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计算题对点练(三) 动力学计算题
1.(10 分)如图所示,一段水平的公路由两直道AB、CD 段以及圆弧段环岛BC 组成。一辆
在AB 段上以72 km/h 速率行驶的汽车,接近环岛时以4 m/s2的加速度匀减速刹车,在以
最大安全速率通过环岛后,在CD 段上以2 m/s2的加速度恢复到原速率继续行驶。已知
环岛的半径为28 m,BC 段的长度是56 m,橡胶轮胎与路面的动摩擦因数为0.7,认为汽车
转弯所需向心力仅由轮胎所受径向摩擦力提供且最大静摩擦力等于滑动摩擦力,g 取10
m/s2,问:
(1)汽车需在距环岛多远处开始刹车?
(2)汽车从刹车开始至恢复到原速率所用时间是多少?
2.(12 分)(2025 重庆育才中学三模)2025 除夕夜央视春晚重庆分会场7 分钟的时间里,2
025 架无人机在夜空中组成了多种图案,包括“2025 新春快乐”“你好新重庆”等字样,
为全市群众送上新春佳节的祝福。无人机在夜空中实现了精确编队和动态图案变换,打
破传统烟花表演形式。如图所示,四轴遥控无人机是首要选择,极其方便。质量m=2 kg
的能够垂直起降的小型遥控无人机,某段时间里在直角坐标系xOy 所在的平面内运动规
律分别为x=(6t + 1
2 t
2) m,y=(6t - 1
2 t
2) m,水平向右为x 轴正方向,竖直向上为y 轴正方向,
g 取10 m/s2。求:
(1)该无人机上升到最高点的速度;
2
(2)无人机上升到最高点合外力做的总功。
3.(13 分)(2025 山东济宁二模)如图所示,一儿童在房间内向地面上的O 点投掷弹力球(可
视为质点),弹力球从O 点反弹到右侧竖直墙壁上的M 点后,又直接反弹到左侧竖直墙壁
上的N 点。已知两竖直墙壁间的距离L=6 m,O 点与右侧墙壁的距离d=1.8 m,M 点与N
点等高,弹力球在空中离水平地面的最大高度H=3.2 m。弹力球与墙壁碰撞前后瞬间沿
墙壁的速度不变,垂直于墙壁的速度大小不变,方向相反。不计空气阻力,忽略弹力球与
墙壁的碰撞时间,g 取10 m/s2。求:
(1)弹力球在O 点弹起时的速度大小v0;
(2)弹力球与M 点碰撞后瞬间速度与竖直方向夹角的正切值。
4.(15 分)科考人员从山岭前坡向山势险峻的背坡投掷追踪器来跟踪动物活动路径。山岭
可简化为如图所示的△ABC,∠BAC=30°,∠ABC=60°,科考人员在前坡的M 点投掷追踪
器。第一次以大小为5.7 m/s 的速度投出,追踪器恰好沿背坡表面向下滑动;改变速度第
二次投掷,追踪器刚好水平掠过C 点。重力加速度g 取10 m/s2,忽略空气阻力,两坡足够
长。求:
(1)第一次掷出时的速度方向与AC 夹角的正切值tan α;
(2)第二次掷出后,追踪器在背坡的落点到C 点的距离L。
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参考答案
1.答案 (1)25.5 m
(2)8.5 s
解析 (1)根据题意,汽车进入环岛后做匀速圆周运动,当以最大速率行驶时有
μmg=mvm
2
R
代入数据解得汽车在环岛行驶的最大速率为vm=14 m/s
汽车在进入环岛前的速度v=72 km/h=20 m/s
汽车进入环岛前刹车距离为x=v
2- vm
2
2a1
=25.5 m。
(2)汽车进入环岛前刹车时间t1=v - vm
a1
=1.5 s
汽车在环岛行驶的时间t2= xBC
vm
=4 s
汽车出环岛后加速到原速率所用的时间t3=v - vm
a2
=3 s
可得汽车从刹车开始至恢复到原速率所用时间
t=t1+t2+t3=8.5 s。
2.答案 (1)12 m/s,方向水平向右
(2)72 J
解析 (1)根据x=(6t + 1
2 t
2) m
结合匀变速直线运动位移时间公式x=v0xt+1
2
axt2
可知无人机的水平初速度为v0x=6 m/s,水平加速度为ax=1 m/s2
根据y=(6t - 1
2 t
2) m
结合匀变速直线运动位移时间公式y=v0yt+1
2
ayt2
可知无人机的竖直初速度为v0y=6 m/s,竖直加速度为ay=-1 m/s2
4
则无人机上升到最高点所用时间为t=0- v0 y
a y
=6 s
此时无人机的速度为v=v0x+axt=12 m/s,方向水平向右。
(2)无人机的初速度为v0=√v0 x
2+ v0 y
2=6√2 m/s
无人机上升到最高点时,根据动能定理可得合外力做的总功为W 合=1
2
mv2-1
2 m v0
2=72
J。
3.答案 (1)10 m/s
(2)6
5
解析 (1)在竖直方向有H=1
2 gt1
2
竖直方向的速度为vy1=gt1
水平方向做匀速直线运动,有d+ L
2
=vxt1
联立解得弹力球在O 点弹起时的速度大小v0=√v x
2+ v y 1
2=10 m/s。
(2)从O 点到M 点的过程中,水平方向做匀速直线运动,有d=vxt2
竖直方向的速度为vy2=vy1-gt2
在M 点碰撞后瞬间速度与竖直方向夹角的正切值tan θ= v x
v y 2
解得tan θ=6
5
。
4.答案 (1)√3
2
(2)30√3 m
解析 (1)设第一次掷出的运动时间为t1
沿前坡方向分解有v1cos α=gsin 30°·t1
垂直于前坡方向分解有v1sin α=gcos 30°·t1
2
5
两式相比可得tan α=√3
2
。
(2)设追踪器水平掠过顶点C 时速度大小为vx
从M 点到C 点过程中,沿AC 方向有lcos 30°=vxt2
垂直AC 方向有lsin 30°=1
2 gt2
2
联立解得vx=5√3 m/s
从C 点到落点的过程中,沿BC 方向有Lcos 60°=vxt3
垂直BC 方向有Lsin 60°=1
2 gt3
2
联立解得L=30√3 m。
