《2026初高衔接》[第十讲]——函数对称性与周期性的初步认识_2026版高中《罗老师初升高讲义》十五讲（数学）_《初高衔接2026版》教师版

99
夏• 2026 初高衔接
晓书
选择胜于努力，笃行成就未来
10
函数对称性与周期性的初步认识
函数对称性与周期性的初步认识
[教学重难点]
[教学目标]
[核心素养]
三角函数的化简
掌握公式变形，将复杂三角函数化
为y = Asin(ωx + φ) + B 标准形式
数学运算、数学抽象
正弦型三角函数图象性质
理解参数对图象的影响，会求周期、
单调区间及指定区间上的最值
直观想象、逻辑推理
一函数对称性的认识
通过奇偶函数的学习，我们初步认识了函数的对称性．奇函数与偶函数属于特殊的对称函数，想要全面掌
握相关知识，就需要拓展范围，系统研究函数的一般对称性．
轴对称
若函数存在对称轴，设对称轴为直线x = a．任取自变量x，则关于直线x = a 对
称的两个点可表示为a - x 与a + x，这两处对应的函数值相等，即：f(a - x) = f(a + x)
由此我们得到了：
f(x) 图象关于x = a 呈轴对称的充要条件是：∀x ∈I，恒有：f(a - x) = f(x + a)
中心对称
若函数存在对称中心，设对称中心为点(a,b)．任取自变量x，则关于
点(a,b) 中心对称的两个点横坐标可表示为a - x 与a + x，此时这两处对应
的函数值也关于y = b 对称，即：f(a - x) + f(a + x) = 2b
由此我们得到了：
f(x) 图象关于(a,b) 呈中心对称的充要条件是：∀x ∈I，恒有：f(a - x) + f(a + x) = 2b
对称性抽象方程的特征
①内部变量互反．套中点坐标公式可求得横方向的对称：x0= x1+x2
2
= a-x+a+x
2
= a
②轴对称的特点是二者在同一高度，所以函数值相等，即：f = f；中心对称的特点是f + f = 定值．
当我们遇到内部变量互反并的抽象方程时，可以首先明确它推导的结论是对称性；若存在f = f，那就
是推轴对称，直接套重点坐标公式x0 = x1+x2
2
可得对称对称轴；若是f + f 的则是推对称中心，对称中心
的求解方法是：横纵坐标均套重点坐标公式，如：
x0= x1+x2
2
= a-x+a+x
2
=a
y0= f(a-x)+ f(x+a)
2
= 2b
2 =b

对称性抽象方程的特征
x
a-x
a
a+x


x
x
△y
b
a
f(a+x)
a+x
a-x
f(a-x)
△y
x
y
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1 (★★★☆☆)已知函数f(x) 的定义域为R，对∀x ∈R，f(1 + x) = f(1 - x) 恒成立，且当x ≥1 时，f(x)
= x2，则f(8) - f(-2) =
( C )
A. - 48 　
B. - 12 　
C. 48 　
D. 12
由f(1 + x) = f(1 - x)，函数图象对称轴为直线x = 1，
由轴对称性质：f(-2) = f[1 + (1 - (-2))] = f(4)．x ≥1 时f(x) = x2
f(8) = 82= 64，f(4) = 42= 16，
f(8) - f(-2) = f(8) - f(4) = 64 - 16 = 48，答案选C。
1
(★☆☆☆☆)设实数集R 上定义的函数y = f(x)，对任意的x ∈R 都有f(x) + f(-x) = 1，则这个函数
的图象关于
( C )
A. 原点对称
B. y 轴对称
C. 点0，1
2


对称
D. 点(0，1) 对称
由课堂讲解知识可知变量互反，函数值之和等于定值推的是对称中心
直接套中点坐标公式可得关于点0，1
2


对称．
2
(★★☆☆☆)函数f(x) = x2- 2ax + 3，且满足：f(x + 2) = f(2 - x)，则以下关系正确的是
( C )
A. f(-1) < f(2) < f(3)
B. f(3) = f(2) < f(-1)
C. f(2) < f(3) < f(-1)
D. f(2) < f(-1) < f(3)
据题意：f(2 - x) = f(2 + x) 对称轴为x = 2，开口向上．
∴f(x) 在[2，+∞) 上单调递增，f(-1) = f(5)，则有f(2) < f(3) < f(-1)，故选：C．
3
(★★☆☆☆)函数f(x) = x2 + ax - 2 对∀x 都有f(1 - x) = f(1 + x) 成立，则f(x) 的值域
( C )
A. [-1，+∞)
B. [-2，+∞)
C. [-3，+∞)
D. [0，+∞)
f(1 - x) = f(1 + x) 成立，可得f(x) 关于直线x = 1 对称，即有- a
2 = 1，即a =-2，f(x)
= x2 - 2x - 2 = (x - 1)2 - 3，当x = 1 时，f(x) 最小值-3，f(x) 值域为[-3，+∞)
4 (多选•★★☆☆☆)函数f(x) 的图象关于直线x = 1 对称，那么
( ABC )
A. f (2 - x) = f (x)
B. f (1 - x) = f (1 + x)
C. 函数y = f (x + 1) 是偶函数
D. 函数y = f (x - 1) 是偶函数
由f(x) 图象关于x = 1 对称知，f(2 - x) = f(x)，f(1 - x) = f(1 + x)，把函数f(x) 的图象
向左平移1 个单位可得y = f(x + 1) 的图象，关于x = 0 对称，即为偶函数，把函数f(x) 的图象向右平移1 个单
位可得y = f(x - 1) 的图象，关于x = 2 对称，故选：ABC．
5
(★★☆☆☆)定义在R 上的函数f(x + 1) 的图象关于点(0，2) 对称，则下列式子一定成立的是
( C )
A. f(-2) + f(0) = 4
B. f(-1) + f(1) = 4
C. f(0) + f(2) = 4
D. f(1) + f(3) = 4
因为函数f(x + 1) 的图象关于点(0，2) 对称，
所以f(x) 的图象关于点(1，2) 对称，所以f(x) + f(2 - x) = 4，结合选项可知，f(0) + f(2) = 4 一定成立．
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6
(多选•★★★☆☆)定义域为R 的函数y = f(x)，则下列正确的是
(
BD
)
A. 若f(x - 1) = f(1 - x) 恒成立，则函数y = f(x) 的图象关于直线x = 1 的对称
B. 若f(x + 1) + f(1 - x) = 0 恒成立，则函数y = f(x) 的图象关于(1，0) 点对称
C. 函数y = f(x) 的图象与函数y =-f(x) 的图象关于y 轴对称
D. 函数y =-f(-x) 的图象与函数y = f(x) 的图象关于关于(0，0) 对称对称
由课堂知识可知A 错，应该关于y 轴对称．B 选项，对．
C 选项显然f x


和-f x


两个取了相反数，应该关于x 轴对称c 选项错．
D 选项显然横方向互反，纵方向也互反，意味着关于原点对称．可知D 选项是对的．
7
(★★★☆☆)若函数f(x) 满足：存在非零常数a，使f(x) =-f(2a - x)，则称f(x) 为“准奇函数”，
下列函数中是“准奇函数”的是
( B )
A. f(x) = x2
B. f(x) = (x - 1)3
C. f(x) = 1
x
D. f(x) = x3
f(x) =-f(2a - x)f(x) + f(2a - x) = 0f(x) 有对称中心（a,0）且a ≠0
A．f(x) = x2是轴对称，故A 错；B.f(x) = (x - 1)3关于（1，0）对称，该函数为准奇函数；
C．从初中阶段的反比例可知，图象关于原点对称，但是题意要求非零．
D．f(x) = x3，关于（0，0）对称，不是准奇函数．故选：B．
8
(★★★☆☆)若函数y = f(x + 1) 是偶函数，则y = f(2x) 的对称轴是直线
( C )
A. x = 0
B. x = 1
C. x = 1
2
D. x = 2
因为函数y = f(x + 1) 是偶函数，所以y = f(x) 是关于x = 1 对称，
所以y = f(2x) 是关于2x = 1 对称，即y = f(2x) 的对称轴是直线x = 1
2 ．
9
(★★★★☆)函数f(3x + 1) 是偶函数，函数y = f(3x) 的对称轴的是
( B )
A. x = 0
B. x = 1
3
C. x =- 1
3
D. x =-1
根据题意，函数y = f(3x + 1) 是偶函数，则有f(3x + 1) = f 3 x+ 1
3






，
函数y = f(3x + 1) 的图象关于y 轴对称，故直线x = 1
3 是函数y = f(3x) 图象的对称轴
10 (★★★★★)已知函数y = f(x)，对于任意的实数x，y，恒有f(x + y) = f(x) + f(y) + 2，若函数g(x)
= f(x) +
3x
x2+1 的最小值为-5，则g(x) 的最大值为
( A )
A. 1
B. 3
C. 5
D. - 3
令x = y = 0，得f(0) = 2f(0) + 2，解得f(0) =-2，
再令y =-x，得f(0) = f(x) + f(-x) + 2，所以f(x) + f(-x) =-4，
所以f(x) 关于(0，-2) 对称，则f(x) + 2 关于(0，0) 对称，且y =
3x
x2+1 也是奇函数，
所以g(x) + 2 = f(x) + 2 +
3x
x2+1 关于(0，0) 对称，且由已知得：[g(x) + 2]min =-5 + 2 =-3，
所以[g(x) + 2]max = 3，所以g(x)max = 1．A．
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二周期性与性质模型
周期性
函数f x


定义域内任意的x，存在一个不等于0 的常数T，使得f x+T


= f x


恒成立，则称f x


是周期
函数，T 是它的一个周期．一般T 是f x


的周期，则kT k∈Z


也是f x


的周期．
最小周期T
2T也是它的周期
x
y
f(x)
f(x+T)
x
x+T
根据函数周期性的定义，我们可以得到如下结论：
(1) 周期T = a 的函数抽象关系：f(x) = f(x + a)
(2) 周期T = 2a 的函数抽象关系：
f(x −a) = f(x + a)
f(x + a) =±
1
f(x)
(f(x) ≠0)
f x+a


=-f(x)
f x+a


=
λ
f x


推导方法：如f(x −a) = f(x + a) 中，令m = x - a x = m + a，∴f(m) = f(m + 2a) 周期T = 2a．
周期性形式繁杂，识别难度高于对称性．判断要点为：先看抽象方程自变量有没有互反，互反就是对
称性，不用管周期性；不互反则说明抽象方程推的是周期性，并且周期直接填给所给抽象方程中变量部分
常数的两倍即可，因为考试基本只考这个．
周期性的识别
综合性质模型
当试题中见到对称中心、对称轴、周期性个性质中出现两个时，则意味着整个题意中这个函数会同
时具备这三个性质，此时我们可以套用波函数图象模型分析题意．
要点
依据题意标注已知对称轴与对称中心；由于函数图象双向无限延伸，可先初步绘制对称要素，再结
合条件修正，补充题干所需的其余对称轴、对称中心．该模型核心特征为：依托对称要素间的距离，依
次推出并标注需要用到的对称中心与对称轴．
波函数模型解综合性质
x
该波函数模型不是说函数图
像就长这个样子，只是它的
变化趋势和这个波函数形式
一致，我们采用这个波函数
的图像来直观分析题意，可
以较快的解题．
要点补注
要点补注
mathxiaoshu01
对称轴
对称中心
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2 (多选•★★★★☆)已知定义在R 上的奇函数f(x) 满足f(1 - x) = f(1 + x)，且x ∈(0，1] 时，f(x) =
-2x，则关于f(x) 的结论正确的是
( ABD )
A. f(x) 是周期为4 的周期函数
B. f(x) 所有零点的集合为{x|x = 2k，k ∈Z}
C. x ∈(-3, -1) 时，f(x) = 2x + 6
D. y = f(x) 的图象关于直线x = 1 对称
∵f(1 - x) = f(1 + x)f(x) 关于x = 1 对称，D 正确结合奇偶性，作出草图如下：
x
y
1
2
4

f(x)对称轴：x=1+2k
f(x)对称中心：(2k,0)
f(x)周期：T=4+4k





∴A 正确，B 正确，∵x ∈（1，3）时，f(x) =-2(2 - x) = 2x - 4 当x ∈(-3, -1) 与x ∈（1，3）的图
象关于原点对称，∴x ∈(-3, -1) 时，f(x) =- -2x-4


= 2x + 4, 故C 错误；
11 (2025 新高考Ⅰ卷• ★☆☆☆☆) 设f x


是定义在R 上且周期为2 的偶函数, 当2 ≤x ≤3 时, f x


= 5 - 2x , 则f - 3
4


=
( A )
A. - 1
2
B. - 1
4
C. 1
4
D. 1
2
∵f -x


= f x


，f x+2


= f x


，
f - 3
4


= f 3
4


= f 3
4 +2


= f 11
4


= 5 - 2 × 11
4 =- 1
2 , 选A
12 (2026 新高考Ⅱ卷• ★★☆☆☆) 若f x


为偶函数, 且f x


+ f x-2


= 0 , 且当x ∈
3
2 ,3




时f x


= x2 + ax + b , 则
( D )
A. a =-2，b =-3
B. a =-2，b = 3
C. a =-4，b =-3
D. a =-4，b = 3
由f x


+ f x-2


= 0f x+2


=-f x


f x+4


= f x


,周期为4．作出波分析：
1
4
3
2
1
x
y
3
2
由图可得：对称轴x0=- a
2 =2
f 3


=0


a=-4
b=3

13 (2021 新高考Ⅱ卷• ★★☆☆☆) 已知函数f(x) 的定义域为R( f(x) 不恒为0)，f(x + 2) 为偶函数，
f(2x + 1) 为奇函数，则
( B )
A. f - 1
2


= 0
B. f(-1) = 0
C. f(2) = 0
D. f(4) = 0
∵f(x + 2) 为偶函数f(x) 有对称轴x = 2；f(2x + 1) 为奇函数f(x) 有对称中心(1,
0), 作出波分析：
1
4
3
2
1
x
y
由图可得：f(奇数) = 0，故选B．
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14 (★★☆☆☆)定义域为R 的偶函数f(x) 满足f(1 + x) = f(1 - x)，f 1
2


= 1，则f - 3
2


=
( C )
A. - 3
2
B. - 1
C. 1
D. 3
2
∵f(x) 是R 上的偶函数，又∵f(1 + x) = f(1 - x)，∴f(-x) = f(2 + x)，
即f(x) = f(x + 2)，∴f(x) 为周期函数周期T = 2
∴f - 3
2


= f 2- 3
2


= f 1
2


= 1
15 (★★★☆☆)已知定义在R 上的奇函数f(x) 满足f(x) + f(2 - x) = 0，下列结论错误的是
( C )
A. f(x) 的图象关于点(1,0) 对称
B. f(x + 2) = f(x)
C. f(3 - x) = f(x - 1)
D. f(x - 2) = f(x)
由f(x) + f(2 - x) = 0f(x) 关于(1,0) 对称，∴A 正确，结合奇偶性，作出草图如下：
x
y
1
2
1
2

f(x)对称轴：x= 1
2 +k
f(x)对称中心：(k,0)
f(x)周期：T=2+2k





∴B, 函数周期T = 2 正确，D，函数周期T =-2 也正确，C, 对称轴为1，显然不对。故选：C．
16 (★★★☆☆)定义在R 的奇函数f(x) 满足f(x + 3) = f(-x - 2)，且f - 1
2


= 1，则f
4043
2


+
3f 4045
2


+ 2f(2027) =
( D )
A. 4
B. 2
C. - 5
2
D. - 2
由f(x + 3) = f(-x - 2)f(x) 关于x = 1
2 对称，结合奇偶性，f - 1
2


= 1 作出草图：
x
y
1
-1
1
2

f(x)对称轴：x= 1
2 +k
f(x)对称中心：(k,0)
f(x)周期：T=2+2k





显然2027 是对称中心横坐标∴f(2027) = 0 4043
2
= 2021 1
2 = 1010 + 3
2 ∴f
4043
2


= f(1010 + 3
2 ) =
f - 1
2


故f 4043
2


+ 3f 4045
2


+ 2f(2021) = f - 1
2


+ 3f 1
2


+ 2f(1) = 2f 1
2


=-2f - 1
2


=-2．
17 (★★★☆☆)函数f(x) 是R 上的奇函数，且f(x + 3) =-f(x)，且当x ∈0，3
2



时．f(x) = 2x - 1，
则f(-2021) + f(2022) + f(2024) 的值是
( A )
A. 2
B. - 1
C. 0
D. - 3
由f(x + 3) + f(x) = 0 f(x + 6) =-f(x + 3) = f(x)
∴函数f(x) 周期T = 6，结合奇偶性，作出草图如下：
x
y
3
6
3
2

f(x)对称轴：x= 3
2 +3k
f(x)对称中心：(3k,0)
f(x)周期：T=6+6k





∵2022 是3 的倍数（数字数位和时3 的倍数，则该数也是3 的倍数）∴f(2022) = 0 ∵-2021+2024
2
=
3
2 (中点坐标) ∴f(-2021) 和f(2024) 正好关于x = 3
2 对称，∴f(-2021) = f(2024) = f(337 × 6 + 2) = f(2) = f(
-1 + 3) =-f(-1) = f(1) = 1，∴f(-2021) + f(2022) + f(2024) = 1 + 0 + 1 = 2
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18 (★★★☆☆)已知函数f(x) 是奇函数，且f(x + 2) =-f(x)，若f(x) 在[-1，0] 上是增函数，f(1),
f 3
2


,f 13
3


的大小关系是
( D )
A. f(1) < f 3
2


< f 13
3


B. f 3
2


< f(1) < f 13
3


C. f 13
3


< f(1) < f 3
2


D. f 13
3


< f 3
2


< f(1)
∵f(x + 2) =-f(x)，f(x) 是奇函数，∴f(x + 2) =-f(x) = f(-x) ∴f(x) 关于x = 1 对称
结合奇偶性，作出草图如下：
x
y
-1
2

f(x)对称轴：x=1+2k
f(x)对称中心：(2k,0)
f(x)周期：T=4+4k





且f(x + 4) = f(x)，∴函数是周期为4 的周期数列．
∵f(x) 在[-1，0] 上是增，∴f(x) 在[-1，1] 上是增函数，f(x) 在[1，2] 上是减，
f 13
3


= f 4+ 1
3


= f 1
3


= f 5
3


，
∵f(x) 在[1，2] 上是减，且1 < 3
2 < 5
3 ，∴f(1) > f 3
2


> f 5
3


，即f 13
3


< f 3
2


< f(1)
19 (多选•★★★☆☆)已知函数f(x) 的定义域R，f(x + 1) 为奇函数，f(x) 为偶函数，当x ∈[0，1] 时
f(x) =-x2+ 1，则以下结论正确的有
( BCD )
A. 点(-1，0) 不是f(x) 的图象的对称中心
B. ∀x ∈R，f(x + 2) =-f(x)
C. 当x ∈[2，3] 时，f(x) = x2- 4x + 3
D. f 10
3


= 5
9
∵f(x + 1) 为奇函数(1，0) 是函数的对称中心，结合奇偶性，作出草图如下：
x
y
1 2
-1

f(x)对称轴：x=2k
f(x)对称中心：(2k+1,0)
f(x)周期：T=4+4k





有图可知A 错误，B 正确．当x ∈[2，3] 时，所以x - 2 ∈[0，1]，所以则f(x) =-f(x - 2) =- [- (x - 2)
2 + 1] = x2 - 4x + 3，所以C 正确；而f(x) 为偶函数，可得f(x) = f(-x)，即f(-x) =-f(-x + 2)，可得周期T
= 2 × 2 = 4，可得f 10
3


= f 10
3 -4


= f - 2
3


= f 2
3


=- 4
9 + 1 = 5
9 ，所以D 正确；
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夏• 2026 初高衔接
晓书
选择胜于努力，笃行成就未来
1 (多选•★★☆☆☆)对于定义在R 上的函数f(x)，下列说法正确的是
(
AC
)
A. 若f(x) 是奇函数，则f(x - 1) 的图象关于点(1，0) 对称
B. 若对x ∈R，有f(x + 1) = f(x - 1)，则f(x) 的图象关于直线x = 1 对称
C. 若函数f(x + 1) 的图象关于直线x =-1 对称，则f(x) 为偶函数
D. 若f(x + 1) + f(x - 1) = 2，则f(x) 的图象关于点(1，1) 对称
A，将f(x) 的图象向右平移1 个单位得到函数f(x - 1) 的图象，f(x) 为奇函数，则其图象
关于点(0，0) 对称，则函数f(x - 1) 的图象关于点(1，0) 对称，A 正确；
由课堂知识可知B 错误，C 正确，D 不正确．
2 (多选•★★★☆☆) f(x) 定义域为R，且f(0) = 0，f(x - 1) + 1 为奇函数，下列正确是
(
BD
)
A. 函数f(x) 对称中心为(1，1)
B. f(-1) + 1 = 0
C. f(3) + f(-1) =-2
D. f(-3) + f(1) =-2
令g(x) = f(x - 1) + 1，A：g(x) 可以认为是由f(x) 向右平移l 个单位，再向上平移1 个单
位得到，若g(x) 为奇函数，则g(x) 的对称中心为(0，0)，故函数f(x) 对称中心为(-1，-1)，A 错误；
B：若g(x ) 为定义在R 上的奇函数，则g(0) - f(-1) + 1 = 0，BI 正确；C、D：若g(x) 为奇函数，则g(
-x) + g(-x) = 0，即[f(x - 1) + 1] + [f(-x - 1) + 1] = 0，得f(x - 1) + f(-x - 1) =-2，令x = 4，得f(3) +
f(-5) =-2，但无法确定f(-1) 与f(-5) 是否相等，C 错误；令x = 2，得f(1) + f(-3) =-2，D 正确；
3 (★★★☆☆)已知函数f(x) 的定义域为R，且y = f(x + 1) 的图象关于直线x =-1 对称．当x > 0
时，f(x) =
3
x+1 ，则f(-2) =
( A )
A. 1
B. 3
C. - 1
D. - 3
函数f(x) 的定义域为R，且y = f(x + 1) 的图象关于直线x =-1 对称，∴f(x) 的图象关于
直线x = 0 对称，即f(x) 为偶函数，又当x > 0 时，f(x) =
3
x+1 ，所以f(-2) = f(2) =
3
2+1 = 1．
4 (★★★☆☆)定义在R 上的奇函数f(x)，满足f(2 + x) = f(-x)，当x ∈(0，2) 时f(x) = x2 - 2x，
则f(15) =
( B )
A. 0
B. 1
C. - 1
D. 3
∵f(x) 为R 上的奇函数，且f(2 + x) = f(-x)，∴f(x + 2) =-f(x)，
∴f(x + 4) =-f(x + 2) = f(x)，即f(x + 4) = f(x)，∴f(x) 的周期为4，又x ∈(0，2) 时，f(x) = x2- 2x，
∴f(15) = f(-1 + 4 × 4) = f(-1) =-f(1) =- (1 - 2) = 1．
20 (多选•★★★★☆)在R 上奇函数f(x) 满足f(-3x) = f(2 + 3x)，则下列结论一定成立的是
( ACD )
A. f(0) = 0
B. 2 是f(x) 的一个周期
C. (2，0) 是f(x) 的一个对称中心
D. f(3x + 1) 为偶函数
由奇函数的性质可知，f(0) = 0，A 正确；∵f(-3x) = f(2 + 3x)，∴f(2 + t) = f(-t) =
-f(t)，则f(4 + t) = f(t)，周期为4，B 错误；∴f(4 - x) = f(-x) =-f(x)，即f(4 - x) + f(x) = 0，所以函数
的图象关于(2，0) 对称，C 正确；因为f(2 + 3x) = f(-3x)，所以f(2 - 3x) = f(3x)，即f(1 - 3x) = f(1 +
3x)，令g(x) = f(3x + 1)，则g(-x) = f(-3x + 1) = f(1 + 3x) = g(x)，∴g(x) 为偶函数，D 正确．