文档内容
第 11 讲 函数【9 个必考点】
【人教版】
【知识点1 常量和变量】..........................................................................................................................................1
【必考点1 常量和变量的判断】..............................................................................................................................1
【知识点2 函数的概念和函数值】..........................................................................................................................2
【必考点2 函数的概念】..........................................................................................................................................2
【知识点3 函数自变量的取值范围】.....................................................................................................................3
【必考点3 函数自变量的取值范围】.....................................................................................................................4
【知识点4 函数的表示方法】..................................................................................................................................4
【必考点4 求函数的解析式】..................................................................................................................................5
【必考点5 根据列表法解决实际问题】.................................................................................................................5
【必考点6 根据情景确定函数的图象】.................................................................................................................6
【必考点7 根据函数图象获取信息】.....................................................................................................................9
【必考点8 画函数图象】........................................................................................................................................11
【必考点9 动点问题的函数图象】.......................................................................................................................14
【知识点1 常量和变量】
1.变量：在一个变化过程中，数值 发生变化 的量称为变量。
2.常量：在一个变化过程中，数值 始终不变 的量称为常量。
变量与常量一定存在于一个变化过程中，有时可以相互转化。
【必考点1 常量和变量的判断】
【例1】对于圆的面积公式S＝ r2，下列说法中正确的是（ ）
A． 是变量 π B．r2是常量
C．Sπ， ，r都是变量 D．S，r是变量
【变式1】π某水库蓄满水时的水位高度为150m，现以每秒40立方米的速度开闸放水．放水过程中，水库
的水位高度为h（m），放水时间为t（s），则150和t分别是（ ）
A．常量，常量 B．变量，变量 C．变量，常量 D．常量，变量
【变式2】一个长方形的面积是10cm2，其长是a cm，宽是b cm，下列判断正确的是（ ）
A．常量为10、a，变量为b B．常量为10，变量为a、b
C．常量为10、b，变量为a D．常量为a、b，变量为104
【变式3】球的体积是V，球的半径为R，则V = πR3 ，在这个公式中，变量是（ ）
3
A．V， ，R B． 和R C．V和R D．V和
【知识点2π 函数的概念和函π数值】 π
1.函数的概念：
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 和 ，并且对于 的每一个确定的值， 都有 唯一
确定 的值与之对应，那么我们就说 是 自变量 ， 是 的 函数 ，又称因变量。
说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生
变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应。
2.函数值：
在一个函数中，若存在 时 ，则 就是自变量为 时的 函数值。
【必考点2 函数的概念】
【例1】下列图象中，表示y是x的函数的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【例2】下面选项中给出了某个变化过程中的两个变量x和y，其中y不是x的函数的是（ ）
A．y：正方形的面积，x：这个正方形的周长
B．y：正方形的周长，x：这个正方形的边长
C．y：圆的面积，x：这个圆的直径
D．y：一个正数的平方根，x：这个正数
1
【变式1】下列式子：①y＝3x﹣5②y= ③y=❑√x−1④y2＝x⑤y＝|x|其中y是x的函数的个数是（
2
）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式2】下列曲线中．表示y是x的函数的是（ ）
A． B．C． D．
【变式3】下列关于两个变量关系的四种表达式中，正确的是（ ）
①圆的周长C是半径r的函数；
②表达式y=❑√x中，y是x的函数；
③如表中，n是m的函数；
m ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3
n ﹣2 ﹣3 ﹣6 8 3 2
④如图中，曲线表示y是x的函数．
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④
【知识点3 函数自变量的取值范围】
1.自变量的取值范围：
在函数表达式中，自变量的取值必须使相应的函数表达式有意义。
2.常见的几种函数解析式中自变量的取值范围：
①整式型函数表达式：自变量取值范围为 一切实数 。
②分式型函数表达式：自变量取值范围为 分母不为 0 的一切实数 。
③根式型函数表达式：自变量取值范围为 被开方数大于等于 0 的一切实数 。
④零次幂与负整数指数幂函数表达式：自变量取值范围为 底数不为 0 的一切实数 。
3.在实际问题中与几何图形中的自变量取值：
在实际问题与几何图形中，既要满足函数表达式有意义，也要满足实际问题的实际意义，还要满足几
何图形的几何意义。
【必考点3 函数自变量的取值范围】
1 1
【例1】在函数y= + 中，自变量x的取值范围是 ．
❑√3+x x+21
【例2】在函数y= +(x−3) 0中，自变量x的取值范围是 ．
❑√x+2
【变式1】函数 x−(x−1) 0的自变量x的取值范围是 ．
y=
❑√x+2
【变式2】函数y＝（x+2）﹣1+（x﹣3）0中，自变量x的取值范围是 ．
❑√x+1
【变式3】函数y= 的自变量x的取值范围是 ．
| x|−2
❑√12−2x
【变式4】函数y= 的自变量x的取值范围是 ．
1−❑√x
【知识点4 函数的表示方法】
1.解析式法：
定义：用含有 自变量 x 的式子来表示函数的方法叫做解析式法。
优点：能准确的反应整个变化过程中两个变量的关系。
缺点：对于一些特点的函数关系无法用解析式法表达。
判断式子是否为函数关系，需判断一个自变量是否只能求出唯一的函数值。
2.列表法：
定义：把一系列 自变量 x 的值与对应的 函数值 y 列成一个表来表示函数关系的方法。
优点：可以由表格知道的已知自变量的相应函数值。
缺点：自变量的值不能一一列出，也不容易看出两个变量之间的对应关系。
3.图像法：
定义：用图像来表示函数关系的方法。
优点：能直观形象的表达函数关系。
缺点：有些图像只能得到近似的函数关系，不能得到确定的函数关系。
判断图像是否为函数图像需确认一个自变量是否对应一个函数值。即作x轴的垂线，与图像只能有一
个交点。
【必考点4 求函数的解析式】
【例1】某城市有一类出租车，计费规定如下：行驶里程不超过3千米，付费14元；超过3千米且不超过
15千米的部分，每千米付费2.50元．某人乘该类出租车行驶了x（3＜x≤15）千米，则乘车费用y
（元）关于里程数x（千米）的函数解析式为 ．
【例2】等腰三角形的周长是60cm，底边长是x cm，一腰长为y cm，则y与x之间的函数解析式为
，自变量x的取值范围是 ．
【变式1】某超市“6.18”期间做促销优惠活动，凡一次性购物超过 100元以上者，超过100元的部分按8.5折优惠．小宇在此期间到该超市为单位购买单价为60元的办公用品x件（x＞2），则应付款y元
（元）与商品件数x的关系式是 ．
【变式2】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，点D是AC边上的动点，且点D从点C向
点A运动．若设CD＝x，△ABD的面积为y，则y与x之间的关系式为 ．
【变式3】一辆汽车油箱内有56升汽油．从某地出发，平均每行驶1千米，耗油0.07升．设油箱内剩油量
为y（升），行驶路程为x（千米），且y随x的变化而变化．
（1）直接写出y与x的关系式．
（2）写出自变量x的取值范围．
（3）求这辆汽车行驶350千米时，剩油多少升？
【变式4】在平面直角坐标系中，点A（10，0），第一象限内一点P（x，y）满足x+y＝8，设△AOP的面
积为S．
（1）求S关于x的函数解析式并直接写出自变量的x取值范围；
（2）若20＜S＜30，直接写出整数x的值为 ．
【必考点5 根据列表法解决实际问题】
【例1】我国首辆火星车正式被命名为“祝融”，为应对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温材料﹣
﹣纳米气凝胶，该材料导热率K（W/m•K）与温度T（℃）的关系如表：根据表格中两者的对应关系，
若导热率为0.5W/m•K，则温度为 ℃．
温度T（℃） 100 150 200 250 300
导热率K（W/m•K） 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35
【变式1】某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据（如表）：
温度/℃ ﹣20 ﹣10 0 10 20 30
声速/m/s 318 324 330 336 342 348
当空气温度为﹣10℃时，声音经过5s可以传播的路程是 米．
【变式2】随着杭州亚运会的临近，吉祥物的生产也进入“白热化”阶段，某工厂每名缝纫工生产标准吉
祥物的数量y（个）与生产天数x（天）之间的关系如表：生产天数x/天 1 2 3 4 5 …
生产数量y/个 30 60 90 120 150 …
则一名缝纫工生产240个标准的杭州亚运会吉祥物需要 天．
【变式3】声音在空气中传播的速度（声速）y（m/s）与温度x（℃）之间的关系如下：
温度/℃ 0 5 10 15 20
声速/（m/s） 331 334 337 340 343
从表中可知声速y随温度x的增大而 ．在温度为20℃的一天召开运动会，某人看到发令枪的烟
0.1s后，听到了枪声，则由此可知，这个人距离发令枪 m．
【必考点6 根据情景确定函数的图象】
【例1】如图，一个圆柱体水槽底部叠放两个底面半径不等的实心圆柱体，向水槽匀速注水．下列图象能
大致反映水槽中水的深度h与注水时间t的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【例2】小明某次从家出发去公园游玩的行程如图所示，他离家的路程为 S（m），所经过的时间为t
（min），下列选项中的图象，能近似刻画S与t之间的关系是（ ）A． B．
C． D．
【变式1】甲、乙两个杯子的容量都是200ml，甲杯盛满水，乙杯是空杯．现用8s的时间将甲杯的水匀速
倒入乙杯．两个杯子的水量之差为V（单位：ml），倒水的时间记为t（单位：s），则下列表示V与t
之间函数关系的图象正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】向一个容器内匀速地注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度 h随时间t的变化规律如
图所示．这个容器的形状可能是图中的（ ）
A． B． C． D．
【变式3】甲、乙两人同时从A地到B地，甲先步行到中点改骑自行车，乙先骑自行车到达中点后改为步
行．已知甲、乙两人骑车的速度和步行的速度分别相同，则甲、乙两人所行的路与所用时间的关系图正
确的是（实线表示甲，虚线表示乙）（ ）A． B．
C． D．
【变式4】晓蕾家与学校相距1000米，她从家出发匀速行走，20分钟后到达食品店，买零食用了10分
钟，接着她加快步伐匀速行走，用10分钟便到了学校．下列图象中表示晓蕾行走的路程（米）与时间
（分钟）之间的关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【必考点7 根据函数图象获取信息】
【例1】已知A，B两地相距1200米，甲和乙两人均从A地出发，向B地匀速运动，先到达终点的人停止
运动，已知甲比乙先出发3分钟，如图是甲、乙两人之间的距离y（米）和甲出发的时间x（分）之间
的关系，现有如下结论：
①乙每分钟比甲多走10米；
②乙用18分钟追上了甲；
③乙比甲早1分钟到达终点B；
④图中点Q的坐标为（24，50）．
则下列结论正确的有（ ）A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③
【例2】在一辆小汽车行驶过程中，小汽车离出发地的距离s（km）和行驶时间t（h）之间的函数关系如
图，根据图中的信息，下列说法错误的是（ ）
A．小汽车共行驶240km
B．小汽车中途停留0.5h
C．小汽车出发后前3小时的平均速度为40千米/时
D．小汽车自出发后3小时至5小时之间行驶的速度在逐渐减小
【变式1】小文家与学校相距1000米，某天小文上学时忘了带了一本书，走了一段时间才想起，于是返回
家拿书，然后加快速度赶到学校，图中是小文与家的距离 y（米）关于时间x（分钟）的函数图象，下
列说法错误的是（ ）
A．小文走了200米后返回家拿书
B．小文在家停留了3分钟
C．小文以每分钟200米的速度加速赶到学校
D．小文在第10分钟的时候赶到学校【变式2】小华和小明是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明 7：40先出发去学校，走了一段后，在途
中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公共汽车到了学校，如
图是他们从家到学校已走的路程S（米）和所用时间t（分钟）的关系图，则下列说法中错误的是（
）
A．小明家和学校距离1200米
B．小华乘公共汽车的速度是240米/分
C．小华乘坐公共汽车后7：50与小明相遇
D．小明从家到学校的平均速度为80米/分
【变式3】如图是小西骑自行车离家的距离s（km）与时间t（h）之间的关系．
（1）在这个变化过程中自变量是 ，因变量是 ；
（2）小西 时到达离家最远的地方，此时离家 km；
（3）分别求出在1＜t＜2时和2＜t＜4时小西骑自行车的速度；
（4）问小西几时与家相距20km？
【变式4】小明坐车到甲地游玩，他从家出发0.8小时后先到达乙地，在乙地逗留一段时间后继续坐车到甲
地，小明离家一段时间后，爸爸开始驾车沿相同的路线直接前往甲地．如图所示的是他们离家路程 s
（km）与小明离家时间t（h）的关系图，请根据图象回答下列问题：
（1）小明家到甲地的路程为 km，小明在乙地逗留的时间为 h；
（2）小明出发 h后爸爸驾车出发；
（3）分别求出小明爸爸驾车前往甲地这一时间段内，小明和他爸爸的平均速度．【必考点8 画函数图象】
【例1】小莉根据学习函数的经验，对函数y＝x|x﹣2|﹣3的图象与性质进行了探究．
下面是小莉的探究过程，请补充完整：
（1）下表是x与y的几组对应值．请直接写出：m＝ ，n＝ ；
x … ﹣1 0 0.5 1 1.5 2 3 4 …
y … ﹣6 m ﹣2.25 ﹣2 ﹣2.25 ﹣3 n 5 …
（2）如图所示，在平面直角坐标系中，描出上表中的点，然后用平滑的曲线连接起来，画出函数的图
象；
（3）由图象可知，当y＝﹣2.7时，对应的自变量x有 个值．
【变式1】小贤同学根据学习函数的经验，对函数y＝2﹣|x|的图象与性质进行了探究．下面是小贤的探究
过程，请完成相应的任务．
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 0 1 2 1 m …
（1）自变量x的取值范围是 ．
（2）表格是y与x的几组对应值．表格中m＝ ．（3）如图，请描出（2）中给出的对应值为坐标的点，并尝试画出该函数的图象．
（4）结合函数图象，我们发现：
①函数的最大值是 ．
②当y＞﹣1时，x的取值范围是 ．
③写出这个函数的一条性质： ．
【变式2】如图1，数轴上点O表示的数是0，点A表示的数是﹣3．
点P是数轴上一动点，表示的数是x，它与点A之间的距离AP用y表示．
（1）填写下表，在平面直角坐标系内画出y关于x的图象（图2）；
x ⋯ ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 ⋯
y ⋯ 2 1 1 2 ⋯
（2）若y＝5，则x的值是 ；
（3）下列说法正确的序号是 ；
①变量x是变量y的函数；
②y随x的增大而减小；
③图象经过第一、二、三象限；④当x＝﹣3时，y有最小值；
（4）若AP＜4OP，则x的取值范围是 ．
【变式3】有这样一个问题：探究函数y＝|x﹣1|的图象与性质．下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）函数y＝|x﹣1|的自变量x取值范围是 ；
（2）下表是x与y的几组对应值，求m的值；
x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
y … 6 5 4 m 2 1 0 1 2 …
（3）在下面网格中，建立平面直角坐标系 xOy，描出上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的
图象；
（4）小明根据画出的函数图象，得出了如下几条结论：
①函数有最小值为0；
②当x＞1时，y随x的增大而增大；
③图象关于过点（1，0）且垂直于x轴的直线对称．
小明得出的结论中正确的是 ．（只填序号）
【必考点9 动点问题的函数图象】
【例1】如图①，E为矩形ABCD的边AD上一点，点P从点B出发沿折线B﹣E﹣D运动到点D停止，点
Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s．现P，Q两点同时出发，设运动时间
为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），若y与x的对应关系如图②所示，则矩形ABCD的面积是（
）A．96cm2 B．84cm2 C．72cm2 D．56cm2
【变式1】如图1，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，P，Q两点同时从点O出发，以1
厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动．P，Q的运动路线：点P为O﹣A﹣D﹣O，点Q为O﹣C﹣B
﹣O．设运动的时间为x秒，P，Q间的距离为y厘米，y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则菱
形ABCD的面积为（ ）
A．2❑√3cm2 B．2cm2 C．❑√3cm2 D．❑√2cm2
【变式2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为斜边AB的中点，动点P从B点出发，沿B→C→A运
动，如图1所示，设S△DPB ＝y，点P运动的路程为x，若y与x之间的函数图象如图2所示，则y的最大
值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式3】如图1，四边形ABCD是平行四边形，连接BD，动点P从点A出发沿折线AB→BD→DA匀速运
动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段AP的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图
象，下列结论中不正确的是（ ）A．BD＝10
B．AD＝12
C．平行四边形ABCD的周长为44
D．当x＝15时，△APD的面积为20
