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西城区高三统一测试试卷
数学
一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求
的一项.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
2. 复数 的共轭复数 （ ）
A. B.
C. D.
3. 设 ， ， ，则（ ）
A. B.
C. D.
4. 在 的展开式中，常数项为（ ）
A. B. 120 C. D. 160
5. 若双曲线 的焦点 到其渐近线的距离为 ，则双曲线的方程为（ ）
A. B.
C. D.6. 已知向量 满足 ， ， .则 （ ）
.
A B. C. D.
7. 已知点 为圆 上一点，点 ，当m变化时，线段 长度的最小
值为（ ）
A. B. C. D.
8. 将函数 的图象向右平移 个单位所得函数图象关于原点对称，向左平移 个单位所得函
数图象关于 轴对称，其中 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
9. 在无穷等差数列 中，公差为d，则“存在 ，使得 ”是“ （ ）”的
（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
10. 如图，曲线 为函数 的图象，甲粒子沿曲线 从 点向目的地 点运动，乙粒
子沿曲线 从 点向目的地 点运动.两个粒子同时出发，且乙的水平速率为甲的 倍，当其中一个粒子先
到达目的地时，另一个粒子随之停止运动.在运动过程中，设甲粒子的坐标为 ，乙粒子的坐标为
，若记 ，则下列说法中正确的是（ ）A. 在区间 上是增函数
.
B 恰有 个零点
C. 的最小值为
D. 的图象关于点 中心对称
二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 若抛物线 上任意一点到点 的距离与到直线 的距离相等，则 ___________.
12. 已知数列 满足 （ ）， 为其前 项和，若 ，则 ___________.
13. 如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣ABC D 中，点E为棱CD的中点，点F为底面ABCD内一点，给
1 1 1 1
出下列三个论断：
①AF⊥BE；
1
②AF＝3；
1
③S ＝2S .
△ADF △ABF
的
以其中 一个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__.
14. 调查显示，垃圾分类投放可以带来约 元/千克的经济效益.为激励居民垃圾分类，某市准备给每个家庭发放一张积分卡，每分类投放 积分 分，若一个家庭一个月内垃圾分类投放总量不低于 ，
则额外奖励 分（ 为正整数）.月底积分会按照 元/分进行自动兑换.
①当 时，若某家庭某月产生 生活垃圾，该家庭该月积分卡能兑换_____元；
②为了保证每个家庭每月积分卡兑换的金额均不超过当月垃圾分类投放带来的收益的 %，则 的最大值
为___________.
15. 已知函数 ，给出下列四个结论：
①若 ，则函数 至少有一个零点；
②存在实数 ， ，使得函数 无零点；
③若 ，则不存在实数 ，使得函数 有三个零点；
④对任意实数 ，总存在实数 使得函数 有两个零点.
其中所有正确结论的序号是___________.
三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 在 中，角 的对边分别为 .
（1）求 的大小；
（2）再从条件①､条件②､条件③这三个条件选择一个作为已知，使得 存在且唯一确定，求 边
的
上高线 长.
条件①： ；条件②： ；条件③： .
注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分.
17. 如图，四边形 是矩形， 平面 ， 平面 ， ，
，点 在棱 上.（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值；
（3）若点 到平面 的距离为 ，求线段 的长.
18. 2021年是北京城市轨道交通新线开通的“大年”，开通线路的条､段数为历年最多.12月31日首班车起，
地铁19号线一期开通试运营.地铁19号线一期全长约22公里，共设10座车站，此次开通牡丹园､积水潭､
牛街､草桥､新发地､新宫共6座车站.在试运营期间，地铁公司随机选取了乘坐19号线一期的 名乘客，
记录了他们的乘车情况，得到下表（单位：人）：
下车站
牡丹园 积水潭 牛街 草桥 新发地 新宫 合计
上车站
牡丹园 /// 5 6 4 2 7 24
积水潭 12 /// 20 13 7 8 60
牛街 5 7 /// 3 8 1 24
草桥 13 9 9 /// 1 6 38
新发地 4 10 16 2 /// 3 35
新宫 2 5 5 4 3 /// 19
合计 36 36 56 26 21 25 200
（1）在试运营期间，从在积水潭站上车的乘客中任选一人，估计该乘客在牛街站下车的概率；
（2）在试运营期间，从在积水潭站上车的所有乘客中随机选取三人，设其中在牛街站下车的人数为 ，
求随机变量 的分布列以及数学期望；
（3）为了研究各站客流量的相关情况，用 表示所有在积水潭站上下车的乘客的上､下车情况，“ ”表示上车，“ ”表示下车.相应地，用 ， 分别表示在牛街，草桥站上､下车情况，直接写出方差
， ， 大小关系.
19. 已知椭圆C: 的离心率为 ，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形周长为 .
（1）求椭圆的方程；
（2）直线 与椭圆 交于 、 两点，与 轴交于点 ，线段 的垂直平分线与
交于点 ，与 轴交于点 ， 为坐标原点，如果 ，求 的值.
.
20 已知函数 ， .
（1）当 时，
①求曲线 在 处的切线方程；
②求证： 在 上有唯一极大值点；
（2）若 没有零点，求 的取值范围.
21. 如果无穷数列 是等差数列，且满足：① 、 ， ，使得 ；② ， 、
，使得 ，则称数列 是“ 数列”.
（1）下列无穷等差数列中，是“ 数列”的为___________；（直接写出结论）
、 、 、
、 、 、
、 、 、
、 、 、
（2）证明：若数列 是“ 数列”，则 且公差 ；（3）若数列是“数列”且其公差为常数，求的所有通项公式.
