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高中物理典题赏析·第001期 | 追及相遇:“共速最近”不是万能公式
一道题做对了，算不算“懂”？
有时候算，有时候不算。做对一道题，可能只是走通了一条路；而一道“典题”里往往藏着好几条路、几个岔口，以及一个容易被答案掩盖的“为什么”。
高中物理典题赏析这个专栏并不只给解析。解析回答“怎么做”，赏析追问的是：这道题为什么值得做，它的关节在哪里，换一副面孔你还认不认得它。
每期一道题，从溯源到变式，从多种解法到学生的真实卡点。不贪多，但求每一期都让你下次再遇到同类题时，眼里多一层东西。
持续更新，可收藏。
以上为"典题赏析"系列之序，第一期马上呈现。
题目（001·追及问题）
平直公路上，一辆汽车以v0=20 m/s匀速行驶，司机突然发现正前方同车道x0=25 m处有一辆自行车，正以v=6 m/s同向匀速行驶。司机立即刹车，汽车做匀减速直线运动。
（1）若汽车刹车加速度大小为 a=2 m/s2，通过计算判断两车是否相撞；若相撞，求第一次相撞的时间。
（2）若要求两车不相撞，汽车刹车加速度大小至少多大？
✋先思考、试做，再往下看。
参考答案：（1）相撞，第一次相撞时间
一、赏析
（一）这道题“典”在哪
这道题的计算量不大，但把追及相遇里最容易出错的三件事放在了一起：
第一，初始距离不能丢。 两车相遇的条件不是“位移相等”，而是“汽车位移 = 自行车位移 + 初始间距”。
第二，“共速时距离最近”是有前提的。 这个结论本身没错，但它描述的是“相对距离的极值点”。如果在这个极值点到来之前，两车已经撞上了，那么“共速最近”就只能用来判断“已经撞了”，不能直接拿来求“最近距离”。
第三，解出时间要回到运动过程里检验。 本题第（1）问的方程会解出两个正根，但第二个根对应的时间已经超过汽车停止时间，公式早已失效。这是刹车类追及题最典型的陷阱。
（二）解题的关节
第（1）问：需算判结合
设经过时间t两车相遇，根据位移关系列出方程求出时间
两个根怎么取舍”。很多学生解出两个正根就不知道怎么办。判断标准不是“哪个好看”，而是“这个时间点汽车还在不在做匀减速运动”。
第（2）问：不相撞的临界在哪里
不相撞的临界是“有惊无险”，即相遇时速度恰好相同。
解题就看“相遇且共速”如何转化为数学计算。
方法一
相遇：两物体间距离为零Δx=x0+vt-(v0t-at2/2)=0
共速：上方程有唯一解，即判别式Δ=0
方法二
把“相遇且共速”化为两个方程：位移关系方程和速度相等方程。
方法三
通过v-t图像把“相遇且共速”化为面积关系。
二、一题多解：三条路，各管一段
解法一：间距方程 + 判别式
设经时间t汽车在自行车后边与自行车相距Δx，则
Δx=x0+vt-(v0t-at2/2)
=t2-14t+25
（1）由Δx=0解得
这个结果的物理意义是：如果汽车一直匀变速运动，汽车将会在追上自行车后再过一段时间又被自行车从后边追上。
但是汽车刹车后要停止运动，不会一直匀变速运动下去。刹车时间为
t0=v0/a=10s
两车会故相撞，第一次相撞时间
（2）设汽车加速度大小为a1，则经时间t两车相距
Δx=x0+vt-(v0t-at2/2)
=at2/2-14t+25=0
两车恰好不撞的条件是，此一元二次方程的判别式等于0
（-14）2-4×（a1/2）×25=0
得汽车加速度大小至少为a1=3.92m/s2
解法二：共速临界法
(2)两车不相撞的临界情况是相遇时恰好速度相同。设经时间t两车速度相同，v0-a1t=v
Δx=at2/2-14t+25=0
解得a1=3.92m/s2
解法三：v−t图像面积法
画出汽车和自行车的v−t图线：
第（1）问中，a=2m/s2，共速时间t1=7 s，共速前汽车比自行车多运动的距离为两图线下面的面积之差（三角形面积）
初始间距只有25 m而共速前汽车已经多走了49 m，说明在共速之前两车就已经撞上了。所以“共速时距离最近”这个结论，在第（1）问里不能直接用来求“最近距离”，只能用来判断“已经相撞”。
第（2）问临界情况是这个三角形面积等于25 m，于是
对应汽车加速度
赏析点：图像法把“初始间距”变成了一块“面积预算”。很多学生列方程时容易漏掉 x0，画图时反而不容易漏，因为25 m 就是图上那块面积的“上限”。
三、变式
变式1：前方不是自行车，而是静止障碍物，即v=0。
不相撞临界条件变成“汽车停止时恰好不撞”：
v02/2a=x0
代入v0=20m/s、x0=25m，
得a=8 m/s2。
与本题的3.92 m/s2对比，可以让学生看到：前方目标在运动时，临界是“共速”；目标静止时，临界是“停止”。
变式2：加上司机反应时间 t0=0.5 s。反应时间内汽车仍以20 m/s匀速，多走10 m，相当于初始间距“缩水”为 15 m。第（2）问变成
临界加速度变大。这个变式很贴近生活。
变式3：自行车也做匀加速运动。相对速度不再是线性减小到零那么简单，共速时间要重新求，但“相对位移面积”的思路仍然成立。适合作为拔高追问。
变式4：问“两车第二次相遇的时间”。这会逼学生处理“汽车停止后不再运动”的分段，是本题卡点二的延伸。
变式4：问“两车第二次相遇的时间”。这会逼学生处理“汽车停止后不再运动”的分段，是本题卡点二的延伸。
四、总结
遇到追及相遇，可先画v−t，看两图线之间的“面积差”和初始间距谁大谁小；再问“速度相等”这个极值点有没有落在实际运动过程里；最后解出的时间，要回到“汽车有没有停止”去检验。
“共速时距离最近（最远）”是一句真话，但它只是一把尺子。尺子能不能用，取决于你要量的那一段过程还在不在。
