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专题5 分堆问题
例1．现安排甲、乙、丙、丁、戊5 名同学参加2022 年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、
司机四项工作可以安排，以下说法正确的是（ ）
A．每人都安排一项工作的不同方法数为54
B．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为
C．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5 名同学全部被安排的不同方法数为
D．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、
戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是
【解析】
①每人都安排一项工作的不同方法数为
，即选项
错误，
②每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为
，即选项B 错误，
③如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5 名同学全部被安排的不同方法数为：（
）
，即选项C 错误，
④分两种情况：第一种，安排一人当司机，从丙、丁、戊选一人当司机有
,从余下四人中安排三个岗位
，
故有
；第二种情况，安排两人当司机，从丙、丁、戊选两人当司机有
,
从余下三人中安排三个岗位
，故有
；所以每项工作至少有一人参加，
甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是
，
即选项D 正确，
故选：D．
例2．我省5 名医学专家驰援湖北武汉抗击新冠肺炎疫情现把专家全部分配到A，B，C 三个集中医疗点，
每个医疗点至少要分配1 人，其中甲专家不去A 医疗点，则不同分配种数为（ ）
A．116
B．100
C．124
D．90
【解析】
根据已知条件，完成这件事情可分2 步进行：
第一步：将5 名医学专家分为3 组
①若分为3,1,1 的三组，有
种分组方法；
②若分为2,2,1 的三组，有
种分组方法，
故有
种分组方法．
第二步：将分好的三组分别派到三个医疗点，甲专家不去
医疗点，
可分配到
医疗点中的一个，有
种分配方法，
再将剩余的2 组分配到其余的2 个医疗点，有
种分配方法，
则有
种分配方法．
根据分步计数原理，共有
种分配方法．
故选：B．
例3．现有
位萌娃参加一项“寻宝贝，互助行”的游戏活动，宝贝的藏匿地点有远、近两处，其中亮亮
的年龄比较小，要么不参与此项活动，但同时必须有另--位萌娃留下陪同；要么参与寻找近处的宝贝.所有
参与寻找宝贝任务的萌娃被平均分成两组，一组去远处，一组去近处，那么不同的寻找方案有（ ）
A．
种
B．
种
C．
种
D．
种
【解析】
(1)若亮亮不参与游戏，可以分三步完成萌娃的分配：①安排一位萌娃陪同亮亮，有5 种选择：②从剩下的
4 个萌娃选择2 个去近处，有
种选择；③最后剩下的2 个去远处，完成分配，所以有
种方
案．
(2)若亮亮参与游戏，可以分两步完成萌娃的分配：①从5 个萌娃选择2 个和亮亮去近处，有
种选
择；②剩下的3 个萌娃去远处，完成分配，所以有
种方案．
综上，不同的寻找方案有
种．
故选：B．
例4．2019 年4 月，北京世界园艺博览会开幕，为了保障园艺博览会安全顺利地进行，某部门将5 个安保
小组全部安排到指定的三个不同区域内值勤，则每个区域至少有一个安保小组的排法有（ ）
A．150 种
B．240 种
C．300 种
D．360 种
【解析】
根据题意，三个区域至少有一个安保小组，
所以可以把5 个安保小组分成三组，有两种分法：
按照1、1、3 分组或按照1、2、2 分组；
若按照1、1、3 分组,共有
种分组方法；
若按照1、2、2 分组,共有
种分组方法，
根据分类计数原理知共有60+90=150 种分组方法.
故选：A.
例5．有6 本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（ ）
A．分给甲､乙､丙三人，每人各2 本，有90 种分法；
B．分给甲､乙､丙三人中，一人4 本，另两人各1 本，有90 种分法；
C．分给甲乙每人各2 本，分给丙丁每人各1 本，有180 种分法；
D．分给甲乙丙丁四人，有两人各2 本，另两人各1 本，有2160 种分法；
【解析】
对
，先从6 本书中分给甲2 本，有
种方法；再从其余的4 本书中分给乙2 本，有
种方法；最后的2
本书给丙，有
种方法.所以不同的分配方法有
种，故
正确；
对
，先把6 本书分成3 堆:4 本、1 本、1 本，有
种方法；再分给甲､乙､丙三人，所以不同的分配方法
有
种，故
正确；
对
，6 本不同的书先分给甲乙每人各2 本，有
种方法；其余2 本分给丙丁，有
种方法.所以不同
的分配方法有
种，故
正确；
对
，先把6 本不同的书分成4 堆:2 本、2 本、1 本、1 本，有
种方法；
再分给甲乙丙丁四人， 所以不同的分配方法有
种，故
错误.
故选：
.
例6．将四个不同的小球放入三个分别标有1、2、3 号的盒子中，不允许有空盒子的放法有多少种？下列
结论正确的有（ ）.
A．
B．
C．
D．18
【解析】
根据题意，四个不同的小球放入三个分别标有1〜3 号的盒子中，且没有空盒，则三个盒子中有1 个中放2
个球，剩下的2 个盒子中各放1 个，
有2 种解法：
（1）分2 步进行分析：
①先将四个不同的小球分成3 组，有
种分组方法；
②将分好的3 组全排列，对应放到3 个盒子中，有
种放法；
则没有空盒的放法有
种；
（2）分2 步进行分析：
①在4 个小球中任选2 个，在3 个盒子中任选1 个，将选出的2 个小球放入选出的小盒中，有
种情况；
②将剩下的2 个小球全排列，放入剩下的2 个小盒中，有
种放法；
则没有空盒的放法有
种；
故选：BC．
例7．江夏一中高二年级计划假期开展历史类班级研学活动，共有6 个名额，分配到历史类5 个班级(每个
班至少0 个名额，所有名额全部分完).
（1）共有多少种分配方案？
（2）6 名学生确定后，分成A、B、C、D 四个小组，每小组至少一人，共有多少种方法？
（3）6 名学生来到武汉火车站.火车站共设有3 个“安检”入口，每个入口每次只能进1 个旅客，求6 人进
站的不同方案种数.
【解析】
（1）由题意得：问题转化为不定方程
的非负整数解的个数，
∴方程又等价于不定方程
的正整数解的个数，
利用隔板原理得：方程正整数解的个数为
，
∴共有
种分配方案.
（2））先把6 名学生按人数分成没有区别的4 组，有2 类：1 人，1 人，1 人，3 人和1 人，1 人，2 人，2
人，再把每一类中的人数分到A、B、C、D 四个小组.
第一种分法：1 人，1 人，1 人，3 人，有
种方法；
第二种分法：1 人，1 人，2 人，2 人，有
种方法.
共有
种方法.
（3）每名学生有3 种进站方法，分步乘法计数原理得6 人进站有
种不同的方案.
例8．从6 名男医生和3 名女医生中选出5 人组成一个医疗小组，请解答下列问题：
（1）如果这个医疗小组中男女医生都不能少于2 人，共有多少种不同的建组方案？（用数字作答）
（2）男医生甲要担任医疗小组组长，所以必选，而且医疗小组必须男女医生都有，共有多少种不同的建
组方案？
（3）男医生甲与女医生乙不被同时选中的概率.（化成最简分数）
【解析】
(1)由题可能的情况有男医生3 人女医生2 人和男医生2 人女医生3 人,
共
种不同的建组方案.
(2)由题,除开男医生甲后不考虑必须男女医生都有的建组方案共
种,其中只有男医生
的情况数有
,不可能存在只有女医生的情况.故共有
种不同的建组方案.
(3)由题, 男医生甲与女医生乙被同时选中的概率为
.故男医生甲与女医生乙不被同时选中的
概率为
.
例9．现有
本书和
位同学，将书全部分给这三位同学.
（1）若
本书完全相同，每个同学至少有一本书，共有多少种分法？
（2）若
本书都不相同，共有多少种分法？
（3）若
本书都不相同，每个同学至少有一本书，共有多少种分法？
【解析】
（1）根据题意，若
本书完全相同，将
本书排成一排，中间有
个空位可用，
在
个空位中任选
个，插入挡板，有
种情况，
即有
种不同的分法；
（2）根据题意，若
本书都不相同，每本书可以分给
人中任意1 人，都有3 种分法，
则5 本不同的书有
种；
（3）根据题意，分2 步进行分析：
①将
本书分成
组，
若分成1、1、3 的三组，有
种分组方法，
若分成1、2、2 的三组，有
种分组方法，
则有
种分组方法；
②将分好的三组全排列，对应
名学生，有
种情况，
则有
种分法.
例10．有6 本不同的书，在下列不同的条件下，各有多少种不同的分法？
（1）分给甲､乙､丙三人，其中一个人1 本，一个人2 本，一个人3 本；
（2）分成三组，一组4 本，另外两组各1 本；
（3）甲得1 本，乙得1 本，丙得4 本.
【解析】
（1）先将6 本不同的书分成1 本，2 本，3 本共3 组，有
种，
再将3 组分配给3 人有
种，故共有
种；
（2）只需从6 本中选4 本一组，其余2 本为2 组，即
种；
（3）分步处理，先从从6 本中选4 本给丙，其余2 本分给甲乙各一本，
即
种.
例11．（1）3 个不同的小球放入编号为1，2，3，4 的4 个盒子中，一共有多少种不同的放法？
（2）3 个不同的小球放入编号为1，2，3，4 的4 个盒子中，恰有2 个空盒的放法共有多少种？
【解析】
（1）根据题意，3 个不同的小球放入编号为1，2，3，4 的4 个盒子中，
每个小球有4 种放法，则3 个小球有
种不同的放法；
（2）根据题意，分2 步分析：
①将3 个小球分成2 组，有
种分组方法，
②在4 个盒子中任选2 个，分别放入分好组的两组小球，有
种选法，
则恰有2 个空盒的放法有
种．
例12．现有大小相同的
只球，其中
只不同的红球，
只不同的白球，
只不同的黑球．
（1）将这
只球排成一列且相同颜色的球必须排在一起，有多少种排列的方法?（请用数字作答）
（2）将这
只球分成三堆，三堆的球数分别为：
，共有多少种分堆的方法?（请用数字作答）
（3）现取
只球，求各种颜色的球都必须取到的概率．（请用数字作答）
【解析】
（1）
只球排成一列且相同颜色的球必须排在一起，共有
种方法；
（2）将这
只球分成三堆，三堆的球数分别为：
，共有
种分法；
（3）当取出
个红球，个的白球，个的黑球时，
；
当取出个红球，
个白球，个黑球时，
；
当取出个红球，个白球，
个黑球时，
；
.
故各种颜色的球都必须取到的概率为
．
例13．现有7 名师范大学应届毕业的免费师范生将被分配到育才中学、星云中学和明月湾中学任教.
（1）若4 人被分到育才中学，2 人被分到星云中学，1 人被分到明月湾中学，则有多少种不同的分配方案？
（2）一所学校去4 个人，另一所学校去2 个人，剩下的一个学校去1 个人，有多少种不同的分配方案？
【解析】
（1）根据题意，分3 步进行分析：
①、在7 人中选出4 人，将其分到育才中学，有
种选法；
②、在剩余3 人中选出2 人，将其分到星云中学，有
种选法；
③、将剩下的1 人分到明月湾中学，有1 种情况，
则一共有
种分配方案；
（2）根据题意，分2 步进行分析：
①、将7 人分成3 组，人数依次为4、2、1，有
种分组方法，
②、将分好的三组全排列，对应3 个学校，有
种情况，
则一共有
种分配方案.
例14．如图，从左到右有5 个空格.
（1）若向这5 个格子填入0，1，2，3，4 五个数，要求每个数都要用到，且第三个格子不能填0，则一共
有多少不同的填法？
（2）若给这5 个空格涂上颜色，要求相邻格子不同色，现有红黄蓝3 颜色可供使用，问一共有多少不同的
涂法？
（3）若向这5 个格子放入7 个不同的小球，要求每个格子里都有球，问有多少种不同的放法？
【解析】
（1）利用排除法：
种.
（2）根据乘法原理得到：共有
种涂法.
（3）若分成
的
组，则共有
种分法；
若分成
的
组，则共有
种分法，
故共有
种放法.
例15．学校安排5 名学生到3 家公司实习，要求每个公司至少有1 名学生，则有__________种不同的排法.
【解析】
根据题意，分2 步进行分析：
①先将5 名学生分成3 组，
若分成1、1、3 的三组，有
种分组方法，
若分成1、2、2 的三组，有
种分组方法，
则有
种分组方法；
②再将分好的三组全排列，对应三个公司，有
种情况，
则有
种不同的安排方式.
故答案为：150.
例16．现有7 名志愿者，其中只会俄语的有3 人，既会俄语又会英语的有4 人.从中选出4 人担任“一带一
路”峰会开幕式翻译工作，2 人担任英语翻译，2 人担任俄语翻译，共有_______种不同的选法．
【解析】
因为英语翻译只能从多面手中选，所以有
（1）当选出的多面手2 人从事英语翻译，没人从事俄语翻译，所以有
种选法；
（2）当选出的多面手2 人从事英语翻译，1 人从事俄语翻译，所以有
种选法；
（3）当选出的多面手2 人从事英语翻译，2 人从事俄语翻译，所以有
种选法；
共有18+36+6=60 种选法．
例17．从3 名骨科、4 名脑外科和5 名内科医生中选派5 人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科
和内科医生都至少有1 人的选派方法种数是
_________
（用数字作答）．
【解析】
3 名骨科、1 名脑外科和1 名内科医生，有C3
3C4
1C5
1＝20 种，
1 名骨科、3 名脑外科和1 名内科医生，有C3
1C4
3C5
1＝60 种，
1 名骨科、1 名脑外科和3 名内科医生，有C3
1C4
1C5
3＝120 种，
2 名骨科、2 名脑外科和1 名内科医生，有C3
2C4
2C5
1＝90 种，
1 名骨科、2 名脑外科和2 名内科医生，有C3
1C4
2C5
2＝180 种，
2 名骨科、1 名脑外科和2 名内科医生，有C3
2C4
1C5
2＝120 种，
共计20+60+120+90+180+120＝590 种
故答案为590.
例18．将5 位志愿者分成3 组，其中两组各2 人，另一组1 人，分赴世博会的三个不同场馆服务，不同的
分配方案有 种（用数字作答）；
【解析】
先选三个不同场馆中只去一名志愿者，共有
种选法；
剩下的两个场馆只需各取两名志愿者，共有
种选法，
由乘法原理得分配方案有
种．
