文档文本内容
第二章 函数
第2.2讲 函数的单调性与最值
1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义.
2.掌握函数单调性的简单应用．
题型一 确定函数的单调性
题型二 函数单调性的应用
题型三 分段函数
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x，x∈I
1 2
定义 当x<x 时，都有 f ( x )< f ( x )，那么就 当x<x 时，都有 f ( x )> f ( x )，那么就称
1 2 1 2 1 2 1 2
称函数f(x)在区间I上是增函数 函数f(x)在区间I上是减函数
图象
描述
自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I
叫做y＝f(x)的单调区间．
2．函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为D，且x∈D
0
条件 ∀x∈D，都有 f ( x ) ≤ f ( x ) ∀x∈D，都有 f ( x ) ≥ f ( x )
0 0
结论 f(x)为f(x)的最大值 f(x)为f(x)的最小值
0 0题型一 确定函数的单调性
命题点1 函数单调性的判断
1．下列函数中，在区间 上为增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】对于A选项，当 时， ，则 在 上单调递减；
对于B选项，函数 在区间 上不单调；
对于C选项，函数 在 上不单调；
对于D选项，因为函数 、 在 上均为增函数，
所以，函数 在 上为增函数.
故选：D.
2．已知函数 在 上单调递增，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由题意， ，
在 中，函数单调递增，
∴ ，解得： ，
故选：C.
3．下列函数中，在区间 上单调递增的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】对于A，因为 在 上单调递增， 在 上单调递减，
所以 在 上单调递减，故A错误；
对于B，因为 在 上单调递增， 在 上单调递减，
所以 在 上单调递减，故B错误；
对于C，因为 在 上单调递减， 在 上单调递减，
所以 在 上单调递增，故C正确；
对于D，因为 ， ，
显然 在 上不单调，D错误.
故选：C.
4．函数 的单调递减区间是（ ）
A． B． 和
C． D． 和
【答案】B
【详解】 ，
则由二次函数的性质知，当 时， 的单调递减区间为 ；
当 ， 的单调递减区间为 ，
故 的单调递减区间是 和 .
故选：B
5．已知函数 在 上是减函数，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【详解】函数 在 上是减函数，
当 时， 恒成立，
而函数 在区间 上不单调，因此 ，不符合题意，
当 时，函数 在 上单调递增，于是得函数 在区间 上单调递减，
因此 ，并且 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
故选：D
命题点2 利用定义证明函数的单调性
6．已知定义在 上的函数 为奇函数．
(1)求实数 的值；
(2)用函数单调性的定义证明： 在 上为增函数．
【详解】（1）由定义在 上的函数 为奇函数，
得 ，
解得 ．
（2）由（1）知， ，
证明：在 上任取 ，且 ，
，
，
，又 ，
，即 ，
故函数 在 上为增函数．
7．已知函数 .
(1)用单调性定义证明函数 在 上为减函数；(2)求函数 在 上的最大值.
【详解】（1）证明：设对任意的 ，则
由题设可得， ，
，即 .
故函数 在 上为减函数..
（2）由题知 ，
又 的定义域为 关于原点对称，
是奇函数.
又由（1）得 在 上为减函数，
在 上也是减函数.
函数 在 上的最大值为 .
8．讨论函数 （ ）在 上的单调性.
【详解】任取 、 ，且 ， ，则：
，
当 时， ，即 ，函数 在 上单调递减；
当 时， ，即 ，函数 在 上单调递增.
题型二 函数单调性的应用
命题点1 比较函数值的大小
9．设 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】 ，而 ，则 ，即 ，
所以 .故选：B
10．已知函数 的定义域为 ，若对 都有 ，且 在 上单调递减，
则 与 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】因为对 都有 ，所以
又因为 在 上单调递减，且 ，
所以 ，即 ．
故选：A．
11．已知函数 是定义在 上的偶函数，且在 上单调递减，若 ， ，
则 ， ， 大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】 ，
因为 是定义在 上的偶函数，
所以 ，
因为 ， ， ，
且 在 上单调递减，
所以 ，
即 .
故选：A.
12．已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由题意知， ， ， ，，故 ．
故选：D.
13．已知函数 且 为偶函数，则（ ）
A． B．
C． D．无法确定
【答案】A
【详解】因为函数 且 为偶函数，所以 ，
即 ，则 ，所以 .
当 时， 在 上是增函数，
且 ，所以 ；
当 1时， 在 上是减函数，且 ，
所以 .
故选：A.
命题点2 解函数不等式
14．设奇函数 在 上为单调递增函数，且 ，则不等式 ，的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由题意可得，奇函数 在 和 上都为单调递增函数，
且 ，函数图像示意图如图所示：
故不等式 ，即 ，即 ，
结合 的示意图可得它的解集为 或
故选：D．15．已知函数 是定义在 上的偶函数， 在 上单调递减，且 ，则不等式
的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】依题意，函数的大致图像如下图：
因为 是定义在 上的偶函数，在 上单调递减，且 ，
所以 在 上单调递增，且 ，
则当 或 时， ；当 时， ，
不等式 化为 或 ，
所以 或 或 ，
解得 或 或 ，即 或 ，
即原不等式的解集为 ；
故选：C.
16．定义在R上的函数f（x）满足 ，且当 时， 单调递增，则不等式
的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由 ，得 的对称轴方程为 ，故 ，即 ，解
得 ．
故选：D.
17．已知函数 为偶函数，且函数 在 上单调递增，则关于x的不等式
的解集为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为 为偶函数，所以 的图像关于y轴对称，则 的图像关于直线 对称．
因为 在 上单调递增，所以 在 上单调递减．
因为 ，所以 ，解得 ．
故选：A.
18．已知函数 ，若对任意的 ，不等式 恒成立，则实数 的取
值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】函数 ，由二次函数的图像和性质可知，
当 时， 为减函数，且 ；当 时， 为减函数，且 ，
所以 在R上为减函数，
当 时， ；当 时， ，
所以 ，不等式 等价于 ，
则 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
得 ，解得 .
故选：B
命题3 求参数的取值范围
19．设函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】函数 在R上单调递增，而函数 在区间 上单调递减，
则有函数 在区间 上单调递减，因此 ，解得 ，所以 的取值范围是 .
故选：D
20．已知函数 ，若 在 上单调递增，则实数a的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】 在 上单调递增；
∴ ，
解得 ；
所以实数a的取值范围为 ．
故选：A．
21．若函数 在区间 上不单调，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】 ， ，
当 时， 在 上恒成立，
此时 在 上单调递减，不合要求，舍去；
当 时，则要求 的零点在 内，
的对称轴为 ，由零点存在性定理可得：
，故 ，
解得： ，故 的取值范围 .
故选：C
22．已知二次函数 .
(1)若 ，且 和 都在区间 上单调递增，求实数 的取值范围；
(2)若 在 上恒成立，求实数 的取值范围.
【详解】（1） 在 上递增，所以 ，
的定义域是 ，
在 上递增，所以 ，
综上所述， 的取值范围是 .
（2） 在 上恒成立， 在 上恒成立，
，当且仅当 时等号成立，
所以 ，
即 的取值范围是 .
23．已知函数 是定义在 上的奇函数，且当 时， ；
（1）求函数 在 上的解析式；
（2）是否存在非负实数 ，使得当 时，函数 的值域为 ？若存在，求出
所有 的值；若不存在，说明理由.
【详解】（1）由题意，当 时， ，
则 ，
由 是定义在 上的奇函数，得 ，且 ，
综上： ；
（2）由题意知， ，
由（1）知，当 时， ，故 ，即 ，
故 在 上单调递减，从而有 ，解得 .
