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第二章 函数
第2.2讲 函数的单调性与最值
1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义.
2.掌握函数单调性的简单应用．
题型一 确定函数的单调性
题型二 函数单调性的应用
题型三 分段函数
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x，x∈I
1 2
定义 当x<x 时，都有 f ( x )< f ( x )，那么就 当x<x 时，都有 f ( x )> f ( x )，那么就称
1 2 1 2 1 2 1 2
称函数f(x)在区间I上是增函数 函数f(x)在区间I上是减函数
图象
描述
自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I
叫做y＝f(x)的单调区间．
2．函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为D，且x∈D
0
条件 ∀x∈D，都有 f ( x ) ≤ f ( x ) ∀x∈D，都有 f ( x ) ≥ f ( x )
0 0
结论 f(x)为f(x)的最大值 f(x)为f(x)的最小值
0 0题型一 确定函数的单调性
命题点1 函数单调性的判断
1．下列函数中，在区间 上为增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知函数 在 上单调递增，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
3．下列函数中，在区间 上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
4．函数 的单调递减区间是（ ）
A． B． 和
C． D． 和
5．已知函数 在 上是减函数，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
命题点2 利用定义证明函数的单调性
6．已知定义在 上的函数 为奇函数．
(1)求实数 的值；
(2)用函数单调性的定义证明： 在 上为增函数．
7．已知函数 .(1)用单调性定义证明函数 在 上为减函数；
(2)求函数 在 上的最大值.
8．讨论函数 （ ）在 上的单调性.
题型二 函数单调性的应用
命题点1 比较函数值的大小
9．设 ，则（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数 的定义域为 ，若对 都有 ，且 在 上单调递减，
则 与 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知函数 是定义在 上的偶函数，且在 上单调递减，若 ， ，
则 ， ， 大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
12．已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
13．已知函数 且 为偶函数，则（ ）
A． B．
C． D．无法确定
命题点2 解函数不等式
14．设奇函数 在 上为单调递增函数，且 ，则不等式 ，的解集为（ ）
A． B．
C． D．15．已知函数 是定义在 上的偶函数， 在 上单调递减，且 ，则不等式
的解集为（ ）
A． B． C． D．
16．定义在R上的函数f（x）满足 ，且当 时， 单调递增，则不等式
的解集为（ ）
A． B． C． D．
17．已知函数 为偶函数，且函数 在 上单调递增，则关于x的不等式
的解集为（ ）
A． B． C． D．
18．已知函数 ，若对任意的 ，不等式 恒成立，则实数 的取
值范围是（ ）
A． B．
C． D．
19．设函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
20．已知函数 ，若 在 上单调递增，则实数a的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
21．若函数 在区间 上不单调，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．命题3 求参数的取值范围
22．已知二次函数 .
(1)若 ，且 和 都在区间 上单调递增，求实数 的取值范围；
(2)若 在 上恒成立，求实数 的取值范围.
23．已知函数 是定义在 上的奇函数，且当 时， ；
（1）求函数 在 上的解析式；
（2）是否存在非负实数 ，使得当 时，函数 的值域为 ？若存在，求出
所有 的值；若不存在，说明理由.
