《2026初高衔接》[第六讲]——集合的关系与运算_2026版高中《罗老师初升高讲义》十五讲（数学）_《初高衔接2026版》学生版

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集合的关系与运算
集合的关系与运算
[教学重难点]
[教学目标]
[核心素养]
集合的关系
理解元素、集合概念，准确判断元
素归属，规避互异性陷阱
数学抽象、逻辑推理
集合的运算
熟练选用合适形式描述集合，实现
两种表示法互相转换
数学抽象
一集合间的关系
根据上节课的学习, 我们可以设定集合A = {你, 爸爸, 妈妈}，集合B = {你, 爸爸, 妈妈, 爷爷, 奶奶}，集合
C = {堂哥，叔叔, 婶婶}，基于以上定义，可以发现集合间的基本关系：
子集
A 中的所有元素均属于集合B，我们称集合A 为集合B 的子集．记作A ⊆B(或B ⊇A)．
A
B
或
(A)
B
特别的：
集合相等
若集合A 是集合B 的子集(A ⊆B)，且集合B 是集合A 的子集(B ⊆A)，则此时两集合元素一样，那么就
说集合A 与集合B 相等，记作A = B．
真子集
若A ⊆B 且A ≠B，称集合A 是集合B 的真子集，记作A ⊊B 或(B ⊋A)．
上述集合的关系从集合的自然语言描述法中就可以理解，而我们在数学中引入集合其研究对象以数集为核
心．重点围绕的都是方程与不等式问题，方程与不等式有一类特殊的无解问题，为了对这一类无解问题做一定
的规范描述，我们引入空集的概念．
空集
不含任何元素的集合叫空集，用符号∅表示．
规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
①当A 不是B 的子集时，记作
“A ⊈B”
②符号⊆可以用≤来辅助记忆
和理解．即A ⊆B 可理解为A
中元素范围比B 中元素范围小．
要点补注
要点补注
mathxiaoshu01
①空集就是方程与不等式的
无解，从这个维度出发可以
较好的理解为啥要引入空集．
②空集本身没有真子集．
要点补注
要点补注
mathxiaoshu01
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1 (★★★☆☆)已知集合A = {x ∣x2- 8x + 12 < 0}
(1) 若B = {x ∈Z ∣x ∈A}，写出B 的所有子集与真子集，思考子集、真子集个数与元素个数的关系；
(3) 设集合C = {x ∣m - 1 < x < 2m + 3}．
i


若A ⊆C，求m 的取值范围．
ii


若C ⊊A，求m 的取值范围．
含n 个元素的集合，其子集和真子集个数具有如下规律：
子集个数
集
合
子集个数
真子集个数
非空子集个数
非空真子集个数
{a1,a2, ⋯,an}
2n
2n−1
2n−1
2n−2
1
(★☆☆☆☆)用适当的符号填空：
(1) R
Q
(2) 0
∅
(3) 5
{1，3，5}
(4) {0，2}
{x|x2= 2x}
(5) {x|1 < x < 5}
{x|1 < x < 9}
(6)
3
Q
(7) {1，2，3}
{3，2，1}
(8) ∅
{0}
(9) {3}
{x|2 < x < 4}
(10) {x|x = 2n + 1，n ∈Z}
{x|x = 4n + 1，n ∈Z}
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2
(★☆☆☆☆)集合A = {x ∈N|1 < x < 4} 的子集个数为
(
)
A. 2
B. 4
C. 8
D. 16
3
(2023 •新高考Ⅱ∙★★☆☆☆)集合A = {0，-a}，B = {1，a - 2，2a - 2}，A ⊆B，则a =
(
)
A. 2
B. 1
C. 2
3
D. - 1
4 (多选•★★★☆☆)集合A = {1，2}，B = {x|mx = 1，m ∈R}，B ⊆A，m 的可能取值为
(
)
A. 0
B. 1
C. 1
2
D. 2
5
( 多选• ★★★☆☆) 已知集合M = { x x=m+ 1
2 ，m∈Z


，N = { x x=2n- 3
2 ，n∈Z


，P =
{x x= p
2 ，p∈Z


，则
(
)
A. N ⊆P
B. P ⊆M
C. N ⊆M
D. M ⊆N
6
(★★★☆☆)设集合P = {3，4，5}，Q = {6，7}，定义P ⊗Q = {(a，b)|a ∈P，b ∈Q}，则P ⊗
Q 中子集的个数为
(
)
A. 8
B. 16
C. 32
D. 64
7
(★★★☆☆)集合A = {x|x2- x - 2 > 0}，B = {x|ax > 1}，若B ⊆A，a ∈Z，a 的最大值是
(
)
A. - 1
B. 0
C. 1
D. 2
8
(★★★☆☆)设a，b 是实数，集合A = {x||x - a| < 1}，B = {x||x - b| > 3}，且A ⊆B，则|a - b| 的
取值范围为
(
)
A. [0，2]
B. [0，4]
C. [2，+∞)
D. [4，+∞)
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(多选•★★★★☆)已知集合A = {-1，1}，非空集合B = {x|x3 + ax2 + bx + c = 0}，下列条件能够使
得B ⊆A 的是
(
)
A. a =-3，b = 3，c =-1
B. a =-3，b =-3，c = 1
C. a =-1，b =-1，c = 1
D. a + b + c + 1 = 0 且(a + 1)2+ 4c < 0
10 (★★★☆☆)已知集合A 为不等式2x-1
x+2 < 1 的解集．
(1) 求集合A；
(2) 若B = {x||x - a| < 3}，且A ⊆B，求实数a 的取值范围．
11 (★★★☆☆)已知集合A = {x|(m - 1)x2+ 3x - 2 = 0}．
(1) 集合A 中有两个元素，试求实数m 的范围；
(2) 是否存在这样的实数m，使得集合A 有仅有两个子集？若存在，求出所有的m 的值组成的集合M；若
不存在，请说明理由．
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12 (★★★★★)已知至少含两个元素的集合A 是N * 的子集，若对于A 中的任意两个元素a，b，都有|a
- b| ≠k(k 是正整数)，则称集合A 具有性质P(k)．
(1) 试判断集合B = {5，6，7} 和C = {1，6，11} 是否具有性质P(2)，并说明理由．
(2) 若集合A = {a1，a2，⋯，a9，a10} ⊆{1，2，⋯，16，17}，证明：A 不可能具有性质P(3)．
(3) 若集合A ⊆{1，2，⋯，247，248}，且A 具有性质P(5) 和P(8)，求A 中元素个数的最大值．
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二集合的运算
设定集合A = {你, 爸爸, 妈妈, 爷爷, 奶奶}，集合B = {堂哥，叔叔，婶婶，爷爷, 奶奶}，集合C = {爷爷，
奶奶}，全集U = {你, 爸爸, 妈妈, 爷爷, 奶奶, 堂哥，叔叔, 婶婶}．基于以上定义，可以发现集合间的运算：
交集
集合A 与集合B 含有公共元素爷爷奶奶．一般地，由属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合称为集
合A 与B 的交集．记作A ∩B，读作：A 交B，即：A ∩B = {x

x ∈A 且x ∈B}
A
B
A∩B
并集
集合U 是由集合A 和集合B 所组合成的一个大家庭关系．一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元
素共同组成的集合，称为集合A 与B 的并集, 记作A ∪B ，读作：A 并B，即A ∪B = {x

x ∈A 或x ∈B}
A
B
A⋃B
在研究具体的数学问题时，我们经常需要确定研究对象的范围．例如：方程x-2


x2-3


= 0 的解集，在
有理数范围内只有一个解2，即：x∈Q/ x-2


x2-3


=0


= 2


，在实数范围内有三个解：2，
3，- 3，
即：x∈R/ x-2


x2-3


=0


= 2, 3,- 3


．
全集
一般地，一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U．
补集
对于一个集合A，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称
为集合A 的补集，记作∁UA，即：∁UA = {x

x ∈U 且x ∉A}
A
U
∁UA
交集和并集性质必背


A ∪B = A B ⊆A
A ∩B = A A ⊆B
分配律
A ∩(B ∪C) = (A ∩B) ∪(A ∩C)
A ∪(B ∩C) = (A ∪B) ∩(A ∪C)
摩根定律
∁U(A ∪B) = (∁UA) ∩(∁UB)
∁U(A ∩B) = (∁UA) ∪(∁UB)
集合运算的性质
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2 (★★☆☆☆)已知全集U = R，集合A = {x ∣|x - 1| < 2}，集合B = {x ∣x2- 3x + 2 ≤0}
求：(1) A ∩B、A ∪B
(2) ∁UA、∁UB
(3) (∁UA) ∩B、A ∪(∁UB)、∁U(A ∪B)
13 (2026 •北京•★☆☆☆☆)已知集合M = {x| -1 < x < 3}，N = {x|x ≥2}，则M ∪N =
(
)
A. {x|x >-1}
B. {x| -1 < x < 2}
C. {x| -1 < x < 3}
D. {x|x ≥2}
14 (2026 ∙新高考Ⅱ卷•★☆☆☆☆)集合A = {0，1，3，6，9}，B = {x| x = x}，则A ∩B =
(
)
A. {0，1}
B. {3，6}
C. {0，1，9}
D. {0，3，9}
15 (2026 •天津•★☆☆☆☆)已知全集U = {-2，-1，0，1，2，3}，集合A = {-1，0，1，3}，集
合B = {-2，0，1}，则(∁UA) ∪B =
(
)
A. {-2}
B. {-2，2}
C. {0，1，2}
D. {-2，0，1，2}
16 (2025 ∙新高考Ⅱ卷•★☆☆☆☆)集合A = {-4，0，1，2，8}，B = {x|x3= x}，则A ∩B =
(
)
A. {0，1，2}
B. {1，2，8}
C. {2，8}
D. {0，1}
17 (2024 •甲卷•★☆☆☆☆)集合A = {1，2，3，4，5，9}，B = {x| x ∈A}，则∁A(A ∩B) = (
)
A. {1，4，9}
B. {3，4，9}
C. {1，2，3}
D. {2，3，5}
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18 (2023 •新高考Ⅰ•★★☆☆☆)已知集合M = {-2，-1，0，1，2}，N = {x|x2 - x - 6 ≥0}，则M
∩N =
(
)
A. {-2，-1，0，1}
B. {0，1，2}
C. {-2}
D. {2}
19 (2021 •上海•★★☆☆☆)已知集合A = {x|x >-1，x ∈R}，B = {x|x2 - x - 2 ≥0，x ∈R}，则下
列关系中，正确的是
(
)
A. A ⊆B
B. ∁RA ⊆∁RB
C. A ∩B = ∅
D. A ∪B = R
20 (★★☆☆☆)设全集U = R，集合P = {y|y = 3x，-1 < x < 0}，Q = {x
x
x+2 ≥0


，则P ∩∁UQ =
(
)
A. (-2，0)
B. [-2，0)
C. (-3，-2)
D. (-3，-2]
21 (★★★☆☆)已知集合P = {x|x2≤1}，M = {a}，若P ∩M = M，则实数a 的取值范围是
(
)
A. (-∞，-1]
B. [-1，1]
C. [1，+∞)
D. (-∞，-1] ∪[1，+∞)
22 (多选•★★★☆☆)设集合M = {x|a < x < 3 + a}，N = {x|x < 2 或x > 4}，则下列结论中正确的是
(
)
A. 若a <-1，则M ⊆N
B. 若1 ∈M，则-2 < a < 1
C. 若M ∪N = R，则1 < a < 2
D. 若M ∩N ≠∅，则1 < a < 2
23 (★★★★☆)设集合A = {x|x2 + 2x - 3 > 0}，集合B = {x|x2 - 2ax - 1 ≤0，a > 0}，若A ∩B 中含
有一个整数，则实数a 的取值范围是
(
)
A. 3
4 ≤a < 4
3
B. 0 < a < 3
4
C. a ≥3
4
D. a ≥1
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24 (★★★☆☆)已知全集U = R，集合A = {x|x2- 3x + b = 0}，B = {x|(x - 2) (x2+ 3x - 4) = 0}．
(1) 若b = 4 时，存在集合M 使得A ⊊M ⊊B，求出所有这样的集合M；
(2) 集合A，B 能否满足(∁UB) ∩A = ∅？若能，求实数b 的取值范围；若不能，请说明理由．
25 (★★★★☆)设集合A = {x|x2- 3x + 2 = 0}，B = {x|x2+ 2(a + 1)x + a2- 5 = 0}．
(1) 若A ∩B = {2}，求实数a 的值；
(2) 若集合B 中有两个元素x1，x2，求实数a 的取值范围，并用含a 的代数式表示|x1- x2|；
(3) 若A ∩B = B，求实数a 的取值范围．
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1 (多选•★☆☆☆☆)下列表述正确的是
(
)
A. {0} ∈{0，1，2}
B. {0，1，2} ⊆{2，1，0}
C. ∅⊆{0，1，2}
D. ∅= {0}
2 (★☆☆☆☆)已知集合A = {x|x2- 8x + 12 < 0}，B = {x ∈Z|1 < x ≤4}，则A ∩B =
(
)
A. {1，2}
B. {3，4}
C. {3}
D. ∅
3 (2023 •乙卷•★★☆☆☆)设集合U = R，集合M = {x|x < 1}，N = {x| -1 < x < 2}，则{x|x ≥2}
=
(
)
A. ∁U(M ∪N)
B. N ∪∁UM
C. ∁U(M ∩N)
D. M ∪∁UN
4 (多选•★★☆☆☆)已知全集U = Z，集合A = {1，2，3}，B = {a + b|a，b ∈A}，则下列结论正确
的是
(
)
A. 集合B 中有6 个元素
B. A ∪B = {1，2，3，4，5，6}
C. (∁UA) ∩B = {4，5，6}
D. A ∩B 的真子集个数是3
5 (多选•★★★☆☆)设A = {x ∈N
5
x-3 ∈N


，B = {x|mx - 4 = 0}，若A ∪B = A，则m 的值可以
为
(
)
A. 0
B. 1
2
C. 1
D. 2
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6 (★★★☆☆)设全集U = R，A = {x x-2
x-1 ≥0


，若m ∈∁UA，则实数m 的取值范围是
(
)
A. (1，2)
B. [1，2)
C. (1，2]
D. (-∞，1) ∪[2，+∞)
7 (★★☆☆☆)已知集合A = {x|kx2+ 8x - 16 = 0，k ∈R}．
(1) 若A 只有一个元素，试求实数k 的值，并用列举法表示集合A；
(2) 若A 至少有两个子集，试求实数k 的取值范围．
8 (★★★☆☆)已知全集U = R，集合A = {x|x2 + x - 6 < 0}，B = {x
5
x-1 ≥1


，C = {x|a - 1 ≤x
≤2a + 1}．
(1) 求A ∩(∁UB)；
(2) 若C ⊆(A ∪B)，求实数a 的取值范围．