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第 07 讲 三角函数中的参数问题
题型一 根据三角函数的周期性求参数
( π)
【例1】（1）若函数f（x）＝2tan kx+ 的最小正周期T满足1＜T＜2，则自然数k的值
3
为 .
(3π) (π)
【对点演练1】已知函数f（x）＝sin ωx（ω＞0），若︱f －f ︱＝2，则ω的最
4 4
小值为（ ）
1
A. B.2 C.3 D.6
2
【对点演练2】记函数 的最小正周期为T．若 ，且
，则 （ ）A． B． C． D．
【对点演练3】已知函数 ， ， ，且
，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
题型二 根据三角函数的对称性（奇偶性）求参数
【例2】（1）已知函数f（x）＝sin xcos（2x＋φ）（φ∈[0，π]）为偶函数，则φ＝ （
）
π π
A.0 B. C. D.π
4 2
（2）已知函数 的最小正周期为 ，且 是函数 图象
的一条对称轴，则 的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【对点演练1】若将函数 的图像向右平移 个单位长度后所得图
像关于 轴对称，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【对点演练2】若将函数 的图象向右平移 个单位后，所得
图象对应的函数为奇函数，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【对点演练3】已知函数 ．若对于任意实数x，都有，则 的最小值为（ ）．
A．2 B． C．5 D．8
【对点演练4】若函数 在区间 上仅有一条对称轴及一
个对称中心，则 的取值范围为________．
题型三 根据三角函数的单调性求参数
[ π]
【例 3】（1） 若函数 f（x）＝sin ωx（ω＞0）在区间 0, 上单调递增，在区间
3
[π π]
, 上单调递减，则ω＝ .
3 2
（2）若f（x）＝cos x－sin x在[－a，a]上是减函数，则a的最大值是 （ ）
π π 3π
A. B. C. D.π
4 2 4
( π)
（3）若函数f（x）＝sin（φ－2x）在区间 0, 上单调递减，则实数φ的值可以为 （
2
）
2π π π π
A. B. C. D.
3 2 3 4
（4）已知函数f(x)＝sin (ω>0)在区间 上单调递增，则ω的取值范围
为( )
A. B. C. D.
[π π]
【对点演练1】 （1）若函数f（x）＝sin ωx（ω＞0）在区间 , 上单调递减，则ω
3 2
的取值范围是 （ ）
[ 2] [ 3] [2 ] [3 ]
A. 0, B. 0, C. ,3 D. ,3
3 2 3 2
（2）将函数 的图象向右平移 个单位长度后，得到函数 的图象，
若 在 上是增函数，则a的最大值为______．（3）已知函数 ，若 在区间 上单调递减，则
实数 的取值范围（ ）
A． B． C． D．
( π)
【对点演练2】将函数y＝3sin x- 的图象向右平移φ（0＜φ＜π）个单位长度后得到f
6
(π 5π)
（x）的图象，若f（x）在 , 上单调递增，则φ的取值范围为（ ）
6 6
[π π] [π π] [π 2π] [π 2π]
A. , B. , C. , D. ,
3 2 6 2 3 3 2 3
(π)
【对点演练3】已知函数f（x）＝2sin（ωx＋φ）（ω＞0）满足f ＝2，
4
(π π)
f（π）＝0，且f（x）在区间 , 上是单调函数，则符合条件的ω的值有 个.
4 3
【对点演练4】已知函数 ， 是函数 的一个零
点， 是函数 的一条对称轴，若 在区间 上单调，则 的最大值是
（ ）
A． B． C． D．
【对点演练5】(2023·宜昌模拟)已知函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)，ω>0，若f ＝3，f(π)＝
0，f(x)在 上单调递减，那么ω的取值共有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【对点演练6】（2023·内蒙古赤峰·校考模拟预测）若直线 是曲线
的一条对称轴，且函数 在区间[0， ]上不单调，则的最小值为（ ）
A．9 B．7 C．11 D．3
题型四 根据三角函数的最值求参数
【例5】（2020·北京高考）若函数f（x）＝sin（x＋φ）＋cos x的最大值为2，则常数φ的
一个取值为 .
【例6】已知函数 ，若存在实数 ，使得 ，且
，则 的最小值为（ ）
A．12 B．6 C．4 D．2
【例7】(2023·青岛质检)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，其中ω>0，|φ|≤，－为f(x)的零点，且
f(x)≤ 恒成立，f(x)在区间 上有最小值无最大值，则 ω的最大值是(
)
A．11 B．13 C．15 D．17
【对点演练1】（1）（2023·全国·高三专题练习）已知函数
在区间 上单调递增，且在区间 上只取得一次最大值，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
（2）已知函数 ，若 ，且 在 上有最大值，
没有最小值，则 的最大值为______．
【对点演练2】函数 在区间 上恰有两个最小值点，则 的
取值范围为（ ）
A． B． C． D．【对点演练3】（2023·全国·高三专题练习）已知函数 在（0，2]上有最
大值和最小值，且取得最大值和最小值的自变量的值都是唯一的，则 的取值范围是
___________.
【对点演练4】（2023·全国·高三专题练习）已知函数
的最大值为2，则使函数 在区间 上至少取得两次最大值，则 取值范围是_______
【对点演练5】已知函数 在 上有最大
值，无最小值，则 的取值范围是________．
【对点演练6】已知函数 在区间 上单调递增，且
在区间 上只取得一次最大值，则 的最大值是_______
题型五 根据三角函数的零点求参数
【例8】设函数 ，若对于任意实数 ，函数 在区间
上至少有3个零点，至多有4个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例9】（2023·河北·高二统考学业考试）设函数 ，若对于任
意实数 ， 在区间 上至少有2个零点，至多有3个零点，则 的取值范围是（
）
A． B． C． D．【对点演练1】已知函数 的图象是由 （ ）的图象向右平移
个单位得到的，若 在 上仅有一个零点，则 的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【对点演练2】记函数 的最小正周期为 .若
， 为 的零点，则 的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【对点演练3】将函数f(x)＝cos x的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横
坐标变为原来的(ω>0)倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在 上没
有零点，则ω的取值范围是( )
A. ∪ B. C. D．(0,1]
【课时作业】
1．（2022·山东济南·模拟预测）已知函数 的最小正周期为 ，
则 的图象关于（ ）
A． 对称 B． 对称 C． 对称 D． 对称
2．已知函数 的图象向左平移 个单位长度后与原图象
重合，则实数 的最小值是（ ）A． B． C． D．8
3．已知函数 ，若函数f(x)在 上单调递减，则
实数ω的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·湖北·荆州中学模拟预测）已知函数 在 单调递减，
则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数 向左平移 个单位后为偶函数，其中 .则
的值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数 的图象如图所示，将 的图象
向右平移 个单位，使新函数为偶函数，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·青海·海东市教育研究室一模（理））已知定义在 上的函数，若 的最大值为 ，则 的取值最多有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8.（2023·全国·高三专题练习）记函数 的最小正周期为
.若 ， 为 的零点，则 的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
9．（2022·安徽马鞍山·三模（理））函数 在区间 上恰有两
个最小值点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·河南·宝丰县第一高级中学模拟预测（理））已知函数
在区间 上的值域为 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
11.（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知函数 的图象关
于点 对称，且 在 上单调，则 的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
12.（2023·内蒙古呼和浩特·高三呼市二中校考阶段练习）已知函数在 内有且仅有三条对称轴，则 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
13.（2023·全国·高一专题练习）设函数 ，已知 在[ 有
且仅有4个零点，下述四个结论：① 在 有且仅有2个零点；② 在
有且仅有2个零点；③ 的取值范围是 ；④ 在 单调递增，其中
正确个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
14．（多选题）（2023·福建漳州·统考三模）已知函数
在 上有且仅有 条对称轴；则（ ）
A．
B． 可能是 的最小正周期
C．函数 在 上单调递增
D．函数 在 上可能有 个或 个零点
15．（多选题）（2023·广东汕头·统考一模）已知函数 ，则下述
结论中正确的是（ ）
A．若 在 有且仅有 个零点，则 在 有且仅有 个极小值点B．若 在 有且仅有 个零点，则 在 上单调递增
C．若 在 有且仅有 个零点，则 的范围是
D．若 的图象关于 对称，且在 单调，则 的最大值为
16．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，则下述
结论中错误的是（ ）
A．若f（x）在[0，2π]有且仅有4个零点，则f（x）在[0，2π]有且仅有2个极小值点
B．若f（x）在[0，2π]有且仅有4个零点，则f（x）在 上单调递增
C．若f（x）在[0，2π]有且仅有4个零点，则ω的范围是
