Gilberg-Trudinger 二阶椭圆型偏微分方程

三年前我曾经尝试完成这本书的部分课后习题, 但感觉十分困难, 很多题停留在有大致思路, 但都很难推进. 时过境迁, 部分难以推进的地方在 AI 的帮助下取得了较好的结果, 我们分几次来讨论这一章的习题. 事实上, 这些题目的工作量仍然是非常巨大的. 

第七章 Sobolev 空间习题思考与解答 - 上

 设  是  中的一个有界区域. 如果  是  上的一个可测函数, 使得对某些 , , 定义

证明:

解 令 , 则 . 设 . 先说明极限的含义: 对正指数, 若积分发散, 可以将  解释为 ; 对负指数, 若积分发散, 则相应扩展值为 . 第 (iii) 项的通常双侧有限值结论还需要零附近正、负阶矩的可积性, 下文会给出一个明确的充分条件.

(i) 正阶均值的极限. 记 . 若 , 则  几乎处处, 从而若 , 集合  有正测度. 因此

因为 , 所以 . 令 , 再与上界合并, 得到所求极限. 当  时结论显然成立. 当  时, 上述下界对任意  成立, 故极限为 .

(ii) 负阶均值的极限. 写 , . 若  几乎处处, 令 , 则

由 (i) 得

其中约定 . 如果  在正测度集合上为零, 负阶积分为无穷大, 此时两边均为 . 这也说明负阶均值实际上强调函数较小的取值.

(iii) 零阶均值的极限. 一个便于使用的充分条件是: 存在 , 使得

令 , . 条件 (1) 保证 , 且  在  附近有限. 对 , 由中值定理,

右端可积, 因而控制收敛定理给出

又因为 , 并且  当 , 所以

两边取指数即得题中公式.

关于题设条件. 仅有“某个阶矩可积”不能保证 (iii) 的双侧极限. 例如在  上取

则 , 所以题中右端为 . 对 , 上述差商可用  控制, 故右极限为 . 但对每个 ,

因此左侧在通常有限值定义下不存在; 即使用扩展值, 左极限也为 . 所以双侧结论需要类似 (1) 的补充条件.

这里正阶矩控制大取值, 负阶矩控制接近零的取值, 二者是不同方向的信息. 因此, 某个正阶矩可积不能自动保证双侧零阶极限. 例如  在  上有可积对数, 但所有负阶矩都发散. 遇到双侧参数极限时, 应分别检查参数两侧的表达式是否有意义, 再谈极限值.

 证明一个函数  在区域  中是弱可微的, 当且仅当它在  中每一点的一个邻域中是弱可微的.

证 弱可微的定义是 , 并且存在 , 使得对每个 ,

若  在整个  中弱可微, 则将测试函数限制为支集包含在任意邻域内的函数, 就得到该邻域上的弱可微性.

反过来, 假定每个点都有一个邻域  使  弱可微. 两个邻域上的弱导数在交集内几乎处处相同, 因为它们与同一个函数  满足相同的分部积分关系, 而弱导数是唯一的. 取一个可数的此类邻域覆盖, 就能将局部弱导数拼接成 ; 在每个紧集上只需有限个邻域, 所以 .

给定 , 用有限个  覆盖 , 并取从属于这些邻域的光滑单位分解 , 使  在  的一个邻域成立. 于是

这正是 (2), 因而  在  中弱可微.

请注意这里展开  时会出现 . 这些项没有消失得不明不白: 它们求和为

单位分解既分开了局部信息, 又保留了重新相加时的精确恒等式. 今后遇到由紧支测试函数定义的性质, 可以先尝试“局部证明, 测试函数分解, 最后拼接”.

 设  是多重指标,  是区域  上的一个局部可积函数. 证明: 假如弱导数 , ,  之一存在, 则它们全部存在, 并且在  上几乎处处相等.

证 需要区分“分布导数”与“由局部可积函数表示的弱导数”. 分布导数总是存在且可交换, 但某个高阶导数可由局部可积函数表示, 并不能保证计算复合弱导数所需的内层弱导数也存在. 因此关于存在性的断言需要补充条件.

一个反例. 在  上取

因为  与  无关, , 从而 . 直接利用测试函数也得到

所以  是一个局部可积的弱导数. 但是

右端是集中于直线  上的非零测度, 不能由局部可积函数表示. 故  不存在为本章意义下的弱导数,  也不能作为两次函数弱求导来定义.

补充条件后的证明. 如果进一步假定  与  都存在为局部可积函数, 则题中的三个高阶导数只要有一个存在, 其余两个也存在且相等. 特别地,  时总有这一结论.

事实上, 对任意分布  和测试函数 ,

这里用了光滑测试函数的混合偏导可交换. 假定其中一个高阶分布导数由  表示, 上式说明另外两个分布也由同一个  表示. 因为两个内层导数已经存在为函数, 这就分别满足另外两种复合弱导数的定义. 最后由弱导数的唯一性, 三者几乎处处相等.

 导出乘积公式 (7.18):

提示: 首先考虑 ,  的情形. 公式适用于  且  的情形.

解第一步: 一个因子光滑. 设 . 对 , 将  作为弱导数定义中的测试函数, 得

若定义中只使用  测试函数, 可先在固定紧集上用光滑函数以  范数逼近 , 再取极限, 因而上述使用同样合法. 展开左端:

这就证明了 .

第二步: 两个因子均弱可微. 由习题 7.8 将证明的沿坐标直线绝对连续的刻画, 可以选择  的代表元, 使它们在几乎每条平行于坐标轴的局部线段上绝对连续. 一维绝对连续函数在紧区间上有界, 因而乘积也绝对连续, 并满足

在矩形  内固定方向 . 对几乎每条截线使用一维分部积分, 再用 Fubini 定理对其余变量积分, 得

Fubini 定理可用, 正是因为题设给出了  和导数之和的局部可积性. 这里无需另外假定两个导数项分别可积. 再由习题 7.2 的局部性, 公式在整个  中成立.

请注意看到乘积法则, 最容易想到的是将两个函数都正则化, 然后对光滑乘积求导. 但开始之前应先检查: 已知的收敛是否足以让乘积也收敛. 仅有  收敛通常不够, 因为两个因子可以在同一小区域内同时变得很大. 这里习题 7.8 说明, 弱可微函数有沿几乎所有坐标截线绝对连续的代表元. 在一条紧线段上, 绝对连续函数有界, 其导数可积. 因而两个此类函数的乘积仍绝对连续, 一维乘积法则可以直接使用. 再对其余变量用 Fubini 定理积分, 就返回多维弱导数关系. 这一途径特别适合原题只要求  与  的和局部可积的情况. 在每条合格截线上可以先计算这个和; 在整个区域上积分时, 这两项局部可积性保证 Fubini 定理可用, 无需擅自增加两个导数项分别可积的假设. 本题中的方法选择由可积性决定. 光滑因子允许改造测试函数; 粗糙因子则需要检查乘积能否取极限, 或借助沿线绝对连续的结构. 写出形式上的乘积导数后, 仍要证明右端确实属于所要求的函数空间.

 导出公式 (7.19), 并证明如果仅假设 , , 公式仍成立. 这里  是双射, , , 公式为

解 先设  与  为  映射. 对局部光滑逼近  于 , 令 . 古典链式法则给出

固定 , 在包含  的紧邻域上,  和换元的 Jacobian 都有界. 因而换元公式给出

同时  于 . 将 (3) 的积分恒等式取极限, 便得  及其弱导数公式. 由于  任意, . 将  代入, 再乘以 , 得到题中公式.

现在假定  为局部双 Lipschitz 映射. Rademacher 定理说明  与  几乎处处可微. Lipschitz 映射把零测集映为零测集, 因此可以删去一个零测集, 使  与  处的两个导数都存在, 且

双 Lipschitz 换元公式及导数的局部有界性仍给出上述  估计. 对光滑 , 复合函数  局部 Lipschitz, 因而弱可微, 且几乎处处满足古典链式法则 (3); 这也可由沿直线绝对连续和 Fubini 定理证明. 于是同样的极限过程给出

最后利用 (4), 得

其第  个分量即为所求公式. 双 Lipschitz 条件保证了换元、零测集的传递以及逆导数关系, 因而在这里不可仅用任意连续双射替代. 

本题提供了理解“拉平边界”的基础: 做一次坐标变换, 本质上要把弱导数与积分估计一起搬过去. 一阶问题通常可用双 Lipschitz 变换处理; 高阶问题还要检查变换本身是否具有足够高阶的导数, 这一点将在习题 7.11 再次出现.

 设  是  中一个包含原点的区域. 证明: 如果 , 则由  给出的函数  属于 .

解 此处  指所有不超过  阶的弱导数局部可积, 并不要求无界区域上的全局积分有限. 原点处的函数值可任意指定, 不影响结论.

在  处,  光滑. 由于它是次数  的齐次函数, 每个  阶导数都是次数  的齐次函数. 因此对 ,

在原点附近用极坐标积分:

因为  且 . 所以这些古典导数都有局部可积的延拓.

还要验证它们就是弱导数, 即原点没有产生额外的集中项. 用归纳法, 假定  阶导数  已是弱导数, 其中 . 对 , 在去掉  的区域上分部积分, 得

其中法向量的符号对下面的估计没有影响. 由 (5), 边界项满足

两个体积分则由局部可积性收敛. 故

从  归纳至 , 即证明 .

此处  要求局部可积. 判断原点奇性解决的是局部问题, 不负责无穷远处的积分. 若改问 , 同样估计给出的一个局部充分条件是 $p(\alpha+k)<n$; 若要求全空间积分,="" 还必须另行检查远处的衰减.<="" p="">

 设  是  中的一个区域. 证明函数  当且仅当  是具有局部有界弱导数的弱可微函数.

解 此处  按局部 Lipschitz 连续理解; 对 Sobolev 等价类, 结论是它具有一个这样的代表元.

必要性. 若  在每个紧邻域上 Lipschitz 连续, 则在其中几乎每条平行于  的直线上,  都是一维 Lipschitz 函数, 从而绝对连续. 其一维导数几乎处处存在, 且绝对值不超过该邻域的 Lipschitz 常数 . 对  上的测试函数, 沿截线分部积分并用 Fubini 定理, 得

由局部性,  弱可微且 .

充分性. 假定 , . 取 , 记

令  为局部正则化. 对充分小的 , 在  内有

球是凸的, 所以连接  的线段仍在球内, 于是

此外, 对  将 (6) 积分, 可得

正则化的  范数一致有界, 因而  在  上一致有界且等度连续. 由 Arzel`a--Ascoli 定理, 某子列一致收敛到 . 因为  于 , 所以  几乎处处. 将 (6) 取极限得到

重叠球上的连续代表元几乎处处相同, 因而处处相同, 可以拼成  上的局部 Lipschitz 代表元. 这就完成了证明. 若要求整个  上同一个 Lipschitz 常数, 还需全局导数界及合适的域几何条件; 在凸域上全局导数界已经足够.

本题必须保留“弱”导数这个要求. 古典导数几乎处处存在且有界, 单独拿出来并不足以推出绝对连续或 Lipschitz 连续; Cantor 函数就提醒我们, 几乎处处的古典导数会遗漏集中在零测集上的变化. 此外, 局部梯度界首先给出局部 Lipschitz 结论; 非凸域上的整体差值界还涉及连接两点的路径长度.

 设  是  中的一个区域. 证明函数  在  中弱可微, 当且仅当它等价于一个函数 ,  在  中几乎所有平行于坐标轴的线段上绝对连续, 且其偏导数在  中局部可积. 从这个特性导出微分法的乘积公式和链式法则.

解 这里的绝对连续是指每一条合格截线内的任意紧线段上的绝对连续. “几乎所有截线”中的零测集, 是用其余  个坐标的 Lebesgue 测度衡量的.

第一步: 弱可微推出沿线绝对连续. 先在矩形

内讨论. 对  作局部光滑逼近, 可以选择光滑序列 , 使  于 , 并且

例如先将逼近误差取得小于 , 再用三角不等式即可得到 (7).

固定 , 将  写成 , 其中 ,  表示其余坐标. Fubini 定理和 (7) 表明: 对几乎每个 , 有

在一维区间  上, 对光滑  有

其证明是选一点  使 , 再使用. 由 (8)、(9),  在这些截线上一致收敛到一个连续函数, 而其导数在  中收敛到某个 . 将微积分基本公式取极限, 得

所以该极限绝对连续, 且偏导数等于 . 又由  中的收敛和 Fubini 定理,  几乎处处, 极限与  几乎处处相同.

为了得到所有坐标方向共同使用的一个代表元, 取可数个紧包含于  的矩形覆盖 , 并对同一光滑逼近序列作对角选取, 使 (7) 在每个矩形上成立. 每个矩形、每个方向的例外截线集合都是零测集. 取它们的可数并, 仍是零测集. 在其余截线上, 同一序列逐点且沿局部线段一致收敛, 因而极限在重叠部分自动一致. 将此共同逐点极限定义为 , 在剩余无极限的点上任意赋值, 就得到所需代表元. 其偏导数为 .

第二步: 沿线绝对连续推出弱可微. 假定  几乎处处, 并满足题中性质. 记其沿截线的偏导数为 . 对  和 , 一维分部积分给出

对几乎每个  成立. 对  积分得到

故 . 用习题 7.2 即得整个域上的弱可微性.

第三步: 乘积与复合. 在每条合格截线上应用一维绝对连续函数的乘积法则, 再按第二步积分, 得到

只要  与右端的和局部可积. 特别地, 两因子都局部有界且弱可微时, 条件自动满足.

若 , 且  有界, 则  是 Lipschitz 函数. 因而  沿上述截线绝对连续, 并满足

由于  且, 第二步给出

如果  只有局部界, 同一结论在  局部有界时仍成立. 对分片  且导数有界的连续 , 也可沿线使用一维链式法则; 在  取到  的角点值的集合上,  几乎处处, 因而将该处的复合导数定义为  即可.

这道题是本章非常关键的桥梁. 多维弱导数由积分恒等式定义, 而一维绝对连续函数满足

右端恰好把导数与函数的变化联系起来. 因此, 思考的目标是证明: 沿几乎所有坐标截线, 弱导数能够成为这条基本公式中的可积导数. 较容易的方向先做. 若已经知道沿线绝对连续, 就沿每条合格截线进行一维分部积分. 较难的方向关键是选取足够快的逼近. 一维还有一个特别方便的估计:

把它用于相邻逼近之差, 就把沿线的  可求和性升级为一致收敛. 同时沿线导数在  中收敛. 现在便可以在光滑函数的基本公式中取极限, 得到绝对连续的极限函数.

这个构造还解释了为什么题目说“等价于一个函数”. 原来等价类中的任意代表元可以在零测集上被任意改变, 这种改变可能毁掉某些线段上的点值性质. 应用同一个光滑序列、可数个内部矩形和所有有限个坐标方向, 可以构造共同的代表元; 不能为每个方向随意选择互不相容的点值版本.

乘积和复合在合格截线上遵循一维绝对连续函数的法则, 然后借助 Fubini 回到多维. 对 ,  有界,

右端可积由  保证. 对有角点的分片光滑 , 还要处理  取到角点值的集合; 绝对连续函数在固定等值集合上导数为零几乎处处, 正好解决了这个问题. 本题的意义是, 以后许多弱微分计算都能在这个一维结构上获得严格依据.

 证明范数 (7.22) 和 (7.23) 是  上的等价范数.

解 将两个表达式明确写为

设  为满足  的多重指标个数, 即 . 对非负数 , 有

左边来自有限维  范数与  范数的比较; 右边是对  使用 H"older 不等式. 取 , 得

两个表达式均非负、齐次, 并且等于零时包含的零阶项使  几乎处处.  的三角不等式是各个  三角不等式求和.  的三角不等式可以在  与有限指标集的乘积测度空间上应用 Minkowski 不等式得到. 因而二者确为范数, (10) 又证明其等价性. 当  时, 将  定义为 , 则 . 需要注意的是正定性来自其中含有零阶项 . 如果只保留正阶导数, 常数函数的值就可能为零, 得到的一般只是半范数.