专题05
选填压轴题一：切线、导函数与原函数的对称性、
构造原函数解不等式、唯一整数解求参数范围（解析版）
一、过函数外一点作函数切线
设切点坐标
0
0
,
P
x
y
，利用导数、点斜式写出切线方程，根据切线经过已知点得到关于
0x 的方程，求
出
0x 的值，或根据此方程实数解的情况结合判别式法及韦达定理求参数的取值范围.
二、导函数与原函数的对称性
( )
f x 为偶函数
'( )
f
x 为奇函数
( )
f x 为奇函数
'( )
f
x 为偶函数
'( )
f
x 为偶函数
( )
f x 有对称中心(0, )c
注意：此处
0
c
或
0
c
同理：
( )
f x 有对称轴x
a
'( )
f
x 有对称中心( ,0)
a
( )
f x 关于( , )
a c 中心对称
'( )
f
x 有对称轴x
a
注意：此处
0
c
或
0
c
三、构造函数利用导数解不等式
已知不等式中既有
( )
f x 又有
'( )
f
x ，一般不能直接确定
'( )
f
x 的正负，不能确定
( )
f x 的单调性，这时
要求我们构造一个新函数，以便利用已知不等式判断其导数的的正负。
一般的，先化简含
'( )
f
x 的不等式，
'( )
f
x 系数为正，不等号右侧为0。
构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；
②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.
常见的构造新函数有
1.
对于
'( )
'( ),
'( )
'( )
0
f
x
g x
f
x
g x
，构造
( )
( )
( )
F x
f x
g x
更一般地，
'( )
,
'( )
0
f
x
a f
x
a
，构造
( )
( )
F x
f x
ax
2.
对于
'( )
'( )
0
f
x
g x
，构造
( )
( )
( )
F x
f x
g x
3.
对于
'( )
( )
0
xf
x
f x
，构造
( )
( )
F x
xf x
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4.
对于
'( )
( )
0
xf
x
f x
，构造
( )
( )
f x
F x
x
5.
对于2 ( )
'( )
0
f x
xf
x
，构造
2
( )
( )
F x
x f x
6.
对于
'( )
( )
0
f
x
f x
，构造
( )
( )
x
F x
e f x
7.
对于
'( )
( )
f
x
f x
或
'( )
( )
0
f
x
f x
，构造
( )
( )
x
f x
F x
e
8.
对于2 '( )
( )
0,
( )
0
f
x
f x
f x
，构造
2
( )
( )
x
F x
e f
x
9.
对于
'( )
(1
) ( )
0
xf
x
x f x
，构造
( )
( )
x
F x
xe f x
10. 对于
'( )
0
( )
f
x
f x
，分类讨论：若
( )
0
f x
，构造
( )
ln
( )
F x
f x
；
若
( )
0
f x
，构造
( )
ln[
( )]
F x
f x
；
四、唯一整数解求参数范围
将不等式转化为可画图象的两函数，一个函数利用导数判断函数的单调性和最值，另一个函数一般为
过定点的直线，在同一坐标系下画出两函数图象，数形结合找出符合条件的整数解，与相邻不符合条
件的一个整数，代回原不等式，可求解.
例一、
1．已知函数
3
2
3
6
1
2
f
x
x
x
x
，则曲线
y
f x
过点
0,1 的切线方程为
．
2．若曲线
(
)ex
y
x
a
有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是
．
3．若过点
,0
P t
可以作曲线
1
ex
y
x
的两条切线，切点分别为
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，则
1
2
y y 的取值范围是
（
）
A．
3
0,4e
B．
3
,0
0,4e
C．
2
,4e
D．
2
,0
0,4e
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4．已知
0
x
，y R ，
2
2
2
(
)
ln
2
x
y
x
x
y
的最小值为（
）
A．
2
B．2
C．4 3
3
D．16
3
练习题
1．过
1 1
，且与曲线
3
y
x
相切的直线方程是
.
2．已知过点
,0
A a
可以作曲线
2 ex
y
x
的两条切线，则实数a 的取值范围是（
）
A．
2,
B．
, e
2,
C．
, 2
2,
D．
, 1
2,
3．若过点( , )
a b 可以作曲线
1 (
0)
y
x
x
x
的两条切线，则（
）
A．
0
b
a
B．
1
a
b
a
a
C．
1
0
a
b
a
a
D．
1
0
a
b
a
a
4．在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线
2
4
x
y
上的一个动点，则点P 到直线
4
0
x
y
的距离的最小值
是
.
题型二导函数与原函数的对称性
例二、
1．设定义在R 上的函数
f
x 与
g x 的导函数分别为
f
x
和
g
x
，若
3
2
g x
f
x
，
1
f
x
g
x
，
且
2
g x
为奇函数，1
1
g
．现有下列四个结论：①
1
3
g
g
；②
2
4
4
f
f
；③
2022
1
g
；
④
2022
1
4043
k
f k
．其中所有正确结论的序号是（
）
A．①②③
B．②③④
C．①③④
D．①②④
2．（多选）已知函数
( )
f x 及其导函数
( )
f
x
的定义域均为R ，记( )
( )
g x
f
x
，若
3
2
2
f
x
，(2
)
g
x
均为
偶函数，则（
）
A．
(0)
0
f
B．
1
0
2
g
C．
( 1)
(4)
f
f
D．
( 1)
(2)
g
g
3．已知定义在R 上的函数
f
x 和
g x ，
g x 导函数
g
x
的定义域也为R．若
g x 为偶函数，
5
0
f x
g
x
，
4
5
0
f x
g
x
，则下列不正确的是（
）
A．
4
5
f
B．
0
0
g
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C．
1
3
1
f
f
D．
1
3
10
f
f
4．已知函数
f
x ，
g x 及其导函数
f
x
，
g
x
的定义域均为R ，
2
1
f
x
为奇函数，
1
g x
关于直
线
1
x 对称，则（
）
A．
1
1
f g
f g
B．
1
3
g f
g f
C．
1
1
f g
f g
D．
1
3
g f
g f
练习题
1．已知函数
f
x 及其导函数
f
x
的定义域均为R，且
1
f
x
为奇函数，则（
）
A．
1
0
f
B．
2
0
f
C．
0
2
f
f
D．
0
2
f
f
2．已知函数
( )
f x 及其导函数
( )
f x
的定义域都为实数集，记( )
( )
h x
f
x
若恒有
3
2
2
f
x
3
2
, (2
)
(2
)
2
f
x
h
x
h
x
成立，则正确结论共有（
）
（1）
0
0
f
；（2）
1
0
2
h
；（3）
1
4
f
f
；（4）
1
2
h
h
.
A．（1）（3）
B．（2）（3）
C．（1）（2）（4）
D．（2）（3）（4）
3．已知函数
( ), ( )
f x g x 的定义域为R ，
g
x
为( )
g x 的导函数，且
( )
2
f x
g
x
，
( )
4
2
f x
g
x
，若
( )
g x 为偶函数，则下列结论不一定成立的是（
）
A．
(4)
2
f
B．
2
0
g
C．
( 1)
( 3)
f
f
D．
(1)
(3)
4
f
f
4．已知函数
f
x 及其导函数
f
x
的定义域都为R ，且
1
2
f
x
为偶函数，
2
f x
为奇函数，则（
）
A．
1
0
f
B．
2
0
f
C．
2022
2021
0
f
f
D．
2022
2021
0
f
f
题型三构造原函数求解不等式
例三.1．设函数f（x）在R 上存在导数
'( ),
f
x
x
R
，有
2
(
)
( )
f
x
f x
x
，在(0,
)
上，
'( )
f
x
x
，若
(6
)
( )
18
6
0
f
m
f m
m
，则实数m 的取值范围为
A．[2,
)
B．[3,
)
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C．[-3，3]
D．(
, 2]
[2,
)
2．设函数
( )
f x 是(
,0)
上的可导函数其导函数为
( )
f
x
,且有2 ( )
( )
0
f x
xf
x
,则不等式
2
(
2016)
(
2016)
x
f x
9 ( 3)
0
f
的解集为
A．(
, 2013)
B．( 2016,0)
C．(
, 2019)
D．( 2019,0)
3．定义在R 上的函数
( )
f x 满足：
'
( )
( )
0,
(0)
4
f x
f
x
f
，则不等式
( )
4
xe f x
(其中e 为自然对数的底数)的
解集为(
)
A．(3,
)
B．(
,0)
(3,
)
C．(
,0)
(0,
)
D．(0,
)
4．已知函数
( )
f x 是定义在R 上的可导函数，且对于
R
x
，均有
( )
( )
f x
f
x
，则有（
）
A．
2017
2017
e
( 2017)
(0),
(2017)
e
(0)
f
f
f
f
B．
2017
2017
e
( 2017)
(0),
(2017)
e
(0)
f
f
f
f
C．
2017
2017
e
( 2017)
(0),
(2017)
e
(0)
f
f
f
f
D．
2017
2017
e
( 2017)
(0),
(2017)
e
(0)
f
f
f
f
练习题
1．定义在R 上的函数满足
1
1
f
，且对任意xR都有
1
2
f
x
，则不等式
2
2
1
2
x
f x
的解集
为
.
2．已知定义域为R 的奇函数
( )
y
f x
的导函数为
'( )
y
f
x
，当
0
x
时，
( )
'( )
0
f x
f
x
x
，若
2
2
1
1
,
2 ( 2) ,
ln
ln
3
3
3
3
a
f
b
f
c
f
，则
,
,
a b c 的大小关系正确的是
.
3．定义在R 上的函数f(x)满足
f
x +
f
x
>1,
0
4
f
,则不等式
3
x
x
e f x
e
（其中e 为自然对数的底
数）的解集为
.
4．已知定义在R 上的可导函数
( )
y
f x
函数的导函数为
( )
f
x
，满足
( )
( )
f
x
f x
，且
(
1)
y
f x
为偶函数，
(2)
1
f
,则不等式
( )
x
f x
e
的解集为（
）
A．
,0
B．
,1
C．
1,
D．
0,
题型四唯一整数解求参数范围
例四、1．设函数
( )
(3
1)
x
f x
e
x
ax
a
，其中
1
a
，若有且只有一个整数
0x 使得
0
0
f x
，则a 的取值
范围是（
）
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A．2 3
, 4
e
B．2 3
, 4
e
C．2,1
e
D．2 ,1
e
2．设函数
( )
e (1 2 )
x
f x
x
ax
，其中
1
a
，若存在唯一负整数
0x ，使得
0
(
)
f x
a
，则实数a 的取值范围
是（
）
A．
2
5
3
(
,
)
3e
2e
B．
3
(2e ,1)
C．[ 3 ,1)
2e
D．
2
5
3
[
,
)
3e
2e
3．已知函数
ln
2
2
4
0
f x
x
a
x
a
a
，若有且只有两个整数
1
x ，
2
x 使得
1
0
f
x
，且
2
0
f x
，
则a 的取值范围是
A．
ln3,2
B．
0,2
ln3
C．
0,2
ln3
D．
0,2
ln3
4．若关于x 的不等式
2
ln
1
0
x x
x
a
x
a
的解集中恰有三个整数解，则整数a 的取值是（
）(参
考数据:ln2≈0.6931，ln3≈1.0986)
A．4
B．5
C．6
D．7
练习题
1．已知函数
e
2
1
2
x
f x
x
ax
a
，其中
1
2
a
，若存在唯一的整数
0x ，使得
0
0
f
x
，则实数a 的取
值范围是（
）
A．
3
1
,
2e 2
B．
3
1
,
2e 4
C．1
e
1
, 2
D．1 1
,
4 e
2．设函数
3
x
f
x
xe
，若存在唯一的负整数
0x ，使得
0
0
f
x
kx
k
，则实数k 的取值范围是（
）
A．
2
3 ,0
e
B．
3
0, 2e
C．
2
3
6
,
e
e
D．
2
2
3
, 2
e
e
3．已知函数
ln
1
0
f x
x
a x
a a
,若有且只有两个整数
1
2
,
x x 使得
1
0
f
x
,且
2
0
f x
,则a 的取值
范围是
A．
3
ln 3
0,
2
B．
0,2
ln 2
C．3
ln3 ,2
ln 2
2
D．2ln 2
4 3
ln 3
,
3
2
4．若关于x 的不等式
2
0(
0)
x
xe
ax
a
a
的非空解集中无整数解，则实数a 的取值范围是
.
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1.
若过点
,a b 可以作曲线
ex
y
的两条切线，则（
）
A．eb
a
B．ea
b
C．0
eb
a
D．0
ea
b
2.
已知函数
( )
4
ln
f x
x
a
x ，存在两条过原点的直线与曲线
y
f x
相切，则实数a 的取值范围是（
）
A．
2e ,0
B．
3
, e
C．
e,0
D．
3
2
, e
3.
已知函数
2
ln
f x
x
a
x
有两条与直线
2
y
x
平行的切线，且切点坐标分别为
1
1
,
P x
f x
，
2
2
,
Q x
f x
，则
1
2
1
1
x
x 的取值范围是（
）
A．
0,2 2
B．
0,4
C．
2 2,
D．
4,
4.
若动点P 在直线
1
y
x
上，动点Q 在曲线
2
2
x
y
上，则|PQ|的最小值为（
）
A．1
4
B．
2
4
C．
2
2
D．1
8
5.
存在过点
,0
P t
的直线与曲线
3
x
y
e
x
相切，则实数t 的取值范围是
.
6.
已知函数
,
f x
g x 的定义域为R ，
g
x
为
g x 的导函数，且
10
0
g
x
f
x
，
10
0
4
g
f
x
x
，若
g x 为偶函数，则以下四个命题：①
1
3
20
f
f
；②
4
10
f
；
③
1
3
f
f
；④
2022
10
f
中一定成立的个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
7.
已知函数
3
( )
sin 3
3
R,
R
f x
a
x
bx
a
b
，
f
x
为
f
x 的导函数，则
2021
2021
2022
2022
f
f
f
f
（
）
A．0
B．2021
C．2022
D．6
8.
给出定义：设
f
x
是函数
y
f x
的导函数，
f
x
是函数
y
f
x
的导函数，若方程
0
f
x
有
实数解
0
x
x
，则称
0
0
,
x
f x
为函数
y
f x
的“拐点”.经研究发现所有的三次函数
3
2
0
ax
bx
d a
f x
cx
都有“拐点”，且该“拐点”也是函数
y
f x
的图像的对称中心，若函数
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3
2
3
f x
x
x
，则
1
2
3
4040
4041
2021
2021
2021
2021
2021
f
f
f
f
f
（
）
A．8082
B．2021
C．-8082
D．-2023
9.
已知函数
f
x 的导函数是
f
x
，
1
f
x
的图象关于点(1,0) 对称，对任意实数x 都有
2
f x
f
x
，
且
f
x 在
7, 6
上单调递增，设
0.2
,
6e
ln
e
2
1
,
9
5
a
f
b
f
c
f
，则, ,
a b c 的大小关系是（
）
A．c
b
a
B．< <
b c a
C．a
b
c
D．a
c
b
10.
已知定义在R 上的奇函数
( )
f x ，设其导函数为
'( )
f
x ，当
(
,0]
x
时，恒有
'( )
(
)
xf
x
f
x
，令
( )
( )
F x
xf x
，
则满足
(3)
(2
1)
F
F
x
的实数x 的取值范围是
A．
1
1, 2
B．( 1,2)
C．1 ,2
2
D．( 2,1)
11.
设函数
f
x 在R 上存在导数
f
x
，对于任意的实数x ，有
2
2
f x
f
x
x
，当
,0
x
时，
4
2
f
x
x
，若
2
4
2
2
f m
f m
m
m
，则实数m 的取值范围是
.
12.
已知定义在R 上的奇函数
f
x 的导函数为
( )
5
cos
f
x
x
，若
2
1
(1
)
0
f
t
f
t
，则实数t 的取值
范围为
.
13.
已知定义在R 上的奇函数
f
x ，设其导函数为
f
x
，当
,0
x
时，恒有
0
( )
xf
x
f x
，令
( )
( )
F x
xf x
，则满足
3
(2
1)
F
F
x
的实数x 的取值范围是
.
14.
已知定义在R 上的可导函数
y
f x
的导函数为
f
x
，满足
f
x
f x
，且
1
y
f
x
为偶函数，
2
1
f
，则不等式
ex
f
x
的解集为
．
15.
已知函数
3
2
( )
2
3
f x
x
x
mx
m
，若存在唯一的负整数
0x ，使得
0
0
f
x
，则实数m 的取值范围是
（
）
A．
3
0, 4
B．
16
0, 5
C．3 16
,
4 5
D．3 ,
4
16.
已知关于x 的不等式
2
e
1
0
R
x
a
x
x
a
的解集中恰有两个正整数解，则实数a 的取值范围
为
.
17.
（1）设函数
e
2
1
x
f x
x
ax
a
，其中
1
a
，若存在唯一的整数
0x ，使得
0
0
f
x
，则a 的取
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值范围是
．
（2）已知
ex
f x
x
，
2
1
g x
x
a
，若
1x
，
2x R ，使得
2
1
f x
g x
成立，则实数a 的取值范
围
．
18.
已知函数
ln
f x
x a
x
a
，若存在唯一整数
0x ，使得
0
0
1 2ln
f x
x
a
成立，则实数a 的取值
范围为
．
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