2026北师大版初中数学八年级上册学生AI智能体深度理解16法：第29篇｜第六章 数据的分析·回顾与思考·复习题——深度理解16法之「应用内在于理解」

北师大版义务教育教科书 · 数学 八年级上册 · 第六章 数据的分析·回顾与思考·复习题

🏫 学校：dxyc2360      👨‍🏫 指导教师：张元方

📖 一、开篇引言

翻到北师大版八年级上册第 174 页，这一章收尾了。收尾的方式很特别：一个数字也没有，只有七个问号。第 1 问要孩子说清加权平均数与算术平均数有什么区别和联系；第 2 问要孩子报出刻画集中趋势的几个统计量，还要各举一例；第 3 问只问一句「刻画数据离散程度的统计量有哪些」；第 4 问转向统计图，问哪些图能让人一眼看出集中与离散；第 5 问问箱线图的特点；第 6 问问「分析一组数据的整体状况，你有哪些经验」；第 7 问让孩子把整章知识画成一张结构图。

这七个问题摆在这里，是检验一件事：孩子手里那一堆名词，是活工具，还是死零件。第 174 页到第 178 页的复习题，把这件事验得很彻底。36 件兵马俑的高度摊在纸上，要平均数、中位数、众数；五种冷饮的单价配上饼图，要算平均单价；两批苹果的直径各 20 个，要判断哪一批更整齐；15 个营销员的月销售量摆成表格，问「定 320 件合理吗」；五款新车评完分，问「B 款三项非常好，凭什么不拿奖」。

家长最容易忽略的难点在这儿：这一节的题目不是「求什么」，是「该求什么」。孩子把平均数、中位数、众数、方差四个公式背得再熟，一遇到鞋店老板问「你最关心哪个数」还是会卡住。卡的不是计算，是判断。判断的来源只有一个：知道这个数拿去干什么用。

举个实在的例子。第 8 题那双女鞋，30 双卖完，平均鞋号 23.57 cm，中位数 23.5 cm，众数 23.5 cm。三个数几乎一样，看着没什么好挑的。可要是孩子算出来的平均数偏偏落在两个鞋号中间，去问老板「进 23.57 号」，那就不是算错，是没弄懂这个数派什么用。鞋号是分档的，老板下单只能按号下，他要的是「哪个号卖得最多」，那是众数。同一批数据，换一个问法，答案就换一个数。这就是应用在决定理解。

这一篇用第十六法「应用内在于理解」来读这一节。这个说法的意思是：理解一个东西，从来不是先把它看明白，再拿去用；能用在什么场合、为谁用、用到哪一步停手，这些本身就是「看明白」的一部分。孩子要是说不出平均数在什么时候会骗人，他对平均数的理解就还停在背公式那一层。

给家长一句实在话：这一节复习完，孩子能把第 178 页第 18 题那个「柱子重排」讲通——为什么把最高的柱子挪到 4 分那头，平均数就上去；为什么把 8 人挪回中间，方差就掉下来——才算真过了这一章。只会算 2.9 和 1.39，还不够。

📊 二、思维导图

全章一张图：先问用途，再挑统计量，末了回到判断

这张导图按「用途—工具—读图—判断」四层铺开。第一层是用途：想描述「一般水平」还是想描述「差得开不开」，两个问法对应两套工具。第二层是工具：集中趋势有算术平均数、加权平均数、中位数、众数；离散程度有极差、方差、标准差、四分位距。第三层是读图：条形图、折线图、扇形图、频数直方图、箱线图，每种图能一眼看出什么、看不出什么。第四层是判断：用样本估总体、权重改排名、极端值拉平均数，这三件事是本章最容易翻车的地方。

导图里每一支都挂着复习题的具体题号，孩子复习时按题号找回去，比空背名词管用。家长可以拿着这张图问一句：这一支讲的是哪道题？孩子指得出来，说明这一支是活的。

🔑 三、深度理解16法之「应用内在于理解」

「应用内在于理解」出自伽达默尔《真理与方法》第二部分。他讲诠释学经验有三个要素：理解、解释、应用。前两个大家都熟，第三个常被漏掉。流行的看法是三步走——先理解一段文本，再解释它，末了拿它去派用场。伽达默尔不同意这个次序。他说，应用不是理解之后追加的动作，应用就长在理解里面。

他举的例子是法学和神学。一条法律，法官读它的时候不是先做纯理论的解释、再决定怎么判；从他读条文那一刻起，「这个案子该怎么断」就已经在起作用。一段经文，牧师讲它的时候也不是先做完学术考证、再往生活里套；他要面对的是眼前这批听众的处境，处境一进来，经文的意思就跟着定下来了。伽达默尔把这种「把普遍的东西用到眼前具体处境上」叫应用。他有一句话说得直白：不带着应用的意图去理解，根本理解不了。

这个说法正好治本章的一种通病。孩子学统计，最容易走的一条路是把四个统计量当成四个公式收进抽屉：平均数、中位数、众数、方差。考试出了「求平均数」，拉开抽屉拿公式，算完交卷。这条路能拿到大部分计算分，可一遇到第 174 页第 1 问「加权平均数与算术平均数有什么区别和联系」，抽屉里没有这一格，孩子就哑了。

按「应用内在于理解」来读，四个统计量不是四个公式，是四种回答方式。有人问「这家店一天平均卖多少钱」，平均数上；有人问「这批鞋哪个号最好卖」，众数上；有人问「这个班一半人考得比多少分高」，中位数上；有人问「这两台机器哪台更稳」，方差上。同一个问题换一个用途，能回答它的量就换一个。孩子把「用途→量」这条对应关系弄反了，公式记得再牢也会挑错。

落到这一节，具体动作有三个。第一个动作，把第 174 页那七个回顾问题当作七张「用途清单」，每题都追一句「这一问是替谁问的」。第 3 问只问离散程度有哪些，看着像背书，其实是在提醒孩子：描述一批数据，光说「一般多少」不够，还得说「差得开不开」，两句话合起来才算描述完整。

第二个动作，每算完一个统计量就补一句「这个数拿去哪儿」。第 1 题兵马俑算完平均数 185 cm、中位数 185.5 cm、众数 187 cm，让孩子说这三句话分别能回答什么问题——185 cm 能答「这一批大概多高」，185.5 cm 能答「比一半高的有多少」，187 cm 能答「最常见的高度是多少」。

第三个动作，专挑那些「算了却不能用」的地方问一句为什么。第 6 题 500 户人家抽 100 户，算出 84% 与 12.1 m³ 两个数，这两个数都是估计值，不是真值，用的时候要带「估计」两个字。第 14 题罐头平均数差 2 g 合格、标准差 8.33 g 不合格，两个指标一个说好一个说坏，用的时候要看规定里写的是哪一个。

这一法最要紧的一句留给家长：判断孩子有没有学会这一章，不要看他能不能算出 23.57，要看他能不能说清「为什么鞋店老板要的不是 23.57」。前者是手艺，后者是懂行。

📝 四、核心概念与公式

知识点一 · 平均数与加权平均数。算术平均数把每个数据看得一样重，n 个数加起来除以 n。加权平均数给每个数据配一个「分量」，公式是 x＝(x₁f₁＋x₂f₂＋…＋x_kf_k)÷(f₁＋f₂＋…＋f_k)，f 是权重。算术平均数是加权平均数的一个特例——每个权重都等于 1。复习题第 2 题那 88.4 分就是这个公式：平时作业 40%、期中 20%、期末 40%，三个百分数就是三个权重。权重一改，同样的三张卷子能算出不同的总评，这件事孩子必须亲手试过一次。

知识点二 · 中位数与众数。中位数是排好序之后正中间那个数；数据个数是偶数时，取中间两个数的平均数。它的好处是不怕极端值：第 1 题 36 件兵马俑的中位数 185.5 cm，就算里面混进一件两米多的，中位数几乎不动。众数是出现次数最多的数，可以不止一个，也可以一个都没有。第 3 题 20 位顾客的等待时间，22、24、34 各出现两次，三个都是众数，写答案时三个都要写。

知识点三 · 极差、方差与标准差。极差＝最大值－最小值，一眼就能算出，可它只看两头，中间乱不乱它不管。方差是每个数据与平均数之差的平方的平均数：s²＝[(x₁－x)²＋(x₂－x)²＋…＋(x_n－x)²]÷n。标准差是方差的算术平方根，单位和原数据一致。第 5 题两批苹果，平均数 80.0 与 80.1，几乎一样，标准差 3.02 与 3.71 才见出高下——第一批更整齐。

知识点四 · 百分位数与箱线图。把数据从小到大排好，处在 p% 位置上的那个数叫第 p 百分位数。第 4 题的 12 个月降水量：中位数 64.4 mm，下四分位数 48.7 mm，上四分位数 76.3 mm。箱线图把最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值五条线画出来，箱体装的是中间一半的数据，箱子越短说明中间那半数越集中。第 10 题的两个箱子一眼就能比出早晚，正是靠这个。

知识点五 · 用样本估计总体。抽到的样本算出来的数叫统计量，想知道的总体特征叫参数。拿样本去猜总体，前提是样本得随机、得有代表性。第 1 题 36 件兵马俑估全体平均身高，第 6 题 100 户估 500 户的总用水量，第 15 题 8 次抽样估 3 小时的车流量，用的都是这一条。写答案时「估计」两个字不能省，省了就把抽样调查说成了全面调查。

本节公式与常用算式。复习题第 2 题：90×40%＋92×20%＋85×40%＝88.4 分。第 3 题：8×6%＋5×14%＋3×51%＋2×20%＋1×9%＝3.2 元。第 1 题：6660÷36＝185 cm，中位数 185.5 cm，众数 187 cm。第 4 题：中位数 64.4，下四分位 48.7，上四分位 76.3。第 8 题：707÷30≈23.57 cm，中位数与众数都是 23.5 cm。第 9 题：4800÷15＝320 件，中位数 210 件，众数 210 件。第 6 题：(51＋33)÷100＝84%；1210÷100＝12.1 m³，12.1×500＝6050 m³。第 15 题：448÷0.4＝1120 辆/h，1120×3＝3360 辆。第 16 题：A 17 分、B 16 分、C 18 分、D 18 分、E 19 分。第 18 题：三组平均数 2.9、1.1、2.25，方差 1.39、1.39、0.9875。第 12 题：小明家 23%，小亮家 15%。第 14 题：平均数 205 g，与 207 g 差 2 g；标准差约 8.33 g。

📜 五、教材原文

教材原文

略

本页不复录教材原文。教材文字、插图与习题的著作权归北京师范大学出版社所有，本文只做教学解读，原文请对照纸质课本第 173 页至第 178 页。这六页上的每一个栏目、每一道题（含各小题），已按教材翻页顺序在第八节逐条拆开写，题号与课本逐字一致，一道不缺。

🧩 六、重点难点分析

难点一 · 加权平均数与算术平均数到底差在哪

难在两个孩子都能算出答案，却说不清区别。第 2 题小亮的总评 88.4 分，算法是把三个分数各乘一个百分数再加起来；换成算术平均数，就是 (90＋92＋85)÷3＝89 分。差了 0.6 分，孩子看不出这 0.6 分是怎么来的。根子在「权重」这两个字：期末占 40%，比期中那 20% 重一倍，85 分这一项被放大了一倍的分量，总评自然往下压。破法是让孩子自己改权重试一遍：把三项改成各占三分之一，答案立刻变 89 分；把期末提到 60%，答案掉到 87.4 分。同一个孩子，同样的三张卷子，权重一动，名次就换。孩子看见这一层，第 174 页第 1 问就不难答了。

难点二 · 中位数必须先排序，偶数个还要取中间两个的平均

难在「排」这个动作孩子常常省掉。第 1 题 36 件兵马俑的高度在书上是一行行摊着的，没排序。孩子按原顺序数到第 18、19 个，得 190 与 193，中位数写成 191.5 cm，错了 6 cm。正确做法是把 36 个数从小到大排好，第 18 个是 184、第 19 个是 187，中位数 185.5 cm。第 8 题 30 双鞋还要多走一步：数据是「鞋号＋双数」的表格，得先把 30 个鞋号一个个摊开再数第 15、16 个，两个都落在 23.5 上。漏掉「摊开」这一步，孩子会拿 7 个鞋号去数中间那个（23.5），答案碰巧对，过程全错，换一批数据就翻车。破法只有一个：动笔排序，摊开数。

难点三 · 众数可以不唯一，也可以一个都没有

难在孩子只习惯「一个答案」。第 3 题 20 位顾客的等待时间，22、24、34 各出现两次，三个都是众数。孩子算到这里常常犹豫，随手写一个 22 交卷，或者干脆说「没有众数」。第 5 题两批苹果的直径更绕：第一批里 76、78、79 各出现三次，也是三个众数。教材这么编不是凑数，是要孩子认清众数的定义——出现次数最多的那些数，可能有一群，也可能一个都不多不少（每个数都只出现一次，那就没有众数）。答题规矩很简单：把所有并列的都写上，一个不落。

难点四 · 方差公式为什么要平方

难在孩子会套公式，不会说理由。第 5 题两批苹果，平均数 80.0 与 80.1，差 0.1；标准差 3.02 与 3.71，差 0.69。为什么不能直接用「每个数与平均数之差」加起来求平均？孩子试着加一次就明白了：偏差有正有负，正负相消，加起来约等于 0，谁都一样，分不出高低。平方这一步把负号全部抹掉，只留下「离得多远」。平方还有一个后果：离得远的点被放大得更厉害，所以第 14 题那两只 223 g 与 190 g 的罐头，一进来就把标准差顶到 8.33 g。孩子弄懂这一点，才不会把「极差 33 g」当成标准差的替身。

难点五 · 箱线图只会看箱子，不会看须

难在图上一共五条线，孩子只盯住中间那个箱子。第 10 题的纵轴是时间，从 20:10 到 0:10 九格，每格 30 分钟。A 组红箱子的中位线大约在 22:40，B 组蓝箱子的中位线大约在 22:10，凭这一条就能答出 A 组睡得晚。麻烦在后面：问「两组各有什么特点」，孩子只会说「A 晚 B 早」，答不出 B 组的须更长、范围更宽这一层。读箱线图的顺序该固定下来：先看中位线定位置，再看箱体长短定中间一半的集中程度，末了看两条须定整体跨度。第 18 题第 (3) 问三个箱线图比差异，正是考这三步。

难点六 · 统计量要为目的服务，这一条最难

难在没有公式可套，全靠判断。第 9 题 15 个营销员，平均数 320 件、中位数 210 件、众数 210 件，经理定 320 件合不合理？答案不合理，可理由得孩子自己说：15 个人里 13 个人达不到，这个定额只有那两位 1800 件和 510 件的能过。第 16 题 B 款车三项「非常好」，为什么拿不到称号？因为它的「非常好」落在权重 2、1、1 的项目上，权重 4 的安全性能只拿到「一般」。第 7 题小颖说「小亮一定比小明矮」，错在拿班级平均数去推个人。三道题的共同点：算得对不够，还得说得清这个数管什么用、不管什么用。这也是本篇第十六法要落的那一颗钉子。

❓ 七、常考易考题与易错题

题型一 · 按比例算总评（加权平均数）

例题：复习题第 2 题，90 分、92 分、85 分按 40%、20%、40% 计入。答：88.4 分。易错：把三个百分数当成三个分数直接排，或者用 (90＋92＋85)÷3。错因：没把「权重」这个乘数落实到每一项上。纠法：列一张三行小表，左边写成绩、右边写权重，一行一乘，末了除以权重之和——权重之和恰好是 1 时这一步看起来多余，换成 30%、30%、40% 就必须除。

题型二 · 三个统计量一起求，还要答「哪个更有用」

例题：第 1 题兵马俑、第 8 题女鞋。答：兵马俑平均数 185 cm、中位数 185.5 cm、众数 187 cm；女鞋平均数约 23.57 cm、中位数与众数都是 23.5 cm。易错：只写一个数就完事，或者中位数漏了排序。错因：把「三个统计量」当成一道题的三小问，其实它们是三种看法。纠法：算完三个数，让孩子各配一句话，说明这个数回答什么问题，配不上就说明没懂。

题型三 · 用样本估计总体

例题：第 1 题第 (2) 问估全体兵马俑平均高；第 6 题用 100 户估 500 户；第 15 题用 8 次抽样估 3 小时车流。答：185 cm；6050 m³；3360 辆。易错：第 6 题把 12.1 m³ 直接当成 500 户的总量，忘了乘 500；第 15 题把 448 辆当成 3 小时的总数，忘了按时间比例放大。错因：分不清「样本里的数」与「总体里的数」。纠法：写答案前先问一句「我手上这堆数据代表了多少个单位」，单位对上再乘。

题型四 · 判断哪一组更整齐（标准差比较）

例题：第 5 题两批苹果；第 14 题罐头分装机。答：第一批更整齐（标准差约 3.02 对 3.71）；分装机运行不正常（标准差约 8.33 g，超过 8 g）。易错：比极差代替比标准差——第 5 题第一批极差 10、第二批 14，结论碰巧一样，第 14 题就会翻车。错因：不知道极差只看两头。纠法：凡是「整齐、稳定、波动」这类词，落到标准差；极差只当辅助参考，且要写清「只看两头」。

题型五 · 箱线图读图与比较

例题：第 10 题两组休息时间；第 18 题第 (3) 问三个小组的箱线图。答：A 组整体晚约半小时、中间一半更集中，B 组偏早且跨度大，A 组更像青年组；三个小组箱体位置由高到低依次是第一组、第三组、第二组，第三组箱体最窄。易错：把箱体的上下边当成最大值最小值。错因：不熟五数概括。纠法：把五条线在纸上标一遍名字——最小、下四分位、中位、上四分位、最大，标完再读图。

题型六 · 求四分位数与百分位数

例题：第 4 题 12 个月降水量求四分位数；第 11 题五等份分组选百分位数。答：中位数 64.4 mm、下四分位 48.7 mm、上四分位 76.3 mm；选第 20、40、60、80 百分位数。易错：第 4 题不排序就数，或者 12 个数分成 6 与 6 之后忘了再取中间两个的平均，把下四分位写成 54.6。错因：四分位数的定义记成「四分之一处的那个数」，没记成「下半部分的中位数」。纠法：按「先排序—再一刀切两半—两半各取中位数」三步走，每步写出来。

题型七 · 权重决定排名（反直觉题）

例题：第 16 题五款新车评分；第 12 题两家支出增长。答：E 款 19 分夺称号，B 款 16 分垫底；小明家增 23%，小亮家增 15%，不相等。易错：第 16 题数「非常好」的个数排高低，把 B 款排第一；第 12 题把三个增长率相加除以 3，得 20% 与 20%，答「相等」。错因：把「项数」当权重，把「增长率的算术平均」当总增长率。纠法：凡带权重四个字，一律回到加权公式，逐项乘完再相加，别用眼睛估。

📄 八、教材内容逐点拆解

这一节按教材翻页顺序走：印刷第 173 页的习题 6.3 四个题，第 174 页的回顾与思考七问，第 174 页至第 176 页的复习题·知识技能六题，第 175 页至第 176 页的复习题·数学理解六题，第 177 页至第 178 页的复习题·问题解决五题，第 178 页的联系拓广一题。六个板块、二十九道题（含各小题），题号照课本原样写，一道不落，也没给谁补号。六页上都没有星号题，所以本篇不出现「题号前带星号」的说法。

栏目一 · 习题 6.3（印刷第 173 页）

这是本章末一节「哪个团队收益大」的配套习题，六页里唯一还在练新情境的板块。它分成三栏：知识技能、数学理解、问题解决。知识技能只有一道题，是一张 8 行 8 列的射击成绩表；数学理解只有一道开放题；问题解决两道，一道银行的等待时间，一道要求做统计活动报告。这一栏的题都不难算，难在孩子愿不愿意把「数据说了什么」这句话写完整。

习题 6.3 · 知识技能 第 1 题 · 三名射击运动员的成绩评价

题目原文要点：男子 10 米气步枪团体资格赛，某队三名运动员各轮次成绩（单位：环）见下表，共 12 轮，每轮每人打 5 枪，表末给出三人合计 585.3、584.7、569.2。要求评价这三名运动员这次比赛的表现。考查什么：给出汇总数之后，还会不会另外算平均数，用平均数与极差一起评价人。思路：先算每人的平均每轮成绩，再看谁稳、谁飘，末了把两人一对、三人一起比一遍。

分步过程：甲 585.3÷12＝48.775 环，乙 584.7÷12＝48.725 环，丙 569.2÷12≈47.433 环。三人平均成绩相差 0.05 环以内的是甲乙，丙比甲低 1.34 环。再看波动：甲最高 49.6、最低 48.1，极差 1.5 环；乙最高 50.1、最低 47.3，极差 2.8 环；丙最高 48.6、最低 45.1，极差 3.5 环。丙不光平均低，还把最低的一轮打到 45.1。易错：把 585.3 当成平均成绩直接答「甲 585.3 环」，忘了除以 12；或者只比合计不管波动，把乙说成比甲差很多。验算：把每人的 12 轮成绩重新加一遍，甲 585.3、乙 584.7、丙 569.2，与表末合计一致；再把平均数乘回 12，48.775×12＝585.3，两头对得上。

带这一题：这一题的价值在收尾那句「试评价」。家长可以让孩子用三句话说完：甲、乙两人水平接近，都在 48.8 环上下，是队里的主力；乙有一轮打出 50.1 环的最高成绩，可也有一轮只有 47.3 环，起伏比甲大；丙平均低 1.3 环，极差 3.5 环，是三人里最不稳的一个。孩子要是能说出「平均看水平、极差看稳定」这八个字，这一题就算吃透了——这两句话到第 5 题比苹果、第 14 题查罐头，还要再用两遍。

习题 6.3 · 数学理解 第 2 题 · 分享用统计图与统计量取信息的经验

题目原文要点：利用统计图或统计量获取数据信息，你有哪些经验？请在班级内分享。考查什么：把整章学过的工具整理成一份可讲的经验，而不是零散的名词。思路：按「图看形状、量说数字、两者对一遍」三段整理，每段配一个本章的实例。

分步过程：第一步说图：条形图看谁多谁少，折线图看变化趋势，扇形图看占比，频数直方图看分布形状，箱线图看中间一半和两头。第二步说量：平均数说一般水平，中位数说中间位置，众数说最常见的值，方差与标准差说波动大小。第三步说对一遍：图上看出来的结论，要用统计算一遍验证。比如第 6 题的直方图，一眼看出 0 至 10 组最高，算出来 51 户也对得上。易错：只罗列名词不举例，讲成背书；或者把「图能看出的东西」与「量能算出的东西」混成一堆。验算：讲完请同学反问一句「这一条用在哪道题上」，答不出来就说明这一条还没扎根。

带这一题：开放题也需要练，练的是「把话说成条」。家长可以让孩子照着本章的复习题说三句：我先看图，看出什么；我再算量，算出什么；两样对上了，我才敢下判断。这三句是本篇第十六法的日常版——工具不是拿来背的，是拿来回答问题的。

习题 6.3 · 问题解决 第 3 题 · 银行网点 20 位顾客的等待时间

题目原文要点：某银行营业网点为解客户等待时间（从进门到开始办业务的间隔），随机调查 20 名顾客，数据（单位：min）为 23、30、35、42、37、24、21、1、14、12、34、22、13、34、8、22、31、24、17、33。要求用多种方式描述等待情况，并提一条改进建议。考查什么：同一批数据选不同统计量、配不同图表，看孩子会不会挑。思路：先排序，再算三个集中趋势量与两个离散量，末了按「多数人怎么样、最坏的怎么样」两句话描述。

分步过程：排序得 1、8、12、13、14、17、21、22、22、23、24、24、30、31、33、34、34、35、37、42。平均数 477÷20＝23.85 min；中位数取第 10、11 个，得 (23＋24)÷2＝23.5 min；众数 22、24、34 各两次，三个都写。极差 42－1＝41 min；下四分位取前 10 个的中位数，得 (14＋17)÷2＝15.5 min，上四分位得 (33＋34)÷2＝33.5 min。描述可以这样写：多数顾客等 20 分钟上下，中间一半人落在 15.5 到 33.5 分钟之间，可最短的只等了 1 分钟，最长的等了 42 分钟。改进建议对着那 42 分钟说：高峰期加开窗口，或者给等待超过 30 分钟的顾客设提醒。易错：中位数不排序直接取第 10、11 个原始数据（12 与 34），得 23 min，碰巧接近正确答案，过程全错；众数只写一个；把 41 min 当成平均等时。验算：20 个数的平均数应该落在最小 1 与最大 42 之间，23.85 落在中位 23.5 附近，三者互相印证；再抽查一遍和数，前 10 个 132、后 10 个 345，合计 477，对得上。

带这一题：这一题的「多种方式」四个字最值钱。孩子可以只写平均数 23.85 min，也可以加一句「有一半人等不到 23.5 分钟」。前一句说整体，后一句说中间位置，两句话的用处不一样：银行经理想看整体负荷，看平均数；顾客想知道自己排多久，看中位数更贴。这就是应用在内——同一堆数据，谁来看，决定哪个数重要。

习题 6.3 · 问题解决 第 4 题 · 改革开放成就的统计活动报告

题目原文要点：改革开放以来我国发生了翻天覆地的变化，可以从哪些角度反映这些成就？小组合作，选一个或几个角度开展统计活动，撰写活动报告。考查什么：从「提问题」到「收数据」到「下结论」的完整流程。思路：先定角度（收入、出行、教育、住房、通信），再定指标（人均可支配收入、每百户汽车拥有量、高等教育毛入学率），选定数据来源，画图算量，写报告。

分步过程：第一步把大题目拆成可测的小题目，比如「近二十年城镇居民人均可支配收入怎么变」。第二步找权威数据，统计年鉴、国家统计局网站都行，记录年份与单位，抄进表格。第三步算量画图：算首末年增长率，画折线图看趋势。第四步写结论与边界：涨了多少、哪几年涨得快、这组数据没覆盖哪些人群。第五步小组内互查，看有没有把「相关」说成「因果」。易错：角度定得太大（「反映改革开放成就」），数据收不回来；只用一年数据就下「一直在涨」的结论；报告里不写数据来源。验算：报告交出去前问三个问题——数据从哪来、单位是什么、结论有没有超出数据能说的范围。

带这一题：这一题看着「不考」，其实是本章的落地总复习。孩子在报告里会把平均数、增长率、折线图一起用一遍，还会第一次碰到「数据不全」的窘境。家长可以帮一件小事：陪他找一个真实的数据表，让他自己念出表头、单位、年份。念得清，说明他读得懂数据；念不清，后面算得再快也是空转。

栏目二 · 回顾与思考（印刷第 174 页）

七问，一个问题一个落点，把整章的工具按用途重新排了一遍。这一栏没有计算，全靠说。孩子说得出来，复习题就做得顺；说不出来，翻开复习题也是一道道硬算。

第 1 题 · 加权平均数与算术平均数的区别和联系。题目原文要点：两问——区别与联系是什么，加权平均数在生活中怎么用，举例。考查什么：权重这个概念到底落在哪儿。思路：从公式比，再从用途比。分步过程：联系一条：算术平均数是加权平均数里各权重都等于 1 的特例。区别两条：算术平均数默认每个数据一样重，加权平均数给不同数据配不同分量；权重一变，结果就变。举例就用复习题第 2 题：90、92、85 三张卷子按 40%、20%、40% 算得 88.4 分，按平均算得 89 分，差的 0.6 分全是权重造成的。易错：只说「加权要乘百分比」，说不出为什么乘。验算：自己换一组权重再算一遍，看结果是否会变；会变，就说明抓到了权重的作用。

第 2 题 · 刻画集中趋势的统计量及其特点。题目原文要点：有哪些量，各有什么特点，各举一例。考查什么：三个量的长处与盲区。思路：一量一句，长处一句、盲区一句。分步过程：平均数用上了全部数据，最灵敏，怕极端值；中位数只看位置，不怕极端值，可丢掉两头的信息；众数说最常见的值，适合分类型或分档的数据（如鞋号、尺码），可有时不止一个。举例：第 1 题兵马俑平均 185 cm、中位 185.5 cm、众数 187 cm；第 8 题女鞋三个数几乎重合，选众数最合用。易错：把众数说成「唯一的那个数」；把中位数当成平均数的别称。验算：拿同一批数据算三个量，若三个数差得远，说明数据里可能有极端值，这时该多用中位数。

第 3 题 · 刻画离散程度的统计量有哪些。题目原文要点：只问有哪些，不问特点。考查什么：能不能把四个量报全。思路：按「粗—细—位置」三档报。分步过程：极差最粗，只看两头；方差与标准差最细，用上每个数据；四分位距与箱线图看中间一半的宽度。答题时建议写成一行：极差、方差、标准差、四分位距（配合箱线图）。易错：只报方差与标准差，漏掉极差与四分位距；把方差单位写成原单位（方差单位是原单位的平方）。验算：拿第 5 题两批苹果验一遍：极差 10 与 14，标准差 3.02 与 3.71，两个量都指向「第一批更整齐」，结论才稳。

第 4 题 · 哪些统计图能看出集中与离散。题目原文要点：哪些图能直观感受集中趋势和离散程度，怎样从图上估计相应的量。考查什么：图与量之间的对应。思路：一图一句，说清「图上看哪一处」→「对应哪个量」。分步过程：条形图看柱子的高低，最高那根附近对应众数；折线图看折线整体的走向与起伏，走向对应平均数，起伏对应方差；频数直方图看最高那组的位置对平均数，看图形的胖瘦对离散；箱线图最省事，中位线直接读中位数，箱子长短读四分位距。第 6 题的直方图，最高柱在 0 至 10 组，整幅图右尾拖得长，说明有少数人家用水很多。易错：从扇形图里读平均数（扇形图只有占比，没有数值大小）。验算：把图上估出来的数与算式结果对一遍，差得多就回头检查有没有读错刻度。

第 5 题 · 箱线图有什么特点。题目原文要点：特点是什么，用箱线图分析整体分布有哪些经验。考查什么：五数概括与箱线图的对应。思路：先说五条线各是什么，再说三处看法。分步过程：箱线图一条线一个数：两端须端是最小值与最大值，箱子上下边是下四分位数与上四分位数，箱内那条是中位数。看位置——中位线高低；看集中——箱子长短，箱子短说明中间一半挤得紧；看跨度——两条须的长短，须长说明两头拖得远。第 10 题两组休息时间就是这么读出来的。易错：把箱子的上下边当成最大最小；以为箱子短就等于全体都稳（只看中间一半）。验算：先把五个数算出来，再对着图一条条对，五条全对上，读图才算读准。

第 6 题 · 分析一组数据整体状况的经验。题目原文要点：开放问，要经验不要定义。考查什么：有没有一套固定的看数据流程。思路：给出四步流程就算过关。分步过程：第一步看来源与个数，数据是怎么来的、一共多少个；第二步画图看形状，有没有明显的堆、有没有孤零零的点；第三步算量与图对照，集中趋势三量加离散程度两个量；第四步回到问题本身，说清这组数据能回答什么、不能回答什么。第 3 题那 20 个等待时间就是全套走一遍的例子。易错：算完平均数就下判断，不看分布形状。验算：用一句话把结论说出来，句子里必须带「平均」或「一半」或「大多」这类限定词。

第 7 题 · 梳理全章知识结构。题目原文要点：用适当的方式呈现全章知识结构，与同伴交流。考查什么：把零散知识组织成结构的能力。思路：按「用途」分两支，比按「课本顺序」分更容易记住。分步过程：一支写「描述一般水平」——平均数、加权平均数、中位数、众数；一支写「描述波动大小」——极差、方差、标准差、四分位距；中间架一层「读图」——条形图、折线图、扇形图、直方图、箱线图；最上一层写「用样本估总体」。画成树状图或表格都行，关键是每一支下面挂一道本章的题号。易错：照抄目录当结构图，看不出用途分类。验算：把图给同学看，请他任指一支问「这支出现在哪道题」，指得出来结构就成立。

栏目三 · 复习题·知识技能（印刷第 174 页至第 176 页）

六道题，是全章计算的集中检查。第 1 题兵马俑考三个集中趋势量，第 2 题考加权，第 3 题把饼图与加权平均数接起来，第 4 题考四分位数，第 5 题比两批苹果的整齐程度，第 6 题走一遍频数直方图与用样本估总体。题不难，坑都在细节上。

复习题 · 知识技能 第 1 题 · 36 件秦兵马俑的高度

题目原文要点：考古队随机调查 36 件秦兵马俑，高度（单位：cm）分三行列出，每行 12 个数。第 (1) 问求这 36 件高度的平均数、中位数和众数；第 (2) 问据此估计秦兵马俑的平均高度。考查什么：大样本下三个集中趋势量的算法，以及「样本估总体」的说法。思路：先把 36 个数排序，排序之后中位数与众数一起出来；平均数走求和除以 36。

分步过程：求和：172、178、181、184、184、187、187、190、190、175、181、181、184、184、187、187、190、193、178、181、181、184、187、187、187、190、193、178、181、184、184、187、187、190、190、196 加得 6660，平均数 6660÷36＝185 cm。排序后统计次数：172 一次、175 一次、178 三次、181 六次、184 七次、187 九次、190 六次、193 两次、196 一次，合计 36，核对无误。中位数取第 18、19 个数，分别落在 184 与 187 这一段，得 (184＋187)÷2＝185.5 cm。众数是出现最多的 187 cm，共 9 次。第 (2) 问写：用样本平均数 185 cm 估计秦兵马俑的平均高度约为 185 cm。易错：中位数不排序，直接数原始排列的第 18、19 个，得 (187＋190)÷2＝188.5，错 3 cm；众数写成 184（把「第二多」当众数）；第 (2) 问漏掉「估计」两个字，把抽样调查说成了全部测量。验算：三个数互相印证——平均数 185 与中位数 185.5 几乎重合，说明数据左右大致对称，没有明显的极端值；若正偏或负偏，两者会拉开距离。这批数据最大 196、最小 172，离 185 都不算远，对称这个判断站得住。

带这一题：这一题是本章少见的「36 个数摆在眼前」的大样本题。家长可以让孩子做一件很土的事：拿铅笔把 36 个数从小到大重新抄成一行，抄的时候 181 写在一起、184 写在一起。抄完再数 18、19 位，中位数就不会错了。众数更简单，抄的时候哪一摞最高，就是众数。孩子亲手抄一遍，比看别人排十遍管用。

复习题 · 知识技能 第 2 题 · 按 40%、20%、40% 计总评

题目原文要点：某校规定平时作业、期中练习、期末考试三项成绩分别按 40%、20%、40% 计入学期总评。小亮三项数学成绩依次 90 分、92 分、85 分，求总评成绩。考查什么：加权平均数的基本算法。思路：每个成绩乘自己的权重，加起来，权重之和恰好是 1，不必再除。

分步过程：90×40%＝36，92×20%＝18.4，85×40%＝34；36＋18.4＋34＝88.4 分。易错：把百分数当成直接相加的权重写成 90×40＋92×20＋85×40，得 8880，忘了百分号；或者用 (90＋92＋85)÷3＝89 分，把加权算成算术平均，差 0.6 分。验算：权重合计 40%＋20%＋40%＝100%，所以结果应落在三个成绩的最小值 85 与最大值 92 之间，88.4 落在这里面；再用算术平均数 89 作对照，期末那一项权重比期中大一倍且分数最低，总评必然被拉低一点，88.4＜89，方向对。

带这一题：孩子算完 88.4，不妨让他自己改一次权重：期末提到 50%、平时 30%、期中 20%，再算一遍得 90×0.3＋92×0.2＋85×0.5＝87.9。分数从 88.4 掉到 87.9，孩子会问「为什么我分数没变，总评在变」。这一问就是加权平均数的命门：总评不是孩子考出来的，是学校用权重「称」出来的。把这件事说清，第 174 页第 1 问也一并解决了。

复习题 · 知识技能 第 3 题 · 五种冷饮的平均单价

题目原文要点：某小卖部有 A、B、C、D、E 五种冷饮，单价依次 8 元、5 元、3 元、2 元、1 元。某天销售情况见图（饼图，扇形旁标字母与百分数：A 6%、B 14%、C 51%、D 20%、E 9%）。求这天销售的冷饮单价的平均数。考查什么：把饼图上的百分比读成权重，用加权平均数算单价。思路：单价乘各自占比，五个乘积相加。

分步过程：8×6%＝0.48，5×14%＝0.70，3×51%＝1.53，2×20%＝0.40，1×9%＝0.09；四项相加 0.48＋0.70＋1.53＋0.40＋0.09＝3.20 元。答：这天该小卖部销售的冷饮单价的平均数是 3.2 元。易错：用 (8＋5＋3＋2＋1)÷5＝3.8 元，把五种单价直接平均，完全没用饼图；或者把占比当成人数的整数，8×6＋5×14＋…，忘了化成百分数；还有人把 51% 当成「卖得最少」，因为黄色扇形在图上看着小。验算：五个百分数合计 6%＋14%＋51%＋20%＋9%＝100%，说明没漏项；结果 3.2 元落在最低 1 元与最高 8 元之间，且靠近 3 元那一档——卖得最多的 C 单价正是 3 元，占了一半还多，平均数被它拉在 3 元附近，合理。

带这一题：这一题的图上有个坑，值得跟孩子说透：黄色那块在纸上画得并不大，可它标的是 51%。原因在饼图的画法——扇形面积按角度算，画错一点、印错一点，眼睛就会被骗。所以读饼图不能靠「看哪块大」，要认扇形旁标的数字。孩子把这句话记住，第 4 题读直方图、第 10 题读箱线图，都会自觉去找刻度，不再凭感觉。这就是「应用内在于理解」的浅层版本：知道这张图会被谁怎么看，才知道自己该怎么看它。

复习题 · 知识技能 第 4 题 · 12 个月降水量的四分位数

题目原文要点：某地区某一年每月的降水量（单位：mm）为 21.0、73.3、79.3、56.2、62.4、17.8、176.4、198.3、68.7、54.6、42.8、66.4，求这一年月降水量的四分位数。考查什么：四分位数的算法与「先排序」这条硬规矩。思路：排序，取中位数，再取下半与上半的中位数。

分步过程：从小到大排：17.8、21.0、42.8、54.6、56.2、62.4、66.4、68.7、73.3、79.3、176.4、198.3。共 12 个数，中位数取第 6、7 个的平均：(62.4＋66.4)÷2＝64.4 mm。下半部分 6 个数 17.8、21.0、42.8、54.6、56.2、62.4，中位数 (42.8＋54.6)÷2＝48.7 mm，这是下四分位数。上半部分 6 个数 66.4、68.7、73.3、79.3、176.4、198.3，中位数 (73.3＋79.3)÷2＝76.3 mm，这是上四分位数。答：下四分位数 48.7 mm，中位数 64.4 mm，上四分位数 76.3 mm。易错：不排序就数，直接把 62.4 当中位数；把下四分位数写成第 4 个数 54.6；被 176.4 与 198.3 两个大数带偏，以为上四分位数该更大。验算：三个数必须满足 48.7＜64.4＜76.3，且下四分位与中位差 15.7、中位与上四分位差 11.9，两个间距不一样，正说明数据上端被两个大雨月拖长了——这与 176.4、198.3 的存在相符，检查通过。

带这一题：这一题的分量在一个细节上：平均数 76.43 mm 与中位数 64.4 mm 差了 12 mm。家长可以问孩子一句「哪一个更能代表这一年的月降水量」，答案是中位数，因为 7 月与 8 月那两场大雨（176.4、198.3）把平均数抬上去了，中位数却不受影响。会用中位数，是因为知道平均数在什么时候不可靠——这正是本篇要练的那种判断力。

复习题 · 知识技能 第 5 题 · 两批苹果哪一批更整齐

题目原文要点：两批苹果各随机抽 20 个，量直径（单位：mm）。第一批：81、85、80、75、78、76、83、82、78、84、79、76、85、79、76、83、82、81、78、79；第二批：80、81、78、74、83、88、76、75、84、83、82、80、78、84、85、78、76、77、83、77。问哪一批更整齐。考查什么：平均数几乎一样时，用标准差（或极差）比较离散程度。思路：先算两批平均数，发现几乎一样，再算标准差定高下。

分步过程：第一批 20 个数之和 1600，平均数 80.0 mm；第二批之和 1602，平均数 80.1 mm。第一批各数与 80.0 的偏差平方平均后开方，得标准差约 3.02 mm；第二批约 3.71 mm。极差也差一截：第一批最高 85、最低 75，极差 10 mm；第二批最高 88、最低 74，极差 14 mm。两条证据同向，答：第一批苹果的大小更为整齐。理由写清一句：两批平均数几乎一样，第一批的标准差小，说明各果直径更靠近 80 mm。易错：只比平均数就说「两批一样」，忘了题目问的是「整齐」；把极差当成标准差，算出 10 与 14 就写「标准差 10」；平方和时漏掉某几个数，20 个数据只加了 19 个。验算：方差的算法要自查两处：偏差先平方再平均，平均之后再开方。可以用极差做粗验——标准差大约在极差的四分之一上下（数据大致对称时），3.02 对 10、3.71 对 14，比例都是 0.27 至 0.3，合理。

带这一题：家长可以在纸上做一条数轴，把两批数据点画上去，第一批的点挤在 76 到 85 这一段，第二批有一个 88 和一个 74 甩在外面。孩子看见「甩出去的那两个点」，就明白标准差为什么变大。这条数轴比公式好用：方差是「平均起来离平均数多远」，图上一看就有感觉。有了这个感觉，第 14 题那个 8.33 g 才不是凭空冒出来的数。

复习题 · 知识技能 第 6 题 · 100 户用水量的直方图

题目原文要点：某小区有 500 户，随机抽 100 户调查 5 月用水量，结果见图（频数直方图，纵轴户数刻度 0 至 60，横轴用水量 0 至 40 m³，各组户数依次 51、33、10、6）。第 (1) 问估计用水量不高于 20 m³ 的户数占总户数的百分比；第 (2) 问用各组中间值代替组内数据，估计小区 5 月总用水量。考查什么：读频数直方图，用样本比例与样本平均数估计总体。思路：第 (1) 问用组频数相加除以样本量；第 (2) 问先算样本平均每户用水，再乘总户数。

分步过程：第 (1) 问：0 至 10 组 51 户，10 至 20 组 33 户，两者合计 84 户，84÷100＝84%，即估计约 84% 的家庭用水不高于 20 m³。第 (2) 问：各组中间值 5、15、25、35 m³，加权算样本平均：(51×5＋33×15＋10×25＋6×35)÷100＝(255＋495＋250＋210)÷100＝1210÷100＝12.1 m³。100 户抽自 500 户，所以 500 户合计约 12.1×500＝6050 m³。易错：第 (1) 问用 84÷500，把样本量当总体量；第 (2) 问忘记乘 500，只答 12.1 m³；中间值取错，把 0 至 10 组的中间值写成 10 或 0；求平均时用 4 除（除以组数）而不是除以 100 户。验算：四组户数合计 51＋33＋10＋6＝100，与样本量吻合；12.1 m³ 落在 5 与 35 之间且偏小，与「一半以上人家用水不到 10 m³」的图形相符；6050 m³ 除以 500 户回代 12.1，两头对得上。

带这一题：这一题藏着一个很实用的道理：组数据被压成一个中间值，信息就折损了，可损失不大，所以估计还站得住。家长可以问孩子一句「为什么不用每户真实用水量算」，答案是抽样调查本来就不知道全部真实数据，只能这样估。第 (2) 问的答案里必须出现「约」字，写「500 户共用水 6050 m³」就把估计说成了实数。这个小节，是本章「用样本估计总体」最该盯紧的地方。

栏目四 · 复习题·数学理解（印刷第 175 页至第 176 页）

六道题，从算转到说。第 7 题问平均数能不能推个人，第 8 题问鞋店老板要哪个数，第 9 题问定 320 件合不合理，第 10 题问两组人谁睡得晚，第 11 题问五等份该切在哪，第 12 题问两家增长是否一样。全都不难算，全都要说理。这一栏是本章「应用内在于理解」最见真章的地方。

复习题 · 数学理解 第 7 题 · 小颖说「小亮一定比小明矮」

题目原文要点：小明所在班级学生平均身高 1.65 m，小亮所在班级平均身高 1.60 m，小颖说「小亮一定比小明矮」，问这个说法对不对，说理由。考查什么：分清「整组的平均水平」与「个人的具体数值」。思路：找一个反例，就能推翻「一定」。

分步过程：答：不正确。理由分两层。一层是平均数只描述整班水平：1.65 m 说明小明所在班的平均身高高一点，不代表班里每个人都比小亮班的人高。另一层直接举反例：小明本人可能只有 1.58 m，小亮本人可能 1.68 m，两个人换个个儿算，1.58＜1.68，小亮比小明高，班级平均数却仍旧是 1.65 与 1.60。易错：答「正确，因为 1.65＞1.60」，把平均数当成每个人的数；或者答「不一定」但举不出反例，理说不圆。验算：把两个班想成 30 人的数轴：小明班有一半人在 1.65 上下，小亮班有一半人在 1.60 上下，两条数轴重叠的部分很大，落在重叠区里的人谁高谁矮完全可能反过来。图形一画，理由就出来了。

带这一题：这一题看着简单，考的却是本章最容易出错的一种思维：拿集体的数去断定个人。生活里这类话很多——「这个班平均分高，所以这个班每个人都强」「这个城市平均工资一万，所以我该挣一万」。孩子能把统计量的适用边界说清，学这一章才算学到手上。可以顺势提一句：要说「小亮大概率比小明矮」也不行，因为题目只给了两个平均数，连分布都不知道。

复习题 · 数学理解 第 8 题 · 30 双女鞋的鞋号

题目原文要点：一段时间内某鞋店卖出某品牌女鞋 30 双，各鞋号销售量见表格：鞋号 22、22.5、23、23.5、24、24.5、25 cm，对应销售量 1、2、5、11、7、3、1 双。第 (1) 问求这 30 双鞋鞋号的平均数（精确到 0.01 cm）、中位数、众数；第 (2) 问老板最感兴趣的是哪一个数，说理由。考查什么：从「频数表」还原出 30 个数据再算，以及按用途挑统计量。思路：第 (1) 问用加权算法求平均，把 30 个鞋号摊开数第 15、16 个求中位数，看哪一档最多求众数；第 (2) 问从「进货」这个用途倒推。

分步过程：各组「鞋号×双数」：22×1＝22，22.5×2＝45，23×5＝115，23.5×11＝258.5，24×7＝168，24.5×3＝73.5，25×1＝25，合计 707，总双数 1＋2＋5＋11＋7＋3＋1＝30，平均数 707÷30≈23.57 cm。中位数：累计双数依次 1、3、8、19、26、29、30，第 15 与第 16 双都落在 23.5 cm 这一档，所以中位数 23.5 cm。众数：23.5 cm 卖了 11 双，最多，众数 23.5 cm。第 (2) 问答：老板最感兴趣的是众数。理由是进货按号进，众数说明哪个号卖得最多，直接决定下一批各号各进多少双。易错：中位数拿 7 个鞋号去数中间那个（23.5），答案碰巧对而过程错；平均数用 707÷7＝101 cm，忘了除的是双数不是档数；第 (2) 问答「平均数，因为最公平」，没从进货这个用途想。验算：30 双的鞋号总和 707，平均 23.57 落在最低 22 与最高 25 之间，且靠近 23.5（那一档 11 双），合理；中位数与众数都是 23.5，说明分布集中在这一档，三个数互相印证。

带这一题：第 (2) 问是这一题的真正考点。可以让孩子想一想：如果老板按平均数 23.57 cm 进货，工厂做得出 23.57 号的鞋吗？做不出来，鞋号是分档的，只能是 0.5 cm 一档。所以平均数在这里「算得出却用不上」，众数才用得上。这个对照特别值钱：孩子第一次亲手碰到「一个正确的数，用在不合适的地方就是错的」。把这句讲透，第 3 题饼图里那个 51%、第 16 题那个权重 4，都会跟着透。

复习题 · 数学理解 第 9 题 · 15 位营销员的月销售定额

题目原文要点：某公司销售部有营销员 15 人，为定某种商品的月销售定额，统计了这 15 人某月销售量：每人销售量 1800、510、250、210、150、120 件，对应人数 1、1、3、5、3、2。第 (1) 问求平均数、中位数、众数；第 (2) 问若把定额定为 320 件，是否合理，为什么。考查什么：三个量都算，再用中位数与平均数之差做判断。思路：第 (1) 问按加权算平均，摊开 15 个数取第 8 个求中位数，看人数最多的那一档求众数；第 (2) 问数一数有多少人能达到 320 件。

分步过程：求和：1800×1＋510×1＋250×3＋210×5＋150×3＋120×2＝1800＋510＋750＋1050＋450＋240＝4800，人数 15，平均数 4800÷15＝320 件。摊开 15 个数据从大到小：1800、510、250、250、250、210、210、210、210、210、150、150、150、120、120，第 8 个是 210，中位数 210 件。众数 210 件（5 人）。第 (2) 问答：不合理。理由是只有 1800 件、510 件那两人过线，其余 13 人都达不到；中位数 210 件才代表「中间那位营销员的水平」，拿 320 件当中位数以上的门槛，等于把大半个销售部挡在门外。平均数之所以是 320，全因为那一个人的 1800 件把整体抬高了。易错：第 (1) 问用 4800÷6＝800（除档数）；中位数不摊开，拿 6 个档位取中间，得 (250＋210)÷2＝230；第 (2) 问答「合理，因为平均数是 320」，把平均数当成合理标准。验算：4800÷15＝320 回代无误；210×15＝3150，与 4800 相差 1650，正是那个 1800 件的人超出 210 的部分（1800－210＝1590）再加上 510 件那位超出的 300 减去其他人的少量差额，量级对得上，说明平均数被单人拉高的判断成立。

带这一题：这一题可以跟孩子算一笔小账：如果把那位 1800 件的销冠调走，其余 14 人的平均是 (4800－1800)÷14＝214.3 件，几乎等于中位数 210。孩子会看见「一个人的数字能让平均数跳 100 多件」。这就是极端值的力量，也是为什么第 174 页第 2 问要孩子说清「平均数怕极端值」。定额该定在哪儿，靠的不是算得准，而是算完之后还知道这个数是怎么来的。

复习题 · 数学理解 第 10 题 · 两组人晚上休息的时间

题目原文要点：小明抽样调查两组年龄段不同的人晚上休息的时间，画成两个箱线图（A 为红色，B 为蓝色），纵轴时间刻度自下而上为 20:10、20:40、21:10、21:40、22:10、22:40、23:10、23:40、0:10，每格 30 分钟。第 (1) 问两组休息时间有什么特点；第 (2) 问若一组是青年组、一组是老年组，哪组可能是青年组。考查什么：箱线图读图与按生活常识对应群体。思路：先读中位线定位置，再读箱体长短定集中程度，末了读须端定跨度。

分步过程：读 A 组（红）：上须约到 23:40，箱体上边约 23:10，中位线约 22:40，箱体下边约 22:10，下须约 21:40。读 B 组（蓝）：上须约 23:10，箱体上边约 22:40，中位线约 22:10，箱体下边约 21:40，下须约 20:40。第 (1) 问答：A 组整体睡得晚，中位数在 22:40 左右；B 组整体睡得早，中位数在 22:10 左右，比 A 组早半小时；B 组两条须更长，从 20:40 到 23:10，跨度大，说明这一组里早睡的人更多、个体差别更大；A 组箱体更紧，中间一半人集中在 22:10 到 23:10 之间。第 (2) 问答：A 组有可能是青年组，因为青年人就寝普遍偏晚；B 组更像老年组。易错：把箱体上下边读成最大值与最小值，于是说「A 组最晚睡到 23:10」；两个组看反，把 B 当青年组；只说「A 晚 B 早」，答不出须长这一段。验算：两条中位线差约 30 分钟，正是一格；箱体宽度两组差不多（都约一小时），差别在位置与须长，读法自洽。若把 A 的中位数往上读到 23:10，那它的上四分位就无力可放了，一读就露破绽。

带这一题：这一题最好玩的地方，是它逼孩子把统计图和日常生活对上号。孩子只要知道「老人睡得早、年轻人睡得晚」，读图就有了方向。家长可以顺势问一句：图上为什么纵轴上端标的是 0:10 而不是 24:10——因为过了午夜要跨日，刻度按 30 分钟一格排下来，0:10 在最上面表示最晚。这种小地方，孩子注意到一次，以后看时间轴的图就不会晕。

复习题 · 数学理解 第 11 题 · 收入五等份该切在哪几个百分位

题目原文要点：全国居民按收入五等份分组，是把所有被调查户按人均可支配收入从低到高排序，平均分成五等份，分别对应低收入组、中间偏下收入组、中间收入组、中间偏上收入组和高收入组。问应该选哪些百分位数来划分。考查什么：百分位数与「等份」的对应关系。思路：五等份就是五个百分点的宽度，切四刀。

分步过程：五等份每份占 20%，四刀切在累计到 20%、40%、60%、80% 的位置上，所以选第 20、第 40、第 60、第 80 百分位数。第 20 百分位数以下是最低的 20%，即低收入组；第 20 到第 40 百分位之间是中间偏下收入组；第 40 到第 60 之间是中间收入组；第 60 到第 80 之间是中间偏上收入组；第 80 百分位以上是高收入组。答完可以补一句：中位数就是第 50 百分位数，它落在中间收入组里，不在分界线上。易错：答「五等份，所以选第 5、第 10 百分位数」，把等份数当成百分数；只答一个第 50 百分位数；答成四分位数三个分点。验算：四个分点把 0 到 100% 切成五段，每段 20%，加起来 100%，段数 5，与「五等份」吻合。

带这一题：这一题把「百分位数」从一个算式变成一把尺子。孩子弄懂之后，新闻里那句「人均可支配收入」该怎么读就有数了：它是个平均数，不是中位数，一个高收入家庭就能把它抬上去。家长可以顺手跟孩子聊一句「咱们家大概在哪个组」，这比做十道计算题都让人上心。统计学到这一步，才算真的进了生活。

复习题 · 数学理解 第 12 题 · 两家总支出增长是否相等

题目原文要点：小明家和小亮家前年的饮食、教育和其他支出都分别是 18 000 元、6 000 元、36 000 元。小明家去年这三项依次增长 10%、20%、30%，小亮家依次增长 20%、30%、10%。问两家去年总支出比前年增长的百分数是否相等，分别是多少。考查什么：加权平均数的反向应用——增长率也要按金额加权。思路：不能把三个增长率简单平均，得按各项金额算加权。

分步过程：两家前年总支出都是 18000＋6000＋36000＝60000 元。小明家：饮食增 18000×10%＝1800，教育增 6000×20%＝1200，其他增 36000×30%＝10800，合计增 13800 元，增长百分数 13800÷60000＝23%。小亮家：18000×20%＝3600，6000×30%＝1800，36000×10%＝3600，合计增 9000 元，增长百分数 9000÷60000＝15%。答：不相等，小明家增长 23%，小亮家增长 15%。易错：把三个增长率相加除以 3，两家都得 20%，答「相等」；算完增量忘了除以 60000，直接答 13800 与 9000；把 30% 那项按 6000 元算（张冠李戴）。验算：验算两处。一处是回到总支出：小明家去年 19800＋7200＋46800＝73800，73800－60000＝13800，与前面的增量一致。另一处是比大小：小明家增长最快的是「其他」那项，占前年总支出 36000÷60000＝60%，所以它的 30% 权重最大，总增幅自然靠近 30%；小亮家增长最快的「其他」只有 10%，总增幅自然被压下来。两条路都指向 23% 与 15%，答案站得住。

带这一题：这一题是本章最漂亮的一道，因为它把「加权」这件事翻了个面：前面几题是权重已知，这题的权重得自己从前年的支出里算出来。孩子做错时，家长不要急着讲公式，先问一句「哪一项占的钱最多」。答对了「其他」，再问「那 30% 该不该更重」。两问下去，孩子自己就能把 23% 推出来。这种题做一遍，比做十道套公式的题更能立住。

栏目五 · 复习题·问题解决（印刷第 177 页至第 178 页）

五道题，全是真事：量自己的一拃、查罐头分装机、数高速公路车流、评年度风云汽车、比三个科室的归档效率。这些题没有一道是「代公式」，都得先想清楚「这个数拿来干什么」，再决定算哪个量。这一栏最能看出孩子是学会了统计，还是只学会了算术。

复习题 · 问题解决 第 13 题 · 用自己的一拃当尺子

题目原文要点：用直尺量自己的一拃长，连续量 10 次，算这 10 次的平均数，这样就有了一把「尺子」，用它去量课桌长度。还问：身上还能找到别的「尺子」吗。考查什么：取平均能压掉偶然误差，以及把统计量变成实用工具。思路：量 10 次、求平均、用平均值当单位去换算。

分步过程：先量：拇指到中指尽量张开，量 10 次，记下每次读数，比如 18.2、18.4、18.3、18.1、18.4、18.2、18.5、18.2、18.3、18.2 cm。再算平均：(18.2＋18.4＋18.3＋18.1＋18.4＋18.2＋18.5＋18.2＋18.3＋18.2)÷10＝18.28 cm，取 18.3 cm。然后用：课桌长度量得 3 拃多一点，3×18.3＝54.9 cm，加上余量约 57 cm，再用直尺核一遍。末了答第二问：身上还有「尺子」——一步长约 60 至 70 cm，一庹（两臂平伸）约等于身高，一个指节宽约 2 cm，手掌宽约 8 cm。易错：只量一次就定论，误差全带上；10 次读数单位不统一，有的记 mm 有的记 cm；算平均时把某个数抄错，导致平均值偏大 0.5 cm 以上。验算：10 次读数中最小 18.1、最大 18.5，平均值 18.28 必须落在这两个数之间，落不进去就是抄错或加错。再用平均值反算：18.28×10＝182.8，与 10 个读数之和 182.8 对上，验算完成。

带这一题：这一题的价值在「为什么取平均」这句追问上。孩子常说「量准一点就行了」，其实手一抖就偏 1 至 2 mm，量 10 次取平均，偏大偏小的误差大半相互抵消。家长可以让孩子故意量得马虎一点，再量得仔细一点，两次的平均值差不到 0.2 cm，他就会自己相信「平均能救误差」。这件事说明白了，第 6 题为什么要抽 100 户、第 15 题为什么要数 8 次，都用不着再讲道理。

复习题 · 问题解决 第 14 题 · 罐头分装机是否正常

题目原文要点：某厂用分装机分装鱼罐头，标准质量 207 g。规定：抽检产品的平均质量与标准质量相差大于 5 g，或罐头质量的标准差大于 8 g，就判为运行不正常，要检修。现随机抽 20 只，质量（单位：g）为 200、205、208、212、223、199、193、208、204、200、208、201、215、190、193、206、215、198、206、216。问该分装机运行是否正常。考查什么：同一批数据要过两道关，平均质量管「准不准」，标准差管「稳不稳」。思路：先算平均数，与 207 g 比；再算标准差，与 8 g 比；两关都过才算正常。

分步过程：求和各数：200＋205＋208＋212＋223＋199＋193＋208＋204＋200＋208＋201＋215＋190＋193＋206＋215＋198＋206＋216＝4100，平均数 4100÷20＝205 g，与 207 g 相差 2 g，小于 5 g，第一关过关。算标准差：各数与 205 的差依次为 －5、0、3、7、18、－6、－12、3、－1、－5、3、－4、10、－15、－12、1、10、－7、1、11；平方后求和 25＋0＋9＋49＋324＋36＋144＋9＋1＋25＋9＋16＋100＋225＋144＋1＋100＋49＋1＋121＝1387；除以 20 得 69.35，开方约 8.33 g，大于 8 g，第二关不过。答：该分装机运行不正常，需检修。结论可写细一层：平均质量接近标准，说明装机量没偏；标准差超线，说明各罐之间差得太多，问题在稳定度。易错：只算平均数 205 g 就答「正常」，漏掉标准差这一关；把标准差不平方直接除以 20 再开方，算出 5 点几；忘记「大于 8 g」这个判断方向，把 8.33 g 说成「差不多，算正常」。验算：用极差粗查：最大 223、最小 190，极差 33 g，四分之一约 8.25 g，与算出的 8.33 g 接近，说明标准差没算错；再看两个极端的罐头，223 g 比标准多 16 g、190 g 少 17 g，各差十几个标准差也不至，8.33 g 的量级可信。

带这一题：这一题最该讲的是「两道关」这个设计。为什么光看平均数不够？因为一罐多 20 g、一罐少 20 g，平均下来刚好抵消，平均值漂亮，可顾客会投诉。平均数管的是「整批有没有偏」，标准差管的是「每罐之间像不像」，两件事都得答。家长可以拿生活里的例子对一对：一个班平均 80 分，可能人人 80 分，也可能一半 100 分一半 60 分，后一种情况平均数一样，标准差大得多。这么一比，孩子就知道标准差为什么要单独学。

复习题 · 问题解决 第 15 题 · 高速公路入口 3 小时的车流量

题目原文要点：小明想调查某高速公路入口每天的汽车流量（单位：辆）。一天 8:00 到 11:00，他每隔相等一段时间统计一次，共统计 8 次，记录表给出每 3 min 内通过的汽车流量：51、50、64、62、58、55、55、53。问这 3 h 内共有多少车次通过该入口。考查什么：用抽样平均推算总量，先把抽样时长算清，再按比例放大。思路：8 次各数 3 min，共 24 min，合计车数除以 24 得每分钟车数，再乘 180 min。

分步过程：8 次记录合计 51＋50＋64＋62＋58＋55＋55＋53＝448 辆，对应时长 8×3＝24 min。每分钟平均 448÷24≈18.67 辆；3 h 是 180 min，估计 18.67×180≈3360 辆。换一种写法：每次平均 448÷8＝56 辆，每 3 min 56 辆，3 h 有 180÷3＝60 个 3 min，56×60＝3360 辆。答：这 3 h 内约有 3360 车次通过该入口。易错：把 448 辆当答案，忘了放大；把 8 次当成 8 min，算出 448÷8×180＝10080 辆；漏看表格第一行「3 min 内」，把每次当成 1 小时的量。验算：两条路算出同一个 3360，说明比例没搞错。再做一次量级判断：一小时 1120 辆，约每分钟 19 辆，一条高速入口一个车道大概就是这个量级，不算离谱；若是 10080 辆，等于每分钟 56 辆，几乎一秒一辆，一个入口扛不住，从常识上就该否掉。

带这一题：这一题提醒孩子一件事：抽样是有「覆盖时间」的。8 次各 3 min，只覆盖了 24 分钟，早上 8 点到 11 点里还有 156 分钟没看。用小覆盖去推大时段，前提是车流大致均匀，这个前提题里没说，答案里带个「约」字才老实。第 6 题用 100 户推 500 户，靠的是「随机抽样有代表性」，这一题靠的是「时段之间差不多」。两种「估计」的底气不一样，孩子要是能说出这层区别，这一章就算学到骨头里了。

复习题 · 问题解决 第 16 题 · 五款新车的「年度风云汽车」

题目原文要点：某汽车杂志用计分系统评新车，总分最高者获「年度风云汽车」称号。五款车 A、B、C、D、E 在四项上的评级见表格：A 为非常好、一般、良好、一般；B 为一般、非常好、非常好、非常好；C 为良好、非常好、非常好、一般；D 为非常好、良好、一般、一般；E 为良好、非常好、非常好、良好。规定非常好 3 分、良好 2 分、一般 1 分。第 (1) 问按「总分＝4×安全性能＋2×省油＋外观＋内部配饰」算各车总分，哪款获称号；第 (2) 问 B 款「非常好」有 3 项最多，为何没拿到称号。考查什么：加权求和，以及权重如何改变排名。思路：先把评级换成分数，再按四个权重乘加，末了对比项数与权重。

分步过程：换分：非常好 3、良好 2、一般 1。第 (1) 问逐车算：A 安全 3、省油 1、外观 2、内部 1，总分 4×3＋2×1＋2＋1＝17；B 安全 1、省油 3、外观 3、内部 3，总分 4×1＋2×3＋3＋3＝16；C 安全 2、省油 3、外观 3、内部 1，总分 4×2＋2×3＋3＋1＝18；D 安全 3、省油 2、外观 1、内部 1，总分 4×3＋2×2＋1＋1＝18；E 安全 2、省油 3、外观 3、内部 2，总分 4×2＋2×3＋3＋2＝19。E 款 19 分最高，获「年度风云汽车」称号。第 (2) 问答：B 款的三个「非常好」落在省油、外观、内部配饰上，权重分别是 2、1、1，加起来只有 4 分权重；而权重最重的安全性能是 4，它只拿到「一般」，等于在分值最高的那一项上失了 4×2＝8 分，别的项再多「非常好」也补不回来。易错：把四项权重都当 1 直接相加，B 得 10 分成了第一；漏乘安全性能的 4；第 (2) 问答「因为 B 总分低」而不说权重，等于没答。验算：总分上限是 4×3＋2×3＋3＋3＝24 分，E 的 19 分占上限约八成，排名可信；逐车重算一遍，五车分数 17、16、18、18、19，无并列第一。再验 B：若把它的安全性能从「一般」升到「良好」，得 4×2＋6＋6＝20，立刻超过 E——反向说明差就差在权重最大的那一项。

带这一题：这一题把加权平均数讲活了：分数相同，权重不同，名次就翻。孩子算完第 (2) 问，可以顺着问一句「如果杂志把外观权重提到 4、安全降到 1，谁拿第一」。算一下就知道 B 会跳到 4×1＋2×3＋4×3＋3＝25，立刻第一。这时候孩子会明白，「年度风云汽车」不是客观真理，是一套权重下的结果。这种清醒，比会算 19 分重要得多。

复习题 · 问题解决 第 17 题 · 三个科室的出院病历归档效率

题目原文要点：医院科室应在患者出院后若干工作日内把病历送病案室归档，5 个工作日完成的叫「时效 5 天」，时效越短效率越高。某医院某年 3 个内科临床科室 1 至 12 月的平均时效（单位：天）见表：科室 1 为 7.0、5.1、5.2、5.6、5.4、5.2、6.7、5.5、6.4、5.0、5.1、4.8；科室 2 为 5.0、4.2、3.5、3.1、5.0、4.2、3.5、3.8、3.0、3.7、2.0、3.4；科室 3 为 2.0、1.9、2.1、1.8、2.7、2.4、2.4、2.2、2.0、2.3、2.1、1.5。请选择恰当方法判断三个科室的归档效率情况。考查什么：自己选统计量做综合评价，位置与稳定两条线一起看。思路：算平均数与中位数比效率，算标准差与极差比稳定，末了合成一句话。

分步过程：算平均数：科室 1 各项合计 67.0，除以 12 得 5.58 天；科室 2 合计 44.4，得 3.70 天；科室 3 合计 25.4，得 2.12 天。算中位数：科室 1 排好后中间两个是 5.2 与 5.4，得 5.3；科室 2 得 3.6；科室 3 得 2.1。算波动：科室 1 标准差约 0.69、极差 7.0－4.8＝2.2；科室 2 标准差约 0.81、极差 5.0－2.0＝3.0；科室 3 标准差约 0.30、极差 2.7－1.5＝1.2。再数一数超线月份：科室 1 有 10 个月超过 5 天，科室 2、科室 3 一个月都没有。答：效率由高到低为科室 3、科室 2、科室 1；稳定程度以科室 3 最好，科室 2 反而波动最大（标准差 0.81、极差 3.0），科室 1 的毛病是整体偏慢，12 个月里 10 个月超 5 天。易错：只看平均数就说科室 1 最差而不提它「超线 10 个月」，判断不够硬；把科室 2 说成最稳，因为它的数看着「跳动」不大，实际极差最大；12 个数只加 11 个，平均值算偏。验算：三个平均数必须满足 科室 3＜科室 2＜科室 1，且都落在各自的最小值与最大值之间；科室 1 最小 4.8 最大 7.0，5.58 落在里面；科室 3 最小 1.5 最大 2.7，2.12 落在里面。再核一遍超线计数：科室 1 只有 4.8 与 5.0 两个月不超过 5 天，其余 10 个月都超，与「效率最低」的结论一致。

带这一题：这一题是本章最像「真工作」的一道。医院不会只问「平均几天」，它还要问「有没有月份拖到 7 天」「稳不稳」。孩子答这一题，最好的写法是三层：先说效率高低（平均数与中位数），再说稳不稳（标准差与极差），末了给一句建议——科室 1 要压整体时长，科室 2 要治那几个 5.0 天的月份。家长看到孩子写出第三层，就知道他不是在背公式，是在用统计说话。

栏目六 · 复习题·联系拓广（印刷第 178 页）

全章末一题，也是全章最难的一题。三个小组各 20 人答同一道 4 分题，三幅条形图的柱子高度都是 1、2、3、6、8，只是排列顺序不同，平均数与方差就全变了。这一题把「平均数看位置、方差看形状」这两句话推到极致。

复习题 · 联系拓广 第 18 题 · 三组得分的平均数、方差与重排

题目原文要点：三个小组每组 20 人，答一道满分 4 分的题。三幅条形图横轴为得分 0、1、2、3、4 分，纵轴为人数的 0 至 10。第一组得 0 至 4 分的人数依次 1、2、3、6、8；第二组依次 8、6、3、2、1；第三组依次 1、3、8、6、2。第 (1) 问分别求三组得分的平均数与方差；第 (2) 问若重排这些「柱子」，怎样排使平均数最大、怎样排使方差最小；第 (3) 问用三个箱线图表示三组得分，三个箱线图有什么差异。考查什么：从频数图算集中与离散，以及「位置变影响平均数、形状变影响方差」。思路：第 (1) 问按加权求平均、按偏差平方求方差；第 (2) 问从公式反推排列；第 (3) 问把 20 个数据摊开取五数概括。

分步过程：第 (1) 问。第一组总分 0×1＋1×2＋2×3＋3×6＋4×8＝0＋2＋6＋18＋32＝58，平均 58÷20＝2.9 分；各分与 2.9 的偏差为 －2.9、－1.9、－0.9、0.1、1.1，平方后乘人数求和：1×8.41＋2×3.61＋3×0.81＋6×0.01＋8×1.21＝8.41＋7.22＋2.43＋0.06＋9.68＝27.8，除以 20 得方差 1.39。第二组总分 0×8＋1×6＋2×3＋3×2＋4×1＝0＋6＋6＋6＋4＝22，平均 1.1 分；偏差 －1.1、－0.1、0.9、1.9、2.9，平方乘人数求和 8×1.21＋6×0.01＋3×0.81＋2×3.61＋1×8.41＝9.68＋0.06＋2.43＋7.22＋8.41＝27.8，方差同样 1.39。第三组总分 0×1＋1×3＋2×8＋3×6＋4×2＝0＋3＋16＋18＋8＝45，平均 2.25 分；偏差 －2.25、－1.25、－0.25、0.75、1.75，平方乘人数求和 1×5.0625＋3×1.5625＋8×0.0625＋6×0.5625＋2×3.0625＝5.0625＋4.6875＋0.5＋3.375＋6.125＝19.75，除以 20 得方差 0.9875。第 (2) 问。平均数最大：把人数最多的柱子摆在最高分那一头。8 人放 4 分、6 人放 3 分、3 人放 2 分、2 人放 1 分、1 人放 0 分，即第一组那种排法，平均数 2.9 分，这是五种排列里的最大值。方差最小：把最高的柱子 8 人摆在最靠近中间的位置（2 分），两侧对称地摆开，比如 0 至 4 分依次 1、3、8、6、2，或者镜像的 2、6、8、3、1，方差都是 0.9875，是两个最小解。第 (3) 问。摊开 20 个数据取五数概括：第一组 0 分 1 人、1 分 2 人、2 分 3 人、3 分 6 人、4 分 8 人，中位数取第 10、11 个都落在 3 分，中位数为 3；第二组中位数为 1；第三组第 10、11 个落在 2 分，中位数 2。三个箱线图的差异写三条：箱体位置由高到低依次是第一组、第三组、第二组，正对应平均数 2.9、2.25、1.1；第一组与第二组的形状互为镜像，方差相同而位置相反；第三组箱体最窄，中间一半更集中，离散最小。易错：第 (1) 问平方后忘记乘人数，把 5 个偏差平方直接平均，算出 1.39 以外的怪数；把方差当标准差答（标准差应再开方，第一组约 1.18）；第 (2) 问以为「平均数最大」要把 8 人放 2 分（混淆集中与靠高）；第 (3) 问把中位数写成平均分。验算：三组人数合计 1＋2＋3＋6＋8＝20，与题目给的小组人数一致；两组方差同为 1.39 不是巧合——两组数据互为「倒序」，平均值 2.9 与 1.1 之和正好是最低分 0 与最高分 4 的平均值 2 的两倍（2.9＋1.1＝4），偏离程度自然一样。第三组方差 0.9875＜1.39，与「箱体最窄」的图形印象吻合。

带这一题：这一题是全章的收口，也是最值得陪孩子动手的一题。拿 5 摞积木（分别 1、2、3、6、8 块）摆在 0 到 4 分五个位置上，随便换位置，让孩子看平均分怎么动、离散怎么变。把最高的那摞移到 4 分那头，平均分跳到 2.9；再移到 2 分中间，平均分回落到 2.25，可离散变得最小。手上摆过一遍，孩子就明白第 (2) 问那两个「如何排列」不是背出来的，是试出来的——平均数认位置，方差认形状，两件事各管一头。

🛠 九、五步学习法

这一章复习到收口处，孩子容易犯一个毛病：题都会做，一合书就散。散的原因不是记性差，是这些题在他脑子里是 29 个孤立的任务，没连成一条线。下面这五步，就是把 29 道题拧成一股绳的办法，每一步都对着这一节的具体题目下手。

第一步：每天锻炼一个小时

这一章的复习特别费眼费神：第 1 题 36 个数、第 5 题两批各 20 个数、第 18 题三幅图，全是眼睛要盯、手要抄的活。孩子坐在桌前连做两小时，第三十分钟起就开始抄错数。每天留一小时给身体，跑步、跳绳、打球都行，作用不是「强身健体」这种空话——运动完之后做第 14 题那种 20 个数的平方和，出错率明显低。可以这样安排：傍晚运动一小时，回来先做一道大数据的题（第 1 题或第 14 题），趁脑子清爽把加法走完；把第 12 题、第 16 题这种要动脑推权重的题放到第二天早上。第 18 题放在运动后做最合适，因为它要摆积木、要动手，正好把体力活和脑力活分开。

第二步：扎实掌握第一个知识点

这一章的第一个知识点，不是平均数，是「权重」。第 2 题那 88.4 分、第 3 题那 3.2 元、第 12 题那 23% 与 15%、第 16 题那 19 分与 16 分，四道题背后站的是同一句话：每一项乘上它自己的分量，再合起来。这一条扎不牢，后面全是浮的。扎的办法很简单：只做第 2 题，但要做四遍。第一遍按 40%、20%、40% 算；第二遍改成各占三分之一；第三遍把期末提到 60%；第四遍自己编一个权重。四遍算完，孩子会发现一个现象：分数没变，总评在变。这个现象就是权重的定义。孩子把它说清了，第 3 题的饼图、第 16 题的汽车评分都是同一件事换个壳，看一眼就会。

第三步：能积微者速成

29 道题一次做完，谁都做不完。拆开做，一天三道，十天走完，反而快。拆的时候有讲究：按「一个统计量一组」拆，不按页码拆。第一天做第 1 题与第 8 题，只练三个集中趋势量，做的时候每道题都写三句话（平均数说什么、中位数说什么、众数说什么）。第二天做第 5 题与第 14 题，只练标准差，两题都用极差做粗验。第三天做第 4 题与第 11 题，只练百分位数。第四天做第 10 题与第 18 题第 (3) 问，只练箱线图。第五天做第 6 题与第 15 题，只练用样本估总体。这样一天只盯一件事，孩子不会累，也不会混。十天下来，每个统计量都被用过两三次，比一次囫囵做完牢得多。

第四步：运用对标思维突破学习困境

这一章最难过的一关是「算得出却选不对」，第 8 题第 (2) 问、第 9 题第 (2) 问、第 16 题第 (2) 问，三道题都在考这个。过法是对标：找一个「标准答案」的样子来比。第 8 题的标准样子是：老板要按号进货，所以看众数；第 9 题的标准样子是：定额要让多数人够得着，所以看中位数和管理意图；第 16 题的标准样子是：称号看权重最大的项目，所以看加权总分。三道题的标准样子不同，可它们的思路是一个模子：先问「这个数拿去干什么」，再选量。孩子把这三道题的答案并排抄在一张纸上，用红笔圈出每道题里「干什么」那半句，圈完就会发现圈出来的都是同一类话。下一次遇到新题，他也会先圈这半句。这就是对标思维最实在的用法——不是对答案，是对思路的形状。

第五步：运用杠铃法则缓解学习疲劳

杠铃法则说的是两头重、中间轻：把大部分力气花在极难和极易的两端，中间那一大堆常规题少花功夫。放到这一节，极难的那一头是第 18 题第 (2) 问和第 16 题第 (2) 问——这两问没有公式可套，全凭判断，值得反复琢磨，一道题可以耗掉半小时；极易的那一头是第 2 题、第 4 题、第 8 题第 (1) 问这类纯计算，做一遍就够，做十遍是浪费。中间地带是第 3 题、第 5 题、第 6 题这类「算一遍加说一句」的题，做两遍即可。这样分配，复习时间省下一半，难点反而磨得更透。家长可以帮孩子做一次时间表：把 29 道题按难易分成三堆，难的那堆写「每题 25 分钟」，易的那堆写「每题 5 分钟」，中间那堆写「每题 10 分钟」，照着表走一遍，孩子会自己发现力气该往哪儿使。

💡 十、费曼技巧应用

费曼技巧一句话：讲不清，就是没懂。下面五个自问，请孩子合上书，用大白话讲给家长听。讲得磕巴的地方，就是回去重看的地方。题号都指到本节，翻得到原题。

自问一 · 平均数为什么会被一个人的数字带偏

能答出来说明什么：说明他明白平均数用上了每一个数据，也就一定会被极端值牵动。参考答案：复习题第 9 题 15 位营销员，4800 件除以 15 得 320 件，可这个 320 全靠那位卖了 1800 件的撑起来，其余 13 人达不到；中位数 210 件才是「中间那个人」的水平。答不出怎么办：让他把 1800 件那个人划掉，重算平均数得 214.3 件，看着数字从 320 掉到 214，他就明白了。

自问二 · 方差公式里那个平方是干什么用的

能答出来说明什么：说明他不是死记公式，而是知道每一步的道理。参考答案：不平方的话，偏差有正有负，加起来互相抵消，结果约等于 0，谁都一样，比不出高低；平方把负号抹掉，只留「离得远不远」，离得远的点还被放大，所以第 14 题那两个 223 g 与 190 g 的罐头一进来，标准差就顶到 8.33 g。答不出怎么办：拿第 18 题第三组的数据，算一次「不平方的平均偏差」，得 0，再算平方的平均得 0.9875，两下一比，平方的必要性自己就跳出来了。

自问三 · 鞋店老板为什么不要平均数

能答出来说明什么：说明他已经会用「用途」来挑统计量，这是本篇第十六法的核心。参考答案：复习题第 8 题的平均鞋号 23.57 cm，工厂做不出这个号的鞋，鞋号只能按 0.5 cm 一档；老板要按号进货，得看哪个号卖得最多，那是众数 23.5 cm，卖了 11 双。答不出怎么办：问他一句「你去进 23.57 号的鞋，工厂给你做吗」，他自己就会把答案说回来。

自问四 · 箱线图上看什么能知道谁睡得晚

能答出来说明什么：说明他掌握了五数概括与箱线图的对应。参考答案：复习题第 10 题，纵轴是时间，A 组红箱子的中位线约在 22:40，B 组蓝箱子的中位线约在 22:10，看中位线高低就能定谁晚；再看箱体，A 组箱体更紧，中间一半人集中在 22:10 到 23:10；B 组的两条须更长，说明这一组个体差得开。答不出怎么办：先把五个数（最小、下四分位、中位、上四分位、最大）在草稿纸上标一遍名字，再回图上一一对应，标完再读就顺了。

自问五 · 三组柱子一样高，为什么平均数方差都不同

能答出来说明什么：说明他真正读懂了平均数与方差各自管什么。参考答案：复习题第 18 题，三组的柱子高度都是 1、2、3、6、8，只是摆的位置不同。平均数认位置——8 人摆在 4 分那头，平均 2.9；摆在 0 分那头，平均 1.1；摆在 2 分中间，平均 2.25。方差认形状——8 人摆在中间、两侧对称，各数与平均挨得近，方差 0.9875；摆到两头，各数离平均远，方差涨到 1.39。答不出怎么办：用积木摆一遍，摆一个位置算一次平均分，摆到第三遍他就自己说出来了。

🎯 十一、方法总结与知识脉络

本章这一节，一句话说完：统计不是算数，是拿数回答一个具体的问题，问题换了，该用的数就换。七问的回顾、二十九道题的复习题，问的都是这一件事——你手上这个数，准备拿去干什么。

往前往后看，这一章的位置很清楚。七年级上册学过数据的收集与整理、条形图折线图扇形图，那是「把数据摆出来」；这一章学会了平均数、加权平均数、中位数、众数、方差、标准差、百分位数、箱线图，是「把数据说清楚」；往后九年级还要学用样本推断总体、概率与频率，那是「用数据作判断、下结论」。三段的递进很清楚：摆出来、说清楚、判下去。这一节正好站在第二段收口的地方，所以它一半是计算，一半是判断，两头都不能虚。

第十六法「应用内在于理解」落在这一章，落点就在这些「选哪个数」的地方。伽达默尔说理解总带着应用，用统计的话讲：不认识用途的人，不认识统计量。孩子算得再快，若说不出第 9 题那 320 件为什么不合理、第 16 题那三项「非常好」为什么不够，他就还没算学会。

给家长一句实在话：复习这一章，别急着让孩子刷题。拿第 8 题、第 9 题、第 16 题这三道「说不清就白算」的题，让他一道一道讲给你听。讲得通，这一章就通了；讲不通，再刷五十道计算题也只是练手速。第七章要学证明，那又是一套全新的讲理方式，这一章把「说清理由」的习惯养成，到那边会省很多力气。

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