高中物理模型&知识总结 200 例|第 5 期 追及相遇问题

追及相遇问题

适合：【高三一轮】【压轴】

一、模型识别

两个物体在同一直线上运动，题目问"能不能追上""相距最远多少""什么时候相遇"——这就是追及相遇。

不管题目怎么包装，落点只有一个：速度相等的那一刻。

识别信号：

• 两个物体，同向（追及）或相向（相遇）
• 题目出现"相距""追上""相遇""恰好不相撞"
• 一般给出两个物体的初速度、加速度，求时间或距离

二、核心规律

判据：两物体速度相等时，它们的距离取极值

在速度相等的前后，"谁更快"正好反过来，所以距离是"先缩小后拉大"或"先拉大后缩小"，分界点就是速度相等那一刻。

两种典型情形：

• 后者快、在追近前者 → 速度相等时相距最近；若此刻仍没追上，就永远追不上
• 前者快、把后者越甩越远 → 速度相等时相距最远

能不能追上，两条路都行

• 临界法：算出速度相等时刻及此刻的距离差，与初始间距比一比
• 方程法：令 ，解出关于时间  的一元二次方程，再看判别式 

判别式的三种结果：

• ：两个正根，相遇两次
• ：一个解，恰好相遇（临界）
• ：无解，追不上

一句话：先找"速度相等"那个瞬间，再看这一刻两车差多少。

三、例题 1（基础 · 同步）

题甲车以  沿直线匀速行驶，经过路边静止的乙车时，乙车立即以  匀加速同向出发。求：（1）乙车追上甲车之前，两车相距最远的时刻和最远距离；（2）乙车追上甲车所用的时间。

思路"相距最远"落在速度相等那一刻，"追上"则是两车位移相等。

解

（1）两车速度相等时相距最远：

这 4 s 内两车位移：

最远距离：

（2）追上时两车位移相等，都从乙车出发点算起：

 是乙车出发的瞬间，舍去。

追上之后乙车速度已超过甲车，两车距离重新拉大——这正是"速度相等是分界点"的体现。

答案（1） 末相距最远，最远 ；（2） 追上。

四、例题 2（难度）

题甲车停在路口等待，绿灯亮起时以  匀加速启动。与此同时，乙车以  匀速从甲车后方  处沿同一直线驶来。求：（1）两车相遇的时刻；（2）两车速度相等的时刻，并说明此刻两车距离的特点。

关键步骤

取甲车启动点为原点、运动方向为正方向， 时刻两车位置：

第一步相遇就是位置相同，列方程解：

两个根都是正数，说明两车相遇两次： 乙车追上甲车， 甲车加速后反超乙车。

第二步速度相等的时刻：

第三步此刻两车位置：

两车相距 。这是两次相遇之间距离最大的时刻：在这之前甲车比乙车慢、差距在拉大；在这之后甲车更快、差距开始缩小，直到  被反超。

答案（1） 和  各相遇一次；（2） 时速度相等，此刻两车相距 ，是两次相遇之间的最大间距。

五、易错点

• "速度相等"不等于"相遇"：它只是距离取极值的位置，能否相遇还要看这一刻差了多少。
• 方程解出两个正根时，两个都要保留，它们对应两次相遇；根为负或判别式小于零，要说明物理原因再舍去。
• 前车可能提前停下：前车做减速运动时，速度相等之后它也许已经停止，不能再套  那一套。
• 算出  要回到情境里检验：物体是否已停下、是否还在题目给定的运动范围内。

一句话总结

追及相遇只有一个开关——速度相等的瞬间：此前距离在变，此后方向反转；先算这一刻，再下结论。