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专题6 染色问题
例1．如图所示的几何体由三棱锥
与三棱柱
组合而成，现用
种不同颜色对这个
几何体的表面涂色(底面
不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有（ ）
A．
种
B．
种
C．
种
D．
种
【解析】
先涂三棱锥
的三个侧面，有
种情况，然后涂三棱柱的三个侧面，有
种情
况，共有
种不同的涂法．
故选：C．
例2．如图，用四种不同的颜色给图中的A，B，C，D，E，F，G 七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，
且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（ ）
A．192 种
B．336 种
C．600 种
D．624 种
【解析】
由题意，点E，F，G 分别有4，3，2 种涂法，
（1）当A 与F 相同时，A 有1 种涂色方法，此时B 有2 种涂色方法，
①若C 与F 相同，则C 有1 种涂色方法，此时D 有3 种涂色方法；
②若C 与F 不同，则D 有2 种涂色方法.
故此时共有
种涂色方法.
（2）当A 与G 相同时，A 有1 种涂色方法，
①若C 与F 相同，则C 有1 种涂色方法，此时B 有2 种涂色方法，D 有2 种涂色方法；
②若C 与F 不同，则C 有2 种涂色方法，此时B 有2 种涂色方法，D 有1 种涂色方法.
故此时共有
种涂色方法.
（3）当A 既不同于F 又不同于G 时，A 有1 种涂色方法.
①若B 与F 相同，则C 与A 相同时，D 有2 种涂色方法，C 与A 不同时，C 和D 均只有1 种涂色方法；
②若B 与F 不同，则B 有1 种涂色方法，
（i）若C 与F 相同，则C 有1 种涂色方法，此时D 有2 种涂色方法；
（ii）若C 与F 不同，则必与A 相同，C 有1 种涂色方法，此时D 有2 种涂色方法.
故此时共有
种涂色方法.
综上，共有
种涂色方法.
故选：C.
例3．现有6 种不同的颜色，给图中的6 个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同的涂色方法共有（
）
A．720 种
B．1440 种
C．2880 种
D．4320 种
【解析】
根据题意分步完成任务：
第一步：完成3 号区域：从6 种颜色中选1 种涂色，有6 种不同方法；
第二步：完成1 号区域：从除去3 号区域的1 种颜色后剩下的5 种颜色中选1 种涂色，有5 种不同方法；
第三步：完成4 号区域：从除去3、1 号区域的2 种颜色后剩下的4 种颜色中选1 种涂色，有4 种不同方法；
第四步：完成2 号区域：从除去3、1、4 号区域的3 种颜色后剩下的3 种颜色中选1 种涂色，有3 种不同方
法；
第五步：完成5 号区域：从除去1、2 号区域的2 种颜色后剩下的4 种颜色中选1 种涂色，有4 种不同方法；
第六步：完成6 号区域：从除去1、2、5 号区域的3 种颜色后剩下的3 种颜色中选1 种涂色，有3 种不同方
法；
所以不同的涂色方法：
种.
故选：D.
例4．将5 种不同的花卉种植在如图所示的四个区域中，每个区域种植一种花卉，且相邻区域花卉不同，
则不同的种植方法种数是（ ）．
A．420
B．180
C．64
D．25
【解析】
由题意，由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行
区域
有5 种涂法，
有4 种涂法，
，
不同色，
有3 种，
有2 种涂法，有
种，
，
同色，
有1 种涂法，
有3 种涂法，有
种，
共有180 种不同的涂色方案．
故选：B．
例5．用红、黄、蓝、绿、橙五种不同颜色给如图所示的5 块区域
、
、
、
、
涂色，要求同一区
域用同一种颜色，有共公边的区域使用不同颜色，则共有涂色方法（ ）
A．120 种
B．720 种
C．840 种
D．960 种
【解析】
法一：
有5 种颜色可选，
有4 种颜色可选，
有3 种颜色可选，
若
同色，
有4 种颜色可选；
若
同色，
有4 种颜色可选；
若
与
、
都不同色，则
有2 种颜色可选，此时
有4 种颜色可选，故共有
种．
法二：当使用5 种颜色时，有
种涂色方法；
当使用4 种颜色时，必有两块区域同色，可以是
，
，
，
，
，共有
种涂色方
法；当使用3 种颜色时，只能是
同色且
同色，
同色且
同色，
同色，
同色，共
有
种涂色方法，
∴共有
种涂色方法.
故选：D.
例6．如图，某伞厂生产的太阳伞的伞篷是由太阳光的七种颜色组成，七种颜色分别涂在伞篷的八个区域
内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同颜色图案的此类太阳伞最多有（ ）.
A．40320 种
B．5040 种
C．20160 种
D．2520 种
【解析】
先从7 种颜色中任意选择一种，涂在相对的区域内，有
种方法，
再将剩余的6 种颜色全部涂在剩余的6 个区域内，共有
种方法，
由于图形是轴对称图形，所以上述方法正好重复一次，
所以不同的涂色方法，共有
种不同的涂法.
故选：D.
例7．如图所示，将四棱锥S-ABCD 的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5
种色可供使用，则不同的染色方法种数为（ ）
A．240
B．360
C．420
D．960
【解析】
由题设，四棱锥S-ABCD 的顶点S、A、B 所染的颜色互不相同，它们共有
种染色方法.
设5 种颜色为1，2，3，4，5，当S、A、B 染好时，不妨设其颜色分别为1、2、3，
若C 染2，则D 可染3 或4 或5，有3 种染法；
若C 染4，则D 可染3 或5，有2 种染法，若C 染5，则D 可染3 或4，有2 种染法.
可见，当S、A、B 已染好时，C、D 还有7 种染法，故不同的染色方法有
（种）.
故选：C
例8．如图所示，将
方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相
邻两个小方格的颜色不同，称他们的公共边为“分割边”，则分割边条数的最小值为( )
A．33
B．56
C．64
D．78
【解析】
记分隔边的条数为
，首先将方格按照按图分三个区域，分别染成三种颜色，粗线上均为分隔边，
此时共有56 条分隔边，即
，
其次证明：
，
将将方格的行从上至下依次记为
，列从左至右依次记为
，行
中方格出现的颜
色数记为
，列
中方格出现的颜色个数记为
，三种颜色分别记为
，对于一种颜色
，
设
为含有
色方格的行数与列数之和，定义当
行含有
色方格时，
，否则
，类似的定义
，
所以
，
由于染
色的格有
个，设含有
色方格的行有
个，列有
个，则
色的方格一定再这个
行和
列的交叉方格中，
从而
，
所以
①，
由于在行
中有
种颜色的方格，于是至少有
条分隔边，
类似的，在列
中有
种颜色的方格，于是至少有
条分隔边，
则
②
③
下面分两种情形讨论，
(1)有一行或一列所有方格同色，
不妨设有一行均为
色，则方格的33 列均含有
的方格，又
色的方格有363 个,故至少有11 行有
色方
格，于是
④
由①③④得
，
(2)没有一行也没有一列的所有方格同色,
则对任意
均有
，
从而，由式②知：
，
综上，分隔边条数的最小值为56.
故选：B.
例9．如图给三棱柱
的顶点染色，定义由同一条棱连接的两个顶点叫相邻顶点，规定相邻顶
点不得使用同一种颜色，现有
种颜色可供选择，则不同的染色方法有_________________.
【解析】
首先先给顶点
染色，有
种方法，再给顶点
染色，①若它和点
染同一种颜色，点
和
点
染相同颜色，点
就有2 种方法，若点
和点
染不同颜色，则点
有2 种方法，点
也有1 种方
法，则
的染色方法一共有
种方法，②若点
和点
染不同颜色，且与点
颜色不同，
则点
有1 种方法，点
与点
颜色不同，则点
有1 种方法，则点
有1 种方法，此时有1 种方法；
若最后
与
相同，则
有2 种方法，则共有2 种方法；点
与点
颜色相同，则点
有1 种方法，则
点
有2 种方法，则点
有2 种方法，共有
种方法，所以点
和点
染不同，颜色共有
种方法，
所以点
的染色方法一共有
种，所以共有
种方法.
故答案为：
例10．现用五种不同的颜色，要对如图中的四个部分进行着色，要求公共边的两块不能用同一种颜色，共
有__________种不同着色方法
【解析】
先排，有
种方法；
然后排
，最后排
：
①当
相同时，方法有
种，故方法数有
种.
②当
不同时，方法有
种，故方法数有
种.
综上所述，不同的着色方法数有
种.
故答案为：
例11．如图所示的五个区域中，中心区
域是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色，有四种颜色可供
选择．要求每个区域只涂一种颜色且相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为______．
【解析】
分三种情况：
（1）用四种颜色涂色，有
种涂法；
（2）用三种颜色涂色，有
种涂法；
（3）用两种颜色涂色，有
种涂法；
所以共有涂色方法
.
故答案为：84
例12．从红、黄、蓝、黑四种颜色中选出3 种颜色，给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂
两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是________.
【解析】
从红、黄、蓝、黑四种颜色中选出3 种颜色有4 种选法.
因为每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，分两类：
一类是，前三个圆用3 种颜色，有
种方法，后3 个圆也有3 种颜色，有
种方法，此时不同
方法有6×4=24 方法；
二类是，前3 个圆2 种颜色，后3 个圆2 种颜色，共有
方法.
综上可知，所有的涂法共有
种方法.
故答案为： 120
例13．如图一个正方形花圃被分成5 份．若给这5 个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，已
知现有红、黄、蓝、绿4 种颜色不同的花，则不同的种植方法有_________种
【解析】
先对
部分种植，有4 种不同的种植方法；
再对
部分种植，又3 种不同的种植方法；
对
部分种植进行分类：
①若与
相同，
有2 种不同的种植方法，
有2 种不同的种植方法，共有
（种），
②若与
不同，
有2 种不同的种植方法，
有1 种不同的种植方法，
有1 种不同的种植方法，
共有
（种），
综上所述，共有72 种种植方法．
故答案为：72.
例14．现有五种不同的颜色，要对图形中的四个部分进行着色，要求有公共边的两块不能用同一种颜色，
不同的涂色方法有_______种．
【解析】
依题意，I、II、III 区域有共同边颜色互不相同，
按I、II、III、IV 顺序着色，则区域I 有5 种着色方法，
区域II 有4 种着色方法，区域III 有3 种着色方法，
IV 只与II、III 相邻，因此区域IV 有3 种着色方法，
根据分步乘法计数原理，不同的着色方法种数为
.
故答案为：180
例15．现将如图所示的
个小正方形涂上红、黄两种颜色，其中
个涂红色，
个涂黄色，若恰有两个相
邻的小正方形涂红色，则不同的涂法共有__________种(用数字作答).
【解析】
当涂红色两个相邻的小正方形在两端时是有
，
当涂红色两个相邻的小正方形在不在两端时是有
，
则不同的涂法种数共有
种．
故答案为：6．
例16．四色猜想是近代数学难题之一，四色猜想的内容是：“任何一张地图最多用四种颜色就能使具有共
同边界的国家着上不同的颜色”，如图，一张地图被分成了五个区域，每个区域只使用一种颜色，现有4 种
颜色可供选择（四种颜色不一定用完），则满足四色猜想的不同涂色种数为__________
【解析】
设五个区域分别为
，
依题意由公共边的两个区域颜色不同，
用四种颜色进行涂色则有两个区域颜色相同，
可以是
与
，
与
，
与
同色，
有涂色方法
；
或用三种颜色涂色，则有2 组颜色同色，
为
与
同色，
与
同色，有涂色方法
，
根据分类加法原理，共有涂色方法
.
故答案为：
.
例17．如图，将标号为1，2，3，4，5 的五块区域染上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻区域有
公共边的颜色不同，则不同的染色方法有______种
【解析】
对于1，有三种颜色可以安排；
若2 和3 颜色相同，有两种安排方法，4 有两种安排，5 有一种安排，此时共有
；
若2 和3 颜色不同，则2 有两种，3 有一种.当5 和2 相同时，4 有两种；当5 和2 不同，则4 有一种，此时
共有
，
综上可知，共有
种染色方法.
故答案为：
.
例18．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6 个部分.现要栽种4 种不同颜色的花，每部分栽种一种
且相邻部分不能栽种同样颜色的花，则不同的栽种方法有______种.（用数字作答）
【解析】
由题意，6 个部分.栽种4 种不同颜色的花，必有2 组颜色相同的花，
若2、5 同色，则3、6 同色或4、6 同色，
所以共有
种栽种方法；
若2、4 同色，则3、6 同色，
所以共有
种栽种方法；
若3、5 同色，则2、4 同色或4、6 同色，
所以共有
种栽种方法；
所以共有
种栽种方法.
故答案为：120
例19．给图中A，B，C，D，E，F 六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色.若
有4 种颜色可供选择，则共有___种不同的染色方案.
【解析】
解：要完成给图中
、
、
、
、
、
六个区域进行染色，染色方法可分两类，第一类是仅用三种
颜色染色，
即
同色，
同色，
同色，则从四种颜色中取三种颜色有
种取法，三种颜色染三个区域
有
种染法，共
种染法；
第二类是用四种颜色染色，即
，
，
中有一组不同色，则有3 种方案
不同色或
不同色
或
不同色），先从四种颜色中取两种染同色区有
种染法，剩余两种染在不同色区有2 种染法，
共有
种染法．
由分类加法原理得总的染色种数为
种．
故答案为：96．
20．如图，用4 种不同的颜色对图中5 个区域涂色（ 4 种颜色全部使用 ），要求每个区域涂一种颜色，
相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有 种.（用数字作答）
例21．给如图染色，满足条件每个小方格染一种颜色，有公共边的小方格颜色不能相同，则用4 种颜色染
色的方案有__种，用5 种颜色染色的方案共有__种.
【解析】
（1）根据题意，若用4 种颜色染色时，先对
、
区域染色有
种，再对
染色：
①当
同
时，有
种；
②当
同
时，有
种；
③当
不同
、
时，有
种；
综合①②③共有
种；
（2）根据题意，若用5 种颜色染色时，先对
、
区域染色有
种，再对
染色：
①当
同
时，有
种；
②当
同
时，有
种；
③当
不同
、
时，有
种；
综合①②③，共有
种.
故答案为：252；1040.
例22．如图，用四种不同的颜色给三棱柱
的六个顶点涂色，要求每个点涂一种颜色．若每
个底面的顶点涂色所使用的颜色不相同，则不同的涂色方法共有________种；若每条棱的两个端点涂不同
的颜色，则不同的涂色方法共有________种．
【解析】
（1）由题得每个底面的顶点涂色所使用的颜色不相同，则不同的涂色方法共有
；
（2）若
，
，
，
用四种颜色，则有
；
若
，
，
，
用三种颜色，则有
；
若
，
，
，
用两种颜色，则有
.
所以共有
264 种．
故答案为：①576；②264.
