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高中数学各个击破126两个计数原理

发布时间：2026-10-31 11:04:57 最近访问：2026-10-31 11:04:58

高中数学各个击破126两个计数原理

两个计数原理：先分清「或者」与「然后」

高中数学各个击破 · 第 126 讲 | 第 21 册《计数原理》第 1 讲
本期考点：分类加法计数原理 ·分步乘法计数原理 ·分类与分步的嵌套 ·树状图 ·染色问题

📌 写在前面

整个《计数原理》这一册，从头到尾只有两条原理：分类用加法，分步用乘法。这句话人人会背，可一到具体题目还是错。

错的地方几乎从来不是"忘了用哪个原理"，而是没看清题目说的"一件事"到底是什么。

举个例子："从甲地到乙地，可以坐火车也可以坐汽车"，这里火车、汽车各自都能单独把你送到，所以是"或者"，用加法。而"从甲地经丙地到乙地"，坐完火车还得坐汽车才算到，所以是"然后"，用乘法。差别全在这一步完了，事做完了没有。

这一讲十道例题，把这个判据磨到能用为止：

例 1 到例 3 练分类。分类最难的是"凭什么这么分"，三道题给三个不同的抓手：按关键元素的状态分、按"多出来的那一个落在哪儿"分、按题目里最硬的那个条件分。
例 4 到例 6 练分步。分步最难的是"先安排谁"，关键一句是谁选谁：人选项目还是项目选人，答案差着两个数量级（例 4 的 729 与 216 就是这么分岔的）。
例 7 到例 10 练两个原理一起用。真实题目几乎都是"整体分步、局部归类"，或者"整体分类、局部分步"。例 7 会告诉你：先安排受限制最多的那一步，能让后面要分的类数直接减半。

还有两句最省事的话，先放在这儿：

数据不大就画树状图（例 9）。四个老师不在本班监考，列式子容易乱，画树状图三十秒出答案 9。
染色问题永远有两条路（例 10）：要么按"先染谁后染谁"一条路径走到底，要么按"用了几种颜色"先分大类。两条路都算出 420，才是真的算对了。

🎯 学习目标

能用自己的话说清：什么叫"完成一件事"，什么叫"某一类方案能独立完成这件事"；
能从题目里抓出关键词、关键元素、关键位置，据此定出分类标准或分步顺序；
能在"整体分步中局部归类""整体分类中局部分步"的复合题里，正确套用两个原理。

📖 要点提炼

一、两个原理，各一句话

	判据	算法	推广
分类加法	每一类里的每一种方法，单独就能把这件事做完
分步乘法	每一步只做完一部分，全部做完才算做完

两条原理各有一条不能忘的附注：

分类时，任意一种方法必须且只能属于某一类——不重不漏（例 8 最容易漏）；
分步时，每一步的方法数要与前面怎么选无关——否则这一步就不能直接乘，得先分类（例 7 的偶数日就是这么卡住的）。

二、"完成一件事"——先把这件事说准

拿到题先做一件事：把题目要你数的是什么，写成一句完整的话。

"数一数有多少种报名方法"——是"6 个人各自选定一个项目"这件事有多少种结果；
"数一数有多少种设计方案"——是"3 座桥的落点全部确定"这件事有多少种结果；
"数一数有多少种染色方法"——是"5 个顶点全部染完且每条棱两端异色"这件事有多少种结果。

这句话写不出来，后面一定乱。这句话一写出来，你就知道该问"是分类还是分步"了。

三、分类的标准从哪来

分类标准不是凭空挑的，从三处找：

关键元素的状态。例 1 里"岛 A 连 1 座桥还是 2 座桥"就是状态；例 8 里"甲盒放 2 个、1 个还是 0 个球"也是状态。
多出来的那一个落在哪儿。例 2 里 4 个人分到 3 个路口，必有一个路口站 2 人——"哪个路口站 2 人"就是天然的分类标准。
题目里最硬的那个条件。例 3 里"生物只可选 B 层"最硬，于是先按"生物放第几节"分；例 7 里"甲的车最多用一天"最硬，于是先把甲的车安排掉。

一句话：分类标准 = 题中最受限制的那个东西的所有可能状态。

四、分步的顺序从哪来：谁选谁

这是分步题唯一的难点。判据只有一句：看最后那个结果，是谁被分配给了谁。

"每人恰好参加一项"——人选项目：每个人有 3 种选法，6 个人，；
"每项限报一人"——项目选人：每个项目从人里挑 1 个，或，取决于人能不能重复。

同一个场景，主语一换，答案从 729 变成 216。例 4 就是把三种说法摆在一起让你比。

五、数据不大，就画树状图

有一类题，数字不大但关系式讲不清楚：4 个老师错开监考、3 个人传 4 次球、5 只猴子撞 9 根树枝。这时候别硬凑式子，画树状图一层一层往下数。

树状图还有个隐藏好处：它天然是"分类——分步——分类"交替的结构，画一遍你就知道哪儿该加哪儿该乘了。例 9 就是这么做的。

六、染色问题的两条路

染色问题的统一结构是：若干区域 + 相邻区域必须异色 + 一盒颜色。

路径法：先设计一条染色顺序（通常从相邻最多的那个区域开始），按顺序乘下去；遇到"某一步的方法数依赖前面的选择"就停下来分类。见例 10 方法二。
用色数法：先按"一共用了几种颜色"分大类，再在每类里分配颜色。见例 10 方法三。

两条路互相对答案，是本讲最实用的一道保险。

七、三处必踩的坑

把"分步"当成了"分类"。例 5 里最容易犯的错是"按有几个人参与值班分类"——一旦这么分，类与类之间会重叠（同一个人可以在不同类里出现），加法直接失效。判据：分完类以后，任意两种方法能不能各自独立完成这件事？不能，就不是分类。
**分步时忽略了"这一步的依赖"**。例 7 的偶数日，甲的车只能用一天，所以"第二天有多少种选法"取决于"第一天用没用甲的车"——这时候不能硬乘，得拆成两类再乘。
重复计数，或者漏掉一类。例 8 的两小问，容量不同的盒子加上"同色/异色"的禁令，稍不留神就少算。对策是固定一个盒子作为分类依据，把它放几个球的所有情况列全（放 2 个、放 1 个、放 0 个），再逐类往下走。

🧮 范例精讲

十道例题按"先分类、再分步、最后合起来用"排成三组。每道题先说清这件事是什么，再动手数。

组一　分类加法：分类标准从哪里找

例 1　四座岛，三座桥

如图，某景观湖内有 4 个人工小岛，为方便游客登岛观赏美景，现计划设计 3 座景观桥连通 4 个小岛。若每座桥只能连通 2 个小岛，且每个小岛最多有 2 座桥连接，则设计方案最多有（　　）

A、种 B、种 C、种 D、种

先把"一件事"说准：要确定的是"3 座桥各自连哪两个岛"，桥与桥之间不区分先后。

解析（思路一：按岛 A 连几座桥分类）。

3 座桥连通 4 个岛，边数 = 点数，所以这个图是一棵树；又每个岛最多连 2 座桥，即每个顶点的度数不超过 2——一棵所有顶点度数都不超过 2 的树，只能是一条链。于是"设计方案"就是"把 4 个岛排成一列"。

按岛在链上的位置分类：

只连 1 座桥：是链的一端，剩下依次排开，有种；
连 2 座桥：在链的中间。由于链反着读是同一个方案，只需数" 前面 1 个岛、后面 2 个岛"的情形：前面那个岛有种选法，后面两个岛排顺序有种，共种。

由分类加法计数原理，种。选 B。

解析（思路二：直接数排列）。

既然方案就是"4 个岛排成一列"，而一条链从哪端读起都一样，所以方案数为。

评注：这道题真正的门槛是把两句话翻译成图论语言——"3 座桥连通 4 个岛"逼出"树"，"每岛最多 2 座桥"逼出"链"。翻译完，方案数就是。分类标准（岛连几座桥）来自关键元素的状态，这是找分类标准最常用的一招。

例 2　四名志愿者，三个路口

4 名交通志愿者甲、乙、丙、丁申请在五一期间到 3 个路口协助交警执勤，每人执勤一天，他们申请执勤路口的意向如下表：

交通路口
志愿者	甲、乙、丙、丁	甲、乙、丙	丙、丁

这 4 名志愿者的申请被批准，且执勤安排也符合他们的意向，若要求 3 个路口都有志愿者执勤，则不同的安排方法有（　　）

A、种 B、种 C、种 D、种

解析。 4 个人分到 3 个路口且每个路口至少 1 人，所以必有一个路口站 2 人——"哪个路口站 2 人"就是天然的分类标准。

路口站 2 人：先选这 2 人。注意剩下的 2 人要能分去、且各自符合意向：

甲乙去：剩丙丁，只能丙去、丁去，种；
甲丙去：剩乙丁，只能乙去、丁去，种；
甲丁去：剩乙丙，只能乙去、丙去，种；
乙丙去：剩甲丁，只能甲去、丁去，种；
乙丁去：剩甲丙，只能甲去、丙去，种；
丙丁去：剩甲乙，但乙不能去、甲不能去，种。共种。

路口站 2 人（只能从甲、乙、丙中选）：

甲乙去：剩丙丁，丙去丁去、或丙去丁去，种；
甲丙去：剩乙丁，只能乙去、丁去，种；
乙丙去：剩甲丁，只能甲去、丁去，种。共种。

路口站 2 人：只接受丙、丁，所以必是丙丁去，剩甲乙分去、，有种。

由分类加法计数原理，种。选 B。

评注：分类标准来自"多出来的那一个落在哪儿"。这一类"把个东西分进个盒子、每个盒子不空"的题，标准动作就是先找出那个装 2 个的盒子。另外注意：分类之后每一类内部还要逐条核对意向表，不能只数完人数就收工——这正是本题路口那一类里"丙丁"要被排除的原因。

例 3　（多选）选课走班

某校实行选课走班制度，小李选择了地理、生物、政治这三科，且他可选修的生物课在层，该校周一上午选课走班的课程安排如下表所示，小李选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则下列说法正确的是（　　）

	第一节	第二节	第三节	第四节
地理	地理 1 班	—	地理 2 班	—
生物层	生物层 1 班	生物层 3 班	—	生物层 4 班
生物层	—	生物层 1 班	生物层 2 班	—
政治	政治 1 班	—	政治 2 班	政治 3 班

A、小李有 4 种选课方式 B、小李有 5 种选课方式

C、自习不可能安排在第 2 节 D、自习可安排在四节课中的任一节

解析。 题目里最硬的条件是"生物只能选层"，而生物层只在第二、三节开课——于是按生物放第几节分类。

生物放第二节：地理可选第一节或第三节（种）。剩下两节要放政治和自习：

地理第一节 → 剩第三、四节，政治可选政治 2 班（第三节）或政治 3 班（第四节），自习占另一节，种；
地理第三节 → 剩第一、四节，政治可选政治 1 班（第一节）或政治 3 班（第四节），自习占另一节，种。共种，此时自习可在第一、三、四节。

生物放第三节：地理只能第一节，政治只能第四节（政治 1 班在第一节已被地理占、政治 2 班在第三节已被生物占），自习只能第二节，种。

共种，且四节课都出现过自习（第一节、第三节、第四节来自第一类，第二节来自第二类）。选 BD。

评注：题干很长，但要抓的只有一句——"生物在层"。分类标准 = 题中最受限制的那个东西的可能状态，这句话在这道题上最直观。另外，多选题的四个选项是"两问"：一问方式数、一问自习的位置，所以算完 5 种以后还要顺手记下每种里自习落在第几节。

组二　分步乘法：先想清楚"谁选谁"

例 4　六个人报三个项目

有 6 名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？（6 名同学不一定都参加）

（1）每人恰好参加一项，每项人数不限；

（2）每项限报一人，且每人至多参加一项；

（3）每项限报一人，但每人参加的项目不限。

解析。 三问的差别全在"谁选谁"。

（1）每人恰好参加一项——人选项目：每个人从 3 个项目里挑 1 个，各有种；6 个人依次选定，由分步乘法计数原理得。
（2）每项限报一人，每人至多一项——项目选人，且人不能重复：第一个项目从 6 人中选个，第二个从剩下 5 人中选，第三个从剩下 4 人中选，得。
（3）每项限报一人，但每人参加项目不限——项目选人，人可重复：每个项目都从 6 人中选个，三个项目依次选，得。

评注：这是一道纯概念辨析题，值得把三句话反复念几遍。（1）是"人选项目，项目可以没人参加"；（2）是"项目选人，每人至多一个项目"；（3）是"项目选人，同一个人可以被多个项目选中"。主语一换，指数就换了底：与差了三倍多，就是这个道理。

例 5　七天值班

在国庆长假期间，要从 7 人中选若干人在 7 天假期值班（每天只需 1 人值班），不出现同一人连续值班 2 天的情况，有多少种安排方法？

解析。 按天分步：

第 1 天无任何限制，种；第 2 天只要不和第 1 天同一人，种；第 3 天只要不和第 2 天同一人，种；……一直到第 7 天，都是种。

（注意：第 3 天可以和第 1 天同一人，题目只禁止"连续两天"，所以每一步的可选人数都稳定是，可以直接乘。）

由分步乘法计数原理，种。

评注：这道题最大的诱惑是"按有几个人参与值班分类"——一旦这么分，同一个人会同时属于好几个类，分类立刻失效（既不独立，又重复）。判据很简单：分完的每一类里，随便挑一种方法，能不能单独把"排完 7 天班"这件事做完？ 不能。所以这是分步，不是分类。

例 6　不同行不同列地选人

在某次活动中，有 30 个人排成 6 行 5 列，现要从中选出 3 人分别进行唱歌、跳舞和杂技三项不同的表演，要求这 3 人中的任意 2 人不同行也不同列，则不同的选法有 ______ 种。

解析。 三项表演各不相同，所以选出来的人有顺序（谁唱歌、谁跳舞、谁杂技），按"表演项目"分步：

唱歌：30 人中任选，种；选完后这一行这一列不能再选，剩下行列共人；
跳舞：从剩下的人中选，种；再划掉一行一列，剩下行列共人；
杂技：从剩下的人中选，种。

由分步乘法计数原理，种。

图7 例6：不同行不同列，选一次划掉一行一列

评注：每一步"划掉一行一列"是关键动作，它保证了下一步的可选人数与前面怎么选无关（恒为、恒为），所以可以直接连乘。凡是"下一步的方法数不依赖前面的具体选择"的题，都可以放心地乘——这条经验要记住，例 7 会给出反面情形。

组三　两个原理一起用：整体分步，局部归类

例 7　限行日的拼车方案

甲与其四位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是。为遵守当地某月 5 日至 9 日这 5 天的限行规定（奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行），五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车。若甲的车最多只能用一天，则不同的用车方案有（　　）

A、种 B、种 C、种 D、种

解析。 5 日至 9 日是，其中奇数日 3 天、偶数日 2 天。甲的车尾数是（偶数），只能偶数日通行，且最多用一天。

第一步：安排奇数日。 甲的车不能上路，每天只能从尾数两辆车中选，共种。

第二步：安排偶数日，这里要分类——因为"甲的车用不用"会影响后面每天的选择数：

用甲的车天：先选哪一天（种），另一天从另外两辆偶数车中选（种），共种；
不用甲的车：每天从另外两辆偶数车中选，共种。

偶数日共种。由分步乘法计数原理，种。选 D。

变式：若甲的车牌尾数为，四位同事的车牌尾数分别为，其他条件不变，则不同的用车方案有多少种？

这一次甲的车（奇数尾）只能在奇数日通行：

偶数日：甲的车不能上路，每天种，种；
奇数日：用甲的车天（先选哪天种，其余两天各种，共种），或不用甲的车（种），共种。

总数为种。

评注：两道题的第一步都是先安排甲的车不能通行的那些天——因为这些天的方法数干干净净，可以直接乘；把"甲的车最多一天"这个麻烦集中到少数几天里再分类，分类数就从"五天里选一天"降到了"两天里选一天"。这就是"先处理最受限制的元素"的实惠：它直接减少后面要分的类。

例 8　把球放进四个盒子

将 2 个相同的红球和 2 个相同的黑球全部放入甲、乙、丙、丁 4 个盒子，其中甲、乙盒子均最多可放 2 个球，丙、丁盒子均最多可放 1 个球。

（1）若不同颜色的球不能放入同一个盒子里，则共有多少种不同的方法？

（2）若相同颜色的球不能放入同一个盒子里，则共有多少种不同的方法？

解析。 两问都以"甲盒放几个球"为分类依据（放个、个、个三类），逐类往下数。

（1）不同颜色不能同盒，即每个盒子里只能放一种颜色。

甲放 2 个：必为 2 红或 2 黑（种）。剩下 2 个同色球：都放乙（种）、1 个放乙另 1 个放丙或丁（种）、丙丁各 1 个（种），共种。此类种。
甲放 1 个：颜色可为红或黑（种）。设甲放红，剩下 1 红 2 黑：

乙放 2 黑，剩 1 红放丙或丁 → 种；
乙放 1 红（与甲同色），剩 2 黑只能丙丁各 1 → 种；
乙放 1 黑，剩 1 红 1 黑放丙丁 → 种。共种，此类种。

甲放 0 个：4 个球全放乙、丙、丁，乙必须放 2 个同色，丙丁各放 1 个另一色，共种。

合计种。

（2）相同颜色不能同盒，即每个盒子里最多 1 红 1 黑。

甲放 2 个：必为 1 红 1 黑（只有种组合）。剩 1 红 1 黑放乙丙丁：都放乙（种）、1 个放乙另 1 个放丙或丁（种）、丙丁各 1 个（种），共种。
甲放 1 个：颜色种。设甲放红，剩 1 红 2 黑：

乙放 1 红 1 黑，剩 1 黑放丙或丁 → 种；
乙放 1 红，剩 2 黑只能丙丁各 1 → 种；
乙放 1 黑，剩 1 红 1 黑放丙丁 → 种。共种，此类种。

甲放 0 个：乙必须放 1 红 1 黑，丙丁各放 1 个且异色，共种。

合计种。

评注：这类题唯一的防御手段是固定一个盒子作分类依据，把它"放几个"的所有情况列全（2 个、1 个、0 个），再逐类走到底。漏掉"甲盒放 0 个"这一类是最常见的失分点。另外注意两问的禁令正好相反：（1）每盒单色，（2）每盒至多一红一黑——读题时把禁令翻译成"盒子里允许什么"，比硬记原话可靠。

例 9　四个老师不在本班监考

有 4 人分别在同一个年级的 4 个班中担任数学老师，在数学测试时要求每位老师不能在本班监考，则监考的方法有（　　）

A、种 B、种 C、种 D、种

解析。 设 4 个班为，任课老师分别为，要求不去、不去、不去、不去。以"谁去班"分类（、、三种），每一类里把剩下三人往上排：

班由监考：剩去，且不去、不去，合法的有共种；
班由监考：剩，且不去、不去，合法的有共种；
班由监考：剩，且不去、不去，合法的有共种。

由分类加法计数原理，种。选 B。

（这就是有名的"错排"：时。用公式算：。）

评注：数据很小、关系式讲不清，那就画树状图。树状图的每一层就是一步、每一个分叉就是一类，画完自然知道哪里加哪里乘。这一技巧在第 2 讲之后还会专门强化。

例 10　给四棱锥的顶点染色

如图，将四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的 2 个端点异色。如果只有 5 种颜色可供使用，求不同染色的方法总数。

解析（方法一：按三角形打底）。

两两相邻（、都是棱，是底面边），所以它们颜色互不相同，有种。

固定的颜色分别为。此时与、相邻，，故：

（与同色）：与、、相邻，，种；
：，，种；
：，，种。

故有种。由分步乘法计数原理，种。

解析（方法二：按与是否同色分类）。

先染（种）、（种）、（种），再染：

与同色：只有种选法，与相邻，有种，共种；
与不同色：与也不同色，故有种；与相邻，有种，共种。

由分类加法计数原理，种。

解析（方法三：按用了几种颜色分类）。

5 种颜色全用：五个顶点颜色全不同，种；
只用 4 种颜色：必有两个不相邻的顶点同色，只能是与同色或与同色，各种，共种；
只用 3 种颜色：与同色且与同色，有种。

合计种。

评注：方法一靠图形结构简单（三角形两两相连）才好用，图形一复杂就不灵了。方法二与方法三是染色问题的两条通用路：路径法（主体分步、遇依赖就分类）与用色数法（主体分类、类内分步）。两条路算出同一个 420，才算真的放心。

🧭 思维显微镜

问 1：怎么一眼分清"分类"还是"分步"？

只问一句：这一步（这一类）走完，那件事做完了没有？ 做完了 → 它与别的方法是"或者"的关系 → 加法；没做完 → 它是"然后"的一环 → 乘法。例 5 里"安排第 2 天值班"显然没做完（还有 5 天没安排），所以是分步；例 2 里"A 路口站 2 人"这一旦定下来，配合其内部的排法就构成一整个方案，所以是分类。

问 2：分类标准到底怎么找？

三个固定抓手，按优先级往下试：① 题中最受限制的元素有哪些状态（例 3 的生物课、例 7 的甲的车）；② "多出来的那一个落在哪儿"（例 2 的 2 人路口、例 8 的甲盒）；③ 关键元素的度数/个数（例 1 的岛）。三条都试不出来，说明这道题多半是分步题。

问 3："谁选谁"怎么判断？

看结果的形式。如果最后得到的是"每个各自对应一个 "，那就是选，每个有种，乘次。例 4（1）每人选项目 → ；（3）每个项目选人 → 。把"每人"/"每项"圈出来读一遍，主语就是选的那个。

问 4：什么时候不能连乘？

当下一步的可选数依赖上一步的具体选择时。例 6 里每一步都稳定（划掉一行一列，恒剩 20、12），可以放心乘；例 7 的偶数日里，第二天还能不能选甲的车取决于第一天用没用，这就必须先分成"用甲的车"与"不用"两类，各自乘完再相加。一句话：乘法要求"步与步之间没有纠缠"，有纠缠就先分类。

问 5：什么时候该放弃列式、改画树状图？

满足两条就该画：① 数字很小（答案在两位数以内）；② 约束是"某人不对应某位"这类否定式条件，很难写成乘积。例 9 的错排就是典型。树状图的另一个好处是它是"分类——分步"交替的产物，画完一遍，哪里该加哪里该乘自然就清楚了。

🎒 本讲带走

题面长什么样	第一句要问的	关键动作
若干方案并列	每一类能不能单独做完这件事	能 → 加法；标准取自最受限制的元素
一件事分几步	谁选谁	主语是"每人"还是"每项"，决定指数的底
有人/物"至多""至少"	它受限制在哪一步	先安排不受限的那些步，把麻烦集中到少数几步再分类
数据小、条件是否定式	能不能画出来	画树状图，一层一步、一分叉一类
相邻区域异色	先染谁、或用了几种色	路径法与用色数法各算一遍，互相对答案

📚 选题说明

原书 10 道例题全取，按原书顺序编为 1–10，解析与评注全部重写；十例按"两条原理怎么用"重新分三组：例 1、2、3 练分类（标准取自元素状态 / 多出来的那个 / 最硬的条件），例 4、5、6 练分步（谁选谁 / 何时不能连乘），例 7、8、9、10 练两个原理合用（整体分步·局部归类 / 固定盒子分类 / 树状图 / 染色两条路）。
例 1 补了"树与链"这一步翻译。 原书只按"岛连几座桥"分类后逐一列举 12 种；本讲先把"3 座桥连通 4 个岛、每岛至多 2 座桥"翻成图论语言（边数 = 点数树；度数不超过 2 链），于是方案数一眼是，分类列举退居为验证。
例 4 补了"谁选谁"这条判据。 原书三问的解析只说"每人都可以从三个项目中选报一项"，没有点破为什么（1）是而（3）是。本讲把它提炼成一句：看结果的形式——"每人选项目"还是"每项选人"，主语一换，指数的底就换。
例 7 补了"先安排不受限的那几天"这条通用原则。 原书直接"第一步安排奇数日、第二步安排偶数日"，读者不容易看出第一步为什么挑奇数日。本讲点明：甲的车在奇数日根本不能上路，那些天的方法数干净可乘；把"最多一天"的限制挤到剩下的两天里再分类，需要分的类数最少。变式（甲牌尾数）一并保留，用来说明这条原则在奇偶互换时同样成立。
例 8 补了"固定一个盒子作分类依据"这一招。 原书两问都是以甲盒所放球数分类，但没有交代为什么挑甲盒、怎么保证不漏。本讲明确：分类依据固定为一个盒子的"放 2 个 / 1 个 / 0 个"，三类列全再逐类走到底；并特别提示"甲盒放 0 个"这一类最容易被漏掉。
例 9 补了错排公式作为交叉验证。 原书只画树状图数出 9 种；本讲在末尾补上，两条路对上才算数到。
一处笔误订正。 原书例 7 解析在"不安排甲的车"那一类里写"每天都有种选择，共有种"，偶数日只有天，应为（结果是对的，指数写错）。本讲正文按书写。
练一练 10 题：第 1–5 题取自原书"基础过关"1–5，第 6–9 题取自"综合练习"6、7、9、13，第 10 题取自"拓广提升"15，按原书顺序重编为 1–10。原书第 8、10、11 题（网络信息量、算盘拨珠、正六边形螺栓）与第 16 题（正十五边形钝角三角形）都需要原题配图，第 12 题（哈希算法）与第 14 题（正因数个数、"好数"、的倍数）属于数论技巧专题，本讲未收，留作后续讲次或自主练习。其中第 5、7 题的图形条件已改写为文字描述（第 5 题写明五块积木的相邻关系，第 7 题写明九宫格"中间格个、十字格个、四角格个"的结构），便于脱离原图作答。