第 15 讲 函数中的两边夹思想与最大值的最小值问题
【典型例题】
例1．（2024·高一·河北石家庄·阶段练习）已知 满足 ，其中 是自然对
数的底数，则 的值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【解析】设 ，则 ，
又 单调递增，所以 ，故 .
故选：B
例2．（2024·江西上饶·二模）已知实数 ， 满足 ，则 的值为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设 ， ，则
，
令 ， (m)= m<1, (m)>0, m>1, (m)<0,则 在 单调递增 单调
递减 ，
令 ， 则 单调递减， 单调递
增
由题意 ， ， ， ， ,故x+y=2
故选A
例3．（2024·高三·安徽淮北·阶段练习）已知函数 ，若对任意的实数a，b，总存在
，使得 成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由存在 ，使得 成立，故 ，
又对任意的实数a，b， ，则 ，可看作横坐标相同时，函数
与函数 图象上的纵向距离的最大值中的最小值，
又 ，作示意图如图所示：
设 ，则直线 的方程 ，设 与 相切，
则 ，得 ，有 ，
得 或 ，由图知，切点 ，则 ，
当直线 与 ， 平行且两直线距离相等时，即恰好处于正中间时，
函数 与 图象上的纵向距离能取到最大值中的最小值，
此时 ， ，故 .
故选：B
例4．（2024·山东济南·一模）已知函数 ，若对任意的正实数 ， ，总存在 ，
使得 成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 的最大值为 ，令 ，
当 时，函数 单调递减，所以 ，
因为 ，所以 ，
又由 ，解得 ，
（1）由 ，当 时， ；
当 时， ；当 时， ；（2）由 时， ；
（3）由 时， ；
综上可得： ，所以实数 的取值范围是 ．
例5．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，当 时， 的最大值
为 ，若 的最小值为4，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当绝对值内两式同号时， ，
当绝对值内两式异号时， ，
令 ， ，
所以 ， .
根据绝对值的性质，当 时， （ 时取得），当 时，
时取得最大值），所以 的最小值是4，即 ，
（也可从几何意义考虑：当 的最小值为4时， 最大值的最小值为4，几何意义是
图象上的点到直线 距离最大值的最小值为4，此时恰好有 ）；
的最大值不超过4，即 图象上的点到直线 的距离不超过
4，故 ，则 .
故选：D．
例6．（2024·高三·湖南·开学考试）设函数 ， ，其中a， .
（1）求 的单调区间；
（2）若 存在极值点 ，且 ，其中 ，求证： ；
（3）设 ，函数 ，求证： 在区间 上的最大值不小于 .
【解析】（1）若 ，则 ，
分两种情况讨论：
①、当 时，有 恒成立，此时 的单调递增区间为 ；②、当 时，令 ，解得 或 ，
当 或 时， ， 为增函数，
当 时， ， 为减函数，
故 的增区间为 ， ，减区间为 ；
（2）若 存在极值点 ，则必有 ，且 ，
由题意可得， ，则 ，
进而 ，
又 ，
由题意及（1）可得：存在唯一的实数 ，满足 ，其中 ，
则有 ，故有 ；
（3）设 在区间 上的最大值M， 表示x、y两个数的最大值，
下面分三种情况讨论：
①当 时， ，
由（1）知 在区间 上单调递减，
所以 在区间 上的取值范围是 ，
因此
，所以 。
②当 时， ，
由（1）、（2）知， ， ，
所以 在区间 上的取值范围是 ，因此
，
③当 时， ，
由（1）、（2）知， ， ，
所以 在区间 上的取值范围是 ，
因此
，
综上所述，当 时， 在区间 上的最大值不小于 .
【过关测试】
一、单选题
1．（2024·高一·浙江丽水·期末）设 ， ，（ ）
A．若 恒成立，则 B．若 ，则 恒成立
C．若 恒成立，则 D．若 ，则 恒成立
【答案】C
【解析】将 化简为 由 与 符号相同，分 恒成立与
恒成立进行讨论可得答案.由题意得：
，
易得： 与 符号相同，若 恒成立，则 恒成立，
设 ，可得 ，可得 ，故 ，
同理：若 恒成立，则则 恒成立，
可得： ，故 ，
故选：C.
2．（2024·高三·全国·专题练习）设函数 ，若对任意的正实数 ，总存在 ，使得
，则实数 的取值范围为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对任意的正实数 ，总存在 ， ，使得 ， ， ．
令 ， ， 函数 在 ， 单调递减，
∴ （1） ， （4） ．
① 时， ，则 ．
② 时， ， ，则 ．
③ 时， ， ，则 ．
④ 时， ，则 ．
综上①②③④可得： ，即 ．
实数 的取值范围为 ， ．
故选：D．
3．（2024·高三·浙江·阶段练习）若不等式 对 恒成立，则 的值等于
（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【解析】当 或 时， ，
当 时， ，
当 或 时， ，当 时， ，
设 ，则 在 上单调递减，在 上单调递增，
且 的图象关于直线 对称，
，
，即 ，又 ，故 ．
．
故选：B．
4．（2024·高一·浙江温州·开学考试）若不等式 对 上恒成立，则（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】先求得 ,由 ,则 或 ,即当 时, ,根据题
意,当 时, ,设 ,由其单调性可知 的两个根应为 和 ,进
而求解即可由题,令 ,则 ,
当 时, ；当 时, ,
由正弦型函数可知,当 时, ,
因为不等式 对 上恒成立,
所以当 时, ,
设 ,则 在 上单调递减,在 上单调递增,
所以 的两个根应为 和 ,
即 ,解得 ,
所以 ,
故选:A
5．（2024·高一·浙江嘉兴·期末）若不等式 对 恒成立,则 =
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】不等式 对 恒成立,即 时 的正负情况与
的正负情况一致，得出 的根，即可求解.由题：不等式 对恒成立,
当 时， ，所以 ，
当 时， ，所以 ，
当 时， ，所以 ，
所以 和 时， ，
即 ，解得： ，
检验当 时，
在 大于等于0，在 时，小于等于0，在 大于等于0，
所以 .
故选：A
6．（2024·高二·浙江温州·期末）若不等式 对任意的 恒成立，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】B
【解析】由选项可知 ，故原不等式等价于
，
当 时，显然不满足题意，故 ，
由二次函数的性质可知，此时必有 ，即 ，
故选：B
7．（2024·高三·全国·专题练习）若不等式 对任意的 恒成立，则（ ）
A． B． ， C． ， D．
【答案】B
【解析】 对任意 恒成立，当 时，不等式等价为 ，即 ，
当 时， ，此时 ，则 ，
设 ， ，
若 ，则 ，
函数 的零点为 ，则函数 在 上 ，此时不满足条件；
若 ，则 ，而此时 时， 不满足条件，故 ；
函数 在 上 ，则 上 ，
而 在 上的零点为 ，且 在 上 ，
则 ， 上 ，
要使 对任意 恒成立，
则函数 与 的零点相同，即 ，
，
故选：B
8．（2024·高一·浙江杭州·期末）若不等式 对任意实数 恒成立，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】D
【解析】当 时，即 时， 恒成立，
所以 恒成立，所以 且 ；
当 时，即 时， 恒成立
所以 或 恒成立，所以 且 ，综上，
故选：D.
9．（2024·高二·浙江湖州·期末）若存在正实数x，y使得不等式 成立，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】记 ，
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
．
记 ，
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ．
由题意 ，
又因为 ，所以 ，
故 ．
故选：D.
10．（2024·高一·浙江·期末）已知函数 ，当 时，设 的最大值为
，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【解析】考虑 ，1，2的函数值的范围，运用绝对值不等式的性质，即可得到所求最小值．函数，当 , 时， 的最大值为 ，
可得 ， ， ，
可得 , , ,
，
即 ，即有 ，则 的最小值为 ，
故选：B
11．（2024·高一·湖北·阶段练习）设函数 ，若对任意的实数a，b，总存在 使
得 成立，则实数 的最大值为（ ）
A．－1 B．0 C． D．1
【答案】C
【解析】由已知得
设构造函数 满足 ，即 ，解得 ，
则 ，令 ，
则函数 可以理解为函数 与函数 在横坐标相等时，纵坐标的竖直距离，
∵ ，且 （当且仅当 时取等号），
∴若设直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，由此可知当 ，直线 位于直线
和直线 中间时，纵坐标的竖直距离取得最大值中的最小值，故 ，
所以实数 的最大值为 .
故选： .
12．（2024·高一·浙江丽水·阶段练习）已知函数 ，若 在定义域
上恒成立，则 的值是（ ）A．－1 B．0 C．1 D．2
【答案】D
【解析】由题设，f（x）定义域为
令 ，可得 或
∴ 在 上 ，在 上 ，
若 ，
∴要使 在定义域上恒成立，则在 上 ，在 ]
上 ，
∴ 或 也是g（x）的零点，则：
，无解； ，解得： ； ，无解.
∴
故选：D
13．（2024·高一·浙江温州·期末）已知函数 ，若 在定义域上恒
成立，则 的值是（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
【答案】C
【解析】由题设， 定义域为 ，
令 ，可得 或 ，
∴ 在 上 ，在 上 ，
若 ，
∴要使 在定义域上恒成立，则在 上 ，在 上
，
∴ 或 也是 的零点，则：
，无解； ，可得 ； ，无解；
∴ .
故选：C.14．（2024·高三·北京丰台·期末）已知函数 ，当 时，记函数 的最大值为
，则 的最小值为（ ）
A．3.5 B．4
C．4.5 D．5
【答案】C
【解析】易判断函数 为偶函数，根据偶函数的性质，问题转化为求函数 ，
上的最大值 .
当 时， ，二次函数的对称轴为 ，函数在 上单调递增，所以
；
当 时， ，
因为 ，所以 在 上递增，在 上也是递增，
所以 ；
当 时， ，
因为 ，所以 在 上递增，在 上递减，在 上递增，
所以 或 ，
若 ，则 ；
若 ，则 ;
当 时， ， （因为 ），
所以函数 在 上递增，在 上递减，所以 .
综上可知： 的最小值为 .
故选：C
二、填空题
15．（2024·江西赣州·模拟预测）已知函数 ，当 时记 的最大值为
，则 的最小值为
【答案】【解析】对 去绝对值可得 的最大值为 或
，两式相加可得 ，利用绝对值三角不等式即
可求最值，进而可得答案.对 去绝对值可得 ①，
当 ， 的最大值为 ，
②， ， 的最大值为 ，
③， ， 的最大值为
，
④， ， 的最大值为
，
所以 的最大值为 或 ，
， ，
，
所以 ，
故答案为：
16．（2024·高一·上海·开学考试）设 ，若 时均有 ，则 ．
【答案】0
【解析】当 时，显然 成立，此时 ；
当 时，由 成立，得 成立，
， ，
当 时，由 成立，得 成立，
， ，
时均有 ， ．
故答案为：0．17．（2024·高一·辽宁·阶段练习）设 ，若 时均有 ，则
.
【答案】 /0.75
【解析】①当 时， ，显然不满足题意；
②当 时，构造函数， ，
它们都经过定点 ，
考查函数 ，令 ，得 ，所以 ，
考查函数 ，显然过点 ，代入得 ，
解得， 或 （舍去），
故答案为：
18．（2024·高三·浙江金华·阶段练习）已知 ，满足 在定义域上恒成立，
则 的值为 ．
【答案】0.
【解析】令 ，解得 或 ，
依题意，函数 的零点也为 或 ，（因为 的值域为 ，若函数
的零点不为 或 ，则 必有解，则与题设矛盾．
即 ，解得 ．
经检验， 符合题意．
故答案为：0．
19．（2024·高三·江苏苏州·阶段练习）对任意的 ，不等式 恒成立，则实数 .
【答案】
【解析】由题意可知： 且 成立，则 ，
因为对任意的 ，不等式 恒成立，
也即 在 上恒成立，
记 ，则 在 上单调递增，
当 时， ，即 恒成立，则 ，所以
，解得： ；
当 时，不等式显然成立；
当 时， ，即 在 恒成立，
则 ，因为 在 上单调递减，所以 时，
，解得： ，
因为对任意的 ，不等式 恒成立，
则综上可知：实数 的值为 .
故答案为： .
20．（2024·浙江·二模）已知 ， ，若对任意 ，不等式 恒成立，则
的最小值为 ．
【答案】
【解析】设 ， ，
图象是开口向上的抛物线，因此由 时， 恒成立得 ，
时， ， 时， ， 时， ，
因此 时， ， 时， ， ，
所以 ①， ②，
由①得 ，代入②得 ，因为 ，此式显然成立．，当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 的最小值是 ．
故答案为： ．
21．（2024·浙江·模拟预测）已知函数 ．记 的最大值为 ，则
的最小值为 ．
【答案】
【解析】由题意可知， 是偶函数，
当 时， ，
根据偶函数的性质可知， 在 上的最大值为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，即 的最小值为 .
故答案为： .
22．（2024·浙江·一模）设函数 ，当 时，记 的最大值为
，则 的最小值为 .
【答案】
【解析】去绝对值，则 ，根据二次函数的性质
所以 在 的最大值为 ， ， ， 中之一，
所以可得 ，
，
，，
上面四个式子相加可得
即有 ，
可得 的最小值为 .
故答案为： .
23．（2024·高三·全国·专题练习）设 ，若对于 ， 都成立，则
．
【答案】 /8.5
【解析】 ，
设 ， ， ， ， ，
则函数等价 ， ， ，
若于 ， ， 都成立，
即于 ， ， 都成立，
即 恒成立，
设 ，
,
得 ，即 ，
另一方面 ，可得 ，
从而 ，所以 .
故答案为： .
三、解答题
24．（2024·高一·湖北黄石·阶段练习）已知二次函数 满足：①对任意实数x，
都有 ；②当 时，有 成立.
(1)求证： ；
(2)若 ，求函数 的解析式；
(3)在（2）的条件下，若对任意的实数 ，有 恒成立，求实数m的取值范围.
【解析】（1）证明：由题意知，当 时， 成立，
令 ，则有 ，
所以 ；
（2）由（1）知， ，
又 ，所以 ， ，
由 ，即 在 上恒成立，
所以 ，且 ，即 ，所以 ，
所以 ，
所以 ；
（3）在（2）的条件下， 可化为 ，
即对任意的实数 ， 恒成立，
当 时， ，符合题意，此时 ；
当 时， 即对任意的实数 ， ，
即 在 上恒成立，所以 ，综上所述， .
25．（2024·高一·湖南常德·期末）已知二次函数 （ 为实数）
(1)若 的解集为（1，2），求不等式 的解集；
(2)若对任意 ， 时， 恒成立，求 的最小值；
(3)若对任意 ， 恒成立，求ab的最大值．
【解析】（1）依题意知， ，且方程 的两根为1，2
由根与系数间的关系得 ，则 ．
故不等式
解得： ，即原不等式的解集为 ．
（2）因为 时， 恒成立，
故得 ，那 ，即 ，
所以 （当且仅当 时等号成立）
（3）令 ，则 ，所以 ．
对任意 ，恒成立，
所以 恒成立．
所以 且
所以 ，此时 ，
因此 ，当且仅当 时等号成立，此时 ，（或
）
验证， 成立
故ab的最大值为 ．
26．（2024·高三·全国·专题练习）已知函数 ， ， ．若对任意 ，总有
成立，求 ， 的值.【解析】由题意，若对任意 ， ，总有 成立，
则对任意 ， ，总有 成立，即总有 成立，
所以总有 成立，
可得函数 夹在函数 和 之间，
又 经过点 ， ，
设经过 ， 两点的直线 ，
，解得 ， ，
此时直线为 ，
又 ，可得 ，解得 ，只有一个根，
所以直线 与 相切，
所以 是夹在 和 之间的唯一直线，
所以 ， ．
27．（2024·高二·上海浦东新·阶段练习）设函数 ，其中a，b为实常数．
(1)若 ，求 的单调区间；
(2)若 存在极值点 ，且 其中 ．求证： ；
(3)设 ，函数 ，求证： 在区间 上的最大值不小于 ．
【解析】（1）由 ，可得 ．
令 得 或 ，所以 的单调递增区为 ， ，
令 得 ，所以 的单调递减区为 ；
（2）证明：因为 ＝ ，所以 ，当 时， ，所以 的增区间是 ，
当 时，令 ，得 或 ，
当 或 时， ，
当 时， ，
所以 的增区间是 ，减区间是 ，
因为 存在极值点，所以 ，且 ，
由题意，得 ，
即 ，进而 ，
又
，
即为 ，即有 ，即为 ；
（3）设g 在区间[0,2]上的最大值为M， 表示 中最大值，
下面分三种情况讨论：
当 时， ，由（2）知： 在 递减，
所以 在 上的取值范围是 ，
所以 ，
，
所以 ，
当 时， ，
由（2）知： ，
所以 在 上的取值范围是 ，所以
，
当 时， ，
由（2）知： ，
所以 在 上的取值范围是 ，
所以 ，
综上：当 时，g 在区间[0，2]上的最大值不小于 .
