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高三数学考前练习试题（含答案）
一、单选题
1. 已知集合 ， ，则集合 的元素个数为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2. 如果实数 ， ， 满足： ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
3. 在复平面内，复数z对应的点的坐标是 ，则复数 的虚部是（ ）
A. 1 B. C. D. i
4. 二项式 的展开式中第3项的二项式系数为（ ）
A. B. 56 C. D. 28
5. 已知抛物线 ： 的焦点为 , 是C上一点， ，则 （ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
6. 将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到的图象恰好关于直线 对称，则 的
最小值是（ ）
.
A B. C. D.
7. 已知动点 在直线 上，过点 作圆 的一条切线，切点为 ，则 的最小
值为（ ）
A. 1 B. C. D. 2
8. 在数学课外活动中，小明同学进行了糖块溶于水的试验，将一块质量为7克的糖块放入到一定量的水中，
测量不同时刻未溶解糖块的质量，得到若干组数据，其中在第5分钟末测得的未溶解糖块的质量为3.5克，
同时小明发现可以用指数型函数 （ ， 为常数）来描述以上糖块的溶解过程，其中 （单位：克）代表分钟末未溶解糖块的质量，则 （ ）
A. B. C. D.
9. 设 均为非零向量，则“ ”是“对于任意的实数 ，都有 ”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
10. 已知函数 ，若存在 ，使得 成立，则实数 的取值范围
是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
11. 函数 的定义域为______.
12. 设等差数列 的前 项和为 .若 ， ，则 __________； __________.
13. 已知双曲线 的焦点为 ， ，实轴长为2，则双曲线 的离心率是______；若点
是双曲线 的渐近线上一点，且 ，则 的面积为______．
14. 设函数 .
①若 存在最大值，则实数 的一个取值为___________.
②若 无最大值，则实数 的取值范围是___________.
15. 如图，在正方体 ，中， ， 分别为线段 ， 上的动点.给出下列四个结论:①存在点 ，存在点 ，满足 ∥平面 ；
②任意点 ，存在点 ，满足 ∥平面 ；
③任意点 ，存在点 ，满足 ；
④任意点 ，存在点 ，满足 .
其中所有正确结论的序号是__________.
三、解答题
16. 在 中， ， ．
（1）求 ；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使 存在且唯一确定，求
的
面积．
条件①： ；
条件②： ；
条件③： 的周长为 ．
的
17. 人工智能正在逐渐改变着我们 日常生活，不过，它所涉及的数学知识并非都是遥不可及的高深
理论.为了解“拼音输入法”的背后原理，随机选取甲类题材“新闻稿”中1200字作为样本语料库 ，其
中“一”出现了30次，统计“一”与其后面一个字（或标点）的搭配情况，数据如下：
“一”与其后面一个字（或标点）的搭配情况 频数
“一个” 6
“一些” 4“一穷” 2
“一条” 2
其他
.
假设用频率估计概率
（1）求 的值，并估计甲类题材中“一”出现的概率；
（2）在甲类题材“新闻稿”中随机抽取2个“一”，其中搭配“一个”出现的次数为 ，求 的分布列和期望；
（3）另外随机选取甲类题材“新闻稿”中800字作为样本语料库 进行统计，“一”出现了24次，“一格”出现
的
了2次，若在甲类题材“新闻稿” 撰写中，输入拼音“yige”时，“一个”和“一格”谁在前面更合适？（结
论不要求证明）
18. 如图，在四棱柱 中，底面 是正方形，平面 平面 ，
．
（1）求证： ；
（2）若 ．
（ⅰ）求直线 与直线 所成角的余弦值；
（ⅱ）求点 到平面 的距离；
（ⅲ）设点 为线段 上任意一点（不包含端点），证明：直线 与平面 相交.
19. 已知中心在原点，焦点在 轴上的椭圆 的长轴长为 ，焦距为 ，直线 与椭圆 交于 、 两点.
（1）求椭圆 的方程；（2）若以线段 为直径的圆经过点 .
（i）求证：直线 过定点 ，并求出 的坐标；
（ii）求三角形 面积的最大值.
20. 已知函数 .
（1）若 ，求 在 处切线方程；
（2）求 的极大值与极小值；
（3）证明：存在实数 ，当 时，函数 有三个零点.
21. 已知A为有限个实数构成的非空集合，设 ， ，
记集合 和 其元素个数分别为 ， .设 .例如当 时，
， ， ，所以 .
（1）若 ，求 的值；
（2）设A是由3个正实数组成的集合且 ， ；，证明： 为定
值；
（3）若 是一个各项互不相同的无穷递增正整数列，对任意 ，设 ，
.已知 ， ，且对任意 ， ，求数列 的通项公式.
