2026北师大版初中数学八年级上册学生AI智能体深度理解16法：第25篇｜第五章 二元一次方程组·回顾与思考·复习题——深度理解16法之「翻译模型」

北师大版义务教育教科书 · 数学 八年级上册 · 第五章 二元一次方程组·回顾与思考·复习题

🏫 学校：dxyc2360      👨‍🏫 指导教师：张元方

📖 一、开篇引言

翻到课本第141页，孩子会看到一页"没有新东西"的纸。左上角是「回顾与思考」的五个问句，往下是「复习题」，再往下是「知识技能」「数学理解」「问题解决」「联系拓广」四个栏目。整页看不到一个新公式，全是本章学过的旧面孔。很多家长翻到这里就跳过去了，觉得复习题留给孩子自己写就行。

真实情况反过来了。这一页恰恰是本章最容易翻车的地方。孩子做第19题、第20题这种单点练习时顺风顺水，一进复习题就蒙：第2题明明只是把解代回去，他却盯着 ax－y＝b 发呆；第7题两个方程都带分数，他连"先别急着通分"这一步都想不到；第15题的图上有断轴符号，他把断轴当成直线的一部分，斜率算成了负数；第16题的门票表他连"两班各多少人"这句话该翻成什么方程都写不出来。

这一页的跨度大得吓人。二十一道题从纯计算走到阅读理解，再走到文言文与几何图。第1题要解五个方程组，其中第(5)小题是三元一次方程组；第3题是星号题，要顺着"x＝1，2，3 时值是 0，3，28"反求三个系数；第4、5题把方程组的解搬到坐标系里，让你读交点；第8题带着《九章算术》的口气，用 a₁、a₂、b₁、b₂ 四个字母代替具体数字；第14题直接上《张丘建算经》的"雀一只重一两九铢"，还得先弄清 1 斤＝16 两、1 两＝24 铢；第18题是六个颜色不同的正方形拼一个长方形。

把这些题摆在一起看，会发现一条共同的动作：每一道题都在做翻译。把一句生活话翻成两个方程，把一个方程翻成一条直线，把图上的虚线翻回数对，把文言文的"并重二斤一十三铢"翻成 781 铢，把字母参数翻回能算的式子。翻得准，题就短；翻错了，算得再快也是白算。

所以这一篇用「翻译模型」来读这一页。这个法子出自伽达默尔的诠释学：理解一个东西，本质上是把它从它自己的语言搬到你能听懂的语言里，搬的过程本身就是理解。本章复习题就是最好的练习场——原文有五种语言：生活语言、图像语言、字母语言、文言语言、几何语言。译文只有一种：二元一次方程组。这一篇会把二十一道题一道一道过一遍，每道题都说清"原文是什么、译文怎么写、翻错会怎样"。

给家长一个具体的陪读办法。今晚只做三件事：让孩子先读题，把题里的"多、少、一样多、共、超产、折扣、剩、缺"这些词圈出来；再把圈出的词旁边写上"这是谁减谁"；写完再看方程写得对不对。三件事做完，孩子错的地方往往不在计算，而在第一步的翻译。

📊 二、思维导图

第五章复习题的六条翻译通道：生活、图象、字母、文言、几何、检验

这张导图按"从原文到译文"的顺序排。主干是本章复习题，一级分支六条：解方程组的两把刀（代入与加减）、图象与方程组的互译、字母参数的反求、应用题的四类句式、古代算经与单位换算、几何图形里的方程。二级节点落到具体题号，家长对着导图就能点题：孩子哪一支讲不出例题，就回哪一道题去补。六个分支合起来，正好覆盖「回顾与思考」五个问句和复习题二十一道大题。

🔑 三、深度理解16法之「翻译模型」

「翻译模型」来自伽达默尔的《真理与方法》。他讲了一件很朴素的事：理解从来不是把原文照抄一遍，而是把原文的意思用另一种语言重新说出来。翻译的人站在两种语言中间，一边要守原文，一边要让人听懂，来回调整，直到两边对得上。他把这个过程叫作"视域融合"——原文的视野和读者的视野在一个句子里合上了，理解才发生。

这个说法戳中的学习毛病很具体：很多孩子学数学，一直在"背译文的字面"，没真正做过翻译。他记得"消元就是把一个未知数弄掉"，却不会在一道"两班共102人"的题里判断该让谁加谁；他能背出"二元一次方程的解就是图象上点的坐标"，却在第5题面前找不到点A。字面会背，译文不会写，这就是翻译没做成。

翻译模型有个硬要求：译文必须能被回译。你把"甲组先生产1天，两组又各生产5天，产量一样多"翻成 6x＝5y，就要能反过来把 6x＝5y 读成那句话。回译不通，说明翻译丢了东西。第10题的孩子常写成 5x＝5y，回译一遍就露馅：甲只干了5天？那句"先生产1天"被吞掉了。养成回译的习惯，方程自己会挑错。

落到这一页，翻译有五种原文、一种译文。生活语言翻成方程组，抓的是"多、少、一样多、共、超、折"这六个词，每个词对应一个加减号（第10、11、12、13、16题）。图像语言翻成方程组，抓的是"两条直线交在哪"，交点坐标就是解（第4、5题）。字母语言最难，a₁、a₂、b₁、b₂ 不是数，是"占位的人"，翻的时候把它们当已知数照搬（第8题）。文言语言要过两道关：先认单位（1斤＝16两，1两＝24铢），再认句式（"并重"＝一共重），第14题的两只脚都得站住。

末一种原文是几何。几何题里的翻译是把"位置关系"翻成"数量关系"。第9题的 CE∥AD 翻成 ∠CEB＝∠A，BE＝CE 翻成 ∠B＝∠BCE，两个翻译一做完，剩下的就是"∠A＋2∠B＝180，∠B－∠A＝30"这一组二元一次方程组，孩子在第五章学的工具立刻能用上。第18题更狠，六个正方形要翻成"长＝7＋6，宽＝7＋4"这样的边长账本。翻译做到位，这一页二十一道题没有一道需要新知识。

📝 四、核心概念与公式

知识点一 · 方程组的解是一对"一起成立"的数。把 x、y 的一对数代进方程组里每一个方程，每个方程左右两边都相等，这一对数才叫方程组的解。第2题就是这条定义反过来用：x＝1、y＝3 和 x＝0、y＝－2 都是 ax－y＝b 的解，代进去就是两个关于 a、b 的方程，a－3＝b 与 0＋2＝b，解得 b＝2、a＝5。孩子这里最容易做的是"只代一组"，代一组只能得一个关系，凑不出两个未知数。

知识点二 · 消元的本质是把两个未知数减成一个。代入法的动作是"用一个未知数表示另一个，再整体换掉"；加减法的动作是"让某个未知数的系数变成相反数，两式相加把它抹掉"。选哪把刀只看一眼系数：某个方程已经写成 y＝2x＋3 这种"一个字母单独站一边"的样子，用代入（第1题第(2)小题）；两个方程里同一个字母的系数成倍数，用加减（第1题第(1)小题的 y 系数是 －1 与 －3，第(4)小题的 y 系数是 －2 与 3）。

知识点三 · 二元一次方程与一次函数是同一件事的两种写法。方程 2x－y＝5 移项就是 y＝2x－5，一条直线；它的每一组解，都是这条直线上的一个点。第4题问"交点坐标可以看作哪个方程组的解"，答案是：两条直线的表达式凑成一个方程组，交点就是它的解。第5题反过来，图上给了两条直线的两个锚点，先写出表达式再解方程组，交点坐标就出来了。第21题更彻底：两个方程化简后是同一条直线，直线重合，方程组就有无数多组解。

知识点四 · 三元一次方程组靠"砍"下来。第1题第(5)小题有三个未知数，第一个方程 z＝x＋y 已经把一个未知数交出来了，把它代进另外两个方程，三个未知数立刻掉成两个：2x－3y＋2(x＋y)＝5 化简成 4x－y＝5，x＋2y－(x＋y)＝3 化简成 y＝3。到这里就是普通的二元问题了，x＝2、z＝5 一路顺下来。三元的关键不是技巧，是先找"哪个方程最松"。

知识点五 · 列方程组四步：设、翻、解、验。设是把要求的量取好名字（第16题设八(1)班 x 人、八(2)班 y 人）；翻是把题里的每句话变成等式，一句一个方程；解是消元；验有两层，一层把解代回方程，一层把解代回原题的话里读一遍（第10题代回去读"甲先做1天"是否说得通）。四步里最费时间的是翻，最容易被跳过的是验。

本节公式与常用算式（教材里出现过的全部算式与结果）：知识技能第1题(1) 2x－y＝5、7x－3y＝20，解得 x＝5、y＝5；(2) 4x－y＝1、y＝2x＋3，解得 x＝2、y＝7；(3) 5x＋y＝2、x－3y＝4，解得 x＝5/8、y＝－9/8；(4) 3x－2y＝1、2x＋3y＝－7，解得 x＝－11/13、y＝－23/13；(5) z＝x＋y、2x－3y＋2z＝5、x＋2y－z＝3，解得 x＝2、y＝3、z＝5。第2题 b＝2、a＝5。第3题 a＝11、b＝－30、c＝19，x＝－1 时 ax²＋bx＋c＝60。第4题 y＝x＋1 与 y＝2x－1，解 (2,3)。第5题 y＝x 与 y＝－2x＋5，解 (5/3, 5/3)。第7题 (x＋y)/2＋(x－y)/3＝7、(x＋y)/2－(x－y)/3＝3，解得 x＝8、y＝2。第8题 x＝(b₁＋b₂)/(a₁－a₂)、y＝(a₁b₂＋a₂b₁)/(a₁－a₂)。第9题 ∠A＝40°、∠B＝70°。第10题甲组 500 件/天、乙组 600 件/天。第11题水稻 11.5 t、小麦 5.5 t。第12题进价 155 元、定价 200 元。第13题甲进价 150 元、乙进价 200 元。第14题雀 14 只、燕 11 只。第15题 v＝(4/7)t＋2320/7，t＝50 ℃ 时 v＝360 m/s。第16题八(1)班 49 人、八(2)班 53 人，联合购票 816 元，省 302 元。第17题 y＝x＋2，10 个盘子高 12 cm。第18题面积 143。第19题长 8 cm、宽 2 cm。第21题化简后同为 y＝2x＋3，无数多组解，两直线重合。

📜 五、教材原文

教材原文

略

本节教材原文指北师大版义务教育教科书《数学》八年级上册第141至144页「第五章 二元一次方程组」的「回顾与思考」与「复习题」全文，版权归北京师范大学出版社与教材编写组所有，本公众号不作复制转载。原文的每一个栏目、每一道题的题面要点、图上标注与数据，已在第八节逐条拆解并注明所在印刷页码，需要对照原书时请翻开课本第141—144页。

🧩 六、重点难点分析

难点一 · 明明"已经解出一个字母"，孩子还要硬凑加减

第1题第(2)小题的第二个方程就是 y＝2x＋3，一个字母干干净净站在等号左边。这种形态用代入法只要一行：4x－(2x＋3)＝1，解得 x＝2，再回代 y＝7。孩子偏偏爱在这个地方显本事，先把两式都整理成标准型，再调系数相加，一路算到 x＝2 却又在回代时把 y 算错。难在哪儿？难在他心里只有"加减消元"一套动作，缺"哪个方便用哪个"的判断。破法很土：做题前先用手指点一下，两个方程里有没有一个写成 y＝… 或者 x＝…？有就用代入，没有再看系数。这个手指动作练上十次，判断就成了直觉。家长可以顺手出一道"y＝3x－1 与 2x＋y＝9"让他十秒内说出用哪把刀，说不出来说明判断还没成形。

难点二 · 答案落到分数上，孩子就停笔

第1题第(3)小题解得 x＝5/8、y＝－9/8，第(4)小题解得 x＝－11/13、y＝－23/13。这两组数不好看，很多孩子算到 16x＝10 就抬头，觉得"肯定错了"，然后划掉重算，越算越乱。真正的困难不是分数，是不相信分数可以是答案。初中方程的解不需要是整数，教材在这一页放了两道分数解的题，就是要孩子接受这件事。破法是把验算变成习惯：x＝5/8 代回 5x＋y＝2，25/8－9/8＝16/8＝2，对上了就是对的。家长在家可以只说一句"代回去看看"，不要替他判断对错，让他自己拿到那个 2。

难点三 · 读图题不会看虚线锚点，凭感觉报坐标

第4题和第5题都给了蓝色虚线。第4题的虚线从交点引出，指向 x 轴的 2 与 y 轴的 3，交点 (2,3) 是现成的；第5题的虚线故意不给交点，而是给出两条直线上的锚点——一条直线过 (2,2)，另一条过 (1,3)，交点 A 落在 (5/3, 5/3) 这种非格点位置上。孩子在第4题养成了"虚线指哪儿就报哪儿"的习惯，到第5题找不到指向交点的虚线，就开始目测，报出 (2,2) 或者 (1.7,1.6) 这类数。破法是让他明白虚线的两种用法：指交点的是"读答案"，指别处的是"给你求表达式的原料"。第5题必须先用 (2,2) 定出 y＝x，用 (1,3) 与 y 轴上的 5 定出 y＝－2x＋5，再解方程组得 (5/3, 5/3)。

难点四 · 生活句式翻成方程时，动宾关系错位

第10题"甲组先生产1天，然后两组又各生产5天，则两组产量一样多"，正确译文是 6x＝5y——甲干了6天，乙干了5天。孩子常写 5x＝5y，因为"各生产5天"这四个字太响，把前面那句"先生产1天"盖住了。第12题"销售8件所获利润与将定价降低35元销售12件所获利润相同"，正确译文是 8×(0.85y－x)＝12×(y－35－x)，难点在"利润"要用"售价减进价"去翻。第16题"分别购票共付1118元"，译文是 12x＋10y＝1118，难在两班人数落在不同价格区间。破法只有一个：翻完立刻回译成一句人话，读不通就重翻。

难点五 · 古代算经与字母参数，两座"外语山"

第14题先要过单位关：1 斤＝16 两，1 两＝24 铢，雀一只 1 两 9 铢＝33 铢，燕一只 1 两 5 铢＝29 铢，总重 2 斤 13 铢＝2×16×24＋13＝781 铢。三道换算任一错，方程就全错。孩子怕的是"铢"这个陌生的字，其实它只是个更小的单位。第8题是另一种外语：a₁、a₂、b₁、b₂ 不是数，做题时要把它们当成四个不肯报数的"已知数"。破法是先拿具体数试一遍——假设每人出8钱多3钱、每人出7钱少4钱——把过程走通，再把 8、7、3、4 换回字母。字母题不是新知识，是把算过的路子重走一遍。

难点六 · 图形里的条件不会变成方程

第9题的 CE∥AD 与 BE＝CE，是两个"不写数字的已知条件"。它们必须先被翻成 ∠CEB＝∠A 和 ∠B＝∠BCE，才能和 ∠B－∠A＝30° 凑成一个方程组。孩子往往停在"给了平行，然后呢"。第19题是另一种：长减4、宽加2后成正方形，这句话里藏着两个等式——长与宽的差是 6，面积不变；只有先写出 (x－4)(y＋2)＝xy，才算把"面积相等"翻成了算式。第18题最难，六个正方形没有一个边长已知，全靠"中间小的边长是1"这条线头，一层层推出 4、5、6、7。破法是每次读图先问一句：图上有几个量是相等的？把它们逐个写成等式。

❓ 七、常考易考题与易错题

题型一 · 两道两元方程组的解法选择（对应知识技能第1题(1)—(4)）

例题：解方程组 5x＋y＝2，x－3y＝4。答：由第一式得 y＝2－5x，代入第二式 x－3(2－5x)＝4，整理得 16x＝10，x＝5/8，y＝－9/8。易错：把 16x＝10 算成 x＝10/16 之后又"约成 5/8"却把 y 忘掉，或者把 y 写正。错因：解出第一个未知数后情绪放松，回代步骤滑过去。纠法：养成"解完一个，立刻把它代进较简单的那个方程"的固定动作，代完先看符号再算。

题型二 · 三元一次方程组的砍法（对应知识技能第1题(5)，题号前带星号）

例题：解 z＝x＋y，2x－3y＋2z＝5，x＋2y－z＝3。答：把 z＝x＋y 代进后两式，得 4x－y＝5 与 y＝3，于是 x＝2、z＝5。易错：三个方程乱配，把 2x－3y＋2z＝5 与 x＋2y－z＝3 直接相加消 z，算出一堆系数后用不了。错因：没先找"最松的方程"。纠法：三元题第一步只做一件事——找出只含两个未知数或能直接表示一个未知数的那一式，用它砍第三个未知数。

题型三 · 由"解"反求参数（对应知识技能第2题）

例题：x＝1、y＝3 和 x＝0、y＝－2 都是 ax－y＝b 的解，求 a、b。答：代入两组，a－3＝b 与 2＝b，所以 b＝2、a＝5。易错：只代一组就写答案 a－3＝b，把 b 当成已知。错因：把"都是解"读成"是解"，漏了"两"字的分量。纠法：这类题的题眼是"都是"两个字，看到它就在题号旁写"要代两组"。

题型四 · 已知自变量与函数值反求系数（对应知识技能第3题，题号前带星号）

例题：ax²＋bx＋c 在 x＝1、2、3 时的值依次是 0、3、28，求 a、b、c，并求 x＝－1 时的值。答：a＋b＋c＝0，4a＋2b＋c＝3，9a＋3b＋c＝28，三式相减得 3a＋b＝3、5a＋b＝25，解得 a＝11、b＝－30、c＝19；x＝－1 时值为 11＋30＋19＝60。易错：把三组值代成 a＋b＋c＝0、a＋2b＋4c＝3 这种"把 x 与 x² 位置弄反"的式子。错因：写 ax²＋bx＋c 时心里的 x 只代进一项。纠法：代之前先把式子抄成"a×( )²＋b×( )＋c"，括号留空，再把数填进去。

题型五 · 图象与方程组的互译（对应数学理解第4、5题与联系拓广第21题）

例题：第5题，两条直线相交于 A，求 A 的坐标。答：一条过 (0,0) 与 (2,2)，得 y＝x；另一条过 (0,5) 与 (1,3)，得 y＝－2x＋5；解 y＝x 与 y＝－2x＋5 得 A(5/3, 5/3)。易错：直接把图上虚线的交点当答案，报 (2,2)。错因：把"锚点"当"交点"。纠法：看图先分清虚线的用途，指交点的直接读数，指别处的是求表达式的原料；第21题则要看出两式化简后是同一支直线，答案是"无数多组解、两直线重合"。

题型六 · 折扣、超产、梯级票价三类模型（对应问题解决第11、12、13、16题）

例题：第12题，定价销售每件获利 45 元，八五折销售 8 件与降价 35 元销售 12 件利润相同，求进价与定价。答：设进价 x、定价 y，y－x＝45，8(0.85y－x)＝12(y－35－x)，解得 y＝200、x＝155。易错：把"八五折"写成"减 15 元"，或者把利润算成"售价×件数"。错因：利润率与利润额分不清。纠法：所有打折题先在草稿上写一行"利润＝售价－进价"，再把每种售价代进去，件数只乘在末一步。

题型七 · 古代算经与字母型"盈不足"（对应数学理解第8题、问题解决第14题）

例题：第14题，雀重 1 两 9 铢，燕重 1 两 5 铢，共 25 只、重 2 斤 13 铢，问各几只。答：换算得雀 33 铢、燕 29 铢、总重 781 铢；设雀 x、燕 y，x＋y＝25、33x＋29y＝781，解得 x＝14、y＝11。易错：把 2 斤 13 铢当成 2×16＋13＝45 铢，漏了"两"这一层。错因：单位链 斤—两—铢 只跳了一级。纠法：换算写成两步，先化两，再化铢，2 斤 13 铢＝32 两 13 铢＝768＋13＝781 铢。

题型八 · 编题与拼图（对应数学理解第6题、问题解决第18、19题）

例题：编一个解是 x＝－2、y＝4 的方程组。答：答案不唯一，例如 x＋y＝2 与 x－y＝－6；也可用 2x＋y＝0 与 3x＋2y＝2。易错：编完不复核，写出的第二个方程把 (－2,4) 代进去不成立。错因：把"编题"当成"随便写"，忘了它也是要验算的题。纠法：编题顺序固定成"先定一组含 x、y 的简单式子，各算出一个数，再把数写回等号右边"，末一步代回检查。

📄 八、教材内容逐点拆解

本节按教材印刷页码顺序走：第141页的「回顾与思考」五问，第141页「复习题·知识技能」第1—3题，第142页「数学理解」第4—8题，第142—144页「问题解决」第9—20题，第144页「联系拓广」第21题。每个栏目先说栏目要干什么，再一道一道往下拆。题号与教材逐字一致，带星号的写在题号前。

栏目一 · 回顾与思考（印刷第141页，共五问）

这五问没有标准答案，是全章的"自检清单"。它的作用不是做题，而是让孩子把本章的五件事各说一句话。说得出，说明知识是活的；说不出，说明只是背过。家长陪读时不要代答，让孩子说，说漏的地方再翻回对应小节。

回顾与思考 第1题

题面要点：举出生活中利用二元一次方程组解决问题的两个例子。这一问考的是"能不能自己找素材"，不是背例题。合格的回答要包含两个要素：两个未知量，以及把它们联系起来的两个条件。比如买两种水果，苹果每斤 8 元、橘子每斤 6 元，一共买 5 斤花 34 元，问各买几斤；又比如两种票共 30 张、共花 260 元，成人票 10 元、学生票 6 元。答案不唯一，能说清"两个未知量＋两个条件"就成立。

带这一题：孩子说"买东西"就算过关，别追着要算式；追问一句"这里哪两个量是要求的、哪两句话把它们卡住了"，比让他写出方程组更有用。

回顾与思考 第2题

题面要点：列方程组解决实际问题，最关键的是什么？积累了哪些经验？标准答案落在"找等量关系"上。孩子的回答往往是"要细心""要算对"，这些都是次要的。关键动作是：先设未知数并写清单位，再把题里每一句话拆成一个等式，一句话出一个方程。经验部分可以让孩子举本章的题：第10题的经验是"先生产"三个字不能漏；第16题的经验是人数区间决定单价。

带这一题：让孩子把"最关键"换成一句他能执行的话，比如"每句话都要变成等式"，其余的形容词都可以删掉。

回顾与思考 第3题

题面要点：解二元一次方程组的基本思路、方法，并举例说明过程；三元呢？这一问是本章的骨架题。基本思路一句话：消元，把两个未知数减成一个。两种方法：代入消元、加减消元。举例可以用本章第1题第(2)小题，代入法一行到位；三元则用第(5)小题，先由 z＝x＋y 砍掉 z。答这一问要能"边说边写"，只说方法不举例算半对。

带这一题：让孩子在纸上画一个三层塔——三元减到二元、二元减到一元、一元求出结果，再在每层旁边写一道本章的题号，塔就立起来了。

回顾与思考 第4题

题面要点：举例说明二元一次方程与一次函数有什么关系。答案要说出三句：方程 2x－y＝5 变形得 y＝2x－5，是一条直线；方程的每一组解，是直线上一个点；两个方程组成的方程组的解，是两条直线交点的坐标。举例时最好配第4题那张图，指着交点 (2,3) 说"这就是方程组的解"。

带这一题：这一问是本章与第四章的接头，孩子答得出"解就是点"，第4、5、21题都不会卡。

回顾与思考 第5题

题面要点：梳理本章内容，用适当的方式呈现全章知识结构，并与同伴交流。这一问要动手，不是口头答。最低要求是一张结构图：中心写"二元一次方程组"，四条枝分别是"是什么（定义与解）""怎么解（代入、加减、三元）""怎么用（列方程解应用题）""与谁通（一次函数与图象）"。图上每枝挂两道本章题号，就算完成。

带这一题：孩子画完，让他拿这张图给家长讲三分钟，讲得顺就是真会；讲不顺的地方，正是下一篇要补的地方。

栏目二 · 知识技能（印刷第141页，第1—3题）

这一栏是"手上功夫"，全是纯计算与反求，没有生活情境。它的判分最硬：答案对不对，一目了然。三个题的分工很清楚——第1题练解方程组（含三元），第2题练"解的定义"，第3题练"用待定系数法反求三个未知系数"。这三题做不干净，后面的应用题会连错。

知识技能 第1题 第(1)小题

题目原文要点：解方程组 2x－y＝5，7x－3y＝20。考查什么：加减消元的基本功，看孩子能不能把 y 的系数调成相反数。思路：y 的系数是 －1 与 －3，把第一式乘 3，得 6x－3y＝15，两式相减抹掉 y。分步过程：6x－3y＝15 与 7x－3y＝20 相减，x＝5；回代 2×5－y＝5，y＝5。易错：两式相减时把 20－15 算成 5 却把 x 的系数算成 6－7＝－1，得 x＝－5。验算：2×5－5＝5，7×5－3×5＝20，两式都对。

带这一题：让孩子先把两式相减时"哪个减哪个"写在旁边，写成 (7x－3y)－(6x－3y)＝20－15，式子一摆出来，符号错不了。

知识技能 第1题 第(2)小题

题目原文要点：解方程组 4x－y＝1，y＝2x＋3。考查什么：看到"一个字母单独站一边"就该用代入。思路：第二式已经把 y 交出来了，整体代进第一式。分步过程：4x－(2x＋3)＝1，展开得 2x－3＝1，x＝2；回代 y＝2×2＋3＝7。易错：代入时忘记给 2x＋3 加括号，写成 4x－2x＋3＝1，解出 x＝－1。验算：4×2－7＝1，7＝2×2＋3，成立。

带这一题：括号这一处最容易丢分，让孩子每次代入都先写一个括号，再往括号里填表达式，动作固定下来就不用提醒。

知识技能 第1题 第(3)小题

题目原文要点：解方程组 5x＋y＝2，x－3y＝4。考查什么：系数不是倍数关系时的选择，以及分数答案的承受力。思路：第一式的 y 系数是 1，最适合"表示 y"，于是 y＝2－5x 代入第二式。分步过程：x－3(2－5x)＝4，展开 x－6＋15x＝4，16x＝10，x＝5/8；回代 y＝2－25/8＝－9/8。易错：把 16x＝10 约成 x＝5/8 之后，回代写成 y＝2－25/8＝－23/8（分子减错），或者干脆把负号丢掉写 9/8。验算：5×(5/8)＋(－9/8)＝25/8－9/8＝16/8＝2；(5/8)－3×(－9/8)＝5/8＋27/8＝32/8＝4。

带这一题：这题的分数答案是教材故意的设计，家长只需说一句"代回去验一下"，孩子自己看到 2 和 4，心里那道"分数一定错"的墙就塌了。

知识技能 第1题 第(4)小题

题目原文要点：解方程组 3x－2y＝1，2x＋3y＝－7。考查什么：两边同乘、系数配平的加减消元，与"两个系数都不成倍数"的处理。思路：想让 y 消掉，第一式乘 3 得 9x－6y＝3，第二式乘 2 得 4x＋6y＝－14，相加。分步过程：13x＝－11，x＝－11/13；回代 2×(－11/13)＋3y＝－7，3y＝－7＋22/13＝－69/13，y＝－23/13。易错：相加时把 －14 与 3 相加算成 －17，或者回代时把 22/13 的符号弄反。验算：3×(－11/13)－2×(－23/13)＝(－33＋46)/13＝1；2×(－11/13)＋3×(－23/13)＝(－22－69)/13＝－91/13＝－7。

带这一题：让孩子把"乘几"写在方程旁边（×3、×2），再动笔算；这两笔小字能挡住八成的系数错。

知识技能 第1题 第(5)小题（题号前带星号）

题目原文要点：解三元一次方程组 z＝x＋y，2x－3y＋2z＝5，x＋2y－z＝3。考查什么：三元方程组的消元顺序。思路：第一个方程直接给出 z 的表达式，把它代进后两个方程，把三元砍成二元。分步过程：代入后 2x－3y＋2(x＋y)＝5 化简为 4x－y＝5；x＋2y－(x＋y)＝3 化简为 y＝3；于是 4x－3＝5，x＝2；回代 z＝2＋3＝5。易错：代入时把 2z 写成 2x＋y，或者把 x＋2y－z 的减号漏掉，化出 x＋y＝3 这种错式。验算：z＝5 时 2×2－3×3＋2×5＝4－9＋10＝5；2＋6－5＝3。

带这一题：三元题的正确姿势是先挑"最松"的那一式，孩子往往从最长的那式下手，越做越乱；让他先圈出那个只有一个字母的方程，路子就顺了。

知识技能 第2题

题目原文要点：x＝1、y＝3 和 x＝0、y＝－2 都是方程 ax－y＝b 的解，求 a 与 b。考查什么：方程组解的定义，反求参数。思路：两组解代两次，得到两个关于 a、b 的方程。分步过程：代入 (1,3) 得 a－3＝b；代入 (0,－2) 得 0＋2＝b，所以 b＝2；再得 a＝5。易错：把 a－3＝b 直接当成答案交上去，或者把 0－(－2) 算成 －2，得 b＝－2、a＝1。验算：a＝5、b＝2 时，5×1－3＝2；(0,－2) 代入 5×0－(－2)＝2。

带这一题：题眼是"都是"两个字，孩子漏掉它就会只代一组。让他读完题先在"都是"下面画一道线，这个动作值两分。

知识技能 第3题（题号前带星号）

题目原文要点：在 ax²＋bx＋c 中，x＝1、2、3 时值依次是 0、3、28。(1) 求 a、b、c；(2) 求 x＝－1 时的值。考查什么：待定系数法，三元方程组的实际用法。思路：三组对应值代进去得三个方程，先相减把 c 抹掉，变成二元问题。分步过程：a＋b＋c＝0；4a＋2b＋c＝3；9a＋3b＋c＝28。后两式分别减第一式，得 3a＋b＝3 与 8a＋2b＝28（约成 4a＋b＝14）；两式相减 a＝11，b＝3－33＝－30，c＝－(11－30)＝19。x＝－1 时 11×1＋(－30)×(－1)＋19＝11＋30＋19＝60。易错：把 x＝2 代成 a×2＋b×2＋c，漏平方；或者减式时把 3a＋b＝3 写成 3a－b＝3。验算：x＝2 时 44－60＋19＝3；x＝3 时 99－90＋19＝28。

带这一题：这题是星号题，难在"三层结构"——先代值成方程组，再消成二元，再回代。让孩子把三层分开写，每层占一块地方，别挤在一行里，错了也看得见错在哪一层。

栏目三 · 数学理解（印刷第142页，第4—8题）

这一栏从"算"转到"想"：第4、5题把方程组搬上坐标系，第6题反过来让你造题，第7题比较多种解法，第8题用字母代替数字。第8题题号前带星号，是这一栏的分水岭。做这一栏的关键动作是"换语言"：从式子换到图，从图换回式子，从具体数换到字母。

数学理解 第4题

题目原文要点：如图，直线 l₁ 与 l₂ 的交点坐标可以看作哪个方程组的解？图上核对到的事实：横轴刻度 －2、－1、O、1、2、3、4，纵轴刻度 1、2、3；l₁ 过 (－1,0)、(0,1)、(1,2)，较平缓；l₂ 过 (0,－1)、(1,1)、(2,3)，较陡；两线交于一点，虚线分别指向 x 轴的 2 与 y 轴的 3。考查什么：方程组的解与两直线交点的对应。思路：先由各直线的截距写出表达式，再把两条表达式并成一个方程组。分步过程：l₁ 与 y 轴交于 1、与 x 轴交于 －1，得 y＝x＋1；l₂ 与 y 轴交于 －1、过 (1,1)，得 y＝2x－1；交点由虚线读出是 (2,3)。所以交点坐标可以看作方程组 y＝x＋1 与 y＝2x－1 的解。易错：把两条直线的表达式写反，或者只写出一条就当答案；也有孩子把交点写成 (3,2)。验算：把 (2,3) 代回 y＝x＋1 得 3＝3，代回 y＝2x－1 得 3＝3。

带这一题：提醒孩子读图的顺序是"先看截距定 b，再看经过的格点定 k"，两条直线的 k 一个是 1、一个是 2，图上"陡"的那条 k 大，这条经验值得他记住。

数学理解 第5题

题目原文要点：如图，直线 l₁、l₂ 相交于点 A，试求点 A 的坐标。图上核对到的事实：横轴刻度 －2、－1、O、1、2、3、4、5，纵轴刻度 －1、1、2、3、4、5；一条直线上升且过原点与 (2,2)，另一条直线下降，与 y 轴交于 5、过 (1,3)；两处虚线分别指向 (2,2) 与 (1,3)，交点 A 处没有虚线。考查什么：把图上的锚点翻成表达式，再用解方程组求交点。思路：两条虚线是"原料"，不是答案；各写一条直线的表达式，再解。分步过程：上升直线过 (0,0) 与 (2,2)，得 y＝x；下降直线与 y 轴交于 5、过 (1,3)，得 y＝－2x＋5；解 y＝x 与 y＝－2x＋5，得 3x＝5，x＝5/3，y＝5/3。所以 A(5/3, 5/3)。易错：把虚线的位置当交点，报出 (2,2) 或 (1,3)；也有孩子把下降直线的斜率写成 －3。验算：把 (5/3,5/3) 代回 y＝－2x＋5，得 －10/3＋15/3＝5/3，成立。

带这一题：这一题与第4题是一对"反面"，第4题虚线指交点，第5题虚线指别处。家长可以让孩子把两题并排放，说一句"虚线指哪儿"。看懂这一对，图象与方程组的互译就通了。

数学理解 第6题

题目原文要点：编一个二元一次方程组，使它的解是 x＝－2、y＝4。考查什么：解的定义的逆向使用，答案不唯一。思路：先随便写两个含 x、y 的简单式子，把 (－2,4) 代进去算出右边的数，再把式子与算出的数并成方程组。分步过程：取 x＋y，代入得 －2＋4＝2，得方程 x＋y＝2；取 x－y，代入得 －2－4＝－6，得方程 x－y＝－6；方程组写成 x＋y＝2，x－y＝－6。易错：编完不验算，第二个方程右边写错号；也有孩子把两个方程编成同一个（如 2x＋2y＝4 与 x＋y＝2），这样方程组有无穷多组解，不符合"解是这一组"的要求。验算：把 x＝－2、y＝4 代回两个方程，2＝2、－6＝－6。

带这一题：这题看着简单，其实在考"两个方程必须互相独立"。让孩子故意编一对成比例的方程，看会不会出问题，他自己就能体会为什么不能同倍。

数学理解 第7题

题目原文要点：尝试用多种方法解方程组 (x＋y)/2＋(x－y)/3＝7，(x＋y)/2－(x－y)/3＝3，并对这些方法进行比较。考查什么：整体换元的思想与解法优劣的判断。思路一（整体加减）：两式相加得 x＋y＝10，两式相减得 2(x－y)/3＝4 即 x－y＝6，于是 x＝8、y＝2。思路二（换元）：设 m＝x＋y、n＝x－y，原方程组变成 m/2＋n/3＝7 与 m/2－n/3＝3，解得 m＝10、n＝6，再回代得 x＝8、y＝2。思路三（去分母）：两式分别乘 6 整理成 3(x＋y)＋2(x－y)＝42 与 3(x＋y)－2(x－y)＝18，再解。比较：思路一最快，因为两式的结构对称；思路三最容易出错，展开时符号多。易错：去分母时只乘分子不乘整个分式，或者把 (x－y)/3 的减号漏掉。验算：x＝8、y＝2 时 x＋y＝10、x－y＝6，代入 5＋2＝7、5－2＝3。

带这一题：这题的价值在"比较"两个字。孩子只要说出"结构对称就用整体加减"，比解对答案更值。家长可以追问一句"如果两个分母不一样，还能整体加减吗"，把判断力逼出来。

数学理解 第8题（题号前带星号）

题目原文要点：《九章算术》"盈不足"章有 20 道类似的题目。抽象成一般问题：若干人合伙买某物品，若每人出 a₁ 钱则多出 b₁ 钱；若每人出 a₂ 钱则又少 b₂ 钱。求人数和物价。设人数 x、物价 y，可列 y＝a₁x－b₁，y＝a₂x＋b₂。(1) 解这个方程组；(2) 查阅资料，了解《九章算术》的求解方法并解释道理。考查什么：字母系数方程组的解法，以及"盈不足术"的思想。思路：两个方程右边都等于 y，直接令右边相等，把 y 抹掉。分步过程：a₁x－b₁＝a₂x＋b₂，移项得 (a₁－a₂)x＝b₁＋b₂，所以 x＝(b₁＋b₂)/(a₁－a₂)；回代 y＝a₁x－b₁＝(a₁b₁＋a₁b₂－a₁b₁＋a₂b₁)/(a₁－a₂)＝(a₁b₂＋a₂b₁)/(a₁－a₂)。易错：移项时把 －b₁ 搬到右边忘了变号，得 x＝(b₁－b₂)/(a₁－a₂)；也有孩子不敢写分母，把答案写成 x＝b₁＋b₂。验算：取 a₁＝8、b₁＝3、a₂＝7、b₂＝4，得 x＝7、y＝53；代回 8×7－3＝53，7×7＋4＝53。第(2)问的答案是：《九章算术》把两次出钱的差与盈亏的差相除，本质上就是这里的 (b₁＋b₂)/(a₁－a₂)。

带这一题：字母题最稳的办法是先代具体数走一遍。孩子用 8、7、3、4 算出 7 个人、53 钱之后，再看字母式，会觉得"就是把刚才的数换成了字母"，恐惧感立刻小一半。

栏目四 · 问题解决（印刷第142—144页，第9—20题）

这一栏是本章的实战区，十二道题从几何图形走到工厂产量、粮食超产、商场折扣、古代算经、声速函数、门票分档、盘子摞高、正方形拼图，收尾落到一篇小短文。共同点只有一个：题里的数不会直接给方程，得自己翻。翻得准的题做着很快，翻不准的题连设什么都不知道。

问题解决 第9题

题目原文要点：四边形 ABCD 中，点 E 在 AB 上，CE∥AD，且 BE＝CE，∠B－∠A＝30°，求 ∠A、∠B 的度数。图上核对到的事实：图中四边形四个顶点标 A、B、C、D，E 落在边 AB 上，连出线段 CE，图上没有别的数字标注。考查什么：把位置关系翻成数量关系，再用方程组收口。思路：CE∥AD 给出一对同位角相等，BE＝CE 给出的等边对等角，两条翻译合起来能造出一个"∠A＋2∠B＝180"的等式。分步过程：因为 CE∥AD，AB 是截线，所以 ∠CEB＝∠A；因为 BE＝CE，所以 ∠B＝∠BCE；在三角形 BCE 中，∠CEB＋∠B＋∠BCE＝180°，即 ∠A＋2∠B＝180°；与 ∠B－∠A＝30° 联立，把 ∠B＝∠A＋30° 代入得 ∠A＋2∠A＋60°＝180°，∠A＝40°，∠B＝70°。易错：把 ∠CEB 与 ∠A 认成内错角，写成 ∠CEB＝180°－∠A；也有孩子把"∠B－∠A＝30°"翻成 ∠A－∠B＝30°。验算：40＋2×70＝180，70－40＝30，两个条件都对。

带这一题：这题的第一步不是算，是"找截线"。让孩子用笔把 AB 描粗一遍，看清楚 CE 与 AD 被谁串起来，同位角自己就跳出来了。

问题解决 第10题

题目原文要点：某厂甲、乙两个小组共同生产某种产品。甲组先生产 1 天，然后两组又各生产 5 天，则两组产量一样多；甲组先生产 300 件产品，然后两组又各生产 4 天，则乙组比甲组多生产 100 件。两组每天各生产多少件？考查什么：把"先生产""又各生产"这类时间词翻成天数。思路：设甲每天 x 件、乙每天 y 件，第一句话说的是"甲干 6 天的量＝乙干 5 天的量"。分步过程：6x＝5y；第二句里甲共做 300＋4x，乙做 4y，得 4y＝300＋4x＋100，即 y＝x＋100；代入得 6x＝5x＋500，x＝500，y＝600。易错：把第一句翻成 5x＝5y（漏了先生产的那 1 天），或者把第二句翻成 4y－4x＝100（漏了 300 件）。验算：甲 6 天 3000 件，乙 5 天 3000 件；甲 4 天 2000 件加 300 件共 2300 件，乙 4 天 2400 件，多 100 件。

带这一题：这道题的全部难度在"1 天"和"300 件"这两个容易被跳过的数上。让孩子把每个小组实际干了几天写在草稿上，天数写错，方程一定错。

问题解决 第11题

题目原文要点：某粮食生产专业户去年计划生产水稻和小麦共 15 t，实际生产了 17 t，其中水稻超产 15%，小麦超产 10%。该专业户去年实际生产水稻、小麦各多少吨？考查什么：百分数型方程，以及"计划"与"实际"两套数据不能混。思路：设计划水稻 x t、计划小麦 y t，先写计划的和，再写实际的和。分步过程：x＋y＝15；1.15x＋1.10y＝17；由第一式 y＝15－x 代入第二式，得 1.15x＋16.5－1.1x＝17，0.05x＝0.5，x＝10，y＝5；实际水稻 10×1.15＝11.5 t，小麦 5×1.10＝5.5 t。易错：把答数写成 10 与 5（那是计划数），题目问的是实际数；也有孩子把 15% 写成 0.15x 加在总数上。验算：11.5＋5.5＝17 t，与"实际 17 t"相符。

带这一题：这题有个陷阱叫"问的不是你设的"。设的是计划、问的是实际，家长只需在孩子写完答案后问一句"题目问的是哪一年的数"，这一分就捡回来了。

问题解决 第12题

题目原文要点：某商场销售某种商品，按定价销售时每件获利 45 元；按定价的八五折销售时，销售 8 件所获利润与将定价降低 35 元销售 12 件所获利润相同。该商品的进价、定价分别是多少？考查什么：把"利润"翻成"售价减进价"，把"折扣"翻成乘 0.85。思路：设进价 x 元、定价 y 元，利润永远等于售价减进价。分步过程：y－x＝45；八五折时每件利润 0.85y－x，降价 35 元时每件利润 y－35－x；由题意 8(0.85y－x)＝12(y－35－x)；把 y＝x＋45 代入，左边 8(0.85x＋38.25－x)＝8(38.25－0.15x)，右边 12×10＝120；解得 38.25－0.15x＝15，x＝155，y＝200。易错：把八五折当成"减 85 元"或"乘 0.15"；也有孩子用"销售额×件数"代替利润。验算：定价 200、进价 155，八五折售 170，每件利润 15，8 件共 120；降价 35 元售 165，每件利润 10，12 件共 120，两边相等。

带这一题：所有折扣题都先在草稿上写死一行"利润＝售价－进价"，把每种售价算出来再乘件数。这一行写下来，八五折、七折、九折就不会再和"减多少钱"混。

问题解决 第13题

题目原文要点：某商场购进甲、乙两种商品后，均加价 40% 作为销售价。搞促销由顾客抽奖确定折扣，某顾客购买甲、乙两种商品分别抽到七折和九折，共付款 399 元，两种商品原销售价之和是 490 元。两种商品的进价分别是多少元？考查什么：两层百分数叠加（先加价 40%，再打折），以及"原销售价"与"实付"的区分。思路：设甲进价 x 元、乙进价 y 元；原销售价分别是 1.4x 与 1.4y；实付分别是 0.7×1.4x 与 0.9×1.4y。分步过程：1.4x＋1.4y＝490，即 x＋y＝350；0.98x＋1.26y＝399；由第一式 x＝350－y 代入，得 343－0.98y＋1.26y＝399，0.28y＝56，y＝200，x＝150。易错：把七折乘在进价上（直接写 0.7x），漏掉"先加价 40%"这一层；或者把 490 当成实付。验算：甲原售价 210、乙原售价 280，和 490；七折 147 加九折 252 等于 399。

带这一题：两层百分数最容易糊在一起，让孩子把"进价 → 原销售价 → 实付"画成三段箭头，每段标上乘的系数，1.4 和 0.7 各站一段，不会互相串。

问题解决 第14题

题目原文要点：今有雀一只重一两九铢，燕一只重一两五铢。有雀、燕二十五只，并重二斤一十三铢。问：燕、雀各几何？（选自《张丘建算经》）题目大意：1 只雀重 1 两 9 铢，1 只燕重 1 两 5 铢，雀和燕一共 25 只，共重 2 斤 13 铢。页脚注释：1 斤＝16 两，1 两＝24 铢。考查什么：单位换算与译文对位。思路：先把四种重量全化成铢，再设两个未知数。分步过程：雀 1 两 9 铢＝24＋9＝33 铢；燕 1 两 5 铢＝24＋5＝29 铢；总重 2 斤 13 铢＝2×16×24＋13＝768＋13＝781 铢；设雀 x 只、燕 y 只，x＋y＝25，33x＋29y＝781；由 y＝25－x 得 33x＋29×25－29x＝781，4x＝56，x＝14，y＝11。易错：把 2 斤 13 铢算成 32＋13＝45 铢（只化到两）；也有孩子把雀、燕的单价搞反，算出燕 14 只、雀 11 只。验算：14＋11＝25 只；33×14＋29×11＝462＋319＝781 铢，正好 2 斤 13 铢。

带这一题：古文题的做法很固定——先翻译单位，再翻译句子，末一步才设未知数。孩子读不懂"并重"，就告诉他这三个字等于"一共重"，一句白话下去，古文就散了。

问题解决 第15题

题目原文要点：在干燥的空气中，声速 v（单位：m/s）可以近似看成温度 t（单位：℃）的一次函数，v 与 t 的关系如图，写出表达式并估计 t＝50 ℃ 时的声速。图上核对到的事实：纵轴标 v/(m/s)，刻度自下而上 310、320、330、340、350，原点与 310 之间有一个断轴折线；横轴标 t/℃，刻度 －20、－10、O、10、15、20、30、40、50；图中直线上升，虚线给出两个锚点：t＝－20 时 v＝320，t＝15 时 v＝340。考查什么：待定系数法求一次函数，断轴符号的识别。思路：两点定一条直线，先把 k、b 解出来，再代入 t＝50。分步过程：设 v＝kt＋b，代入两点得 －20k＋b＝320 与 15k＋b＝340，两式相减 35k＝20，k＝4/7；b＝340－15×4/7＝2320/7；所以 v＝(4/7)t＋2320/7；t＝50 时 v＝200/7＋2320/7＝2520/7＝360。易错：把 y 轴上的 310 当成原点，斜率算成 (340－320)/(15－(－20)) 之后又把 b 取成 310；也有孩子看到断轴就以为直线的起点在原点。验算：t＝－20 时 v＝－80/7＋2320/7＝2240/7＝320，与图上锚点相符。

带这一题：断轴符号是这题唯一的"技术陷阱"。让孩子明白那个折线等于在说"从 0 到 310 这段被剪掉了"，图上的纵坐标仍是真数，不能从 310 起算。

问题解决 第16题

题目原文要点：某景点门票价格见下表——购票人数 1≤x≤50 时 12 元/人，51≤x≤100 时 10 元/人，x＞100 时 8 元/人。某校八(1)班、八(2)班师生共 102 人去游览，八(1)班人数较少、不足 50 人；八(2)班人数较多，超过 50 人但不超过 100 人。两班分别购票共付 1 118 元；联合起来作为一个团体购票可以省钱。两班各多少人？联合购票省多少钱？考查什么：分段计价的翻译，以及"人数落在哪一段决定单价"。思路：两班人数分处两个区间，单价分别是 12 与 10。分步过程：设八(1)班 x 人、八(2)班 y 人，x＋y＝102，12x＋10y＝1 118；由 y＝102－x 得 12x＋1020－10x＝1 118，2x＝98，x＝49，y＝53；联合购票 102 人超过 100 人，单价 8 元，共 102×8＝816 元，比 1 118 元省 302 元。易错：把 102 人全按 10 元算，或者联合购票时按 10 元算（102 人已进第三档）；也有孩子把八(1)班设成 y，收尾人数对调。验算：49×12＋53×10＝588＋530＝1 118，与题给的 1 118 相符。

带这一题：表格题的关键动作是"把区间写在单价上面"。让孩子在草稿上抄一遍三档价格，再把 49 与 53 分别塞进对应区间，就不会用错价。

问题解决 第17题

题目原文要点：如图（单位：cm），规格相同的某种盘子整齐地摞在一起。(1) 设 x 个这种盘子摞在一起的高度为 y cm，求 y 与 x 之间的关系式；(2) 求 10 个这种盘子摞在一起的高度。图上核对到的事实：图中画了两摞盘子，左摞 4 个、高度标注 6，右摞 7 个、高度标注 9，两摞底边对齐，右摞明显更高，高度比与 9∶6 吻合。考查什么：从图里取两组数据，用待定系数法写一次函数。思路：两组对应值 (4,6) 与 (7,9)，一次函数设 y＝kx＋b。分步过程：4k＋b＝6，7k＋b＝9，相减得 3k＝3，k＝1，b＝2，所以 y＝x＋2；x＝10 时 y＝12。易错：把"盘子个数"与"摞的高度"对调，写成 x＝y＋2；也有孩子当正比例函数处理，写成 y＝1.5x（只用了一组数据，还除错）。验算：x＝4 时 6，x＝7 时 9，与图上两个标注一致。

带这一题：式子里那个"＋2"是有含义的——第一个盘子自己有底有沿，多出来的每个盘子只加 1 cm。孩子懂了这层含义，以后遇到"摞杯子""叠纸"的题会自己做类比。

问题解决 第18题（题号前带星号）

题目原文要点：如图，由 6 个颜色不同的正方形组成一个长方形，已知中间小正方形的边长是 1，求这个长方形的面积。图上核对到的事实：6 个正方形拼成一个长方形，中央最小正方形内标 1，整图长宽比与 13∶11 吻合。考查什么：用方程表达"对边相等"，把图形关系翻成边长关系。思路：设最大的正方形边长为 x，按相邻关系依次写出其余边长，用长方形的长（上边与下边）相等列方程。分步过程：与最大正方形相邻的几个依次是 x－1、x－2、x－3、x－3，中央小正方形是 x－6；由长方形上下两条长边相等，得 x＋(x－1)＝2(x－3)＋(x－2)，即 2x－1＝3x－8，x＝7；于是六个正方形的边长是 7、6、5、4、4、1，与"中央小正方形边长 1"吻合；长方形的长 7＋6＝13，宽 7＋4＝11；面积 13×11＝143。易错：把 143 算成长与宽相加，或者只用"面积等于六个正方形面积和"硬凑，凑不出边长。验算：49＋36＋25＋16＋16＋1＝143，与 13×11＝143 一致。

带这一题：这类拼图题的抓手只有一个——"哪两条线段一样长"。让孩子用手指沿着长方形的上边与下边各划一遍，把两边的"零件"写出来，方程就自己出现了。

问题解决 第19题（题号前带星号）

题目原文要点：将一个长方形的长减少 4 cm、宽增加 2 cm 后，得到一个正方形，并且这个正方形的面积与原长方形的面积相等。求原长方形的长和宽。考查什么：把"变成正方形"与"面积相等"各翻成一个方程。思路：设原长 x、宽 y，"变成正方形"说的是新长等于新宽。分步过程：x－4＝y＋2，得 x－y＝6；面积相等给 (x－4)(y＋2)＝xy，展开 xy＋2x－4y－8＝xy，得 2x－4y＝8，即 x－2y＝4；两式联立，x＝8、y＝2。易错：把"宽增加 2"写成 y－2；或者把面积相等写成 (x－4)(y＋2)＝2xy。验算：原长方形 8×2＝16；新正方形边长 8－4＝4，面积 16，相等。

带这一题：这道题两个条件各管一个方程，谁管哪个要说清楚。孩子常把两个条件揉成一句，结果只写出一个方程。

问题解决 第20题

题目原文要点：通过本章的学习，你对二元一次方程组及其应用有哪些感悟？请以此为主题写一篇小短文。考查什么：把本章的方法用自己的话说出来，属于开放性表达题。思路：短文不必长，300 字左右够，但要有三块——一个真例子、一个真困难、一条真经验。分步过程：第一段写本章学了什么（消元、图象、应用各一句）；第二段挑一道做过的题讲自己怎么卡、怎么通（第10题漏掉"先生产 1 天"就是好材料）；第三段写一句能带走的话，比如"每句话都要变成一个等式"。易错：全文抄课本目录，没有一个自己的例子；或者写成"我学会了 X、Y、Z"的清单。验算：写完后自问一句"这篇短文里有没有一句是我自己的话"，没有就重写。

带这一题：家长在这一题上最有优势——让孩子口头讲一遍，家长帮他把讲的话记下来，整理就是短文。孩子说出来的是自己的话，写出来反而像课本。

栏目五 · 联系拓广（印刷第144页，第21题）

这一栏只有一道题，是本章的"抬头看路"。它把"解出来"换成"看解有几个"，站位比前面四栏都高一层。

联系拓广 第21题（题号前带星号）

题目原文要点：方程组 －2x＋y＝3，4x－2y＝－6 的解是什么？两个方程对应的两个一次函数的图象有怎样的位置关系？你能从中悟出什么？考查什么：从"解方程组"升到"看解的个数"。思路：把两个方程都化成 y＝kx＋b 的形式，比较它们的系数。分步过程：第一式移项得 y＝2x＋3；第二式两边除以 －2 得 －2x＋y＝3，与第一式完全相同，也写成 y＝2x＋3；两个方程是同一条直线，凡是满足第一式的数对都满足第二式，方程组有无数多组解；图象上两条直线重合。易错：算到 4x－2y＝－6 除以 －2 时符号出错，得 －2x＋y＝3 之后误判为"平行无解"；也有孩子把"无数多组解"写成"无解"。验算：取 (0,3)、(1,5)、(－1,1) 三组数，代进两个方程都成立，说明解不止一组。

带这一题：这道题要悟的东西一句话能说完——方程组解的个数，先看两条直线的位置：相交有一个解，平行没有解，重合有无数多组解。孩子把这句记住，以后判断"无解还是无穷多解"就不靠猜了。

🛠 九、五步学习法

第一步：每天锻炼一个小时

这一页二十一道题，最耗的不是脑子，是坐得住的耐力。第1题五道方程组连着解，第16题要在三个价格区间里来回核对，第14题还得先做三次单位换算，一路做下来四五十分钟，孩子的注意力会一路掉。每天一小时的锻炼不是额外负担，是给这四五十分钟续电。具体到这一节，可以做这样的安排：放学后先动四十分钟（跳绳、跑步、球类都行），回家洗澡吃点东西，再用四十分钟攻这一页里最难的两道题——第18题和星号第3题。有运动垫底的孩子，做星号题时的耐心明显不一样，他不会在第18题设完 x 就放弃，愿意把"上边与下边相等"那一步写完。家长要盯的不是运动量，是规律：每天都在同一时段动，身体和脑子才会形成节奏。期末复习阶段，把锻炼放在做题之前，比放在之后有用得多。

第二步：扎实掌握第一个知识点

这一章的第一个知识点不是"解方程组"，而是"什么是方程组的解"——第2题考的就是它。这一条吃透，后面的路全通：第4、5题问交点，本质是问"哪一对数是两个方程共同的解"；第21题问为什么有无数解，本质是问"有多少对数能一起满足"；第6题编题，本质是反着用这条定义。具体练法很土：拿第1题第(1)小题的结果 x＝5、y＝5，让孩子分别代进两个方程，亲眼看两个 5 都成立；再让他随便写一对数代入，看哪个不成立。手上过三遍，"解"这个字才有分量。很多孩子的错误出在一开始就没分清"方程的解"与"方程组的解"：前者只管一个方程，后者要一起管两个。第2题写 a－3＝b 就交卷的孩子，卡点全在这里。把这一步做实，比刷十道同类题有用。

第三步：能积微者速成

复习题最容易被"一次性做完"的念头拖垮。二十一道题摆在面前，孩子看一眼就想躺。"积微"的意思是把它切小：今天只做知识技能第1题的五个小题，明天只做第2、3题，后天只做数学理解第4到第7题，大后天专攻第8题与第9题，剩下的按每天两道推进。切小以后，每一小块都能在二十分钟里做完，做完就有反馈，反馈带来下一次的力气。具体到题：第1题第(3)(4)小题那两组分数答案，一天练一道就够，练的时候只练"算完代回去验"这一个动作；第14题的单位换算，一天只练"2 斤 13 铢化成铢"这一个转换。家长在家可以拿一张纸画二十一个小格，做一道划一格，格子被划掉的过程本身就是奖励。积微不是慢，是把大石头敲成能搬动的块。

第四步：运用对标思维突破学习困境

这一页有好几组"对着看"的题，用对标思维读它们最省力。第4题与第5题是一对标：都给了虚线，第4题的虚线指向交点，第5题的虚线指向别处，并排一放，"虚线指哪儿"这个判断就成了能力。第6题与第2题是一对标：一个由解求参数，一个由解编方程，方向相反，动作同源。第1题第(2)小题与第(3)小题也是一对标：一个已经解出 y，一个要自己解出 y，比的正是"消元方向怎么选"。第21题与第4题更是硬对标：一个一解、一个无穷多解，差别只在两条直线的位置。孩子的困境常常是"每题都像新题"，对标就是告诉他"这些题你见过"。做法很具体：把两题的题面抄在左右两边，中间写一条"哪里一样、哪里不一样"，写完这条，两题就都变薄了。

第五步：运用杠铃法则缓解学习疲劳

杠铃法则是把时间分成"极轻"与"极重"两头，中间那一段最磨人的中等难度尽量压缩。放到这一页：轻的一头是第1题第(1)(2)小题、第2题、第6题这类五分钟就能收的题，用来热身、建立手感；重的一头是第18题、星号第3题、第8题、星号第21题这类要想很久的题，一次只碰一道，碰完立刻停。中间那一段——那些看着会、做着慢、错得莫名其妙的题（第16题的三档定价、第12题的两层折扣、第17题的两组数据）——不要连着做五道，做两道就换到轻的一头去喘口气。家长排时间可以这样：轻题十分钟，重题二十分钟，再轻题五分钟收尾，中间不许拉长。孩子最怕的是"连续四十分钟都在做那种要死不活的题"，杠铃安排能把这段疲劳挤掉。学到累的时候做题不算努力，安排得当才算。

💡 十、费曼技巧应用

自问一 · 我能不能用一句话说清"方程组的解"是什么？

能答出来说明什么：说明"一起成立"这四个字真的懂了，第2题、第6题、第21题都不会迷糊。参考答案：方程组的解是一对数，把这对数代进方程组的每个方程，每个方程左右两边都相等；只要有一个方程不成立，就不是解。答不出怎么办：回到第1题第(1)小题，把 x＝5、y＝5 分别代进 2x－y＝5 与 7x－3y＝20，亲眼看到两个 5 与两个 20，再故意代一对错的进去。

自问二 · 拿到一个方程组，我怎么决定用代入还是加减？

能答出来说明什么：说明有了判断力，不是碰运气。参考答案：先扫一眼有没有写成 y＝… 或 x＝… 的方程，有就用代入（第1题第(2)小题）；两个方程里同一个字母的系数成倍数或互为相反数，就用加减（第1题第(1)小题）；都不成，两边同乘把系数配平（第1题第(4)小题）。答不出怎么办：把第1题五道小题的头两行抄在纸上，每题旁边只写两个字"代入"或"加减"，写完再对照答案看自己判断的对不对。

自问三 · 图上的虚线到底在告诉我什么？

能答出来说明什么：说明"看图"变成了一件有规则的事。参考答案：虚线有两种用途，一种是指向交点，那是直接读答案（第4题，读出 (2,3)）；另一种是指向直线上的某个已知点，那是给你求表达式的原料（第5题，给 (2,2) 与 (1,3)，交点是 (5/3,5/3)）。答不出怎么办：把第4题与第5题的图并排看一分钟，专门找"两条虚线指的地方有什么不同"，找到就说出来。

自问四 · 一道应用题，我怎么知道自己翻对了？

能答出来说明什么：说明会用"回译"自检，这比算得快重要。参考答案：把写好的方程读回一句人话，看能不能还原题里的每一个动作；第10题若写成 5x＝5y，读回去是"甲干了5天"，而题里明明有"先生产1天"，一句话就露馅。第16题若只写 12x＋10y＝1 118 却没有 x＋y＝102，读回去会少掉"共102人"。答不出怎么办：挑第10、11、12三题，每题只做"写方程＋回译"两步，不算答案，练三天就有手感。

自问五 · 为什么第21题的方程组有无数多组解？

能答出来说明什么：说明已经能从"两条直线的位置"看解的个数，站的层次比只会消元高一层。参考答案：两个方程化简后都是 y＝2x＋3，是同一条直线；同一条直线上的每个点都是解，所以有无数多组。答不出怎么办：回到第21题，把 4x－2y＝－6 两边同除以 －2，亲眼看它变成 －2x＋y＝3；再把 (0,3)、(1,5) 两组数各代一遍，两组都成立，自然明白"不是唯一"。

🎯 十一、方法总结与知识脉络

这一页，一句话概括：二十一道题是五种语言翻成一种语言。生活语言翻成方程（第10到第13题、第16题），图象语言翻成方程（第4、5、21题），字母语言照搬（第3题、星号第8题），文言语言先过单位关（第14题），几何语言翻成等量关系（第9、18、19题）。翻译模型的用处就在这里：孩子不必把每道题当新题，他只需要问自己"这道题的原文是哪种语言，译文该写成什么"。

往前往后看，这一页站在三个岔路口。往前接第四章一次函数：方程与直线本来就是一件事，第4、5、15、17题的读图能力全从那里来，那边没学透的孩子，这里会两头都卡在"图看不懂"和"方程组不会用"两处。往自己看，本章的五节在复习题里各占一块：认识方程组对应第1、2题，解法对应第1题五小题，应用对应第9到第20题，与一次函数的关系对应第4、5、21题，三元方程组对应第1题第(5)小题。往后接第六章数据的分析：平均数、中位数这些统计量要算要判，靠的还是"把条件翻成式子"这套动作。

给家长一句实在话：这一页不必要求孩子一次全做完，也别在他算错第1题第(4)小题时报一串答案。您只需要盯三个动作——读完题圈关键词、把每句话翻成一个等式、算完代回去验一遍。三个动作稳了，二十一道题只是练习量的差别；三个动作不稳，做一百道题也还是原地绕。这一篇的方法叫翻译模型，翻译的本事不在字典有多厚，在于肯把一句话来回读两遍。

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