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海淀区 2024—2025 学年第二学期期末练习
高三数学
本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无
效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题共40分）
一､选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项．
.
1 已知向量 ．若 与 共线，则 （ ）
A. B. C. D. 2
2. 已知集合 ．若 ，且 ，则 （ ）
A. B. 0 C. 1 D. 2
3. 已知 ．若动点 满足 ，则 的轨迹的方程为（ ）
A. B.
C. D.
4. 在 的展开式中， 的系数为 ，则 （ ）
A. B. C. D.
5. 圆心为 且与 轴相切的圆的方程是（ ）
A. B.
C. D.
.
6 设 、 、 ， ，且 ，则（ ）A. B.
C. D.
7. 已知 为等差数列， 为等比数列，其中 ，则（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知 是非零平面向量，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
.
C 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
9. 在锐角 中， ，则 的一个可能的取值为（ ）
A. B. C. 2 D. 3
10. 中华人民共和国国家标准（GB11533-2011）中的《标准对数视力表》采用的是五分视力记录方式（缪
氏记录法）： ，其中， 为被测试眼睛的视力值， 为该眼睛能分辨清楚的最低一行“ ”
形视标的笔划宽度（单位：毫米）， 为眼睛到视标的距离（单位：米），如图1所示， 是与 无
关的常量．图2是标准视力表的一部分，一个右眼视力值为5.0的人在距离该视力表5米处进行检测，能
分辨的最低一行视标为图2中虚线框部分．因条件所限，小明在距离该视力表3米处进行检测，若此时他
的右眼能分辨的最低一行视标也为图2中虚线框部分，不考虑其它因素的影响，则与小明右眼的实际视力
值最接近的为（ ）（参考数据： ）A. 4.5 B. 4.6 C. 4.8 D. 5.0
第二部分（非选择题共110分）
二､填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 若 （ 为虚数单位），则 __________．
12. 抛物线 的焦点坐标为________.
13. 在平面直角坐标系 中，若点 绕原点 逆时针旋转 可得到点 ，则
__________，点 到直线 的距离之和的最大值为__________．
14. 已知函数 ，则 的值域为__________，曲线 的对称中心为__________．
15. 如图，在正方体 中， ， 、 为上底面 （包含边界）内的两个动
点，且满足 ， ．给出下面四个结论：
①当 与 重合时，五面体 的体积为 ；
②记直线 分别与平面 和平面 所成角为 、 ，则 的值不变；③存在 、 ，使得 ；
④存在 、 ，使得五面体 中， 所在平面与其余四个面所在平面的四个夹角中，有三个
彼此相等．
其中，所有正确结论的序号为__________．
三､解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 已知函数 ．
（1）若 ，求 及 的单调递增区间；
（2）已知 在区间 上单调递增，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，
使函数 存在且唯一确定，求 的最小正周期．
条件①： ；
条件②： 是 的一个极值点；
条件③： 是 的一个零点．
17. 如图1，五边形 中， ．将三角形
沿 翻折，使得平面 平面 ，如图2．（1）求证： 平面 ；
（2）记直线 与平面 所成角为 ．若 ，求 的长．
18. 某运动品牌拟推出一款青少年新品跑鞋．在前期市场调研时，从某市随机调查了200名中小学生对黑、
白两种颜色的新品跑鞋的购买意愿，统计数据如下（单位：人）：
小学生 初中生 高中生
颜色
愿意 不愿意 愿意 不愿意 愿意 不愿意
黑色 80 20 40 20 20 20
白色 60 40 30 30 30 10
假设所有中小学生的购买意愿相互独立，用频率估计概率．
（1）从该市全体中小学生中随机抽取1人，估计其愿意购买黑色新品跑鞋的概率 ；
（2）从该市的初中生、高中生两个不同群体中各自随机抽取1人，记 为这2人中愿意购买白色新品跑
鞋的人数，求 的分布列和数学期望 ；
（3）假设该市 学校内的小学生、初中生和高中生的人数之比为 ，从 学校的全体中小学生中随
机抽取1人，将其愿意购买黑色新品跑鞋的概率估计值记为 ，试比较 与（1）中的 的大小．（结
论不要求证明）
19. 已知椭圆 ．设直线 交椭圆 于不同 的两点 、 ，与 轴交于点 ．
（1）当 时，求 的值；
（2）若点 满足 且 ，求 的大小．
20. 已知函数 ．
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）求 在区间 上的极值点个数；
（3）若 且 时，都有 成立，直接写出 的取值范围．21. 记 表示有穷集合 的元素个数．已知 是正整数，集合 ．若集合序列
满足下列三个性质，则称 是“平衡序列”：
① ，其中 ；
② ⫋ ，其中 ；
的
③对于 中 任意两个不同元素 ，都存在唯一的 ，使得 ．
（1）设 ，判断下列两个集合序列是否是“平衡序列”？（结论不要求证明）
（2）已知 且集合序列 是“平衡序列”，对于 ，定义：
证明：
（i）当 时， ；
（ii） ．
