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第4 题 由三角函数零点求参数范围（一题多解）
【2024 年10 月福建百校联考高三测评T8】已知
，函数
与
的图象在
上最多有两个公共点，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
由题意知
与
的图象在
上最多有两个公共点，可转化为同一个函数
在
上最多有两个零点，根据辅助角公式化简得
，结合正弦函数的图象和性质分别讨论区间端点所在
位置列出不等式求解即可.
设
，
因为函数
与
的图象在
上最多有两个公共点，
即
在
上最多有两个零点，所以
，则
，
由
得
，根据
结合正弦函数图象可分如下情况：
（1）由
得
；（2）由
得
；
（3）由
得
；（4）由
得
；
（5）由
得此时不等式组无实数解，
综上可得
，
故选：A．
1．已知函数
，若方程
在
上有且只有四个实数
根，则实数
的取值范围为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】将
化简为
，根据方程可知
或
，
根据
整体的范围可知需满足
，解不等式得到
的取值范围.
【详解】
，
令
，则
，
，
或
，
，
，
在
上有且只有四个实数根，
，
解得：
.
故选：B.
2．已知函数
，
，函数
在区间
上
单调递增，在区间
上恰有个零点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由
，得
，由在区间
上恰有个零点，结合正弦函数图象得
，最后根据函数
在区间
上单调递增，结合正弦函数的单调性得
，最后确定
的取值范围.
【详解】因为
，得
，又
，则
，
当
时，
，
因为
在
上只有个零点，所以
，解得
，
当
时，
，
因为
，所以
，
，
又因为
在
上单调递增，所以
，解得
，
综上可得
.
故选：C.
由题意知
与
的图象在
上最多有两个公共点，令
，
即
，令
，即
，可知
，则
与
的图象在
至多有两个交点，结合正切函数图象和性质列出不等式即可求
解.
由题意令
，即
，因为
，所以
，即
，则
与
在
至多有两个交点.
结合正切函数图象及性质可得：
，
又
，故
；
当
时，
；当
时，
；
当
时，
；当
时，
；
当
时，
；当
时，
；
综上可得
．
故选：A．
3．当
时，曲线
与
的交点个数为4 个，则
实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意分别作出
与
的图象，可得
，从而可求解.
【详解】由
，如图所示，画出
在
时的
图象，
对于
，
，
，
令
，得
，
，得
，
，
由
与
的图象有
个交点，
由图知
，解得
，故B 正确.
故选：B.
4．设函数
，若对于任意实数
在区间
上至少
2 个零点，至多有3 个零点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】原问题转化为
在区间
上至少2 个，至多有3 个t，使
，求
取值范围，数形结合判断满足条件区间长度，由此建立关于
的不等
式，解出即可．
【详解】令
，则
，令
，则
，
则原问题转化为
在区间
上至少2 个，至多有3 个t，使得
，求
得取值范围，
作出
与
的图象，如图所示，
由图知，满足条件的最短区间长度为
，最长区间长度为
，
∴
，解得
．
故选：B．
由题意知
与
的图象在
上最多有两个公共点，令
，
即
，即
在
至多有两解，结合选项可分别取
验证排除即可.
由题意令
，即
，即
在
至多有两
解.
结合选项分别取
验证：
当
时，即
，此时在
有
一解满足题意，故C 错误；
当
时，即
，此时在
有
，
两解满足题意，故B 错误；
当
时，即
，此时在
有
，
，
三解，与题意矛盾，
故D 错误；
故选：A．
5．当
时，函数
与
的图象有4 个交点，则
的值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】在同一坐标系内作出
时函数
与
在
内的图象，
利用图象的交点个数判断.
【详解】对于A，当
时，函数
与
在
内的图象如图，
它们有2 个交点，A 不是；
对于B，当
时，函数
与
在
内的图象如图，
它们有4 个交点，B 是；
对于C，当
时，函数
与
在
内的图象如图，
它们有6 个交点，C 不是；
对于D，当
时，函数
与
在
内的图象如图，
它们有8 个交点，D 不是.
故选：B
6．已知函数
在区间
上单调递增，且在区间
上有
且仅有2 个零点，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】求出单调区间，由题意列出不等式，求出
范围；求出函数零点，根据题意得出
不等式，求出
范围，由交集得出最后
范围.
【详解】令
，
则
当
时，
，∴
，即
，
令
，则
，
∵
时，
，
且
时，
，
时，
，
时，
，
∴
，∴
，
综上，
.
故选：D.
7．已知函数
，若
在区间
上单调递增，且在区间
上有且只有一个零点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】化简
的解析式，根据三角函数的单调性、零点列不等式，由此求得
的取值
范围.
【详解】
.
，由于
在区间
上有且只有一个零点，
所以
，
而
，
其中
，而
，
在区间
上单调递增，
所以
，解得
，
则
.
故选：D
【点睛】方法点睛：本题的解法关键在于将给定的复杂函数表达式通过三角恒等式化简为
一个简单的正弦函数形式，从而利用正弦函数的零点特性和单调性来求解参数
的范围.
8．已知函数
在区间
上只有一个零点和两
个最大值点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先将函数进行三角恒等变换化成正弦型函数，再将
看成整体角
，依题求
得
的范围，结合
的图象，按要求即得
，解之即得.
【详解】由
，
设
，由
可得
，
如图作出函数
在
上的图象.
由图，要使函数
在
上只有一个零点和两个最大值点，
需使
，解得
.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查三角恒等变换和正弦型函数得性质应用，属于难题.
解题关键在于，将函数化成正弦型函数后，必须将其中的辐角看成整体，求出其范围，结
合正弦型函数（余弦型函数）的图象解决.
9．已知函数
在
上恰有2 个零点，则
的范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由辅助角公式化简函数解析式，再由
的范围求出
的范围，结合函数图像
确定
，解不等式即可.
【详解】因为
，
令
，即
，
；
又因为
，所以
，
令
，有
，则问题转化为
，如图所示，
因为函数
在
上恰有2 个零点，所以
，
所以
，解得
.
故选：C.
10．已知关于x 的方程
在
内恰有3 个不相等的实数根，则
的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由已知可得
，根据方程有3 个不相等的实数根可得
，求解即可.
【详解】因为
，所以
，
所以
，所以
，
由
，可得
，
因为方程有3 个不相等的实数根，所以由正弦函数的图像可得
，
解得
，所以
的取值范围
．
故选：B．
11．设函数
，当
时，方程
有且只有两个不相等的实数解，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】结合三角恒等变换化简函数表达式，利用三角函数性质结合已知即可列出关于
的不等式组，解之即可得解.
【详解】
，
注意到
，所以当
时，
，
，
因为方程
有且只有两个不相等的实数解，
所以
，解得
，即
的取值范围是
.
故选：B.
12．若当
时，函数
与
的图象有且仅有4 个交点，
则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】画出两个函数的图象，然后找出有4,5 个交点临界状态的解即可.
【详解】如图所示，画出
在
的图象，
也画出
的草图，
函数
与
的图象有且仅有4 个交点，
则将
的第4 个，第5 个与x 轴交点向
处移动即可.
满足
，解得
．
故选：C．
13．已知函数
（
）在区间
上只有1 个零点，且当
时，
单调递增，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由
范围求得
的范围，结合整体思想转化为
在
上只有
1 个零点，在
上单调递增，求解即可.
【详解】当
时，
，
因为
在
上只有1 个零点，
所以
，解得
，
当
时，
，
因为
，所以
，
又因为
在
上单调递增，
所以
，解得
.
综上可得
.
故选：C.
14．曲线
与
在
内有3 个交点，则
可能的值为
（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】B
【分析】利用三角函数的恒等变换将问题转化
与
在
内有3 个交点，再
利用数形结合即可得解.
【详解】令
，
则
，
则
，
易知
，
，
所以
，
设
，则
，
令
，因为
，故
，
因为
与
在
内有3 个交点，
所以问题转化为
与
在
内有3 个交点，
作出
与
的大致图象，
虽然不好确定
的正负情况，
但数形结合可知，当
时，不管
的值为正还是为负，
与
在
内都恰有3 个交点，故B 正确；
其他选项都不正确.
故选：B.
【点睛】方法点睛：根据函数的零点个数求解参数范围，一般方法：
（1）转化为函数最值问题，利用导数解决；
（2）转化为函数图象的交点问题，数形结合解决问题；
（3）参变分离法，结合函数最值或范围解决.
