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解决问题教学设计
河西一小
刘洁
教学内容：人教版小学数学教材六年级上册第 69
70 页例 3 及相关练习
教学目标： 1．
结合具体情境认识与圆相关的组合图形的特征，掌握计算此类图形面积的方法，并能
准确计算 2．
在解决实际问题的过程中，通过独立思考、合作探究、讨论交流等活动，培养学生分
析问题和解决问题的能力 3．
结合教学渗透传统文化的教育，通过体验图形和生活的联系感受数学的价值，提升学
习的兴趣
学情分析：本节课的学习之前，学生已经可以掌握正方形的面积和圆的面积的计算，有
一定的解决生活问题的经验。“外方内圆”和“外圆内方”体现了中国的传统文化，这
种思想在建筑，器物等方面都有所传承，体现生活中的数学，是在学生学习了圆的面积
的基础上，通过让学生解决圆的内接正方形、外切正方形与圆之间部分的面积这一实际
问题，经历问题解决的全过程。
教学重点：会解决有关“外方内圆”和“外圆内方”的实际问题。
教学难点：理解图形中正方形与圆的关系。
教学准备：课件、作业纸。
教学过程：
一、观赏视频， 激趣导入
孩子们，学习研究之前，我们先来欣赏一段视频，边看边想两个问题
1
视频中出现的图形都有什么样的特点?
2
这些图形和我们以前数学中学过的哪些图形有关?
(点击课件，观赏视频)
【设计意图】学习研究从一段关于古今建筑设计的视频引入，潜移默化地渗透了传统文
化的教育，自然地引出例题的教学，极大地激发了学生学习的兴趣和探索的热情。
二、探究新知，解决问题
1. 实践操作（课件出示教材例 3 中的雕窗插图）
仔细看一看，这两种设计有什么联系和区别？
预设 1：左边的雕窗外面是方的里面是圆的；右边的雕窗外面是圆的里面是方的
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预设 2：都是由圆和正方形这两个图形组成的。
是的，左边这幅图外面是一个正方形，里面有一个最大的圆。右图外面是一个圆
里面有一个最大的正方形。
如果把这两个实物图转化成数学图，根据上述特征可以分别概括地称为外方内圆、
外圆内方。（板书：外方内圆、外圆内方）
今天这节课我们就来解决有关它们的问题。（板书课题：解决问题）
再仔细观察，这两幅图中蓝颜色部分的面积，是怎么产生的？它还可以说是哪部分的面
积呢?
预设：蓝色部分是外面的形状的面积减去里面形状的面积得到的，也可以说成是正
方形和圆之间部分的面积。
【设计意图】利用多媒体课件从实物中抽象出数学图形，使学生充分体会图形的组
合与位置关系，理解组合图形面积的产生。与此同时，激活了学生原有的关于组合图形
的认知，丰富新知的生长点
2. 解决问题
A 如果这两幅图中两个圆的半径都是 1 米 你能计算出正方形和圆之间部分的面积吗？
现在请大家以小组为单位，先做一做，再在组里说一说你的想法好不好？
（出示小组合作要求，小组活动。）
B、哪组来说说你们是怎么研究的？
预设 1：正方形的面积是 2×2=4（m
2），减去圆的面积(3.14 m
2m
2)，等于 0.
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追问：你是怎么知道正方形的边长的？
正方形的边长 圆的直径。（课件呈现演示）
2m
2m。
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他们的想法你们都同意吗？有什么问题要问他们吗？（生生互动，完善补充）
C、哪个组来汇报右图的解答方法？（学生汇报）
预设 1：可以把右图中的正方形看成两个三角形追
问：三角形的底和高分别是多少？相当于什么？
（底是 2 m，m，
高是 1
结合学生回答课件展示
，
m，
m
相当于圆的直径和半径。）
预设 2：也可以看成四个三角形。
追问 每个三角形的底和高各是多少呢？相当于什么？（底
和
高都是 1 m，m，相当于圆的半径。）
大家有什么问题问他们？（生生互动）
【设计意图】让学生经历观察思考、分析推理等学习活动，得出公共边以及图形各
要素之间的关系，自主地运用已有的知识达成问题的解决。教学过程中，注重把时间和
空间还给学生，教师只用几个简单的设问，引出的却是学生自主学习的过程展
三、回顾反思，理解算法
外方内圆和外圆内方的图形中，是否存在规律呢？如果两个圆的半径都是 ，结果
又是怎样的？
左图
。
像这样，你能计算出右图中正方形和圆之间部分的面积吗？
学生练习，反馈讲评。
右图
我们可以把题目中的条件 =1
m 代入上述的两个结果算一算，有什么发现？
预设：和之前计算的结果完全一致
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根据我们求出来的这三个图形的面积 那么外方内圆的面积比是什么？外圆内方
呢？
讨论了这么多，大家能利用刚才所研究的知识解决问题掌握吗？来，咱试一试
【设计意图】“授人以鱼，不如授人以渔”，方法的把握是学习的根本，在解决具体问
题的基础上发现一般的数学规律是本堂课教学的目的所在。在层层深入的学习过程中
我始终坚持为学生创设探索的情境 利用知识内在的魅力吸引学生主动投入到知识的发
展过程中。
四、课堂练习，强化认识
1.我国唐代有一种外圆内方的铜镜，咱一起来看看 （课件出示）
铜镜的直径是 24
cm。外面的圆与内部的正方形之间的面积是多
少？读一读，你知道了哪些数学信息？你想怎么解决这个问题？
（学生试做，然后汇报讲解）
2 认识这是什么吗？（出示铜钱图）
这几个字是“顺治通宝”，这是清朝顺治年间用于交易的货币铜钱，
根据数据，你能求出这个铜钱的面积吗？
学生读：直径 28mm，中间的正方形边长为 6mm。
（学生试做，然后汇报讲解）
【设计意图】练习的设计重在运用新知解决生活中的
实际问
题，并强调对规律进行验证的意识。采用小组合作的方式解答，进一步揭示了圆与正
方形的面积之间的关系进一步培养学生的合作交流意识、发展数学思维能力，渗透传
统知识文化。
五、全课总结，畅谈收获
通过本节课的学习，你有什么收获？谁来说一说。
六、课后延伸作业：
在你的周围搜集“外方内圆”“内圆外方”设计的相关材料，记录信息，设计问题，
和你的父母同学交流。
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七、板书设计：
八、教学反思：
本课时主要是通过中国建筑中常常出现的“外圆内方”和“外方内圆”而引出的圆
与正方形面积间关系的问题。探究圆与正方形的关系是重点，需要学生自己动手操作尝
试画图体会两者间的关系。
在整个学习研究过程中，在验证得到圆与它外切正方形的比是π :4，圆与它内接正
方形的比是π :2 的过程是有一定的难度，加上学生在学习圆的面积计算时 π 值是取近似
值 3.14 来计算的，而这节课需要学生用字母π 直接运算，是提升了思维难度的。
引导学生经历解决问题的过程是我重点思考的节点 我帮助学生理解现实的问题情
境，转化成要解决的数学问题，分析问题，从而找到解决问题的方案并解决之，对解答
的结果和解决的方法进行验证和回顾反思。
六年级的学生有一定的解决问题的经验积累 可以把实际问题用数学表达式表示出
来，也可以主动寻求不同的思考角度。因此我设计几个讨论研究的活动，激发学生在汇
报展示的过程中边思考边实践边验证，进一步训练学生思考问题解决问题的能力。
1.分散难点，逐一突破
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通过从生活图抽象出数学图，让学生依据原有知识经验搜寻解决问题的途径，先表
达再计算，然后汇报展示，最后切磋完善，让学生不断找到方法，分散了学习难点，让
他们在可以运用的数学信息中“顺藤摸瓜”一点点找到解决问题的线索。
2.同伴互助，相学相长
本节课的学生汇报展示是一个亮点。放手课堂给学生，让学生有足够的空间思考、
尝试、验证是我教学的立足点。圆内接正方形的边长的求法是难点，学生引导学生，学
生给学生讲解的形式更容易让孩子们接受，我只是恰到好处的点拨：“认真看一看，谁
和正方形的边长发生了联系？谁来画一画讲一讲？”某学生在黑板前面的讲解带动班里
学生发现圆的直径正好是正方形的对角线，辅助线的添加一下子激发了学生对问题的深
度思考，也可以引出两条对角线平分成四个三角形的方法。
3.发现规律，总结关系
“外圆内方”“外方内圆”是圆和正方形两种特殊的位置关系。我没有停留在简单
计算出结果，而是进一步追问：“外方内圆和外圆内方的图形中，是否存在规律呢？如
果两个圆的半径都是，结果又是怎样的？”主动权交给学生，给学生足够的时间和空间
经历观察、猜测、计算、推理等一系列数学活动。他们运用已有经验自己验证，整理并
发现关系的规律。
4.直观演示，动态验证
这节课我精心设计了相关课件，尤其是对“外圆内方”“外方内圆”的动态演示，
可以使学生的计算猜测得到充分的肯定，获得极大的学习价值感。总之，数学课的问题
解决，不是简单地设定于一个具体问题的解决，而更应着眼于问题解决一般性的能力的
培养，从一个问题的结果进一步延伸，才是培养学生数学素养的重要方法。从抽象到直
观再到抽象，从特殊结论到一般规律，我会慢慢帮助学生用数学的眼睛去观察日常生活
中一些习以为常的现象，发掘其中的数学原理。
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