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导数的概念及其几何意义
考点1
导数与函数的单调性
考点2
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专题03 导数及其应用
1．D
2．1
1
2
3
D
D
A
4．
5．
6．
7．
8．【答案】(1)证明见解析
(2)①
；②证明见解析
【分析】（1）利用正弦定理将边化为角后，利用两角差的正弦公式计算即可得；
（2）①借助同角三角函数基本关系与二倍角公式计算可得
、
、
，再利用三角形内
角和与两角和的正弦公式计算即可得；②令
，利用三角恒等变换公式可得
，构造函数
，利用导数研究其单调性，最后由零点的存在性定理计
算即可得.
【详解】（1）由正弦定理可得
，
即有
，
则
或
，
若
，则
；
若
，则
，舍去；
1
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故
；
（2）①由
，则
，
由
，则
，
由
，则
，解得
，
，
故
；
②令
，由
，则
，
，
则
，
令
，则
，令
，
则
，故
在
上单调递减，
又
，
，
由零点存在性定理可得
，即
.
2
导数与函数的极值、最值
考点3
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9．【答案】(1)
(2)单调递增区间为
，单调递减区间为
【分析】(1)利用导数的几何意义求解；
(2)利用导函数研究函数的单调性.
【详解】（1）当
时，
，
，则
，
又
，∴曲线
在点
处的切线方程为
．
（2）
，
，
，
，由
，得
，由
，得
．
的单调递增区间为
，单调递减区间为
．
1．【答案】(1)当
时，函数
在
上单调递增；当
时，函数
在
上单调
递减，在
上单调递增.
(2)证明见解析
【分析】（1）对函数求导后，根据
的取值分类讨论函数的单调性即可；
（2）依题意求出
，由
可得
，利用零点存在定理推理得到
，
求出
并化简得
，再利用其单调性即可证明.
【详解】（1）由
求导得
，
当
时，
，则函数
在
上单调递增；
3
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当
时，由
可得
，
当
时，
，当
时，
.
则函数
在
上单调递减，在
上单调递增.
综上，当
时，函数
在
上单调递增；
当
时，函数
在
上单调递减，在
上单调递增.
（2）当
时，
，
，
则
，因
在
上的极小值点为
，
则
，即得
①，
因
，
，由零点存在定理，可得
，
将① 代入
，得
，
因为该函数在
上单调递减，则
，故得证.
2．【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）先对函数
求导，然后根据导数的正负性来讨论函数的单调性，需要对
的取值
范围进行分类讨论；
（2）（i）先求出
的表达式，再对
求导，根据导数的性质判断
在区间
上的单
调性，进而证明存在唯一的极值点；
（ii）根据（i）中得到的极值点
的性质，对
进行化简，然后通过构造函数并利用导数研
究函数单调性来证明
.
4
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【详解】（1）已知函数
，其定义域为
，
求导得
，
当
时，
在
上恒成立，所以
在
上单调递增.
当
时令
，解得
，
当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减；
当
时，
在
上恒成立，即
在
上恒成立，
所以
在
上单调递增.
综上，当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递增，
在
上单调递减.
（2）（i）已知
，定义域
，
当
时，
单调递减，又因为
，所以
单调递增，
而
也单调递增，故
在
上单调递增，无极值点；
求导得
，设
，
，
因为
，所以
在
上为增函数，
5
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而
，
，
故
在
上存在一个零点，且
时，
，
时，
，故
在
上为减函数，在
为增函数，
而
，
，故
在
上存在唯一一个零点，
且
时，
即
，
时，
即
，
所以
在区间
上存在唯一的极值点
.
所以
在区间
存在唯一的极值点
；
（ii）由（i）得
，即
，
则
，
令
，
，
求导得
，
令
，
求导得
，
整理得
因为
，所以
，即
在
上单调递增，
6
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所以
，
所以
，
在
上单调递增，
所以
，
即
.
3．【答案】(1)单减区间为
，单增区间为
.
(2)
【分析】（1）对函数求导并因式分解，结合
的条件判断导数的符号，进而确定函数的单调区
间.
（2）对导数的根进行分类讨论，分析不同
取值下导数的符号变化，确定
为极大值点时
的
取值范围.
【详解】（1）
，
因为
，
，所以
，
当
时，
，当
时，
，
所以
的单减区间为
，单增区间为
.
（2）
，
当
时，由（1）知
是
的极小值点，不符合题意；
当
时，
，
在
上单调递减，没有极值点，不合题意；
当
时，
，当
时，
，则
在
上单调递减；
当
时，
，则
在
上单调递增，
7
导数的综合应用
考点4
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所以
是
的极小值点，不合题意；
当
时，
，当
时，当
，则
在
上单调递增，
当
时，
，则
在
上单调递减.
所以
是
的极大值点，符合题意，
综上知
的取值范围为
.
1
2
3
4
5
6
D
BCD
ABD
CD
BCD
ACD
7．
8．【答案】(1)
(2)
的取值范围为
；
当
时，
在定义域
内无零点；
当
时，
在定义域
内存在唯一零点；
当
时，
在定义域
内存在两个零点.
【分析】（1）分别求出切点坐标和切线斜率，写出切线方程即得；
（2）对函数求导，根据参数
进行分类讨论导函数的正负，得出函数的单调区间，分
，
和
三种情况讨论函数
的零点个数即可.
【详解】（1）当
时，
，
，故
，
.
从而所求切线经过点
且斜率为
，故曲线
在点
处的切线方程为
；
8
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（2）由于
，
故
，
函数
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，
所以
是
的极大值点，即
，且在
左侧
，右侧
，
①当
时，有
，
，
从而当
或
时
；当
时
.
故函数
在
和
上单调递增，在
上单调递减，不符合条件
②当
时，
，从而对
和
均有
，
故
在
和
上单调递增，从而在
上单调递增，不符合条件
③当
时，有
，
，
从而当
或
时
；当
时
.
故函数
在
和
上单调递增，在
上单调递减，不符合条件
④当
时，对任意
都有
，
从而当
时
；当
时
，
故函数
在
上单调递增，在
上单调递减，符合条件。
综上，
的取值范围为
所以
，
9
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当
，即
时，
在定义域
内无零点；
当
，即
时，
在
处取得零点，且是唯一零点；
当
，即
时，
由于
，
，
根据零点存在性定理可得
在
存在唯一零点；
由于
，根据零点存在性定理可得
在
存在唯一零点；
所以
时，
存在两个零点；
综上，当
时，
在定义域
内无零点；
当
时，
在定义域
内存在唯一零点；
当
时，
在定义域
内存在两个零点.
9．【答案】(1)单调递减区间为
，单调递增区间为
.
(2)（i）
（ii）
【分析】（1）直接求导分析
的符号即可求解；
（2）（i）设
，把问题转化为
与
有两个交点，利用导数求出
的最值即可求解；
（ii）设
，则方程变为
，设两根为
，
则
，利用比值换元法证明对数均值不等式可得
，然后再根据基本不
等式即可求解.
【详解】（1）
定义域为
，
，
10
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当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，
所以
单调递减区间为
，单调递增区间为
.
（2）（i）方程
等价于
，
设
，问题转化为
与
有两个交点，
，
时，
，
令
，
，所以
在
上单调递增，
且
，故存在唯一
满足
，即
，
并且当
时，
，当
时，
，
所以
在
单调递减，在
单调递增，
，
又因为
和
时，
，所以当
时方程有两个不等实根.
故
的取值范围为
.
（ii）原方程变形得：
，设
，则方程变为
，
设两根为
，则
，
且满足
，
不妨设
，下面证明
，
令
， 则不等式变形为
，
令
，
，
11
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所以
在
上单调递增，所以
，
即不等式
成立，变形可得
，
由基本不等式可得
，
要使不等式恒成立，只需
，
故
的取值范围为
.
10．【答案】(1)当
时，函数
在
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，函数
在
和
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，函数
在
上单调递增，在
和
上单调递减
(2)
【分析】（1）根据导数的正负性与函数单调性的关系，利用分类讨论法进行求解即可；
（2）根据函数最值定义，结合（1）中的结论进行求解即可.
【详解】（1）
，
当
时，令
，所以函数
在
上单调递增，
令
，所以函数
在
上单调递减；
当
时，令
，或
，所以函数
在
和
上单调递增，
令
，所以函数
在
上单调递减；
当
时，令
，所以函数
在
上单调递增；
12
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令
，或
，所以函数
在
和
上单调递减，
综上所述：当
时，函数
在
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，函数
在
和
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，函数
在
上单调递增，在
和
上单调递减；
（2）由（1）可知：当
时，函数
在
上单调递增，
所以当
时，函数
单调递增，
所以有
，解得
.
11．【答案】(1)最小值为
．
(2)当
时，
的单调递增区间为
和
，单调递减区间为
；
当
时，
的单调递增区间为
；
当
时，
的单调递增区间为
和
，单调递减区间为
；
(3)证明见解析
【分析】（1）利用导数求出函数的单调性利用极值求最小值；
（2）分类讨论，利用函数的导数求单调区间即可；
（3）分类讨论，当
时，利用分析法，需证
，
构造函数
，利用导数求出
，即可得证.
【详解】（1）当
时，
，
，
所以当
时，
，则
在
上单调递减；
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当
时，
，则
在
上单调递增．
所以
，故
的最小值为
．
（2）
，
当
时，令
，得
或
，
当
时，
，
所以当
时，
，则
在
上单调递增；
当
时，
，则
在
上单调递增；
此时
在
上单调递增．
当
时，
，
所以当
时，
，则
在
上单调递增；
当
时，
，则
在
上单调递减；
当
时，
，则
在
上单调递增．
当
时，
，
所以当
时，
，则
在
上单调递增；
当
时，
，则
在
上单调递减；
当
时，
，则
在
上单调递增．
综上：当
时，
的单调递增区间为
和
，单调递减区间为
；
当
时，
的单调递增区间为
；
当
时，
的单调递增区间为
和
，单调递减区间为
；
（3）由（2）知当
时，显然仅有一个极值点
，
14
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当
时，
存在两个极值点，
且
，
，
又由于
且当
时，
，
所以
在
存在唯一零点
．
若
，由（2）知
，则
成立．
若
，则
要证
，只需证
，即证
，
即证
，只需证
．
设
，则
，
所以当
时，
，则
在
上单调递减，
当
时，
，则
在
上单调递增，
所以
，
设
，则
，
（
），故
在
上单调递减，
所以
，即 当
时，
，
所以
所以
在
上恒成立，
15
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故当
时，
成立．
综上，
成立．
16
