑁+1，则需要N＋1 次。
【例6】有只松鼠在某处发现了90 粒松子，欲搬回25 米远的家中储存，但这只松鼠
每次最多只能携带45 粒且其往返途中每走1 米必须要吃1 粒松子。那么松鼠最多能搬（ ）
粒松子回家。
A.0
B.10
C.35
D.40
设第一次运输x 米，往返消耗2x，第二次再运输x 米，此时该位置有（90－3x）粒，
且90－3x≤45，即x≥15 米，距离终点有（25－x）米，最后剩余90－3x－25＋x＝75－2x；
【例7】桌上整齐摆放着若干只相同玻璃杯，除一只空杯外，其余杯中都放有彩色珠
子，共有45 颗。如果在有彩色珠子的每个杯中取1 颗放入空杯，则只需调整玻璃杯的位置，
即可与最初完全一样。问桌上共有几只玻璃杯？
A.7
B.8
C.9
D.10
【例8】某公司需要将A、B 两地的同一产品运往甲、乙两个工厂。已知A、B 两地分
别有该产品500 吨和700 吨，甲、乙两个工厂对该产品的需求量均为600 吨，若从A 地出
发运往甲、乙两个工厂的运价分别为150 元／吨和130 元／吨，从B 地出发的运价分别为
160 元／吨和145 元／吨，则完成此项运输任务的运费最少是：
A.174000 元
B.174500 元
C.175000 元
D.175500 元
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
490
【例9】师徒二人在非遗展馆现场为游客剪纸，有6 名游客各自挑选了心仪的花样。
已知徒弟制作这6 种剪纸的时间分别为2、6、10、12、15、25 (单位：分钟）， 师傅的工作
效率是徒弟的1. 5 倍，则这6 名游客中最后一个拿到剪纸的游客，需要等待的时间至少是：
A.25 分钟
B.27 分钟
C.28 分钟
D.30 分钟
【例10】某村居民整体进行搬迁移民，现安排载客（不含司机）20 人/辆的中巴车和
30 人/辆的大巴车运载所有村民到搬迁地实地考察。如安排12 辆中巴车，则大巴车需要18
辆，且除一辆大巴车载6 人以外，其他车全部载满。现本着安排车辆数最少的原则派车，
问最少要安排多少辆大巴车？
A.20
B.22
C.24
D.26
【例11】打字员小张每10 分钟可录入1 页文档，平均每页有2 个错字；打字员小李
每15 分钟可录入1 页文档，平均每页有1 个错字。现有12 页、7 页、11 页、8 页、14 页
和20 页的6 篇文档需要录入，要求每篇文档由同一人录入，且总共在9 个小时内完成。问
录入文档的错误率最低可以控制在平均每页多少个错字？
A.不高于1.4 个
B.高于1.4 个但不高于1.5 个
C.高于1.5 个但不高于1.6 个
D.高于1.6 个
【例12】某工厂生产甲和乙两种产品。已知生产1 件甲产品可获利1000 元,消耗a 和
b 材料分别为2 千克、3 千克；生产1 件乙产品可获利1700 元,消耗a 和b 材料分别为5 千
克、4 千克。若有a 和b 材料分别为200 千克、240 千克,则生产甲、乙两种产品能取得的最
大利润是：
A.85200 元
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
491
B.86278 元
C.85900 元
D.86600 元
【例13】某建筑工程队工人要用铁丝捆扎塑料管，有四种规格的铁丝可供使用，1.6
米长的能捆10 根，1.2 米长的能捆8 根，0.8 米长的能捆6 根，0.4 米长的能捆4 根。要捆
扎好24 根塑料管，工人至少要使用（ ）米铁丝。
A.2.0
B.2.4
C.2.8
D.3.2
【例14】有89 吨货物要从甲地运往乙地，大卡车的载重量是7 吨，小卡车的载重量
是4 吨。大卡车与小卡车每次的耗油量分别是14 升、9 升，如果使所派车辆运完货物耗油
量最小，则最小耗油量是：
A.141 升
B.162 升
C.181 升
D.193 升
【例15】公用电话亭中有两部电话，六个人排队打电话。打完即走，他们的通话时间
分别为3 分钟、5 分钟、4 分钟、13 分钟、7 分钟、8 分钟，则大家在此公用电话亭逗留的
总时间最少为（ ）分钟。
A.60
B.66
C.72
D.78
【例16】桌子上放有2018 枚硬币，小芳、小强两人轮流取走其中一些。当小芳取硬
币时，只能取2 枚或4 枚；当小强取硬币时，只能取1 枚或3 枚，取走最后一枚硬币的人
即为获胜者。假设两人均使用最佳策略，则（ ）能获胜。
A.先取者
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
492
B.后取者
C.小芳
D.小强
【例17】某餐厅要用三个炉灶做出9 道菜肴，做完各道菜肴需要的时间分别是1、2、
3、4、4、5、5、6、7 分钟。每个炉灶在同一时间只能做一道菜肴。那么，最少经过
（ ）分钟，该餐厅可以做完全部菜肴。
A.11
B.12
C.13
D.14
【例18】玩具店的橱窗里有四种玩具，把四种玩具的价格（均为整数）两两相加得到
6 个不同的数字，已知其中五个数字为：144、130、125、113、99，则四种玩具中，价格
最高的比价格最低的贵（ ）元。
A.26
B.31
C.45
D.57
【例19】五个各不相等的自然数分别两两相加，10 种相加组合共得到8 个不同的结果，
分别是17、22、25、28、31、33、36 与39，则五个数中最大的数与最小的数之和为（ ）。
A.25
B.28
C.31
D.33
【例20】毛毛骑在牛背上过河，他共有甲、乙、丙、丁4 头牛，甲过河要20 分钟，
乙过河要30 分钟，丙过河要40 分钟，丁过河要50 分钟。毛毛每次只能赶2 头牛过河，要
把4 头牛都赶到对岸去，最少要多少分钟?
A.190
B.170
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
493
C.180
D.160
【例21】小明一家过一座桥，过桥时是黑夜，所以必须拿着唯一的灯过桥。现在小明
过桥要1 秒，小明的弟弟要3 秒，小明的爸爸要6 秒，小明的妈妈要8 秒，小明的爷爷要
12 秒。每次过桥最多可过两人，而过桥的速度依过桥最慢者而定，而且灯在点燃后30 秒
就会熄灭。问：小明一家过桥至少需要多长时间？
A.30 秒
B.29 秒
C.19 秒
D.18 秒
【例22】假设一条路上每隔10 公里就有一个自然村，共有5 个自然村，依次在一至
五号这5 个自然村收购粮食重量为10 吨、15 吨、20 吨、25 吨、30 吨；现要选一自然村设
立临时粮站来贮存粮食，已知每吨粮食运输费为0.5 元/公里。要让运输费用最少，则临时
粮站应选在：
A.五号
B.四号
C.三号
D.二号
【例23】某洗车店洗车分外部清洁和内部清洁，两道工序时间均不少于30 分钟，而
且同一辆车两道工序不能同时进行，洗车间同一时间只能容下2 辆车。现有9 辆车需要清
洗，汽车进出洗车间的时间可忽略不计，则洗完9 辆车至少需要的时间为：
A.330 分钟
B.300 分钟
C.270 分钟
D.250 分钟
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494
（二十）不定方程
【考点筑基】
概念：未知数的个数＞方程的个数
题型：不定方程与不定方程组
解题思路：
①系数出现数字5 或小数→尾数法
②倍数性质→“等号”两侧可整除哪个数
③奇偶性质→系数为一奇一偶时
④代入排除→无法使用特殊方法时
⑤不定方程组，求n（x＋y＋z）＝？→赋“0”法或者配系数
【母题汇总】
【例1】小张的孩子出生的月份乘以29，出生的日期乘以24，所得的两个乘积加起来
刚好等于900。问孩子出生在哪一季度？
A.第一季度
B.第二季度
C.第三季度
D.第四季度
【例2】小李为办公室购买了红、黄、蓝三种颜色的笔若干支，共花费40.6 元。已知
红色笔单价为1.7 元、黄色笔为3 元、蓝色笔为4 元，则小李买的笔总数最多是：
A.19 支
B.20 支
C.21 支
D.22 支
【例3】甲、乙两种笔的单价分别为7 元、3 元，某小学用60 元钱买这两种笔作为学
科竞赛一、二等奖奖品。钱恰好用完，则这两种笔最多可买的支数是（）
A.12
B.13
C.16
D.18
【例4】某场比赛的主裁判确定伤停补时的规则为：每次处理受伤增加30 秒，每次换
人增加20 秒，其他情况每次增加10 秒。在下半场即将结束时，主裁判确定伤停补时的时
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495
长为4 分30 秒。若已知下半场比赛时间内，处理受伤、换人和其他情况都存在且共计有
10 次，那么下半场两队总共换了 人。
A.1
B.2
C.3
D.4
【例5】甲买了3 支签字笔、7 支圆珠笔和1 支铅笔，共花了32 元，乙买了4 支同样
的签字笔、10 支圆珠笔和1 支铅笔，共花了43 元。如果同样的签字笔、圆珠笔、铅笔各
买一支，共用多少钱？
A.21 元
B.11 元
C.10 元
D.17 元
【强化飞跃】
不定方程：
倍数性质---尾数---奇偶性质---代入排除
【1】某人花400 元购买了若干盒樱桃。已知甲、乙、丙三个品种的樱桃单价分别为
28 元/盒、32 元/盒和33 元/盒，问他最多购买了多少盒丙品种的樱桃？
A.3
B.4
C.5
D.6
【2】某会务组租了20 多辆车将2220 名参会者从酒店接到活动现场。大车每次能送
50 人，小车每次能送36 人，所有车辆送2 趟，且所有车辆均满员，正好送完，则大车比
小车。
A.多5 辆
B.多2 辆
C.少2 辆
D.少5 辆
【3】甲、乙两种笔的单价分别为7 元、3 元，某小学用60 元钱买这两种笔作为学科
竞赛一、二等奖奖品。钱恰好用完，则这两种笔最多可买的支数是（）
A.12
B.13
C.16
D.18
【4】植树节当天，某学校的两个班自发组织了一些人去植树。甲班每人植树3 棵，乙
班每人植树5 棵，两个班共植树115 棵。那么，两班植树人数之和最多为( )人。
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496
A.36
B.37
C.38
D.39
【5】设a，b 均为正整数，且有等式11a＋7b＝132 成立，则a 的值为？（）
A.6
B.4
C.3
D.5
（2）不定方程组：
方法六：不定方程组：消元后再利用上述方法；
方法五：赋“0”（求X+Y+Z）
【6】某次田径运动会中，选手参加各单项比赛计入所在团体总分的规则为：一等奖得
9 分，二等奖得5 分，三等奖得2 分。甲队共有10 位选手参赛，均获奖。现知甲队最后总
分为61 分，问该队最多有几位选手获得一等奖？
A.3
B.4
C.5
D.6
【7】某企业年终评选了30 名优秀员工，分三个等级，分别按每人10 万元、5 万元、
1 万元给与奖励。若共发放奖金89 万元，则获得1 万元奖金的员工有：
A.14 人
B.19 人
C.20 人
D.21 人
【8】某地遭受重大自然灾害后，A 公司立即组织捐款救灾。 已知该公司有100 名员
工捐款，捐款额有300 元、500 元和2000 元三种，捐款总额为36000 元，则捐款500 元的
员工数是（ ）。
A.11 人
B.12 人
C.13 人
D.14 人
【9】幼儿园需采购春联、窗花、小狗玩偶三种新年用品，已知大班采购春联7 幅，窗
花12 对、小狗玩偶5 个，共花费200 元，中班采购对联9 幅、窗花19 对、小狗玩偶5 个，
共花费224 元。问小班采购春联10 幅，窗花10 对，小狗玩偶10 个需花费多少元？
A.170
B.176
C.340
D.352
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497
【10】去超市购买商品，如果购买9 件甲商品、5 件乙商品和1 件丙商品，一共需要
72 元；如果购买13 件甲商品、7 件乙商品和1 件丙商品，一共需要86 元。若甲、乙、丙
三种商品各买2 件，共需要多少钱？（）
A.88
B.66
C.58
D.44
【11】某班级去超市采购体育用品时发现买4 个篮球和2 个排球共需560 元，而买2
个排球和4 个足球则共需500 元。问如果篮球、排球和足球各买1 个，共需多少元？
A.250
B.255
C.260
D.265
【12】（2016 联考）木匠加工2 张桌子和4 张凳子共需要10 个小时，加工4 张桌子和
8 张椅子需要22 个小时。问如果他加工桌子、凳子和椅子各10 张，共需要多少个小时？
( )
A.47.5
B.50
C.52.5
D.55
【13】小刚买了3 支钢笔，1 个笔记本，2 瓶墨水花去35 元钱，小强在同一家店买同
样的5 支钢笔，1 个笔记本，3 瓶墨水花去52 元钱，则买1 支钢笔，1 个笔记本，1 瓶墨水
共需（ ）元
A.9
B.12
C.15
D.18
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498
（二十一）其他杂题
【“数”】
【例1】10 名志愿者准备将村民们刚采摘的一堆西瓜平均装上甲、乙两辆运输车，西
瓜总数正巧满足每个村民采摘的西瓜个数都等于该村村民数。志愿者们先每人抱一个西瓜
放到甲车上，然后每人抱一个西瓜放到乙车上，依次轮流进行，直到所剩西瓜少到容易清
点时再平分。当最后1 次把10 个西瓜放到甲车后，发现所剩西瓜不足10 个，于是，不得
不从甲车抱出几个与所剩西瓜一起放到乙车上，此时刚好两车所装西瓜一样多。问最后从
甲车拿出几个西瓜?
A.1
B.2
C.3
D.4
完全平方数：
（1）若其十位数为奇数，其个位数必为6；
（2）可以表示为3m 或3m+1；
（3）质数平方的约数只有3 个，例如25 的约数:1、5、25。
【例2】六个盘子中各放有一块糖，每次任意从两个盘子中各取一块放入另一个盘子
中，这样至少要做多少次，才能把所有的糖都集中到一个盘子中？
A.3
B.4
C.5
D.6
根据每次从任选的两个盘子中各取一块放入另一个盘子中，可知每操作一个盘子要么
增加2 块，要么减少1 块；设增加2 块的次数为x，减少1 块的次数为y，则6＝1＋2x－y
【例3】将14 拆成几个自然数的和，再求出这些数的乘积，可以求出的最大乘积是多
少?
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499
A.72
B.96
C.144
D.162
①把一个数“拆”成两数， “差越小，积越大”。
②把一个数“拆”成若干个自然数的和，“多用3，少用2，不用1”
③把一个数“拆”成若干个合数之和，并使这些合数相乘的积最大，“多用4，少用6 或
9”
【例4】将所有由1、2、3、4 组成且没有重复数字的四位数，按从小到大的顺序排列，
则排在第12 位的四位数是（ ）。
A.3124
B.2341
C.2431
D.3142
【例5】编一本书的书页，用了270 个数字（重复的也算。如页码115 用了2 个1 和1
个5 共3 个数字），问这本书一共多少页？
A. 117
B. 126
C. 127
D. 189
建议：一本书页码出现过的数字
三位数页码：页码＝（数字+111）÷３－1；
四位数页码：页码＝（数字＋1111）÷4－1。
【例6】在一本300 页的书中，数字“１”在书页中出现的次数（112 算2 次，111 算3
次）为多少次？（ ）
A.140
B.160
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500
C.180
D.120
建议：逐位考虑：本类题目的核心，就是数数字出现的次数。譬如我们看01-99 中2
出现的次数：①如果2 在个位上，这个数字应该是x2 的样子，x 可以是0—9 任意一个数
字，所以有10 种；②如果2 在十位上，这个数字应该是2x 的样子，x 可以是0—9 任意一
个数字，所以有10 种。同样的方法解决其他区间和位置上的问题。
【例7】一个四位数“□□□□”分别能被15、12 和10 除尽，且被这三个数除尽时所得的
三个商的和为1365，问四位数“□□□□”中四个数字的和是多少？
A. 17
B. 16
C. 15
D. 14
建议：1.整除判定规则
（1）2，4，8 整除判定法则
①一个数能被2(或者5)整除，当且仅当末一位数字能被2(或者5)整除；
②一个数能被4(或者25)整除，当且仅当末两位数字能被4(或者25)整除；
③一个数能被8(或者125)整除，当且仅当末三位数字能被8(或者125)整除；
（2）3，9 整除判定基本法则
①一个数字能被3 整除，当且仅当其各位数字之和能被3 整除；
②一个数字能被9 整除，当且仅当其各位数字之和能被9 整除。
（3）7，11 整除判定法则：
若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2 倍，如果差是7 的倍
数，则原数能被7 整除。
一个整数由右边个位向左边数，奇位上的数字之和与偶位上的数字之和的差如果能被
11 整除(包括0)，则这个数就能被11 整除，这种方法叫“奇偶位差法”。
【例8】李雷和韩梅梅去昆仑山探险，发现山洞里有一个石门，上面有一个九宫格式
的按钮，按钮上有1 到9 九个数字，在其下方写着的个位数3×92015－4×82016是什么，那
么帮他们打开宝藏大门的数字是：
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501
A. 1
B. 4
C. 3
D. 2
“乘方尾数”：一个数的尾数，其4 次方后尾数都会循环。例如71 = 7，72尾数为9，
73尾数为3，,74尾数为1，75尾数为7 ….因此，𝑎𝑚的尾数可如下求法：
第一步：取a 的个位数字；
第二步：指数m 末两位除以4 留余数（若余数为0 则看作4）。
例如92023的尾数为：93尾数为1。
【硬币问题】
【例1】小孟有58 枚硬币，其中1 枚为假，目前仅知道真币重量相同，假币重量偏轻，
如果小孟手中只有一个天平，则最少称（ ）次一定能找出假币。
A.4
B.5
C.6
D.7
【例2】体育彩票22 选5 中使用的22 个彩球除编号不同外，其余完全一样。由于生
产过程疏忽，22 个彩球中有一个球的重量略重于其他球。现需用天平将该球找出。那么，
在最优方案下，最多需要使用天平：
A.3 次
B.4 次
C.5 次
D.6 次
【拿牌问题】
【例1】甲乙两人在玩一个沙盘游戏，比赛的规则是：在一个分为50 个单位的区域上，
每人轮流去划定这些区域作为自己的领地，每次可以划定1 到5 个单位，谁作为最后划定
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502
区域的人则为胜利者，如果由甲划定，那么甲一开始要划定（ ）个单位，才能保证自己获
胜。
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
如果总数为 Ａ，每轮两人加起来可以拿的恒定总和为 Ｎ（即每次能拿的数量中，最大
与最小数字之和），Ａ除以Ｎ余数为Ｘ，那么：自己先拿牌，如果第一次就拿Ｘ张牌的话，
可以保证自己能拿到最后一张牌，如果第一次就拿（Ｘ－１）张牌的话，可以保证对方拿
到最后一张牌。
例如：两个人玩拿牌游戏，54 张牌，每次可以取1-7 张牌，若想最后一次取完剩余
牌，可作如下思考：
第一步：每轮两人加起来可以拿的恒定总和为 Ｎ=1+7=8（无论对方如何取，你都可以
凑成8）；
第二步：54÷8=6 余6，则第一次取6 张，剩余48 张，每次凑8，最后一次时无论对方
取多少你都可以凑8。
【例2】一副扑克牌（共54 张）。甲、乙两人轮流拿牌，每人每次只能拿1、2、3 或
者4 张，谁拿到最后一张谁赢。 若甲先拿牌，则甲第一次应该拿多少张牌，才能确保获胜？
A.1
B.2
C.3
D.4
【向量问题】
某城市朝阳区有两条立体交叉主干道，卫星观测到其延伸方向分别用a⃗ ，b⃗ 两个向量表
示，其中a⃗ = (1，1，1)，b⃗ = (1，−1，2)，要想在这两条立体交叉主干道之间修一条斜
拉支柱，使得该支柱与这两条主干道同时垂直，可以表示该支柱延伸方向的是：
A.（1,1,-1）
B.（-3,1,2）
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503
C.（1,2,3）
D.（-1,2,-3）
【九宫格问题】
将1-9 九个数字分别填入右边的九宫阵，使阵中每一行、每一列，对角线的三个数字
之和均为15，其中的数字1 可以填入阵中的哪个位置？
A. A
B. B
C. C
D. D
如图所示，在3×3 方格表的空格内填入恰当的数后，可使每行、每列以及两条对角线
上的三个数的和都相等。问方格表内“x”的值是多少？
A.2
B.9
C.14
D.27
【染色问题】
劳动技能课上老师给出一道手工题：一张正方形纸片，在一对对角处各减去一个边长
为1 厘米的小正方形（如右图所示），想办法把这个缺角的正方形恰好剪成一些长2 厘米、
宽1 厘米的小矩形，问初始的大正方形边长要多大时，任务才有可能完成？
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504
A.8 厘米
B.15 厘米
C.32 厘米
D.以上答案都不对
【其他问题】
【例1】编号为1~55 号的55 盏亮着的灯，按顺时针方向依次排列在一个圆周上，从1
号灯开始顺时针方向留1 号灯，关掉2 号灯；留3 号灯，关掉4 号灯……这样每隔一盏灯
关掉一盏，转圈关下去，则最后剩下的一盏亮灯编号是：
A.50
B.44
C.47
D.1
【例2】现有6 个一元面值硬币正面朝上放在桌子上，你可以每次翻转5 个硬币（必
须翻转5 个），问你最少经过几次翻转可以使这6 个硬币全部反面朝上？
A.5 次
B.6 次
C.7 次
D.8 次
【例3】有一架天平，只有5 克和30 克的砝码各一个。现在要用这架天平把300 克味
精平均分成3 份，那么至少需要称多少次？
A.3 次
B.4 次
C.5 次
D.6 次
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
505
【例4】一只天平有7 克、2 克砝码各一个，如果需要将140 克的盐分成50 克、90 克
各一份，至少要称几次？
A.六
B.五
C.四
D.三
【例5】一根长200 米的绳子对折三次后从中间剪断，最后绳子的段数为：
A.8
B.9
C.11
D.16
剪刀绳子问题公式：对折n 次，剪m 刀，绳子可分成的段数为2𝑛× 𝑚+ 1（剪口个数
＋1）
平均数的结论：若有𝐴1、𝐴2、𝐴3 ⋯𝐴𝑚共m 个数，
（1）若从m 个数中任意选n 个数，则每个数都会出现𝐶𝑚−1
𝑛−1次；
证明：每个数出现的频次是相同的，以𝐴1为例，若选了𝐴1，则还需要选（n-1）个数，
此时总数还剩下（m-1）个数。
数量关系一本通 | 公考宋捏捏
506
（2）m 个数中任意选n 个数，并取这n 个数的平均数，这些平均数记为𝑋1 + 𝑋2 +
⋯+ 𝑋𝐶𝑚
𝑛，则𝐴1、𝐴2、𝐴3 ⋯𝐴𝑚的平均数为
𝑋1+𝑋2+⋯+𝑋𝐶𝑚
𝑛
𝐶𝑚
𝑛
。
证明：根据（1）结论，每个数都出现𝐶𝑚−1
𝑛−1次，以𝐴1为例，𝐴1出现了𝐶𝑚−1
𝑛−1次，但被除
了n，因此𝑋1 + 𝑋2 + ⋯+ 𝑋𝐶𝑚
𝑛中共有
𝐶𝑚−1
𝑛−1
𝑛个𝐴1，从而可得：𝑋1 + 𝑋2 + ⋯+ 𝑋𝐶𝑚
𝑛=
𝐶𝑚−1
𝑛−1
𝑛×
（𝐴1 + 𝐴2 + 𝐴3 ⋯+𝐴𝑚），而
𝐶𝑚−1
𝑛−1
𝑛
=
𝐶𝑚
𝑛
𝑚，推得𝑋1 + 𝑋2 + ⋯+ 𝑋𝐶𝑚
𝑛=
𝐶𝑚
𝑛
𝑚× (𝐴1 + 𝐴2 +
𝐴3 ⋯+𝐴𝑚)。
