文档内容
第 01 讲 三角形的概念、与三角形有关的线段
知识点1：三角形的概念
知识点2：三角形的分类
知识点3：三角形的三边关系
知识点4：三角形的稳定性
知识点5：三角形的三种重要线段
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形；
记作：△ABC，如图：其中：线段 AB，AC，CA 是三角形的边，A，B，C 是
三角形的顶点，∠A，∠B， ∠C 是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，
简称三角形的角．
【题型1三角形的概念】
【典例1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，根据图形填空．
（1）以BD为边的三角形是 ；（2）△AED的三个内角是 ，其中∠ADE的对边是 ；
（3）以∠C为一个内角的三角形是 ；
（4）图中共有 个三角形．
【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）图中以BC为边的三角形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，以AD为高的三角形共有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【变式3】（2025·浙江杭州·一模）若△ABC是锐角三角形，且∠A=60°，则∠B可能的
度数是（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
等腰三角形：在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰
的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。【题型2 三角形的分类】
【典例2】（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，
其中不能判断三角形类型的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2025九年级下·河北·专题练习）如图，一张三角形纸片被不小心撕掉一个角，
则这个三角形是（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形
【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）三角形按边可以分为： 三角形和不等
边三角形；按角分为： 三角形、 三角形和钝角三角形．
三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。
【拓展：三边关系的运用】
①判断三条线段能否组成三角形；
②当已知三角形的两边长时，可求第三边的取值范围。
【题型3 构成三角形的条件】
【典例3】（2025·江苏连云港·中考真题）下列长度（单位：cm）的3根小木棒能搭成三角
形的是（ ）A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，5，8 D．4，5，10
【变式1】（24-25九年级下·江苏淮安·期中）如图，为了估计池塘两岸A，B间的距离，在
池塘的一侧选取点P，测得PA=20米，PB=17米，那么A，B间的距离不可能是
（ ）
A．40米 B．32米 C．13米 D．25米
【变式2】（2025·江苏南通·二模）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．3，4，9 B．3，4，8 C．3，4，7 D．3，4，6
【变式3】（24-25九年级下·贵州毕节·阶段练习）一个三角形的两边长分别是2cm，5cm，
则第三边的长可能是下面的（ ）
A．2cm B．3cm C．5cm D．7cm
【题型4 三角形三边关系的应用】
【典例4】（24-25七年级下·广东揭阳·阶段练习）已知：△ABC的三边长分别为a，b，
c．
(1)化简：|a+b+c|-|a+b-c|+|a-b-c|-|-a-b+c|；
(2)若a，b，c满足 ，试判断 的形状．
|b-c|+(a-c) 2=0 △ABC
【变式1】（24-25七年级下·山东日照·阶段练习）已知△ABC的三边长分别为1，4，a，
化简：|a-2|-|a-1|+|a-6|．
【变式2】（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）已知△ABC的三边长分别为a，b，c，
且a，b，c都是整数．
(1)若a=2，b=5，且c为奇数，求△ABC的周长．
(2)化简：|a-b+c|+|b-c-a|．①三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。三角形具有
稳定性，而四 边形没有稳定性。
②三角形的稳定性有广泛的运用：桥梁、起重机、人字形屋顶、桌椅等
【题型5 三角形的稳定性】
【典例5】（24-25八年级上·四川泸州·阶段练习）木工在做完门框后，为防止门框变形，
常像如图的方式斜拉两个木条，这样做的数学道理（ ）
A．两点之间线段最短 B．矩形的四个角时直角
C．三角形的稳定性 D．长方形的对称性
【变式1】（24-25八年级上·福建厦门·期中）下列生活实物图形中，不是运用三角形的稳
定性的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（八年级上·山东德州·期中）经常开窗通风，可以有效地利用阳光和空气中的紫
外线杀死病菌，清除室内空气中的有害气体，净化空气，如图，一扇窗户打开后，用
窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是（ ）A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
【题型6 三角形的高】
【典例6】（24-25七年级下·贵州贵阳·阶段练习）下列能表示△ABC的边BC上的高的是
（ ）
A． B．C． D．
【变式1】（2025·河北唐山·三模）嘉嘉同学用三角板作△ABC的边AC上的高，下列三角
板摆放位置正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，四个图形中，线段BE是△ABC的高的
图是（ ）
A． B．
B．C． D．
【变式3】（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）如图，已知AB⊥BD于点B，
AC⊥CD于点C，AC与BD交于点E，△ADE的边AE上的高为 .【题型7 利用三角形的中线求长度】
【典例7】（24-25七年级下·重庆·期中）在△ABC中，AB=AC,AB边上的中线CD把
△ABC的周长分成24和12的两部分，则AB的长是（ ）
A．16 B．8 C．16或8 D．8或4
【变式1】（2025·甘肃平凉·二模）如图，△ABC的周长是16，AD是BC边上的中线，
AB=6，CD=3，则△ABD与△ACD的周长之差为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【变式2】（2025·陕西西安·一模）如图，在周长为20cm的△ABC中，AD是边BC上的中
线，已知CD=4cm，AC=7cm，则AB的长为（ ）
A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm
【变式3】（2025·河南平顶山·模拟预测）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E是
边BC的中点，AD=8，S =48，则BE的长为 ．
△ABC【题型8 利用三角形的中线求面积】
【典例8】（24-25七年级下·河北秦皇岛·阶段练习）如图，在△ABC中，D，E，F分别
是 的中点， ，则 等于（ ）
BC，AD，CE S =4cm2 S cm2
△ABC △BEF
A．2 B．1 C．0.5 D．0.25
【变式1】（24-25七年级下·辽宁本溪·期中）如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的
中线，若△ABC的面积为12，则△CDE的面积为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【变式2】（2025·广东·二模）如图， 在△ABC中， D， E分别是AB，BC的中点． 若
△BDE的面积是1，则△ACD的面积是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式3】（24-25七年级下·内蒙古包头·期中）如图，已知△ABC的面积为1，分别延长
BC至点D，使CD=BC，延长CA至点E，使AE=AC，延长AB至点F，使BF=AB，
依次连接DE，EF，FD，则阴影部分的面积为 ．一、单选题
1．（24-25八年级上·安徽淮南·期末）若三个内角的比为2：5：3，则△ABC的形状是
（ ）
A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
2．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列关于三角形按边分类的图示中，正确的是（
）
A． B． C． D．
3．（24-25七年级下·全国·单元测试）将两块三角板按如图方式叠放在一起，以BC为边的
三角形共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）如图，△ABC被木条遮住了一部分，只露出∠A，
则∠B与∠C可能是（ ）
A．一个直角，一个锐角 B．两个钝角C．一个钝角，一个锐角 D．两个锐角
5．（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）以下列各组数为边，能组成三角形的是（ ）
A．2,3,5 B．4,3,8 C．7,7,16 D．5,7,7
6．（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）如图，我们可以看到跪姿射击的动作，由左手、
左肘、左肩构成的托枪姿势可以使射击者在射击过程中保持枪的稳定，这里蕴含的数
学道理是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．三角形的任意两边之和大于第三边
C．两点确定一条直线
D．三角形的稳定性
7．（24-25八年级上·福建·期中）如图，在△ABC中，AB=7，AC=5，AD是△ABC的
中线，则△ABD与△ADC的周长之差为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．（2017·北京平谷·二模）用直角三角板，作△ABC 的高，下列作法正确的是（ ）
A． B． C． D．二、填空题
9．（24-25七年级上·山东济南·期末）如图，直线l经过A，B，C，D，E五点，点P是直
线l外一点，连接PA，PB，PC，PD，PE，则共有 个三角形．
10．（2025七年级下·全国·专题练习）若a，b，c是△ABC的三边，试化简：
|a-b-c|+|a+b-c|= ．
11．（七年级下·上海·期中）已知三角形的三条边长分别是5cm，7cm，x cm，那么这个三
角形的第三边x的长度的取值范围是 ．
12．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，D是△ABC的边BC上任意一点，E、F分
别是线段AD、CE的中点，且△ABC的面积为20cm2，则△BEF的面积是
cm2．
三、解答题
13．（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的
中线．
(1)已知AB-AC=5cm，△ABD的周长为25cm，求△ADC的周长；(2)在△AEB中作AE边上的高；
(3)若△ABC的面积为40，AE=5，则点B到AE边的距离为多少？
14．（23-24八年级上·安徽合肥·单元测试）在△ABC中，AB=7,BC=2．
(1)求AC长度的取值范围；
(2)若△ABC的周长为偶数，求△ABC的周长，并判断此时△ABC的形状．
