第 31 讲 由三角函数性质求参数的值与范围·讲义
一、考情分析......................................................................................................................................1
二、知识清单......................................................................................................................................2
三、典题精练......................................................................................................................................3
考点一：零点与交点问题......................................................................................................3
考点二：单调问题..................................................................................................................4
考点三：最值问题..................................................................................................................5
考点四：极值问题..................................................................................................................6
考点五：对称性问题..............................................................................................................6
考点六：性质的综合问题......................................................................................................7
四、高考真题......................................................................................................................................7
一、考情分析
1. 考查频次与题型
年 考察
题号与题型 分值 考察内容
份 类型
202 三角函数的图象与周期性，求两三角函数图象的
第7题 单选 5分 直接
4 交点个数
202 第4题 单选 正切函数的对称中心性质求参数最值；三角函数
22分 直接
5 第19题 解答 的最值问题及含参三角不等式恒成立求参数范围
202 三角函数的奇偶性与单调性，结合区间特征求参
第13题 填空 5分 直接
6 数的值
近三年全国一卷对本讲知识点的考查较为频繁，既有客观题的基础性质考查，也有解
答题的综合压轴考查，分值占比在5分至22分之间，是高考的重点与难点板块.
2. 命题角度与特色
（1） 核心考点：重点考查三角函数的图象与性质（如单调性、奇偶性、对称性、周
期性）的综合应用，常结合交点个数、最值条件等求参数（如ω、φ）的值或范围.
（2） 命题趋势：从单一的性质考查向多性质融合转变，常与三角恒等变换、导数工
具结合，在解答题中作为压轴题的一部分出现，对逻辑推理和代数变形能力要求较高.
（3） 试题特点：综合性强，思维跨度大.试题往往具有较强的抽象性，要求考生具
备严密的逻辑推理能力、分类讨论思想以及熟练运用整体代换法破局的能力.
3. 备考策略（1） 扎实掌握正弦、余弦、正切函数的图象与基本性质，熟练运用整体代换法处理
含参三角函数的零点、交点、单调区间及对称性问题.
（2） 强化数形结合思想，在处理交点个数、极值点分布等问题时，善于利用图象直
观分析参数的边界条件，列出严密的不等式组.
（3） 提升综合解题能力，熟练掌握三角恒等变换技巧，并能结合导数工具处理复杂
的三角函数最值与恒成立问题.
二、知识清单
1. 三角函数的周期与对称性基本性质
（1） 周期公式：函数f(x)=Asin(ωx+φ)与f(x)=Acos(ωx+φ)（ω>0）的最小正周
2π
期T= .
ω
（2） 对称轴与对称中心：
π
① f(x)=Asin(ωx+φ)（ω>0）的对称轴方程为ωx+φ=kπ+ （k∈Z），对称中心
2
kπ-φ
坐标为( ,0)（k∈Z）.
ω
T T
② 相邻两条对称轴之间的距离为 ；相邻两个对称中心之间的距离为 ；相邻的对
2 2
T
称轴与对称中心之间的距离为 .
4
（3） 已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为
2n+1 2n+1 (2n+1)π
T（n∈N），则 T= =|b-a|（其中a,b分别为对称轴与对称中心的
4 4 2ω
横坐标）.
2. 三角函数的单调性与极值点分布
π
（1） 极值点位置：f(x)=Asin(ωx+φ)（ω>0）取得最大值时，ωx+φ=2kπ+ （
2
π
k∈Z）；取得最小值时，ωx+φ=2kπ- （k∈Z）.
2
（2） 单调区间长度限制：已知单调区间(a,b)，则该区间长度不超过半个周期，即
T
|a-b|≤ .
2
3. 三角函数在给定区间内的零点个数问题
（1） 函数f(x)=Asin(ωx+φ)（ω>0）在区间(a,b)内没有零点，则满足：T
{|b-a|≤
T 2
{|b-a|≤
2 kπ-φ
⇒ a≥
kπ≤aω+φ<π+kπ ω
kπ<bω+φ≤π+kπ π+kπ-φ
b≤
ω
（2） 函数f(x)=Asin(ωx+φ)（ω>0）在区间[a,b]内没有零点，则满足：
T
{|b-a|<
T 2
{|b-a|≤
2 kπ-φ
⇒ a>
kπ<aω+φ<π+kπ ω
kπ<bω+φ<π+kπ π+kπ-φ
b<
ω
（3） 函数f(x)=Asin(ωx+φ)（ω>0）在区间(a,b)内有2个零点，则满足：
T 3T
{ ≤|b-a|<
T 3T 2 2
{ ≤|b-a|<
2 2 kπ-φ kπ+π-φ
⇒ <a≤
kπ<aω+φ≤π+kπ ω ω
2π+kπ≤bω+φ<3π+kπ (k+2)π-φ (k+3)π-φ
≤b<
ω ω
（4） 函数f(x)=Asin(ωx+φ)（ω>0）在区间(a,b)内有3个零点，则满足：
T<|b-a|≤2T
{
{
T<|b-a|≤2T kπ-φ
≤a<
(k+1)π-φ
kπ≤aω+φ<π+kπ ⇒ ω ω
3π+kπ<bω+φ≤4π+kπ (k+3)π-φ (k+4)π-φ
<b≤
ω ω
（5） 函数f(x)=Asin(ωx+φ)（ω>0）在区间(a,b)内有n个零点，则满足：
(n-1)T (n+1)T
{ ≤|b-a|<
2 2
kπ-φ kπ+π-φ
≤a<
ω ω
(k+n)π-φ (k+n+1)π-φ
<b≤
ω ω
（6） 函数f(x)=Asin(ωx+φ)（ω>0）在区间[a,b]内有n个零点，则满足：
(n-1)T (n+1)T
{ ≤|b-a|<
2 2
kπ-φ kπ+π-φ
<a≤
ω ω
(k+n)π-φ (k+n+1)π-φ
≤b<
ω ω三、典题精练
考点一：零点与交点问题
考法1：根据区间内零点（或交点）个数求参数范围
π π
例1.（2025·衡水中学·检测）已知函数f(x)=2sin(ωx+ )-❑√3(ω>0)在[0, ]上有三个零
4 2
点，则ω的取值范围为（ ）
25 29 23 31 25 29 23 31
A. [ , ) B. [ , ) C. [ , ] D. [ , ]
6 6 6 6 6 6 6 6
考法2：结合图象平移与零点（或交点）个数求参数范围
π
例2.（2026·黄冈·9月调研）已知函数f(x)=4sin(ωx+ )cosωx-❑√3(ω>0)的最小正周期
3
为π.
（1）求ω的值；
π
（2）将函数f(x)的图象先向左平移 个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数
6
y=g(x)的图象，若g(x)在区间[0,m]上有且仅有3个零点，求m的取值范围.
考法3：结合零点与单调性、周期性求参数范围
π π
例3.（2026·衡水·4月检测）若 为函数f(x)=sin(ωx+ )(ω>0)的一个零点，且f(x)的最
2 6
小正周期T∈(π,2π)，则ω的值为（ ）
5 4 5 7
A. B. C. D.
6 3 3 3
考法4：结合辅助角公式与零点求参数最值
例4.（2026·枣庄·一模）记函数f(x)=3sinx-4cosx-4,x∈[0,π]的两个零点为x 和x ，则
1 2
sin(x +x )=（ ）
1 2
x +x 3 x +x 4
A. cos 1 2=- B. sin 1 2=
2 5 2 5
7 24
C. cos(x +x )=- D. sin(x +x )=-
1 2 25 1 2 25
【考点一 方法总结】
1. 处理三角函数在闭区间上零点个数问题，通用步骤为：化简解析式为
y=Asin(ωx+φ)+B的形式；利用整体思想求出相位ωx+φ的范围；画出基本三角函数图象，
根据零点个数卡住相位区间的右端点，列出关于ω的不等式组求解.2. 图象平移时务必注意是对自变量x本身进行加减，若x前有系数需先提取系数.处理
含参区间的零点个数问题时，直接解出零点的通式，并按大小顺序依次写出具体的零点值，
是避免漏解和错解的最稳妥方法.
3. 已知零点、极值点或对称轴求参数时，代入对应条件得到参数的通项公式（含整
数k），再利用题目给定的其他限制条件（如周期范围、参数范围等）建立关于k的不等式，
通过求整数k来确定参数的唯一值.
4. 遇到求两零点之和的问题，若方程无法直接求解，核心思想是利用函数的对称性.
找出两零点所在区间的对称轴x=x ，则必有x +x =2x ，从而将两根之和转化为已知量.
0 1 2 0
考点二：单调问题
考法5：根据给定单调区间求参数范围
π
例5.（2026·黄骅中学·一模）函数f(x)=2sin(ωx+ )(ω∈R)恒有f(x)≤f(2π)，且f(x)在
6
π π
[- , ]上单调递增，则ω=＿＿＿＿＿＿.
6 3
考法6：结合单调性与对称性求参数范围
π
例6.（2026·临泉田家炳·二模）已知函数f(x)=sin(ωx+ )(ω>0)在区间[0,π]上有且仅有
4
4条对称轴，则下列四个结论正确的是（ ）
A. f(x)在区间(0,π)上有且仅有3个不同的零点
π
B. f(x)的最小正周期可能是
4
13 17
C. ω的取值范围是[ , )
4 4
π
D. f(x)在区间(0, )上单调递增
15
【考点二 方法总结】
1. 已知函数在某区间单调，处理方法有两种：一是整体代换法，令整体相位落在基
本三角函数的单调区间内，列出不等式组；二是利用周期限制，单调区间的长度必然小于
等于半个周期，由此初步缩小参数范围，再进行验证.
2. 根据区间内对称轴（或零点、极值点）的个数求参数范围，最严谨的做法是写出
特征点的通式，转化为不等式在区间内有固定个数的整数解问题，通过卡住边界整数列出
不等式组.
考点三：最值问题
考法7：恒等变换化简求最值π
例7.（2026·黄冈·4月模拟）已知函数f(x)=2cos(ωx+ )(ω>0)，若∃x ,x ∈[0,π]，
4 1 2
f(x )f(x )=-4，则ω的最小值为（ ）
1 2
3 5 7 11
A. B. C. D.
4 4 4 6
考法8：结合区间最值与相位范围求参数
例8.（2025·衡水中学·检测）（多选）已知函数f(x)=2sinωxcosωx-2sin2ωx+1(ω∈N*
)
π π
在( , )上有最大值，无最小值，则（ ）
12 3
A. f(x)为奇函数
π π
B. f(x)在( , )上单调递增
4 2
π
C. x= 是f(x)离y轴距离最近的对称轴
8
D. f(x)的最小正周期为π
考法9：结合最值与对称轴、零点求参数
π
例9.（2026·金科大联考·2月联考）已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤ )的最小正周
2
4π π π 5π
期为T，且π<T≤ ，f(x)≤|f( )|，则f(x)在( , )上的值域为＿＿＿＿＿＿.
3 3 6 9
【考点三 方法总结】
1. 遇到三角函数值乘积或和差达到极限值的问题，通常隐含着函数在指定区间内必
须取到最值的条件.将抽象的代数关系转化为图象上最值点的覆盖问题，是解题的核心技
巧.
2. 处理开区间上的最值问题，必须严格区分开闭区间的端点能否取到最值点.有最大
π π 3π
值说明区间内部包含 +2kπ，无最小值说明区间端点不能越过- +2kπ和 +2kπ，据此
2 2 2
列出严密的不等式链是解题关键.
3. 挖掘题目中的隐含条件是解题的先决条件.形如f(x)≤f(x )或f(x)≤|f(x )|的式
0 0
子，本质上都在指明x=x 是函数的最值点，也就是对称轴所在位置.
0
考点四：极值问题
考法10：根据区间内极值点个数求参数范围
π π
例10.（2025·南阳一中·三模）已知函数f(x)=sin(ωx+ )(ω>0)在区间(0, )内恰有一个
6 2
极值点，则ω的取值范围是（ ）2 8 1 5 2 8 1 8
A. ( , ] B. [ , ) C. ( , ) D. [ , )
3 3 3 3 3 3 3 3
考法11：结合极值点与周期、对称性求参数
例11.（2024·上饶六校·5月模拟）已知函数f(x)=sinωx+❑√3cosωx(ω>0)在区间(0,π)上恰
有两个极值点x ,x ，则f(x +x )的值为（ ）
1 2 1 2
A. 1 B. ❑√3 C. -❑√3 D. 2
【考点四 方法总结】
π
1. 处理极值点个数问题，依然采用整体代换法.将极值点转化为整体相位等于 +kπ
2
的点，根据给定区间内包含此类点的个数，卡住区间的端点即可.
2. 当题目明确给出极值点、零点等特征点的个数较少时，可以直接利用整体相位等
于具体的特征值列出方程组，通过方程组的加减消元求出参数或变量之间的关系.
考点五：对称性问题
考法12：结合对称轴与零点、极值点求参数
π
例12.（2025·金科新未来·5月联考）（多选）已知函数f(x)=sin(ωx+ )(0<ω<2)的图象
6
π
关于直线x= 对称，则（ ）
2
A. f(x)在(0,4π)上有3个零点
B. f(x)在(0,4π)上有3个极值点
5π
C. f(x)的图象关于点( ,0)对称
4
3π
D. f(x)的图象关于直线x= 对称
2
【考点五 方法总结】
π
1. 已知对称轴求参数，直接代入ωx +φ=kπ+ 即可.判断函数在某区间上的零点或
0 2
极值点个数，最通用的方法是写出零点或极值点的通式x=f(k)，令其落在给定区间内，
求出整数k的个数.
考点六：性质的综合问题
考法13：综合应用周期、单调性与对称性求参数或解析式
π
例13.（2026·前黄高中·检测）已知函数f(x)=sinωxcos(ωx+ )(ω>0)的最小正周期为2π，
3
若函数f(x)在区间(x ,x )上单调递减，且2f(x )+2f(x )+❑√3=0，则|x +x |的最小值为
1 2 1 2 1 2
（ ）π π 2π 4π
A. B. C. D.
6 3 3 3
【考点六 方法总结】
1. 处理复杂的三角函数等式，和差化积公式是强有力的降维工具.将和差形式转化为
乘积形式后，即可利用零因子定律分情况讨论.同时，必须时刻关注单调区间对变量差值
范围的隐性限制.
四、高考真题
π
1.（2024·全国一卷）当x∈[0,2π]时，曲线y=sinx与y=2sin(3x- )的交点个数为（
6
）
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
π
2.（2025·全国一卷）若点(a,0)(a>0)是函数y=2tan(x- )的图象的一个对称中心，则a的
3
最小值为（ ）
π π π 4π
A. B. C. D.
6 3 2 3
π
3.（2025·全国一卷）（1）设函数f(x)=5cosx-cos5x，求f(x)在[0, ]的最大值；
4
（2）给定θ∈(0,π)，设a为实数，证明：存在y∈[a-θ,a+θ]，使得cos y≤cosθ；
（3）若存在φ使得对任意x，都有5cosx-cos(5x+φ)≤b，求b的最小值.
π
4.（2026·全国一卷）已知f(x)=2sin(ax+θ)(a∈Z,0≤θ<2π)是偶函数，f(x)在区间(0, )
2
2π
单调递增，则θ=＿＿＿＿＿＿，f( )=＿＿＿＿＿＿.
3
