高中数学|绝对值藏出一条＂折枝＂曲线:这道多选题专治不敢分类讨论

方程里同时出现x|x|和y|y|，很多孩子第一眼就放弃了——其实这类”绝对值曲线”是纸老虎：按象限分四种情况去掉绝对值，每一块都是熟悉的老朋友（双曲线、椭圆的片段），拼起来就是一条连而不断的”折枝”曲线。这道多选题四个选项各考一个点：对称性、距离平方的范围、线性组合能不能取到、加绝对值后的范围，正好把”分段讨论+范围合并+端点开闭”这条主线完整走一遍。范围题丢分，十有八九丢在端点的开闭上，这道题把两种端点都安排上了。

已知曲线，P(x₀,y₀)为C上一点，则以下说法正确的是（　　）

A.曲线C关于原点中心对称

B.x₀²+y₀²的取值范围为[1,+∞)

C.存在点P(x₀,y₀)，使得2x₀−y₀=−1

D.的取值范围为

第一步：分情况去绝对值，看清曲线的真面目。按x、y的符号分四种情况：

补两个边界点：y=0时x|x|=1只有正根，得(1,0)；x=0时只在y<0时有解，得(0,−2)。

所以曲线C由三段拼成：第四象限的椭圆弧（(1,0)到(0,−2)）、第一象限的双曲线右支上半段（从(1,0)向右上无限延伸）、下支的左半段（从(0,−2)向左下无限延伸）——连而不断，但整体不是中心对称图形。

第二步（A项）：对称性找一个反例就够。点(1,0)在C上。若C关于原点对称，(−1,0)也应在C上；但x=−1<0、y=0时左边等于−x²−0=−1≠1，无解。所以A错误。

第三步（B项）：三段各算x₀²+y₀²，取并集。

椭圆弧上，，即y²=4(1−x²)，于是

x₀²+y₀²=x₀²+4(1−x₀²)=4−3x₀²,x₀∈[0,1],

范围为[1,4]，最小值1恰在(1,0)取得。

双曲线上半段上，，于是，且随y₀增大无上界。

双曲线下支左半段上，，于是，同样无上界。

三段并起来：x₀²+y₀²∈[1,+∞)。B正确。

第四步（C项）：把三段参数化，求2x₀−y₀的范围。

双曲线上半段：令，（t≥0），则

椭圆弧：令x=cosθ，y=−2sinθ（），则

两端点θ=0、处值都是2，处取最大，故。

双曲线下支左半段：令，（t≥0），则

三段并起来：。注意左端0取不到：两段双曲线都以直线2x−y=0为渐近位置，只能无限逼近。，所以不存在这样的点P，C错误。

第五步（D项）：平移加绝对值，区间为正则原样保留。由第四步，

这个区间整个落在正实数轴上，绝对值不改变它，所以

D正确。综上，答案为BD。

（验算：t=0时上半段给点(1,0)，2x−y=2；时椭圆弧给，；t=1时上半段，随t增大趋近0但取不到。三处数值均与结论吻合。）

含|x|、|y|的曲线方程，本质就是”按象限分四块”：每块去掉绝对值后都是标准图形（双曲线、椭圆、抛物线）的一段，难点从来不是哪一块，而是三件事——拼（哪些块有解、边界点归谁）、并（范围分段算完取并集）、开闭（端点到底取不取得到）。本题B项的1是椭圆弧端点贡献的闭端点，C、D项的0是双曲线渐近行为贡献的开端点：椭圆弧”有头有尾”给闭区间，双曲线”无限逼近渐近线”给开区间，两种端点的来历要分得清清楚楚。求2x−y这类线性目标在圆锥曲线弧上的范围，参数化（三角参数或双曲参数）往往比联立直线更快，而且参数的取值范围天然就是弧的范围，不会把整条曲线误当整支。最后是多选题的实战节奏：像A项这种对称性判断，找一个点验证反例三秒钟解决，先把最便宜的分数拿到手，再去啃需要完整计算的B、C、D。