高考真题:已知函数最大值求参数

一、题目与定义域

已知函数  的最大值为 1，求实数  的值。

A. 　　B. 　　C. 　　D. 

四个选项均给出 ，故对任意实数  都有 ， 的定义域为 ，且分母恒为正。以下变形中同乘分母，不等号方向不变。

二、条件的等价转化

 的最大值为 1，等价于下列两个条件同时成立：

(1) 对任意实数 ，；

(2) 存在实数 ，使 。

条件 (1) 给出上界，条件 (2) 保证该上界可以取到。仅由条件 (1) 只能得到  的取值范围。由 ，

三、由条件 (1) 求  的取值范围

设 ，则

当  时 ， 单调递增；当  时 ， 单调递减。故  在  处取得最大值 ，值域为 。

于是  对任意实数  成立，当且仅当 。这正是原解法得到的结论。

四、由条件 (2) 确定 

设 ，则 ，即 。由于  的值域为 ，故 。

联立  与 ，得 。故选 B。

条件 (1) 要求  不小于  的最大值，条件 (2) 要求  属于  的值域，两者联立即得 。

五、对各选项的检验

 时，；又由  得 ，即  对任意实数  成立。故最大值确为 1。

 或  时，由  得  对任意实数  成立，不存在  使 ，故最大值不等于 1。

 时，，故最大值大于 1。

六、方法归纳

「 的最大值为 」等价于「 恒成立」与「存在  使 」，两个条件缺一不可。

分离参数后，设不含参数的一侧为 ，用导数求出  的最大值与值域；由恒成立条件得  不小于  的最大值，由取等条件得  属于  的值域，联立即可确定 。

若只得到参数的一个取值范围，而该范围不足以唯一确定选项，应检查是否遗漏了取等条件。