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计算题对点练(六) 电磁感应类计算题
1.(10 分)如图所示,两光滑平行金属导轨置于水平面内,两导轨间距为L,左端连有阻值为
R 的电阻,一金属杆置于导轨上,金属杆右侧存在一磁感应强度大小为B、方向竖直向下
的有界匀强磁场区域。已知金属杆质量为m,电阻也为R,以速度v0向右进入磁场区域,做
减速运动,到达磁场区域右边界时速度恰好为零。金属杆与导轨始终保持垂直且接触良
好,导轨电阻忽略不计。求:
(1)金属杆运动全过程中,在电阻R 上产生的热量;
(2)金属杆运动全过程中,通过电阻R 的电荷量q;
(3)磁场左右边界间的距离d。
2.(12 分)(2025 云南腾冲模拟)如图所示,两根光滑平行导轨由半径为r 的四分之一绝缘圆
弧部分与不计电阻的水平金属部分组成,圆弧部分与水平部分平滑连接并固定在水平地
面上,导轨间距为L,水平导轨部分存在竖直向下的匀强磁场,磁感应强度大小为B。一质
量为2m、电阻为R 的金属棒ab 静置于水平导轨与圆轨道的连接处,另一质量为m、电
阻为2R 的金属棒cd 从圆弧最高处静止释放,下滑至水平轨道后与ab 棒发生弹性正碰。
若金属棒cd 与金属棒ab 始终垂直于金属导轨并接触良好,水平轨道足够长,重力加速度
为g,求:
(1)金属棒cd 滑到轨道底部与ab 棒碰撞前,导轨对金属棒cd 的支持力;
(2)金属棒cd 进入磁场后运动的最大速度及整个过程中ab 棒产生的热量;
2
(3)若在金属棒cd 达到最大速度时两棒间距为x0,给金属棒ab 施加一水平向右的恒力F,
当两棒运动稳定后两棒间距Δx 与时间t 的关系。
3.(13 分)某兴趣小组为了研究电磁阻尼的原理,设计了如图所示的装置进行实验,水平平
行轨道MN、PQ 间距为L,处于方向竖直向下、磁感应强度为B 的匀强磁场中,左端连着
阻值为R 的定值电阻,细绳绕过定滑轮一端连接质量为m、长为L、有效电阻也为R 的
导体棒a,另一端连接质量为3m 的重物b,导体棒a 始终保持水平并垂直于导轨,且与导
轨接触良好,重物b 距离地面的高度为h,刚开始a、b 初速度均为0,现静止释放重物b,当
重物b 落地前瞬间导体棒a 速度恰好达到稳定,运动过程中不考虑摩擦力的影响,求:
(1)导体棒a 稳定的速度v;
(2)导体棒a 从开始运动到稳定的过程中电阻R 产生的热量QR;
(3)导体棒a 从开始运动到稳定需要的时间t 及重物落地后导体棒a 继续前进的位移x。
4.(15 分)(2025 甘肃白银模拟)如图甲所示,间距为d,相互平行的金属导轨EG、FH 与
PG、QH,在GH 处用一小段绝缘圆弧相连,其中PG、QH 水平,EG、FH 是倾角为37°的
斜轨。EF 之间接一个阻值为R 的电阻,PQ 之间接有阻值不计、自感系数为L 的自感线
圈。MNGH 和CDPQ 区域存在大小为B、方向垂直于轨道平面向上的匀强磁场。质量
为ma、电阻为r 的金属棒a 从AB 处由静止开始沿导轨下滑,其在斜轨上运动过程中的
v-t 图像如图乙所示,金属棒a 滑过GH 后与另一根放在CD 右侧位置、质量为mb、电阻
不计的金属棒b 相碰,碰后两棒粘在一起运动。不计导轨的电阻及GH 处的机械能损失,
3
金属棒运动过程中与导轨保持垂直且接触良好,轨道足够长。已知d=0.5 m,R=1 Ω,B=1
T,ma=mb=0.5 kg,r=0.5 Ω,L=0.01 H。g 取10 m/s2,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。
(1)求金属棒a 刚进磁场时A、B 两点间的电势差UAB。
(2)求金属棒a 与导轨间的动摩擦因数以及金属棒在磁场中能够达到的最大速率。
(3)已知金属棒a 从进入磁场到速度达到4 m/s 时所用时间为2.1 s,求此过程中电阻R 产
生的焦耳热。
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参考答案
1.答案 (1)1
4 mv0
2 (2)mv0
BL
(3)2m v0 R
B
2 L
2
解析 (1)全过程中由能量守恒定律可得Q=1
2 mv0
2,串联电路中电流相等,所以热量分配与
电阻成正比,所以,在电阻R 上产生的热量为1
4 mv0
2。
(2)取向右为正方向,全过程对金属棒由动量定理得
-BILt=0-mv0
由电流的定义得q=It
联立解得q=mv0
BL
。
(3)电磁感应中的电荷量为q= ΔΦ
2 R
全过程磁通量变化为ΔΦ=BLd
解得d=2m v0 R
B
2 L
2 。
2.答案 (1)3mg (2)5√2gr
9
2
81
mgr (3)Δx=x0+ RF
B
2 L
2·t
解析 (1)金属棒cd 在圆弧轨道上下滑的过程中,由机械能守恒定律得mgr=1
2 mv0
2
在最低点,由牛顿第二定律得FN-mg=m v0
2
r
联立解得v0=√2 gr,FN=3mg。
(2)两棒发生碰撞时,由动量守恒定律和能量守恒定律可得mv0=mv1+2mv2,
1
2 mv0
2= 1
2 mv1
2+ 1
2
×2mv2
2
联立解得v1=-1
3
v0,v2=2
3
v0
5
金属棒cd 在圆弧轨道上做往返运动后以等速率进入磁场,之后当两棒共速运动时cd
棒的速度最大,在这个过程中,由动量守恒定律和能量守恒定律可得-mv1+2mv2=3mv,
1
2 m v0
2= 1
2
×3mv2+Q
解得金属棒cd 进入磁场后运动的最大速度为v=5
9
v0=5√2gr
9
ab 棒产生的热量为Qab=1
3
Q= 1
81 m v0
2= 2
81
mgr。
(3)当两棒共速时,金属棒cd 达到最大速度,再给金属棒ab 施加恒力F,两棒均做加速
运动,当两棒的加速度相等时,即速度差恒定,两棒运动稳定,对回路有E=BL·Δv
I= E
3 R = BL· Δv
3 R
F 安=BIL=B
2 L
2· Δv
3 R
由牛顿第二定律,对cd 棒有F 安=ma
对ab 棒有F-F 安=2ma
联立解得B
2 L
2· Δv
3 R
·t=1
3F·t
又因为Δx=x0+∑Δv·t
所以,两棒间距Δx 与时间t 的关系为Δx=x0+ RF
B
2 L
2·t。
3.答案 (1)6mgR
B
2 L
2 (2)3mgh
2
- 36 g
2 R
2m
3
B
4 L
4
(3)B
2 L
2h
6mgR + 8mR
B
2 L
2
12gm
2 R
2
B
4 L
4
解析 (1)a 稳定时,a 受重力、支持力、拉力和向左的安培力,a 运动时产生的感应电动势
为E=BLv
感应电流为I=
E
R+ R
受到的安培力为F=BIL
6
根据平衡条件可得F=3mg
联立解得v=6mgR
B
2 L
2 。
(2)对a 和重物组成的系统,根据能量守恒定律有3mgh=1
2
(m+3m)v2+Q 总
根据焦耳热公式可得QR=1
2
Q 总
联立解得QR=3mgh
2
- 36 g
2 R
2m
3
B
4 L
4
。
(3)a 从静止开始运动到稳定速度,根据牛顿第二定律,对重物b,有3mg-FT=3ma
对a 有FT-F=ma
联立可得3mg-F=4ma
由动量定理得
∑3mgΔt-∑B
2 L
2
2 R
Δt=∑4maΔt
可得3mgt-B
2 L
2
2 R
h=4mv
解得t=B
2 L
2h
6mgR + 8mR
B
2 L
2
a 从稳定开始运动到停止,由动量定理得-∑B
2 L
2v
2 R
Δt=0-mv
可得-B
2 L
2
2 R
x=0-mv
解得x=12gm
2 R
2
B
4 L
4
。
4.答案 (1)2
3
V (2)0.5 6 m/s (3)2.4 J
解析 (1)金属棒a 刚进磁场时产生的感应电动势为E=Bdv0=1×0.5×2 V=1 V
金属棒a 刚进磁场时A、B 两点间的电势差为UAB= R
R+r
E=2
3
V。
7
(2)金属棒a 在磁场区域外的加速度为a1= Δv
Δt = 2
1
m/s2=2 m/s2
根据牛顿第二定律有magsin 37°-μmagcos 37°=maa1
金属棒a 与导轨间的动摩擦因数μ=0.5
金属棒a 在磁场区域中,速度最大时有magsin 37°=μmagcos 37°+BId
金属棒a 中的电流为I=Bd vm
R+r
解得金属棒在磁场中能够达到的最大速率vm=6 m/s。
(3)金属棒a 从进入磁场到速度达到4 m/s 时,根据动量定理有magsin 37°·Δt-μmagcos
37°·Δt-BdIΔt=mav-mav0
电荷量为q=IΔt= n ΔΦ
R总Δt
Δt=n ΔΦ
R+r = Bdx
R+r
解得x=6.6 m
根据动能定理有magxsin 37°-μmagxcos 37°-Q=1
2
mav2-1
2
mav0
2
解得产生的总热量为Q=3.6 J
此过程中电阻R 产生的焦耳热为QR=2
3
Q=2.4 J。
