ARTICLE · 1259132
初中数学三角形梳理(三):特殊三角形
初中数学三角形梳理(三):特殊三角形初中遇到的特殊三角形为：等腰、等边、直角三角形，孩子嘴里都会说“三线合一”“勾股定理”，可一到题里就不知道用哪条。 今天我把这三类三角形按“概念—性质—判定”捋一遍。 先记住三句话： · 等腰三角形：有两条边相等。 · 等边三角形：三条边都相等，是等腰三角形的特例。 · 直角三角形：有一个角是90°。 等边一定是等腰，等腰不一定是等边。等腰直角三角形，就是两种身份叠在一起。 一、等腰三角形 1. 概念 有两条边相等的三角形，叫等腰三角形。 相等的两条边叫腰，另一边叫底边。两腰所夹的角叫顶角，腰和底边的夹角叫底角。 2. 性质 等腰三角形最核心的就两条：等边对等角，三线合一。 · 两腰相等。 · 两个底角相等，简称“等边对等角”。 · 顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称“三线合一”。 · 它是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在直线，通常只有一条。 · 面积就是底×高÷2。如果腰是a，底是b，底边上的高可以用勾股定理推： h=√[a²-(b/2)²]。 这里我要多提醒一句：三线合一，必须是“顶角平分线、底边上的中线、底边上的高”这三条。不是随便一条腰上的线都成立。很多孩子做题出错，就是没对应好“顶角”和“底边”。 3. 判定 怎么判断一个三角形是等腰三角形？ · 定义：有两条边相等。 · 两个角相等，则它们所对的边也相等，简称“等角对等边”。 · 从同一个顶点出发，向对边作的高、中线、角平分线，只要其中有两条重合，就可以判定这个三角形是等腰三角形，对边是底边。 · 如果一个点在线段的垂直平分线上，那么它到线段两端的距离相等，也能构造出等腰三角形。 4. 常见坑 已知等腰三角形两边是3和6，求周长。不能直接写3+3+6=12，因为3+3=6，三角形不成立。正确答案是腰为6、底为3，周长15。 已知等腰三角形一个角是80°，求另外两个角。要分两种情况：80°是顶角，底角就是50°、50°；80°是底角，另一个底角也是80°，顶角就是20°。 等腰题一旦没图，先画图，再分类。 二、等边三角形 1. 概念 三条边都相等的三角形，叫等边三角形，也叫正三角形。 它首先一定是等腰三角形，而且是最“正”的那种。 2. 性质 · 三条边相等。 · 三个角相等，每个角都是60°。 · 每个顶点处都满足“三线合一”：中线、高、角平分线重合。 · 有三条对称轴。 · 若边长是a，则高是 √3/2·a，面积是 √3/4·a²。记不住没关系，用勾股定理能推。 · 等边三角形经常和30°、60°的直角三角形一起考。 3. 判定 · 三条边相等。 · 三个角相等。 · 有一个角是60°的等腰三角形，是等边三角形。 · 有两个角是60°的三角形，是等边三角形。 注意：普通三角形里有一个角是60°，不能直接说它是等边。比如30°、60°、90°的直角三角形，也有60°，但它不是等边。必须加上“等腰”这个条件。 4. 常见坑 等边三角形的高不是边长的一半。边长是a，高是 √3/2·a。这个结论很多孩子会记混。 三、直角三角形 1. 概念 有一个角是直角的三角形，叫直角三角形。 直角所对的边叫斜边，另外两条边叫直角边。斜边永远最长。 2. 性质 直角三角形是初中几何的“工具库”。 · 两个锐角互余，也就是加起来等于90°。 · 勾股定理：两条直角边的平方和等于斜边的平方。 若直角边是a、b，斜边是c，则 a²+b²=c²。 · 斜边上的中线等于斜边的一半。 · 直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 · 面积有两种算法： S=1/2ab=1/2ch，其中h是斜边上的高。 · 斜边的中点，到三个顶点的距离都相等。也就是说，斜边中点是直角三角形外接圆的圆心。 3. 判定 · 有一个角是90°。 · 两个锐角互余，则第三个角是90°。 · 勾股定理逆定理：如果三角形三边满足 a²+b²=c²，其中c是最长边，那么这个三角形是直角三角形，c所对的角是直角。 · 如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形，这条边是斜边。 勾股定理逆定理用的时候，第一步一定是找最长边。最长边对应直角。 4. 常见坑 30°角所对直角边等于斜边一半，这个性质必须是在直角三角形里。普通三角形里有一个30°角，不能直接套。 斜边上的中线等于斜边一半，不是等于斜边。很多孩子一着急就写错。 还有，勾股定理是 a²+b²=c²，其中c是斜边。如果题目没给图，先判断哪条边最长。 四、等腰直角三角形 这个也要单独说一下，考试里出现频率很高。 1.概念：有一个角是直角的等腰三角形，或者两条直角边相等的直角三角形。 2.性质： · 两个锐角都是45°。 · 斜边是直角边的√2倍。 · 斜边上的高、中线、角平分线重合，而且都等于斜边的一半。 · 面积是直角边平方的一半。 3.判定： · 等腰三角形中有一个角是90°。 · 直角三角形中有一个锐角是45°。 · 两条直角边相等，且夹角是90°。 等腰直角三角形其实就是“正方形的一半”。很多题一看到它，就可以想旋转、想补形。 五、我常让学生这样想 看到等腰三角形，先想：两底角相等、三线合一、作底边高。 看到等边三角形，先想：三个60°、三线合一、旋转60°。 看到直角三角形，先想：勾股定理、斜边中线、30°角、面积双算。 看到中点，先想：如果有直角，可能是斜边中线；如果没直角，想想中位线。 看到30°或60°，尽量往直角三角形上靠。 几何题不是背出来的，是画出来的。孩子如果这部分总丢分，先别急着刷题，把上面三类三角形的“概念—性质—判定”自己默写一遍，再画图验证。图一画，很多条件自己就跳出来了。 特殊三角形这块，先把等腰、等边、直角这三张地图装进脑子，后面学四边形、圆、相似，都会轻松很多。
