北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A版
3.3函数的周期性和对称性
考点1 函数的周期性
1.(2021全国甲理,12,5分)设函数f(x)的定义域为R, f(x+1)为奇函数, f(x+2)为偶函数,当x∈[1,2]时,
f(x)=ax2+b.若f(0)+f(3)=6,则f(9)=( )
2
9 3 7 5
A.- B.− C. D.
4 2 4 2
9
答案 D 解题指导:利用奇偶性得到f(x+2)=-f(x),将出现的自变量0,3, 对应的函数值转化为[1,2]内自
2
变量对应的函数值,进而得到a,b以及f(9)的值.
2
解析
由题知{f(−x+1)=−f(x+1), {f(−x)=−f(x+2),
即
f(−x+2)=f(x+2), f(−x)=f(x+4),
从而f(x+4)=-f(x+2),即f(x+2)=-f(x),
所以6=f(0)+f(3)=-f(2)+[-f(1)]=-(4a+b)-(a+b)=-5a-2b,即5a+2b=-6.①
又由题知f(x+1)为奇函数,x∈R,所以f(1)=0,即a+b=0.②
{a=−2,
由①②得 从而f(x)=-2x2+2,x∈[1,2].
b=2,
所以f(9)
=f
(5
+2
)
=−f
(5)
=f
(1)
=−f
(3)
=−
[
(−2)×
(3) 2
+2
]
=
5 .故选D.
2 2 2 2 2 2 2
一题多解 因为f(x+1)与f(x+2)分别为奇函数和偶函数,所以函数f(x)的图象关于点(1,0)和直线x=2对称,
且f(x)为周期函数,周期T=4,
从而f(0)=-f(2),①
f(3)=f(1)=0,②
f(9) (1) (3),
=f =−f
2 2 2
由①②结合f(0)+f(3)=6,知a=-2,b=2,北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A版
所以f(9)
=−
[
(−2)×
(3) 2
+2
]
=
5
.
2 2 2
1
2.(2016山东,9,5分)已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时, f(x)=x3-1;当-1≤x≤1时, f(-x)=-f(x);当x> 时, f
2
( 1)=f( 1).则f(6)=( )
x+ x−
2 2
A.-2 B.-1 C.0 D.2
答案 D 当x>1时,由f( 1)=f( 1)可得f(x)=f(x+1),所以f(6)=f(1),而f(1)=-f(-1), f(-1)=(-1)3-1=-2,
x+ x−
2 2 2
所以f(6)=f(1)=2,故选D.
3.(2021全国甲文,12,5分)设f(x)是定义域为R的奇函数,且f(1+x)=f(-x).若f( 1) 1,则f(5)= (
− =
3 3 3
)
5 1 1 5
A.- B.− C. D.
3 3 3 3
答案 C 解题指导:求出函数f(x)的周期再进行转化,即可求解.
解析 由f(1+x)=f(-x),且f(x)是定义在R上的奇函数,可得f(1+x)=f(-x)=-f(x),所以f(2+x)=-f(1+x)=f(x),
所以f(x)的周期为2,则f(5) (5 ) ( 1) 1,故选C.
=f −2 =f − =
3 3 3 3
a
知识延伸:若函数f(x)为奇函数,且满足f(a+x)=f(-x),则f(x)图象的对称轴为直线x= ,周期为2a;若函数
2
a
f(x)为偶函数,且满足f(a+x)=f(-x),则f(x)图象的对称轴为直线x= ,周期为a.
2
22
4.(2022新高考Ⅱ,8,5分)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y), f(1)=1,则∑❑f(k)=
k=1
( )
A.-3 B.-2 C.0 D.1
答案 A 令y=1,得f(x+1)+f(x-1)=f(x)①,故f(x+2)+f(x)=f(x+1)②.由①②得f(x+2)+f(x-1)=0,故f(x+2)=-
f(x-1),所以f(x+3)=-f(x),所以f(x+6)=-f(x+3)=f(x),所以函数f(x)的周期为6.北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A版
令x=1,y=0,得f(1)+f(1)=f(1)·f(0),故f(0)=2,
同理,令x=1,y=1,得f(2)=-1;
令x=2,y=1,得f(3)=-2;
令x=3,y=1,得f(4)=-1;令x=4,y=1,得f(5)=1;
令x=5,y=1,得f(6)=2.
故f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0,
22
所以
∑❑f(k)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=-3.故选A.
k=1
5.(2022全国乙理,12,5分)已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,且f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7.若y=g(x)
22
的图象关于直线x=2对称,g(2)=4,则∑❑f(k)= ( )
k=1
A.-21 B.-22 C.-23 D.-24
答案 D 由y=g(x)的图象关于直线x=2对称,得g(2+x)=g(2-x),故g(x)=g(4-x),由g(x)-f(x-4)=7,得
g(2+x)-f(x-2)=7①,又f(x)+g(2-x)=5②,所以由②-①,得f(x)+f(x-2)=-2③,则f(x+2)+f(x)=-2④,所以由
④-③,得f(x+2)=f(x-2),即f(x+4)=f(x),所以函数f(x)是以4为周期的周期函数.
对于④,分别令x=1,2,得f(1)+f(3)=-2, f(2)+f(4)=-2,则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=-4.
对于①,令x=-1,得g(1)-f(-3)=7,则g(1)-f(1)=7⑦,
对于②,令x=1,得f(1)+g(1)=5⑧,
由⑦⑧,得f(1)=-1.对于②,令x=0,得f(0)+g(2)=5,
又g(2)=4,所以f(0)=1，对于③,令x=2,得f(2)+f(0)=-2，所以f(2)=-3.
22
则
∑❑f(k)=5×(-4)+f(1)+f(2)=-20+(-1)+(-3)=-24.故选D.
i=1
6.(2016四川,14,5分)已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0<x<1时, f(x)=4x,则f ( 5)+
−
2
f(1)= .
答案 -2
解析 ∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(x)=-f(-x),又∵f(x)的周期为2,北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A版
∴f(x+2)=f(x),∴f(x+2)=-f(-x),即f(x+2)+f(-x)=0,令x=-1,得f(1)+f(1)=0,∴f(1)=0.又∵f( 5)=f( 1)=-f(1)
− −
2 2 2
=- 1=-2,∴f( 5)+f(1)=-2.
−
42
2
考点2函数的对称性
1.(多选)(2022新高考Ⅰ,12,5分)已知函数f(x)及其导函数f '(x)的定义域均为R,记g(x)=f '(x).若f
(3 ),g(2+x)均为偶函数,则 ( )
−2x
2
A. f(0)=0 B.g( 1)=0
−
2
C. f(-1)=f(4) D.g(-1)=g(2)
答案 BC 解法一:若设f(x)=1,则g(x)=0,易知所设f(x)符合题意,此时f(0)=1,故选项A错误.
设f(x)=sin(πx),则g(x)=f '(x)=πcos(πx),
(3 ) (3 ) (3π )
由于f −2x =sin π −2x =sin −2πx =-cos(2πx),
2 2 2
g(2+x)=πcos[π(2+x)]=πcos(2π+πx)=πcos(πx),
所以f(3 ),g(2+x)均为偶函数,则所设f(x)符合题意.
−2x
2
于是g(-1)=πcos(-π)=-π≠g(2),故选项D错误.
由于f(3 )是偶函数,所以f '(3 )是奇函数,
−2x −2x
2 2
即g(3 )是奇函数,则g(3)=0,注意到g(2+x)是偶函数,于是g
−2x
2 2
( 1) (3 ) (3 )
− =g −2 =−g +2
2 2 2北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》A版
=-g( 3 ) (1) (3 1)
− +2 =−g =−g −2×
2 2 2 2
=g(3 1) ( 1) ( 1) (3)=0,
+2× =g 2+ =g 2− =g
2 2 2 2 2
故选项B正确.
由f(3 ) (3 ),取x=5,则f(-1)=f(4),故选项C正确.
−2x =f +2x
2 2 4
故选BC.
解法二:由题意知f(3 ) (3 ) (3 ) (3 ) f(-x)=f(3+x)①,
−2x =f +2x ⇔f −x =f +x
2 2 2 2
⇔
取x=1,知f(-1)=f(4),C正确.
对①两边求导知-f '(-x)=f '(3+x) f '(-x)=-f '(3+x),即g(-x)=-g(3+x)②,
⇔
取x=-3,知g(3)=0.
2 2
g(2+x)=g(2-x) g(-x)=g(x+4)③,
由②③知g(x+4⇔)=-g(x+3),即g(x+1)=-g(x),所以g(x+2)=-g(x+1)=g(x).
从而g( 1) ( 1) (3)=0,B正确.
− =g 2− =g
2 2 2
同解法一可判断A,D错误.故选BC.
2.(2014课标Ⅱ文,15,5分)偶函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称, f(3)=3,则f(-1)= .
答案 3
解析 ∵函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,
∴f(2+x)=f(2-x)对任意x恒成立,
令x=1,得f(1)=f(3)=3,
∴f(-1)=f(1)=3.
