2025IHCJ-8发布版_希望杯IHC

2025 IHC J-8 中文卷 1. 用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数 a和b，规定a☆b=ab2－4ab＋5a 如：（-1）☆2＝（-1）×22－4×（-1）×2＋5×（-1）＝-1。 若 1 ( a 2 1 3 ☆ 3 ) ☆ 3 ☆ 3 ☆ 3 ☆ 3 ☆ 3 ☆ 3 ☆ 3 1 0 2 4 ，则a的值是________。 2. 已知 a，b满足 1  a  ( b  1 ) 1  b  0 ，则 a2025－b2035的值是________。 3. 在直角坐标系 xOy中，正方形 ABCD的顶点 A（8，1），B（a，b）， C（-8，-1），那么|a|＋|b|=________。 4. 已知 4 3 2 1 2 9 5 2 5 1 2 x 1 9 2 5 ，则 x=________。 5. 已知 7 a  2 0 2 5 ，2025b 7，则 1 7  a  1 7  b  ________。 6. 设关于 x的方程x2 kx70和 x 2  6 x  ( k  1 )  0 恰有1个公共根，则k的 值为________。 7. 已知点 A（－2，6），点 B（6，－2），在 x轴上找一点 P，使|AP－BP|最大， 那么满足条件的点 P的横坐标是________。 8. 如图所示的操场由一个长方形和两个半圆组成，希希在操场上玩飞盘，他在 操场中心 O点处把飞盘扔到了操场边缘的 P点，量得PA=18米，PB=24米， 那么他扔飞盘的距离 OP是________米。（结果保留整数）1 9. 如图，等腰直角△ABC 的面积是900，CD= BC，作直角△ADE，F是 DE中 3 点，过 F作FM⊥AE，再过 M作MN⊥DE，则△MNE的面积是________。 10. 已知实数x，y满足 2  2 x  4  2   y  1  2  2  2 y  x  y  1 ，则x+y =_______。 11. 已知 a+c = 2 ，b+c = 3 2 ，则代数式 ac－bc＋a2－ab的值是________。 12. 有些特殊的完全平方数可以写成连续 4 个非零自然数的乘积加1，例如25 = 1×2×3×4 + 1。在1~2025的自然数中，共有________个这样的完全平方数。 13. 设 x  2  3 ， y  2  3 ，则 x y 3  y x 3 的值是________。 14. 如图，设正方体 ABCDA'B'C'D'的体积为 V ，四面体 A'BC'D 的体积是 V ， 1 2 V ：V =（ ）。 1 2 A.2:1 B.8:3 C.8:5 D.3:1 E.3:215. 如图， 已知 3 A B  A C ， D F  4 5 A F ， E G  4 5 A G ， A B  B E ， A C  C D ，  F A G  1 2  B A C ，则△BDF 与△GEC 的面积之和与△AFG 面积的比值是 ________。 16. 若实数 x，y，z和m满足x2 2y2 z2 m2 2xy2|m| y2y4z2|m|5， 则 | m x y | z  1  2  ________。 17. 六人进行三人篮球赛，比赛前先分组，他们同时伸出手心或手背，手心朝上 的为一组，手背朝上的为另一组，那么六人伸手一次就能分好组的概率是 （ ）。 A. 1 2 1 B. C. 4 3 8 D. 1 5 6 18. 按如图所示的程序计算，若开始输入的 x 为 119，发现第 1 次输出的结果是 128，第 2 次输出的结果是 64，第 3 次输出的结果是 32，……，第 2025 次 输出的结果是________。 19. 点P是矩形ABCD 内一点，PA=20，PB=8，PC=25，则PD=________。20. 如图，在矩形ABCD 中，AB=20，BC=15，点E，F，G，H分别在 AB，BC， CD，AD上，则四边形 EFGH周长的最小值是________。 21. 下图是由 9 个等边三角形拼成的六边形，若这个六边形的周长是60 2，则 中间最小的等边三角形的面积是________。 22. 4 x 2  1 6 x  6 8  x 2  1 6 的最小值是________。 23. 已知 a 和 b 都是正整数，且 axb 2025有 49 个整数解，则 a+b 的最小值 是________。 24. 已知 m，n 均为大于 1 的正整数，若 36n+7n能被 43 整除，且 62n+1+7n+2一定 能被 m整除，则 m=________。 25. 如图，正方形ABCD 中有一个小正方形 AGFE，如果正方形 AGFE 的面积为 16，且阴影部分的面积为 42，则正方形 ABCD的面积是________。答案 题目 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 5 -2 9 -1 7 -6 10 65 5 3 题目 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 8 5 112 3 D 5 4 5 2 D 10 31 50 题目 21 22 23 24 25 答案 2 3 10 83 43 196