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专题18 环排问题
例1．7 颗颜色不同的珠子，可穿成 种不同的珠子圈．
【解析】
因为由于环状排列没有首尾之分，将
个元素围成的环状排列剪开看成
个元素排成一排，即共有
种
排法．由于
个元素共有
种不同的剪法，则环状排列共有
种排法，而珠子圈没有反正，
故7 颗颜色不同的珠子，可穿成
种不同的珠子圈．
故答案为：360．
例2．6 颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈？
【解析】
因为由于环状排列没有首尾之分，将
个元素围成的环状排列剪开看成
个元素排成一排，即共有
种种
排法．由于
个元素共有
种不同的剪法，则环状排列共有有
种种排法，而钻石圈没有反正，
故6 颗颜色不同的钻石，可穿成
种不同的钻石圈．
例3．有5 个匣子，每个匣子有一把钥匙，并且钥匙不能通用，如果在每一个匣子内各放入一把钥匙，然
后把匣子全部锁上，要求砸开一个匣子后，能继续用钥匙打开其余4 个匣子，那么钥匙的放法有 种．
【解析】
在砸开的匣子中必放有另一个匣子
的钥匙，在匣子
中又放有匣子
的钥匙，在匣子
中放有匣子
的
钥匙，在匣子
中放有匣子
的钥匙，在匣子
中放有被砸开的匣子的钥匙．记这个砸开的匣
子为
．这就相当于1，2，3，4，5 形成一个环状排列，
反过来，对由1，2，3，4，5 排成的每一种环状排列，也就可以对应成一种相继打开各个匣子的一种放
钥匙的方法．先让5 个匣子沿着圆环对号入座，再在每个匣子中放入其下方的匣子的钥匙（如图），这就
得到种相继打开各个匣子的放钥匙的方法．所以，可使所有匣子相继打开的放钥匙的方法数恰与1，2，
3，4，5 的环状排列数相等，
由于每个环状排列（如图）可以剪开拉直为5 个排列：
，
，
，
，
；
，
，
，
，
；
，
，
，
，
；
，
，
，
，
；
，
，
，
，
；
反之，5 个这样的排列对应着一个环状排列，因而5 个元素的环状排列数为：
（种
一般地，
个元素的环状排列数为
种
故答案为：24
例4. 8 人围桌而坐,共有多少种坐法?
【解析】
围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人
并从此位置把圆形展成直
线其余7 人共有（8-1）！种排法即
！
H
F
D
C
A
A
B
C
D
E
A
B
E
G
H
G
F
例5．A，B，C，D，E，F 六人围坐在一张圆桌周围开会，A 是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，
B，C 二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有（ ）
A．60 种
B．48 种
C．30 种
D．24 种
【解析】
首先，A 是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，
考虑B、C 两人的情况，只能选择相邻的两个座位，位置可以互换，
根据排列数的计算公式，得到，
，接下来，考虑其余三人的情况，
其余位置可以互换，可得
种，最后根据分步计数原理，得到
种，
故选B.
例6．现有一圆桌，周边有标号为1，2，3，4 的四个座位，甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数
学课题，每人只能坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙不能相邻，则所有选座方法有____种．（用数字作
答）
【解析】
先按排甲，其选座方法有
种，由于甲、乙不能相邻，
所以乙只能坐甲对面，而丙、丁两位同学坐另两个位置的坐法有
种，
所以共有坐法种数为
种．
故答案为8．
例7．8 人围圆桌开会，其中正、副组长各1 人，记录员1 人.
(1)若正、副组长相邻而坐，有多少种坐法？
(2)若记录员坐于正、副组长之间，有多少种坐法？
【解析】
(1)正、副组长相邻而坐，可将此2 人当作1 人看，即7 人围一圆桌，有(7－1)！＝6！种坐法，又因为正、
副组长2 人可换位，有2！种坐法．故所求坐法为(7－1)！×2！＝1440 种．
(2)记录员坐在正、副组长中间，可将此3 人视作1 人，即6 人围一圆桌，有(6－1)！＝5！种坐法，又因为
正、副组长2 人可以换位，有2！种坐法，故所求坐法为5！×2！＝240 种．
