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专题00 高考解答题解题技巧全攻略
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方法一 构建答题模板...................................................................................................................................................1
方法二 跳步答题...........................................................................................................................................................4
方法三 分类讨论...........................................................................................................................................................6
方法四 数形结合...........................................................................................................................................................8
方法五 特殊值探路.....................................................................................................................................................10
方法六 正难则反.........................................................................................................................................................12
方法一 构建答题模板
构建答题模板，步步为营，不因缺少步骤或者部分条件而导致扣分，是所有技巧的基础。
【典型例题】
1．（2024·广东江苏·高考真题）记
的内角A、B、C 的对边分别为a，b，c，已知
，
(1)求B；
(2)若
的面积为
，求c．
【详解】（1）由余弦定理有
，
对比已知
，
可得
，（注意公式书写和化简）
因为
，所以
，
从而
，
又因为
，即
，
注意到
，（容易忽略）
1
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所以
.
（2）由（1）可得
，
，
，从而
，
，
而
，
由正弦定理有
，
从而
，
由三角形面积公式可知，
的面积可表示为
，（分解分步，步骤得分）
由已知
的面积为
，可得
，所以
.
【变式训练】
一、解答题
1．（24-25 高三上·江苏·阶段练习）记
的内角
的对边分别为
，面积为，已知
(1)求
；
(2)若
边上的高为1 且
，求
的面积．
2．（2024·吉林·三模）已知数列
满足
，
.
(1)证明：数列
为等差数列，并求通项
；
(2)求数列
的前n 项和
.
3．（24-25 高三上·江苏·阶段练习）如图，在直四棱柱
中，
平面
，
，
，其中
，
，
是
的中点，
是
的中点．
2
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(1)求证：
平面
；
(2)若异面直线
、
所成角的余弦值为
，求二面角
的余弦值.
4．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）统计显示，我国在线直播生活购物用户规模近几年保持高速增长态势，下
表为
年—
年我国在线直播生活购物用户规模（单位：亿人），其中
年—
年对应的代码
依次为— .
年份代码
市场规模
，
，
，其中
参考公式：对于一组数据
、
、
、
，其经验回归直线
的斜率和截距的最小
二乘估计公式分别为
，
.
(1)由上表数据可知，若用函数模型
拟合
与
的关系，请估计
年我国在线直播生活购物用
户的规模（结果精确到
）；
(2)已知我国在线直播生活购物用户选择在品牌官方直播间购物的概率
，现从我国在线直播购物用户中随
机抽取人，记这人中选择在品牌官方直播间购物的人数为
，若
，求
的数学期
望和方差.
5．（2024 高三·全国·专题练习）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，实轴长
为2，
为
的右支上一点，且
．
(1)求
的方程；
3
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(2)设
的左、右顶点分别为
，直线与
交于
两点，与
轴交于点
，直线
与
交于
点
，证明：点
在定直线上．
6．（24-25 高三上·天津·阶段练习）设函数
，其中
.
(1)若 a=−1，求曲线
在点
处的切线方程;
(2)若
，
（i） 证明: 函数
恰有两个零点;
（ii） 设
为函数
的极值点，
为函数
的零点，且
，证明:
.
方法二 跳步答题
解题过程卡在某一过渡环节上是常见的。这时，我们可以假定某些结论是正确的往后推，看能否得到
结论，或从结论出发，看使结论成立需要什么条件。如果方向正确，就回过头来，集中力量攻克这一卡壳
处。如果时间不允许，那么可以把前面的写下来，再写出证实某步之后，继续有一直做到底，这就是跳步
解答。也许，后来中间步骤又想出来，这时不要乱七八糟插上去，可补在后面。若题目有两问，第一问想
不出来，可把第一问作已知，先做第二问，这也是跳步解答。
【典型例题】
2．（2024·全国·高考真题）如图，平面四边形ABCD 中，
，
，
，
，
，点E，F 满足
，
，将
沿EF 翻折至
，使得
．
(1)证明：
；
(2)求平面PCD 与平面PBF 所成的二面角的正弦值．
【详解】（1）由
，
得
，又
，在
中，
由余弦定理得
,
4
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所以
，则
，即
，
所以
，又
平面
，
所以
平面
，又
平面
，
故
；（可以将第一问证明当作条件应用于第二问）
（2）连接
，由
，则
，
在
中，
，得
，
所以
，由（1）知
，又
平面
，
所以
平面
，又
平面
，
所以
，则
两两垂直，建立如图空间直角坐标系
，
则
，
由
是
的中点，得
，
所以
，
设平面
和平面
的一个法向量分别为
，
则
，
，
令
，得
，
所以
，
所以
，
设平面
和平面
所成角为
，则
，
即平面
和平面
所成角的正弦值为
.
【变式训练】
一、解答题
1．（24-25 高三上·河北·期中）已知数列
的前n 项和为
，且
．
5
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(1)求证：数列
为等比数列；
(2)若
，求数列
的前n 项和
．
2．（2024 高三·全国·专题练习）记
的内角
的对边分别为
，已知
．
(1)证明：
；
(2)若
，点
在线段
上，且
，
，求
．
3．（24-25 高三上·河北·期中）如图，在平面五边形
中，
，
，
，
，将
沿
翻折，使点
到达点
的位置，得到如图所示的四棱锥
，且
，
为
的中点．
(1)证明：
；
(2)若
，求平面
与平面
夹角的余弦值．
方法三 分类讨论
解题时常常会遇到这样一种情况，解到某一步之后，不能再以统一的方法、统一的式子继续进行下
去，这是因为被研究的对象包含了多种情况，这就需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合归纳
得解，这就是分类讨论。
引起分类讨论的原因很多，数学概念本身具有多种情形，数学运算法则、某些定理、公式的限制，图
形位置的不确定性，变化、不等式的求解等均可能引起分类讨论。在分类讨论解题时，要做到标准统一，
不重不漏。
【典型例题】
3．（2024·全国·高考真题）已知函数
．
(1)当
时，求
的极值；
(2)当
时，
，求
的取值范围．
6
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【详解】（1）当
时，
，
故
，
因为
在
上为增函数，
故
在
上为增函数，而
，
故当
时，
，当
时，
，
故
在
处取极小值且极小值为
，无极大值.
（2）
，
设
，
则
，（注意利用范围端点的性质来确定如何分类）
当
时，
，故
在
上为增函数，
故
，即
，
所以
在
上为增函数，故
.
当
时，当
时，
，
故
在
上为减函数，故在
上
，
即在
上f
′ (x)<0即
为减函数，
故在
上
，不合题意，舍.
当
，此时
在(0,+∞)上恒成立，
同理可得在(0,+ ∞)上
恒成立，不合题意，舍；
综上，
.
【变式训练】
一、解答题
1．（23-24 高三上·山东威海·期末）已知函数
.
7
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(1)当
时，求
的单调区间；
(2)设函数
，若
是
的极大值点，求
的值.
2．（23-24 高二上·浙江宁波·期末）已知数列
的首项
，且满足
（
）．
(1)求证：数列
为等比数列；
(2)若
，令
，求数列
的前n 项和
．
3．（2024 高三·全国·专题练习）已知椭圆
：
与椭圆
：
的
离心率相等，
的焦点恰好为
的顶点，圆
分别经过
，
的一个顶点.
(1)求
，
的标准方程.
(2)过
上任意一点A 作
的切线与
交于点M，N，点B 是
上与M，N 不重合的一点，且
（点O 为坐标原点），判断点
是否在定圆上.若是，求出该圆的方程；若不是，
请说明理由.
方法四 数形结合
数形结合法：对于一些含有几何背景的题，若能根据题目中的条件，作出符合题意的图形，并通过对
图形的直观分析、判断，即可快速得出正确结果．这类问题的几何意义一般较为明显，如一次函数的斜率
和截距、向量的夹角、解析几何中两点间距离等．
【典型例题】
4．（2024·上海松江·模拟预测）已知
为坐标原点，对于函数
，称向㝵
为
函数
的互生向量，同时称函数
为向量
的互生函数．
(1)设函数
，试求
的互生向量
；
(2)记向量
的互生函数为
，求函数
在
上的严格增区间；
(3)记
的互生函数为
，若函数
在
上有四个零点，求实数
的取值范围．
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【详解】（1）因为
，所以
的互生向量
.
（2）由题意可得
，所以
，
令
，解得
，
因为
，所以
，
所以函数
在
上的严格增区间为
.
（3）由题
，则
，（数形结合利用三角函数
性质作出函数图象，由图象即可得解）
若函数
在
上有四个零点，则
在
上有四个实数根，
则函数
与
在
上的图象有四个交点，
因为
，
所以
，
则由三角函数性质作其函数图象如图所示，
由三角函数图象及性质可知k 的取值范围为
.
【变式训练】
一、解答题
1．（24-25 高三上·江苏·阶段练习）已知函数
．
(1)求函数的单调区间；
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(2)求
的零点个数．
(3)
在区间
上有两个零点，求m 的范围？
2．（24-25 高三上·上海松江·期中）在
中，角A，B，C 对应边为
，
，，满足
(1)求
的大小；
(2)（i）已知
，若
在AC 上，且
，求BD 的最大值；
（ii）延长BC 至点
，使得
.若
求
的大小.
3．（24-25 高三上·重庆·开学考试）已知椭圆：
的右焦点
与抛物线
的焦点
重合．
(1)求抛物线
的方程；
(2)已知
为抛物线
上一个动点，直线
，
，求点
到直线
的距离之和的最小值；
(3)若点
是抛物线
上一点（不同于坐标原点
），
是
的内心，求
面积的取值范围．
方法五 特殊值探路
对于一些定值、定点问题可以利用特殊的点去检验，然后通过方程一般性设值去化简，即使运算量有
些达不到，扣去合并运算的那一步，还是能拿到大部分的分值。特别是在解析几何的位置、距离、特殊
点、特殊值的判断中，不妨转换个角度，根据现有条件猜测和利用数值求出一个可行的答案，再反向论证
即可。还有在数列中求解整数存在可能性，有些题的取值有限，不妨取
等值进行代入运
算，如果发现了几个满足题意的值，只需要再进行检验值的唯一性。
【典型例题】
5．（2024·北京通州·二模）已知椭圆
：
（
）的长轴长为4，离心率为
．
(1)求椭圆
的方程；
(2)直线l 过椭圆E 的左焦点F，且与E 交于
两点（不与左右顶点重合），点
在
轴正半轴上，
直线
交
轴于点P，直线
交
轴于点
，问是否存在，使得
为定值？若存在，求出的值
及定值；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）因为椭圆
的长轴长为
，离心率为
，
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所以
，
．
所以
，
．所以
．
所以椭圆
的方程为
．
（2）当
时，若直线l 斜率不存在，（斜率不存在，求出
为定值.）
不妨设
，
，
所以
，
．
所以
．
若直线的斜率存在，设直线的方程为
，
．
联立方程组
，
消去
，化简得
．
则
，即
,
设M (x1, y1)，N (x2, y2)，
所以
，
．
所以直线TM 的方程为
，直线
的方程为
．
所以
，
．
所以
，
，
所以
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．
所以当
时，
为定值，
即
（负值舍）时，
有定值．
综上，当
时，
有定值．
【变式训练】
一、解答题
1．（2021·北京丰台·二模）已知椭圆
，过点
的直线交椭圆
于点
．
(1)当直线与
轴垂直时，求
；
(2)在
轴上是否存在定点
，使
为定值？若存在，求点
的坐标及
的值；若不存在，说明
理由．
2．（23-24 高三下·云南昆明·阶段练习）平面上一动点P(x , y)满足
．
(1)求P 点轨迹
的方程；
(2)已知A (−2,0)，
，延长PA 交
于点Q，求实数m 使得
恒成立，并证明：
为定值
3．（24-25 高三上·辽宁·阶段练习）已知椭圆
的长轴长是
，
为右顶点，
，
，
，
是椭圆
上异于顶点的任意四个点，当直线
经过原点
时，直线
和
的斜率之积为
.
(1)求椭圆
的方程；
(2)当直线
和
的斜率之积为定值
时，直线
是否过一个定点？若过定点，求出该定点坐标；若
不过定点，请说明理由.
方法六 正难则反
如果题目正面求解比较困难，或者说推翻一个结论性的问题，都可以从反面出发，假设反证或是举反
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例寻找矛盾都可以，这样可以简化题型思路。
【典型例题】
6．（2024·北京·高考真题）已知集合
．给定数列
，和序
列
，其中
，对数列
进行如下变换：将
的第
项均
加1，其余项不变，得到的数列记作
；将
的第
项均加1，其余项不变，得到数列记作
；……；以此类推，得到
，简记为
．
(1)给定数列
和序列
，写出
；
(2)是否存在序列
，使得
为
，若存在，写出一个符
合条件的
；若不存在，请说明理由；
(3)若数列
的各项均为正整数，且
为偶数，求证：“存在序列
，使得
的各项都相
等”的充要条件为“
”．
【详解】（1）因为数列
，
由序列
可得
；
由序列
可得
；
由序列
可得
；
所以
.
（2）由题意可知：对于任意序列，所得数列之和比原数列之和多4，
假设存在符合条件的
，且
，
因为
，即序列
共有8 项，
由题意可知：
，
检验可知：当
时，上式不成立，
即假设不成立，所以不存在符合条件的
.
（3）解法一：我们设序列
为
，特别规定
.
必要性：
若存在序列
，使得
的各项都相等.
则
，所以
.
根据
的定义，显然有
，这里
，
.
所以不断使用该式就得到
，必要性得证.
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充分性：
若
.
由已知，
为偶数，而
，所以
也是偶数.
我们设
是通过合法的序列
的变换能得到的所有可能的数列
中，使得
最小的一个.
上面已经说明
，这里
，
.
从而由
可得
.
同时，由于
总是偶数，所以
和
的奇偶性保持不变，从而
和
都是偶数.
下面证明不存在
使得
.
假设存在，根据对称性，不妨设
，
，即
.
情况1：若
，则由
和
都是偶数，知
.
对该数列连续作四次变换
后，新的
相比原来的
减少
，这与
的最小
性矛盾；
情况2：若
，不妨设
.
情况2-1：如果
，则对该数列连续作两次变换
后，新的
相比原来的
至少减少
，这与
的
最小性矛盾；
情况2-2：如果
，则对该数列连续作两次变换
后，新的
相比原来的
至少减少
，这与
的
最小性矛盾.
这就说明无论如何都会导致矛盾，所以对任意的
都有
.
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假设存在
使得
，则
是奇数，所以
都是奇数，设为
.
则此时对任意
，由
可知必有
.
而
和
都是偶数，故集合
中的四个元素
之和为偶数，
对该数列进行一次变换
，则该数列成为常数列，新的
等于零，比原来的
更小，这与
的最小性
矛盾.
综上，只可能
，而
，故
是常数列，充分性得证.
【变式训练】
一、解答题
1．（24-25 高三上·山西吕梁·阶段练习）对于给定的数列
以及正整数m，若
，使得
成立，则称
为“m 阶可分拆数列”.
(1)设
，证明：
为“3 阶可分拆数列”；
(2)设
的前n 项和为
，若
为“1 阶可分拆数列”，求实数a 的值；
(3)设
，是否存在m，使得
为“m 阶可分拆数列”？若存在，请求出所有m 的值；若不
存在，请说明理由.
2．（24-25 高三上·山西·期中）在数列
中，若
满足：对于
，都有
，则称数
列
为“M 类差数列”．
(1)设
为等差数列
的前n 项和，已知
，若数列
是“M 类差数列”
，且
恒成立，求M 的最大值；
(2)已知等比数列
是“2 类差数列”，且
，数列
不是“1 类差数列”，设
，若数列
是“3 类差数列”：
①求数列
的通项公式；
②证明：数列
中任意三项都不构成等差数列．
15
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3．（2024·北京石景山·一模）已知集合
，对于
，
，定义
与
之间的距离为
．
(1)已知
，写出所有的
，使得
；
(2)已知
，若
，并且
，求
的最大值；
(3)设集合，中有个元素，若中任意两个元素间的距离的最小值为，求证：．
16
