专题8 直接法模型
例1．已知参加某项活动的六名成员排成一排合影留念，且甲乙两人均在丙领导人的同侧，则不同的排法
共有（ ）
A．240 种
B．360 种
C．480 种
D．600 种
【解析】
用分类讨论的方法解决．如图中的6 个位置，
1
2
3
4
5
6
①当领导丙在位置1 时，不同的排法有
种；
②当领导丙在位置2 时，不同的排法有
种；
③当领导丙在位置3 时，不同的排法有
种；
④当领导丙在位置4 时，不同的排法有
种；
⑤当领导丙在位置5 时，不同的排法有
种；
⑥当领导丙在位置1 时，不同的排法有
种．
由分类加法计数原理可得不同的排法共有480 种．
故选C．
例2．有位男生，位女生和位老师站在一起照相，要求老师必须站中间，与老师相邻的不能同时为男
生或女生，则这样的排法种数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】
先排与老师相邻的:
,再排剩下的：
,所以共有
种排法种数，选D.
例3．李雷和韩梅梅两人都计划在国庆节的7 天假期中，到“东亚文化之都--泉州”“二日游”，若他们
不同一天出现在泉州，则他们出游的不同方案共有
A．16 种
B．18 种
C．20 种
D．24 种
【解析】
任意相邻两天组合一起，一共有6 种情况，如①②，②③，③④，④⑤，⑤⑥，⑥⑦，
若李雷选①②或⑥⑦，则韩梅梅有4 种选择，
选若李雷选②③或③④或④⑤或⑤⑥，则韩梅梅有3 种选择，
故他们不同一天出现在泉州，则他们出游的不同方案共有2×（4+6）=20，
故答案为C
例4．
年
月
日，某地援鄂医护人员
，
，
，
，
，
，
人（其中
是队长）圆满完成
抗击新冠肺炎疫情任务返回本地，他们受到当地群众与领导的热烈欢迎．当地媒体为了宣传他们的优秀事
迹，让这
名医护人员和接见他们的一位领导共
人站一排进行拍照，则领导和队长站在两端且
相邻，
而
不相邻的排法种数为（ ）
A．
种
B．
种
C．
种
D．
种
【解析】
让这
名医护人员和接见他们的一位领导共
人站一排进行拍照，则领导和队长站在两端且
相邻
分2 步进行分析：
①领导和队长站在两端，有
种情况，
②中间
人分
种情况讨论：
若
相邻且与
相邻，有
种安排方法，
若
相邻且不与
相邻，有
种安排方法，
则中间
人有
种安排方法，
则有
种不同的安排方法；
故选：D．
例5．将甲、乙、丙、丁四位辅导老师分配到A、B、C、D 四个班级，每个班级一位老师，且甲不能分配
到A 班，丁不能分配到B 班，则共有分配方案的种数为（ ）
A．10
B．12
C．14
D．24
【解析】
将分配方案分为甲分配到
班和甲不分配到
班两种情况：
①甲分配到
班：有
种分配方案；
②甲不分配到
班：有
种分配方案；
由分类加法计数原理可得：共有
种分配方案.
故选：
.
例6．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6 个程序，其中程序
只能出现在第一步或最后一步，
程序
和
在实施时必须相邻，则在该实验中程序顺序的编排方法共有（ ）
A．144 种
B．96 种
C．48 种
D．34 种
【解析】
试题分析：首先将B，C 捆绑在一起作为整体，共有
两种，又∵A 只能出现在第一步或者最后一步，故
总的编排方法为
种，故选B．
例7．甲、乙、丙、丁四个人到
，
，
三个景点旅游，每个人只去一个景点，每个景点至少有一个人
去，则甲不到
景点的方案有（ ）
A．18 种
B．12 种
C．36 种
D．24 种
【解析】
由题意，可分为两种请况：
（1）甲单独一个人旅游，在B、C 景点中任选1 个，由2 种选法，
再将其他3 人分成两组，对应剩下的2 个景点，有
种情况，
所以此时共有
种方案；
（2）甲和乙、丙、丁中的1 人一起旅游，
先在乙、丙、丁中任选1 人，与甲一起在B、C 景点中任选1 个，有
种情况，
将剩下的2 人全排列，对应剩下的2 个景点，有
种情况，
所以此时共有
种方案，
综上，可得甲不到
景点的方案有
种方案.
故选：B.
例8．某城市关系要好的
，
，
，
四个家庭各有两个小孩共
人，分别乘甲、乙两辆汽车出去游玩，
每车限坐
名（乘同一辆车的
名小孩不考虑位置），其中
户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲
车的
名小孩恰有
名来自于同一个家庭的乘坐方式共有（ ）
A．
种
B．
种
C．
种
D．
种
【解析】
若A 户家庭的李生姐妹乘坐甲车,即剩下的两个小孩来自其他的2 个家庭,有
种方法.
若A 户家庭的李生姐妹乘坐乙车,那来自同一家庭的2 名小孩来自剩下的3 个家庭中的一个,有
.
所以共有12+12=24 种方法.
本题选择B 选项.
例9．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美
育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，指数学.某校国学社团
开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在
第三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（ ）
A．12 种
B．24 种
C．36 种
D．48 种
【解析】
由题意，“数”排在第三节，则“射”和“御”两门课程相邻时，可排在第1 节和第2 节或第4 节和第5 节或第5
节和第6 节，有3 种，再考虑两者的顺序，有
种，
剩余的3 门全排列，安排在剩下的3 个位置，有
种，
所以“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有
种不同的排法.
故选：C.
例10．2019 年10 月17 日是我国第6 个“扶贫日”，某医院开展扶贫日“送医下乡”医疗义诊活动，现有
五名医生被分配到四所不同的乡镇医院中，医生甲被指定分配到医院
，医生乙只能分配到医院
或医院
，医生丙不能分配到医生甲、乙所在的医院，其他两名医生分配到哪所医院都可以，若每所医院至少分
配一名医生，则不同的分配方案共有( )
A．18 种
B．20 种
C．22 种
D．24 种
【解析】
根据医院A 的情况分两类：
第一类：若医院A 只分配1 人，则乙必在医院B，当医院B 只有1 人，则共有
种不同
分配方案，当医院B 有2 人，则共有
种不同分配方案，所以当医院A 只分配1 人时，
共有
种不同分配方案；
第二类：若医院A 分配2 人，当乙在医院A 时，共有
种不同分配方案，当乙不在A 医院，
在B 医院时，共有
种不同分配方案，所以当医院A 分配2 人时，
共有
种不同分配方案；
共有20 种不同分配方案.
故选：B
例11．用数字0，1，2，3，4，5 可以组成没有重复数字的四位奇数的个数是（ ）
A．72
B．144
C．150
D．180
【解析】
根据题意，符合奇数的个位数字只能从1，3，5 中选取，组成没有重复数字的四位奇数分三步；
第一步，排个位，共有
种方法；
第二步，排千位，共有
种方法；
第三步，排百、十位，共有
种方法；
所以，可组成
个四位奇数，故答案选B。
例12．甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加某种技术竞赛，决出了第一名到第五名的五个名次，甲、乙去询
问成绩，组织者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”；对乙说：“你当然不会是最差的”.从组织
者的回答分析，这五个人的名次排列的不同情形种数共有（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】
先排乙，有
种，再排甲，有
种，最后排剩余三人，有
种
因此共有
，选D.
例13．现安排甲、乙、丙、丁、戌5 名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、
司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任
四项工作，则不同安排方案的种数是
A．152
B．126
C．90
D．54
【解析】
根据题意，分情况讨论，①甲乙一起参加除了开车的三项工作之一：C3
1×A3
3=18 种；
②甲乙不同时参加一项工作，进而又分为2 种小情况；
1°丙、丁、戌三人中有两人承担同一份工作，有A3
2×C3
2×A2
2=3×2×3×2=36 种；
2°甲或乙与丙、丁、戌三人中的一人承担同一份工作：A3
2×C3
1×C2
1×A2
2=72 种；
由分类计数原理，可得共有18+36+72=126 种，
故选B．
例14．为了支持山区教育，某中学安排6 位教师到
、
、
、
四个山区支教，要求
、
两个山区
各安排一位教师，
、
两个山区各安排两位教师，其中甲、乙两位教师不在一起，不同的安排方案共有
（ ）
A．180 种
B．172 种
C．168 种
D．156 种
【解析】
由题可知，分三种情况讨论：
（1）甲，乙两位教师均没有去
山区，共有
种；
（2）甲，乙两位教师只有一人去
或
山区，共有
种；
（3）甲，乙两位教师分别去
或
山区，共有
种，
故共有：
种安排方案．
故选：D．
例15．某篮球队有
名队员，其中有
名队员打前锋，有
名队员打后卫，甲、乙两名队员既能打前锋又
能打后卫.若出场阵容为
名前锋，
名后卫，则不同的出场阵容共有______种．
【解析】
分以下三种情况讨论：
①甲、乙都不出场，则应从
名打前锋的队员中挑选
人，从
名打后卫的队员中挑选
人，此时，出场
阵容种数为
；
②甲、乙只有一人出场，若出场的这名队员打前锋，则应从
名打前锋的队员中挑选
人，从
名打后卫
的队员中挑选
人；若出场的这名队员打后卫，则应从
名打前锋的队员中挑选
人，从
名打后卫的队
员中挑选人.
此时，出场阵容种数为
；
③甲、乙都出场，若这两名队员都打前锋，则应从
名打前锋的队员中挑选人，从
名打后卫的队员中
挑选
人；若这两名队员都打后卫，则应从
名打前锋的队员中挑选
人，从
名打后卫的队员中不用挑
选；若这两名队员一人打前锋、一人打后卫，则应从
名打前锋的队员中挑选
人，从
名打后卫的队员
中挑选人，此时，出场阵容种数为
.
综上所述，由分类加法计数原理可知，共有
种不同的出场阵容.
故答案为：
.
例16．有7 张卡片分别写有数字
从中任取4 张，可排出不同的四位数的个数是__________．
【解析】
根据题意，分4 种情况讨论：
(1)取出的4 张卡片中没有重复数字,即取出的4 张卡片中的数字为1、2、3、4，此时
=24 种顺序,可以排
出24 个四位数;
(2)取出的4 张卡片中有2 个重复数字,则2 个重复的数字为1 或2，若重复的数字为1,在2、3、4 中取出2
个,有
种取法,安排在四个位置中,有
种情况,剩余位置安排数字1,可以排出3×12=36 个四位
数,同理,若重复的数字为2,也可以排出36 个重复数字;
(3)若取出的4 张卡片为2 张1 和2 张2,在4 个位置安排两个1,有
种情况,剩余位置安排两个2,则可以
排出6×1=6 个四位数;
(4)取出的4 张卡片中有3 个重复数字,则重复的数字为1,在2、3、4 中取出1 个卡片,有
种取法,安排
在四个位置中,有
种情况,剩余位置安排1,可以排出3×4=12 个四位数;所以一共有
24+36+36+6+12=114 个四位数.
故答案为:114.
例17．从A，B，C，D，a，b，c，d 中任选5 个字母排成一排，要求按字母先后顺序排列（即按
先后顺序，但大小写可以交换位置，如
或
都可以），这样的情况有
__________种．（用数字作答）
【解析】
分为四类情况：
第一类：在A、B、C、D 中取四个，在a、b、c、d 中取一个，共有
；
第二类：在A、B、C、D 中取三个，在a、b、c、d 中取两个，分两种情况：形如AaBbC(大小写有两个字
母相同)共有
，形如AaBCd（大小写只有一个字母相同）共有
；
第三类：在A、B、C、D 中取两个，在a、b、c、d 中取三个，取法同第二类情况；
第四类：在A、B、C、D 中取一个，在a、b、c、d 中取四个，取法同第一类情况；
所以共有：2(8+
+
)=160
例18．将A，B，C，D，E，F 六个字母排成一排，且A，B 均在C 的同侧，则不同的排法共有
_________
种（用数字作答）
【解析】
按C 的位置分类，在左1，左2，左3，或者在右1，右2，右3，
因为左右是对称的，所以只看左的情况最后乘以2 即可．
当C 在左边第1 个位置时，有A
，
当C 在左边第2 个位置时A
A
，
当C 在左边第3 个位置时，有A
A
+A
A
，
共为240 种，乘以2，得480．则不同的排法共有 480 种．
故答案为480．
例19．作家马伯庸小说《长安十二时辰》中，靖安司通过长安城内的望楼传递信息.同名改编电视剧中，
望楼传递信息的方式有一种如下：如图所示，在九宫格中，每个小方格可以在白色和紫色（此处以阴影代
表紫色）之间变换，从而一共可以有512 种不同的颜色组合，即代表512 种不同的信息.现要求每一行，每
一列上至多有一个紫色小方格（如图所示即满足要求）.则一共可以传递______种信息.（用数字作答）
【解析】
显然，紫色小方格顶多有3 个.分类讨论：（1）若无紫色小方格，则只有1 种结果；
（2）若有且只有1 个紫色小方格，则有
种结果；
（3）若有且只有2 个紫色小方格，从行来看，
先选出有紫色小方格的那两行，有
种选法，这两行的排法有
种，
此种情况下共有18 种结果；
（4）若有且只有3 个紫色小方格，显然，这三行的排法有
种.
综上，一共有34 种结果，即一共可以传递34 种信息.
故答案为：34
例20．某一天上午的课程表要排入语文、数学、物理、体育共4 节课，如果第一节不排体育，最后一节不
排数学，那么共有排法_________种. (用数字作答)
【解析】
当体育课在最后一节时，此时另外
节课可在其余位置任意排列，故有
种排法；
当体育课不在最后一节时，此时体育课只能在第
节或第
节，故有
种排法，
所以一共有：
种排法，
故答案为：
.
例21．某组委会要从五名志愿者中选派四人分别从事翻译､导游､礼仪､司机四项不同工作,若其中甲不能从
事翻译工作,乙不能从事导游工作,其余三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案共有________种.
【解析】
根据题意,分
种情况讨论:
①,从五名志愿者中选派的四人中的有甲但没有乙,甲有
种安排方法,剩下三人全排列即可得,此时有
=
种选派方法;
②,从五名志愿者中选派的四人中的有乙但没有甲,乙有
种安排方法,剩下三人全排列即可得,此时有
=
种选派方法;
③,从五名志愿者中选派的四人中既有甲又有乙,
需要在剩下
人中选出
人,有
种选法,选出
人的安排方法有
种,
则此时有
=
种选派方法;
故一共有
=
种选派方法;
故答案为：
例22．甲、乙、丙、丁、戊5 个人站成一排照相，其中甲不站中间，甲、乙不相邻的排法总数是______.
【解析】
当甲排第1 或5 位置时，排法有
（种）；
当甲排第2 或4 位置时，排法有
（种），
则甲不站中间，甲、乙不相邻的排法总数是
，
故答案为：60.
例23．用数字0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的四位数.
（1）可组成多少个不同的四位数？
（2）可组成多少个不同的四位偶数？
【解析】
（1）根据题意分步完成任务：
第一步：排千位数字，从1，2，3，4，5 这5 个数字中选1 个来排，有
种不同排法；
第二步：排百位、十位、个位数字，从排了千位数字后剩下的5 个数字中选3 个来排列，有
种不同排法；
所以组成不同的四位数有
种，
（2）根据题意分类完成任务：
第一类：个位数字为0，则从1，2，3，4，5 这5 个数字中选3 个来排在千位、百位、十位，有
种不同排法；
第二类：个位数字为2 或4，则0 不能排在千位，有
种不同排法；
所以组成不同的四位偶数有
种.
例24．从分别印有数字0，3，5，7，9 的5 张卡片中，任意抽出3 张组成三位数．
（Ⅰ）求可以组成多少个大于500 的三位数；
（Ⅱ）求可以组成多少个三位数；
（Ⅲ）若印有9 的卡片，既可以当9 用，也可以当6 用，求可以组成多少个三位数．
【解析】
（Ⅰ）由题意大于500 的三位数的个数为
；
（Ⅱ）所有三位数个数为
；
（Ⅲ）
．
