从另一个角度讲初中数学(六十六)、平均数、中位数、众数——三个“代表”,各有各的脾气

咱们前面用了二十多课，把初中函数的整个体系讲完了。

从函数的概念，到一次函数、反比例函数、二次函数，再到函数综合大题——函数这一大块，到此收尾。

那今天这一课，咱们进入一个全新的板块——统计与概率。

这个板块跟前面的代数、函数完全不同。它不需要复杂的计算，但特别考验你对概念的理解。

今天这一课，咱们先讲统计里最基础的三个概念：

平均数、中位数、众数。

它们都是用来“代表一组数据”的。但三个“代表”各有各的脾气，用错了就会闹笑话。

一、先看一个例子：到底哪个数能代表全班水平？

假设你们班有5个同学，某次数学考试成绩分别是：

100分、95分、90分、85分、40分

老师问：“你们班这次考试大概什么水平？”

你怎么回答？

你可能会算一下平均数：

(100+95+90+85+40) ÷ 5 = 410 ÷ 5 = 82分

但你觉得82分能代表全班水平吗？班里四个人都在85分以上，只有一个人考了40分，把平均分拉下来了。

这时候，中位数可能更合适。

把成绩从小到大排：40、85、90、95、100

正中间那个数是 90。

90分比82分更能代表大多数人的水平。

你看，同一个数据，用不同的“代表”，得出的结论完全不同。

这就是为什么我们要学三个“代表”——它们各有各的用途。

二、平均数——最常用，但也最容易被“带偏”

定义： 所有数据加起来，除以数据的个数。

公式：

平均数 = 所有数据之和 ÷ 数据个数

比如上面的例子：

(100+95+90+85+40) ÷ 5 = 82

平均数的优点：

• 用到了所有数据，信息量最全。

• 计算简单，大家都会。

平均数的缺点：

• 容易受极端值影响。 一个特别大或特别小的数，就能把平均数拉高或拉低。

比如上面那个40分，就是一个“极端值”。它把平均分从90分拉到了82分。

所以：当数据里有极端值时，平均数就不太能代表整体水平了。

三、中位数——把数据排好队，取中间那个

定义： 把数据从小到大（或从大到小）排列，正中间的那个数。

如果数据个数是奇数： 正中间的那个数就是中位数。

比如：40、85、90、95、100 → 中位数是 90

如果数据个数是偶数： 中间两个数的平均数就是中位数。

比如：40、85、90、95 → 中间两个是85和90 → 中位数是 (85+90)÷2 = 87.5

中位数的优点：

• 不受极端值影响。 你把100分改成10000分，中位数还是90。

中位数的缺点：

• 没有用到所有数据的信息，只用了位置信息。

所以：当数据里有极端值时，中位数比平均数更能代表整体水平。

四、众数——出现次数最多的那个数

定义： 一组数据里，出现次数最多的那个数。

比如某次考试，全班成绩是：

85、90、90、90、95、95、100

数一数：90出现了3次，95出现了2次，85和100各1次。

出现最多的是 90，所以众数是 90。

众数的优点：

• 直接反映“最常出现”的情况。

• 不受极端值影响。

众数的缺点：

• 可能没有众数（所有数都只出现一次）。

• 可能有多个众数（两个数出现次数一样多）。

所以：当你想知道“大多数人是什么情况”时，众数最合适。

五、三个“代表”的对比

六、方差——数据波动有多大

学会了三个“代表”，还有一个重要的概念——方差。

平均数、中位数、众数，描述的是数据的“中心位置”。但两组数据可能中心位置一样，波动却完全不同。

比如：

A组：90、90、90、90、90B组：70、80、90、100、110

两组平均数都是90。但A组数据完全一样，B组数据忽高忽低。

方差就是用来描述“数据波动大小”的。

方差越大，数据越分散（波动越大）。方差越小，数据越集中（波动越小）。

方差的计算公式：

方差 = [(x₁-平均数)² + (x₂-平均数)² + … + (xₙ-平均数)²] ÷ n

简单说就是：每个数据与平均数的差的平方，加起来求平均。

例子：

A组：90、90、90、90、90

平均数=90，每个数与平均数的差都是0，方差=0（完全不波动）。

B组：70、80、90、100、110

平均数=90，差分别是：-20、-10、0、10、20

平方后：400、100、0、100、400

加起来：1000

方差 = 1000÷5 = 200

所以B组的方差是200，比A组大得多，说明B组波动更大。

七、方差的意义——稳定性

方差在实际中特别有用。

比如：两个射手打靶，平均环数都是9环。但A的方差小，B的方差大。

说明A每枪都很稳定，B忽高忽低。

方差小 = 稳定；方差大 = 不稳定。

讲到这里，咱们把统计的三个“代表”和方差彻底讲清楚了：

• 平均数：用到所有数据，但容易被极端值带偏。

• 中位数：排序后取中间，不受极端值影响。

• 众数：出现次数最多的数，反映最常见情况。

• 方差：描述数据的波动大小，方差越小越稳定。

• 三个“代表”各有各的用途：数据均匀用平均数，有极端值用中位数，看最常见情况用众数。

那统计部分讲完了，下一课咱们进入概率。

概率是什么？简单说就是“某件事发生的可能性有多大”。

比如：扔一枚硬币，正面朝上的概率是1/2。

扔一个骰子，扔出6的概率是1/6。

概率怎么算？怎么用？下一课咱们接着唠。

关注我们