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专题15 隔板法模型
例1．2020 年高考强基计划中，北京大学给了我校10 个推荐名额，现准备将这10 个推荐名额分配给高三
理科的6 个班级，这6 个班级每班至少要给一个名额，则关于分配方案的种数为（ ）
A．462
B．126
C．210
D．132
【解析】
将10 个名额分为6 份，即从9 个分段中选择5 个段分开，且不分顺序，
共有
种方案.
故选：B.
例2．不定方程
的非负整数解的个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】
不定方程
的非负整数解的个数
将
个相同小球放入三个盒子，允许有空盒的放法种数.
现在在每个盒子里各加一个相同的小球，问题等价于将
个相同小球放入三个盒子，没有空盒的放法种数，
则只需在
个小球中形成的空位（不包含两端）中插入两块板即可，
因此，不定方程
的非负整数解的个数为
.
故选：C.
例3．有30 个完全相同的苹果，分给4 个不同的小朋友，每个小朋友至少分得4 个苹果，问有多少种不同
的分配方案？( )
A．680
B．816
C．1360
D．1456
【解析】
先给每个小朋友分三个苹果，剩余
个苹果利用“隔板法”，
个苹果有
个空，插入三个 “板”，共有
680 种方法.
故选：A.
例4．从
、
、
、
4 个班级中选10 人组成卫生检查小组，每班至少选一人，每班人数的不同情况有
多少种（ ）
A．42
B．56
C．84
D．168
【解析】
将10 个人排成一排，然后从中间形成的9 个空中选3 个，分别放入一个隔板，即可将10 个人分为4 个部
分，且每部分至少1 个人，由此可得每班人数的不同情况有
种．
故选C．
例5．把9 个完全相同的口罩分给6 名同学，每人至少一个，不同的分法有（ ）种
A．41
B．56
C．156
D．252
【解析】
问题可转化为将9 个完全相同的口罩排成一列，再分成6 堆，每堆至少一个，求其方法数．
事实上，只需在上述9 个完全相同的口罩所产生的8 个“空档”中选出5 个“空档”插入档板，
即产生符合要求的方法数．故有
种．
故选：B
例6．方程
的正整数解共有（ ）组
A．165
B．120
C．38
D．35
【解析】
如图，将12 个完全相同的球排成一列，
在它们之间形成的11 个空隙中任选三个插入三块隔板，把球分成四组，每一种分法所得球的数目依次是
、
、
、
，显然满足
，故
是方程
的一组
解，
反之，方程
的每一组解都对应着一种在12 个球中插入隔板的方式，
故方程
的正整数解的数目为：
，
故选：A.
例7．把16 个相同的小球放到三个编号为1，2，3 的盒子中，且每个盒子内的小球数要多于盒子的编号数，
则共有多少种放法（ ）
A．18
B．28
C．36
D．42
【解析】
根据题意，
个相同的小球放到三个编号为
的盒子中，且每个盒子内的小球数要多于盒子的编号数，
先在号盒子里放个球，在
号盒子里放
个球，在
号盒子里放
个球，
则原问题可以转化为将剩下的
个小球，放入
个盒子，每个盒子至少放个的问题，
将剩下的
个球排成一排，有
个空位，在
个空位中任选
个，插入挡板，有
种不同的
放法，
即有
个不同的符合题意的放法；
故选：C．
例8．把座位号为、
、
、
、
、
的六张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张，
且分给同一人的多张票必须连号，那么不同的分法种数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】
因为每人至少一张，且分给同一人的多张票必须连号，
又分给甲、乙、丙、丁四个人，
则在座位号、
、
、
、
、
的五个空位插3 个板子，有
种，
然后再分给甲、乙、丙、丁四个人，有
种，
所以不同的分法种数为
,
故选：B
例9．（1）把6 个不同的小球放入4 个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？
（2）把6 个不同的小球放入4 个相同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？
（3）把6 个相同的小球放入4 个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？
（4）把6 个相同的小球放入4 个相同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？
【解析】
（1）6 个不同的小球放入4 个不同的箱子，每个箱子至少一个小球，先把6 个小球分组，有两种分法：
2、2、1、1；3、1、1、1；再放入4 个不同的箱子，故不同的方法共有
（种）
（2）6 个不同的小球放入4 个不同的箱子，每个箱子至少一个小球，先把6 个小球分组，有两种分法：
2、2、1、1；3、1、1、1；再放入4 个相同的箱子，故不同的方法共有
（种）
（3）6 个相同的小球放入4 个不同的箱子，每个箱子至少一个小球，则采用插板法，在
个空中插入
块
板，则不同的方法共有
（种）
（4）把6 个相同的小球放入4 个相同的箱子中，每个箱子至少一个小球，故可以首先每个箱子放入个小
球，还剩下
个小球，则这
个小球，只有两种结果，即两个在一个箱子中，或两个小球分别在一个箱子
中，故只有
种放法.
例10．（1）求方程
的非负整数解的个数；
（2）某火车站共设有4 个“安检”入口，每个入口每次只能进1 个旅客求—个小组4 人进站的不同方案种
数，要求写出计算过程.
【解析】
（1）若定义
，其中
，
则
是从方程
的非负整数解集到方程
的正整数解集的映射，利
用隔板法得，方程
正整数解得个数是
从而方程
的非负整数解得个数也是56；
（2）这4 名旅客通过安检口有4 种情况：从1 个安检口通过，从2 个安检口通过，从3 个安检口通过，从
4 个安检口通过。
从1 个安检口通过共有：
种方案；
从2 个安检口通过，可能有1 个安检口通过1 人，另一个安检口通过3 人有：
种方案；
从2 个安检口通过，可能每一个安检口都通过2 人有：
种方案；
从3 个安检口通过，可能有2 个安检口各通过1 人，有1 个安检口通过2 人有：
种方案；
从4 个安检口通过共有：
种方案，
所以这4 个旅客进站的不同方案有：
种.
例11．现有
本书和
位同学，将书全部分给这三位同学.
（1）若
本书完全相同，每个同学至少有一本书，共有多少种分法？
（2）若
本书都不相同，共有多少种分法？
（3）若
本书都不相同，每个同学至少有一本书，共有多少种分法？
【解析】
（1）根据题意，若
本书完全相同，将
本书排成一排，中间有
个空位可用，
在
个空位中任选
个，插入挡板，有
种情况，
即有
种不同的分法；
（2）根据题意，若
本书都不相同，每本书可以分给
人中任意1 人，都有3 种分法，
则5 本不同的书有
种；
（3）根据题意，分2 步进行分析：
①将
本书分成
组，
若分成1、1、3 的三组，有
种分组方法，
若分成1、2、2 的三组，有
种分组方法，
则有
种分组方法；
②将分好的三组全排列，对应
名学生，有
种情况，
则有
种分法.
例12．（1）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有几种？
（2）把5 件不同产品摆成一排，若产品A 与产品B 相邻，且产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有几
种？
（3）四个不同的小球放入编号为1，2，3，4 的四个盒子中，恰有一个空盒，共有多少种放法？
（注：最后结果需用数字作答）
【解析】
（1）按照最左端排谁分两类：
①排甲：其余5 个人作全排列，有
种，
②排乙：最右端不排甲有
种，其余四人作全排列有
种，故共有
种，
由分类计数原理共有
种；
（2）分步完成：
①将A，B 捆在一起当作一个元素与除C 的3 个元素一起作全排列，有
种，
②将C 插入到已经排好的排列中，让A，C 不相邻，有
种，
由分步计数原理可得共有
种；
（3）四个不同的小球编号为1，2，3，4 的四个盒子中，恰有一个空盒，说明恰有一个盒子中有2 个小球，
从4 个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列，有
种不同的放法.
例13．将6 个相同的小球放入4 个不同的盒子中，要求不出现空盒，共有_________种放法.（用数字作
答）
【解析】
根据题意，将6 个小球排成一排，排好后有5 个可用的空位，
在5 个空位中任选3 个，插入挡板，共有
种情况，
可以将6 个小球分成4 组，依次放入4 个不同的盒子中即可，
所以共有10 中不同的放法．
例14．方程
的正整数解的个数__________.
【解析】
问题中的
看作是三个盒子，问题则转化为把
个球放在三个不同的盒子里，有多少种方法．
将
个球排一排后，中间插入两块隔板将它们分成三堆球，使每一堆至少一个球．
隔板不能相邻，也不能放在两端，只能放在中间的
个空内．
共有
种．
故答案为：
例15．现有15 个省三好学生名额分给1、2、3、4 共四个班级，其中1 班至少2 个名额，2 班、4 班每班至
少3 个名额，3 班最多2 个名额，则共有_________种不同分配方案.
【解析】
由3 班最多2 个名额，3 班有2、或1 个，或0 个名额三种情况.
（1）、当3 班有2 个名额时，先给1 班1 个名额，2 班、4 班各2 个名额，然后将剩下的8 个名额分给1 班、
2 班和4 班，每个班至少一个名额.
相当于将8 个元素排成一排，在中间加入2 个隔板将他们分成3 组，1 班、2 班和4 班分别得到一组，有
种分法.
（2）、当3 班有1 个名额时，先给1 班1 个名额，2 班、4 班各2 个名额，然后将剩下的9 个名额分给1 班、
2 班和4 班，每个班至少一个名额.
相当于将9 个元素排成一排，在中间加入2 个隔板将他们分成3 组，1 班、2 班和4 班分别得到一组，有
种分法.
（3）、当3 班没有分得名额时，先给1 班1 个名额，2 班、4 班各2 个名额，然后将剩下的10 个名额分给
1 班、2 班和4 班，每个班至少一个名额.
相当于将10 个元素排成一排，在中间加入2 个隔板将他们分成3 组，1 班、2 班和4 班分别得到一组，有
种分法.
所以一共有
种不同的分配方案.
故答案为：85.
例16．小红同学去超市买糖果，现有四种不同口味的糖果可供选择（可以有糖果不被选择），单价均为一
元一颗，小红只有7 元钱且要求全部花完，则不同的选购方法共有______种.
【解析】
把7 元看作7 个相同的小球，四种糖果看作是四个盒子，问题变为把7 个小球放到4 个盒子中，允许有空
盒，因此补充4 个小球，共11 个小球，分到四个盒子中，用插隔板方法，
共有方法数为
．
故答案为：120．
例17．10 个相同的小球放在三个编号为1，2，3 的盒中，每盒至少1 个，有_________种方分法.
【解析】
依据题意，10 个相同的小球放在3 个盒中，每盒至少1 个，可转化为将10 个相同小球分成三组，每组至少
1 个；
可将10 个小球排成一列，进而在排除两端的9 个空位中，选取2 个，插入隔板即可，
由组合公式可得共有
种分法.
故答案为：
.
例18．将3 个1，11 个0 排成一列，使得每两个1 之间至少隔着两个0，则共有__________种不同的排法.
【解析】
解：符合条件的排列中，3 个1 将11 个0 分成四段，
设每一段分别有
个0，
则
，
，
，
且
，
令
，
，
则
．
因此原问题等价于求方程
的自然数解的组数，
将7 个1 与3 块隔板进行排列，其排列数即对应方程自然数解的组数，
所以方程共有
组自然数解，故共有120 种不同的排法．
故答案为：120
例19．24 个志愿者名额分给3 个学校，则每个学校至少有1 个名额且学校名额互不相同的分法有________
种．
【解析】
设分配给3 个学校的名额数分别为x1，x2，x3，
则每校至少有一个名额的分法数为不定方程x1＋x2＋x3＝24 的正整数解的组数，
用隔板原理知有
＝253 种．
又在“每校至少有一个名额的分法”中要排除“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法：
只有两校人数相同，设为(i，i，24－2i)，
由题意有i＝1，2，3，4，5，6，7，9，10，11 共3×10 种情况；
三校人数都相同的只有(8，8，8)这1 种．
综上可知，满足条件的分配方法共有253－31＝222 种．
故答案为：222
例20．在5 月6 日返校体检中，学号为（
）的五位同学的体重增加量
是集合
中的元素，并满足
，则这五位同学的
体重增加量所有可能的情况有________种
【解析】
当五位同学的体重增加量是1 个数字时，有
种情况；
当五位同学的体重增加量是2 个不同数字时，有
种情况（类似隔板法，把五个同学按照
的顺序排好，他们之间有4 个空，从4 个空里选1 个空放隔板把他们分隔成两个部分，有
种
方法，再从6 个体重增加量的集合里选两个数给他们，有
种方法，即此时有
种方法，下面操
作方法都相同.）；
当五位同学的体重增加量是3 个不同数字时，有
种情况；
当五位同学的体重增加量是4 个不同数字时，有
种情况；
当五位同学的体重增加量是5 个不同数字时，有
种情况.
所以共有
种不同的方法.
故答案为：252
